04 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ipa Ktsp

Integral

Integral Fungsi Trigonometri

Integral Fungsi Aljabar

• •

Int nte egr gra al tta ak te tent ntu u Integral tentu

Rumus integral fungsi trigonometri

• • • • • • • •

Penggunaan Integral

Metode Pengintegrala n

• •

Integr Inte gral al sub subs sti titu tusi si Intteg In egra rall pa pars rsiial

• •

Luas daerah Vol olu ume be ben nda pu puta tarr

Memilikii sikap Memilik sikap cermat cermat dan teliti teliti dalam dalam melaku melakukan kan pengint pengintegral egralan an serta serta menggunakan integral dalam menyelesaikan masalah. Mampu Mamp u menent menentukan ukan inte integral gral tak tentu fung fungsi si alja aljabar. bar. Mampu Mam pu menen menentuk tukan an integr integral al tentu tentu fungsi fungsi alj aljaba abar. r. Mampu Mam pu menen menentuk tukan an integr integral al fungsi fungsi trigo trigonom nometr etri. i. Mampu Mamp u menentu menentukan kan integ integral ral mengg menggunaka unakan n metode metode subs substitu titusi. si. Mampu Mamp u menentu menentukan kan inte integral gral meng mengguna gunakan kan meto metode de parsi parsial. al. Mampu Mamp u menent menentukan ukan luas daera daerah h menggu menggunaka nakan n integra integrall . Mampu Mamp u menent menentukan ukan volu volume me benda benda putar meng mengguna gunakan kan inte integral gral..

Matematika Kelas XII Program IPA

1

5.   Jawaban: b

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

dy dx

1.   Jawaban: b  x(6 – 3x 3x)) dx dx = ∫  (6x  (6x – 3x2) dx  ∫  x(6 1 2 x  – 2

=6×

3×

y = ∫  (4x  (4x + 5) dx 1 3 x  + 3

c

= 3x2 – x 3 + c 2.   Jawaban: a

 ∫ 

3x − 4x 2 x x x

3x

 dx  d x = ∫ (

x x

= ∫ (3 x

−

1 2

− +1 3

=

1 2

1 2

x x

) dx

 – 4x) dx 1 2

− +1

3

=

4x 2 x

 –

x

1 2

x  –

4 2

= 4x + 5

 –

x2 +

4 x1 + 1 + 1+ 1

c

= 2x2 + 5x + c Kurva melalui titik (–3, –3). y = 2x2 + 5x + c ⇔ –3 = 2(– 2(–3) 3)2 + 5(–3) + c ⇔ –3 = 2(9) 2(9) – 15 + c ⇔ –3 = 18 – 15 + c ⇔ –3 = 3 + c ⇔ c = –6 Jadi, persamaan kurva tersebut y = 2x2 + 5x – 6. 6.   Jawaban: c 3

∫

c

3

(3x2 +

1

2 1+1 ⎡ 3 2+1 x + x − x ⎤⎥ 2x – 1) dx = ⎢ 2x 1+ 1 ⎣2 + 1 ⎦1 3

= [ x 3 + x 2 − x ]1

= 6 x  – 2x 2 + c

= (33 + 32 – 3) – (13 + 12 – 1) = (27 + 9 – 3) – (1 + 1 – 1) = 33 – 1 = 32

3.   Jawaban: d f′(x (x)) = 3x 3x2 + 6x – 5 dan f(–1) = 8 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (3x2 + 6x – 5) dx =3×

1 3 x  + 3

6×

1 2 x  – 2

7.   Jawaban: c 2

5x + c

∫ (x2 –

= x3 + 3x2 – 5x + c f(–1) = 8 ⇒ (–1)3 + 3(–1)2 – 5(–1) 5(–1) + c = 8 ⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8 ⇔ c=1 Jadi, f(x) = x3 + 3x 2 – 5x + 1.

1

1 x2

2

) dx dx =

1 2

1 − ⎤ ⎡1 = ⎢ x3 − x 1⎥ −1 ⎣3 ⎦1 2

⎡ 1 3 1⎤ = ⎢ x + ⎥ x ⎦1 ⎣3

4.   Jawaban: c Percepatan = a(t) = 5 – t dv(t)  = dt

= 5t –

1 2 t  + 2

= c

∫

1

−1

2

=

Pada saat benda berhenti berarti kecepatannya kecepatanny a 0.

⇔

1 2

=0

t(10 t( 10 – t) = 0

⇔ t = 0 ata atau u t = 10 Jadi, benda berhenti setelah 10 detik.

2

Integral 

1 2

)–(

19 6

–

4 3

 =

2

Kecepatan benda dirumuskan dirumuska n dengan v(t) = 5t – t2.

5t –

 +

8.   Jawaban: e

Benda bergerak dari keadaan diam maka v(0) = 0 ⇒ c = 0.

v(t) = 0 ⇔

8 3

=(

a(t) ⇒ v(t) = ∫  a(t)  a(t) dt = ∫  (5  (5 – t) dt

1 2 t 2

∫ (x2 – x–2) dx

(x – 1)(3x + 1) dx 2

∫

(3x2 – 2x – 1) dx

−1 2

= x 3 − x 2 − x ⎤⎦ −1 = (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1) = 2 – (–1) =3

1 3

11 6

 + 1)

9.   Jawaban: d b.

3

∫

(3x2 +

2x + 1) dx = 25

∫  x

3

 dx  d x = ∫ 3 x

x

a

(27 + 9 + 3) – (a3 + a2 + a) = 25 39 – a3 – a2 – a = 25 a3 + a2 + a – 14 = 0 (a – 2)(a2 + 3a + 7) = 0 a = 2 atau a2 + 3a + 7 = 0 Oleh karena tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan x2 + 3x + 7 = 0 maka penyelesaiannya penyelesaia nnya a = 2. Jadi,

1 2

a=

1 2

3

x

1

−2

6 x

d.

∫ f(x) dx = 2

 + c

 + c

1 3 x  + 3

12 ×

1 2 x  + 2

4x + c

 (2 x  + 1)(3 x  – 2) dx ∫  (2 =  ∫  (6x  (6x – x  – 2) dx = ∫  (6x  (6x – x  – 2) dx

4

4

2

2

∫ 2f(x) dx = 2 ⇔ 2 ∫ f(x) dx = 2

=

2 3x2 – 3

⇔ ∫ f(x) dx = 1 2

3 2

x  – 2x + c

2 x 3

= 3x2 –

4

x  – 2x + c

5

4

2

4

0

0

2

2 . a.

∫

2g(x) dx = 6

−2

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx

5

∫

⇔ 2

2

g(x) dx = 6

−2

⇔ 2 = ∫ f(x) dx + 1

5

0

∫

⇔

2

g(x) dx = 3

−2

⇔ ∫ f(x) dx = 2 – 1 = 1

5

0

b.

∫

(2f(x) – 3g(x)) dx

−2

2

Jadi, ∫ f(x) dx = 1.

5

0

=2

5

∫

 dx  d x =  ∫  x

1 2

p

 dx

3 . a.

=  ∫  x  dx = = =

1 3 2

1 5 2

2 5

+1

x

+1

⇔ +c

5

x 2  + c x2

∫ (4x – 5) dx = –3

0

3 2

3 2

g(x) dx

−2

= 2(8) – 3(3) = 7

B. Kerjakan soal-soal berikut. 2−

∫

f(x) dx – 3

−2

x

1 2

1 2

0

∫ 

−

+c

 (3x + 2)2 dx ∫  (3x =  ∫  (9x  (9x2 + 12x + 4) dx =9×

4

1 . a.

x

= 3x3 + 6x2 + 4x + c

10.   Jawaban: b

x2

3 2

− +1

3

=–

 × 2 = 1.

 dx

−2 +1

=

c.

3 2

3

=

3

[ x3 + x 2 + x ]a  = 25

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

−

x  + c

p

⎡2x 2 − 5x ⎤ = –3 ⎣ ⎦0

⇔ (2p2 – 5p) 5p) – 0 = –3 ⇔ 2p2 – 5p 5p + 3 = 0 3)(p – 1) = 0 ⇔ (2p – 3)(p ⇔

p=

3  atau  at au 2

p=1

Matematika Kelas XII Program IPA

3

2

6

2 ∫ (px – 4x + 5) dx = 20

b.

5.

1

2

⎡p 3

⎤ 2 ⎢⎣ 3 x − 2x + 5x ⎥⎦ = 20 1

⇔ 8p ⇔ ( 3  –

8 + 10) – (

p  – 3

⇔ ⇔

3

∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx

3

6

0

3

∫ (x + 4) dx +

=( 3  = 7

f′(x) = 4 – 6x 6x

=(

f(x) =  ∫  f  f ′(x (x)) dx = ∫  (4  (4 – 6x) dx

=

12 – 27 27 + c = –12 –12 c=3

∫

6

 + 12) – (0 + 0) + (12 – 72)

9 2

9 2

 + 12) – 0 + (–60) – (–12)

 – 36 1 2

6

Jadi, nilai

1

∫  f(x) dx = –31 2 .

0

Jadi, f(x) = –3x2 + 4x + 3. 2

9 2

= –31

f(3) = –12 ⇒ 4(3) – 3(3)2 + c = –12 –12

⇔ ⇔

∫ (2 – 4x) dx

– (6 – 18)

9

= 4x – 3x2 + c

b.

0

3

= 21

p = 21 21 ×

6

⎡1 ⎤ 2 = ⎢ x2 + 4x ⎥  + ⎡⎣2x − 2x ⎤⎦ ⎣2 ⎦0 3

 – 1 = 20 7p 3

=

=

2 + 5) = 20 7p 3

⇔

4 . a.

∫ f(x) dx

0

3

2

f(x)) dx = f(x

−1

∫

f(x) dx

−1 2

=

∫

(–3x2 + 4x + 3) dx

−1 2

= [ −x 3 + 2x 2 + 3x ]−1 = (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3) =6–0=6

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1.   Jawaban: d  sec x (tan x + sec x) dx  ∫  sec

3.   Jawaban: d (3 – 6 sin2 x  x)) dx = ∫  3(1  3(1 – 2 sin2 x) dx  ∫ (3 = 3 ∫  cos  cos 2x dx

= ∫  (tan  (tan x sec x + sec2 x) dx

=3×

= ∫  tan  tan x sec x dx + ∫  sec  sec2 x dx = sec x + tan x + c

=

1

1

 sin ( x – π) cos ( x – π) dx  ∫  sin 2 2

=

1 2

 sin 2x – 2(–cos x) + c

= ∫ 

=

1 2

 sin 2x + 2 cos x + c

=

Integral 

2 sin x cos x + c

4.   Jawaban: b

1 2

=–

4

2x + c

= 3 sin x cos x + c

2.   Jawaban: c  (cos 2x – 2 sin x) dx  ∫  (cos = ∫  cos  cos 2x dx – 2 ∫  sin  sin x dx

3  × 2

1  sin 2

1 2

sin 2(

1 2

x – π) dx

 sin (x – 2π) dx  ∫  sin 1 2

 cos (x – 2π) + c

5.   Jawaban: d

9.   Jawaban: a π

 ∫  1 − cos 2x dx

2

∫ (sin 3x cos 5x) dx

sin2 x dx = ∫  2 si

π 3

= ∫  2 sin x dx

π 2

= – 2 cos x + c

=

1

∫ ( 2 sin (3x + 5x) + π

3

6.   Jawaban: b 1 π 3

1  π) 3

cos (2x +

∫

−π

= dx =

= ⎡⎢ 1 sin (2x + 1 π)⎥ = =

3

2π 3

1 2

 sin (

1 2

 sin π –

=0–

1 2

1 4

=–

⎦ −π

1 3

1 2

 +  π) –

1 ( 2

1 2

 sin

−5

1 3

π

⎤ 1 ⎣ 3 ⎦0 1 1 (–  cos 3π + sin π) – (– 3 3 1 1 2 (  + 0) – (–  + 0) = 3 3 3

[(–

1 8

× 1+

=

1 2

[(–

1 8

 –

=

1 2

(–

5 8

=

1 2

(–

7 16

=–

7 32

 +

1 2

1 2

1 2

× (–1)) – (– × (– ) +

)–(

3 16

1 8

+

1 16

 –

1 4

1 2π cos ) 2 3 1 2

1 2

× (– ))]

)]

)

)

π

 cos 0 + sin 0)

3

∫  (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx 0 π 3

=

∫  (sin2 x – cos2 x) dx 0 π

(sin 2x + 3 cos x) dx

∫

0

3

= 1

3 = ⎡− 1 cos 2x 2x + 3 sin x)⎤⎥ ⎢⎣ 2 ⎦0

1 2π  cos 2 3

= (–

1 2

 + 3 sin

1 2

= (–  × (– ) + 3( =(

=

3

10.   Jawaban: e

8.   Jawaban: e

=

π

⎡ − 1 cos 8x + 1 cos 2x ⎤ 2 2 ⎣ 8 ⎦π

1 2

3

∫  (sin 3x + cos x) dx

1 π 3

π

1 2

π

=

∫ (sin 8x – sin 2x) dx

=

 sin (–2π +  π)

7.   Jawaban: c

=

2

1 2

1 1 1 1 8π [(– [( – cos 4π + cos π) – (– cos 2 8 2 8 3

3)

⎡ = ⎢ − cos 3x + sin x ⎥

π

=

π

3

0

sin (3x – 5x)) dx

3

1 π ⎤3

⎣2

1 2

1 4

3 4 3 4

 +

 +

3 2 3 2

1 2 1 2

3 ) – (– ) 3

π 3

∫  –(cos2 x – sin2 x) dx 0

π

π 3

= – ∫  cos 2x dx ) – (–

1  cos 2

1 2

3 ) – (–  + 0)

0

0 + 3 sin 0)

π

⎤3 ⎡ 1 sin 2x⎥ = ⎢− sin ⎣ 2 ⎦0 1 2

= – (sin 1 1 2 2

=– ( =–

(1 + 2 3 )

1 4

2π  – 3

sin 0)

3  – 0)

3

Matematika Kelas XII Program IPA

5

B. Kerjakan soal-soal berikut.

1 . a.

π 2

b.

 (cos x + 2 sin x) dx ∫  (cos = ∫  cos  cos x dx + 2 ∫  sin  sin x dx

2

c.

1 2

 cos (2x +

1 3

= 2 ∫  sin  sin

2  π) 3

4

+c 1 3

= –2 (–

 tan 3x + c

= –6 cos

2 . a.

c.

1 3

1 2

x) – 3(

x–

tan 3x 3x − sec 3x 3x ∫  6 ta cos3x

3 2

π

1 3

0 π

⎤3 ⎡ 3 = ⎢ − cos 2x⎥ ⎣ 2 ⎦0

=–

dx

=–

 tan 3x + c 4.

⇔

si n x

 = c a

⇔ sin b – sin a = c

a

1 ⎣ 2

1 ⎣ 2

⎦0

3

 sin π –

1 3

 cos

= (0 – 0) – (0 –

1 3

3π 2

)=

) 1 3

1 –( 2

 sin 0 –

1 3

 cos 0)

⎡ 1 = ⎢− ⎣ 2 1 2

b

⎤ ⎦a

⎡ siin2 x)⎥ = ⎢ − (1 − 2 s

2 1 1 = ⎡⎢ sin 2x 2x − cos 3x 3x ⎤⎥

⎣2

b

⎤ ⎦a

⎡ cos 2x⎥ = ⎢− cos

∫  (cos 2x + sin 3x) dx

Integral 

9 4

∫  sin 2x dx

cos 4x + c

π

6

)=

b

0

=

3 2

∫  cos x dx = c

π

1 ( 2

 – 1)

b

2

3 . a.

1 2

a

 (sin 2x – cos 2x)2 dx ∫  (sin = ∫  (sin  (sin2 2x – 2 sin 2x cos 2x + cos2 2x) dx = ∫  (sin  (sin2 2x + cos2 2x – 2 sin 2x cos 2x) dx = ∫  (1  (1 – sin 4x) dx =x+

(–

 – cos 0)

b

1

1 4

3 2

2π 3

 (cos

3 2

) dx

1 3

 sec 3x –

3 2

= – (–

= 2 sec 3x – 3  tan 3x + c b.

∫  3 sin 2x dx

 sin 2x) + c

= ∫  (6  (6 tan 3x sec 3x – sec2 3x) dx =6×

∫  6 sin x cos x dx 3

 sin 2x + c

6tan3x sec3x = ∫  (  (  – cos3x cos3x

2

0

= 1 3

2 – 0) =

π

x dx – 3 ∫  cos  cos 2x dx

= 2(–3 cos

1 2

3

x – 3 cos 2x) dx 1 3

4

π

 6 sec2 3x dx = 6 × ∫  6

 (2 sin ∫  (2

−

2 x)⎤⎥ π ⎦

= –2 (sin (– ) – sin 0)

= 2 tan 3x + c d.

π

π 2 = ⎡⎢ sin ( 4 ⎣ −1

 sin (2x +  π) dx ∫  sin 3 =–

π 4

= sin x + 2(–cos x) + c = sin x – 2 cos x + c b.

π

∫  2 cos ( 4  – x) dx

⎤

+ sin2 x ⎥ ⎦

b a

= (–  + sin2 b) – (–

1 2

 + sin2 a)