Kunci Jawaban, Silabus Dan RPP PR MAT 10B WAJIB 2014

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menjelaskan konsep, menentukan unsur-unsur, dan menyusun persamaan kuadrat; 2. menjelaskan konsep, menentukan unsur-unsur, dan menyusun fungsi kuadrat; 3. menggambar, membuat sketsa, dan menganalisis grafik fungsi kuadrat; 4. menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat; 5. menerapkan konsep persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam memecahkan masalah nyata. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik memiliki sikap teliti, cermat, kritis, bertanggung jawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan Kuadrat

• •

• •

•

Mendeskripsikan persamaan kuadrat melalui kegiatan diskusi. Mengamati langkah-langkah menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc. Membuktikan rumus abc. Mengamati langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Melakukan kegiatan menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persaman kuadrat.

• • • • • •

Fungsi Kuadrat

Nilai Diskriminan, Rumus Jumlah, dan Hasil Kali Akar-Akar serta Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-akarnya

•

•

• •

•

Menemukan hubungan banyak penyelesaian persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan dengan mengamati tabel. Menemukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dengan mengamati tabel. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya. Membuktikan rumus jumlah dan hasil kali, dan selisih akar-akar persamaan kuadrat secara aljabar. Menemukan hubungan antara nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan jenis-jenis akarnya.

• • • •

•

•

Mendeskripsikan fungsi kuadrat. Menentukan unsur-unsur fungsi kuadrat. Menggambar grafik fungsi kuadrat Menyusun persamaan fungsi kuadrat jika diketahui unsurunsurnya. Menemukan hubungan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Menemukan hubungan antara perubahan nilai a, b, dan c pada fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dan perubahan grafiknya.

Memiliki sikap teliti, cermat, kritis, bertanggung jawab, konsisten, dan jujur sebagai hasil mempelajari materi persamaan dan fungsi kuadrat. Mampu menerapkan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam menyelesaikan masalah nyata. Mampu menentukan penyelesaian persamaan kuadrat. Mampu membuat sketsa grafik fungsi kuadrat. Mampu membuat model matematika dari permasalahan nyata yang berkaitan dengan persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dan menyelesaikannya. Mampu menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat jika diketahui unsur-unsurnya.

Matematika Kelas X

1

Jawaban: c Perhatikan langkah 3 dan 4 berikut.

A. Pilihan Ganda Jawaban: c x2 – 5x – 24 = 0 (x – 8)(x + 3) = 0 x – 8 = 0 atau x + 3 = 0 x = 8 atau x = –3 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x – 24 = 0 adalah x = –3 atau x = 8.

1.

6.

1

x = – 2 atau

5

1

13

25

7.

Jawaban: d 3x2 – 10x + 5 = 0 a = 3, b = –10, dan c = 5

= =

20x2 – 13x + 2 = 0 (5x – 2)(4x – 1) = 0 5x – 2 = 0 atau 4x – 1 = 0 5x = 2 atau 4x = 1 x=

atau

x=

10 r 40 6

x1 =

dan x2 =

1

x = 5 atau x = 4 .

x – 2 = ± 16 x–2=±4 x=2 ± 4 x = 2 + 4 atau x = 2 – 4 x=6 atau x = –2 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 3(x – 2)2 – 48 = 0 adalah {–2, 6}. 5.

Jawaban: a Untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat tersebut menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna, kedua ruas persamaan

1 (2

2

·

>

=

5 r 10 3

5 10 3

5 10 3

maka x1 =

5 10 3

.

5 10 3

=

10 2 10 3

=

5 3 10 3

)– –

5 10 3 5 10 3

5 3 10 3

.

Jawaban: a 8.

41

85

6= x + 2 x Kedua ruas persamaan dikalikan dengan x2. 6x2 = 41x + 85 2 6x – 41x – 85 = 0 Diperoleh a = 6, b = –41, c = –85 x1, 2 =

–b r b2 – 4ac 2a

=

–(–41) r (–41)2 – 4 · 6 · (–85) 2·6

=

41 r 1.681+ 2.040 2·6

=

41 3.721 12

(–12))2.


atau x2=

Jadi, nilai 2x1 – x2 =

1

ditambah dengan kuadrat dari 2 koefisien x, yaitu

10 r 2 10 6

5 10 3

5 10 3

2x1 – x2 = 2(

Jawaban: c 3(x – 2)2 – 48 = 0 3(x – 2)2 = 48 (x – 2)2 = 16

4.

=

5 10 3

Oleh karena

1 4

Jadi, penyelesaian dari 20x2 – 13x + 2 = 0 adalah 2

–b r b2 – 4ac 2a –( 10) r ( 10)2 – 4 · 3 · 5 2·3

x1, 2 =

Jawaban: a

10

= 2 + 4 . Jadi, Anindya mulai melakukan kesalahan pada langkah 4.

) + 3 · 7 = –1 + 21 = 20 2x1 + 3x2 = 2 · Jadi, nilai 2x1 + 3x2 = 20.

2 5

13

5

1 (– 2

3.

5

Langkah 4 salah karena seharusnya (x + 2 )2

x=7

Oleh karena x2 > x1, maka x1 = – 2 dan x2 = 7.

13

Langkah 4:(x + 2 )2 = 2 + 4

Jawaban: d 2x2 – 13x – 7 = 0 (2x + 1)(x – 7) = 0 2x + 1 = 0 atau x – 7 = 0

2.

5

Langkah 3: x2 + 5x + ( 2 )2 = 2 + ( 2 )2

=

41 r 61 12

41 61 12

x1 =

41 61 12

atau x2 =

102

20

1

2

x1 = 12 atau x2 = – 12 x1 = 8 2 atau x2 = –1 3

41

85

Jadi, penyelesaian persamaan 6 = x + 2 adalah x 1

2

x = 8 2 atau x = –1 3 . Jawaban: e Misalkan y = 2p + 3. 9. (2p + 3)2 + 3(2p + 3) – 10 = 0 y2 + 3y – 10 = 0 (y + 5)(y – 2) = 0 y + 5 = 0 atau y – 2 = 0 y = –5 atau y=2 2p + 3 = –5 atau 2p + 3 = 2 2p = –8 atau 2p = –1

p = –4 atau

p=

5

0 = 2 t2 + 80t – 800 0 = 5t2 + 160t – 1.600 0 = t2 + 32t – 320 t2 + 32t – 320 = 0 (t – 8)(t + 40) = 0 t – 8 = 0 atau t + 40 = 0 t = 8 atau t = –40 Oleh karena t = waktu maka t > 0 sehingga t = –40 tidak memenuhi. Jadi, nilai t yang memenuhi adalah 8. 12. Jawaban: e Misalkan: p = panjang persegi panjang A = lebar persegi panjang p

A

A

1 –2

r

1

Jawaban: b Luas permukaan = 208 10. 2 · (p · A + p · t + A · t) = 208 1

1

2(p · (p – 2) + p · 2 p + (p – 2) · 2 p) = 208

2(p2 – 2p + 2 p2 + 2 p2 – p) = 208 2(2p2 – 3p) = 208 2p2 – 3p = 104 2p2 – 3p – 104 = 0 (2p + 13)(p – 8) = 0 2p + 13 = 0 atau p – 8 = 0

1

13

p = – 2 atau p = 8 Oleh karena p = panjang maka p > 0 sehingga 13

p = – 2 tidak memenuhi. Panjang balok = p = 8 cm Lebar balok = p – 2 = 8 – 2 = 6 cm 1

1

11. Jawaban: a d = vt +

800 = 80 ×

800 = 80t + 2 t2

5

B

C

1

Jari-jari lingkaran = r = 2 p Keliling daerah yang diarsir = 120 cm p + CD + DA = 120 AB + BC 1

A + · (2Sr) + A + p = 120 2

p + 2AA + 2 · (2Sr) = 120

p + 2AA + 2 = 120

1

pS

pS

2AA = 120 – 2 – p

A = 60 – – 2 4

pS

p

Luas daerah yang diarsir = 364 cm2

Tinggi balok = 2 p = 2 × 8 = 4 cm Volume balok = 8 × 6 × 4 = 192 cm3 Jadi, volume balok tersebut 192 cm3. 1 2 at 2 1 t+2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {–4, – 2 }.

1

D

Luas ABCD – Luas 2 lingkaran = 364

p × A – 2 Sr2 = 364

p × (60 – 4 – 2 ) – 2 S( 2 p)2 = 364

× 5 × t2

1

1

pS

60p –

p

p2 S 4

1

– S

p2 2

1

1

– 8 Sp2 = 364 1

S

60p – p2( 4 + 2 + 8 ) = 364 60p – p2(

22 7

4

1

+2 +

22 7

8

) = 364

Matematika Kelas X

3

11

1

Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahu diperoleh garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

11

60p – p2( 14 + 2 + 28 ) = 364

60p – p2( 28 ) = 364

47

47

– 28 p2 + 60p – 364 = 0

1 2

Kedua ruas dikalikan –28. 47p2 – 1.680p + 10.192 = 0 Gunakan rumus abc. p1,2 =

1

Penyelesaiannya 2 d x d 5 Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan

b r b2 4ac 2a

1

–2x2 + 11x – 5 t 0 adalah {x| 2 d x d 5, x R}.

=

(1.680) (1.680)2 4 47 (1.092) 2 · 47

=

1.680 r 906.304 94

=

1.680 r 952 94

p1 =

1.680 952 94

= 94

= 28

p2 =

1.680 952 94

= 94 = 47

728

364

2.632

364

Jadi, panjang persegi panjang 47 cm atau 28 cm. 13. Jawaban: d 2x2 – 9x + 7 < 0 (2x – 7)(x – 1) < 0 Pembuat nol: (2x – 7)(x – 1) = 0 2x – 7 = 0 atau x – 1 = 0

15. Jawaban: d Biaya produksi x produk = 100.000 + 2.500x + 10x2 Hasil penjualan x produk = 5.000 × x = 5.000x Agar diperoleh laba, hasil penjualan > biaya produksi 5.000x > 100.000 + 2.500x + 10x2 0 > 100.000 + 2.500x + 10x2 – 5.000x 0 > 10x2 – 2.500x + 100.000 0 > x2 – 250x + 10.000 x2 – 250x + 10.000 < 0 (x – 50)(x – 200) < 0 Pembuat nol: (x – 50)(x – 200) = 0 x – 50 = 0 atau x – 200 = 0 x = 50 atau x = 200 Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahu diperoleh garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

7

5

50

x = 2 atau x=1 Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahu diperoleh garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

200

Penyelesaiannya 50 < x < 200. Jadi, perusahaan harus membuat produk antara 50 dan 200 buah. B. Uraian 1.

7 2

1

7

Penyelesaiannya 1 < x < 2 . Jadi, himpunan penyelesaian 2x2 – 9x + 7 < 0 adalah {x | 1 < x < 14.

7 , 2

x R}.

Pembuat nol: (2x – 1)(x – 5) = 0 2x – 1 = 0 atau x – 5 = 0

4

1

x = 2 atau

1

Kedua ruas ditambah dengan ( 2 · (–2))2 = 1.

x2 – 2x + 1 = 1 + 1 (x – 1)2 = 2

x–1=± 2

x = 1 + 2 atau x = 1 – 2 Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 adalah x = 1 + 2 atau

Jawaban: e –2x2 + 11x – 5 t 0 2x2 – 11x + 5 d 0 (2x – 1)(x – 5) d 0

Jawaban: a. x2 – 2x – 1 = 0 x2 – 2x = 1

x=5


x=1–

2.

b.

x2 – x – 6 = 0 x2 – x = 6

1

1

5

1

1

x2 – x + 4 = 6 + 4

(x – 2 )2 = 4

1

25 4

1

5

x– 2 = ±2 x=

1 2

= 3 atau x =

1 2

x=

+

5 2

±

5 2

–

5 2

x+

1 9

=

2 3

+

)]2

=

1 9

1 9

7

(x + 3 )2 = 9

7

5

18

13

5

13

8

atau x = – 12

3

2

x= 2 atau x = – 3 Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat

15x2 + 14x – 16 = 0 15x2 + 14x = 16 Kedua ruas dibagi dengan 15. 16

x=

7 1 3

14

Kedua ruas ditambah dengan ( 2 · ( 15 ))2 =

7 3

atau x =

7 1 3

atau x =

6x2 – 5x – 6 = 0 6x2 – 5x = 6 Kedua ruas dibagi dengan 6. x=1

e.

1

x=–3 ±

2x – 2 = 0 adalah x =

2

6x2 – 5x – 6 = 0 adalah x = 2 atau x = – 3 .

( 15 )2 = 225 .

–

13

x = 12

7 9

x=–3 ±

5

x = 12 ± 12

1

5 6

13

x – 12 = ± 12

1

x+ 3 =± 9

x2

5

14

7

7 1 3

Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat 3x2 +

d.

169

x – 12 = ± 144

x2 + 15 x = 15

1

5

3

1

169

x = 12 + 12 atau x = 12 – 12

2

1 2 Kedua ruas ditambah dengan [ 2 ( 3

x2 +

5

= –2

x2 + 3 x = 3

2 3

25

(x – 12 )2 = 144

Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat x2 – x – 6 = 0 adalah 3 atau –2. 3x2 + 2x – 2 = 0 3x2 + 2x = 2 Kedua ruas dibagi dengan 3. 2

25

x2 – 6 x + 144 = 1 + 144

x– 2 =±

5

25

1

c.

1

25

= (– 12 )2 = 144 .

Kedua ruas ditambah dengan ( 2 (–1))2 = 4 .

1 2

5

Kedua ruas ditambah dengan [ 2 · (– 6 )]2

7 1 . 3

49

14

49

16

49

7

289

x2 + 15 x + 225 = 15 + 225

(x + 15 )2 = 225 7

289

x + 15 = ± 225

x + 15 = ± 15

7

17

7

17

7

17

x = – 15 ± 15 7

17

x = – 15 + 15 atau x = – 15 – 15 10

x = 15 2

24

atau x = – 15 8

x= 3 atau x = – 5 Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat 2

8

15x2 + 14x – 16 = 0 adalah x = 3 atau x = – 5 . Matematika Kelas X

5

Ja aba a. x2 + 3x – 2 = 0 a = 1, b = 3, c = –2 b2 – 4ac = 32 – 4 · 1 · (–2) =9+8 = 17

2.

b r b2 4ac 2a

x1,2 =

=

d.

–24x2 + 30x – 7 = 0 a = –24, b = 30, c = –7

3 r 17 2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 3 17 2

x2 + 3x – 2 = 0 adalah b.

atau

.

4 r 24 4

=

4r2 6 4

=1±

1 2

6

3.

1 +2

6 atau 1 –

1 2

2x2

a.

– 4x

6.

=

30 r 228 2 · (24)

=

30 r 2 57 2 · (24)

15 57 24

=

15 r 57 24

atau x2 =

15 57 24

1

1

adalah 24 (15 – 57 ) dan 24 (15 + 3x2 + 5x – 2 t 0 (3x – 1)(x + 2) t 0 Pembuat nol: (3x – 1)(x + 2) = 0 3x – 1 = 0 atau x + 2 = 0

1

x = 3 atau

57 ).

x = –2


b r b2 4ac 2a

=

10 r 102 4 · 10 · (3) 2 · 10

=

10 r 100 120 2 · 10

=

10 r 220 20

Penyelesaiannya x d –2 atau x t 3 .

=

10 r 2 55 20

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan

=

5 r 55 10

x1 =

1

1

b.

5 55 10

5 55 10

1 3

–2

1

= 10 ( 55 – 5) atau 1

= – 10 ( 55 + 5)

Jadi, akar-akar persamaan 10x2 + 10x – 3 = 0 1

adalah ( 55 – 5) atau – 10 ( 55 + 5).

6

30 r 900 672 2 · (24)

1

10x2 + 10x – 3 = 0 a = 10, b = 10, c = –3

x2 =

=

1

– 1 = 0 adalah 1

x1, 2 =

30 r 302 4 · (24) · (7) 2 · (24)

x1 = 24 (15 – 57 ) atau x2 = 24 (15 + 57 ) Jadi, akar-akar persamaan –24x2 + 30x – 7 = 0

b r b2 4ac 2a

=

=

x1 =

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat

c.

3 17 2

2x2 – 4x – 1 = 0 a = 2, b = –4, c = –1 b2 – 4ac = (–4)2 – 4 · 2 · (–1) = 16 + 8 = 24 x1,2 =

b r b2 4ac 2a

x1, 2 =


{x| x d –2 atau x t 3 , x R}. (2x + 3)2 + 4x + 3 < 0 4x2 + 12x + 9 + 4x + 3 < 0 4x2 + 16x + 12 < 0 x2 + 4x + 3 < 0 (x + 3)(x + 1) < 0 Pembuat nol: (x + 3)(x + 1) = 0 x + 3 = 0 atau x + 1 = 0 x = –3 atau x = –1


–3

–1

Penyelesaiannya –3 < x < –1. Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan {x| –3 < x < –1, x R}. c.

2 (x 3

1

+ 2) + 1 d 3 (2x + 1) Kedua ruas dikalikan 3. 2

1

3 · 3 (x + 2) + 1 · 3 d 3 · 3 (2x + 1)2 2(x + 2) + 3 d 4x2 + 4x + 1 2x + 4 + 3 – 4x2 – 4x – 1 d 0 –4x2 – 2x + 6 d 0 2x2 + x – 3 t 0 (2x + 3)(x – 1) t 0 Pembuat nol: (2x + 3)(x – 1) = 0 2x + 3 = 0 atau x – 1 = 0

3

x = – 2 atau

3 2

3 2

10.000 t

buku. Mesin II dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu (t + 2) jam maka dalam waktu 1 jam 10.000

mesin I dapat mencetak t 2 buku. Dalam waktu 10 jam kedua mesin dapat mencetak 10.000 buku. Banyak buku yang dicetak selama 10 jam oleh mesin I dan mesin II = 10.000. 10 ·

10.000 t

atau x > 1.

1

1

1

1 t

1 t

1

+ t 2 = 10

t2

1

t

1

(t 2) t t(t 2)

1

· t 2 + t 2 · t = 10

= 10 10(2t +2) = t(t + 2) 20t + 20 = t2 + 2t t2 – 18t – 20 = 0 Diperoleh a = 1, b = –18, c = –20. b r b2 4ac 2a

=

18 r (18)2 4 · 1· (20) 2 ·1

{x| x d – 2 atau x > 1}.

=

18 r 324 80 2

(x – 3)2 > (3x + 5)2 (x – 3)2 – (3x + 5)2 > 0 ((x – 3) + (3x + 5))((x – 3) – (3x + 5)) > 0 (4x + 2)(–2x – 8) > 0 Pembuat nol: (4x + 2)(–2x – 8) = 0 4x + 2 = 0 atau –2x – 8 = 0

=

18 r 404 2

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3

d.

10.000

+ 10 · t 2 = 10.000

10 · 10.000 ( t + t 2 ) = 10.000

t1, 2 =

1

Penyelesaiannya x d –

Misalkan mesin I dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu t jam maka mesin II dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu (t + 2) jam. Mesin I dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu t jam maka dalam waktu 1 jam mesin I dapat mencetak

x=1


–

4.

x=

1 –2

atau

x = –4


–4

–

t1 = 9 +

=

18 r 2 101 2

=9±

101 atau t1 = 9 –

t1 = 19,049

101

101

atau t1 = –1,049

Oleh karena t menyatakan lama waktu maka t tidak negatif sehingga nilai t yang memenuhi adalah t = 19, 049 jam. a. Jadi, mesin I dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu t jam = 19, 049 jam. b. Jadi, mesin jenis kedua dapat mencetak 10.000 buku dalam waktu (t + 2) jam = (19, 049 + 2) jam = 21, 049 jam.

1 2

1

Penyelesaiannya x < –4 atau x > – 2 . Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1

{x| x < –4 atau x > – 2 }.

Matematika Kelas X

7

Ja aba Diketahui: t = tinggi kerucut semula = 3 cm Misalkan: r = panjang jari-jari semula V = volume mula-mula

5.

1

V1 – V = V2 – V S(r + 24)2 – Sr2 = 9Sr2 – Sr2 S(r + 24)2 = 9Sr2 (r + 24)2 = 9r2 2 r + 48r + 576 = 9r2 r2 + 48r + 576 – 9r2 = 0 –8r2 + 48r + 576 = 0

1

= 3 Sr2t = 3 Sr2 · 3 = Sr2 V1 = volume kerucut karena jari-jari bertambah 24 cm 1

1

= 3 S(r + 24)2t = 3 S(r + 24)2 · 3 = S(r + 24)2 V2 = volume kerucut karena tinggi bertambah 24 cm 1

1

Kedua ruas dikalikan – 8 .

1

1

= 3 Sr2 · 27 = 9Sr2 Perubahan volume karena jari-jari bertambah 24 cm = perubahan volume karena fungsi bertambah 24 cm.

1.

Jawaban: b Banyak penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan melihat nilai diskriminannya. 1) x2 + 6x + 3 = 0 a = 1, b = 6, c = 3 D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(3) = 36 – 12 = 24 Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian. 2) 2x2 – 2x + 5 = 0 a = 2, b = –2, c = 5 D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4(2)(5) = 4 – 40 = –36 Oleh karena D < 0, persamaan kuadrat 2x2 – 2x + 5 = 0 tidak mempunyai penyelesaian. 3) –4x2 + x + 3 = 0 a = –4, b = 1, c = 3 D = b2 – 4ac = 12 – 4(–4)(3) = 1 + 48 = 49 Oleh karena D > 0, persamaan kuadrat –4x 2 + x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian. Jadi, persamaan kuadrat 2) tidak mempunyai penyelesaian. 8


1

r2 – 6r –72 = 0 (r – 12)(r + 6) = 0 r – 12 = 0 atau r + 6 = 0 r = 12 atau r = –6 Oleh karena r merupakan jari-jari kerucut, nilai r tidak boleh negatif sehingga r = –6 tidak memenuhi. Nilai r yang memenuhi adalah r = 12. Jadi, panjang jari-jari semula adalah 12 cm.

= 3 Sr2(t + 24) = 3 Sr2(3 + 24)

A. Pilihan Ganda

1

– 8 · (–8r2 + 48r + 576) = – 8 · 0

2.

Jawaban: d Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar kembar jika D = 0. Persamaan kuadrat 2x2 + (p + 1)x + 8 = 0 maka a = 2, b = p + 1, dan c = 8. D = b2 – 4ac = 0 (p + 1)2 – 4 · 2 · 8 = 0 p2 + 2p + 1 – 64 = 0 p2 + 2p – 63 = 0 (p – 7)(p + 9) = 0 p – 7 = 0 atau p + 9 = 0 p = 7 atau p = –9 Persamaan kuadrat memiliki akar kembar jika p = 7 atau p = –9. Jadi, salah satu nilai p adalah 7.

3.

Jawaban: e Persamaan kuadrat px2 – 4x + p + 3 = 0 maka a = p, b = –4, dan c = p + 3. Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata(real) dan berbeda jika D > 0. D>0 b2 – 4ac > 0 2 (–4) – 4· p · (p + 3) > 0 16 – 4p2 – 12p > 0 –4p2 – 12p + 16 > 0 (4p – 4)(–p – 4) > 0 Pembuat nol: (4p – 4)(–p – 4) = 0 4p – 4 = 0 atau –p – 4 = 0

4

p = 4 atau p = 1 atau

6.

–p = 4 p = –4

Jawaban: a Persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 dengan D = 2E maka a = 2, b = m, dan c = 16. b

–

+ –4

c

DE = 2 2E · E = 8 E2 = 4 E=±2 Oleh karena E positif maka E = 2. D = 2E = 2 · 2 = 4

2

Jawaban: c Persamaan kuadrat x2 – 2px + 3p – 2 = 0 maka a = 1, b = – 2p, dan c = 3p – 2 . b

2p

3p 2 1

= 3p – 2

m

D+E=–2

m

x1 + x2 = – a = – 1 = 2p c

x1x2 = a =

4+2=–2

Jawaban: d Persamaan kuadrat 3x2 – 5x – 4 = 0 maka a = 3, b = –5, dan c = –4 . 5

b

4

+

4 x22

=

4[(x 2 x1)2 2x1 · x 2 ] (x1 · x 2 )2

=

4(x 2 x1)2 8x1 · x 2 (x1 · x 2 )2

=

5

4(x 2 2 x12 ) (x1 · x 2 )2

196

=

196 9 16 9

49

= 16 = 4 Jadi, nilai dari

4 x12

8.

Jawaban: a Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 adalah p dan q. 3

+

4 x22

5 2

5

=–2

(2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2 3

= 2 · (– 2 ) + 2

3

= –10 – 3 + 1 = –12 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1: x2 – [(2p + 1) + (2q + 1)]x + (2p + 1)(2q + 1) = 0 x2 – (–1)x + (–12 ) = 0 x2 + x – 12 = 0 Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah x2 + x – 12 = 0.

4

32 3

x1x2 = (2 + 3 )(2 – 3 ) = 4 – 3 = 1 Persamaan kuadratnya: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 x2 – 4x + 1 = 0

5

( 3 )2

3)=4

= 4 · (– 2 ) + 2 · (– 2 ) + 1

4

16 9

3 ) + (2 –

= –1 (2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1

4 · ( 3 )2 8 · ( 3 ) 100 9

x1 + x2 = (2 +

c

4x 2 2 4x12 x12 · x 2 2

=

Jawaban: a Akar-akar persamaan kuadrat: x1 = 2 + 3 dan x2 = 2 – 3

x1x2 = a pq =

4

=

=

7.

x1 + x2 = – a p + q = – 2

x1x2 = a = 3 = – 3 4 x12

6=– 2 m = –12 Jadi, nilai m = –12.

b

5

x1 + x2 = – a = – 3 = 3 c

m

x12 – 2x1x2 + x22 = 48 x12 + x22 – 2x1x2 = 48 2 ((x1 + x2) – 2x1x2) – 2x1x2 = 48 (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 48 (2p)2 – 4(3p – 2) – 48 = 0 4p2 – 12p – 40 = 0 p2 – 3p – 10 = 0 (p + 2)(p – 5) = 0 p + 2 = 0 atau p – 5 = 0 p = –2 atau p=5 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = –2 atau p = 5. 5.

16

x1x2 = a

1

Penyelesaiannya: –4 < p < 1 Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi adalah –4 < p < 1. 4.

m

x1 + x2 = – a D + E = – 2

–

49

adalah 4 . Matematika Kelas X

9

Jawaban: e 2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

9.

Diperoleh x1 + x2 =

6 –2

= –3 dan x1x2 =

3 2

B. Uraian 1.

.

b

3

x2 +

x

9 –2

18

c

x1x2 = a = 3 a.

x2 – (–3 + 2 )x + (–3) · 2 = 0 3 2

2

x1 + x2 = – a = – 3

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x1 + x2) dan (x1x2) adalah: x2 – ((x1 + x2) + (x1x2))x + (x1 + x2)(x1x2) = 0 3

3x2 + 2x – 18 = 0 maka a = 3, b = 2, dan c = –18.

= –6

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 2

=0

+ 3x – 9 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya 2x2 + 3x – 9 = 0. 2x2

b.

1 x12

+

1 x2

2

b

c.


x 22 x12 x12 x 2 2

=

12 9

x12 x 2 2 (x1 x 2 )2

112

28

= 9 36 = 81

( 6)2

2

2

= (– 3 )3 – 3(–6)(– 3 ) 8

= – 27 – 12

4

8

= –12 27 d.

c

(D +E) · (D –E) = 1 (D +E) · (D –E) = c . . . (4) Substitusikan D = 2 ke persamaan 2 untuk menentukan nilai E. D ·E= 6 2 ·E = 6 E = 3 Substitusikan D = 2 dan E = 3 ke persamaan (1 untuk menentukan nilai b. D +E= b 2 + 3 = b b = 5 Substitusikan D = 2 dan E = 3 ke persamaan (4 untuk menentukan nilai c. (D +E) · (D –E) = c ( 2 + 3) · (2 – 3) = c c = 5 · (–1) = –5 Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-aka x1 = b = 5 dan x2 = c = –5 adalah: x2 – (x1 + x2) x + x1x2 = 0 x2 – (5+ (–5)) x + 5 · (–5 ) = 0 x2 – 25 = 0 x2 – 52 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang mempunyai akar akar b dan c adalah x2 – 52 = 0.

10

x12 x12 x 22

+

= (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

x1 + x2 = – a (D +E) + (D –E) = – 1 2D = 4 D = 2 . . . (3) c

4

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x12x2 – 3x1x22

DE = 6 . . . (2) Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x + c = 0 adalah (D +E) dan (D –E).

x1x2 = a

x 22 x12 x 22

4

=

x1 + x2 = – a D +E = – 1 D6+E = b . . . (1) c x1x2 = a DE = 1

b

= =

10. Jawaban: c Akar-akar persamaan kuadrat x2 – bx + 6 = 0 adalah D dan E. b

4

= (– 3 )2 – 2 · (–6) = 9 + 12 = 12 9

x12 x2

+

x22 x1

=

x13 x1 x 2

=

x13 x 23 x1 x 2

+

x 23 x1 x 2

8

=

12 27 6

166

= 81 4

= 2 81 2.

a.

Persamaan kuadrat 2x2 – kx + 8 = 0 maka a = 2, b = –k, c = 8. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real jika D t 0. Dt0 b2 – 4ac t 0 2 (–k) – 4 · 2 · 8 t 0 k2 – 64 t 0 (k – 8)(k + 8) t 0 Pembuat nol: (k – 8)(k + 8) = 0 k – 8 = 0 atau k + 8 = 0 k = 8 atau k = –8


1 x1

+

1 x1

1 x2

=–

1

b

(2b 1) 1

= 2b + 1

. . . (3)

·x =1 =b 2 Perhatikan persamaan (3). –8

3.

8

1 x1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 – px – p – 6 = 0 x2 – px – (p + 6) = 0 adalah

+

1 x2

= 2b + 1

x 2 x1 x1x 2

= 2b + 1

x1 x 2 x1x 2

= 2b + 1

a 1 3 1 3

= 2b + 1

a 1 1

= 2b + 1

p

D dan E sehingga diperoleh D + E = – 1 = p dan (p 6) DE = = –(p + 6). 1 Akar-akar persamaan kuadrat 2qx2 – 5x + q – 2 = 0 1

1

adalah D dan E . 1)

1 D

5

1

1

1

DE DE

p (p 6)

2)

1 D

a – 1 = –2b – 1 a = –2b Perhatikan persamaan (4).

5

+ E = – 2q D + E = 2q

q2

1

q= 1 DE

· E = 2q

5

= 2q =

=

5 2q 5(p 6) 2p q2 2q q2

1

(p 6) = 2q

1 x1

. . . (2)

q2

= 2q

1 (p 6)

=

1 (p 6)

=

1 (p 6)

5(p 6) 2 2p § 5(p 6) · 2¨ ¸ 2p © ¹

5p 30 4p 10(p 6) 9p 30

= 10(p 6) 10 = –9p – 30 –9p = 40

40

40

p = 9 = – 9 Substitusikan p = –5 ke persamaan (1). q=

5(p 6) 2p

=

40 6) 9 40 2( 9 )

5(

40

14

=

5( 9 ) 40 2( 9 )

=

7 8

7

Jadi, nilai p = – 9 dan q = 8 . 4.

Persamaan kuadrat 3x2 – (a – 1)x – 1 = 0 akarakarnya x1 dan x2. (a 1) 3 1 1 x1x2 = 3 = 3

x1 + x2 = –

=

akarnya

dan

1 x2

. . . (1)

1 x2

=b

1 x1x 2

=b

1 1

= b b = –3

3

5.

Persamaan kuadrat 4x2 + bx + 4 = 0 b

x1 + x2 = – 4 4

x1x2 = 4 = 1 x1–1 + x2–1 =

1 x1

+

1 x2

=

x1 x 2 x1x 2

b

=

4 1

b

= –4

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) b

b

= (– 4 )3 – 3(1)(– 4 ) =

b3 64

3b

+ 4

x1–1 + x2–1 = 16(x13 + x23) b

– 4 = 16(–

–4 = –

b

b3 4

b3 64

3b

+ 4 )

+ 12b

–b = –b3 + 48b 3 b – b – 48b = 0 b3 – 49b = 0 b(b2 – 49) = 0 b(b – 7)(b + 7) = 0 b = 0 atau b = 7 atau b = –7 Jadi, nilai b adalah 0, 7 atau –7.

. . . (2)

Persamaan kuadrat 1 x1

a 1 3

·

Substitusikan b = –3 ke a = –2b. a = –2b = –2(–3) = 6 Jadi, nilai 2a + b = 2(6) + (–3) = 9.

. . . (1)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2): 1 (p 6)

. . . (4)

x2

– (2b + 1)x + b = 0 akar-

.

Matematika Kelas X

11

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: c f(x) = 2x2 – 7x – 5 f(2) = 2 · 22 – 7 · 2 – 5 = 8 – 14 – 5 = –11 Grafik fungsi f(x) melalui titik A(2, –11). f(–1) = 2 · (–1)2 – 7 · (–1) – 5 =2+7–5=4≠0 Grafik fungsi f(x) tidak melalui titik B(–1, 0). f(–4) = 2 · (–4)2 – 7 · (–4) – 5 = 32 + 28 – 5 = 55 Grafik fungsi f(x) melalui titik C(–4, 55). Jadi, grafik fungsi f(x) melalui titik A dan C. 2. Jawaban: b Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 – 2x – 12 ⇔ y = 2x2 – 2x – 12 1) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X jika y = 0. y=0 ⇔ 2x2 – 2x – 12 = 0 ⇔ 2(x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = –2 atau x=3 Titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X adalah (–2, 0) dan (3, 0). 2) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇒ y = 2 · 02 – 2 · 0 – 12 = –12 Titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu Y adalah (0, –12). Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut adalah (–2, 0), (3, 0), dan (0, –12). 3. Jawaban: e Fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5 maka a = 1, b = –4, dan c = –5. b

Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = – 2a dan D

yP = – 4a . b

xP = – 2a = D

yP = – 4a = –

−4 2 ·1

=2

b2 − 4ac 4a

(−4)2 − 4 · 1· (−5) 4 ·1

36

= – 4 = –9 Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat adalah ( 2, –9).

12

=–


4. Jawaban: b Fungsi kuadrat y = 5x2 – 20x + 1 maka a = 5, b = –20, dan c = 1. Persamaan sumbu simetri: b

x = – 2a = –

−20 2·5

=2

Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = 2. 5. Jawaban: d Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (xP, yP) adalah y = a(x – xP)2 + yP. Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (2, 1). Persamaan grafiknya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x – 2)2 + 1 Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, 5). Substitusikan x = 0 dan y = 5 ke dalam persamaan grafik. x = 0 dan y = 5 ⇒ y = a(x – 2)2 + 1 ⇔ 5 = a(0 – 2)2 + 1 ⇔ 5 = 4a + 1 ⇔ 4a = 4 ⇔ a=1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik. a = 1 ⇒ y = a(x – 2)2 + 1 = 1(x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 – 4x + 5 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah y = x2 – 4x + 5. 6. Jawaban: d Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalah y = a(x – x1) (x – x2). Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (–1 , 0) dan (3, 0). Persamaan grafiknya: y = a(x – x1) (x – x2) ⇔ y = a(x – (–1)) (x – 3) = a(x +1)(x – 3) Grafik fungsi kuadrat melalui titik ( 0, 6). Subsitusikan x = 0 dan y = 6 ke dalam persamaan grafik. x = 0 dan y = 6 ⇒ y = a(x +1)(x – 3) ⇔ 6 = a(0 +1)(0 – 3) ⇔ 6 = a · 1 · (–3) ⇔ a = –2 Substitusikan a = –2 ke dalam persamaan grafik. a = – 2 ⇒ y = a(x +1)(x – 3) = (–2)(x + 1)(x – 3) = –2x2 + 4x + 6 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah y = –2x2 + 4x + 6.

7. Jawaban: b Misalkan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut y = ax2 + bx + c. (1, –5) ⇔ –5 = a · 12 + b · 1 + c ⇔ –5 = a + b + c . . . (1) (2, –1) ⇔ –1 = a · 22 + b · 2 + c ⇔ –1 = 4a + 2b + c . . . (2) (–2, 7) ⇔ 7 = a · (–2)2 + b · (–2) + c ⇔ 7 = 4a – 2b + c . . . (3) Eliminasi c dari (1) dan (2). –5 = a + b + c –1 = 4a + 2b + c ––––––––––––––– – –4 = –3a – b ⇔ 4 = 3a + b . . . (4) Eliminasi c dari (1) dan (3). 7 = 4a – 2b + c –5 = a + b + c ––––––––––––––– – 12 = 3a – 3b ⇔ 4 = a – b . . . (5) Eliminasi b dari (4) dan (5). 4 = 3a + b 4=a–b –––––––––– + 8 = 4a ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 ke dalam persamaan (5). 4=a–b ⇔ 4=2–b ⇔ b = –2 Substitusi a = 2, b = –2, ke dalam persamaan (1). –5 = a + b + c ⇔ –5 = 2 + (–2) + c ⇔ –5 = c ⇔ c = –5 Diperoleh a = 2, b = –2, dan c = –5. Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya: y = ax2 + bx + c = 2x2 – 2x – 5 8. Jawaban: c Grafik fungsi kuadrat melalui titik (1, 0), (4, 0), dan (0, –4). Perhatikan (1, 0) dan (4, 0) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong s u m b u X d i ( x 1, 0 ) d a n ( x 2, 0 ) a d a l a h y = a ( x – x1)(x – x2). Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (1, 0) dan (4, 0), persamaannya: y = a(x – 1)(x – 4) Grafik fungsi melalui titik (0, –4). –4 = a · (0 – 1) · (0 – 4) ⇔ –4 = a · (–1) · (–4) ⇔ a = –1 Substitusi a = –1 ke dalam persamaan: y = –1(x – 1)(x – 4) = –1(x2 – 5x + 4) = –x2 + 5x – 4

Untuk x = 7, diperoleh: y = –72 + 5 · 7 – 4 = –18 Jadi, nilai f(7) = –18. 9. Jawaban: b y = px2 + (p + 2)x – p + 4 D = b2 – 4ac = (p + 2)2 – 4p(–p + 4) = p2 + 4p + 4 + 4p2 – 16p = 5p2 – 12p + 4 Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik jika D > 0. D>0 ⇔ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) > 0 Pembuat nol: (5p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ 5p – 2 = 0 atau p – 2 = 0 2

⇔

p = 5 atau p = 2 Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut. +

– 2 5

+ 2

Jadi, agar fungsi tersebut memotong sumbu X di 2

dua titik, batas-batas nilai p adalah p < 5 atau p > 2. 10. Jawaban: c Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c selalu terletak di atas sumbu X untuk a > 0 dan D < 0. Grafik fungsi kuadrat y = 3ax2 – 6x + 1 selalu terletak di atas sumbu X untuk 3a > 0 dan D < 0. 1) 3a > 0 ⇔ a > 0 . . . (1)

0

2)

D<0 ⇔

( −6)2 − 4 · 3a · 1 4 · 3a

<0

⇔

36 − 12a 12a

<0

Pembuat nol: a) 36 – 12a = 0 ⇔ a = 3 b) 12a = 0 ⇔ a = 0

0

Penyelesaian a>3

3

36 − 12a 12a

< 0 adalah a < 0 atau . . . (2)

Matematika Kelas X

13

3)

14. Jawaban: d h(t) = 30t – 5t2 = –5t2 + 30t h(t) merupakan fungsi kuadrat. Titik balik fungsi adalah (xP, yP).

Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalah

0

3

Nilai a yang memenuhi 3a > 0 dan D < 0 ⇔

2

( −6) − 4 · 3a · 1 4 · 3a

< 0 adalah a > 3.

Jadi, grafik fungsi kuadrat y = 3ax2 – 6x + 1 selalu terletak di atas sumbu X untuk nilai a > 3. 11. Jawaban: a Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c definit negatif jika a < 0 dan D < 0. f(x) = (m + 1)x2 – 2mx + (m – 3) a<0 ⇔ m+1<0 ⇔ m < –1 . . . (1)

b

xP = – 2a = –

=3

yP = h(3) = 30(3) – 5(3)2 = 90 – 45 = 45 Nilai maksimum fungsi h(t) adalah 45. Jadi, tinggi bola maksimum 45 m. 15. Jawaban: a Misalkan panjang halaman = x. Panjang kawat untuk pagar = 40 ⇔ 2 · panjang + lebar = 40 ⇔ 2x + lebar = 40 ⇔ lebar = 40 – 2x Sketsa pagar yang dibuat:

–1

D<0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

30 2( −5)

x

(–2m)2

– 4(m + 1)(m – 3) < 0 4m2 – 4(m2 – 2m – 3) < 0 4m2 – 4m2 + 8m + 12 < 0 8m + 12 < 0 8m < –12

40 – 2x

12

⇔

m<– 8

⇔

m<–2

x

3

. . . (2)

3

–2

Irisan penyelesaian (1) dan (2).

Luas halaman: L(x) = panjang · lebar = x · (40 – 2x) = –2x2 + 40x L(x) merupakan fungsi kuadrat dengan a = –2 dan b = 40. Titik balik fungsi kuadrat adalah (xP, yP). b

40

xP = – 2a = – 2 · (−2) = 10 3

–2

–1

3

Penyelesaiannya: m < – 2 3

Jadi, nilai m < – 2 menyebabkan fungsi kuadrat definit negatif. 12. Jawaban: c Pernyataan pada pilihan a, b, d, dan e benar. Grafik fungsi f(x) = 2 – x – x2 terbuka ke bawah sehingga f(x) mempunyai nilai minimum bilangan real yang sangat kecil (negatif tak hingga). Jadi, pernyataan yang tidak benar pilihan c. 13. Jawaban: d Grafik menghadap ke bawah, berarti a < 0. Grafik memotong sumbu Y di c negatif, berarti c < 0. Grafik tidak memotong sumbu X, berarti D < 0.

14


yP = L(xP) = L(10) = –2(10)2 + 40 · 10 = 200 Jadi, luas halaman terbesar yang dapat dipagari adalah 200 m2. B. Uraian 1. a. y = 3x2 – 12x + 2 Fungsi kuadrat y = 3x2 – 12x + 2 maka a = 3, b = –12, dan c = 2. b

Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = – 2a D

dan yP = – 4a . b

−12

xP = – 2a = – 2 · 3 = 2

D

yP = – 4a = –

b.

D

b2 − 4ac 4a

yP = – 4a = –

=

(−12)2 − 4 · 3 · 2 – 4·3

=

144 − 24 – 12

=

120 – 12

d.

b

D

4 − 140 −4

= – −4 = –34 Persamaan sumbu simetri : x = xP = 1 Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat adalah (1, –34). Oleh karena a = –1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah sehingga titik balik(1, –34) merupakan titik balik maksimum. Jadi, jenis nilai ekstremnya adalah nilai ekstrem maksimum. y = –5x2 – 25x + 1 Fungsi kuadrat y = –5x2 – 25x + 1 maka a = –5, b = –25, dan c = 1.

D

dan yP = – 4a .

b

1

D

b2 − 4ac 4a

D

yP = – 4a = –

= =

1 + 80 – 4

81 –4

b Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = – 2a

129

5

129

adalah (– 2 , 4 ). Oleh karena a = –1 < 0 maka grafik terbuka

81

atas sehingga titik balik (– 2 , – 4 ) merupakan titik balik minimum. Jadi, jenis nilai ekstremnya adalah nilai ekstrem minimum. y = –x2 + 2x – 35 Fungsi kuadrat y = –x2 + 2x – 35 maka a = –1, b = 2, dan c = –35.

2

−625 + 20 −20

Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat

81

xP = – 2a = – 2(−1) = −2 = 1

=–

5

adalah (– 2 , – 4 ). Oleh karena a =1 > 0 maka grafik terbuka ke

D

( −25)2 − 4 · (−5) · 1 4 · ( −5)

Persamaan sumbu simetri : x = xP = – 2

Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat

dan yP = – 4a .

=–

645

1

1

b2 − 4ac 4a

= – −20 = 4

Persamaan sumbu simetri : x = xP = – 2

2

5

xP = – 2a = – 2 · (−5) = – −10 = – 2

12 − 4 · 1· (−20) – 4 ·1

=

−25

−25

b

1

xP = – 2a = – 2 · 1 = – 2

b

=–

Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = – 2a

dan yP = – 4a .

c.

22 − 4 · (−1) · (−35) 4 · (−1)

b

Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = – 2a

1

=–

−136

= –12 Persamaan sumbu simetri : x = xP = 2 Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat adalah ( 2, –12). Oleh karena a = 3 > 0 maka grafik terbuka ke atas sehingga titik balik (2, –12) merupakan titik balik minimum. Jadi, jenis nilai ekstremnya adalah nilai ekstrem minimum. y = x2 + x – 20 Fungsi kuadrat y = x2 + x – 20 maka a = 1, b = 1, dan c = –20.

yP = – 4a = –

b2 − 4ac 4a

5

129

ke bawah sehingga titik balik (– 2 , 4 ) merupakan titik balik maksimum. Jadi, jenis nilai ekstremnya adalah nilai ekstrem maksimum. 2. a.

f(x) = x2 – 4x – 5 1) Grafik memotong sumbu X jika y = 0. x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x + 1 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = –1 atau x = 5

Matematika Kelas X

15

Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–1, 0) dan (5, 0). Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. y = f(0) = 02 – 4 · 0 – 5 = –5 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –5). Jadi, titik-titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut (–1, 0), (5, 0), dan (0, –5). 2)

−6

b

xP = – 2a = – 2 · (−1) = 3

3)

yP = f(xP) = (3 – 3)2 = 0 Koordinat titik puncak (3, 0). Sketsa grafik fungsi kuadrat: Y f(x) = (x – 3)2

Oleh karena a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP).

9

b

xP = – 2a −4

= – 2(1) =2

3)

yP = f(xP) = f(2) = 22 – 4(2) – 5 =4–8–5 = –9 Jadi, koordinat titik baliknya (2, –9). Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5: Y f(x) = x2 – 4x – 5 –1 0

2

5

X

–5

–9

b.

16

f(x) = (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 1) Grafik memotong sumbu X jika y = 0. y = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ (x – 3) = 0 ⇔ x=3 Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (3, 0). Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = x2 – 6x + 9 = 02 – 6(0) + 9 =9 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, 9). 2) Oleh karena a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP).


0

c.

X

6

3

f(x) = –x2 + 5x – 10 1) Grafik memotong sumbu X jika y = 0. y = –x2 + 5x + 10 D = 52 – 4 · (–1) · (–10) = 52 – 40 = –15 < 0 Oleh karena D < 0, grafik tidak memotong sumbu X. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = –x2 + 5x – 10 = 02 – 5 · 0 – 10 = –10 Titik potong grafik dengan sumbu Y, yaitu (0, 10). 2) Oleh karena a = –1 < 0, parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya maksimum. Koordinat titik puncak (xP, yP). b

xP = – 2a 5

= – 2 · (−1) 5

= 2 yP = f(xP) 5

5

= –( 2 )2 + 5 · 2 – 10 15

=– 4

5

15

Koordinat titik puncak ( 2 , – 4 ).

3)

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x – 10:

b.

Y 0

5 2

X

5

15

– 4

f(x) = –3x2 + 4x – 2 dengan daerah asal {x I –2 < x < 2, x ∈ R} Nilai-nilai ujung selang adalah x = –2 dan x = 2. Nilai-nilai fungsi di ujung selang: f(–2 ) = –3(–2)2 + 4(–2) – 2 = –12 – 8 – 2 = –22 f(2 ) = –3(2)2 + 4(2) – 2 = –12 + 8 – 2 = –6 D

Nilai ekstrem fungsi adalah yP = – 4a . D

yP = – 4a = –

–10

=–

f(x) = –x2 + 5x – 10

Nilai ekstrem fungsi adalah yP = D

yP = – 4a = – =

16 − 24 −8

2

= – −12 = – 3 Oleh karena a = –3 < 0 maka grafik terbuka 2

ke bawah sehingga nilai ekstrem yP = – 3 adalah nilai ekstrem maksimum. Pada daerah asal {x I –2 < x < 2, x ∈ R}, fungsi kuadrat f(x) = –3x2 + 4x – 2 mempunyai 2

nilai maksimum = yP = – 3 , nilai minimum

.

= f(–2) = –22, dan daerah hasil {f(x) l 2

2

b − 4ac 4a

c.

(−2)2 − 4 · (−10) · 3 – 4 · (−10)

4 + 120

= – −40 124

= – −40

–22 < f(x) < 3 , f(x) ∈ R}. f(x) = 2x2 – 7x – 15 dengan daerah asal {x I 1 < x < 5, x ∈ R} Nilai-nilai ujung selang adalah x = 1 dan x = 5. Nilai-nilai fungsi di ujung selang: f(1) = 2(1)2 – 7(1) – 15 = 2 – 7 – 15 = –20 f(5) = 2(5)2 – 7(5) – 15 = 50 – 35 – 15 = 0 D

Nilai ekstrem fungsi adalah yP = – 4a .

31

= 10 Oleh karena a = – 10 < 0 maka grafik terbuka 31

ke bawah sehingga nilai ekstrem yP = 10 adalah nilai ekstrem maksimum. Pada daerah asal {x I –1 < x < 3, x ∈ R}, fungsi kuadrat f(x) = – 10x 2 – 2x + 3 mempunyai nilai maksimum = yP =

31 , 10

nilai minimum = f(3 ) = –93, dan daerah hasil {f(x) l –93 < f(x) <

(4)2 − 4 · ( −3) · ( −2) 4 · ( −3)

= – −12

3. Jawaban: a. f(x) = –10x2 – 2x + 3 dengan daerah asal {x I –1 < x < 3, x ∈ R}. Nilai-nilai ujung selang adalah x = –1 dan x = 3. Nilai-nilai fungsi di ujung selang: f(–1 ) = –10(–1)2 – 2(–1) + 3 = –10 + 2 + 3 = – 5 f(3 ) = –10(3)2 – 2(3) + 3 = –90 – 6 + 3 = – 93 D – 4a

b2 − 4ac 4a

31 , 10

f(x) ∈ R}.

D

b2 − 4ac 4a (−7)2 − 4 · 2 · (−15) – 4·2

yP = – 4a = – =

49 + 120 8 169 – 8

=– =

Oleh karena a = 2 > 0 maka grafik terbuka ke 169

atas sehingga nilai ekstrem yP = – 8 nilai ekstrem minimum.

Matematika Kelas X

adalah

17

Pada daerah asal {x I 1 < x < 5, x ∈ R}, fungsi kuadrat f(x) = x2 – 7x – 15 mempunyai nilai

b.

169

maksimum = 0, nilai minimum = yP = – 8 , dan 169

daerah hasil {f(x) l – 8 < f(x) < 0, f(x) ∈ R}. 4. a.

b.

Fungsi kuadrat y = 3x2 – px – (p + 3) maka a = 3, b = –p, dan c = –(p + 3). Grafik fungsi kuadrat berikut menyinggung sumbu X jika D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 2 ⇔ (–p) – 4 · 3 · (–(p + 3)) = 0 ⇔ p2 + 12p + 36 = 0 ⇔ (p + 6)(p + 6) = 0 ⇔ p = –6 atau p = –6 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah –6.

–1

Fungsi kuadrat y = (1 – p)x2 – 4x – p maka a = (1 – p), b = –4 dan c = – p. Grafik fungsi kuadrat berikut menyinggung sumbu X jika D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 2 ⇔ (–4) – 4(1– p)( –p) = 0 ⇔ –4p2 + 4p + 16 = 0 ⇔ p2 – p – 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔

1

2)

3)

=

6. a.

3

= ±2 2 3

p= 2 ± 2 2 1

3

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 ± 2 2 . 5. a.

f(x) = –2x2 + (k + 5)x + (1 – 2k) maka a = –2, b = k + 5, dan c = 1 – 2k. Nilai maksimum fungsi kuadrat f(x) = ax2 + D

bx + c adalah yP = – 4a . Nilai maksimum fungsi kuadrat = –5 ⇔ ymaks = –5 ⇔

D

– 4a = –5

⇔–

(k + 5)2 − 4 · ( −2)(1 − 2k) 4 · ( −2)

= –5

⇔

k 2 + 10k + 25 + 8 − 16k 8

=5

⇔ k2 – 6k + 33 = 40 ⇔ k2 – 6k – 7 = 0 ⇔ (k + 1)(k – 7) = 0 ⇔ k = –1 atau k = 7 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = –1 atau k = 7.

18


0

Penyelesaiannya: k < –1 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k < –1, k ∈ R.

9 2

1

⇔

0

Penyelesaiannya: k < –1 atau k > 0 . . . (1) Fungsi kuadrat mempunyai grafik terbuka ke bawah jika a < 0. ⇔ k+1<0 ⇔ k < –1 . . . (2) Irisan 1) dan 2).

–1

1

(p – 2 )2 – 4 – 4 = 0 1 (p – 2 )2 1 p– 2

f(x) = (k + 1)x2 + 2kx – k maka a = k + 1, b = 2k, dan c = –k. 1) Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (2k) – 4(k + 1)(–k) > 0 ⇔ 4k2 + 4k2 + 4k > 0 ⇔ 8k2 + 4k > 0 ⇔ 4k(k + 1) > 0 Pembuat nol: 4k(k + 1) = 0 ⇔ 4k = 0 atau k + 1 = 0 ⇔ k = 0 atau k=1

b.

Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik (1, –4 ) dan melalui titik (2, –3). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (x P, y P) adalah y = a(x – xP)2 + yP. Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (1, –4 ). Persamaan grafiknya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x – 1)2 + (–4) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (2, –3). Substitusikan x = 2 dan y = –3 ke dalam persamaan grafik. x = 2 dan y = –3 ⇒ y = a(x – 1)2 + (–4) ⇔ –3 = a(2 – 1)2 + (–4) ⇔ –3 = a – 4 ⇔ a=1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik. a = 1⇒ y = a(x – 1)2 + (–4) = 1(x – 1)2 + (–4) = x2 – 2x + 1 – 4 = x2 – 2x – 3 Jadi, persamaan grafik fungsi adalah y = x2 – 2x – 3. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (3, 0) serta memotong di titik (0, –12). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalah y = a(x – x1) (x – x2).

c.

7. a.

Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (–4, 0) dan (3, 0). Persamaan grafiknya: y = a(x – x1) (x – x2) ⇔ y = a(x – (–4)) (x – 3) ⇔ y = a(x + 4)(x – 3) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, –12). Subsitusikan x = 0 dan y = –12 ke dalam persamaan grafik. x = 0 dan y = –12 ⇒ y = a(x + 4)(x – 3) ⇔ –12 = a(0 + 4)(0 – 3) ⇔ –12 = a (4) (– 3) ⇔ a=1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik. a = 1 ⇒ y = a(x + 4)(x – 3) = 1(x + 1)(x – 3) = x2 + x – 12 Jadi, persamaan grafik fungsi adalah y = x2 + x – 12. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (2, 5) dan (7, 40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat adalah x = 1 sehingga absis titik puncak adalah 1. Misalkan koordinat titik puncak adalah (1, q). Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (1, q). Persamaan grafiknya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x –1)2 + q Grafik fungsi kuadrat melalui titik melalui titik (2, 5) dan (7, 40): x = 2 dan y = 5 ⇒ y = a(x – 1)2 + q ⇔ 5 = a(2 – 1)2 + q ⇔5=a+q . . . .(1) 2 x = 7 dan y = 40 ⇒ y = a(x –1) + q ⇔ 40 = a(7 – 1)2 + q ⇔ 40 = 36a + q . . . .(2) Eliminasi q dari persamaan (1) dan (2): 40 = 36a + q 5 =a+q ––––––––––– – 35 = 35 a ⇔ a = 1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (1): a=1⇒5=a+q⇔5=1+q⇔q=4 Substitusikan a = 1 dan q = 4 ke dalam persamaan fungsi kuadrat. y = a(x – 1)2 + q ⇔ y = 1(x – 1)2 + 4 = x2 – 2x + 31 Jadi, persamaan grafik fungsi adalah y = x2 – 2x + 5. Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik (1, 8) dan melalui titik (0, 3). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (x P, y P) adalah y = a(x – xP)2 + yP.

Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (1, 8) . Persamaan grafiknya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x – 1)2 + 8 Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, 3). Substitusikan x =0 dan y = 3 ke dalam persamaan grafik. x = 0 dan y = 3 ⇒ y = a(x – 1)2 + 8 ⇔ 3 = a(0 – 1)2 + 8 ⇔ 3 =a+8 ⇔ a = –5 Substitusikan a = –5 ke dalam persamaan grafik. a = –5 ⇒ y = a(x – 1)2 + 8 ⇔ y = –5(x – 1)2 + 8 ⇔ y = –5x2 + 10x – 5 + 8 ⇔ y = –5x2 + 10x + 3 Jadi, persamaan grafik fungsi adalah y = –5x2 + 10x + 3. b.

Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (–3, 0) dan (6, 0) serta memotong di titik (0, –4). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalah y = a(x – x1)(x – x2). Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (–3, 0) dan (6, 0). Persamaan grafiknya: y = a(x – x1)(x – x2) ⇔ y = a(x – (–3))(x – 6) ⇔ y = a(x + 3)(x – 6) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, –4). Subsitusikan x = 0 dan y = –4 ke dalam persamaan grafik. x = 0 dan y = –4 ⇒ y = a(x + 3)(x – 6) ⇔ –4 = a(0 + 3)(0 – 6) ⇔ –4 = a (3)(– 6) ⇔

−4

2

a = −18 = 9

2

Substitusikan a = 9 ke dalam persamaan grafik. 2

a = 9 → y = a(x +3)(x – 6) 2

= 9 (x + 3)(x – 6) 2

2

= 9 x2 – 3 x – 4 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar 2

2

adalah y = 9 x2 – 3 x – 4. c.

Misalkan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut. y = ax2 + bx + c Grafik fungsi kuadrat melalui titik (–1, 1), (0, –7), dan (2, –5).

Matematika Kelas X

19

(–1, 1) ⇔ 1 = a · (–1)2 + b · (–1) + c ⇔ 1=a–b+c . . . (1) (0, –7) ⇔ –7 = a · 02 + b · 0 + c ⇔ –7 = c . . . (2) (2, –5) ⇔ –5 = a · 22 + b · 2 + c ⇔ –5 = 4a + 2b + c . . . (3) Substitusi (2) ke dalam persamaan (1). 1=a–b+c ⇔ 1=a–b–7 ⇔ 8=a–b . . . (4) Substitusi (2) ke dalam persamaan (3). –5 = 4a + 2b + c ⇔ –5 = 4a + 2b – 7 ⇔ 2 = 4a + 2b ⇔ 1 = 2a + b . . . (5) Eliminasi b dari (4) dan (5). 1 = 2a + b 8 =a–b –––––––– + 9 = 3a ⇔ a = 3 Substitusi a = 3 ke dalam persamaan (4). 8=a–b ⇔ 8=3–b ⇔ b = –5 Diperoleh a = 3, b = –5, dan c = –7. y = ax2 + bx + c = 3x2 – 5x – 7 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah y = 3x2 – 5x – 7. b

b.

Y 5

0

9. a.

sumbu Y. Gunakan cara tersebut untuk menggambar grafik berikut. a. f(x) = x2 – 4x – 1 b. f(x) = –x2 + 6x – 4 Jawaban: a. f(x) = x2 – 4x – 1 = x2 – 4x + 4 – 5 = (x – 2)2 + (–5) Grafik f(x) = (x – 2)2 + (–5) dapat diperoleh dengan menggeser grafik g(x) = x 2 sejauh 2 satuan searah sumbu X dilanjutkan menggeser sejauh (–5) satuan searah sumbu Y. Y y=

x2

y = (x – 2)2 y = (x – 2)2 + (–5) 0

2

–5

20


X

h(t) = 60t – 7,5t2 Peluru mencapai maksimum untuk b2 − 4ac 4a

D

h(t) = – 4a = – =– b.

602 − 4 ⋅ ( −7,5) ⋅ 0 4 · ( −7,5)

=

−(3.600) −30

= 120

Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter. Waktu yang diperlukan sehingga mencapai tinggi maksimum: −60

−b

D

) satuan searah

y = –(x – 3)2

y = –x2

t = 2a ⇔ t = 2(−7,5) ⇔ t = 4 Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.

b

D dilanjutkan menggeser sejauh (– 4a

X

3

y = –(x – 3)2 + 5

8. Grafik fungsi f(x) = a(x – (– 2a ))2 + (– 4a ) dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi f(x) = ax2 sejauh (– 2a ) satuan searah sumbu X

f(x) = –x2 + 6x – 4 ⇔ f(x) = –x2 + 6x – 9 + 5 ⇔ f(x) = –(x2 – 6x + 9) + 5 ⇔ f(x) = –(x – 3)2 + 5 Grafik f(x) = –(x – 3)2 + 5 dapat diperoleh dengan menggeser grafik g(x) = –x2 sejauh 3 satuan searah sumbu X dilanjutkan menggeser 5 satuan searah sumbu Y.

10. a.

1

Luas ∆AEF = 2 · AE · AF 1

= 2 · x · (8 – 2x) = 4x – x2 1

Luas ∆EBC = 2 · EB · BC 1

= 2 · (8 – x) · 8 = 32 – 4x 1

b.

c.

1

Luas ∆CDF = 2 · CD · DF = 2 · 8 · 2x = 8x L∆CEF = LABCD – L∆AEF – L∆EBC – L∆CDF = 64 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x = 64 – 4x + x2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x2 Luas segitiga CEF: L(x) = 32 – 8x + x2 Luas minimum: D

Lmin = – 4a = – =–

64 − 128 4

( −8)2 − 4 · 1· 32 4 ·1

64

= 4 = 16

Jadi, luas minimum segitiga CEF adalah 16 cm2.

A. 1.

2.

Pilihan Ganda Jawaban: d x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 4) = 0 ⇔ x + 1 = 0 atau x – 4 = 0 ⇔ x = –1 atau x = 4 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 4 dan x2 = –1. Jadi, nilai dari 2x1 + 5x2 = 2 · 4 + 5 · (–1) = 8 – 5 = 3.

–2

Penyelesaiannya x < –2 atau x > 5. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –2 atau x ≥ 5. 5.

Jawaban: c 2x2 + 4x – 5 = 0 a = 2, b = 4, c = –5 D = b2 – 4ac = 42 – 4 · 2 · (–5) = 16 + 40 = 56 x1,2 =

−4 ± 56 2(2)

=

−4 ± 2 14 4

b

1

x = –1 ± 2 14 . Jawaban: d –x2 + 4x + 5 ≤ 0 ⇔ (–x + 5)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: ⇔ (–x + 5)(x + 1) = 0 ⇔ –x + 5 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –1

2

6.

Jawaban: b Persamaan kuadrat: 2x2 – 3x + 5 = 0 mempunyai akar-akar α dan β. −3

b

5

Penyelesaiannya x ≤ –1 atau x ≥ 5. Jadi, himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 5}. 4.

α+β=– 1 =1–a

c

1

–1

a −1

⇔

x1x2 = a ⇔ αβ = 1 ⇔ (2β)(β) = 2 ⇔ 2β2 = 2 ⇔ β2 = 1 ⇔ β = ±1 ⇔ β = 1 atau β = –1 Untuk β = 1 diperoleh α = 2β = 2 · 1 = 2. α+β=1–a ⇔ 2+1=1–a ⇔ 2 + 1 – 1 = –a ⇔ 2 = –a ⇔ a = –2 Untuk β = –1 diperoleh α = 2β = 2 · (–1) = –2 α+β=1–a ⇔ –2 + (–1) = 1 – a ⇔ –2 + (–1) = –a ⇔ –4 = –a ⇔ a=4 Oleh karena nilai a > 0, nilai a yang memenuhi a = 4. Jadi, nilai a = 4.

= –1 ± 2 14 Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat tersebut

3.

Jawaban: c Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β dengan α = 2β. x1 + x2 = – a

−b ± D 2a

=

5

Jawaban: b x(x + 3) – 6 ≥ 6x + 4 ⇔ x2 + 3x – 6 ≥ 6x + 4 ⇔ x2 – 3x – 10 ≥ 0 ⇔ (x – 5)(x + 2) ≥ 0 Pembuat nol: (x – 5)(x + 2) = 0 ⇔ x – 5 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –2

3

α + β =–a =– 2 = 2 c

5

αβ = a = 2 α β

+

β α

=

α 2 + β2 αβ

=

(α + β)2 − 2αβ αβ

= = Jadi, nilai

3    2

9 4

α β

2

− 2  5 

−5 5 2

+

 2

5 2

4

· 4 = β α

9 − 20 10

11

= – 10

11

= – 10 . Matematika Kelas X

21

7. Jawaban: a Persamaan kuadrat 2x2 – 4x – 1 = 0 akar-akarnya x1 dan x2. a = 2, b = –4, c = –1 −4

b

x1 + x2 = – a = – 2 = 2 c

1

x1x2 = a = – 2 Persamaan kuadrat baru akar-akarnya 2x1 dan 2x2. 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2 · 2 = 4

Untuk α – β = –2: (α + β)(α – β) = c2 ⇔ –b1(–2) = c2 ⇔ 2 b1= c2 Rasio c2 : b1 = 2b1: b1 = 2 : 1 Jadi, rasio c2 : b1 yang mungkin adalah 2 : 1. 2)

10. Jawaban: c Jika α dan β adalah akar-akar dari x2 – (k + 1)x + (k + 3) = 0 mempunyai akar-akar α dan β dengan β = 2α maka diperoleh: α+β=–

−(k + 1) 1

⇔ ⇔

1

2x1 2x2 = 4x1x2 = 4 · (– 2 ) = –2 Persamaan kuadrat barunya x2 – (2x1 + 2x2)x + 2x1 · 2x2 = 0 ⇔ x2 – 4x + (–2) = 0 ⇔ x2 – 4x – 2 = 0 Jadi, persamaan kuadrat barunya x2 – 4x – 2 = 0. 8. Jawaban: b x2 – 6x + 3 = 0 a = 1, b = –6, c = 3 α+β=– c

b a

=–

−6 1

3

9. Jawaban: a Persamaan kuadrat x2 + b1x + c1 = 0 mempunyai akar-akar α dan β maka diperoleh: . . .(1) α + β = –b1 αβ = c1 . . .(2) Persamaan kuadrat x2 + b2x + c2 = 0 mempunyai akar-akar α + β dan α – β maka diperoleh: α + β + α – β = –b2 ⇔ 2α = –b2 . . .(3) (α + β)(α – β) = c2 . . .(4) Diketahui (α – β)2 = 4 ⇔ α – β = ±2 1) Untuk α – β = 2: (α + β)(α – β) = c2 ⇔ –b1(2) = c2 Rasio c2 : b1 = –b1(2) : b1 = –2 : 1

22

αβ =

k+3 1


3α = k + 1 k = 3α – 1 . . . (1)

⇔

α · 2α = k + 3

⇔ 2α2 = k + 3 ⇔ k = 2α2 – 3 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 2α2 – 3α – 2 = 0 k = 3α – 1 = 2α2 – 3 ⇔ ⇔ (2α + 1)(α – 2) = 0 1

⇔ α1 = – 2 atau α2 = 2

=6

αβ = a = 1 = 3 (3α + 1) + (3β + 1) = 3α + 3β + 2 = 3(α + β) + 2 = 3(6) + 2 = 18 + 2 = 20 (3α + 1)(3β + 1) = 3α(3β + 1) + (3β + 1) = 9αβ + 3α + 3β + 1 = 9αβ + 3(α + β) + 1 =9·3+3·6+1 = 27 + 18 + 1 = 46 Jadi, persamaan kuadrat barunya x2 – ((3α + 1) + (3β + 1))x + ((3α + 1)(3β + 1)) = 0 ⇔ x2 – 20x + 46 = 0.

⇔ α + 2α = k + 1

1

1

5

α1 = – 2 ⇒ k = 3 · (– 2 ) – 1= – 2 α2 = 2

⇒k=3·2–1=5 5

Jadi, nilai k adalah 5 atau – 2 . 11. Jawaban: a Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda jika D > 0. (n – 1)2 – 4 · (4 – n) > 0 ⇔ n2 – 2n + 1 – 16 + 4n > 0 ⇔ n2 + 2n – 15 > 0 ⇔ (n + 5)(n – 3) > 0 Pembuat nol: (n + 5)(n – 3) = 0 ⇔ n + 5 = 0 atau n – 3 = 0 ⇔ n = –5 atau n = 3 Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

–5

3

Jadi, nilai n yang memenuhi n < –5 atau n > 3. 12. Jawaban: e 1) Syarat agar akar persamaan kuadrat real adalah D > 0 D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 2 ⇔ q – 4 · p · (1 – p) > 0 ⇔ q2 – 4p + 4p2 > 0 . . . (1)

2)

Syarat agar kedua akar saling berkebalikan adalah x1x2 = 1 1− p p

x1x2 = 1 ⇔

⇔

=1

p=

Substitusikan p = diperoleh: 1

1 2

. . . (2)

1

q2 – 4( 2 ) + 4( 2 )2 > 0 ⇔ q2 – 2 + 1 > 0 ⇔ q2 – 1 > 0 ⇔ (q – 1)(q + 1) > 0 Pembuat nol: (q – 1)(q + 1) = 0 ⇔ q – 1 = 0 atau q + 1 = 0 ⇔ q = 1 atau q = –1 Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

1

Penyelesaiannya q < –1 atau q > 1 Jadi, nilai q haruslah q < –1 atau q > 1.

36 cm

(36 – 2x) cm

x 45 cm

Luas daerah berbayang 1.036 cm2, berarti: (45 – 2x)(36 – 2x) = 1.036 ⇔ 1.620 – 162x + 4x2 = 1.036 ⇔ 4x2 – 162x + 584 = 0 ⇔ 2x2 – 81x + 292 = 0 ⇔ (2x – 73)(x – 4) = 0 ⇔ 2x – 73 = 0 atau x – 4 = 0 ⇔

73

73

Lebar bingkai 2 = 36,5 cm tidak mungkin. Jadi, lebar bingkai 4 cm. C (20 – x) x A

D

⇔ x2 – 10x + 48 = 0 2 ⇔ x2 – 20x + 96 = 0 ⇔ (x – 8)(x – 12) = 0 ⇔ (x – 8)(x – 12) = 0 ⇔ x = 8 atau x = 12 Penyelesaiannya x = 8 atau x = 12 Panjang AD = 8 atau panjang AD = 12. Jadi, salah satu nilai yang memenuhi adalah 12 cm. 15. Jawaban: d Misalkan bilangan I adalah x dan bilangan II adalah (32 – x). 1 x

1

2

+ 32 − x = 15

⇔

32 − x + x x(32 − x)

= 15

⇔

32 x(32 − x)

= 15

⇔

x(32 – x) =

2 2

32 × 15 2

16. Jawaban: c Grafik memotong sumbu X jika f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ (x – 1)2 – 4 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 4 ⇔ x – 1 = ±2 ⇔ x=1±2 ⇔ x = 3 atau x = –1 Jadi, titik potongnya (–1, 0) dan (3, 0).

x = 2 = 36,5 atau x = 4

14. Jawaban: c Diketahui: AC = BC = 20 cm Panjang CE = AD = x cm CD = BE = 20 – x

1

200 – 10x + 2 x2 = 152

⇔ x(32 – x) = 240 ⇔ –x2 + 32x – 240 = 0 ⇔ x2 – 32x + 240 = 0 ⇔ (x – 12)(x – 20) = 0 ⇔ x – 12 = 0 atau x – 20 = 0 ⇔ x = 12 atau x = 20 Untuk bilangan I = x = 12 maka bilangan II = 32 – x = 32 – 12 = 20 sehingga selisihnya = 20 – 12 = 8 Untuk bilangan I = x = 20 maka bilangan II = 32 – x = 32 – 20 = 12 sehingga selisihnya = 20 – 12 = 8 Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 8.

13. Jawaban: c Misalkan lebar bingkai = x cm.

(45 – 2x) cm

1

· 20 · 20 – 2 · x · (20 – x) = 152 1

1 2

ke dalam persamaan (1),

–1

1 2

⇔

⇔ 1–p=p ⇔ 1 = 2p ⇔

Luas ABED > 50 ⇔ Luas ABC – luas DCE = 152

x

17. Jawaban: b 1) Kurva memotong sumbu X jika y = 0. y=0 ⇔ 3x2 – 5x – 2 = 0 ⇔ (3x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ 3x + 1 = 0 atau x – 2 = 0

E

⇔

(20 – x) B

1

x = – 3 atau x = 2

1

Titik potong dengan sumbu X adalah (– 3 , 0) dan (2, 0). Matematika Kelas X

23

2)

Kurva memotong sumbu Y jika x = 0. y = 3x2 – 5x – 2 = 3 · 02 – 5 · 0 – 2 = –2 Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, –2). Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu X dan

21. Jawaban: b Y f(x)

1

sumbu Y adalah (– 3 , 0), (2, 0), dan (0, –2). 18. Jawaban: a f(x) = –2x2 – 4x + 5 a = –2, b = –4, c = 5 Koordinat titik balik (xP, yP).

X

0

f(x) = mx2 + (2m – 3)x + m + 3 a>0 ⇔m>0

b

xP = – 2a −4

D<0 ⇔ (2m – 3)2 – 4m(m + 3) < 0 2 ⇔ 4m – 12m + 9 – 4m2 – 12m < 0 ⇔ –24m + 9 < 0

= –1 yP = f(xP) = f(–1) = –2 · (–1)2 – 4 · (–1) + 5 =7 Jadi, koordinat titik baliknya (–1, 7). 19. Jawaban: d f(x) = x2 + 4x + 4 a = 1 > 0 → parabola terbuka ke atas b 2a

=

4 –2

−9

⇔

m > −24

⇔

m> 8

3

= –2

Irisan penyelesaian (1) dan (2).

3

b

grafik fungsi kuadrat yaitu x = – 2a . Oleh karena +

nilai a > 0 dan b > 0 maka x = – 2a = – + = –. Absis bernilai negatif sehingga titik puncak berada di kiri sumbu Y. Nilai c menentukan ordinat koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu Y. Oleh karena nilai c > 0 maka grafik memotong sumbu Y positif. Nilai diskriminan menentukan banyak titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Oleh karena nilai b2 – 4ac > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik. Grafik yang memenuhi nilai-nilai a > 0 , b > 0 , c > 0 dan b2 – 4ac > 0 adalah grafik pada pilihan b.


3 8

0

20. Jawaban: b Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan a > 0 , b > 0 , c > 0 dan b2 – 4ac > 0. Nilai a menentukan arah terbuka grafik fungsi kuadrat. Oleh karena nilai a > 0 maka grafik terbuka ke atas. Nilai b menentukan absis koordinat titik puncak

b

. . . (2)

3 8

Nilai minimum: f(–2) = (–2)2 + 4 · (–2) + 4 =4–8+4 =0 Koordinat titik balik minimum (–2, 0). Grafik yang sesuai pada pilihan d.

24

. . . (1)

0

= – 2 · (−2)

Sumbu simetri: x = –

Grafik fungsi kuadrat berada di atas sumbu X jika grafik terbuka ke atas (a > 0) dan grafik tidak memotong sumbu X (D < 0).

Penyelesaiannya: m > 8 Jadi, grafik fungsi f(x) berada di atas sumbu X 22. Jawaban: e −b

(a − 3)

= –1 Sumbu simetri x = 2a = –1 ⇔ – 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2a + 4 ⇔ a = –7 Fungsi kuadrat f(x) = (–7 + 2) x2 + (–7 – 3) x – 20 ⇔ f(x) = –5x2 – 10x – 20 Oleh karena nilai koefisien x2 adalah –5 < 0, grafik fungsi mempunyai nilai maksimum. Nilai ekstrem: f(–1) = –5(–1)2 – 10(–1) – 20 = –5 + 10 – 20 = –15 Jadi, nilai ekstrem fungsi kuadrat tersebut maksimum –15. 23. Jawaban: c Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (–3, 0) dan (2, 0) serta memotong di titik (0, –12). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalah y = a(x – x1) (x – x2).

Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di (–3, 0) dan (2, 0) Persamaan grafiknya: y = a(x – x1) (x – x2) ⇔ y = a(x – (–3)) (x – 2) ⇔ y = a(x + 3)(x – 2) grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, –12). Subsitusikan x = 0 dan y = –12 pada persamaan grafik. x = 0 dan y = –12 ⇒ y = a(x + 3)(x – 2) ⇔ –12 = a(0 + 3)(0 – 2) ⇔ –12 = a · (3) · (–2) ⇔

−12

a = −6 = 2 Substitusikan a = 2 pada persamaan grafik. a = 2 ⇒ y = a(x + 3)(x – 2) = 2(x + 3)(x – 2) = 2x2 + 2x – 12 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah y = 2x2 + 2x – 12. 24. Jawaban: e Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (xP, yP) adalah y = a(x – xP)2 + yP. Grafik fungsi kuadrat di samping mempunyai titik puncak (1, –1) . Persamaan grafiknya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x – 1)2 + (–1) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, –2). Substitusikan x = 0 dan y = –2 pada persamaan grafik. x = 0 dan y = –2 ⇒ y = a(x – 1)2 + (–1) ⇔ –2 = a(0 – 1)2 – 1 ⇔ –2 = a – 1 ⇔ a = –1 Substitusikan a = –1 pada persamaan grafik. a = –1 ⇒ y = a(x – 1)2 – 1 = –1(x – 1)2 – 1 = –x2 + 2x – 1 – 1 = –x2 + 2x – 2 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah y = –x2 + 2x – 2. 25. Jawaban: c Misalkan fungsi kuadrat tersebut f(x) = ax2 + bx + c. f(2) = 0 ⇔ 22a + 2b + c = 0 ⇔ 4a + 2b + c = 0 . . . (1) f(4) = 0 ⇔ 42a + 4b + c = 0 ⇔ 16a + 4b + c = 0 . . . (2) f(2) = f(4) = 0 artinya grafik fungsi memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (4, 0). Oleh karena sumbu simetri adalah x =

2+4 2

=3

dan nilai maksimum 5, grafik fungsi berpuncak di titik (3, 5) atau f(3) = 5. f(3) = 32a + 3b + c ⇔ 5 = 32a + 3b + c ⇔ 5 = 9a + 3b + c . . . (3)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 4a + 2b + c = 0 16a + 4b + c = 0 ––––––––––––––– – –12a – 2b = 0 ⇔ –12a = 2b ⇔ –6a = b ⇔ b = –6a Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3). 16a + 4b + c = 0 9a + 3b + c = 5 –––––––––––––– – 7a + b = –5 . . . (4) Substitusikan b = –6a ke dalam persamaan (4). 7a + b = –5 ⇔ 7a + (–6a) = –5 ⇔ a = –5 Substitusikan a = –5 ke persamaan b = –6a. b = (–6) · (–5) = 30 Substitusi a = –5 dan b = 30 ke dalam persamaan (1). 4a + 2b + c = 0 ⇔ 4 · (–5) + 2 · (30) + c = 0 ⇔ –20 + 60 + c = 0 ⇔ c = –40 Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = –5x2 + 30x – 40. 26. Jawaban: b f(x) = ax2 + bx + c Diketahui f(0) = 3, f(3) = 0, dan f(4) = –5. f(0) = 3 ⇔ a(0)2 + b(0) + c = 3 ⇔ c =3 f(3) = 0 ⇔ a · 32 + b · 3 + c = 0 ⇔ 9a + 3b + c = 0 ⇔ 9a + 3b + 3 = 0 ⇔ 9a + 3b = –3 ⇔ 3a + b = –1 . . . (1) f(4) = –5 ⇔ a · 42 + b · 4 + c = –5 ⇔ 16a + 4b + 3 = –5 ⇔ 16a + 4b = –8 ⇔ 4a + b = –2 . . . (2) Eliminasi b dari (1) dan (2). 3a + b = –1 4a + b = –2 ––––––––– – –a = 1 ⇔ a = –1 Substitusikan a = –1 ke dalam persamaan (1). 3a + b = –1 ⇔ 3 · (–1) + b = –1 ⇔ b= 2 Diperoleh a = –1, b = 2, c = 3 Nilai a + b + c = –1 + 2 + 3 = 4.

Matematika Kelas X

25

27. Jawaban: c f(x) = x2 + 4x + 3 Misalkan titik puncak fungsi kuadrat (xP, yP). b

4

xP = – 2a = – 2 ⋅ 1 = –2 yP = f(xP) = f(–2) = (–2)2 + 4 · (–2) + 3 = –1 Fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x + 3 titik puncaknya (–2, –1). Titik (–2, –1) merupakan titik terendah fungsi kuadrat yang melalui titik (–1, 3) sehingga persamaan fungsi kuadratnya: y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x + 2)2 + (–1) Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (–1, 3). Substitusikan absis dan ordinat titik (–1, 3) ke fungsi kuadrat. 3 = a(–1 + 2)2 + (–1) ⇔ 3 =a–1 ⇔ a=4 Persamaan fungsi kuadratnya y = 4(x + 2)2 + (–1) = 4(x2 + 4x + 4) + (–1) = 4x2 + 16x + 16 – 1 = 4x2 + 16x + 15 28. Jawaban: b Fungsi kuadrat f memiliki sifat f(x) ≥ 0. Ada dua kemungkinan grafiknya, yaitu sebagai berikut. 1) Grafik terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu X. Y

0

2)

X

Grafik terbuka ke atas dan menyinggung sumbu X.

Persamaan fungsi kuadratnya y = a(x – xP)2 + yP ⇔ y = a(x – 1)2 + 0 ⇔ y = a(x – 1)2 Fungsi kuadrat melalui (2, 2) sehingga f(2) = 2. Substitusikan x = 2 dan y = 2 ke y = a(x – 1)2. y = a(x – 1)2 ⇔ 2 = a(2 – 1)2 ⇔ 2 = a Persamaan fungsi kuadratnya y = 2(x – 1)2. Rumus fungsi kuadratnya: f(x) = 2(x – 1)2 f(0) = 2(0 – 1)2 = 2 · 1 = 2 f(4) = 2(4 – 1)2 = 2 · 9 = 18 Jadi, f(0) + f(4) = 2 + 18 = 20. 29. Jawaban: a Misalkan pendapatan dari penjualan x komputer = P(x) = 18.000x – 80x2 dan biaya produksi x komputer 8.000 ) x

= B(x) = x(2.000 +

Keuntungan: K(x) = pendapatan – biaya produksi = P(x) – B(x) = 18.000x – 80x2 – x(2.000 +

8.000 ) x

= 18.000x – 80x2 – 2.000x – 8.000 = –80x2 + 16.000x – 8.000 Nilai maksimum diperoleh pada titik balik (xP, yP). b

16.000

xP = – 2a = – 2(−80) = 100 Jadi, keuntungan maksimum diperoleh pada saat memproduksi komputer sebanyak 100 unit. 30. Jawaban: b Keliling segitiga = panjang tali AB + AC + BC = 60 ⇔ AB + AC = 60 – 24 ⇔ AB + AC = 36 ⇔ AB = 36 – AC Misalkan: AC = x AB = 36 – x Luas segitiga ABC 1

Y

= 2 · AB · AC 1

= 2 · (36 – x) · x 1

1

= 2 · 36x – 2 x2 0

X

Oleh karena f(1) = 0, artinya untuk x = 1 diperoleh y = 0 sehingga grafik yang mungkin adalah nomor 2. Dengan demikian, titik puncaknya adalah (1, 0).

1

= – 2 x2 + 18x Luas segitiga maksimum diperoleh pada saat (xP, yP). xP yP =

b

= – 2a = – b2 − 4ac −4a

18

1

2 · (− 2 )

= 18 1

=

182 − 4 · (− 2 ) · 0 1 −4 · (− 2 )

324

= 2 = 162

Jadi, luas maksimum segitiga 162 cm2. 26


B.

`Uraian

1.

a.

x2 4

x

1

+ 2 – 4 =0 ⇔ x2 + 2x – 1 = 0 1) Dengan cara melengkapkan kuadrat x2 + 2x – 1= 0 ⇔ x2 + 2x = 1 2 ⇔ x + 2x + 1 = 1 + 1 ⇔ (x + 1)2 = 2 ⇔

x+1=± 2

⇔ x+1= ⇔ 2)

x1

2 atau x + 1 = – 2 2 atau x = –1 –

x = –1 +

=

−2 ± 8 2

=

−2 ± 109 3

=

−2 + 109 3

1

=

−2 − 109 3

1

=

−2 ± 2 2 2

b

c

4p + 1 6

2p

2 2 atau x2 = –1 –

4

2

35

x2 + 3 x = 3 4

35

4

⇔ x2 + 3 x + 9 = 3 + 9 2

109

⇔

(x + 3 )2 = 9

⇔

x+ 3 =±

2

2p 6

b.

Dua akar berlawanan jika x1 + x2 = 0 dan D > 0 x1 + x2 = 0 ⇔ – ⇔

109 9

⇔

2

1

2

1

2

1

x = – 3 ± 3 109 x1 = – 3 + 3 109 atau

x2 = – 3 – 3 109 Dengan rumus abc 3x2 + 4x – 35 = 0 a = 3, b = 4, c = –35

=1

⇔ p =3 Untuk p = 3, diperoleh: D = b2 – 4ac = (4p + 1)2 – 4 · 6 · 2p = (4 · 3 + 1)2 – 4 · 6 · 2 · 3 = 132 – 144 = 25 > 0 Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akar berkebalikan jika p = 3.

35

4

⇔

x1x2 = 1

x2 + 3 x – 3 = 0

2)

−4 ± 2 109 6

x1 + x2 = – a ⇔ x1 + x2 = –

+ x – 10 = 25 – 3x – ⇔ 3x2 + 4x – 35 = 0 1) Dengan cara melengkapkan kuadrat

⇔

=

Persamaan kuadrat 6x2 + (4p + 1)x + 2p = 0 maka a = 6, b = 4p + 1, dan c = 2p.

x2

⇔

−4 ± 436 6

x1x2 = a ⇔ x1x2 = 6 a. Dua akar berkebalikan jika x1x2 = 1 dan D > 0

2x2

⇔

=

2

2.

−2 ± 22 − 4 · 1· (−1) 2 ·1

4

−4 ± 42 − 4 · 3 · (−35) 2·3

= – 3 – 3 109

=

x1 = –1 +

=

= – 3 + 3 109 x2

−b ± b2 − 4ac 2a

= –1 ±

−b ± b2 − 4ac 2a

2

2

Dengan rumus abc x2 + 2x – 1 = 0 a = 1, b = 2, dan c = –1 x1,2 =

b.

x1,2 =

(4p + 1) 6

=0

4p + 1 = 0 1

p =–4

1

Untuk p = – 4 diperoleh: D = b2 – 4ac = (4p + 1)2 – 4 · 6 · 2p 1

1

= (4(– 4 ) + 1)2 – 4 · 6 · 2(– 4 )

= 02 + 12 = 12 > 0 Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyai 1

dua akar berlawanan jika p = – 4 .

Matematika Kelas X

27

⇔ 4(3v + 42 + 5v ) = 3(v 2 + 14v ) ⇔ 32v + 168 = 3v 2 + 42v 2 ⇔ 3v + 10v – 168 = 0 ⇔ (3v + 28)(v – 6) = 0 ⇔ 3v + 28 = 0 atauv – 6 = 0

a dan b akar-akar persamaan x2 – x + 3 = 0 maka: α + β = 1 dan αβ = 3 a. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

3.

1

⇔

x2 – ( α + 1 +

⇔

x – 2

⇔ x2 – (

1 )x β+1

β + 1+ α + 1 ( (α + 1)(β + 1)

+

=0

1 αβ + (α + β) + 1

=0

1 3 + 1+ 1

=0

1+ 2

x2 – ( 3 + 1 + 1 )x +

3

⇔

5.

1

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ⇔

x2 – (α2 + β2)x + α2β2 = 0

⇔

x2 – ((α + β)2 – 2αβ)x + (αβ)2 = 0

⇔

x2 – (12 – 2 · 3)x + 32 = 0

⇔

x2 + 5x + 9 = 0

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

6.

⇔ – + + =0 ⇔ x2 – ((α + β)3 – 3αβ(α + β))x + (αβ)3 = 0 ⇔ x2 – (13 – 3 · 3 · 1)x + 33 = 0 ⇔ x2 + 8x + 27 = 0 x2

d.

β3)x

(α3

α3β3

α

β

β

⇔

x2 – (

⇔ x2 – (

(α + β)2 – 2αβ )x α ⋅β

⇔

x2 – (

⇔ ⇔ 4.

α +β α⋅β

2

⇔

)x + 1 = 0

2

1 −2⋅3 )x 3 5 x2 + 3 x

+1=0 +1=0 +1=0

3x2 + 5x + 3 = 0

Misalkan kecepatan berlari = v l dengan waktu = tl dan kecepatan sepeda motor = vm dengan waktu = tm. 3

Diketahui bahwa t + tm = 45 menit = 4 jam dan vm = v + 14. 3

t + tm = 4 3 v

⇔ ⇔ ⇔

28

3 v

+

3

5 vm

= 4

5 v + 14

= 4

+

3(v + 14) + 5v v (v + 14)

Misalkan banyaknya komputer yang dibeli = n, maka banyak komputer yang terjual = n – 1 120.000.000 n 135.000.000 n−1

Harga jual setiap komputer = Untuk setiap komputer maka untung = harga jual – harga beli

⇔ x2 – ( β + α )x + β · α = 0 2

v = – 3 atau v = 6 Oleh karena v merupakan kecepatan maka v > 0 sehingga nilai v yang memenuhi adalah v = 6. Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam. Misalkan p = panjang persegi dan = lebar persegi panjang maka p = 3 . L ≥ 75 ⇔ p · = 75 ⇔ 3 · = 75 ⇔ 3 2 = 75 2 = 25 ⇔ 2 ⇔ – 25 = 0 ⇔ ( – 5)( + 5) = 0 ⇔ – 5 = 0 atau + 5 = 0 ⇔ = 5 atau = –5 Oleh karena lebar bernilai positif, diperoleh = 5. Jadi, panjang kawat yang diperlukan: K = 2(3 + ) = 2(15 + 5) = 40 cm.

Harga beli setiap komputer =

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 α

28

⇔

x2 – 5 x + 5 = 0 5x2 – 3x + 1 = 0

⇔

c.

1

1 (α + 1)(β + 1)

)x +

α+β+2 )x αβ + (α + β) + 1

⇔

b.

1

+ α +1· =0 β+1

7.

135.000.000 n−1

–

120.000.000 n

= 1.500.000

–––––––––––––––––––––––––––––––––– · n(n – 1) ⇔ n · 135.000.000 – (n – 1)120.000.000 = 1.500.000 · n(n – 1) ⇔ 270n – (n – 1)240 = 3n(n – 1) ⇔ 270n – 240n + 240 = 3n2 – 3n ⇔ 3n2 – 3n – 30n – 240 = 0 ⇔ 3n2 – 33n – 240 = 0 ⇔ n2 – 11n – 80 = 0 ⇔ (n – 16)(n + 5) = 0 ⇔ n – 16 = 0 atau n + 5 = 0 ⇔ n = 16 atau n = –5 (tidak mungkin) Jadi, jumlah komputer yang terjual = n – 1 = 16 – 1 = 15 komputer. y = f(x) = 2x2 – 7x – 4. a. Grafik memotong sumbu X jika y = 0, diperoleh: 2x2 – 7x – 4 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 4) = 0

3

⇔

3

Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu

= 4


1

x = – 2 atau x = 4 1

(– 2 , 0) dan (4, 0).

b.

c.

Grafik fungsi kuadrat f(x) = –2x2

Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh: y = f(0) = 2 · 02 – 7 · 0 – 4 = –4 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –4).

Y X

–4–3 0

Oleh karena a = 2 > 0, parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP). b 2a

xP = –

−7 2(2)

=–

=

7 4

–18

7 4

yP = f(xP) = f( ) 7 4

= 2 · ( )2 – 7 · =

49 8

=–

–

49 4

7 4

–4

–32

b.

– 54

81 8 7 4

Jadi, koordinat titik puncaknya ( , d.

f(x) = –2(x + 6)2 = –2(x – (–6))2 Grafik fungsi f(x) = –2(x + 6)2 dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi f(x) = –2x2 sejauh (–6) satuan searah sumbu X.

81 ). 8

Y

Grafik fungsi kuadrat f(x):

X

–6

Y X

0 1

7 4

–2

4

–4

–

8.

a.

81 8

–32

f(x) = –2x2 ⇔ y = –2x2 Titik potong dengan sumbu koordinat. Grafik fungsi memotong sumbu Y jika x = 0 x = 0 → y = –2x2 = –2(0)2 = 0 Titik potong dengan sumbu Y (0, 0). Titik balik maksimum diperoleh pada b

c.

f(x) = –2(x – 4)2 – 10 = –2(x – 4)2 + (–10) Grafik fungsi f(x) = –2(x – 4)2 – 10 dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi f(x) = –2x2 sejauh 4 satuan searah sumbu X dilanjutkan menggeser (–10) satuan searah sumbu Y.

D

Y

(– 2a , – 4a ). b

xp = – 2a = – yp = –

f(x) = –2x2

f(x) = –2(x – 4)2

4

0 2(2)

=0

=–

02 − 4(−2)(0) 4(−2)

b2 − 4ac 4a

X

–10

=0

Titik balik maksimum (0, 0). Tabel titik bantu: y=

x

–4

–2

1

2

4

–2x2

–32

–8

–2

–8

–32

(x, y)

(–4, –32) (–2, –8) (1, –2)

(2, –8) (4, –32)

f(x) = –2x2

f(x) = –2(x – 4)2

f(x) = –2(x – 4)2 – 10

Matematika Kelas X

29

9.

Jawaban: f(x) = –x2 – px + (1 – p) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik, berarti nilai D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (–p) – 4 · (–1)(1 – p) > 0 ⇔ p2 + 4 – 4p > 0 ⇔ p2 – 4p + 4 > 0 ⇔ (p – 2)2 > 0 Pembuat nol: (p – 2)2 = 0 ⇔ (p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ p – 2 = 0 atau p – 2 = 0 ⇔ p = 2 atau p = 2 Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.

Luas ABCD = Luas PQRS – luas AQB – luas BRC – luas CSD – luas APD 1

1

= 12 · 8 – 2 x · (8 – x) – 2 x · (12 – x) 1

1

– 2 x · (8 – x) – 2 x · (12 – x) 1

1

= 12 · 8 – 2 · 2 · x(8 – x) – 2 · 2 x(12 – x) = 96 – (8x – x2) – (12x – x2) = 96 – 8x + x2 – 12x + x2 = 96 – 20x + 2x2 Misalkan f(x) = luas ABCD f(x) = 96 – 20x + 2x2 Titik balik minimum fungsi f(x) = 96 – 20x + 2x2 b

D

dicapai pada titik (– 2a , – 4a ). 2

Penyelesaiannya: p < 2 atau p > 2 atau p ≠ 2. Jadi, nilai p yang memenuhi p ≠ 2. 10. A

P x

12 – x

D S x 8–x

8–x x Q B

12 – x

x

C R

12

30


b

−20 2·2

D

b2 − 4ac 4a

xP = – 2a = – yP = – 4a = – =–

8

D

=5

(−20)2 − 4 · 2 · 96 4·2

−368

=– 8

= 46

Nilai yP = – 4a = 46 merupakan nilai balik minimum = yP = 46 Jadi, luas minimum segi empat ABCD adalah 46 cm2.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menemukan konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku; 2. menemukan sifat-sifat dan hubungan antarperbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku; 3. menentukan hubungan perbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran, memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika; 4. menemukan konsep fungsi trigonometri dan menganalisis grafik fungsinya serta menentukan hubungan nilai fungsinya serta menentukan hubungan nilai fungsi trigonometri dari sudut-sudut istimewa. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis dalam kehidupan seharihari.

Trigonometri

Ukuran Sudut dan Perbandingan Trigonometri

• • • •

Menjelaskan sudut dan besar sudut. Menjelaskan konsep dasar sudut pada segitiga siku-siku. Menjelaskan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Berdiskusi menentukan rumus kebalikan dan rumus perbandingan trigonometri.

• • • • • •

Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

• • • •

Menjelaskan perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. Menjelaskan perbandingan trigonometri sudut istimewa. Menjelaskan perbandingan trigonometri sudut berelasi. Berdiskusi menyelidiki nilai sinus, kosinus, dan tangen sudut istimewa.

Fungsi, Persamaan, dan Identitas Trigonometri

• • • • •

Menjelaskan fungsi trigonometri. Menggambar grafik fungsi trigonometri. Menjelaskan persamaan trigonometri sederhana. Menjelaskan identitas trigonometri. Berdiskusi menggambar grafik fungsi y = a sin kx dan y = a cos kx.

Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah. Berperilaku jujur dan bertanggung jawab dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial. Mampu menguasai konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Mampu menentukan hubungan perbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran. Mampu menguasai konsep fungsi trigonometri dan melakukan analisis. Mampu menerapkan konsep trigonometri dalam permasalahan nyata.

Matematika Kelas X

31

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Oleh karena arah putaran sudut searah dengan putaran jarum jam sebesar 30°, sudut yang sesuai adalah –30° atau 330°. 2.

Terbentuk segitiga KLM siku-siku di K. KL = 8 satuan KM = 6 satuan LM =

Jawaban: c ° π

1 rad =

⇔ π rad = 180° π

Jadi, 3.

°

= · 180° = π

=

=

= = 10 satuan

= 135°

cos L = = =

= 135°.

tan M = = =

Jawaban: b

7.

π

Jawaban: b

72° = 72 · = π = π

Y

3

Jadi, 72° = π rad. 4.

P

sin α =

5.

1

sin β =

cos α =

cos β =

tan α =

B β

–4 –3 –2 –1 0 –1

tan β =

α C

− = = =

Jadi, cos A = 6.

= 4

8.

M

=

–5 K

32

Trigonometri

0

3

–2

L

⋅

·

=

=2

−

=

−

=

−

=

cotan A = = Jadi, cotan A =

C

4

X

=

Jawaban: b BC =

4

⋅

= =

Y

X

4

Terbentuk segitiga PQR siku-siku di P. PQ = 4 satuan PR = 6 satuan

−

Jawaban: e

3

–3

−

.

2

–2

cos A = = =

1

Q

A

Jawaban: b AB =

R

2

Jawaban: d

Jadi, cos L = dan tan M = .

π rad

1° =

= .

A

3

B

Pada ∆ABC berlaku: AC2 = AB2 + BC2

9. Jawaban: c Perhatikan segitiga berikut. a 5

P

tan P =

=

+ =

=

sin P =

=

10. Jawaban: a

A

=p 1

Misalkan AC = p maka AB = 1.

−

=

−

Jadi, tan B =

p

− −

LM =

−

=

−

.

=

⇔ ⇔

=

AB =

x=

= 3

K

⇔

=

⇔

⇔

=

−

·

−

M

L

2KM = 3

⇔

KM =

=

⋅

=3

L∆DEF =

⇔

9=

⇔

DF = 6

· DF · 3

! + "! E

=

+

=

+

=

= 3

!

F

cos E = " = =

.

"

−

⇔ sin α = "

x 5

⇔ BD = #$ α Perhatikan ∆BCD.

cos β = " ⇔ BC = BD cos β

⇔ BC = #$ α · cos β

θ A

D

· DF · EF

sin α = "

C

x

15. Jawaban: d Perhatikan ∆ABD.

12. Jawaban: a

=

= 25

Jadi, cos E =

Nilai sin K tan K =

⇔

5x2 = 9 · 25 x2 = 45

DE =

cos K = ⇔ = Misalkan panjang KL = 1 satuan maka panjang KM = a satuan.

⇔ ⇔

C

B

11. Jawaban: b

cos θ =

2 x

tan B = =

⇔

14. Jawaban: e

−

=

+ 25

x2 =

sin M =

Jadi, nilai sin P = .

BC =

⇔

13. Jawaban: b

= 6

sin B = p ⇔

x2 = ( x)2 + 52

⇔

+

a=

2 x

⇔

B

β

Jadi, panjang sisi BC = #$ α .

Matematika Kelas X

33

B. Uraian 1.

a.

−

BC =

−

= =

−

=

= 9

12

cos α = tan α = b.

= =

= =

2.

B

C

KL = F

E

"! + ! +

=

+

=

= 13 "!

a.

=

b.

3.

−

=

−

=

−

=

= 24

tan L = =

tan M = =

a.

sin2 C + cos2 C = 1 Bukti:

a2 + c2 = b2

cos C = % D

24

7 C

α

sin2 C + cos2 C = ( % )2 + ( % )2

20

=

%

%

=

+ %

+

sin2

=

% %

cos2

=1

" + "

Terbukti bahwa C+ 2 2 cosec A – cotan A = 1 Bukti:

=

+

cosec A =

=

+

cotan A =

=

= 25

cosec2 A – cotan2 A = ( )2 – ( )2

B

AC =

BC =

34

M

= 0,28

sin C = %

c. A

=

Jadi, tan M = .

cos α = " = tan α =

"! !

Jadi, tan L = .

sin α = " = !

= K Misalkan KM = 7 maka LM = 25, diperoleh:

α

DE =

⇔

5

sin L = 0,28 ⇔

12

D

tan α = = =

15

sin α = = =

cos α = = =

α

sin α = = =

A

b.

−

=

−

=

−

=

= 15

Trigonometri

C = 1.

%

%

=

%

=

% −

–

=

=1

Terbukti bahwa cosec2 A – cotan2 A = 1.

L

4.

Perhatikan ∆ABC.

tan α =

=

AB = BC = 6a AC = diagonal sisi

" +

= 6a

⇔ BC = (DB + 1) tan α ⇔ BC = DB tan α + tan α Perhatikan ∆DBC.

OC = · AC = 3a Oleh karena OP : PC = 1 : 2, diperoleh:

. . . (1)

tan β = " ⇔ BC = DB tan β . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: DB tan β = DB tan α + tan α ⇔ DB tan β – DB tan α = tan α ⇔ DB (tan β – tan α) = tan α ⇔

DB =

Jadi, panjang DB =

OP = + · OC

= · 3a =a Perhatikan ∆POB dengan siku-siku di O. PB =

/$ α /$ β − /$ α

/$ α /$ β − /$ α

.

5. Perhatikan gambar berikut. D

* + *

=

+

=

= 2a

C

*

sin ∠PBO = =

P

=

O

=

Jadi, nilai sin ∠PBO =

.

B

A

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Titik A(–6, 8) berada di kuadran II, dengan x = –6 dan y = 8. r = OA =

+ &

=

− +

=

+

=

2.

Jawaban: e #$ ° + #$ ° ' − '

#$ − ' #$ − '

= ' − − ' = = =

#$' #$' −' − ' + − − + − +

(

)

= –1

= 10 Kosinus di kuadran II bernilai negatif sehingga cos α = – = – .

Jadi, nilai 3.

#$ ° + #$ ° ' − '

= –1.

Jawaban: c π

α= =

⋅ °

= 135°

Matematika Kelas X

35

sin α = sin 135° = sin (180 – 45)° = sin 45°

7. Jawaban: b π

π

π

π

= 2 sin ( – 2x)

= 2 cos 2x

Oleh karena nilai sin α berlainan tanda dengan cos α maka jumlah keduanya sama dengan nol.

sin α + cos α = + (– ) = 0.

cotan (A + B) =

5.

)

cos θ =

− =

Jadi, cos θ = – 6.

=–

⇔

sin 30° =

=

5

Trigonometri

α

p

– α) + 3 cos α

+ 3(

+

)

+

p =

p 1

θ

.

a

=

+

=

α 2

2 sin α – sin (α +

A

π

) + cos (π – α)

= 2 sin α – cos α – cos α = 2 sin α – 2 cos α

6 cm 30°

⇔ AC = 12 cm Jadi, panjang AC = 12 cm.

36

11. Jawaban: d 6

C

sin A = ⇔

=

Jawaban: c

π

3

= cotan α + 3 cos α

Kosinus di kuadran II bernilai negatif. –

− =

=

=

− =

= –cotan C

−

p =

tan (

Jawaban: c a=

/$

10. Jawaban: c

= –cotan 30° = – Nilai cos 330° tan (–315°) – sin (–210°) cotan 330°

= + =

/$

=–

cotan 330° = cotan (360 – 30)°

)(1) –

9. Jawaban: e Misalkan A, B, dan C adalah sudut-sudut segitiga ABC. A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C tan (A + B) = tan (180° – C) = –tan C

=

= sin (90° – x) = cos x

= tan (–315°) = –tan 315° = –tan (360 – 45)° = tan 45° =1 sin (–210°) = –sin 210° = –sin (180 + 30)° = sin 30°

( )(–

8. Jawaban: e x + y + z = 180° ⇔ y + z = 180° – x ⇔ sin (y + z) = sin (180° – x)

Jawaban: d cos 330° = cos (360 – 30)° = cos 30°

(

π

= sin ( – 2x) + sin ( – 2x)

=–

=

π

= sin (π – ( + 2x)) + sin ( – 2x)

= cos α = cos 135° = cos (180 – 45)° = –cos 45°

4.

π

sin ( + 2x) + sin ( – 2x)

B

= 2( =–

) – 2(

=–

)

12. Jawaban: a Cek bentuk segitiga. AB2 = 152 = 225 AC2 + BC2 = 82 + 132 = 233 Ternyata AB2 ≠ AC2 + BC2 sehingga ∆ABC bukan segitiga siku-siku. Oleh karena ∆ABC bukan segitiga siku-siku, dapat digambarkan sebagai berikut.

14. Jawaban: c

sin 60° = ⇔

Tembok

=

Tangga x

6

⇔

x = 6( )

⇔

x= m

60°

Jadi, jarak ujung tangga dan permukaan tanah

C

m. 13

8

A

x

15. Jawaban: c Perhatikan ∆ABC.

(15 – x)

D

Perhatikan ∆ADC. CD2 = AC2 – AD2 = 82 – x2 = 64 – x2 . . . (1) Perhatikan ∆BCD. CD2 = BC2 – BD2 = 132 – (15 – x)2 = 169 – (225 – 30x + x2) = –56 + 30x – x2 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 64 – x2 = –56 + 30x – x2 ⇔ 120 = 30x ⇔ x = 4 cm Diperoleh AD = 4 cm dan BD = 11 cm. "

"

⇔

"

sin ∠ABD = "

"

⇔ sin (90 – θ)° = #$θθ

⇔

⇔

K = 36 AB + BC + AC = 36 AC + AC + AC = 36 3AC = 36 AC = 12

⇔

=

"

"

"

C

60°

60°

A

D

CD = 6

"

cos θ = #$θθ ⇔ DE = p sin θ cos2 θ Jadi, panjang DE = p sin θ cos2 θ.

13. Jawaban: c

"

sin θ = θ ⇔ BD = p sin θ cos θ ∠BAD + ∠ABD + ∠APB = 180° ⇔ θ° + ∠ABD + 90° = 180° ⇔ ∠ABD = 180° – 90° – θ° ⇔ ∠ABD = (90 – θ)°

⇔ sin 60° =

AB = p cos θ

= cos θ

sin θ =

Jadi, nilai cos A = .

sin A =

⇔

= cos θ

Perhatikan ∆ABD.

cos A = = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

B

L∆ABC = · AB · CD = · 12 · 6 = 36 cm2 Jadi, luas segitiga tersebut 36 cm2.

B

B. Uraian 1. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga = 180°. ∠D + ∠E + ∠F = 180° E ⇔ ∠D + ∠E + 90° = 180° ⇔ ∠D + ∠E = 90° a. Nilai sin D cos (D + F) = p ⇔ cos (D + 90°) = p F ⇔ –sin D = p ⇔ sin D = –p Jadi, nilai sin D = –p. b.

D

Nilai cos E ⇔ ∠D + ∠E = 90° ⇔ ∠E = 90° – ∠D ⇔ cos E = cos (90° – ∠D) = sin D = –p Jadi, cos E = –p.

Matematika Kelas X

37

∠BDA = 180° – (90 + 45)° = 45° Oleh karena ∠BDA = ∠ABD = 45° maka ∆ABD sama kaki. Akibatnya, DA = AB = 10 cm

2.

N

4.

M

150°

DB =

+ "

=

+

=

⇔ KL · NO = 240 ⇔ 20 · NO = 240 ⇔ NO = 12 cm ∠K dan ∠L merupakan pasangan sudut dalam sepihak. ∠K + ∠L = 180° ⇔ ∠K + 150° = 180° ⇔ ∠K = 30°

"

cos ∠CDB = "

"

⇔ cos 60° =

"

⇔

⇔

CD =

⇔

C D = cm

=

<*

sin K = <

⇔ sin 30° = <

C

15

45° B

Perhatikan ∆APC. CP2 = AC2 – AP2 ⇔ CP2 = 152 – 92 ⇔ CP2 = 225 – 81 = 144 ⇔ CP = 12 cm Perhatikan ∆BPC.

= < ⇔ KN = 24 cm Keliling jajargenjang = 2(KL + LM) = 2(KL + KN) = 2(20 + 24) = 2(44) = 88 cm Jadi, keliling jajargenjang 88 cm.

Perhatikan gambar berikut.

P

⇔

Jadi, panjang CD = cm.

A

L

LKLMN = 240

= Perhatikan ∆CDB.

3.

O

K

D

5.

A

Menara

60°

B

30°

C

tan B =

20 m

Perhatikan ∆ACD.

⇔ tan 45° = ⇔ ⇔

1 = BP = 12 cm

"

tan A =

⇔

⇔

⇔

Luas segitiga ABC = · AB · CP = · (AP + BP) · CP = · (9 + 12) · 12

= · 21 · 12 = 126 cm2 Jadi, luas segitiga ABC 126 cm2.

38

Trigonometri

"

tan 30° = +

=

CD =

" + (BC

+ 20)

. . . (1)

Perhatikan ∆BCD. tan ∠CBD =

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

BC =

⇔

tan 60° =

⇔

=

CD =

BC = (BC + 20) ⇔ 3BC = BC + 20 ⇔ 2BC = 20 ⇔ BC = 10 m Jarak Roni sekarang dari menara = BC = 10 m. Jadi, jarak Roni sekarang dari menara adalah 10 m.

BC

. . . (2)

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e

3.

Jawaban: c Grafik y = –2 cos 3x merupakan hasil pencerminan grafik y = 2 cos 3x terhadap sumbu X. Pilihan a: y = –2 cos x, –π ≤ x ≤ π Pilihan b: y = 2 cos 2x, –π ≤ x ≤ π Pilihan c: y = –2 cos 3x, –π ≤ x ≤ π Pilihan d: y = 3 cos 2x, –π ≤ x ≤ π Pilihan e: y = –3 cos 3x, –π ≤ x ≤ π

4.

Jawaban: c Bentuk umum fungsi sinus adalah y = a sin kx. Oleh karena nilai maksimumnya 2 sehingga

Y 5

0

180°

90°

270°

360°

X

y1 = 5 sin x°

–5

Amplitudo = (5 – (–5)) = 5 Periode =

°

nilai a yang memenuhi adalah 2. Periode (dari

= 360°

π

1 144°

216°

288°

ini bergeser sebesar ke kiri sehingga fungsi π yang memenuhi grafik tersebut y = 2 sin (x + ).

360° X

–1

5.

Amplitudo = (1 – (–1)) = 1 Periode =

°

= 72°

Jadi, amplitudo y1 = 5 kali amplitudo y2. 2.

Jawaban: c Persamaan grafik fungsi di atas adalah y = a cos kx dengan a = amplitudo dan k = a = =

(nilai ( –

°

=

π

.

(– )) =

Periode grafik fungsi tersebut π. π

k= π ⇔ k=2 Jadi, grafik tersebut adalah grafik fungsi y = cos 2x.

Jawaban: a Grafik melalui titik (0, –2) sehingga y = a cos kx ⇔ –2 = a cos k(0) ⇔ –2 = a cos 0 ⇔ –2 = a Periode grafik fungsi (dari 0 sampai 2π) adalah 2π. π

Nilai k = π = 1. Jadi, nilai a dan k berturut-turut adalah –2 dan 1.

maksimum – nilai minimum)

π

π

y2 = sin 5x° 72°

π

– sampai ) adalah 2π. Nilai k = π = 1. Fungsi sinus semula adalah y = 2 sin x. Fungsi

Y

0

⇔

⇔

(BC + 20)

6.

Jawaban: e Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, nilai maksimum dan minimum f(x) = cos x adalah 1 dan –1. fmaks = 1 + 3 = 4 fmin = –1 + 3 = 2 Jadi, daerah hasil f(x) adalah 2 ≤ f(x) ≤ 4.

Matematika Kelas X

39

7. Jawaban: e Fungsi f(x) = a cos kx mempunyai nilai maksimum a dan nilai minimum –a. Pada fungsi f(x) =

cos 3x + 1, diperoleh:

nilai maksimum = p =

+1

nilai minimum = q = – + 1 Nilai p2 + q2 = ( + 1)2 + (– + 1)2 =2+2 +1+2–2 +1 =6 8. Jawaban: b 4 sin x = 2 ⇔ ⇔

sin x = sin x =

11. Jawaban: c 2 cos (2x – 60°) = 1

⇔

⇔ ⇔

sin x = sin 45° x1 = 45° + k · 360° atau x2 = 135° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 45° + 0 · 360° = 45° ⇒ x2 = 135° + 0 · 360° = 135° k = 1 ⇒ x1 = 45° + 1 · 360° = 405° ⇒ x2 = 135° + 1 · 360° = 495° Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 135°}. 9. Jawaban: d sin (x + 15°) = 1

⇔ sin (x + 15°) = ⇔ sin (x + 15°) =

⇔ sin (x + 15°) = sin 45° ⇔ x1 + 15° = 45° + k · 360° ⇔ x1 = 30° + k · 360° atau ⇔ x2 + 15° = (180° – 45°) + k · 360°) ⇔ x2 + 15° = 135° + k · 360° ⇔ x2 = 120° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 30° + 0° · 360° = 30° ⇒ x2 = 120° + 0° · 360 = 120° k = 1 ⇒ x1 = 30° + 1 · 360° = 390° ⇒ x2 = 120° + 1 · 360° = 480° Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 120°}.

⇔ cos 2x =

40

Trigonometri

⇔ ⇔

cos (2x – 60°) = cos (2x – 60°) = cos 60° 2x1 – 60° = 60° + k · 360° atau 2x2 – 60° = –60° + k · 360°

Untuk 2x1 – 60° = 60° + k · 360° ⇔ 2x1 = 120° + k · 360° ⇔ x1 = 60° + k . 180° Untuk 2x2 – 60° = –60° + k · 360° ⇔ 2x2 = 0° + k · 360° ⇔ x2 = 0° + k · 180° k = 0 ⇒ x1 = 60° + 0 · 180° = 60° ⇒ x2 = 0° + 0 · 180° = 0° k = 1 ⇒ x1 = 60° + 1 · 180° = 240° ⇒ x2 = 0° + 1 · 180° = 180° Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {0°, 60°, 180°}. 12. Jawaban: a 3 tan x =

⇔

tan x =

⇔

tan x =

⇔

tan x =

⇔

tan x = tan

⇔

π

π

x= +k·π

π

π

π

π

k=0 ⇒ x= +0·π=

k=1 ⇒ x= +1·π=

10. Jawaban: d 2 cos 2x = – –

⇔ cos 2x = cos 150° ⇔ 2x1 = 150° + k · 360° ⇔ x1 = 75° + k · 180° atau ⇔ 2x2 = –150° + k · 360° ⇔ x2 = –75° + k · 180° k = 0 ⇒ x1 = 75° + 0 · 180° = 75° ⇒ x2 = –75° + 0 · 180° = –75° k = 1 ⇒ x1 = 75° + 1 · 180° = 255° ⇒ x2 = –75° + 1 · 180° = 105° Jadi, himpunan penyelesaiannya {75°, 105°}.

π

π

Jadi, himpunan penyelesaiannya { , }.

13. Jawaban: a

b.

sin2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 x + 3 cos x = 0 2 2(1 – cos x) + 3 cos x = 0 2 – 2 cos2 x + 3 cos x = 0 2 cos2 x – 3 cos x – 2 = 0 (2 cos x + 1)( cos x – 2) = 0 2 cos x + 1 = 0 atau cos x – 2 = 0

⇔

cos x = – atau

Untuk cos x =

cos x = 2

Y 3 2 1 –π

–

cos x = cos 120° x1 = 120° + k · 360° atau x2 = –120° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 120° + 0 · 360° = 120° ⇒ x2 = –120° + 0 · 360° = –120° k = 1 ⇒ x1 = 120° + 1 · 360° = 480° ⇒ x2 = –120° + 1 · 360° = 240° Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 120° dan 240°.

– cotan A =

= = = =

0 –1

π

π

3π

π

X

–3

2.

a.

2 sin 2x – ⇔

=0

2 sin 2x =

⇔

sin 2x =

⇔

sin 2x = sin 60°

⇔

2x1 = 60° + k · 360° atau 2x2 = (180° – 60°) + k · 360°

Untuk 2x1 = 60° + k · 360° ⇔

– ⋅ − ⋅

x1 = 30° + k · 180°

−

= = =

x2 = 60° + k · 180°

⇒ x2 = 60° + 1 · 180° = 240°

− ⋅ ⋅

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 60°, 210°, 240°}. b.

= tan A

−

=

⇔

k = 1 ⇒ x1 = 30° + 1 · 180° = 210°

⋅

2x2 = 120° + k · 360°

⇒ x2 = 60° + 0 · 180° = 60°

⋅ −

⇔

k = 0 ⇒ x1 = 30° + 0 · 180° = 30°

15. Jawaban: b

2 cos (x – 30°) + 1 = 0 ⇔ 2 cos (x – 30°) = –1

⇔

cos (x – 30°) = –

⇔

cos (x – 30°) = cos 120°

⇔

x1 – 30° = 120° + k · 360° atau x2 – 30° = –120 + k · 360°

= tan A

Untuk x1 – 30° = 120° + k · 360° ⇔

B. Uraian 1. a. y = 2 sin (x – 30°)

x1 = 150° + k · 360°

Untuk x2 – 30° = –120° + k · 360° ⇔

Y 2

x2 = –90° + k · 360°

k = 0 ⇒ x1 = 150° + 0 · 360° = 150° ⇒ x2 = –90° + 0 · 360° = –90°

1

–2

−π

Untuk 2x2 = (180° – 60°) + k · 360°

=

–1

−π

–2

14. Jawaban: c

0 30°

−3π

(tidak memenuhi)

⇔ ⇔

π

y = 3 cos (2x + )

120°

210°

300° 360°

X

k = 1 ⇒ x1 = 150° + 1 · 360° = 510° ⇒ x2 = –90° + 1 · 360° = 270° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {150°, 270°}.

Matematika Kelas X

41

c.

Untuk cos x = –

tan x = 3

⇔

tan x =

⇔

tan x =

⇔

tan x = tan

⇔

x=

k=0 ⇒ x k=1 ⇒ x

⇔ ⇔

cos x = cos 120° x1 = 120° + k · 360° atau x2 = –120° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 120° + 0 · 360° = 120° ⇒ x2 = –120° + 0 · 360° = –120° k = 1 ⇒ x1 = 120° + 1 · 360° = 480° ⇒ x2 = –120° + 1 · 360° = 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 240°}.

π

π +k·π π = +0·π π = +1·π

= =

π π

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah π

{, 3.

π

a.

sin2 x –

⇔ (sin x + )(sin x –

)

=0

sin x = – atau sin x =

Jadi,

⇔ ⇔

sin x = sin 210° x1 = 210° + k · 360° atau x2 = (180° – 210°) + k · 360° ⇔ x2 = –30° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 210° + 0 · 360° = 210° ⇒ x2 = –30° + 0 · 360° = –30° k = 1 ⇒ x1 = 210° + 1 · 360° = 570° ⇒ x2 = –30 + 1 · 360° = 330°

b.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 sin2 x + 5 cos x + 1 = 0 2 sin2 x + 5 cos x + 1 = 0 2(1 – cos2 x) + 5 cos x + 1 = 0 2 – 2 cos2 x + 5 cos2 x + 1 = 0 –2 cos2 x + 5 cos x + 3 = 0 (–2 cos x – 1)(cos x – 3) = 0 –2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 3 = 0 cos x =

–

atau cos x = 3

Untuk cos x = 3, tidak ada nilai x yang memenuhi.

42

Trigonometri

· −

− = = = −

.

Bukti sin A + cos A cotan A = sin A + cos A · = sin A + = =

Untuk sin x = ⇔ sin x = sin 30° ⇔ x1 = 30° + k · 360° atau x2 = 150° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 30° + 0 · 360° = 30° ⇒ x2 = 150° + 0 · 360° = 150° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 150°, 210°, 330°}.

= =

=0

Untuk sin x = –

b.

Bukti −

}.

a.

⇔

4.

+

= cosec A Jadi, sin A + cos A cotan A = cosec A. c.

Bukti cosec A + cotan A = = =

+

·

− −

−

= − =

−

=

−

Jadi, cosec A + cotan A =

−

.

5.

a.

+

= = = b.

+

c.

−

− + − − − = = 2 cosec A

2.

=

OA =

Jawaban: a

−

=

= sin C

− −

=

=

= 5

5. Jawaban: a C

sin A = X

1 2 3 4

⇔

B

=

Misalkan BC = 5 maka AB = 6.

Segitiga ABC siku-siku di B. AB = 6 satuan BC = 4 satuan AC =

=

=

= 2

AC = =

−

=

− =

B

−

6

5

tan B = = =

C

A

Matematika Kelas X

43

6. Jawaban: c

cos A = = =

1

Jawaban: c

p

15° x

=

=

=

sin 15° = p = x=

− =

tan 15° = =

= 3

3 2 1

AC =

sin α = –

Y

3.

4. Jawaban: b

= – + –

= · 180° = 4 · 60° = 240°

–4 –3 –2–1 0 –1 –2 A

= – + · cos C – · cos C

(sin B + cos B)2 + (sin B – cos B)2 = sin2 B + 2 sin B cos B + cos2 B + sin2 B – 2 sin B cos B + cos2 B = 2 sin2 B + 2 cos2 B = 2(sin2 B + cos2 B) = 2(1) = 2

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d π = 180° π

(cosec C – cotan C)(1 + cos C) = cosec C – cotan C + cosec C cos C – cotan C cos C

sin α = = =

=

Jadi, tan 15° =

− − −

.

7. Jawaban: d tan α =

⇔ ⇔

= =

B

2

x

α A

⇔

AB = 2x AB2 + BC2 = AC2 (tripel Pythagoras)

C

12. Jawaban: c

⇔

(2x)2 + x2 = (2 )2 ⇔ 4x2 + x2 = 20 ⇔ 5x2 = 20 ⇔ x2 = 4 ⇔ x=2 Jadi, nilai x = 2.

°

tan 25° · tan 65° – ° °

= tan 25° · tan (90 – 25)° – − ° °

= tan 25° · cotan 25° – °

5

−

=

−

=

=

p α

π

=

=2

9. Jawaban: c Oleh karena AB = AC, segitiga ABC sama kaki. ∠B = ∠C = 75° ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠A + 75° + 75° = 180° ⇔ ∠A + 150° = 180° ⇔ ∠A = 30° Nilai cos A = cos 30° = .

A

°

= –cos 70° · (– ° ) – cos 70° = sin 70° – cos 70° =p–q 14. Jawaban: b

=

+

⇔

−

− + − −

= –1 + = –(1 – Jadi,

44

)

## # − #

Trigonometri

= –(1 –

=

cm 12

K

60°

L

15. Jawaban: d Grafik memotong sumbu X pada saat y = 0. y = 2 cos x ⇔ 0 = 2 cos x ⇔ cos x = 0 ⇔ x = 90°, 270° Jadi, titik potong terhadap sumbu X adalah (90°, 0).

= + · − =

cos 60° =

! !

⇔ L M = 6 cm Jadi, panjang LM = 6 cm.

+

cos M = "!

C

⇔

# # # − # # − °# − # = ## − # − # ## = # − − #

M

!

75°

B

10. Jawaban: d

+

= tan 25° · ° – ° =1–1 =0 13. Jawaban: a cos 110° · cotan 160° + sin 200° = cos (180 – 70)° · cotan (180 – 20)° + sin (180 + 20)° = –cos 70° · (–cotan 20°) – sin 20° = –cos 70° · (–cotan (90 – 70)°) – sin (90 – 70)° = –cos 70° · (–tan 70°) – cos 70°

cotan ( – α) = tan α =

°

8. Jawaban: c p=

11. Jawaban: a Jumlah sudut segitiga = 180° ⇔ A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C sin (A + B) = sin (180° – C) = sin C Jadi, nilai sin (A + B) = sin C.

).

16. Jawaban: c Grafik di atas merupakan grafik y = a sin kx, 0° ≤ x ≤ 270°.

a = (4 – (–4)) = 4 k =

°

=

° °

=2

Jadi, grafik di atas mempunyai persamaan y = 4 sin 2x, 0° ≤ x ≤ 270°. 17. Jawaban: c Bentuk umum fungsinya adalah y = a sin kx. Oleh karena nilai maksimumnya 2 maka a = 2. π

π

Periode grafik (dari – sampai ) = π sehingga π

k = π = 2. Bentuk dasar fungsi yaitu y = 2 sin 2x. Oleh karena π

kurva bergeser ke kanan sebesar maka grafik fungsinya adalah: π

y = 2 sin 2(x – ) π

π

Batas nilai f(x) = 2 sin (x – ) adalah –2 ≤ f(x) ≤ 2 –2 ≤ 2 sin (x –

π

)≤2

π

⇔ –2 + 1 ≤ 2 sin (x – ) + 1 ≤ 2 + 1 π

–1 ≤ 2 sin (x – ) + 1 ≤ 3 π

Jadi, nilai minimum f(x) = 2 sin (x – ) + 1 adalah –1. 19. Jawaban: d π

f(x) = 2 – 5 sin Fungsi f(x) akan bernilai maksimum ketika nilai π

sin bernilai minimum. Oleh karena nilai minimum fungsi sinus adalah –1 sehingga π

sin = –1

⇔

sin (2x – 15°) = 1

⇔

sin (2x – 15°) =

⇔

sin (2x – 15°) =

⇔ sin (2x – 15°) = sin 45° ⇔ 2x1 – 15° = 45° + k · 360° ⇔ 2x1 = 60° + k · 360° ⇔ x1 = 30° + k · 180° atau ⇔ 2x2 – 15° = 135° + k · 360° ⇔ 2x2 = 150° + k · 360° ⇔ x2 = 75° + k · 180° k = 0 ⇒ x1 = 30° + 0 · 180° = 30° ⇒ x2 = 75° + 0 · 180° = 75° k = 1 ⇒ x1 = 30° + 1 · 180° = 210° ⇒ x2 = 75° + 1 · 180° = 255° Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 75°, 210°, 255°}.

π

π π

sin 2x = sin 210° 2x1 = 210° + k · 360° atau 2x2 = (180° – 210°) + k · 360° Untuk 2x1 = 210° + k · 360° ⇔ x1 = 105° + k · 180° Untuk 2x2 = (180° – 210°) + k · 360° ⇔ 2x2 = –30° + k · 360° ⇔ x2 = –15° + k · 180° k = 0 ⇒ x1 = 105° + 0 · 180° = 105° ⇒ x2 = –15° + 0 · 180° = –15° k = 1 ⇒ x1 = 105° + 1 · 180° = 285° ⇒ x2 = –15° + 1 · 180° = 165° k = 2 ⇒ x1 = 105° + 2 · 180° = 465° ⇒ x2 = –15° + 2 · 180° = 345° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°, 285°, 345°}.

22. Jawaban: e

⇔ sin = sin (– ) ⇔

⇔ ⇔

sin (2x – 15°) – 1 = 0

18. Jawaban: c Fungsi f(x) = a sin kx mempunyai batas nilai –a ≤ f(x) ≤ a.

⇔

sin 2x = –

21. Jawaban: d

⇔ y = 2 sin (2x – )

⇔

20. Jawaban: e

π

=–

⇔ x = –3 Nilai minimum = p = 2 – 5(–1) = 2 + 5 = 7 Nilai p + q = 7 + (–3) = 4.

cos x = – ⇔ ⇔

cos x = cos 150° x1 = 150° + k · 360° atau x2 = –150° + k · 360° k = 0 ⇒ x1 = 150° + 0 · 360° = 150° ⇒ x2 = –150° + 0 · 360° = –150°

Matematika Kelas X

45

k = 1 ⇒ x1 = 150° + 1 · 360° = 510° ⇒ x2 = –150° + 1 · 360° = 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya {150°}. 23. Jawaban: b + 2 cos x = 0

⇔

2 cos x = –

⇔

cos x = –

⇔ ⇔

cos x = cos 135° x1 = 135° + k · 360° atau x2 = –135° + k · 360°

k = 0 ⇒ x1 = 135° + 0 · 360° = 135° ⇒ x2 = –135° + 0 · 360° = –135° k = 1 ⇒ x1 = 135° + 1 · 360° = 495° ⇒ x2 = –135° + 1 · 360° = 225° Diperoleh x1 = 135° dan x2 = 225°. Selisih = x2 – x1 = 225° – 135° = 90°. 24. Jawaban: d 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0 Diperoleh: 2 sin x – 1 = 0 ⇔ 2 sin x = 1 ⇔ ⇔

sin x = x = 30°

25. Jawaban: e sec2 x +

tan x = 1

tan2

x) +

tan x = 1

⇔

tan2 x +

tan x = 0

⇔

tan x(tan x +

)=0

⇔

tan x = 0 atau tan x = – x1 = 0° x3 = 120° x2 = 180° Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 120°, 180°}. 26. Jawaban: c tan x – 6 cotan x – 5 = 0 ⇔ ⇔

46

tan x – – 5 = 0 tan2 x – 6 – 5 tan x = 0 tan2 x – 5 tan x – 6 = 0

Trigonometri

=

+

+ 2 cos2 A

= 2 sin2 A + 2 cos2 A = 2(sin2 A + cos2 A) = 2(1) =2

+

⇔

28. Jawaban: a

+

= 2.

29. Jawaban: e

Jadi, nilai cos x = .

(1 +

27. Jawaban: a cos2 A + tan2 A – sec2 A = cos2 A + tan2 A – (1 + tan2 A) = cos2 A + tan2 A – 1 – tan2 A = cos2 A – 1 = cos2 A – (sin2 A + cos2 A) = –sin2 A Jadi, cos2 A + tan2 A – sec2 A = –sin2 A.

Jadi,

cos x = cos 30° =

⇔

⇔ (tan x – 6)(tan x + 1) = 0 ⇔ tan x – 6 = 0 atau tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = 6 atau tan x = –1 Oleh karena x berada di kuadran II, nilai tangen dipilih yang negatif, yaitu tan x = –1. tan x = –1 ⇔ tan x = tan 135° Jadi, nilai x = 135°.

+

+

=

+ + +

=

+ + + +

=

+ + + +

+ +

= + +

= +

= +

= = 2 cosec A

Jadi, + +

+

= 2 cosec A.

30. Jawaban: d θ − θ +

·

θ − θ θ θ + θ θ

=

θ + θ

· θ − θ

θ − θ

θ + θ

θ − θ +

θ + θ θ − θ

= θ + θ · θ − θ = 1 Jadi,

·

B. Uraian 1. a.

AC =

θ + θ θ − θ

=

=

= 5

AD =

=1

Y 5 4 3 2 1

=

=

=

= 13

sin α = =

C(4, 3)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 A(–4, –3) –3 B(4, –3) –4 –5

=

cos α = = tan α = =

X

Jadi, nilai sin α = , cos α = , dan tan α = . 3.

a.

# − # # #

=

− +

−

b.

= +

AB = 4 – (–4) = 8 satuan BC = 3 – (–3) = 6 satuan

+

AC = =

+

=

=

sin A = = =

cos A = = =

=

− − + −

# − #

= 10 satuan

− +

Jadi, # # = b.

− −

=

·

−

=

−

.

sin 600° cos 750° – tan 1.125° = sin (360° + 240°) cos (30° + 2 · 360°) – tan (45° + 3 · 360°) = sin 240° cos 30° – tan 45° = –sin 60° cos 30° – tan 45°

= (– )( ) – 1

tan A = = =

= – – 1 = –1

Jadi, nilai sin A = , cos A = , dan

Jadi, sin 600° cos 750° – tan 1.125° = –1 .

tan A = . D

2. α

4.

a.

Grafik f(x) = 3 cos x Y 3

12 0

A

– –3

3 B

4

π

π

π

2π

π

3π

X

C

Matematika Kelas X

47

b.

f(x) = –3 sin 4x

–180° –135° –90° –45° 0

⇔

Y 3

tan 30° =

⇔ 45°

90° 135° 180°

⇔

X

=

AB = x LABCD = AB · BC

–3

5.

a.

⇔ 36 = x · x ⇔ 36 = x2

Grafik fungsi Grafik fungsi dimisalkan mempunyai bentuk dasar y = a sin kx. Oleh karena nilai maksimumnya 3 sehingga nilai a = 3. Periode π

⇔ 36 = x2 ⇔ x = 6 cm Panjang BC = x = 6 cm

π

grafik (dari – sampai ) = 2π. π k = π = 1 Fungsi y = 3 sin x digeser ke kiri

π

Panjang AB = x = 6 Keliling persegi panjang = 2(AB + BC)

sehingga π

= 2(6 + 6)

grafik fungsinya adalah y = 3 sin (x + ). Jika grafik fungsi dimisalkan mempunyai bentuk dasar y = a cos kx.

Jadi, keliling persegi panjang ABCD adalah

π

Fungsi y = 3 cos x digeser ke kanan sehingga grafik fungsinya y = 3 cos (x –

= 12 + 12 cm

π

).

(12 + 12) cm. 7.

a.

⇔ = 1 ⇔ tan x = 1

Jadi, grafik fungsi yang memenuhi adalah π

π

y = 3 sin (x + ) atau y = 3 cos (x – ). b.

k=

Misalkan : panjang BC = x tan ∠BAC =

48

Trigonometri

π

⇔

x= +k·π π

π

π

π

k=0 ⇒ x= +0·π=

k=1 ⇒ x= +1·π= Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

=2

Fungsi y = sin 2x digeser ke kiri 30° sehingga grafik fungsinya adalah y = sin 2(x + 30°) ⇔ y = sin (2x + 60°) Jika grafik fungsi dimisalkan mempunyai bentuk dasar y = a cos kx. Fungsi y = cos 2x digeser ke kanan 15° sehingga grafik fungsinya adalah y = cos 2(x – 15°) ⇔ y = cos (2x – 30°) Jadi, grafik fungsi yang memenuhi adalah y = sin (2x + 60°) atau y = cos (2x – 30°). 6.

π

⇔ tan x =

Grafik fungsi Grafik fungsi dimisalkan mempunyai bentuk dasar y = a sin kx. Oleh karena nilai maksimumnya 1 sehingga nilai a = 1. Periode grafik (dari –30° sampai 150°) = 180°. ° °

sin x = cos x

π

π

{ , }.

b.

cos (2x – 20°) = – ⇔ cos (2x – 20°) = cos 150° ⇔

2x1 – 20° = 150° + k · 360° atau 2x2 – 20° = –150° + k · 360°

Untuk 2x1 – 20° = 150° + k · 360° ⇔

2x1 = 170° + k · 360°

⇔

x1 = 85° + k · 180°

Untuk 2x2 – 20° = –150° + k · 360° ⇔

2x2 = –130° + k · 360°

⇔

x2 = –65° + k · 180°

k = 0 ⇒ x1 = 85° + 0 · 180° = 85° ⇒ x2 = –65° + 0 · 180° = –65°

b.

k = 1 ⇒ x1 = 85° + 1 · 180° = 265°

k = 2 ⇒ x1 = 85° + 2 · 180° = 445° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {85°, 115°, 265°, 295°}. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

sin x = – atau sin x = 1

+ +

a.

+ +

a.

+ − − + −

=

x2 = (180° – 210°) + k · 360°

=0

k = 1 ⇒ x1 = 210° + 1 · 360° = 570° ⇒ x2 = –30° + 1 · 360° = 330° Untuk sin x = 1 ⇔

x1 = 90° + k · 360°

+

− −

= 0.

(cosec α – sin α)(sec α cosec α – cotan α)

α

= ( α – sin α)( α · α – α )

= ( α –

=

Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°, 330°}. a.

b.

+ +

=(

k = 0 ⇒ x1 = 90° + 0 · 360° = 90°

9.

Jadi,

− α α

sin x = sin 90°

⇔

+ − + + − − + −

x1 = 210° + k · 360° atau

⇒ x2 = –30° + 0 · 360° = –30°

− −

=

sin x = sin 210°

k = 0 ⇒ x1 = 210° + 0 · 360° = 210°

+

− + − + −

=

x2 = –30° + k · 360°

− −

=

⇔

+

b. (cosec α – sin α)(sec α cosec α – cotan α) Jawaban:

⇔

10. Sederhanakan bentuk operasi berikut.

Untuk sin x = – ⇔

–

= sec2 x – cosec2 x

= tan2 x – cotan2 x = (sec2 x – 1) – (cosec2 x – 1) = sec2 x – cosec2 x (terbukti)

⇒ x2 = –65° + 2 · 180° = 295°

2 cos2 x + sin x – 1 = 0 2(1 – sin2 x) + sin x – 1 = 0 2 – 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 –2 sin2 x + sin x + 1 = 0 2 sin2 x – sin x – 1 = 0 (2 sin x + 1)(sin x – 1) = 0 2 sin x + 1 = 0 atau sin x – 1 = 0

Bukti:

⇒ x2 = –65° + 1 · 180° = 115°

8.

–

α α

·

α α

)( α α –

α α α

)

− α

)( α α ) α α α

= cos α Jadi, (cosec α – sin α)(sec α cosec α – cotan α) = cos α.

tan A cos4 A + cotan A sin4 A = sin A cos A Bukti: tan A cos4 A + cotan A sin4 A =

· cos4 A +

· sin4 A

= sin A cos3 A + cos A sin3 A = sin A cos A cos2 A + cos A sin A sin2 A = sin A cos A (cos2 A + sin2 A) = sin A cos A (1) = sin A cos A (terbukti)

Matematika Kelas X

49

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menentukan kedudukan suatu unsur ruang (titik, garis, atau bidang) terhadap unsur ruang yang lain; 2. menentukan jarak antara dua unsur ruang; 3. menentukan sudut yang dibentuk oleh dua unsur ruang. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa berperilaku disiplin, konsisten, dan jujur sebagai dampak mempelajari konsep geometri.

Geometri

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

• • • • •

Menentukan kedudukan titik terhadap garis. Menentukan kedudukan titik terhadap bidang. Menentukan kedudukan garis terhadap garis. Menentukan kedudukan garis terhadap bidang. Menentukan kedudukan bidang terhadap bidang.

Jarak Titik, Garis, dan Bidang

• • • • • •

• • • •

50

Geometri

Menentukan jarak antara dua titik. Menentukan jarak antara titik dan garis. Menentukan jarak antara titik dan bidang. Menentukan jarak antara dua garis sejajar. Menentukan jarak antara garis dan bidang. Menentukan jarak antara dua bidang.

Memiliki sikap mandiri dan cermat dalam menyelesaikan masalah. Mampu menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang. Mampu menentukan jarak antara titik, garis, dan bidang. Mampu menentukan sudut dalam ruang antara garis dan bidang.

Sudut Titik, Garis, dan Bidang

• • •

Menentukan sudut antara dua garis. Menentukan sudut antara garis dan bidang. Menentukan sudut antara dua bidang.

A.

Pilihan Ganda

bidang DBG serta AH dan FH berpotongan dan pada bidang AFH maka bidang DBG sejajar bidang AFH. Jadi, bidang yang sejajar bidang AFH adalah bidang DBG. 9. Jawaban: d

1. Jawaban: b Ruas garis SW sebagai wakil garis h. Titik S dan W pada garis h. Titik P, Q, R, T, U, dan V di luar garis h. Jadi, titik Q dan U di luar garis h. 2. Jawaban: c Titik-titik yang berada pada bidang KNRO adalah K, N, R, dan O. Titik-titik yang berada di luar bidang MNRO adalah L, M, P, dan Q. Jadi, titik K dan R pada bidang KNRO. 3. Jawaban: c Titik P pada garis CF dan garis CF pada bidang CDEF, maka titik P pada bidang CDEF. Jadi, keududukan titik P pada di bidang CDEF.

N

L

P I

J F

E

P C

D A

B

4. Jawaban: e Rusuk-rusuk yang sejajar: AB//ED, BC//FE, dan CD//AF. Jadi, ada 3 pasang garis yang sejajar. 5. Jawaban: b Garis DT bersilangan dengan garis AB, berarti (i) salah. Garis BC bersilangan dengan garis AT, berarti (ii) benar. Garis BT berpotongan dengan garis DT, berarti (iii) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (ii) saja.

E D

A

G F

K

G H

H

M

O

B

Sisi-sisi yang sejajar ada 5 pasang: ABCDEFGH//IJKLMNOP, ABJI//FEMN, BCKJ//GFNO, CDLK//HGOP, dan DEML//HAIP.

C

10. Jawaban: b Jika garis g pada bidang V dan bidang V memotong bidang W, tidak dapat disimpulkan bahwa garis g memotong bidang W karena mungkin juga garis g sejajar bidang W seperti tampak pada gambar di samping. B.

V

W

Uraian

1. a. b. c. d.

6. Jawaban: c Garis BG terletak pada bidang BCGF. Oleh karena bidang BCGF sejajar dengan bidang ADHE, garis BG juga sejajar dengan bidang ADHE.

2. a. b.

7. Jawaban: d Perpotongan antara dua bidang berupa garis. Bidang ADHE dan bidang DCGH melalui titik D dan H, berarti kedua bidang tersebut berpotongan pada garis DH. 8. Jawaban: c Bidang ADHE sejajar bidang BCGF. Bidang DBFH dan CFH berpotongan dengan bidang AFH. Oleh karena BG sejajar AH dan DB sejajar FH, sedangkan DB dan BG berpotongan dan pada

d.

c.

3. a.

b.

Titik H pada garis DH. Titik F di luar garis AC. Titik G di luar bidang ADHE. Titik E pada bidang ACGE.

g

G

H E

F

D A

C B

Titik-titik pada garis TC adalah titik T dan C. Titik-titik di luar garis AB adalah titik C, D, dan T. Titik-titik pada bidang ABCD adalah titik A, B, C, dan D. Titik-titik di luar bidang TAD adalah titik B dan C. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan CH adalah AF, BG, DI, dan EJ. Jadi, banyak rusuk yang sejajar dengan CH ada 4. Rusuk-rusuk yang berpotongan dengan garis GH adalah BG, CH, FG, FJ, JI, dan IH. Jadi, banyak rusuk yang berpotongan dengan GH ada 6.

Matematika Kelas X

51

c.

Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garis DE adalah AF, BG, CH, FG, FJ, GH, dan IH. Jadi, banyak rusuk yang bersilangan dengan DE ada 7.

4. a.

Bidang-bidang yang sejajar dengan garis SW adalah PQUT dan QRVU. Bidang-bidang yang berpotongan dengan garis PQ adalah PSWT dan QRVU. Bidang yang sejajar dengan bidang QRVU adalah PSWT. Bidang-bidang yang berpotongan dengan bidang SRVW adalah PQRS, PSWT, TUVW, dan QRVU.

b. c. d.

5. a.

b.

Pernyataan bernilai salah karena ada kemungkinan garis g sejajar garis .

g

c.

k

Pernyataan bernilai salah karena ada kemungkinan garis g, garis , dan garis h tidak sebidang. g h

Pernyataan bernilai benar. d. g

k

Pernyataan bernilai benar. g

h k

2.

A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: c Perhatikan persegi panjang PQRS berikut. S

7,5 cm T

7,5 cm

Jawaban: e T

R 6 cm

10 cm

R 3 cm

S Q

P

Jarak titik T ke titik P sama dengan panjang ruas garis TP. Segitiga PST siku-siku di S, maka: TP =

TS2 + SP2

=

7,52 + 102

=

56,25 + 100

=

156,25 = 12,5 cm Jadi, jarak titik T ke titik P adalah 12,5 cm.

U P

4 cm

Jarak titik T ke S sama dengan panjang ruas garis TS. Segitiga PQS siku-siku di P, maka: PS2 + PQ2

SQ = =

32 + 42

=

9 + 16 25 = 5 cm

= SU =

1 SQ 2 1

= 2 ×5 = 2,5 cm

52

Geometri

Q

Segitiga TUS siku-siku di U, maka: TU2 + SU2

=

62 + 62

=

62 + 2,52

=

36 + 36

=

36 + 6,25

=

72

TS =

= 6 2 cm

= 42,25 = 6,5 cm Jadi, jarak titik T ke titik S adalah 6,5 cm. 3.

BE = BG = EG = 6 2 cm 1

Jawaban: d Perhatikan sisi PSWT pada balok PQRS.TUVW. T

W M

6 cm

BP = 2 BE 1

= 2 ×6 2 = 3 2 cm Segitiga BPG siku-siku di P, maka: GP =

P

8 cm

TP2 + PS2

TS = =

62 + 82

=

36 + 64

= 100 = 10 cm 1

Luas segitiga TPS adalah L = 2 × TS × PM atau 1

L = 2 × PS × PT, maka: 1 2 1 2

1

× 10 × PM =

(6 2)2 − (3 2)2

=

72 − 18

=

54

1 2

×8×6

⇔ 5 × PM = 24 ⇔ PM = 4,8 Jadi, jarak titik P ke garis TS adalah 4,8 cm. 4. Jawaban: a Panjang rusuk = 6 cm Jarak titik G ke diagonal BE sama dengan jarak titik G ke P dengan P titik tengah BE. Segitiga ABE siku-siku di A, maka:

5. Jawaban: e Perhatikan balok KLMN.PQRS berikut. Jarak titik R ke garis PM S sama dengan panjang P Q ruas garis RT dimana titik T pada garis PM dengan syarat ruas garis RT tegak lurus garis PM. Segitiga PQR siku-siku di Q, maka:

C B

=

32 + 42

=

9 + 16

PM =

R

12 cm

PQ2 + QR2 N K

F

P D A

Jadi, jarak titik G ke garis BE adalah 3 6 cm.

3 cm = 25 = 5 cm Segitiga MPR siku-siku di R, maka: G

H E

= 3 6 cm

PR =

× TS × PM = 2 × PS × PT

BG2 − BP2

= S

Jarak titik P ke ruas garis TS sama dengan panjang ruas garis PM dengan M titik pada ruas garis TS sedemikian hingga PM tegak lurus TS. Segitiga TPS siku-siku di P, maka:

⇔

AB2 + AE2

BE =

L

M 4 cm

PR2 + RM2

=

52 + 122

=

25 + 144

= 169 = 13 cm

Matematika Kelas X

53

1

Luas segitiga MPR adalah L = 2 × PM × RT atau L=

⇔

1 × PR × RM, maka: 2 1 1 × PM x RT = 2 × PR 2 1 1 × 13 × RT = 2 × 5 × 2

⇔

RT = =

1 2

× RM 12

× 13

60 13 60

E

M

H

G

N D

ruang, maka AG = 8 3 cm. Segitiga AEM siku-siku di A, maka: AE = 8 cm EM =

1 EH 2

=

1 2

=

64 + 16

=

80 cm

MG = AM = 4 5 cm Segitiga AMN siku-siku di N, maka: AM = 4 5 cm 1

AN = 2 AG = 2 × 8 3 = 4 3 cm MN =

AM2 − AN2

=

(4 5)2 − (4 3)2

=

80 − 48

=

32

= 4 2 cm Jadi, jarak titik M ke AG adalah 4 2 cm.

54

Geometri

=

72

6 cm

F B

AF = BF = 3 2 cm. ∆TAF siku-siku di A, maka:

AT2 + AF2

TF = =

62 + (3 2)2

=

36 + 18

=

54

= 3 6 cm Luas segitiga TAF: 1

1

1

1

L = 2 × AT × AF = 2 × TF × AE ⇔ 2 × 6 × 3 2 = 2 × 3 6 × AE

= 4 5 cm

1

62 + 62

C

A

AF tegak lurus BC dan BF = FC = 2 BC = 3 2 cm. Oleh karena ∆ABC siku-siku sama kaki, ∠ABC = 45°. Sehingga ∆ABF siku-siku sama kaki dengan

× 8 = 4 cm

AE2 + EM2

AM =

C B

=

E

1

F

A

6 cm

= 6 2 cm

Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah 13 cm. 6. Jawaban: d AMG segitiga sama kaki, maka MN tegak lurus AG dengan N titik tengah AG. Jarak titik M dengan garis AG sama dengan panjang ruas garis MN. AG merupakan diagonal

T

AB2 + AC2

BC =

× 5 × 12 1 2

7. Jawaban: b Jarak titik A ke bidang TBC sama dengan jarak titik A ke garis TF yaitu panjang AE. ∆ABC siku-siku di A, maka:

3

⇔

9 2 = 2

⇔

AE =

6 3

6 AE

=2 3

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 2 3 cm. 8. Jawaban: e H

G

E

F

D A

P

C B

E

G

Q x cm P

Jarak titik E ke bidang BGD sama dengan jarak titik E ke garis GP dengan P titik tengah BD, yaitu sama dengan panjang EQ.

Jarak garis BC ke garis EH sama dengan jarak B ke garis EH yaitu panjang ruas garis BE. Segitiga ABE siku-siku di A, maka:

EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang EG = AC = 8 2 cm. Segitiga APE siku-siku di A dengan: AE = 8 cm

BE =

1

AP = 2 AC 1

= 2 ×8 2 = 4 2 cm 2

AE + AP

EP = =

64 + 32

=

96

⇔ ⇔

x=

⇔

x=

⇔

x=

2

EP − PQ

=

96 −

=

256 3

A

8 cm

R

L

D

C

N F

6 cm

10 cm Q

L

8 cm

B

M

12 cm

C 6 cm

O

M 6 cm

A

6 cm 8 cm

R

8 cm

B

Jarak bidang PQRS dan KLMN sama dengan jarak antara QR dan LM yaitu OL. Segitiga AQR siku-siku di A, maka: QR =

64 8 6 8 6 6

4 3

G

K

Q

AQ2 + AR2

=

62 + 82

=

100 = 10 cm 1

Luas segitiga QRL adalah L = 2 × QR × OL

6

Diperoleh panjang PQ =

1

4 3

atau L = 2 × RL × AR sehingga:

6 cm.

1 2

2

⇔

64 6

1

× QR × OL = 2 × RL × AR OL = =

RL × AR QR 12 × 8 10

= 9,6 cm

Jadi, jarak bidang PQRS dan KLMN adalah 9,6 cm.

3 cm 16

Jadi, jarak titik E ke bidang BGD adalah 3

3 cm.

B. Uraian 1. Panjang rusuk kubus = AB = 6 cm Panjang diagonal bidang kubus = AC = 6 2 cm

9. Jawaban: b H

G

E

F D

A

180

D

64 = 8 6 x

6 cm

=

S

E

96 – x2 = 128 – 96 + 8 6 x – x2

16

144 + 36

H P

(4 6 )2 – x2 = (8 2 )2 – (4 6 – x)2

= 3

=

10. Jawaban: c

Misalkan PQ = x cm, maka GQ = (4 6 – x) cm. EQ2 = EP2 – PQ2 = EG2 – GQ2

EQ =

122 + 62

Jadi, jarak garis BC ke garis EH adalah 6 5 cm.

GP = EP = 4 6 cm

⇔

=

= 6 5 cm

2

= 4 6 cm Perhatikan segitiga EGP.

⇔

BA 2 + AE2

C 8 cm 12 cm

B

Panjang diagonal ruang kubus = AG = 6 3 cm a. Jarak titik A dan H G titik H sama dengan panjang E F diagonal bidang AH yaitu 6 2 cm.

D A

Matematika Kelas X

C B

55

Jarak titik C ke titik P sama dengan panjang ruas garis CP. HP = =

1 2 1 2

H

G

P E

F

HE

D

×6

a.

A

C B

= 3 cm Ruas garis CH merupakan diagonal bidang, maka CH = 6 2 cm. Segitiga CHP siku-siku di H, maka:

b.

CH2 + CP2

CP = =

(6 2)2 + 32

=

72 + 9

FQ =

1 2

FH =

1 2

=

62 + (3 2)2

=

36 + 18

=

54

E

36 + 108

= 144 = 12 cm Jadi, jarak titik B ke garis GH adalah 12 cm. Jarak titik D ke garis EG sama dengan jarak titik D ke titik P dengan P titik tengah EG, yaitu panjang ruas garis DP. Segitiga HEF siku-siku di E, maka:

G F

6 3 cm

=

62 + 62

=

36 + 36

=

72

1

=2 ×6 2 = 3 2 cm Segitiga DHP siku-siku di H, maka: DP =

C 6 cm

A

56

6 cm

Geometri

B

DH2 + HP2

=

(6 3)2 + (3 2)2

=

108 + 18

=

126

Perhatikan segitiga ACE di samping. Jarak titik A ke garis CE sama dengan panjang ruas garis AQ dengan Q pada CE sedemikian hingga AQ tegak lurus CE. Segitiga ACE sikusiku di A, maka: CE =

D

HE2 + EF 2

1

c.

P

=

Jadi, jarak titik D ke garis EG adalah 3 14 cm.

Jadi, jarak titik B ke titik Q adalah 3 6 cm. H

62 + (6 3)2

= 3 14 cm

= 3 6 cm

2.

=

HP = 2 HF

Segitiga BFQ siku-siku di F, maka:

BF 2 + FQ2

BC2 + CG2

= 6 2 cm

× 6 2 = 3 2 cm

BQ =

BG =

HF =

= 81 = 9 cm Jadi, jarak titik C ke titik P adalah 9 cm. Jarak titik B ke H G titik Q sama Q dengan panjang E F ruas garis BQ. Ruas garis FH merupakan D E diagonal bidang, maka FH = 6 2 B A cm.

c.

Jarak titik B ke garis GH sama dengan jarak titik B ke titik G, yaitu panjang ruas garis BG. Segitiga BCG siku-siku di G, maka:

E

6 3 cm

b.

AC2 + AE2

=

(6 2)2 + (6 3)2

=

72 + 108

=

180 = 6 5 cm

A

Q

6 2 cm

C

1 2

1

Luas segitiga ACE adalah L = 2 × CE × AQ 1

1 2

⇔

1 2

× 6 5 × AQ =

⇔

×6 2 ×6 3

=

6 5

G P

E

P

b.

A

b.

R

C

Q B

Q

Jarak titik P dengan bidang ABCD sama dengan jarak titik P dengan titik Q dengan Q titik pusat ABCD. PQ = AE = 4 cm Jadi, jarak titik P dengan bidang ABCD adalah 4 cm. Jarak titik P dengan bidang BDG sama dengan jarak titik P ke garis QG, yaitu panjang ruas garis PR. EG merupakan diagonal bidang, maka EG = 4 2 cm. 1

PG = 2 EG 1

= 2 ×4 2 = 2 2 cm Segitiga PQG siku-siku di P, maka: QG =

PQ2 + PG2

=

42 + (2 2)2

=

16 + 8

=

24 = 2 6 cm

Luas segitiga PQG: 1

L∆PQG = 2 × QG × PR atau 1

4. a.

G

F 4

D

4 3

30 cm

30 cm. H

L∆PQG = 2 × PQ × PG

4 2 6 4

3

4 3

3 cm

Jadi, jarak titik P dengan bidang BDG adalah

Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah

a.

PR = =

18 6 3 5

AQ = =

3.

⇔

3 5 × AQ = 18 6

⇔

6 5

1

× 2 6 × PR = 2 × 4 × 2 2 PR 6 = 4 2

⇔

1

× CE × AQ = 2 × AC × AE 1 2

1 2

⇔

atau L = 2 × AC × AE, maka:

1

× QG × PR = 2 × PQ × PG

3 cm.

Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan panjang TO atau tinggi limas yaitu 6 cm. Jarak titik O ke bidang TBC sama dengan jarak titik O ke garis TP yaitu panjang ruas garis OR. TO = 6 cm

T

R D A

O

B

P

C

1

OP = 2 AB 1

= 2 ×9 = 4,5 cm Segitiga TOP siku-siku di O, maka:

TO2 + OP2

TP = =

62 + 4,52

=

36 + 20,25

= 56,25 = 7,5 cm Luas segitiga TOP: 1

LTOP = 2 × TP × OR atau 1

LTOP = 2 × OP × OT

⇔ ⇔

1 2

× TP × OR = 2 × OP × OT

1

1 2

× 7,5 × OR = 2 × 4,5 × 6

1

OR = =

4,5 × 6 7,5 27 7,5

= 3,6 cm Jadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah 3,6 cm.

Matematika Kelas X

57

5. Jarak BC ke bidang PQRS adalah XU (lihat gambar). T AU2 = AB2 – BU2 2 2 = 10 – 6 = 100 – 36 D R F S = 64 ⇔ AU = 8 cm X UF2 = AU2 – AF2 A C Q = 82 – 42 P E U = 64 – 16 B = 48 ⇔ UF =

48 = 4 3 cm

NL =

N

M α

9 cm

1. Jawaban: a Perhatikan persegi panjang KLMN berikut. Sudut antara garis KN dan LN adalah ∠KNL. Segitiga KNL siku-siku di K, maka:

NK 2 + KL2

K

L

12 cm

∆UXE dan ∆UFA sebangun. E titik tengah AU dan D titik tengah TU. XU UF

EU

= AU

⇔ XU = =

3. Jawaban: b Sudut antara garis AC dan TC adalah adalah ∠ACT = ∠PCT = α dengan P merupakan titik tengah AC. Segitiga ABC sikusiku di B, maka:

81 + 144

=

42 + 42

=

16 + 16

=

32

T

4 cm α

D P A

4 cm

C 4 cm

B

= 4 2 cm

NK NL

1

1

PC = 2 AC = 2 × 4 2 = 2 2 cm Segitiga TPC siku-siku di P, maka:

9

PC

3

= 5 Jadi, nilai kosinus sudut antara garis KN dan LN 3

adalah 5 . H

G

E

F

D A

C B

2 2

1

cos α = TC = = 2 2 4 ⇔ α = 45° Jadi, besar sudut antara garis AC dan TC adalah 45°. 4. Jawaban: e Proyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C, berarti sudut antara AG dan ABCD adalah ∠GAC = α. CG = 8 cm H G AC2 =

AB2 + BC2

=

64 + 64

=

128

= 8 2 cm

Geometri

A

AB2 + BC2

=

= 15

58

F

T

Jadi, jarak BC ke bidang PQRS adalah 2 3 cm.

AC =

2. Jawaban: c Sudut antara garis BG dan BD yaitu ∠GBD. Oleh karena segitiga BDG sama sisi, besar ∠GBD = 60°. Jadi, besar sudut antara garis BD dan BG adalah 60°.

E

X

=2 3

92 + 122

cos α =

D

UF × EU AU 4 3×4 8

=

= 225 = 15 cm Misalkan besar ∠KNL = α, maka:

U

F

E

α

A

C

D B

AC2 + CG2

AG =

PB2 + BC2

PC =

=

128 + 64

=

42 + 62

=

192

=

16 + 36

= 8 3 cm

=

52

cos α = = =

AC AG

= 2 13 cm Segitiga PCQ siku-siku di C dengan CQ = 4 cm, maka:

6 2 6 3 1 6 3

5. Jawaban: c H

G

P

E

PC2 + QC2

PQ =

E

P

F 4 cm

=

(2 13)2 + 42

=

52 + 16

=

68

= 2 17 cm Besar ∠QPC = θ, maka:

A

B

Sudut antara AE dan bidang AFH sama dengan sudut antara AE dan AP dengan P titik tengah HF, berarti α = ∠EAP. EG merupakan diagonal bidang, maka: EG = 4 2 cm EP =

1 2

=

EG

1 2

×4 2

16 + 8

=

24

sin α =

=

Jadi, nilai sin α =

= 1 3

=

1 3

3

P

B

A Q

16 cm

G = Q′

P′

O F

2

=

OP′ + OG

=

(8 3)2 + 82

=

192 + 64

OG

cos θ = P′Q′ G F

8

= 16 1

Q

θ

D A

C

D

E 2

G F

= 256 = 16 cm

3.

6. Jawaban: d Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut. Sudut antara garis PQ H dengan bidang ABCD E adalah ∠QPC = θ. Segitiga PBC siku-siku di B dengan PB = 4 cm dan BC = 6 cm, maka:

Q

E

P

= 8 3 cm

1 3

H

θ

P′Q′ = P′G

2 2 2 6

P

H

2

= 3 × 12 3

= 2 6 cm EP AP

2

alas adalah 17 17 . 7. Jawaban: c Sudut antara garis yang melalui PQ dan bidang BCGF sama dengan sudut antara garis P'Q' dan garis FG, yaitu θ. 2

AE2 + EP2

=

2

OP′ = 3 EF

= 2 2 cm AP =

4

CQ

sin θ = PQ = 2 17 = 17 17 Jadi, nilai sinus sudut antara garis PQ dan bidang

A

10 cm

C

D

C

= 2 ⇔ θ = 60° Jadi, besar sudut antara PQ dan BCGF adalah 60°.

B

Matematika Kelas X

59

BQ = BC

8. Jawaban: b

1

G

H E

= 2 ×3

F

3

= 2 cm Segitiga TBQ siku-siku di Q, maka:

α

D

TB2 − BQ2

TQ =

C

P A

B

=

36 −

=

135 4

9 4

Bidang ABCD dan bidang BDG berpotongan pada garis BD. Jika P titik tengah BD maka GP dan CP berpotongan di P dan GP tegak lurus BD. Sudut antara bidang ABCD dan BDG sama dengan sudut antara GP dan CP, yaitu ∠GPC = α. Segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = BC = a cm,

= 2 15 cm Segitiga TOQ siku-siku di O, maka:

maka AC = a 2 cm.

cos α = TQ

3

OQ

1

CP = 2 AC

=

1

= 2 ×a 2

15

1

2

1

CP + CG

( 2 a 2)2 + a2

=

1 2 a 2

=

3 2 a 2

T

2

1

D

= 2a 6 CP

cos α = GP =

1 a 2 1 a 2

2 6

1 3

=

dengan bidang BDG adalah

1 3

A

1

= 2 ×3 D A

60

Geometri

a

a B

Perhatikan ∆TOE. 4

⇔

C Q

O B

OE TE 1 a 2

4

= 5

⇔

TE

⇔

TE =

4

= 5 1

⇔

P

a E

1 2

3

1 PQ 2

3

1 2

sin α = 5 ⇒ cos α = 5

3.

9. Jawaban: a Sudut antara bidang TBC dan ABCD sama dengan sudut antara TQ dan PQ dengan P dan Q titik tengah ruas garis AD dan BC, berarti α = ∠TQP = ∠TQO. T PQ = AB = 3 cm

= 2 cm

C

α O

1

= 3 3

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang ABCD

OQ =

15 .

10. Jawaban: c Sudut antara bidang TAB dan ABCD adalah ∠TEO = α.

1

=

15 cm

Jadi, nilai cos α = 15

2

+a

3 2

= 15

1

= 2 a 2 cm Segitiga PCG siku-siku di C, maka: GP =

3 2

TE =

5× 2a 4

5 8

a

∆AET siku-siku di E, maka:

AE2 + TE2

TA =

1

1

( 2 a)2 + ( 8 a)2

=

1 2 a 4

=

16 2 a 64

=

41 2 a 64 a 8

= 2 × 14 = 7 cm Segitiga OPC siku-siku di O, maka:

5

=

=

+

25 2 a 64

+

=

72 + (7 2)2

=

49 + 98

=

147

= 7 3 cm a 8

Pada segitiga OPC berlaku:

41 .

OP PC

sin θ =

Sudut antara garis AH dan AD adalah ∠DAH = θ. Segitiga ADH sikusiku sama kaki, maka besar ∠DAH = θ = 45°. cos θ = cos 45° = 1 2

OP2 + OC2

41

Uraian

1. a.

PC =

25 2 a 64

Jadi, panjang rusuk TA adalah B.

1

OC = 2 AC

=

7 7 3

1

= 3 3

1

H

⇔ θ = arcsin 3 3 = arcsin 0,58 = 35,3° Jadi, besar sudut antara garis PC dengan bidang ABCD adalah 35,3°.

G

E

F

C

D

S

α Q

P

B

A

3.

2

8 cm

Jadi, nilai kosinus sudut antara garis AH dan 1

b.

AD adalah 2 2 . Sudut antara garis EC dan dan EG yaitu ∠CEG = α. EG merupakan diagonal bidang, maka EG = 6 2 cm. EC merupakan diagonal ruang, maka EC = 6 3 cm. Segitiga CGE siku-siku di G, maka: EG

cos α = EC =

6 2 6 3

1

= 3 6

Jadi, nilai kosinus sudut antara garis EC dan 1

EG adalah 3 6 .

= =

T

AB2 + BC2

15 cm

L

M 10 cm

Sudut antara bidang KMRP dengan bidang LMRQ sama dengan sudut antara garis PR dan QR yaitu ∠PRQ = α. Segitiga PQR siku-siku di Q, maka: PQ

15

tan α = QR = 10 = 1,5 ⇔ α = arctan 1,5 = 56,3° Jadi, besar sudut antara bidang KMRP dengan bidang LMRQ adalah 56,3°. 4. Sudut antara TPQ dan TAC adalah ∠STO. ∆OST siku-siku di O. OS = 2 OB 1

T

1

= 2 × 2 BD 1

= 4 × 12 2

142 + 142 2 × 14

K

N

1

2. Sudut PC dengan bidang ABCD adalah ∠PCO = θ. Segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC =

R

D

C

= 3 2 cm

P

O

2

= 14 2 cm

D A

C O

R

A

P

Q S B

B

Matematika Kelas X

61

TS =

OT2 + OS2

PQ

=

152 + (3 2)2

=

243

= 9 3 cm OS

PQ

3 2

1

sin ∠STO = TS = = 9 6 9 3 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TPQ dan TAC 1

adalah 9 6 . 5. Tinggi gedung 60 m, berarti PQ = 60 m. PA pada tanah dan PQ pada gedung, maka segitiga APQ siku-siku di P. Besar sudut PAQ = 30° sehingga berlaku: tan 30° =

60

⇔ PA = tan 30° = 0,5774 = 103,9141 m PB pada tanah dan PQ pada gedung, maka segitiga BPQ siku-siku di P. Besar sudut PBQ = 40° sehingga berlaku:

PQ PA

PQ

60

⇔ PB = tan 40° = 0,8391 = 71,5052 m PA ke arah barat dan PB ke arah utara, maka segitiga APB siku-siku di P dan berlaku:

PA 2 + PB2

AB = =

(103,9141)2 + (71,5052)2

=

10.798,1402 + 5.112,9936

= 15.911,1338 = 126,1393 m Jadi, jarak kedua mobil sekitar 126 meter.

6. Jawaban: a

1. Jawaban: c Ruas garis AD sebagai wakil garis g. Ruas garis AD melalui titik A dan D. Jadi, titik A dan D pada garis g.

3. Jawaban: c Garis TL dan garis MN tidak berpotongan dan tidak sejajar, berarti garis TL dan MN bersilangan. W T

U

S

S

R

P

Q

Pada gambar tampak bidang PQVW dan bidang QRWT berpotongan pada garis QW. 7. Jawaban: c AB = 2 cm, maka BC = AE = 1 cm AH =

V

AD2 + DH2

=

12 + 12

=

1+ 1 =

2 cm

Jadi, panjang AH =

U

P

V

W T

2. Jawaban: c Titik-titik yang berada pada bidang ABEF adalah A, B, E, dan F. Titik-titik yang berada di luar bidang ABEF adalah C, D, G, dan H. Jadi, titik D di luar bidang ABEF.

4. Jawaban: d Bidang QRVU sejajar dengan bidang PSWT berarti garis-garis pada bidang QRVU sejajar dengan bidang PSWT, misalnya garis QR, QV, RV, dan UV. Jadi, garis QV sejajar bidang PSWT.

tan 40° = PB

R

8. Jawaban: d V

W

Q

5. Jawaban: b Sisi-sisi yang sejajar JE adalah ABGF, BCHG, dan CDIH.

2 cm.

T

U S

P

5 cm R 6 cm

8 cm

Q

Jarak titik T ke titik R sama dengan panjang ruas garis TR.

62

Geometri

Segitiga PBC siku-siku di B, maka:

Segitiga PQR siku-siku di Q, maka: 2

PQ + QR

PR =

2

2

=

8 +6

=

64 + 36

= 100 = 10 cm Segitiga PRT siku-siku di P, maka: =

102 + 52

=

100 + 25

=

125

1

1

1

1

C

D O

1

B

A

OC = 2 AC

BQ = 3 3

Jadi, jarak B ke PC adalah 3 3 cm.

T

AC = 8 2 cm

11. Jawaban: b Panjang rusuk = 4 cm E Panjang diagonal sisi = AF = AH = HF = 4 2 cm Jarak titik A ke diagonal FH sama dengan jarak titik A ke P dengan A P titik tengah FH. Segitiga APF siku-siku di P.

H

P

G F

D

C B

1

PF = 2 HF

= 4 2 cm

1

= 2 ×4 2 = 2 2 cm

Segitiga TOC siku-siku di O, maka:

TC2 − OC2

=

102 − (4 2)2

=

100 − 32

=

68

AF2 − FP2

AP =

= 2 17 cm Jadi, jarak titik T ke titik tengah bidang alas adalah 2 17 cm.

=

(4 2)2 − (2 2)2

=

32 − 8

=

24

= 2 6 cm Jadi, jarak titik A ke garis FH adalah 2 6 cm. 12. Jawaban: d

10. Jawaban: a H

C

C B

P

Jarak B ke PC adalah BQ.

E

F T

6 3

Q D

G

H

G F

P

36 + 108

⇔

9. Jawaban: b Jarak titik T ke titik tengah bidang alas sama dengan panjang TO. ABCD merupakan persegi dengan panjang sisi 8 cm.

A

=

⇔ 2 × 6 × 6 3 = 2 × 12 × BQ ⇔ 18 3 = 6 BQ

Jadi, jarak titik T ke titik R adalah 5 5 cm.

E

62 + (6 3)2

L = 2 × PB × BC = 2 × PC × BQ

= 5 5 cm

TO =

=

= 144 = 12 cm Luas segitiga PBC:

PR2 + PT 2

TR =

PB2 + BC2

PC =

2

C

D 6

B

A

P

B

Jarak titik P terhadap garis AH adalah PT.

Matematika Kelas X

63

14. Jawaban: d Panjang rusuk = 10 cm Panjang diagonal sisi

DC : CP = 3 : 1 ⇔ 12 : CP = 3 : 1 ⇔

1 × 12 3

CP =

= 4 cm DP = DC + CP = 12 + 4 = 16 cm Perhatikan ∆APH.

=

162 + 122

=

400

1 AH 2

D A

B

1

= 5 2 cm

)

2

=

20 − (6 2 )

=

400 − 72

Jadi, jarak titik P ke garis CE adalah 5 2 cm.

2

15. Jawaban: d G

H

328

G

F

E

= 2 82 cm

Q

Jadi, jarak titik P terhadap garis AH adalah

D

C

2 82 cm.

P

AC = 8 2 cm 1

=

P

AC = 4 2 cm.

×8 2

1

PC = 2 AC

= 4 2 cm TO =

C

D O

TA 2 − AO2 2

A

B

2

=

(8 2) − (4 2)

=

128 − 32

=

PC2 + CG2

96

=

(2 2)2 + 42

= 4 6 cm

=

8 + 16

=

24

1

L∆TAC = 2 × TO × AC = 2 × CP × TA ⇔ CP = =

TO × AC TA 4 6×8 2 8 2

= 4 6 cm Jadi, jarak titik C ke garis TA adalah 4 6 cm.

64

1

= 2 ×4 = 2 cm Segitiga PCG siku-siku di C, maka: PG =

1

Geometri

C

Jarak titik C dengan bidang BDG sama dengan jarak titik C ke garis PG, yaitu panjang ruas garis CQ. Ruas garis AC merupakan diagonal bidang, maka

T

AO = 2 AC

P

B

A

13. Jawaban: a Jarak titik C ke garis TA adalah CP.

1 2

C

Q

= 2 × 10 2

202 −

=

R

1

=

2

F

PR = 2 PQ

AP2 − AT2

(

E

G

= 10 2 cm

= 20 cm PT =

P

= AF = 10 2 cm Jarak titik P ke diagonal CE sama dengan jarak titik P ke R dengan R titik tengah PQ. PQ = AF

DP2 + DH2

AP = PH =

H

= 2 6 cm 1

Luas segitiga PCG adalah L = 2 × PG × CQ atau 1

L = 2 × PC × CG, maka:

1 2 1 2

⇔

1

1 2

× PG × CQ = 2 × PC × CG 1

⇔

6 PR = 4 2

⇔

16. Jawaban: d Jarak titik O ke bidang TBC sama dengan panjang ruas garis OR. 2

TO + OP

=

82 + 62

=

64 + 36

PE =

4

4 2 6

3 cm.

TP =

5

1

PQ = 2 PE 1

5

5 6

R O

6 cm

1

P

L∆TOP = 2 × TO × OP

6 cm.

18. Jawaban: a Jarak garis PQ ke bidang ACH sama dengan jarak titik P ke bidang ACH. H

1

= 2 × TP × OR 8×6

48

N

E

F

N

H

RH =

Jarak antara garis BH dan MN sama dengan panjang ruas garis PQ. Ruas garis EH merupakan rusuk, maka EH = 5 cm. Ruas garis EB merupakan diagonal bidang, maka EB = 5 2 cm. Ruas garis BH merupakan diagonal ruang, maka BH = 5 3 cm. Luas segitiga BEH adalah L∆BEH = atau L∆BEH =

1 2

× EB × EH, maka:

1 2

2 2

R

2 2

B

B

1 BD 2

1

× BH × PE

DH2 + DR2

=

42 + (2 2)2

=

16 + 8

=

24

C

B

D

= 2 × 4 2 = 2 2 cm Segitiga DRH siku-siku di D, maka:

C B

2 C

R

A

BR = DR = P

A

2

P D

M

D

F

P

G

M

H

F

4

= 10 = 10 = 4 5 cm

G

E

G

Q

E

17. Jawaban: b Perhatikan kubus ABCD. EFGH berikut. H

5

= 2 × 3 6 = 6 6 cm Jadi, jarak antara garis BH dan MN adalah

8 cm

TO × OP TP

5 2×5 5 3

= 3 6 cm N merupakan titik tengah EH dan M merupakan titik tengah EB, maka Q merupakan titik tengah EP sehingga:

T

2

= 100 = 10 cm

⇔ OR =

1

× 5 3 × PE = 2 × 5 2 × 5

⇔

= 3 3 cm Jadi, jarak titik C dengan bidang BDG adalah 4 3

PR =

1 2

⇔

× 2 6 × CQ = 2 × 2 2 × 4

1

× BH × PE = 2 × EB × EH

= 2 6 cm Segitiga RBP siku-siku di B, maka: RP =

BR2 + BP2

=

(2 2)2 + 22

=

8+4

=

12

= 2 3 cm

Matematika Kelas X

65

Segitiga PFH siku-siku di F, maka:

20. Jawaban: e Oleh karena AF ⊥ BE dan DG ⊥ CH, bidang yang memuat AF dan DG tegak lurus dengan bidang yang memuat BE dan CH. Jadi, ADGF ⊥ BCHE.

PF2 + FH2

PH = =

22 + (4 2)2

=

4 + 32

=

36 = 6 cm

Perhatikan segitiga RPH. RH2 + RP2 = 24 + 12 = 36 = PH2 Oleh karena RH2 + RP2 = PH2 segitiga RPH siku-siku di R yang berarti PR tegak lurus RH. Dengan demikian, jarak P ke RH sama dengan panjang RP = 2 3 cm. Jadi, jarak garis PQ ke bidang ACH adalah 2 3 cm. 19. Jawaban: a Jarak bidang BEG ke bidang ACH sama dengan jarak titik P ke bidang ACH. H E

F

D

PQ2 + HP2

P

H

1

a2 + ( 2 a 2)2 1 2 a 2

⇔

72 =

⇔

72 = 2 a2

⇔

a2 =

⇔ ⇔

a2 = 48 a = 4 3 cm

+

R

72 × 2 3

Q

2

12 + 9

TQ 2 + TW 2

12 cm

Q

3

PB2 + BC2

=

52 + 52

=

25 + 25

=

50

=

(5 2)2 + 52

1

=

50 + 25

1

=

75

L∆HQP = 2 × HP × PQ atau L∆HQP = 2 × HQ × PR × HQ × PR = =

1 2

= 5 3 cm × HQ × PQ

2 6×4 3 6 2

= 4 cm

Jadi, jarak titik P ke bidang ACH adalah 4 cm.

Geometri

20 cm

P

15

R

S

9 cm

QW adalah 5 . 23. Jawaban: a Sudut antara PQ dengan bidang ABCD adalah ∠QPC = θ.

PC2 + CQ2

HP × PQ HQ

V

U

T

PQ =

⇔ PR =

W

2

= 5 2 cm

Diperoleh HP = 2 6 cm dan PQ = 4 3 cm. Jarak titik P pada bidang ACH sama dengan panjang PR.

66

=

PC =

3

1 2

B

3

1

Jika PQ = a maka HP = 2 a 2 .

a2

C

D

PQ 2 + PT 2

TQ

Perhatikan ∆HPQ.

⇔ 6 2 =

G

F

cos ∠TQW = QW = 25 = 5 Jadi, nilai kosinus sudut antara garis TQ dan garis

B

HQ =

TQ =

2 2 = 15 + 20 = 25 cm ∆TQW siku-siku di T.

C

Q

A

H

22. Jawaban: c Sudut antara garis TQ dan garis QW adalah ∠TQW.

QW =

R

E

A

= 15 cm

G

P

21. Jawaban: c DBG merupakan segitiga sama sisi, maka besar ∠BDG = 60°. Jadi, besar sudut antara garis BD dan DG adalah 60°.

G

H E

F Q

θ

D A

P

C B

cos θ = =

2

PC PQ

OC = 3 CD 2

5 2 5 3

= 3 ×3 3 = 2 3 cm

1

= 3 6 Jadi, nilai kosinus sudut antara garis PQ dengan

OC

cos α = TC

1

=

24. Jawaban: c

Jadi, nilai kosinus sudut antara TC dan bidang ABC

G

H P

E

2 3 6 3 1 3

=

bidang alas adalah 3 6 .

1

adalah 3 .

F

26. Jawaban: b H O

α D

E

C

A

F

F′

B

8 cm

Jika P titik tengah EG maka sudut antara garis BF dan bidang BEG sama dengan sudut antara BF dan BP, yaitu ∠FBP = α. Segitiga BPF siku-siku di F. BF = 4 cm FH = 4 2 cm FP = =

1 FH 2 1 ×4 2

tan α = = =

Sudut antara PF dan bidang ACGE adalah ∠OAF′. 1

OE = 4 EG 1

2

Segitiga EOF′ sama kaki dan siku-siku di O, maka

PF BF

OF′ = OE = 2 2 cm.

2 2 4 1 2 2

AF′ =

25. Jawaban: e T

T

6 3

6 3

C D

6

3 B

D

O

α

C

Misalkan sudut antara TC dengan ABC adalah ∠TCD = α. CD =

BC2 − BD2

=

36 − 9

=

27

AE2 + EF′2

=

82 + 42

=

64 + 16

=

80 = 4 5 cm

AO =

3

C

D A 4 cm P 4 cm B

= 4 ×8 2 = 2 2 cm

= 2 2 cm

A

G

EO2 + AE2

=

(2 2)2 + 82

=

8 + 64

=

72

= 6 2 cm Segitiga OAF′ siku-siku di O, maka: tan ∠OAF′ =

OF′ AO

=

2 2 6 2

1

= 3 Jadi, nilai tangen sudut antara PF dan bidang ACGE 1

adalah 3 .

= 3 3 cm Matematika Kelas X

67

27. Jawaban: b Besar sudut antara bidang ABFE dengan bidang ABPQ sama dengan sudut antara bidang CDQP dengan bidang ABPQ yaitu ∠BPC. CP : CG = 3 : 4 3

cos α = = =

3

⇔ CP = 4 CG = 4 × 8 = 6 cm Segitiga BCP siku-siku di C, maka:

2

1

29. Jawaban: a Sudut antara bidang APQ dan ABCD adalah ∠OAR.

2

=

4 +6

=

16 + 36

=

52

AO = =

= 2 13 cm sin ∠BPC = = =

BC BP 4 2 13 2 13

TO =

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang ABFE dengan 2

PO = =

1 2

P

D

A

1

= 2 ×2 = 1 cm Segitiga TAP siku-siku di P, maka:

=

25 − 1

=

24

= 2 6 cm

68

Geometri

Q

O

AP = 2 AD

TA2 − AP2

6 6 cm D

R P

C

O

TA 2 − AO2 2

2

=

(6 6) − (6 2)

=

144

A

12 cm

B

= TB ⇔ TR =

TO ⋅ TP TB

=

12 ⋅ 3 6 6 6

TP

= 6 cm

= 1 cm

TP =

TR TO

T

×2

1

Q

2

= 12 cm ∆TQP dan ∆TDB sebangun.

bidang ABPQ adalah 13 13 .

1 PQ 2

T

1 AC 2 1 × 12 2

= 6 2 cm

13

28. Jawaban: a Sudut antara bidang TAD dan ABCD sama dengan sudut antara TP dan PQ dengan P dan Q titik tengah AD dan BC, berarti α = ∠TPQ = ∠TPO. PQ = AB = 2 cm

PO TP 1 2 6 1 6 12

Jadi, nilai cos α = 12 6 .

BC2 + CP2

BP =

Segitiga TOP siku-siku di O, maka:

B

C

OR = TO – TR = 12 – 6 = 6 cm AR =

AO2 + OR2

=

(6 2)2 + 62

= 6 3 cm AO

cos ∠OAR = AR =

6 2 6 3

=

2 3

1 3

=

6

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang APQ dan ABC adalah

1 3

6.

30. Jawaban: b Oleh karena EP = BP dan ED = BD maka EO = BO. Sudut antara bidang BPD dan EPD adalah ∠BOE. ED = BD = 8 2 cm

d. H

G P

E

F

8 cm

O D

8 cm

B

BF2 + FP2

=

82 + 42

=

80

= 4 5 cm DP =

HP2 + DH2

=

(4 5)2 + 82

=

144

= 12 cm EO dan BO tegak lurus DP. Misalkan DO = x maka PO = 12 – x. EO2 = BO2 = BD2 – DO2 = BP2 – PO2 ⇔ (8 2 )2 – x2 = (4 5 )2 – (12 – x)2 ⇔ 128 – x2 = 80 – 144 + 24x – x2 ⇔ 24x = 192 ⇔ x=8 BO = =

2

BD − DO

2

(8 2)2 − 82

= 8 cm EO2 + BO2 = 82 + 82 = 128 = BE2 Oleh karena EO 2 + BO 2 = BE 2 maka ∆BOE siku-siku di O sehingga ∠BOE = 90°. Jadi, besar sudut antara bidang BPD dan EPD adalah 90°. B.

Uraian

1. a. b. c.

b. c. d.

C 8 cm

A

HP = EP = BP =

2. a.

Garis PQ melalui titik P dan Q. Jadi, titik-titik yang terletak pada garis PQ adalah titik P dan Q. Garis KN melalui titik K dan N. Jadi, titik-titik yang terletak di luar garis KN adalah titik L, M, O, P, Q, dan R. Bidang LMP melalui titik L, M, P, dan Q. Jadi, titik-titik yang terletak pada bidang LMP adalah titik L, M, P, dan Q.

Bidang PQR melalui titik O, P, Q, dan R. Jadi, titik-titik yang terletak di luar bidang PQR adalah titik K, L, M, dan N. Garis PQ berpotongan dengan garis QR, yaitu berpotongan di titik Q. Garis PS bersilangan dengan garis TR. Garis PQ sejajar dengan bidang TSR. Garis TP terletak pada bidang TPS.

3.

H

G F

E

P D A

C 6 cm

O

12 cm

AH = BG =

8 cm

B

BC2 + CG2

= 62 + 82 = 10 cm 1

BP = 2 BG 1

= 2 × 10 = 5 cm a. Jarak antara titik A dan titik P: AP =

b.

AB2 + BP2

= 122 + 52 = 13 cm Jarak antara titik H dan garis AP sama dengan panjang OH. Misalkan OA = x maka OP = 13 – x. OH2 = HP2 – OP2 atau OH2 = AH2 – OA2 HP2 – OP2 = AH2 – OA2 2 ⇔ 13 – (13 – x)2 = 102 – x2 2 ⇔ 13 – 132 + 26x – x2 = 100 – x2 ⇔ 26x = 100 50

⇔

x = 13

OH =

AH2 − OA 2

( )

=

102 − 50

=

14.400 132

2

13

120

= 13 cm 120

Jadi, jarak titik H ke AP adalah 13 cm.

Matematika Kelas X

69

Segitiga DHP siku-siku di H, maka:

4. Jarak titik P ke rusuk TA adalah OP. Perhatikan ∆TAP. T

AB2 + BP2

AP =

62 + 32

= =

x

C 3 cm

D

= 3 5 cm

TC2 − PC2

TP =

9 cm

O

45

6 cm

A

B

=

122 + 62

=

144 + 36

=

180

= 6 5 cm PF = DP = 6 5 cm

P 3 cm

=

92 − 32

Segitiga DPQ siku-siku di Q, maka:

=

72

PQ =

= 6 2 cm Misalkan OT = x maka OA = 9 – x. OP2 = TP2 – OT2 atau OP2 = AP2 – OA2 TP2 – OT2 = AP2 – OA2 ⇔ 72 – x2 = 45 – (9 – x)2 ⇔ 72 – x2 = 45 – 81 + 18x – x2 ⇔ 18x = 108 ⇔ x=6

DP2 − DQ2

=

(6 5)2 − (6 3)2

=

180 − 108

=

72 cm

= 6 2 cm Jadi, jarak titik P ke DF adalah 6 2 cm. b.

G

H E

P

P

72 − 62

=

D

= 36 = 6 cm Jadi, jarak antara titik P dan rusuk TA adalah 6 cm. 5. a.

G

H E

P

F

A

C

Segitiga DPF sama kaki, maka PQ tegak lurus DF dengan Q titik tengah DF. Jarak titik P dengan garis DF sama dengan panjang ruas garis PQ. DF merupakan diagonal ruang, maka DF = 12 3 cm. 1

PQ = 2 DF × 12 3

= 6 3 cm

Geometri

E

B

F

Jarak titik P ke bidang ACGE sama dengan panjang PR. EG merupakan diagonal bidang, maka EG = 12 2 cm. Luas segitiga EPG:

1

L∆EPG = 2 × EP × HG

B

=

R

1

D A

C

L∆EPG = 2 × EG × PR, atau

Q

1 2

G

H

F

TP2 − OT2

OP =

70

DH2 + HP2

DP =

1 2

⇔

1 2

1

× EG × PR = 2 × EP × HG 1

⇔

× 12 2 × PR = 2 × 6 × 12 6 2 PR = 36

⇔

PR =

6 2

= 3 2 cm Jadi, jarak titik P ke ACGE adalah 3 2 cm.

6.

H Q

c.

G 4 cm

S P T

E

F

D

C U

A

8. Sudut antara QR dan RT adalah ∠QRT. Segitiga QRT siku-siku di Q.

6 cm

O

ABCD merupakan persegi. BD dan AC merupakan diagonal-diagonal persegi ABCD, maka BD dan AC saling tegak lurus. Jadi, sudut antara BD dan AC adalah 90°.

W

B

8 cm

V

Jarak G ke OPQ = GT EG =

2

T

2

EF + FG

=

82 + 62

=

64 + 36

S

P 3 cm Q

QR = 5 cm QT =

1

OU = 4 AC 1

= 4 EG =

cm

15

SU2 + OU2 5

=

42 + ( 2 )2

=

16 +

25 4

89 cm 1

L∆OSG = 2 × SG × SU 1

= 2 × OS × GT GT =

SG × SU OS

=

1 2

×4

× 89

=

60 89 60

b.

25 5

6 2

EG

15 2

Jadi, jarak titik G ke OPQ adalah 89 7. a.

=

9. Sudut antara EC dan G H bidang EFGH sama E F dengan sudut antara EC dan EG yaitu ∠CEG = α. EG merupakan diagoC D nal bidang, maka EG = A B 6 2 cm. EC merupakan diagonal ruang, maka EC = 6 3 cm. Segitiga CGE siku-siku di G, maka:

Perhatikan ∆OSG.

⇔

9 + 16

tan ∠QRT = QR = 5 = 1 ⇔ ∠QRT = 45° Jadi, besar sudut antara PS dan RT adalah 45°.

= 2 cm

1 2

=

TQ

3

=

QP2 + PT2

= 5 cm

SG = 4 EG

OS =

R 5 cm

= 100 = 10 cm

5 2

4 cm

U

Sudut antara BG dan DG adalah ∠BGD. Oleh karena segitiga BDG sama sisi maka ∠BGD = 60°. Sudut antara EF dan HF yaitu ∠EFH. Oleh karena segitiga EFH siku-siku di E dan sama kaki maka ∠EFH = 45°.

89 cm 89 cm.

EFGH adalah 3

1

H

G F

E

1

cos α = EC = = 3 6 6 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara EC dan bidang 6.

10. Jawaban: G

H E

G

F

θ a

C

D A

B

D A

a.

O a cm

C

O

C

B

Sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah ∠CGO = θ.

Matematika Kelas X

71

Segitiga ABC siku-siku di B, berarti:

AB2 + BC2

Sudut antara bidang ABCD dengan bidang BDG adalah ∠COG = α. Segitiga OCG siku-siku di C, berarti:

=

a2 + a2

OG =

=

2a2

AC =

b.

OC2 + CG2

a 2 2 = ( 2 2) + a

= a 2 cm 1

OC = 2 AC

=

1 2 a 2

=

3 2 a 2

1

= 2 ×a 2 a

= 2 2 cm Segitiga OCG siku-siku di C, berarti: OC

a

2

1

tan θ = CG = 2 = 2 2 a Jadi, nilai tangen sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah

72

Geometri

1 2

2.

+ a2

1

= 2 a 6 cm OC

cos α = OG =

1 a 2 1 a 2

2 6

1

= 3 3

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang ABCD 1

dengan bidang BDG adalah 3 3 .

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

Hasil penjumlahan akar-akar yang baru: α β+

1. Jawaban: a

+

β α +

x2 – x – 12 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 3) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –3 Jadi, akar-akar penyelesaiannya adalah x = –3 atau x = 4. 2. Jawaban: b x2 + 5x – 24 = 0 ⇔ (x + 8)(x – 3) = 0 ⇔ x + 8 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = –8 atau x = 3 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 3 dan x2 = –8 Nilai 5x1 + 10x2 = 5(3) + 10(–8) = 15 – 80 = –65 3. Jawaban: b Persamaan kuadrat 2x2 – 9x + 7 = 0 mempunyai nilai a = 2, b = –9, dan c = 7. −

x1 + x2 = – = –( ) =

x1 · x2 = = x12 + x22 – 4x1x2 = ((x1 + x2)2 – 2x1x2) – 4x1x2 = (x1 + x2)2 – 6x1x2

= ( )2 – 6 ·

= – = –

=– 2x – x + 4 = 0 ⇒ a = 2, b = –1, c = 4

α α + + ββ + α + β +

α + β + α + β

= αβ + α + β + =

=

α + β − αβ + α + β αβ + α + β +

( )

− ⋅+

+

+

=

−

= –

Hasil perkalian akar-akar yang baru: α β+

β α +

·

=

αβ αβ + α + β +

=

+

+

=

=

Persamaan kuadrat baru x2 – ( ⇔

α β +

+

β α + )x

α

+ β + ·

β α +

=0

x2 – (–

)x + = 0

⇔ 14x2 + 13x + 8 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru 14x2 + 13x + 8 = 0. 5. Jawaban: d Persamaan kuadrat 2x2 – (5m – 3) + 6m = 0 mempunyai dua akar real jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (–(5m – 3)) – 4(2)(6 m) > 0 ⇔ 25m2 – 30m + 9 – 48m > 0 ⇔ 25m2 – 78m + 9 > 0 ⇔ (25m – 3)(m – 3) > 0 Pembuat nol: 25 m – 3 = 0 atau m – 3 = 0

⇔

m = atau m = 3 +

–

4. Jawaban: a 2

=

+ 3

α + β = – = –( − ) =

Penyelesaiannya m < atau m > 3.

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m < atau

αβ = = = 2

m > 3.

Matematika Kelas X

73

⇔ 3p2 – 16p + 16 > 0 ⇔ (3p – 4)(p – 4) > 0 Pembuat nol: (3p – 4)(p – 4) = 0 ⇔ 3p – 4= 0 atau p – 4 = 0

6. Jawaban: e 2x2 – 11x + 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x – 3) ≥ 0 Pembuat nol: (2x – 5)(x – 3) = 0 ⇔ 2x – 5 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔

x=

+

atau

+

3

{x | x ≤ atau ≥ 3, x ∈ R}. 7. Jawaban: e f(x) = x2 – 4x + 5

Titik ekstrem fungsi terletak pada titik (– , f(– )).

yp = – = – ⋅ = = 2 f(2) = 22 – 4 · 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1 Nilai f(2) ini merupakan fungsi minimum. Batasan nilai di ujung-ujung interval. f(–1) = (–1)2 – 4 · (–1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 f(5) = (5)2 – 4(5) + 5 = 25 – 20 + 5 = 10 Jadi, daerah hasil dari fungsi tersebut adalah {f(x) | 1 ≤ f(x) ≤ 10, f(x) ∈ R}. 8. Jawaban: b y = 2x2 + 14x + 20 ⇔ y = 2(x2 + 7x + 10) ⇔ y = 2(x + 2)(x + 5) Grafik memotong sumbu X di y = 0 ⇔ 2(x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ (x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = –2 atau x = –5 Oleh karena y = 2x2 + 14x + 20 mempunyai nilai a = 2 > 0 maka grafik membuka ke atas. Diperoleh grafik membuka ke atas dan memotong sumbu X di x = –2 dan x = –5. Jadi, grafik yang sesuai pada pilihan b. 9. Jawaban: c

Dari f(x) = px2 + (2p + 4)x + 8 + diperoleh:

a = p, b = 2p + 4, c = 8 + Fungsi kuadrat f(x) memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0. b2 – 4ac > 0

(2p + 4)2 – 4p(8 + ) > 0 ⇔ 4p2 + 16p + 16 – 32p – p2 > 0

74

+

–

Ulangan Tengah Semester

4

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p < atau p > 4.

Diperoleh x ≤ atau x ≥ 3. Jadi, himpunan penyelesaiannya

−

p=4

+

⇔

p = atau

x=3

–

⇔

10. Jawaban: a Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (5, 0). Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di x1 dan x2 yaitu: y = a(x – x1)(x – x2) ⇔ y = a(x + 4)(x – 5) Grafik fungsi kuadrat melalui (2, –9) sehingga diperoleh f(2) = –9. ⇔ –9 = a(2 + 4)(2 – 5) ⇔ –9 = a(6)(–3) ⇔ –9 = –18a

⇔

a= Diperoleh persamaan fungsi kuadrat:

y = (x + 4)(x – 5)

⇔

y = (x2 – x – 20)

⇔

y = x2 – x – 10 Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut

y = x2 – x – 10. 11. Jawaban: d Ketinggian peluru 200 m. h(t) = 200 30t – t2 = 200 2 ⇔ 30t – t – 200 = 0 ⇔ t2 – 30t + 200 = 0 ⇔ (t – 10)(t – 20) = 0 ⇔ t – 10 = 0 atau t – 20 = 0 ⇔ t = 10 atau t = 20 Jadi, ketinggian peluru 200 m pada waktu t = 10 detik atau t = 20 detik. 12. Jawaban: c Mesin A mencetak 1.000 eksemplar dalam waktu x jam. Dalam 1 jam, mesin A mencetak

eksemplar.

Mesin B mencetak 1.000 eksemplar dalam waktu (x + 1) jam. Dalam 1 jam, mesin B mencetak

+

eksemplar. Jika mesin A dan mesin B bekerja bersama-sama, dalam 1 jam kedua mesin dapat mencetak ( + + ) eksemplar. Dalam 6 jam kedua mesin dapat mencetak 9.000 eksemplar, artinya

⇔

6·(

+ + ) = 9.000

⇔ 6 × 1.000( + + ) = 9.000 ⇔

14. Jawaban: e

117° + π rad + 29°

Jadi, luas maksimum bingkai hiasan tersebut 1.600 cm2.

= 117° + · 180° + 29°

= 117° + 29 + · 180° = 146° + 45° = 191° 15. Jawaban: d

6( + + ) = 9

⇔

+ + =

⇔

+ + +

⇔

+ +

=

⇔

α

= (2x +1) × 2 = 3 × x(x + 1) 4x + 2 = 3x2 + 3x 0 = 3x2 – x – 2 0 = (3x + 2)(x – 1) 3x + 2 = 0 atau x – 1 = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

a

x

x = – atau

x=1

Oleh karena waktu tidak negatif, nilai x yang memenuhi hanya x = 1. Jadi, waktu yang diperlukan mesin A untuk mencetak koran 1.000 eksemplar adalah 1 jam.

x =

−

= − α di kuadran II sehingga diperoleh:

sin α = =

−

16. Jawaban: e D 12 cm

° 30

13. Jawaban: e Misalkan x = panjang bingkai dan y = lebar bingkai

1

30° y

A

B

sin ACD = x

Keliling bingkai = panjang kayu ⇔ 2 × (x + y) = 160 ⇔ x + y = 80 ⇔ y = 80 – x Luas bingkai = panjang × lebar =x×y = x × (80 – x) = 80x – x2 L(x) merupakan fungsi kuadrat yang mempunyai nilai balik maksimum:

y = − =

− − − −

=

= 1.600

C

⇔ sin 30° = ⇔ AD = 12 × sin 30°

= 12 × = 6 cm

cos ACD =

⇔ cos 30° = ⇔ AC = 12 × cos 30°

= 12 × = cm Matematika Kelas X

75

19. Jawaban: e

tan ADB = ⇔ tan 30° = ⇔

° + ° − ° + °

=

+ ° + − ° − + ° + + °

° + °

AB = 6 × tan 30°

= −− ° + °

= 6 × = cm

=

BC = AC – AB = – = cm 17. Jawaban: c ∆ABC siku-siku di A. −

=

−

=

−

=

+

=

+

A

D

C

8 cm

E

16 cm

= =

12 cm

A

D

C 25

+

+

A

x 24

= = 25 sin x =

=

cos x = = sin (180 + x) + cos (–x) = –sin x + cos x

= – +

=

76

α − α + α

α + α α

α α

= 3 sin3 α

tan x =

−

−

−

−

= 3 sin2 α × sin α

18. Jawaban: d

=

=

cm

α − α + α

cos θ = = =

AC =

=

×

21. Jawaban: c

θ

= = 20 cm

+

20. Jawaban: d x + y = 180° ⇔ x = 180° – y cos x + cos y = cos (180° – y) + cos y = –cos y + cos y =0

B

20

+

=4–2

+

AE =

+

16 cm

= = 6 cm AD = 2 × AC =2×6 = 12 cm ∆AED siku-siku di D.

+

=

cm

E θ

10

AC =

=


7 B

22. Jawaban: d y = 2 sin 2(x + 30°) Grafik fungsi memotong sumbu X di y = 0. y=0 ⇔ ⇔ ⇔

2 sin 2(x + 30°) = 0 sin 2(x + 30°) = 0 sin 2(x + 30°) = sin 0 atau sin 2(x + 30°) = sin 180°

sin 2(x + 30°) = 0 1) 2(x + 30° = 0 + k · 360° (x + 30°) = 0 + k · 180° x = –30° + k · 180° x = –30°, 150°, 330° 2) sin 2(x + 30°) = sin 180° ⇔ 2(x + 30°) = 180° + k · 360° ⇔ x + 30° = 90° + k · 180° ⇔ x = 60° + k · 180° ⇔ x = 60°, 240°

Grafik fungsi memotong sumbu Y di x = 0. x = 0 → y = 2 · sin 2(0 + 30°) = 2 · sin 60°

25. Jawaban: c E

Burung

=2· =

Grafik mencapai nilai maksimum untuk: sin 2(x + 30°) = 1 ⇔ sin 2(x + 30°) = sin 180° ⇔ 2(x + 30°) = 90° + k · 360° ⇔ x + 30° = 45° + k · 180° ⇔ x = 15° + k · 180° ⇔ x = 15°, 195° Grafik mencapai nilai minimum untuk sin 2(x + 30°) = –1 ⇔ sin 2(x + 30°) = sin (–90°) ⇔ 2(x + 30°) = –90° + k · 360° ⇔ x + 30° = –45° + k · 180° ⇔ x = –75° + k · 180° ⇔ x = 105°, 205° Grafik fungsi 2 sin 2(x + 30°): Y 2

A

30°

D 24 m

1,6 m

Berdasarkan ilustrasi tersebut, diperoleh:

tan 30° =

⇔ =

⇔

DE = × 24 = 8 m Ketinggian burung dari atas tanah = CE = CD + DE = 1,6 + 8

1 –30° 0° –1

60°

150°

240°

330°

X

Jadi, ketinggian burung dari atas tanah (1,6 + 8 ) m. 26. Jawaban: d A

–2

D

45°

23. Jawaban: d Nilai maksimum sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah 1 Nilai minimum sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah –1.

a km 30° B

⇔

Jadi, daerah hasilnya f(x) = – sin x + 2 adalah

{1 ≤ f(x) ≤ 2 }.

AD = a

Perhatikan ∆BCD siku-siku di D.

cos BCD = ⇔ cos 30° = ⇔

sin x = −

sin x = sin (–60°) sin x = sin (–60°) ⇔ x = –60° + k · 360° untuk k = 1 ⇒ x = 300° 2) sin x = sin (180° – (–60°) ⇔ x = (180° + 60°) + k · 360° ⇔ x = 240° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ x = 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya {240°, 300°}.

=

⇔

24. Jawaban: c 4 sin x + 5 = 3

⇔ 4 sin x = −

⇔ 1)

cos BAD = ⇔ cos 45° =

fmin = – · 1 + 2 = 1

⇔

C

3a km

Perhatikan ∆ABD siku-siku di D

fmaks = · 1 + 1 = 2

C

24 m

B

=

⇔

CD = a

AC = AD + CD

= a + a

= a( + 3 )

Jadi, panjang jalan lurus tersebut a( + 3 ).

Matematika Kelas X

77

27. Jawaban: a

29. Jawaban: d P

S 30°

8m

T

P 15 m

R

Q

∆SPQ siku-siku di P

= =

∆SQT siku-siku di T. sin QST =

"# "

⇔

+

PU pada bidang PRT dan tegak lurus dengan bidang QRST dan SU tegak lurus dengan PU. Jadi, proyeksi garis PS pada bidang PRT adalah PU.

"#

H

P

C 8 cm 10 cm

B

AP merupakan jarak titik A ke garis HB.

AP = AG

+ + $

= × SR × QT × 36 ×

= + +

= + +

= 153 m2 Luas PQRS = L∆SPQ + L∆SQR = 60 + 85 = 145 m2 Jadi, luas tanah tersebut 145 m2. 28. Jawaban: b Oleh karena garis AB tegak lurus bidang ADHE maka garis AB tegak lurus dengan semua garis pada bidang ADHE. Jadi, pernyataan 1) benar. Oleh karena garis AC tidak sejajar, tidak berpotongan, dan tidak terletak pada satu bidang dengan garis GH maka garis AC bersilangan dengan garis GH. Pernyataan 2) benar. Bidang EGH dan bidang ABC merupakan dua bidang yang sejajar. Pernyataan 3) salah. Bidang ABGH dan bidang BCGF merupakan dua bidang yang berpotongan di BG. Pernyataan 4) benar. Jadi, pernyataan yang benar 1), 2), dan 4).

78

F

D

A

= × 8 × 15 = 60 m2

=

6 cm

E

m

G

QT = 17 × sin 30°

= × SP × PQ

Luas ∆SQR =

R

30. Jawaban: b

=

U

Q

= 17 ×

Luas ∆SPQ

S

+

= = 17 m

sin 30° =

⇔

T

! + !"

SQ2 = SP2 + PQ2 ⇔ SQ =


=

= × = Jadi, jarak antara titik A dan garis HB adalah

cm.

31. Jawaban: a Oleh karena BE tegak lurus dengan DT maka BE merupakan jarak titik B ke garis AT.

T

E D

C 6 cm

O A

6 cm

B

BD = =

+

=

+

=

C

D

+

33. Jawaban: b H

6 cm

6 cm

E

DO = OB = = BT = AT = 12 cm Perhatikan ∆TOB.

B

6 cm

C

α

A

= 3 cm

=

−

=

D O

B

= 2a

a=2

Jarak E ke bidang ABCD = panjang EA = a = 2 . Jadi, jarak E ke bidang ABCD adalah 2 cm.

Luas ∆BTD = × BD × OT = × DT × BE

34. Jawaban: c D

× 6 × 3 = × 12 × BE

⇔

BE =

×

=

=

2p A

p

p

B

=

⋅

=

E

Jadi, jarak titik B ke rusuk TD adalah cm. 32. Jawaban: b Proyeksi garis AH ke bidang ACGE adalah AO.

H

G O

E

F

+ % +

(

)

+

=

∆ABC siku-siku di A. BC = =

+

=

=

C

D A

a cm

B

BE = EC = BC = ( ) = ∆AEC siku-siku di E. AE =

−

=

−

=

−

=

cm

Jadi, panjang proyeksi AH pada bidang ACGE

C

+

=

=

⇔ a2 + (2a)2 = (2 )2 ⇔ a2 + 4a2 = 40 ⇔ 5a2 = 40 ⇔ a2 = 8 ⇔

= 3 cm

a

B

EA2 + AB2 = EB2

−

=

tan α = ⇔ AB = α = 8

=

AO =

α 2a

A

B

T

2 a

Sudut antara bidang ABCD dan BCHE adalah ∠ABE = α Misalkan: EA = a

# − %

⇔

F D

A

= 6 cm

OT =

G E

adalah a cm.

=

Matematika Kelas X

79

∆AED siku-siku di E.

!%

cos ∠PWO = !&

+

=

=

=

=

+

+

cos ∠PWO =

= p

⇔ cos ∠PWO = sin 60° p .

35. Jawaban: a Sudut yang dibentuk oleh BG dan AI adalah ∠IAH = α. Misalkan panjang rusuk kubus = a. AH = HF = diagonal

H

HF =

TC =

B

A

sin ∠HAI = sin α

=

I

H

*/ *

α

A

= 36. Jawaban: b W

+

=

= 15 cm

α P

GT =

# + $

+

=

'

=

= 25 cm

G

20 cm

cos α = $# = = Jadi, nilai cos α =

O

F

E

#

H

=

.

D 12 cm T α A

C 18 cm

B

T

AD = = = 3 cm CD =

R O

−

=

−

=

−

=

A

Q

P

Misalkan panjang sisi kubus = a. PW = PR = diagonal bidang =

PO = PR = × = PO tegak lurus bidang QUWS maka PO tegak lurus dengan semua garis pada bidang QUWS. Dengan demikian PO tegak lurus WO dan ∆POW siku-siku di O. 80

=

U

S

+

W

38. Jawaban: d Sudut antara garis TD dan bidang ABC adalah ∠TDO.

V

T

+ #

= C

D

HI tegak lurus bidang ACGE maka HI tegak lurus dengan semua garis pada bidang ACGE. Dengan demikian, HI tegak lurus AI.

=

⇔ ∠PWO = 60° Jadi, besar sudut antara garis PW dengan bidang PQRS adalah 60°. 37. Jawaban: a Sudut antara GT dan ABCD adalah ∠GTC.

F

E

α

.

G I

ruang kubus = . HI =

=

Jadi, panjang AD =

;

AD2 =


D O B

6 cm

C

= 3 cm Oleh karena ∆ABC merupakan segitiga sama sisi

maka OD = CD = × 3 =

cm.

TO merupakan tinggi limas sehingga TO tegak lurus bidang ABC. Dengan demikian, TO tegak lurus OD atau segitiga TOD siku-siku di O. tan ∠TDO =

#% %

=

T

= = =

D

cm O

T

+ = 8 cm

+

BD =

+

G

+

D

+ = 8 cm

=

F A

C α

H

I

O

B

E cm

cm

%

B. Kerjakan soal-soal berikut.

−

*/ + /$

x1 x2 = = a. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

G

= +3 9 cm α

*/

H

6 cm

I

=9

=6 +3

Cos α = *$

=

= (– )2 – 2(– )

+

=

−

= × 18 = 9 cm

cm

−

x1 + x2 = = = –

Diketahui CG = CT, maka GI = TO

=

1. Persamaan 2x2 + 5x – 3 = 0

+

cos α = # = = α = 45° Jadi, besar sudut antara garis TB dan bidang ABCD adalah 45°.

AH = HO = OI = IC = = 3 cm Sehingga panjang HI = 6 cm

=

=4

TA = TB = TC = TD = 8 cm

+

# +

=

Oleh karena AE = AB dan TG = CT, maka dengan proyeksi diperoleh:

=

) = 4 × × 8 × TE + 8 × 8

TE =

TB =

= 12 cm

HG =

64(1 +

⇔

cm

39. Jawaban: c AC = diagonal alas AC =

⇒

⇔ 64 + 64 = 16 TE + 64

=6 Jadi, tangen sudut antara garis TD dan bidang ABC adalah 6.

Luas permukaan limas: Llimas = 4 × L∆TAB + LABCD

b.

+

=

+ ⋅

=

+ ⋅

T

40. Jawaban: c Sudut antara garis TB dan bidang ABCD adalah ∠TBD = α. AB = BC = CD = AD = 8 cm

=

C

D

A

O α E

=

−

−

−

−

B

= =5

Matematika Kelas X

81

2. a.

b.

Grafik memotong sumbu X pada (–2, 0) dan (6, 0) sehingga bentuk fungsi kuadrat: y = a(x + 2)(x – 6) Grafik juga melalui titik (0, 12) sehingga diperoleh: 12 = a(0 + 2)(0 – 6) ⇔ 12 = a(–12) ⇔ a = –1 Persamaan fungsi kuadrat y = –1(x + 2)(x – 6) ⇔ y = –(x2 + 2x – 6x – 12) ⇔ y = –x2 + 4x + 12 Misalkan titik puncak fungsi tersebut (xP, yP) xP = yP =

− − = =2 − − = − − − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − + =

=

Keliling tanah = 60 ⇔ y + 3x + 3x + x + (2x + 2) = 60 ⇔ y + 9x + 2 = 60 ⇔ y = 60 – 9x – 2 ⇔ y = 58 – 9x Luas tanah = luas persegi panjang + luas segitiga siku-siku

= 3x × (58 – 9x) + × x × 2(x + 1) = 174x – 27x2 + x2 + x = –26x2 + 175x Misalkan luas tanah = L(x) L(x) = –26x2 + 175x Nilai L maksimum adalah

L = − =

3. Menentukan titik potong dengan sumbu X. y = 0 ⇔ –x2 + 2x – 1 = 0 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 1) = 0 ⇔ (x – 1) = 0 ⇔ x=1 Grafik memotong sumbu X di titik (1, 0). Menentukan titik potong dengan sumbu Y. x = 0 ⇒ y = –02 + 2 · 0 – 1 ⇔ y = –1 Grafik memotong sumbu X di titik (0, –1) Menentukan titik puncak. x=

=

sin 30° =

⇔

1

–2 –3 –4 –5

82


sin ∠DEC =

b. ⇔

3

⇔

= ⇔ CB = 3,5 cm BD = CD – BC = 8 – 3,5 = 4,5 cm

Y 2

2

sin ∠BAC =

5. a.

y = –12 + 2 · 1 – 1 = 0 Koordinat titik puncak (1, 0). Kurva menghadap ke bawah (a < 0)

1

− − × − −

= 294,4711 ≈ 294 m2 Jadi, luas maksimum tanah tersebut 294 m2 .

=1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

x

3x

− −

2x + 2

y

= 3x × y + × x × (2x + 2)

= = 16 Jadi, titik puncaknya (2, 16).

−

3x

4.

4

5

X

⇔

sin 45° =

=

⇔

CE =

⇔

CE = cm

×

6. sin α = = Diperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut

dan α di kuadran II

π

3

cotan α = –

8. a.

cos α = –

tan α = –

{ , π, π, π}.

H

G

E

F O

α

2

C

D

6 cm

A

− α ° − − α ° + α + − α °

6 cm

B

AC dan AH merupakan diagonal bidang.

=

α − − α − α + − α

Panjang AC = AH = 6 cm.

=

α − α

=

α − α

= 3 cm AO = HO = = Jarak titik C dengan garis AH = panjang OC

=

−

*

−−

−

=

=–

7. ⇔ ⇔ tan x – tan x + 2

⇔ ⇔

tan2 x – tan x =

(1 – tan x)

tan2 x – tan x =

–

tan x –

(tan x – 1)(tan x + tan x – 1 = 0 atau tan x +

⇔

tan x = 1 atau

1)

=

− %

=

−

=

−

=

=

×

= 3 cm

tan x

=0

)=0

Jadi, jarak titik C ke garis AH adalah 3 cm. b.

H

G

=0

tan x = –

E P

F

tan x = 1 π

⇔

A

π

x= +k·π π

k=0 ⇒ x=

tan x = –

π

⇔ tan x = tan (– ) ⇔ tan x =

+k·π

k=1 ⇔ x=

π

k=2 ⇔ x=

π

B

Jarak titik C ke garis AG adalah CP. AC merupakan diagonal bidang kubus. Panjang AC = 6 cm. AG merupakan diagonal ruang kubus.

k = 1 ⇒ x = π

π –

C

D

⇔ tan x = tan

2)

Panjang AG = 6 cm. Perhatikan ∆ACG. Luas segitiga ACG:

L = · AC · CG = · AG · CP ⇔ · 6 · 6 = · 6 · CP ⇔

CP =

⋅ ⋅

⋅

Matematika Kelas X

83

=

PB2 + BC2 = PC2

·

⇔ PC =

=

=

+

=2

=

+

=

Jadi, jarak titik C ke garis AG adalah 2 cm. H

9.

= × = cm Oleh karena TC tegak lurus dengan ABCD, akibatnya garis TC tegak lurus garis PC atau ∆PCT siku-siku di C. PC2 + TC2 = PT2

G P F

E

10 cm

⇔ PT =

A

6 cm

O 8 cm

B

∆ABC siku-siku di B AC2 = AB2 + BC2 ⇔ AC =

+ =

AO = CO =

AC

=

+ =

= 10 cm

+

=

+

=

× 10 = 5 cm

P

10 cm

α A

cos α =

% !

= ×

Jadi, nilai cos α =

=

5 cm O

. T

Q D

C

12 cm

A

6 cm

P

6 cm

B

Perhatikan ∆PBC siku-siku di B.

84


+

× × = × × QC

⇔

30 = × QC

⇔

QC = ×

⇔

QC =

⇔ QC = cm ∆QTC siku-siku di Q. sin α =

" #

=

=

10.

=

⇔

= cm

+

L = × PC × TC = × PT × QC

% + %!

=

=

= = cm Luas ∆PTC:

OP = CG = 10 cm ∆APO siku-siku di O. AP2 = AO2 + OP2 ⇔ AP =

! + #

C

D α

! +

T

×

C

Jadi, nilai sin α =

.

α Q

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan konsep limit fungsi; 2. menentukan nilai limit pada suatu fungsi; 3. menggunakan sifat-sifat limit fungsi untuk menyelesaikan masalah nyata. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku jujur, disiplin, teliti, tanggung jawab, serta berpikir kritis dan aktif.

Limit Fungsi

Konsep Limit Fungsi

• • • • •

Menjelaskan konsep limit fungsi. Menjelaskan cara menentukan limit fungsi menggunakan pendekatan geometri. Menjelaskan cara menentukan limit fungsi di suatu titik menggunakan substitusi. Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi di suatu titik. Menggunakan sifat-sifat limit untuk menyelesaikan masalah.

• • • • • •

Limit Fungsi di Suatu Titik

• • • •

Menjelaskan konsep limit fungsi yang mempunyai nilai tak tentu (limit tak tentu). Menjelaskan cara menentukan limit tak tentu menggunakan pendekatan geometri. Menjelaskan cara menentukan limit tak tentu menggunakan cara memfaktorkan. Menjelaskan cara menentukan limit tak tentu menggunakan cara mengalikan dengan sekawan.

Memiliki sikap teliti, cermat, serta berpikir kritis dan aktif. Memiliki sikap jujur, menghargai pendapat orang lain, disiplin, dan tanggung jawab. Mampu mendeskripsikan konsep limit secara jelas. Mampu menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan pendekatan geometri dan substitusi. Mampu menjelaskan dan menggunakan sifat-sifat limit fungsi dalam menyelesaikan masalah. Mampu menentukan nilai limit fungsi di suatu titik dari suatu bentuk limit tak tentu menggunakan cara pemfaktoran dan perkalian sekawan.

Matematika Kelas X

85


7. Jawaban: d f(x) = 2 dan g(x) = –1

1. Jawaban: b Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri, nilai

→

→

(f(x))2 – (g(x))2 = (f(x))2 – (g(x))2

→

→

→

→

Untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 2 atau + f(x) = 2. →

Oleh karena − f(x) = + f(x) = 2, nilai f(x) → → → = 2. 2. Jawaban: e Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, nilai f(x) mendekati 5 atau − f(x) = 5. →

2)

Untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 8 atau + f(x) = 8. →

Oleh karena

f(x) ≠ maka dikatakan − +

→

→

tidak ada.

→

3. Jawaban: e Menentukan nilai limit f(x) untuk x mendekati 1. Oleh karena 1 < 3, fungsi yang digunakan f(x) = 2x + 1. f(x) = (2x + 1) = 2 · 1 + 1 = 3

→

→

8. Jawaban: b (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x)

→

→

(x3 – 2x + 3)(x4 + x3 – 3x2 – 1)

= (x3 – 2x + 3) · (x4 + x3 – 3x2 – 1) →

→

(13

= –2·1+ = 2 · (–2) = –4

3)(14

2x2 – px + 5 = –1

→

⇔

2x2 – px + 5 = –1

→

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2

→ · 22

→

4x2 + 2x – 1

Jadi,

= 4x2 + 2x – 1 →− →− →− = 4 · (–5)2 + 2 · (–5) – 1 = 100 – 10 – 1 = 89

Limit Fungsi

=

⋅ + ⋅ −

=

+ −

x2

→ − ((–3)2 –

+ − = 4.

11. Jawaban: a f(x) = p – 2

–

= 5)3 = 43 = 64

86

→

⇔ = (

+ −

→

→

6. Jawaban: d –

=

=4

→−

– p · 2 + 5 = –1 8 – 2p + 5 = –1 13 – 2p = –1 –2p = –14 p=7

+ − =

5. Jawaban: c

→ −

→

10. Jawaban: c

→ −

5)3

+ 13 – 3 · 12 – 1)

9. Jawaban: e

2x = 2 x = 2 · (–3) = –6

(x2

→

→

4. Jawaban: a → −

→

= (2)2 – (–1)2 =4–1=3

f(x) mendekati 2 atau − f(x) = 2. 2)

→

= ( f(x))2 – ( (g(x))2

5)3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3 – 4x = p – 2

→

3 – 4x = p – 2

→

→

3 – 4p = p – 2 –4p – p = –2 – 3 –5p = –5 p=1

12. Jawaban: e


− – 3x

→

=

⋅ − – 3 · 5

=

⋅ − – 3 · 5

=

− – 15

1. a.

Jadi, (3x – 6)2 = 9. →

b.

→ −

v(t) = t2 – t → = 52 – 2 · 5 = 25 – 10 = 15 Jadi, kecepatan mobil mendekati 15 m/detik.

c.

− + → − −

p(t) =

→

=

=

− +

=

− −

→

⋅ − + − ⋅ −

− +

− + → − −

Jadi, 2. a.

= –.

−

f(x) = − f(0) =

− −

−

= − = 1,5 Tabel pendekatan nilai f(x) untuk x mendekati 0.

− +

=

→

= − − = –

− +

Pertumbuhan penduduk pada saat mendekati tahun kelima (t = 5):

− +

=

=

14. Jawaban: d Rumus pertumbuhan penduduk setiap tahun:

→

→ −

Jadi, (2x2 – 5)(x2 + 1) = –6.

13. Jawaban: c v(t) = t2 – 2t

(2x2 – 5)(x2 + 1)

= (2 · (–1)2 – 5) · ((–1)2 + 1) = (2 – 5) · (1 + 1) = –3 · 2 = –6

= – 15 = 8 – 15 = –7

p(t) =

(3x – 6)2 = (3 · 3 – 6)2 = (9 – 6)2 = 32 = 9

→

− +

x

–0,1 –0,05 –0,01

f(x) 1,523 1,512 1,502

1,5

▲

− +

0

0,01

0,05

0,1

1,497 1,487 1,474 ▲

Dari kiri

Dari kanan

Tampak bahwa untuk x mendekati 0, nilai f(x) mendekati 1,5.

Jadi, pertumbuhan penduduk setiap tahun

Sehingga f(x) = 1,5 = f(0) →

%.

Jadi, f(x) = f(0). →

b.

⋅ −

f(x2 – 1) = 2x2 – 2

→

→

= 2x2 – 2 →

=

→

→

(2x)2

−

f(x) = −

x

– 2 →

−

f(4) = − = = = 2,5 Tabel pendekatan nilai f(x) untuk x mendekati 0. 3,9

3,95 3,99

4

=

( 2x)2 →

=

–2

m2 – 2

4,1

f(x) 2,526 2,513 2,503 2,5 2,498 2,489 2,476 ▲

= (2x)2 – 2 → →

4,01 4,05

▲

15. Jawaban: b Diketahui f(x) = 2x maka: f(x2 – 1) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2

Dari kiri

Dari kanan

Tampak bahwa untuk x mendekati 4, nilai f(x) mendekati 2,5. Sehingga f(x) = 2,5 = f(4) →

Jadi, f(x) = f(4). →

Jadi, f(x2 – 1) = m2 – 2. → Matematika Kelas X

87

c.

−

f(x) = −

⋅ −

−

f(2) = − = = (∞) Tabel pendekatan nilai f(x) untuk x mendekati 2. x

1,9

1,95

1,99

2

2,01

2,05

2,1

f(x)

–8

–18

–98

–

102

22

12

4. Kecepatan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu. f(t) = 0,04t2 + 0,2t f(6) = 0,04 · 62 + 0,2(6) = 1,44 + 1,2 = 2,64

→

→

Jadi, fungsi f(x) =

− −

→

tidak mempunyai nilai

limit fungsi untuk x mendekati 2. Dengan kata lain bahwa f(x) ≠ f(2).

= + − =

→

= 0,2(0,2 · 6 + 2,2) = 0,2(1,2 + 2,2) = 0,68 Jadi, kecepatan pertambahan luas lempengan besi adalah 0,68 cm2/menit. 5. a.

b.

→

+3·2–7=3 4p + 6 – 7 = 3 4p = 4 p=1 b.

2x2 + px + 12 = 2p 2x2 + px + 12 = 2p

→−

→−

→−

x2 – 6x + 1 = 8

Percepatan = ! Untuk waktu mendekati 3 detik.

→

∆" ∆

=

" − " −

=

− −

=

=

−

=

−

→

→

→

→

→

→

→

⇔ p2 – 6p + 1 = 8 ⇔ p2 – 6p – 7 = 0 ⇔ (p – 7)(p + 1) = 0 ⇔ p = 7 atau p = –1 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 7 atau p = –1.

Limit Fungsi

v(t) = 5t – t2 ⇒ v(3) = 5 · 3 – · 32 = 10,5

→

⇔ x2 – 6x + 1 = 8

88

= 5 · 5 – · 52 = 25 – 12,5 = 12,5 Jadi, kelajuan mobil untuk t mendekati 5 detik adalah 12,5 m/detik.

→

⇔ 2(–3)2 + p(–3) + 12 = 2p ⇔ 18 – 3p + 12 = 2p ⇔ –3p + 30 = 2p ⇔ 3p + 2p = 30 ⇔ 5p = 30 ⇔ p=6 Jadi, nilai p = 6 c.

px2 + 3x – 7 = 3

→−

⇔

Nilai pendekatan v(t) untuk t mendekati 5 detik. v(t) = 5t – t2 → →

px2 + 3x – 7 = 3

⇔ p ⇔ ⇔ ⇔ Jadi, nilai p = 1.

−

+ − − →

= 0,2(0,2t + 2,2)

→

→ · 22

+ −

−

→

Sehingga − f(x) ≠ + f(x)

→

→

Dari kanan

Tampak bahwa untuk x mendekati 2 dari kiri menyebabkan nilai f(x) mendekati –∞, sedangkan untuk x mendekati 2 dari kanan menyebabkan nilai f(x) mendekati ∞.

⇔

=

▲

▲

Dari kiri

3. a.

− −

→

=

−

− − − + − −

+ −

− (–t + 7) →

= (–3 + 7) = 2 Jadi, percepatan mobil pada saat t mendekati 3 detik adalah 2 m/detik2.

Dengan cara memfaktorkan

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1.

# # # →−

Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − → −

−

−

=

−

=

=

− − → −

− → −

− − → −

→

=4

→

−

⋅ − ⋅ ⋅

=

− →

=

=

− →

=

⋅−

− +− →

=

− +− →

+ − → − +

+ −

=–

+ − → − +

=

+ −

→ − −

→

=

+ −

+ −

=5

7. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

+ → − #

= + →

=

− + − +

=

(tak tentu)

Dengan memfaktorkan:

= + =

+ → − +

4. Jawaban: b Dengan substitusi langsung − + − + − +

= =

(tak tentu)

−

=

+ − −⋅ +

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan:

= + − →

# # # →−

=

= − +

− + −

+

Dengan cara memfaktorkan

+

6. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

3. Jawaban: b Dengan substitusi langsung

=

=1

− →

−

(tak tentu)

+ − −

→

(tak tentu)

=

=

=

=

=


− − − ⋅

=

→

2. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

=–


= x

− +

5. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan: =

#

→−

= −

− → −

# # # →−

=

=

(tak tentu)

+ − + + → −

=

= (x2 – 2x + 4) → −

= (–2)2 – 2(–2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Matematika Kelas X

89

Dengan cara mengalikan bentuk sekawan

8. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: −

→ −

−

−

=

  − $ + +    →  + − + + 

− $

= 

+ −

→

−

 − $ + +   = 

= − =

→ 

(tak tentu)

−

→ −

 − $ + +    − $  

−

=

→ + −

= + +

+

=

→

→

= + = 5 + 5 = 10

=

12. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

9. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: − #

− →

=

− #

−

=

(tak tentu)

→

→

− #

−

=

− # −

=

→

− # −

=

→

=

→ # #

− $ + + + + + + + + + − →

=

= (x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) →

= 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 1 + 1 =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10

= =

→

90

+ −

− # # − #

Limit Fungsi

+ −

13. Jawaban: e Dengan mengalikan bentuk sekawan

→

=

+ − − −  + − − + + −  ⋅   − + + − 

→ 

=

+ − − −

→ − + +

11. Jawaban: e Dengan substitusi langsung

−

=

=–

=

− +

− − # # − →

− → −

+ # + #

=

·

→ − # #

(tak tentu)

− $

(tak tentu)

− +

=

Dengan memfaktorkan: Dengan metode Horner diperoleh: (x10 – 1) = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

− $

=

→ − # #

10. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − −

− # −

=

= 1 – 4 = –3

=

−

− # → − # #

→

− → −

=

=

− − − →

= x – 4

− # −

Dengan mengalikan bentuk sekawan:


+ +

=

+

=

 

=  →


+ −

=

$−$ −

= = (tak tentu)

− +

→ − + +

−

− + + −

=

→

B. Kerjakan soal-soal berikut. 1.

− ⋅ + + ⋅ − − +

= =

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f(x) = –2x + 5

−

= +

−

= =–

14. Jawaban: d Dengan mengalikan bentuk sekawan − + − − − →

–5 –4 –3–2 –1 0

=

f(x) = 10 –

 − + − + + −   ⋅  →  − − + + − 

a.

− + −

=

→ + − +

+ −

x2

f(x) = f(x) = 1

= + − + + − → −

b.

= + + + − →

=

−

→ +

Jadi, fungsi tersebut mempunyai nilai limit di titik x = 2. Perhatikan nilai limit di titik x = –2. Berdasarkan grafik di atas diperoleh nilai limit kiri dan limit kanan sebagai berikut. f(x) = 8 dan f(x) = 9

⋅ + + + −

→− −

− + +

Oleh karena

−

2. a.

15. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: =

⋅ $# − $ −

=

$# # $ − 

− & − →

 $# # $ −    

 $# # $ −     → 

⋅

=9

= + = Jadi,

=

=

− − + →

=

= + →

→ 

$# # $ −

− − −

 $# # $ −   $# − $ −  → 

=

=

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan:

=  =

f(x) maka

→− +

Dengan substitusi langsung: − & − →

− ⋅   $# # $ −  →  $# − $ −

f(x) ≠

→− −

(tak tentu)

Dengan mengalikan bentuk sekawan: 

→− +

fungsi tersebut tidak mempunyai nilai limit di titik x = –2.

= ⋅ = –

    →  $# − $ − 

X

1 2 3 4 5

Perhatikan nilai limit di titik x = 2. Berdasarkan grafik di atas diperoleh limit kiri dan limit kanan sebagai berikut. → −

− −

=

f(x) = (x – 1)2

Y

−

→ & −

b.

= .

Dengan substitusi langsung: + → − + −

= =

− + − − + − − (tak tentu)

Matematika Kelas X

91

Dengan memfaktorkan: + → − + −

+ → − + − → − − − = − −

= =

+ + −

Jadi,

→ −

3. a.

+ − + −

=

+ + + +

→ −

− + + 1 =1+1 =2 =

+ − + −

→ −

4. a.

=

→

= 2.

Jika menggunakan cara substitusi langsung

+ − + −

·

 + −   −−  = − + −   → →

+ + +

+ + +

−

+ − + → − + + +

= − + →

+ − + + → − + + +

= + →

− + → − + + +

= + =

=

=

=



− −

=

→ − + + +

=

→

=

b.

→

+ − + −

→

−

−

−

−

→ −

+ + −

=

= .

→

=

− + − + −

=

→

=

→

= (tak tentu) Dengan mengalikan bentuk sekawan:

→ −

=

→ −

92

Limit Fungsi

− − − − −

− − − + $ − −

− − + − −

− − − − −

−

−

= − − →

+ + − + + −

=

→

Dengan substitusi langsung:

Menggunakan cara pemfaktoran:

Jadi,



Jadi,  − − −  = .  →  Jika menggunakan cara substitusi langsung diperoleh limit tak tentu ( ).

−

+ + +

−

−

+ + +

= =

b.

diperoleh limit tak tentu ( – ). Menggunakan cara pemfaktoran.

+ − + −

+ + −

Jadi,

= (tak tentu) Dengan mengalikan bentuk sekawan: →

+ +1

=

= .

=

+ + + + −

→ −

Dengan substitusi langsung: →

=

→ −

=

−

= ⋅ − − = –1 ·

+ + + +

Jadi,

→

−

−

−

−

= –1.

5. a.

b.

Diketahui f(x) = 4x2 + − →

+ − − →

+ − →

= =

+ − − →

+ + − →

=

+ + − →

=

− →

=

+ + − − + →

=

+ + − − + →

=

= 8x – 4h

=

− −

= 8x – 4 · 0 = 8x

=

→

Jadi,

→

Diketahui f(x) = 6x2

+ −

→

→

= 48x

= 8x. (terbukti)

→

= 48x Jadi,

→

1. Jawaban: b Berdasarkan grafik tampak bahwa untuk nilai x mendekati –3, nilai y mendekati 2. 2. Jawaban: e Berdasarkan grafik tersebut, nilai pendekatan x = 2 dapat dilihat dari dua arah yaitu pendekatan dari kanan dan kiri (limit kanan dan limit kiri). f(x) = 2 dan − f(x) = 1 →

Oleh karena f(x) ≠ f(x), berarti f(x) − → +

→

→

tidak ada. 3. Jawaban: d Pendekatan untuk nilai f(x) dari kiri dan kanan. f(x) = x2 – 1 − −

→ −

→ − (–2)2 –

= =3

→ −

= –2 · (–2) – 1 =3 Jadi, f(x) = 3 →

4x + 1 = 4 · 2 + 1 = 8 + 1 = 9

→

5. Jawaban: c Dengan substitusi langsung (2x – 5)2 = (2 · 3 – 5)2 = (6 – 5)2 = 12 = 1

→

6. Jawaban: a Dengan substitusi langsung x2 – 2x + 1 = 32 – 23 + 1 =9–6+1 =4 7. Jawaban: e Dengan substitusi langsung →

→

+ =

=

1

f(x) = –2x – 1 +

→ − +

= 48x.

4. Jawaban: a Dengan substitusi langsung


→ +

+ − −

⋅ +

+

= =4 8. Jawaban: a Sifat-sifat limit fungsi a. b.

f(x) ± g(x) = f(x) ± g(x)

→'

→'

f(x)n = ( f(x))n

→'

→'

Matematika Kelas X

93

c.

=

→'

14. Jawaban: a

→'

x2 + 3x – 8 = 2

→

Jadi, sifat-sifat limit fungsi yang benar adalah (I) dan (III). 9. Jawaban: c

(f(x) + 1)2 – 3f(x)

→

= (f(x))2 + 2f(x) + 1) – 3f(x) →


= (f(x))2 – f(x) + 1) →

− − →

= ( f(x))2 – f(x) + 1 =

→ p2 – p

→

⇔ m2 + 3m – 8 = 2 2 ⇔ m + 3m – 8 – 2 = 0 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 ⇔ (m + 5)(m – 2) = 0 ⇔ m + 5 = 0 atau m – 2 = 0 m = –5 atau m = 2 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah –5 atau 2.

=

→

+1

Jadi, (f(x) + 1)2 – 3f(x) = p2 – p + 1. →

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan: − → −

10. Jawaban: b

f(x) =

−

=

− + −

=

+

→

− +

=

+

− → −

= −

Jadi,

=–

=

→

→ +

→

− −

5x + c = 7 ⇔ 5 · 3 + c = 7 ⇔ 15 + c = 7 ⇔ c = –8 Jadi, nilai c = –8.

→

− −

= (tak tentu) Dengan cara memfaktorkan:

12. Jawaban: d ax – 4 = 11 ⇒ –5a – 4 = 11 ⇔ –5a = 15

→

− −

→ −

⇔ ⇔ Jadi, nilai a = –3.

–a =

x+3=p–1

⇔

p+3=p–1

⇔

p – p = –1 – 3

⇔

– p = –4

⇔ –p = –8 ⇔ p=8 Jadi, nilai p = 8.

94

Limit Fungsi

=

→

+ − −

=

→

=

+

+

=2

a = –3 Jadi,

→

13. Jawaban: d

− −

=

→

= 2.


11. Jawaban: a

→

=2

− −

=2 .

17. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − + − →

f(x) =

→

= =

− ⋅ + − (tak tentu)

Dengan memfaktorkan: − + − →

=


− − − →

+ $ − + → −

= x – 1

= 5(–2) – 1 = –11

= 2.


18. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: − $ → − + −

− − $

= − + − − → −

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan: − $ → − + −

=

− + −

− + −

·

+ +

=

= 2 +

=

− − − −

=

− −

=

→

+

+ =2+2=4 =2+

22. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − + − →

.

=

− ⋅ +

−

=

− − −

→

→

=4–2=2 20. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: =

− + $− − − +

=

− −

=

=

− + −

=

−

−

= x – 2

+ $ − + → −

− +

→

=

(tak tentu)

+ +

− −

− +

= − + +

=

=

− +

=


− − +

− → − −

→

=

→ −


− +


+ −

− $ → − + −

→

→ −

→ −

= + − → −

Jadi,

− + +

→ −

=3–1=2 − + − →

→

= 5x – 1

→

Jadi,

=

(tak tentu)

(tak tentu)

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan: − + − →

− + − →

=

·

+ + + +

− +

=

→ − + +

− +

= − + + → − −

= − + + → −

= + + → −

= + + =

− +

=

Matematika Kelas X

95

23. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: + + +

f(x) =

→ −

→ −

− + + + −

=

→ −

=

( − –

→

−

·

→ −

=

→ −

=

→ −

−

+

−

= +

+ + − − + −

=

+ + − − − +

26. Jawaban: d f(x) = 4x → f(x + h) = 4(x + 4)2 = 4(x2 + 2xh + h) = 4x2 + 8xh + 4h2

+ − − +

+ − →

+ + − →

=

− + − →

24. Jawaban: d Dengan substitusi langsung

=

− − +

−

=

⋅ − − ⋅ +

−

=

− − +

−

= − − +

−

→

·

(tak tentu)

− + +

− + +

− − + −

− + + →

=

−

=

→ − − +

=

→

= =

− + +

⋅ − + ⋅ +

+

= + =

+

+ →

= 8x + h →

= 8x + 0 = 8x 27. Jawaban: c f(x) = 2x2 f(x + 2h) = 2(x + 2h)2 = 2(x2 + 4xh + 4h2) = 2x2 + 8xh + 8h2 f(x + 2h) = 2(x + 2h)2 = 2(x2 + 4xh + 4h2) = 2x2 – 8xh + 8h2

→

+ − −

+ + − − + →

=

− + + + − →

= =

→

Limit Fungsi

= 16x = 16x →

96

(tak tentu)

+ −

=

) = − + →

= $

→

= + →

− + − − − ⋅ − +

=

) = − – −

= − + →

+ − + −

+ + − + − → −

=

=

→

−

= (tak tentu) Dengan mengalikan bentuk sekawan: + + +

( − –

= – Menggunakan pemfaktoran

−

=

25. Jawaban: b Menggunakan substitusi langsung

28. Jawaban: a S(t) =

2 t


+ 3t

Saat t mendekati 60 detik jarak yang ditempuh sebagai berikut.

1. a.

Jika x < 0 maka f(x) = –x. Jika x > 0 maka f(x) = 3x. Grafik fungsi f(x):

Y

S(t) = ( t2 + 3t) →

y = –x

= · 602 + 3 · 60

5 4 3

= · 3.600 + 180 = 1.800 + 180 = 1.980 Jadi, jarak yang ditempuh mendekati 1.980 meter.

2 1 X –5 –4 –3 –2 –1 0

29. Jawaban: b f(t) = 0,2t2 – 0,4t f(5) = 0,2 · 52 – 0,4 · 5 = 5 – 2 = 3 − − →

=

→

b.

Jika x < 2 maka f(x) = 2x – 1. Jika x > 2 maka f(x) = –x + 6. Grafik fungsi f(x): Y 5 4 3 2 1

= 0,2 · (t + 3) →

= 0,2 (5 + 3) = 1,6 Jadi, perubahan kecepatan benda adalah 1,6 m/det3.

X –3 –2 –1 0 –1

f(x) = 3 dan f(x) = 4 +

→ −

→

→

2. a.

= 0,16(10 + 15) = 1,6 · 15 =4 Jadi, kecepatan perubahan memanjang benda adalah 4 mm/menit.

Dengan substitusi langsung: 2x2 – 4x + 5 = 2 · 12 – 4 · 1 + 5 =2–4+5=3

→

− + −

→

→

f(x) tidak ada.

− − − →

= 0,16(t + 15)

→

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka

=

→

y = –x + 6

Dari grafik terlihat:

=

1 2 3 4 5 6

y = 2x – 1

30. Jawaban: c f(t) = 0,16t2 + 0,8t f(10) = 0,16 · 102 + 0,8 · 10 = 16 + 8 = 24 Kecepatan perubahan memanjang pada saat t = 10 menit. − −

− →

5

Jadi, f(x) = 0.

− + − →

=

3 4

→

=

− − →

2

f(x) = f(x) = 0 +

→ −

− − − → − − − →

1

Dari grafik terlihat:

=

y = 3x

6

Jadi, 2x2 – 4x + 5 = 3. →

b.

4x –

→

= 2 · (–2) –

+

− +

= –8 – +

= –8 – 4 = –12 Jadi, 4x – →

+ = –12.

Matematika Kelas X

97

c.


→

=


− +

− −

+ − − + + →

⋅ − −

= =

→ − + +

→

=

= 6.

= =

+ − −

=

(tak tentu)

d.


+ − −

tentu)

= = =

−

→

=

− +

=

→

=

98

·

+ + + +

−

− + + − + →

=

(tak tentu)

=

→

− + − = +

=

+ + +

+ + +

=

− +

= + +

− → +

+ − −

Limit Fungsi

−

=

= e. =1

+ − ⋅ −

=

(tak

=2



+−

→

=

tentu)

= − =

= − + +

=

− + −

− + + + −

→

Dengan memfaktorkan: − +

=

=

= –3

− +

−

→


+ −


+ − → − + − − → − − − − − − −

−

→

=


c.

+ ×

=

⋅ − + ⋅ − − ⋅ − − −

→ −

b.

− −

Dengan substitusi langsung: → −

+ +

= − +

+ +

=

=6

3. a.

−

=

→

Jadi,

+ + + +

·

=

− ⋅ +

− + −

+ − −

→

− − −

= =

− − − − −

=

(tak tentu)

(tak

Dengan mengalikan bentuk sekawan: − → − −

=

+ +

·

·

− + − +

− + − + → − − − + + − − +

=

→ − − +

=

→

− − + − + − +

=

→ +

=

=

=

4. V(t) =

Oleh karena itu, langkah penyelesaiannya dilakukan pemfaktoran. Andaikan (x = 2) merupakan faktor dari x2 + ax + b. Sehingga diperoleh: 22 + a · 2 + b = 0 2a + b = –4 . . . (1) Langkah kedua x2 + ax + b difaktorkan dengan (x – 2) dengan cara pembagian. x + (a + 2) x2 + ax + b x2 – 2x ––––––––––––––– – (a + 2)x + b (a + 2)x – (2a + 4) ––––––––––––––– – b + 2a + 4 2 Jadi, x + ax + b = (x – 2)(x + a + 2) + b + 2a + 4

+ +

∆* ∆

langsung, hasilnya merupakan limit tak tentu ( ).

(x – 2)

− + +

=

5. Jika limit di atas dilakukan dengan substitusi

sisa

=

* − * −

S(t) = t2 + 2t

S(8) = · 82 + 2 · 8 = 16 + 16 = 32

Agar x2 + ax + b dapat difaktorkan, maka sisanya harus 0. Sehingga syarat kedua adalah b + 2a + 4 = 0 . . . (2) Proses selanjutnya sebagai berikut.

Kelajuan mobil pada saat t = 8 detik

→

? − ? −

=

→

=

→

=

→

+ − − + − − + − −

= (t + 16) →

= (t + 16) = 6 m/det Jadi, kelajuan mobil saat t = 8 detik adalah 6 m/det.

+ +

→

−

=

− + + − +

=

⇔

++ → +

=

⇔

++ +

=

⇔

+

⇔

→

=

⇔ a=1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (2). b + 2(1) + 4 = 0 ⇔ b + 6 = 0 ⇔ b = –6 Jadi, nilai a = 1 dan b = –6.

Matematika Kelas X

99

Setelah mempelajari bab ini, siswa peserta didik mampu: 1. menjelaskan berbagai penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram/plot yang sesuai untuk mengkomunikasikan informasi dari suatu kumpulan data melalui analisis perbandingan berbagai variasi penyampaian data; 2. menyajikan data nyata dalam bentuk tabel atau diagram/plot tertentu yang sesuai dengan informasi yang ingin dikomunikasikan. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa: 1. menerapkan pola hidup disiplin, kritis, bertanggung jawab, konsisten, dan jujur dalam kehidupan sehari-hari; 2. memiliki kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat majemuk sebagai gambaran menerapkan nilai-nilai matematis; 3. memiliki rasa percaya diri, motivasi internal, serta sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan, bisnis, dan dalam kehidupan sehari-hari.

Statistika

Data Tunggal

• • •

Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Membaca dan mengolah data yang disajikan dalam bentuk tabel dan diagram.

Data Berkelompok

• • •

• • •

• • • •

100

Statistika

Menjelaskan pengertian data berkelompok. Menjelaskan pengertian kelas interval, batas bawah, batas atas, tepi kelas, jangkauan, banyak kelas, dan panjang kelas. Menentukan kelas interval, batas bawah, batas atas, tepi kelas, jangkauan, banyak kelas, dan panjang kelas berdasarkan data yang diberikan. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram. Membaca dan menafsirkan data yang disajikan dalam bentuk histogram.

Memiliki sikap percaya diri, motivasi internal, serta sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan, bisnis, dan dalam kehidupan sehari-hari. Terampil membuat tabel dan diagram berdasarkan data tunggal yang diberikan. Terampil membuat tabel dan histogram berdasarkan data berkelompok yang diberikan. Mampu membaca dan mengolah data yang disajikan dalam bentuk tabel, diagram, atau histogram.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Banyak siswa = 5 + 3 + 9 + 6 + 7 + 8 + 2 = 40 1

n

n

Median = 2 (nilai data ke- + nilai data ke-( 2 + 1)) 2

6. Jawaban: c Banyak telur pada periode III = 8 kuintal. Banyak telur pada periode IV = 12 kuintal. Persentase kenaikan banyak telur yang dihasilkan periode III–IV =

1

= 2 (nilai data ke-20 + nilai data ke-21) 1

= 2 (38 + 38) = 38 Jadi, median data tersebut adalah 38. 2. Jawaban: d 1× 3 + 4 × 4 + 3 × 5 + 1× 6 + 5 × 7 + 2 × 8 + 1× 9 + 3 × 10 – x = 1+ 4 + 3 + 1+ 5 + 2 + 1+ 3 =

3 + 16 + 15 + 6 + 35 + 16 + 9 + 30 20 130

= 20 = 6,5 Jadi, rata-rata data tersebut 6,5. 3. Jawaban: b – 3 × 15 + 8 × 20 + 4 × 25 + 5 × 30 + x × 35 + 7 × 40 x= 3+8+4+5+x+7 ⇔

28 =

45 + 160 + 100 + 150 + 35x + 280 27 + x

⇔

28 =

735 + 35x 27 + x

⇔ 756 + 28x = 735 + 35x ⇔ 7x = 21 ⇔ x=3 Banyak tanaman yang tingginya lebih dari ratarata tinggi tanaman = 5 + 3 + 7 = 15. 4. Jawaban: b Misalkan Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak n kali. Jumlah frekuensi bola masuk ke dalam ring = 130 ⇔ 15 + 18 + 19 + 15 + n + 15 + 14 + 16 = 130 ⇔ 112 + n = 130 ⇔ n = 18 Jadi, Burhan memasukkan bola ke dalam ring sebanyak 18 kali. 5. Jawaban: d Hasil tahun periode IV = 12 kuintal Hasil tahun periode V = 20 kuintal Hasil tahun periode VI = 18 kuintal Jadi, jumlah telur yang dihasilkan pada periode IV, V, VI = 12 + 20 + 18 = 50 kuintal

=

12 − 8 × 100% 8 4 × 100% 8

= 50% Jadi, banyak telur yang dihasilkan naik sebesar 50% terjadi pada periode III–IV. 7. Jawaban: c Persentase juring bulu tangkis = 100% – (25% + 28% + 9% + 22%) = 100% – 84% = 16% Persentase juring bulu tangkis Persentase juring sepak bola

⇔

16% 25%

=

Banyak siswa hobi bulu tangkis Banyak siswa hobi sepak bola

m

= 50 16%

⇔

m = 25% × 50

⇔

m = 32

Jadi, banyak siswa yang hobi bulu tangkis 32 anak. 8. Jawaban: b Besar sudut pusat banyak kenari = 360° – (64° + 80° + 32° + 112°) = 360° – 288° = 72° 72°

Banyak burung kenari = 360° × 90 = 18 Jadi, banyak burung kenari 18 ekor. 9. Jawaban: b Besar sudut pusat banyak jalak dan parkit = 64° + 32° = 96° 96°

Persentase = 360° × 100% = 26,67% Jadi, persentase banyak burung jalak dan parkit adalah 26,67%. 10. Jawaban: e Peternak kelinci = 25%. Peternak sapi = 12,5% sehingga: 100%

Banyak peternak = 12,5% × 5 = 40 Persentase peternak ikan nila = 100% – (25% + 30% + 12,5% + 17,5 % + 5%) = 100% – 90% = 10% Peternak ikan nila = 10% × 40 = 4 Jadi, banyak peternak ikan nila 4 orang.

Matematika Kelas X

101

B. Uraian 1. a.

– x=

2 × 164 + 5 × 165 + 1× 166 + 4 × 167 + 4 × 168 + 169 + n × 170 2 + 5 + 1+ 4 + 4 + 1+ n

⇔ 166,9 =

328 + 825 + 166 + 668 + 672 + 169 + 170n 17 + n

⇔ 2.837,3 + 166,9n = 2.828 + 170n ⇔ 9,3 = 3,1n ⇔ n=3 Jadi, banyak siswa yang tingginya 170 cm adalah 3 orang. b.

Dari tabel kenaikan penjualan buku di atas, terlihat kenaikan penjualan tertinggi terjadi pada bulan Mei–Juni, yaitu sebanyak 25 eksemplar. b. Banyak penjualan buku pada bulan April = 110 eksemplar. Banyak penjualan buku pada bulan Mei = 80. Persentase penurunan penjualan buku pada bulan April–Mei =

Diagram batangnya sebagai berikut.

Frekuensi

110 − 80 110

30

× 100% = 110 × 100% ≈ 27,27%

4. Persentase juring 1 dan 4 = 100% – (18% + 20% + 30%) = 32% Persentase juring 1 = persentase juring 4

6 5 4 3

32% 2

=

2

= 16%

1 164

0

2. a.

165 166

167 168

169

170

Tinggi Badan (cm)

Diagram batang dari tabel sebagai berikut.

Banyak Siswa

Persentase juring 1 Persentase juring 2

16% 18%

⇔

Populasi gajah di daerah 1 Populasi gajah di daerah 2

=

n

= 63 16%

⇔

n = 18% × 63 = 56 Jadi, populasi gajah di daerah 1 adalah 56 ekor.

24 22 20 18

5. a.

16

Berat jeruk, semangka, duku, apel, dan pisang = 56 + 40 + 18 + 16 + 32 = 162 kg n

Persentase = 162 + n × 100%

Siswa Putra

0

XA

b.

XB

XC

XD

XE

Persentase =

96 96 + 104

19% = 162 + n × 100% n

⇔

0,19 = 162 + n ⇔ 30,78 + 0,19n = n ⇔ 0,81n = 30,78 ⇔ n = 38 Jadi, berat manggis 38 kg.

Kelas

Banyak siswa putra = 18 + 20 + 18 + 24 + 16 = 96 Banyak siswa putri = 22 + 20 + 22 + 16 + 24 = 104

n

⇔

Siswa Putri

b.

Diagram lingkaran sebagai berikut.

× 100%

96

= 200 × 100% = 48% Jadi, persentase banyak siswa putra adalah 48%. 3. a.

Bulan Januari–Februari Maret–April Mei–Juni

102

Statistika

Jumlah Kenaikan Penjualan (Eksemplar) 120 –100 = 20 110 – 95 = 15 105 – 80 = 25

Manggis 19%

Jeruk 28%

Pisang 16% Apel 8% Duku 9%

Semangka 20%

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Frekuensi paling kecil adalah 6, yaitu pada kelas interval 35–39. Tepi atas kelas interval 35–39 adalah 39,5. 2. Jawaban: a

jangkauan

1

x = 2 (32,5 + 37,5) 1

= 2 × 70 = 35 y = 11,5 – 0,05 = 11,45 x + y = 35 + 11,45 = 46,45 3. Jawaban: e Banyak data = (3x – 2) + 20 + (4x + 2) + 31 + 42 ⇔ 135 = 7x + 93 ⇔ 7x = 42 ⇔ x=6 1

Titik tengah interval 162–192 = 2 (162 + 192) 1

= 2 × 354 = 177 Frekuensi = 4x + 2 = 4 × 6 + 2 = 26 Jadi, titik tengah dan frekuensinya berturut-turut 177 dan 26. 4. Jawaban: c Nilai data yang kurang dari 31 sebanyak 36 sehingga diperoleh: (x + 5) + 6 + (2x + 3) + 10 = 36 ⇔ 3x + 24 = 36 ⇔ 3x = 12 ⇔ x=4 Nilai data yang kurang dari 21 = (x + 5) + 6 =9+6 = 15 Jadi, nilai data yang kurang dari 21 sebanyak 15. 5. Jawaban: a Data yang telah diurutkan sebagai berikut. 10 11 12 15 16 18 20 22 25 28 29 29 30 32 33 34 35 38 40 44 Banyak data = n = 20 Data terkecil = 10 Data terbesar = 44 Jangkauan = 44 – 10 = 34

Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 20 = 1 + 3,3 × 1,301 = 1 + 4,2933 = 5,2933 ≈ 5 34

Panjang kelas = banyak kelas = 5 = 6,8 ≈ 7 Kelas I: Batas bawah = data terkecil = 10 Batas atas = batas bawah + panjang kelas – 1 = 10 + 7 – 1 = 16 Diperoleh kelas I → 10–16 Kelas II → 17–23 Kelas III → 24–30 Kelas IV → 31–37 Kelas V → 38–44 Tabelnya sebagai berikut. Lama Waktu (menit)

Frekuensi

10–16 17–23 24–30 31–37 38–44

5 3 5 4 3

Jadi, tabel data berkelompok ditunjukkan oleh pilihan a. 6. Jawaban: c Usia (Tahun)

Banyak Pasien

10–13 14–17 18–21 22–25 26–29

18 10 12 14 13

Jumlah

67

Jadi, pasien yang berusia kurang dari 30 tahun sebanyak 67 orang. 7. Jawaban: b Dari histogram tersebut diperoleh: banyak tanaman hias yang lebih tinggi dari 53 cm =3+2=5 Jadi, banyak pot besar yang dibutuhkan 5 buah. 8. Jawaban: b Banyak siswa yang dapat membuat origami kurang dari 36 menit = 8 + 10 + 7 + 8 = 33 orang. 9. Jawaban: c Misalkan banyak potongan logam yang panjangnya antara 31–34 cm = x, banyak potongan logam yang panjangnya lebih dari 21 cm = y.

Matematika Kelas X

103

y = 15 + 35 + x + 30 ⇔ 100 = 80 + x ⇔ x = 20 Jadi, banyak potongan logam yang panjangnya antara 31–34 cm adalah 20 potong.

3. a.

Diketahui data terkecil = 6, data terbesar = 21, n = 30 Jangkauan = 21 – 6 = 15 Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 x 1,48 = 1 + 4,884 = 5,884 ≈ 6

10. Jawaban: d Wadah yang volumenya lebih dari 222 ml = x + 14 + 18 ⇔ 48= x + 32 ⇔ x = 16 Banyak wadah yang volumenya antara 141 hingga 263 ml = 20 + 17 + 16 = 53.

jangkauan

B. Uraian 1. Data yang telah diurutkan sebagai berikut. 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,1 7,2 7,2 7,3 7,3 7,4 7,4 7,5 7,5 7,7 7,8 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,1 Banyak data = n = 30 Data terkecil = 6,4 Data terbesar = 8,1 Jangkauan = 8,1 – 6,4 = 1,7 Banyak kelas = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 × 1,477 = 1 + 4,875 = 5,875 ≈ 6 jangkauan banyak kelas

Panjang Pensil (cm)

Frekuensi

6–8 9–11 12–14 15–17 18–20 21–23

5 4 6 7 7 1

1,7

= 6 = 0,283 ≈ 0,3 Batas atas kelas I = 6,4 + 0,3 – 0,1 = 6,6

Panjang kelas = Kelas

Turus

Frekuensi

6,4–6,6 6,7–6,9 7,0–7,2 7,3–7,5 7,6–7,8 7,9–8,1

IIII IIII I IIII IIII I III IIII I

4 6 5 6 3 6

Total

15

Panjang kelas = banyak kelas = 6 = 2,5 ≈ 3 Kelas I: Batas bawah = data terkecil = 6 Batas atas = batas bawah + panjang kelas – 1 =6+3–1=8 Diperoleh: Kelas I → 6–8 Kelas II → 9–11 Kelas III → 12–14 Kelas IV → 15–17 Kelas V → 18–20 Kelas VI → 21–23 Tabelnya sebagai berikut.

b.

Histogramnya sebagai berikut. Frekuensi 7 6

30 5

2. Banyak data = 2 + 3 + 5 + x + 7 ⇔ 19 = 17 + x ⇔ x=2 Histogram:

4

Frekuensi 1

7

4. a. 3

b.

2 Nilai 40,5 45,5 50,5 55,5 60,6 65,6

104

Statistika

21–23

18–20

15–17

12–14

5

9–11

6–8

Panjang (cm)

Banyak ikan hias yang panjang tubuhnya kurang dari 16 cm = 3 + 5 + 3 + 9 = 20 ekor. Banyak ikan yang dimasukkan ke dalam kolam = 6 + 2 + 4 = 12 ekor.

5. a.

Siswa yang tinggi tubuhnya lebih dari 155 cm =x +2+3+5+4 ⇔ 17= x + 14 ⇔ x=3 Jadi, banyak anak yang tinggi tubuhnya antara 156 –158 cm adalah 3 orang.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b

Banyak anak yang tingginya kurang dari 162 cm = 8 + 4 + 3 + 2 = 17 orang Jadi, banyak anak yang tingginya kurang dari 162 cm adalah 17 orang.

6. Jawaban: c Tabel diagram tersebut sebagai berikut.

– 6 × 10 + 10 × 12 + 4 × 14 + 8 × 16 + 12 × 18 + 10 × 20 x= 6 + 10 + 4 + 8 + 12 + 10 =

b.

Usia (tahun)

fi

fk

7 8 9 10 11 12

26 20 34 29 31 36

26 46 80 109 140 176

60 + 120 + 56 + 128 + 216 + 200 50 780

= 50 = 15,6 Jadi, rata-rata banyak jeruk pada satu pohon adalah 15,6 buah. 2. Jawaban: d Banyak siswa yang memperoleh nilai minimal 8 = 8 + 12 + 4 = 24 Jadi, banyak siswa yang memperoleh materi pengayaan sebanyak 24 orang. 3. Jawaban: c Misalkan x = banyak siswa yang menyelesaikan soal minimal 22 menit x = 9 + 5 = 14 Jadi, banyak siswa yang tidak memperoleh soal tambahan sebanyak 14 orang. 4. Jawaban: c Banyak buku dengan jumlah halaman kurang dari 50 = 10 + 5 + 12 + 4 = 31 Jadi, banyak buku yang diberi sampul plastik sebanyak 31 eksemplar. 5. Jawaban: b – 8 × 11 + 6 × 14 + 12 × 16 + 8 × 21 + x × 24 + 6 × 27 x= 8 + 6 + 12 + 8 + x + 6 ⇔ ⇔

18,68 = 18,68 =

88 + 84 + 192 + 168 + 24x + 162 40 + x 694 + 24x 40 + x

⇔ 747,2 + 18,68x = 694 + 24x ⇔ 53,2 = 5,32x ⇔ x = 10 Jadi, dadu yang mempunyai panjang sisi 24 mm sebanyak 10 buah.

n = 176 sehingga mediannya sebagai berikut. Median 1

176

176

= 2 (nilai data ke- 2 + nilai data ke-( 2 + 1)) 1


= 2 (10 + 10) = 10 Jadi, median data tersebut 10. 7. Jawaban: c Tabel dari data tersebut sebagai berikut. fi · xi

xi

fi

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5 3 6 1 6 7 3 6 5 2 6

100 63 132 23 144 175 78 162 140 58 180

50

1.255

11

∑

i=1 11

x =

∑ fi i=1 11

⋅ xi

∑ fi

i=1

=

1.255 50

= 25,1 Jadi, mean data tersebut 25,1 tahun.

Matematika Kelas X

105

8. Jawaban: a Dari diagram batang diperoleh: Jumlah penjualan di minggu ke-3 = 45 + 55 + 85 + 40 = 225 Jumlah penjualan selama 5 minggu = 120 + 200 + n + 240 + 180 = 120 + 200 + 225 + 240 + 180 = 965 Jadi, penjualan barang eletronik di toko selama 5 minggu sebanyak 965 unit.

Kenaikan banyak peserta kursus melukis pada

9. Jawaban: c Misalkan banyak angkatan kerja di provinsi Sumatra Selatan = x 23.370.000 = (2,07 + 6,41 + 2,28 + 2,59 + 1,53 + x + 0,89 + 3,85) × 1.000.000 ⇔ 23,37 = 19,62 + x ⇔ x = 3,75 Jadi, banyak angkatan kerja di Provinsi Sumatra Selatan 3,75 juta atau 3.750.000 orang.

tahun 2012 =

10. Jawaban: d Jumlah nilai ekspor = (2.615 + 11.991,2) + (2.612,5 + 11.802,8) + (3.061,9 + 13.304,1) + (x + 12.925,9) + (4.072,8 + 14.214,6) ⇔ 80.229,1 = 76.600,8 + x ⇔ x = 3.628,3 Jadi, nilai ekspor migas pada bulan April 3.628,3 juta dolar Amerika. 11. Jawaban: e Nilai jus buah = 9% × total ekspor tahun 2000 =

9 100

× 42,6 juta

= 3,834 juta ≈ 3,8 juta zed 12. Jawaban: b Misalkan panen pada tahun 2012 = x. Persentase kenaikan = ⇔

20% =

⇔

0,2 =

x − 10 10 x − 10 10 x − 10 10

× 100% × 100%

⇔ 2 = x – 10 ⇔ x = 12 Jumlah hasil panen sejak tahun 2009 = y. y = 9 + 12 + 10 + 12 = 43 Jadi, jumlah hasil panen ikan sejak tahun 2009 sebanyak 43 ton. 13. Jawaban: a Kenaikan banyak peserta kursus melukis pada tahun 2009 =

75 − 50 50

= 50%

106

Statistika

× 100%

tahun 2011 =

60 − 45 45

× 100%

= 33,33% Penurunan banyak peserta kursus melukis pada tahun 2010 =

75 − 45 75

× 100% = 40%

Penurunan banyak peserta kursus melukis pada 60 − 50 60

× 100% = 16,67%

Penurunan banyak peserta kursus melukis pada tahun 2013 =

50 − 45 50

× 100% = 10%

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan a. 14. Jawaban: d Misalkan hasil panen teh pada tahun 2007 = n. Rata-rata hasil panen teh = 75.000 ⇔

(700 + n + 950 + n + 750 + 900) ⋅ 100 6 3.300 + 2n 6

⇔

= 75.000 = 750

⇔ 3.300 + 2n = 4.500 ⇔ n = 1.200 ⇔ n = 600 Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton. Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton. Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008 =

95.000 − 60.000 60.000

× 100%

35.000

= 60.000 × 100% ≈ 58,3% 15. Jawaban: b Sudut pusat kaus hijau = 360° – (60° + 54° + 72° + 45° + 24°) = 360° – 255° = 105° Modus data = banyak kaus hijau 105°

= 360° × 120 = 35 potong Jadi, modus data tersebut 35 potong. 16. Jawaban: d Misalkan N = hasil penjualan seluruh barang Persentase juring minyak = 100% – (6% + 39% + 21% + 14%) = 100% – 80% = 20% Penjualan minyak = 1.260.000 + penjualan beras ⇔ 20% × N = 1.260.000 + 6% × N ⇔ (20% – 6%) N = 1.260.000 ⇔ 14% N = 1.260.000

100

⇔

N = 14 × 1.260.000 = Rp9.000.000,00 Penjualan alat tulis = 21% × N 21

= 100 × 9.000.000 = Rp1.890.000,00 Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyak Rp1.890.000,00. 17. Jawaban: a Misalkan seluruh alat yang digunakan = y. Persentase juring laptop = 25%. Pengguna laptop = 25 orang sehingga: 25 = 25% × y ⇔ ⇔

25

25 = 100 × y y = 100

Persentase juring tablet = 100° – (15% + 25% + 45% + 10%) = 100% – 95% = 5% Banyak pengguna tablet = 5% × 100 = 5 orang Jadi, banyak pengguna tablet ada 5 orang. 18. Jawaban: e Sudut pusat juring ikan lou han = 360° – (90° + 50° + 60° + 32° + 16° + 82°) = 360° – 330° = 30° Banyak ikan beta = 45 ekor sehingga diperoleh: 360°

Banyak ikan seluruhnya = 90° × 45 = 180 30°

Banyak ikan lou han = 360° × 180 = 15 Jadi, banyak ikan lou han 15 ekor. 19. Jawaban: b Sudut pusat juring celana panjang = 360° – (90° + 72° + 60° + 48° + 54°) = 360° – 324° = 36° Jumlah penjualan pada minggu kedua = 60. Banyak celana panjang =

36° 360°

× 60 = 6

Jadi, banyak celana panjang yang terjual pada minggu kedua sebanyak 6 potong. 20. Jawaban: b Jumlah data = 3 + 5 + 8 + 12 + 2 + 7 + 9 = 46 Jadi, data pada histogram di atas adalah 46. 21. Jawaban: b Frekuensi tertinggi ditunjukkan oleh batang terpanjang (tertinggi). Jadi, frekuensi tertinggi dari histogram tersebut adalah 12.

22. Jawaban: b Frekuensi terendah ditunjukkan oleh batang terpendek. Jadi, frekuensi terendah dari histogram tersebut adalah 3. 23. Jawaban: a Frekuensi tertinggi = 13 Frekuensi terendah = 5 Selisih frekuensi tertinggi dan terendah = 13 – 5 = 8. Jadi, selisih frekuensi tertinggi dan terendah dari histogram tersebut adalah 8. 24. Jawaban: c Banyak orang = (x + 2) + x + (2x + 2) + (2x + 1) + (2x + 3) + (3x + 1) ⇔ 64 = 11x + 9 ⇔ 11x = 55 ⇔ x =5 Frekuensi data 16 – 18 = 2x + 2 = 12 Jadi, orang yang usianya 16 hingga 18 tahun sebanyak 12 orang. 25. Jawaban: a Misalkan x = banyak anak yang berat badannya 22–25 kg. Banyak anak = 7 + 4 + 5 + x + 4 ⇔ 22 = 20 + x ⇔ x=2 Jadi, anak yang berat badannya 22–25 kg sebanyak 2 orang. 26. Jawaban: e Jumlah pensil warna = 4 + 4 + 8 + 3 + 5 = 24 Banyak pensil warna yang panjangnya kurang dari 13 cm = 4 + 4 + 8 = 16. 16

Persentase = 24 × 100% = 66,67% Jadi, persentase banyak pensil warna yang panjangnya kurang dari 13 cm adalah 66,67%. 27. Jawaban: e Jumlah pertandingan = 6 + 4 + 2 + 3 + 5 = 20. Jumlah pertandingan saat pemain mencetak lebih dari 16 poin = 8. 8

Persentase = 20 × 100% = 40% Jadi, persentase pertandingan saat pemain tersebut mencetak lebih dari 16 poin adalah 40%. 28. Jawaban: d Diketahui 50% jeruk tersebut mempunyai berat lebih dari 154 gram sehingga persentase jeruk yang beratnya maksimal 154 gram = 100% – 50% = 50%. Dari histogram diperoleh: Banyak jeruk yang beratnya maksimal 154 gram = 6 + 15 + 9 = 30

Matematika Kelas X

107

⇔ 9 + x + y = 18

Banyak jeruk yang beratnya lebih dari 154 gram = 50% = 30. Misalkan banyak jeruk yang beratnya 169–175 gram =x ⇔ 10 + 8 + x = 30 ⇔ x = 12 Jadi, jeruk yang beratnya 169–175 gram sebanyak 12 buah. 29. Jawaban: c Banyak kopi kemasan yang beratnya lebih dari 29 gram = m. m = 8 + 10 = 18 m jumlah seluruh bungkus

⇔ ⇔

3 2

2

y=9× 3 ⇔ y=6 Jadi, file dengan kapasitas 16–18 MB sebanyak 6 unit. B. Urian

x =

1. a.

19,1 =

= 0,3

b.

Tinggi (cm)

fi

fk

10 12 15 18 20 24 30 35

4 6 2 5 4 4 2 3

4 10 12 17 21 25 27 30

y + y = 22 11 y 6

= 22 6

⇔

y = 22 × 11 y = 12

⇔ x + y = 22 ⇔ x + 12 = 22 ⇔ x = 10 Jadi, banyak kopi kemasan yang beratnya 20–24 gram adalah 10 bungkus.

n = 30 sehingga: 1

30

ke-( 2 + 1)) 1


= 2 (18 + 18) = 18

m

Persentase = 10 + 4 + 8 + m × 100% ⇔ ⇔

45% = m 22 + m

× 100%

= 0,45

⇔ m = 9,9 + 0,45 m ⇔ 0,55 m = 9,9 ⇔ m = 18 y

x:y=1:2⇔x= 2 m = 18

108

Statistika

30

Median = 2 (nilai data ke- 2 + nilai data

30. Jawaban: b Banyak file dengan kapasitas minimum 10 MB = m. m=9+x+y m 22 + m

40 + 72 + 15x + 90 + 80 + 96 + 60 + 105 28 + x

⇔534,8 + 19,1x = 543 + 15x ⇔ 4,1x = 8,2 ⇔ x=2 Banyak tanaman dengan tinggi kurang dari 18 cm = y. y = 4 + 6 + 2 = 12 Jadi, banyak tanaman dengan tinggi kurang dari 18 cm adalah 12 batang.

× 100% = 30%

5

⇔

4 × 10 + 6 × 12 + 15x + 5 × 18 + 4 × 20 + 4 × 24 + 2 × 30 + 3 × 35 4+6+x+5+4+4+2+3

⇔

x:y=5:6⇔x= 6y x + y = 22 ⇔

y=9

⇔

⇔ 18 = 11,4 + 0,3(x + y) ⇔ 0,3(x + y) = 6,6 ⇔ x + y = 22

5 6

+y=9

⇔

× 100% = 30%

18 5 + 15 + x + y + 18 18 38 + x + y

y 2

⇔

Jadi, median data 18 cm. 2.

xi

fi

fi · xi

4 5 6 7 8 9 10

2 6 4 1 5 4 8

8 30 24 7 40 36 80

30

225

7

∑

i=1

7

x =

∑ fi ⋅ xi

20

Sudut pusat juring lebah = 72 × 360° = 100° Diagram lingkaran sebagai berikut.

i=1 7

∑ fi

i=1

225

= 30 = 7,5 Benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat benda adalah benda yang mempunyai berat minimal 8,5 kg. Banyak benda yang mempunyai berat minimal 8,5 kg = 4 + 8 = 12. Jadi, terdapat 12 benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat. 3. a.

Usia (Tahun)

Frekuensi

fk

10 11 12 13 14 15 16 17

3 6 5 10 7 3 2 4

3 9 14 24 31 34 36 40

8

∑

40

i=1

1

n

n

Me = 2 (data ke- 2 + data ke-( 2 + 1))

Ayam Lebah

5. x = = =

6. Besar penjualan pada bulan kedua = 60 Besar sudut pusat penjualan minggu keempat = 360° – (72° + 72° + 78° + x + 90°) = 360° – 312° = 48° 48°

Besar penjualan = 360° × 60 = 8 Jadi, penjualan pada minggu ke-4 bulan kedua sebanyak 8 unit. 7. a.

b.

4. Menentukan sudut pusat setiap satwa. n = 72 10

Sudut pusat pada itik =

× 360°

= 60° 8

Sudut pusat pada belalang = 72 × 360° = 40° 4

Sudut pusat pada jangkrik = 72 × 360° = 20° 18

Sudut pusat pada merpati = 72 × 360° = 90°

6 × 13 + 8 × 15 + 3 × 17 + 6 × 19 + 7 × 21 6+8+3+6+7 78 + 120 + 51 + 114 + 147 30 510 = 17 30

Jadi, rata-rata tinggi tanaman hias tersebut 17 cm.

Modus data = data dengan frekuensi paling tinggi = 13

12 72

20° Jangkrik

1

Sudut pusat pada ayam = 72 × 360° = 50°

Itik

40° Belalang

Merpati

1

b.

60°

90°

= 2 (data ke-20 + data ke-21) = 2 (13 + 13) = 13 Jadi, median data tersebut 13 tahun.

50°

100°

8.

Banyak orang = 40 ⇔ 35 + x = 40 ⇔ x=5 Jadi, nilai x = 5. Banyak orang yang mempunyai berat lebih dari 44 kg = y. y = 5 + 8 + 6 = 19 Jadi, banyak orang yang mempunyai berat badan lebih dari 44 kg adalah 19 orang. Nilai Data

Frekuensi

6–9 10–13 14–17 18–21 22–25 26–29 30–33 34–37

6 8 5 s 8 4 7 10

8

Σ

i=1

48 + x

Banyak data 50 sehingga: 48 + x = 50 ⇔ x=2 Jadi, frekuensi data kelas interval 18–21 adalah 2. Matematika Kelas X

109

9. a.

b.

Nilai

fi

12–16 17–21 22–26 27–31 32–36 37–41 42–46

10 5 8 6 18 10 3

10. Misalkan frekuensi kelas interval 30–32 = x. Banyak data = 14 + 16 + 21 +15 + 12 + x ⇔ 100 = 78 + x ⇔ x = 22 Frekuensi tertinggi = 22 yaitu terletak pada kelas interval 30–32. Titik tengah =

Jumlah data = 10 + 5 + 8 + 6 + 18 + 10 + 3 = 60 Persentase = =

10 + 5 60 15 × 60

× 100% 100% = 25%

Jadi, persentase data yang kurang dari 22 adalah 25%.

110

Statistika

30 + 32 2

= 31 Jadi, titik tengah kelas interval yang mempunyai frekuensi tertinggi adalah 31.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menghitung frekuensi relatif suatu kejadian; 2. menghitung peluang suatu kejadian. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu memanfaatkan ilmu peluang untuk mengambil keputusan dalam kehidupan sehari-hari dan bersikap jujur.

Peluang

Kemungkinan Suatu Kejadian

•

• •

•

• • • • • • • • • • • • •

Mendefinisikan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, dan kejadian suatu percobaan. Mendeskripsikan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan. Memilih dan menggunakan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan sesuai dengan permasalahan. Menentukan anggota ruang sampel dan kejadian suatu percobaan.

Frekuensi Relatif Suatu Hasil Percobaan

• • •

•

Mendeskripsikan konsep frekuensi relatif suatu percobaan. Menghitung frekuensi relatif dari data luaran (output) percobaan. Melakukan percobaan untuk menemukan frekuensi relatif percobaan tersebut. Menerapkan konsep frekuensi relatif untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.

Peluang Suatu Kejadian

• • • •

• •

Mendefinisikan pengertian peluang suatu kejadian. Menentukan peluang suatu kejadian. Menjelaskan kisaran nilai peluang. Mendeskripsikan berbagai kejadian sehari-hari yang bersifat pasti terjadi, tidak mungkin terjadi, dan mungkin terjadi. Mendefinisikan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

Memiliki sikap cermat, teliti, kritis, dan percaya diri dalam menentukan ruang sampel, frekuensi relatif, dan peluang suatu kejadian. Mampu menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, dan kejadian suatu percobaan. Mampu menjelaskan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan. Mampu memilih dan menggunakan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan sesuai dengan permasalahan. Mampu menentukan anggota ruang sampel dan kejadian suatu percobaan. Mampu menjelaskan konsep frekuensi relatif suatu percobaan. Mampu menghitung frekuensi relatif dari data luaran (output) percobaan. Mampu melakukan percobaan untuk menemukan frekuensi relatif percobaan tersebut. Mampu menerapkan konsep frekuensi relatif untuk menyelesaikan masalah sehari-hari. Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian dan mampu menentukan peluang suatu kejadian. Mampu menjelaskan kisaran nilai peluang. Mampu menjelaskan berbagai kejadian sehari-hari yang bersifat pasti terjadi, tidak mungkin terjadi, dan mungkin terjadi. Mampu menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian dan mampu menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

Matematika Kelas X

111

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a Dua dadu dilambungkan bersama-sama sekali, maka banyak anggota ruang sampel n(S) = 62 = 36. K = kejadian terlihat mata dadu berjumlah lebih dari atau sama dengan empat K c = kejadian terlihat mata dadu berjumlah kurang dari empat = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} n(Kc) = 3 Oleh karena K ∪ Kc = S dan K ∩ Kc = ∅ maka n(K) + n(Kc) = n(S). Dengan demikian diperoleh: n(K) = n(S) – n(Kc) = 36 – 3 = 33 Jadi, banyak anggota himpunan K adalah 33. 2. Jawaban: d Banyak menu minuman ada 4 macam. Banyak menu makanan ada 5 macam. Banyak paket minuman dan makanan yang dapat dipesan pengunjung = 4 × 5 = 20. 3. Jawaban: b Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Susunan bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

Angka Puluhan

→

0 7

→

0 4

→

0

1 7

→

1

0 7

→

7

0 1

→

1 7

112

Peluang

Bilangan yang Terbentuk

4 7

0

4

Angka Satuan

→

→

→

→

→

→

7

410 417 470 471

→

1

0 4

→

701 704

→

710 714

→

★ ★ ★ ★

0 → 740 ★ 1 → 741 ★ Dari diagram pohon di atas diperoleh banyak susunan bilangan yang terbentuk ada 18. 4. Jawaban: e Bilangan yang dilingkari pada diagram pohon adalah bilangan genap. Banyak bilangan genap ada 10. 5. Jawaban: b Bilangan yang ditandai bintang (★) di sampingnya mempunyai nilai lebih dari 700. Banyak bilangan yang nilainya lebih dari 700 ada 6. 6. Jawaban: d Misalkan martabak isi mentega = M dan isi gula = G, sedangkan isi tambahan keju = A, cokelat = B, pisang = C, dan kacang = D. Banyak jenis martabak yang dapat dipilih Pipit dapat dicari menggunakan diagram berikut. Isi Martabak

Isi Tambahan

M

G

Pilihan Martabak

B C D

→

B

C D

→ →

MBC MBD

C

D

→

MCD

→

A

B C D

GAB GAC GAD

C D

→

A

140 147

401 407

1 4

4

104 107

170 174

0

B

→ →

→ →

→

MAB MAC MAD

GBC GBD

C D → GCD Dari diagram pohon di atas diperoleh banyak pilihan martabak ada 12. Jadi, banyak jenis martabak berbeda yang dapat dipilih Pipit ada 12. 7. Jawaban: d Toko menawarkan 3 macam papan, 2 macam set roda, 2 macam set perlengkapan kecil, dan 1 macam set sumbu. Banyak skateboard berbeda yang dapat dibuat Erik = 3 × 2 × 2 × 1 = 12.

8. Jawaban: c Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan genap memiliki satuan genap, maka satuan yang mungkin pada bilangan tersebut adalah 2 dan 4. Banyak bilangan yang dapat disusun dapat dicari dengan menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

Angka Puluhan

→

124

2

→

132

4

→

134

4 ––––––– 2

→

142

2

→

152

4

→

154

1 ––––––– 4

→

214

3 ––––––– 4

→

234

5 ––––––– 4

→

254

2

→

312

4

→

314

2 ––––––– 4

→

324

4 ––––––– 2

→

342

2

→

352

4 1 ––––––– 2

→ →

354 412

3 ––––––– 2

→

432

5 ––––––– 2

→

452

2

→

512

4

→

514

2 ––––––– 4

→

524

2

→

532

4

→

534

4 ––––––– 2

→

542

3

5

1

3

5

4

Bilangan yang Tersusun

2 ––––––– 4

1

2

Angka Satuan

1

5 3

Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicari menggunakan cara berikut. Jumlah 3 buah tersebut dapat diwakili dengan angka 0, 1, 2, dan 3. Apel(a)

Mangga(m)

0

3

   →

(0a, 0j, 3m)

2

   →

(0a, 1j, 2m)

2

1

   →

(0a, 2j, 1m)

3

0

   →

(0a, 3j, 0m)

0

2

   →

(1a, 0j, 2m)

1

1

   →

(1a, 1j, 1m)

2

0

   →

(1a, 2j, 0m)

0

1

   →

(2a, 0j, 1m)

1

0

   →

(2a, 1j, 0m)

0

0

   →

(3a, 0j, 0m)

1

0

1

2 3

Komposisi Buah

(0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan 8 mangga. (0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan 7 mangga. (0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan 6 mangga, dan seterusnya. Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yang akan dibeli, maka komposisi banyak buah yang mungkin dibeli Andi ada 10. 10. Seorang siswa harus mengerjakan 5 dari 7 soal, tetapi nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakan siswa ada . . . . a. 42 d. 20 b. 32 e. 10 c. 21 (Ujian Nasional 2013/2014)

Jawaban: e Jumlah soal yang harus dikerjakan 5. Dua soal (nomor 1 dan 2) wajib dikerjakan, berarti ada 3 soal yang bisa dipilih siswa. Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 5 soal nomor 3, 4, 5, 6, dan 7. Banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakan siswa dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Pilihan Nomor Soal

5

   →

(3, 4, 5)

6

   →

(3, 4, 6)

7

   →

(3, 4, 7)

6

   →

(3, 5, 6)

7

   →

(3, 5, 7)

7

   →

(3, 6, 7)

6

   →

(4, 5, 6)

7

   →

(4, 5, 7)

6

7

   →

(4, 6, 7)

6

7

   →

(5, 6, 7)

4

Dari diagram pohon di atas diperoleh banyak bilangan yang tersusun ada 24. 9. Jawaban: c Jumlah buah yang dibeli Andi = 18 Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiap jenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiri atas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pasti dibeli Andi. Dengan demikian, sebanyak 3 buah belum diketahui komposisi masing-masing jenis buah yang akan dibeli Andi.

Jeruk(j)

3 5 6 4 5

5

Matematika Kelas X

113

Dari diagram pohon di atas diperoleh 10 pilihan nomor soal yang mungkin dikerjakan siswa. B. Uraian 1. a.

b.

Misalkan kain merah = M dan kain kuning = K. Susunan warna bendera dari 3M dan 2K dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Urutan

1

2

4

M ––

K

– K → MMMKK

M

– K → MMKMK

K

– M → MMKKM

M

– K → MKMMK

K

– M → MKMKM

K ––– M

– M → MKKMM

M

– K → KMMMK

K

– K → KMMKM

K ––– M

– M → KMKMM

M ––– M

– M → KKMMM

K M M K

M M K K

b.

Susunan Warna Bendera

3

M

3. a.

5

Susunan warna bendera berbeda yang dapat dibuat adalah MMMKK, MMKMK, MMKKM, MKMMK, MKMKM, MKKMM, KMMMK, KMMKM, KMKMM, dan KKMMM. Dari diagram pohon di atas diperoleh banyak susunan warna bendera ada 10.

   →

105

1

0

   →

120

5

   →

125

5

0

   →

150

0

5

   →

205

2

0

   →

210

5

   →

215

0

   →

250

0

   →

510

0

   →

520

2

1 5

5

114

Peluang

1 2

Posisi yang Mungkin

R TS

D

E

R ST

D

E


5

0

Misalkan T = Tina S = Sofi R = Rini D = Dewi E = Erna Kemungkinan posisi duduk kelima anak tersebut dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

Posisi Duduk Tina dan Sofi di Pinggir Kanan

2. Bilangan ratusan terdiri atas tiga angka, yaitu ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan habis dibagi 5 memiliki satuan 0 dan 5. Banyak bilangan yang dapat disusun dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Angka Angka Ratusan Puluhan Satuan

Bilangan-bilangan yang mungkin terbentuk adalah 105, 120, 125, 150, 205, 210, 215, 250, 510, dan 520. K = {205, 210, 215, 250, 510, 520}

b. 4. a.

D–E

→

TS – R – D – E

E–D

→

TS – R – E – D

R–E

→

TS – D – R – E

E–R

→

TS – D – E – R

R–D

→

TS – E – R – D

D–R

→

TS – E – D – R

D–E

→

ST – R – D – E

E–D

→

ST – R – E – D

R–E

→

ST – D – R – E

E–R

→

ST – D – E – R

R–D

→

ST – E – R – D

D–R

→

ST – E – D – R

Dari diagram pohon di atas diperoleh 12 posisi duduk yang mungkin dari kelima anak tersebut ketika Tina dan Sofi duduk di pinggir kanan. Pada saat Tina dan Sofi duduk di pinggir kiri, banyak posisi duduk kelima anak juga 12. Posisi duduk yang mungkin dari kelima anak tersebut adalah TSRDE, TSRED, TSDRE, TSDER, TSERD, TSEDR, STRDE, STRED, STDRE, STDER, STERD, STEDR, RDETS, REDTS, DRETS, DERTS, ERDTS, EDRTS, RDEST, REDST, DREST, DERST, ERDST, dan EDRST. K = {TSDRE, TSDER, STDRE, STDER, REDTS, ERDTS, REDST, ERDST} Banyak susunan huruf yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

Susunan Huruf yang Mungkin

A M

M

I

M– I

→

MAMI

A – I

→

MMAI

I – A

→

MMIA

A – M

→

MIAM

M– A

→

MIMA AMMI

I – M

→

AMIM

I ––––– M – M

→

AIMM

M– A

→

IMMA

A – M

→

IMAM

A ––––– M – M

→

IAMM

I

5. a.

MAIM

→

M

b.

→

M– I

M A

I – M

Pengambilan I

Pengambilan II

P M

K H M

P

K H M

Susunan huruf yang terbentuk adalah MAIM, MAMI, MMAI, MMIA, MIAM, MIMA, AMMI, AMIM, AIMM, IMMA, IMAM, dan IAMM. E = {AMIM, IMAM} Misalkan M = bola merah P = bola putih K = bola kuning H = bola hijau Pasangan warna bola yang mungkin terambil dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

K

H

K H P H K P

→

K H M H K M

→

P H M H M P

→

Pasangan Warna Bola

MPK MPH MKP MKH MHK MHP

→ → → → →

PMK PMH PKM PKH PHK PHM

→ → → → →

KMP KMH KPM KPH KHM KHP

→ → → → →

P → HMP K → HMK M → HPM P K → HPK M → HKM K P → HKP Pasangan warna bola yang mungkin terambil adalah MPK, MPH, MKP, MKH, MHK, MHP, PMK, PMH, PKM, PKH, PHK, PHM, KMP, KMH, KPM, KPH, KHM, KHP, HMP, HMK, HPM, HPK, HKM, dan HKP. K = {PMK, PMH, KMP, KMH, HMP, HMK} M

H

b.

A. Pilihan Ganda

P

Pengambilan III

Frekuensi relatif terlihat sisi angka = = .

1. Jawaban: b

Frekuensi relatif terlihat mata dadu prima = = . 2. Jawaban: e Jika sekeping uang logam dilambungkan, kemungkinan sisi yang terlihat ketika uang logam jatuh ke tanah adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Frekuensi terlihat sisi gambar adalah 80, maka frekuensi terlihat sisi angka adalah 180 – 80 = 100.

Jadi, frekuensi relatif terlihat sisi angka adalah . 3. Jawaban: c Banyak percobaan = n = 200 kali. Misalkan sisi benda bernomor 3 menyentuh tanah sebanyak p kali. Frekuensi relatif sisi benda bernomor 3 menyentuh tanah = 0,3, berarti:

0,3 = ⇔ p = 0,3 × 200 ⇔ p = 60 Jadi, sisi benda bernomor 3 menyentuh tanah sebanyak 60 kali. Matematika Kelas X

115

4. Jawaban: a Misalkan papan diputar sebanyak n kali. Frekuensi jarum menunjuk angka 5 adalah 72. Frekuensi relatif jarum menunjuk angka 5 adalah , berarti:

= ⇔ n = 5 × 72 ⇔ n = 360 Jarum tidak menunjuk angka dengan tepat sebanyak 20 kali sehingga papan diputar sebanyak 360 + 20 = 380 kali. Jadi, papan tersebut diputar sebanyak 380 kali. 5. Jawaban: d Banyak percobaan = n = 28 + 30 + 26 + 36 = 120 kali. Frekuensi terambil huruf vokal (I dan A) = 30 + 26 = 56.

Frekuensi relatif terambil huruf vokal = = . Jadi, frekuensi relatif terambil huruf vokal

adalah . 6. Jawaban: d Banyak percobaan = n = 400 kali. Mata dadu faktor prima dari 15 adalah 3 dan 5. Misalkan A = kejadian terlihat mata dadu faktor prima dari 15 pada dadu kedua = himpunan pasangan mata dadu pada kolom ke-4 dan ke-6 Frekuensi kejadian A: n(A) = jumlah frekuensi pasangan mata dadu pada kolom ke-4 dan ke-6 = 11 + 21 + 16 + 12 + 9 + 10 + 11 + 12 + 7 + 6 + 11 + 17 = 143 Frekuensi relatif terlihat mata dadu faktor prima dari 15 pada dadu kedua: fr(A) =

=

7. Jawaban: c Mata dadu ganjil adalah 1, 3, dan 5. Misalkan B = kejadian terlihat mata dadu ganjil pada dadu pertama dan mata dadu 4 pada dadu kedua = {(1, 4), (3, 4), (5, 4)} Frekuensi kejadian B: n(B) = jumlah frekuensi (1, 4), (3, 4), dan (5, 4) = 12 + 13 + 11 = 36 Frekuensi relatif terlihat mata dadu ganjil pada dadu pertama dan mata dadu 4 pada dadu kedua:

fr(B) =

116

= = 0,09

Peluang

8. Jawaban: c Mata dadu genap adalah 2, 4, dan 6. Misalkan A = kejadian terlihat mata dadu 3 pada dadu pertama = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B = kejadian terlihat mata dadu genap pada dadu kedua = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} C = kejadian terlihat mata dadu 3 pada dadu pertama atau mata dadu genap pada dadu kedua = A∪B = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (1, 2), (2, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (1, 4), (2, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (1, 6), (2, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} Frekuensi kejadian C: n(C) = jumlah frekuensi pasangan mata dadu anggota himpunan C = 9 + 13 + 16 + 13 + 7 + 10 + 10 + 18 + 11 + 10 + 9 + 12 + 10 + 9 + 11 + 7 + 13 + 12 + 7 + 10 + 12 = 229 Frekuensi relatif terlihat mata dadu 3 pada dadu pertama atau mata dadu genap pada dadu kedua:

fr(C) =

=

9. Jawaban: d Ruang sampel percobaan pelambungan tiga keping uang logam adalah S = {(A, A, A), (A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G), (G, G, A), (G, G, G)}. Misalkan A = kejadian terlihat angka dan gambar = {(A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G), (G, G, A)} B = kejadian terlihat 3 angka atau 3 gambar = {(A, A, A), (G, G, G)} Oleh karena A ∪ B = S dan A ∩ B = ∅, maka B = A′ sehingga P(B) = P(A′) = 1 – P(A).

P(A) = = 0,725 P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,725 = 0,275 Jadi, peluang empiris terlihat 3 angka atau 3 gambar adalah 0,275. 10. Jawaban: a Ruang sampel percobaan adalah S = {(M, K), (M, B), (K, M), (K, B), (B, M), (B, K)}. Misalkan n = banyak percobaan A = kejadian terambil kartu merah = {(M, K), (M, B), (K, M),(B, M)}

B = kejadian terambil kartu kuning dan biru = {(K, B), (B, K)} n(B) = 72 Oleh karena A ∪ B = {(M, K), (M, B), (K, M), (K, B), (B, M), (B, K)} = S dan A ∩ B = ∅, berarti P(B) = P(A′) = 1 – P(A). P(B) = 1 – P(A) ⇔

⇔

= 1 – 0,55 = 0,45

⇔

n = = 160 Jadi, pengambilan kartu tersebut diulang sebanyak 160 kali. B. Uraian 1. Banyak percobaan = n = 5 + 8 + 6 + 7 + 4 + 6 + 9 + 8 + 4 + 7 = 64 kali. Misalkan A = kejadian terambil nomor kartu yang berjumlah lebih dari 6 = {(2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} Frekuensi kejadian A: n(A) = jumlah frekuensi (2, 5), (3, 4), (3, 5), dan (4, 5) = 9+8+4+7 = 28 Frekuensi relatif terambil pasangan nomor kartu berjumlah lebih dari 6. fr(A) =

P(B) = 1 – P(A) = 1– = 1–

= 1 – 0,6 = 0,4 Jadi, frekuensi relatif terambil kelereng merah dan kuning adalah 0,4. 3. Banyak percobaan = n = 600 kali. Kemungkinan mata dadu yang terlihat ketika dadu jatuh ke tanah adalah S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Misalkan A = kejadian terlihat mata dadu genap = {2, 4, 6} B = kejadian terlihat mata dadu ganjil = {1, 3, 5} Frekuensi terlihat mata dadu ganjil = n(B). Oleh karena A ∪ B = S dan A ∪ B = ∅, maka P(B) = P(A′) = 1 – P(A) P(B) = 1 – P(A) ⇔

= 1 –

⇔

=

4. a.

2. Banyak percobaan = n = 500 kali. Misalkan kelereng merah = M, kuning = K, dan hijau = H. Pasangan warna kelereng yang mungkin terambil dapat dicari dengan tabel berikut.

M K

K

H

(M, K)

(M, H) (K, H)

H

Ruang sampel percobaan = {(M, K), (M, H), (K, H)} Misalkan A = kejadian terambil kelereng hijau = {(M, H), (K, H)} B = kejadian terambil kelereng merah dan kuning = {(M, K)} Frekuensi terambil kelereng hijau = n(A) = 300 Oleh karena A ∪ B = S dan A ∩ B = ∅, maka P(B) = P(A′) = 1 – P(A).

M

⇔ n(B) = × 600 = 350 Jadi, frekuensi terlihat mata dadu ganjil adalah 350.

= =

Warna Kelereng

b.

Banyak percobaan n = 12 + p + 9 + 11 + (2p – 2) + 6 + 15 + 10 + (p – 1) + 8 = (68 + 4p) kali Misalkan V = kejadian terambil 2 huruf vokal = {HIA, ITA, IAM} Frekuensi terambil dua huruf vokal: n(V) = jumlah frekuensi HIA, ITA, dan IAM = p + 15 + (p – 1) = 2p + 14 Frekuensi relatif terambil dua huruf vokal = 0,3. ⇔

= 0,3

⇔

+ +

= 0,3

⇔ 2p + 14 = 0,3(68 + 4p) ⇔ 2p + 14 = 20,4 + 1,2p ⇔ 0,8p = 6,4 ⇔ p=8 Banyak percobaan = 68 + 4p = 68 + 4(8) = 100 kali. Jadi, percobaan dilakukan sebanyak 100 kali. Frekuensi relatif terambil tiga huruf konsonan −

−

= = = = 0,14 Jadi, frekuensi relatif terambil tiga huruf konsonan adalah 0,14.

Matematika Kelas X

117

5. a.

Banyak percobaan = n = 200 kali Misalkan A = kejadian terambil bilangan prima = {13, 23, 31, 41, 43} Frekuensi kejadian A: n(A) = jumlah frekuensi terambilnya bilangan prima = 14 + 10 + 17 + 12 + 12 = 65 Frekuensi relatif terambil bilangan prima: fr(A) =

b.

K2 = kejadian terambil bilangan habis dibagi 6 yang terbentuk = {12, 24, 30, 42} K = kejadian terambil bilangan habis dibagi 4 atau 6 (K1 ∪ K2) = {12, 20, 24, 30, 32, 40, 42} Frekuensi kejadian K: n(K) = jumlah frekuensi terambilnya bilangan 12, 20, 24, 30, 32, 40, dan 42 = 10 + 16 + 9 + 8 + 19 + 6 + 15 = 83 Frekuensi relatif terambil bilangan habis dibagi 4 atau 6:

= = 0,325 Jadi, frekuensi relatif terambil bilangan prima adalah 0,325. Misalkan K1 = kejadian terambil bilangan habis dibagi 4 yang terbentuk = {12, 20, 24, 32, 40}

Misalkan K = himpunan kejadian terlihat dua mata dadu sama = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} K c = himpunan kejadian terlihat dua mata dadu tidak sama Banyak anggota kejadian K = n(K) = 6 Oleh karena K ∪ Kc = S dan K ∩ Kc = ∅ maka n(K) + n(Kc) = n(S). Dengan demikian diperoleh: n(Kc) = n(S) – n(K) = 36 – 6 = 30 Peluang terlihat kedua mata dadu tidak sama:

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Banyak anggota ruang sampel = n(S) = jumlah bola dalam kotak = 5 + 4 + 3 = 12 Banyak bola biru = n(B) = 5 Peluang terambil satu bola biru =

=

2. Jawaban: d Jumlah seperangkat kartu bridge adalah 52 sehingga banyak anggota ruang sampel = n(S) = 52. Seperangkat kartu bridge terdiri atas 4 jenis, yaitu wajik (W), hati (H), klaver (K), dan sekop (S). Setiap jenis kartu mempunyai 3 kartu bergambar, yaitu King (k), Queen (q), dan Jack (j). Misalkan K = kejadian terambil kartu bergambar = {Wk, Hk, Kk, Sk, Wq, Hq, Kq, Sq, Wj, Hj, Kj, Sj} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 12. Peluang terambil kartu bergambar:

P(K) = = = 3. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 2.400 Misalkan A = kejadian calon mahasiswa diterima Banyak anggota kejadian A = n(A) = 80. Peluang Andi diterima di jurusan Matematika: P(A) =

=

=

4. Jawaban: e Dua dadu dilambungkan bersama-sama sekali maka banyak anggota ruang sampel = n(S) = 62 = 36.

fr(K) = = = 0,415 Jadi, frekuensi relatif terambil bilangan yang habis dibagi 4 atau 6 adalah 0,415.

P(Kc) =

= =

5. Jawaban: b Misalkan M1 dan M2 merupakan dua bola merah, H1, H2, dan H3 merupakan tiga bola hijau, dan P merupakan satu bola putih. Kemungkinan pasangan bola yang terambil dapat dicari menggunakan tabel berikut. M1

M2

H1

H2

H3

P

M1

(M1, M2) (M1, H1) (M1, H2) (M1, H3) (M1, P)

M2

(M2, H1) (M2, H2) (M2, H3) (M2, P)

H1

(H1, H2) (H1, H3)

(H1, P)

H2

(H2, H3)

(H2, P)

H3

(H3, P)

P

Dari tabel di atas diperoleh banyak anggota ruang sampel = n(S) = 15. 118

Peluang

P(A) =

=

6. Jawaban: a Misalkan M1, M2, M3, M4, dan M5 merupakan lima bola merah, dan K1, K2, K3, dan K4 merupakan empat bola kuning. Kemungkinan pasangan bola yang terambil dapat dicari menggunakan tabel berikut. Anak Kedua M1

M3

M4

M5

K1

K2

K3

K4

(M2, M3) (M2, M4) (M2, M5) (M2, K1) (M2, K2) (M2, K3) (M2, K4)

M2

(M2, M1)

M3

(M3, M1) (M3, M1)

M4

(M4, M1) (M4, M2) (M4, M3)

M5

(M5, M1) (M5, M2) (M5, M3) (M5, M4)

K1

(K1, M1) (K1, M2) (K1, M3) (K1, M4) (K1, M5)

K2

(K2, M1) (K2, M2) (K2, M3) (K2, M4) (K2, M5) (K2, K1)

K3

(K3, M1) (K3, M2) (K3, M3) (K3, M4) (K3, M5) (K3, K1)

K4

(K4, M1) (K4, M2) (K4, M3) (K4, M4) (K4, M5) (K4, K1) (K4, K2) (K4, K3)

(M3, M4) (M3, M5) (M3, K1) (M3, K2) (M3, K3) (M3, K4) (M4, M5) (M4, K1) (M4, K2) (M4, K3) (M4, K4) (M5, K1) (M5, K2) (M5, K3) (M5, K4) (K1, K2) (K1, K3) (K1, K4) (K2, K3) (K2, K4) (K3, K2)

(K3, K4)

Dari tabel di atas diperoleh banyak anggota ruang sampel = n(S) = 72. Misalkan A = kejadian anak pertama mengambil 1 kelereng merah dan anak kedua mengambil 1 kelereng merah = {titik sampel yang diarsir pada tabel di atas} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 20. Peluang anak pertama mengambil 1 kelereng merah dan anak kedua mengambil 1 kelereng merah: P(A) =

=

=

7. Jawaban: d Nomor telepon terdiri atas tujuh digit. Tujuh digit sama dengan tujuh angka dan setara dengan bilangan 1.000.000-an. Nomor telepon tidak mungkin diawali angka nol sehingga nomor telepon yang nilainya terkecil adalah 1.000.000 dan nomor telepon yang nilainya terbesar adalah 9.999.999. Banyak bilangan dari 1.000.000 sampai dengan 9.999.999 ada 9.000.000 sehingga seluruh kejadian yang mungkin terjadi adalah n(S) = 9.000.000. K = himpunan kejadian nomor telepon terdiri atas angka yang sama

Peluang kejadian K = = = 8. Jawaban: c Sebuah dadu dilambungkan sebanyak dua kali, maka banyak anggota ruang sampel n(S) = 62 = 36. Banyak anggota kejadian K dapat ditentukan menggunakan tabel berikut. Pelambungan Kedua

(M1, M2) (M1, M3) (M1, M4) (M1, M5) (M1, K1) (M1, K2) (M1, K3) (M1, K4)

M1

Anak Pertama

M2

= {1.111.111, 2.222.222, 3.333.333, 4.444.444, 5.555.555, 6.666.666, 7.777.777, 8.888.888, 9.999.999} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 9.

Pelambungan Pertama

Misalkan A = himpunan kejadian terambil dua bola berwarna sama = {(M 1 , M 2 ), (H 1 , H 2 ), (H 1 , H 3 ), (H2, H3)} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 4. Peluang terambil dua bola berwarna sama:

2

4

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

Banyak anggota kejadian K = n(K)= 9 Peluang kejadian K =

=

=

9. Jawaban: e Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan ratusan genap yang dapat dibentuk mempunyai angka satuan 0 dan 2. Banyak bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

Angka Puluhan

1

Angka Satuan

0

2

   →

102

2

0

   →

120

0

   →

130

2

   →

132

1

0

   →

210

3 0

0

   →

230

2

   →

302

0

   →

310

2

   →

312

0

     →

320

3 2

1

3


2

Dari diagram pohon di atas diperoleh 10 bilangan sehingga n(S) = 10. Misalkan K= kejadian terpilih bilangan habis dibagi 4 = {120, 132, 312, 320} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 4 Peluang terpilih bilangan habis dibagi 4 :

P(K) = = =

Matematika Kelas X

119

10. Jawaban: d Misalkan Anis = A, Dian = D, dan Erna = E. Kemungkinan urutan ketiga anak duduk secara berdampingan dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Urutan 1

Urutan 2

A

D

Urutan 3

Urutan Duduk yang Mungkin

D ––––

E

→

ADE

E ––––

D

→

AED

A ––––

E

→

DAE

E ––––

A

→

DEA

A ––––

D

→

EAD

E

D –––– A → EDA Dari diagram pohon di atas diperoleh seluruh urutan duduk yang mungkin n(S) = 6. Misalkan K = himpunan kejadian Anis dan Erna selalu duduk berdampingan = {AED, DAE, DEA, EAD} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 4. Peluang Anis dan Erna selalu duduk berdampingan:

Misalkan A = kejadian terlihat dua angka = {(A, A, G, G), (A, G, A, G), (A, G, G, A), (G, A, A, G), (G, A, G, A), (G, G, A, A)} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 6. Peluang terlihat dua angka:

Jumlah Tiga Mata Dadu

3

4

5

6

7

8

9

10

Frekuensi

1

3

6

10

15

21

25

27

Jumlah Tiga Mata Dadu

11

12

13

14

15

16

17

18

Frekuensi

27

25

21

15

10

6

3

1

Dari tabel di atas diperoleh banyak pasangan mata dadu yang jumlahnya kurang dari 9 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56. Dengan demikian, diperoleh n(K) = 56. Peluang kejadian K:

B. Uraian

P(K) = = = 2. Ruang sampel percobaan dapat dicari menggunakan tabel berikut. (A, A)

(A, G)

(G, A)

(G, G)

(A, A)

(A, A, A, A)

(A, A, A, G) (A, A, G, A)

(A, G)

(A, G, A, A)

(A, G, A, G) (A, G, G, A) (A, G, G, G)

(G, A)

(G, A, A, A)

(G, A, A, G) (G, A, G, A) (G, A, G, G)

(G, G)

(G, G, A, A) (G, G, A, G) (G, G, G, A) (G, G, G, G)

(A, A, G, G)

Dari tabel di atas diperoleh banyak anggota ruang sampel = n(S) = 16.

120

Peluang

3. Tiga dadu dilambungkan bersama-sama sekali maka banyak anggota ruang sampel = n(S) = 63 = 216. a. Frekuensi jumlah tiga mata dadu yang terlihat pada sekali pelambungan disajikan dalam tabel berikut.

P(K) = = =

1. Jumlah kartu adalah 30 sehingga banyak anggota ruang sampel = n(S) = 30. Misalkan K = kejadian terambil kartu bernomor kelipatan 3 atau 4 Nomor kartu kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, dan 27. Nomor kartu kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, dan 28. Dengan demikian, diperoleh K = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 27, 28}. Banyak anggota kejadian K = n(K) = 14. Peluang terambil kartu bernomor kelipatan 3 atau 4:

P(A) = = =

b.

P(K) = = = Misalkan Kc = kejadian terlihat jumlah tiga mata dadu lebih dari atau sama dengan 9. Peluang kejadian Kc:

P(Kc) = 1 – P(K) = 1 – = Jadi, peluang kejadian terlihat jumlah tiga mata

dadu lebih dari atau sama dengan 9 adalah . 4. Kemungkinan pasangan anak pertama dan ketiga adalah L–L, L–P, P–L, dan P–P sehingga kemungkinan anak yang dimiliki tetangga Anda adalah S = {LLL, LLP, PLL, PLP}. Dengan demikian, n(S) = 4. Misalkan A = himpunan kejadian tetangga Anda memiliki dua anak laki-laki = {LLP, PLL} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 2. Peluang tetangga baru Anda memiliki dua anak laki-laki:

P(A) = = =

5. Misalkan keempat pasangan suami-istri tersebut A, B, C, D, E, F, G, dan H. Kemungkinan pasangan orang yang terpilih dapat dicari menggunakan tabel berikut.

Dari tabel di atas diperoleh seluruh kemungkinan pasangan yang terpilih adalah 28. Banyak pasangan suami-istri ada 4. Peluang terpilih dua orang suami-istri adalah

Orang Kedua

Orang Pertama

A

B

C

D

E

F

G

H

A

(A, B) (A, C) (A, D) (A, E) (A, F) (A, G) (A, H)

B

(B, C) (B, D) (B, E) (B, F) (B, G) (B, H)

C

(C, D) (C, E) (C, F) (C, G) (C, H)

D

(D, E) (D, F) (D, G) (D, H)

E

(E, F) (E, G) (E, H)

F

(F, G) (F, H)

G

(G, H)

P = = .

H

1. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel pelambungan dua keping uang logam bersama-sama = 22 = 4. Banyak anggota ruang sampel pelambungan dua dadu bersama-sama = 62 = 36. Banyak anggota ruang sampel pelambungan dua keping uang logam dan dua dadu bersama-sama = 4 × 36 = 144. 2. Jawaban: c Misalkan sisi angka yang terlihat A dan sisi gambar yang terlihat G. Ruang sampel percobaan tersebut dapat ditentukan menggunakan tabel. Uang Kedua dan Ketiga

Uang Pertama

AA

AG

GA

GG

A

(A, A, A) (A, A, G) (A, G, A) (A, G, G)

G

(G, A, A) (G, A, G) (G, G, A) (G, G, G)

Dari tabel tersebut diperoleh ruang sampel percobaan S = {(A, A, A), (A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G), (G, G, A), (G, G, G)}. K = kejadian terlihat dua gambar = {(A, G, G), (G, A, G), (G, G, A)} n(K) = 3

3. Jawaban: e Faktor dari 5 adalah 1 dan 5. Misalkan A = kejadian terlihat sisi dua gambar dan B = kejadian terlihat mata dadu faktor dari 5. Ruang sampel percobaan disajikan dalam tabel berikut. Dadu 1 Uang Logam

A. Pilihan Ganda

2

3

4

5

6

AA (A, A, 1) (A, A, 2) (A, A, 3) (A, A, 4) (A, A, 5) (A, A, 6) AG (A, G, 1) (A, G, 2) (A, G, 3) (A, G, 4) (A, G, 5) (A, G, 6) GA (G, A, 1) (G, A, 2) (G, A, 3) (G, A, 4) (G, A, 5) (G, A, 6) G G (G, G, 1) (G, G, 2) (G, G, 3) (G, G, 4) (G, G, 5) (G, G, 6)

Anggota himpunan A adalah pasangan dua gambar yang terdapat pada baris kelima. Anggota himpunan B terdapat pada kolom kedua dan keenam. Himpunan kejadian terlihat dua gambar atau mata dadu faktor dari 5 adalah gabungan anggota himpunan A dan B, yaitu {(G, G, 1), (G, G, 2), (G, G, 3), (G, G, 4), (G, G, 5), (G, G, 6), (A, A, 1), (A, G, 1), (G, A, 1), (A, A, 5), (A, G, 5), (G, A, 5)}. 4. Jawaban: d Misalkan kelima pengurus tersebut A, B, C, D, dan E.

Matematika Kelas X

121

Pasangan calon ketua dan wakil ketua yang mungkin dipilih dapat dicari menggunakan tabel berikut. Wakil Ketua A

Ketua

A

B

C

D

E

(A, B)

(A, C)

(A, D)

(A, E)

(B, C)

(B, D)

(B, E)

(C, D)

(C, E)

B

(B, A)

C

(C, A)

(C, B)

D

(D, A)

(D, B)

(D, C)

E

(E, A)

(E, B)

(E, C)

(D, E) (E, D)

Dari tabel di atas diperoleh banyak pasangan calon ketua dan wakil ketua yang mungkin dipilih ada 20. 5. Jawaban: c Bilangan ratusan terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan ratusan yang dibentuk nilainya kurang dari 400, maka angka ratusan nilainya kurang dari 4, yaitu 1, 2, dan 3. Banyak bilangan ratusan kurang dari 400 yang mungkin terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

Angka Puluhan

2

3 1 4

6

1

3 2 4

6

Angka Satuan

Bilangan yang Mungkin Terbentuk

3 4 6 2 4 6 2 3 6 2 3 4

→ → → → → → → → → → → →

123 124 126 132 134 136 142 143 146 162 163 164

3 4 6 1 4 6 1 3 6 1 3 4

→ → → → → → → → → → → →

213 214 216 231 234 236 241 243 246 261 263 264

2 → 312 4 → 314 6 → 316 1 → 321 2 4 → 324 6 → 326 3 1 → 341 4 2 → 342 6 → 346 1 → 361 6 2 → 362 4 → 364 Dari diagram pohon di atas diperoleh 36 bilangan kurang dari 400 yang mungkin terbentuk. 1

6. Jawaban: b Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk genap, maka angka satuannya 2 dan 4. Banyak bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

2

Angka Puluhan

Angka Satuan

3

4

   →

234

5

4

   →

254

7

4

   →

274

2

4

   →

324

4

2

   →

342

2

   →

352

4

   →

354

2

   →

372

4

   →

374

2

   →

432

2

   →

452

2

   →

472

4

   →

524

2

   →

532

4

   →

534

2

   →

542

2

   →

572

4

   →

574

4

   →

724

2

   →

732

4

   →

734

2

   →

742

2

   →

752

4

   →

754

5 3 7

4

3 5 7 2 3

5 4 7 2 3 7

4 5


Dari diagram pohon diatas diperoleh 24 bilangan. Jadi, banyak bilangan genap yang terbentuk adalah 24. 122

Peluang

7. Jawaban: e Misalkan M = kelereng merah P = kelereng putih K = kelereng kuning H = kelereng hijau B = kelereng biru Pasangan warna kelereng yang mungkin terambil dapat dicari menggunakan tabel berikut.

Jadi, banyak kelompok tiga anak yang mungkin dipilih ada 20. 9. Jawaban: e Misalkan ketiga pemuda tersebut L1, L2, dan L3, sedangkan kedua pemudi tersebut P1 dan P2. Banyak cara duduk kelima orang tersebut dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Cara Duduk yang Mungkin

Pengambilan II M

Pengambilan I

M P

P

(M, M) (P, M)

K

(M, P)

H

(M, K)

(M, H)

(P, K)

(P, P)

B

L2 – P2 – L3 → L1 – P1 – L2 – P2 – L3 P1

(M, B)

(P, H)

(P, B)

K

(K, M)

(K, P)

(K, K)

(K, H)

(K, B)

H

(H, M)

(H, P)

(H, K)

(H, H)

(H, B)

B

(B, M)

(B, P)

(B, K)

(B, H)

(B, B)

Kelompok Tiga Anak → → → →



C D E F D E F E F F

→ → →



D E F E F F

B

A

C

D E C B

D E D

L2 – P1 – L3 → L1 – P2 – L2 – P1 – L3 P2

L3 – P1 – L2 → L1 – P2 – L3 – P1 – L2 L1 – P2 – L3 → L2 – P1 – L1 – P2 – L3

P1

L3 – P2 – L1 → L2 – P1 – L3 – P2 – L1

L2

Dari tabel di atas diperoleh 25 pasangan warna kelereng yang mungkin terambil. Jadi, banyak pasangan warna kelereng yang mungkin terambil adalah 25. 8. Jawaban: d Misalkan keenam anak tersebut A, B, C, D, E, dan F. Kelompok tiga anak yang mungkin dipilih dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

L3 – P2 – L2 → L1 – P1 – L3 – P2 – L2

L1

L1 – P1 – L3 → L2 – P2 – L1 – P1 – L3 P2

L3 – P1 – L1 → L2 – P2 – L3 – P1 – L1 L1 – P2 – L2 → L3 – P1 – L1 – P2 – L2

P1

L2 – P2 – L1 → L3 – P1 – L2 – P2 – L1

L3

L1 – P1 – L2 → L3 – P2 – L1 – P1 – L2 P2

L2 – P1 – L1 → L3 – P2 – L2 – P1 – L1

Dari diagram pohon di atas diperoleh 12 cara duduk kelima orang tersebut. Jadi, banyak cara duduk berselang-seling kelima orang tersebut 12.

ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF

10. Jawaban: c Misalkan keenam titik tersebut T1, T2, T3, T4, T5, dan T6. Segitiga dapat dibentuk dari tiga titik yang tidak segaris. Banyak pasangan tiga titik yang mungkin membentuk segitiga dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

T3

→

T1 – T2 – T3

T4

→

T1 – T2 – T4

T5

→

T1 – T2 – T5

T6

→

→

BCD BCE BCF BDE BDF BEF

T1 – T2 – T6

E F

→ →

CDE CDF

T4

→

T1 – T3 – T4

T5

→

T1 – T3 – T5

→

CEF

T6

→

F

T1 – T3 – T6

T5

→

T1 – T4 – T5

T6

→

T1 – T4 – T6

T6

→

T1 – T5 – T6

→ → → → → →

→ →

Pasangan Tiga Titik yang Membentuk Segitiga

T2

T1

T3

C E



D  E  F → DEF Dari diagram pohon di atas diperoleh 20 kelompok tiga anak yang mungkin dipilih.

T4 T5



Matematika Kelas X

123

T3

T2 T4 T5 T4

T3 T4





T4

→

T2 – T3 – T4

T5

→

T2 – T3 – T5

T6

→

T2 – T3 – T6

T5

→

T2 – T4 – T5

T6

→

T2 – T4 – T6

T6

→

T2 – T5 – T6

T5

→

T3 – T4 – T5

T6

→

T3 – T4 – T6

T5



T6

→

T3 – T5 – T6

T5



T6

→

T4 – T5 – T6

11. Jawaban: b Jumlah soal = 10. Banyak soal yang harus dikerjakan 8 yang terdiri atas 4 soal wajib dan 4 soal pilihan. Soal pilihan dapat dipilih dari 6 soal. Misalkan keenam soal tersebut adalah S5, S6, S7, S8, S9, dan S10. Banyak pilihan soal yang dapat dikerjakan siswa dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Pilihan Soal yang Mungkin

S6 S8 S5

S9

S7 S8



S6 S7

→

S5, S6, S7, S8

S9

→

S5, S6, S7, S9

S10

→ S5, S6, S7, S10

S9

→

S10

→ S5, S6, S8, S10

S5, S6, S8, S9

S9

→

S10

→ S5, S7, S8, S10

S5, S7, S8, S9

S9



S10

→ S5, S7, S9, S10

S9



S10

→ S5, S8, S9, S10

S9

→

S10

→ S6, S7, S8, S10

S8 S7

S8

 S10 → S5, S6, S9, S10

S8

S6, S7, S8, S9

S9



S10

→ S6, S7, S9, S10

S8

 S9



S10

→ S6, S8, S9, S10

 S8

 S9



S10

→ S7, S8, S9, S10

Dari diagram pohon di atas diperoleh 15 kelompok pilihan soal yang mungkin dikerjakan siswa. 124

Peluang

12. Jawaban: a Jika dua sekeping uang logam dilambungkan bersama-sama, kemungkinan pasangan sisi yang terlihat pada dadu pertama dan kedua ketika kedua uang logam jatuh ke tanah adalah (A, A), (A, G), (G, A), dan (G, G). Frekuensi terlihat sisi angka dan gambar (A, G) dan (G, A) adalah 90 kali, berarti frekuensi terlihat dua sisi angka (A, A) atau dua sisi gambar (G, G) adalah 120 – 90 = 30. Frekuensi relatif terlihat dua sisi angka atau dua

Dari diagram pohon di atas terdapat 20 pasangan tiga titik yang mungkin membentuk segitiga. Jadi, banyak segitiga yang dapat dibentuk adalah 20.

S7

Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dikerjakan siswa ada 15.

sisi gambar = = . 13. Jawaban: b Banyak percobaan = n = 300 kali. Misalkan n(A) = frekuensi terlihat pasangan mata dadu berjumlah 10. Frekuensi relatif terlihat pasangan mata dadu berjumlah 10:

fr(A) = ⇔

=

⇔ n(A) = = 25 Jadi, frekuensi terlihat pasangan mata dadu berjumlah 10 adalah 25. 14. Jawaban: c Atlet telah melepaskan anak panah sebanyak (40 + 10) kali sehingga banyak percobaan = n = 50 kali. Misalkan n(K) = frekuensi anak panah menancap di tengah-tengah sasaran. Frekuensi relatif anak panah menancap di tengahtengah sasaran: fr(K) =

⇔

0,6 = ⇔ n(K) = 0,6 × 50 = 30 Jadi, frekuensi anak panah menancap di tengahtengah sasaran adalah 30.

15. Jawaban: a Banyak percobaan = n = 500 kali. Mata dadu faktor prima dari 64 adalah 2. Misalkan K = kejadian terlihat mata dadu faktor prima dari 64 = {(A, A, 2), (A, G, 2), (G, A, 2), (G, G, 2)} Frekuensi kejadian A: n(A) = jumlah frekuensi (A, A, 2), (A, G, 2), (G, A, 2), dan (G, G, 2) = 21 + 23 + 20 + 19 = 83

Frekuensi relatif terlihat mata dadu faktor prima dari 64: fr(A) =

=

= 0,166

16. Jawaban: c Misalkan B = kejadian terlihat angka dan mata dadu 4 = {(A, A, 4), (A, G, 4), (G, A, 4)} Frekuensi kejadian B: n(B) = jumlah frekuensi (A, A, 4), (A, G, 4), dan (G, A, 4) = 23 + 23 + 18 = 64 Frekuensi relatif terlihat angka dan mata dadu 4: fr(B) =

= = 0,128

17. Jawaban: e Mata dadu faktor dari 5 adalah 1 dan 5. Misalkan K1 = kejadian terlihat dua angka = {(A, A, 1), (A, A, 2), (A, A, 3), (A, A, 4), (A, A, 5), (A, A, 6)} K2 = kejadian terlihat mata dadu faktor dari 5 = {(A, A, 1), (A, G, 1), (G, A, 1), (G, G, 1), (A, A, 5), (A, G, 5), (G, A, 5), (G, G, 5)} K = kejadian terlihat dua angka atau mata dadu faktor dari 5 = {(A, A, 1), (A, A, 2), (A, A, 3), (A, A, 4), (A, A, 5), (A, A, 6), (A, G, 1), (G, A, 1), (G, G, 1), (A, G, 5), (G, A, 5), (G, G, 5)} Frekuensi kejadian B: n(K) = jumlah frekuensi anggota himpunan K = 20 + 21 + 22 + 23 + 22 + 23 + 19 + 19 + 20 + 18 + 20 + 23 = 250 Frekuensi relatif terlihat dua angka atau mata dadu faktor dan 5: fk(K) =

=

fr(A) =

= = 0,225

19. Jawaban: c Misalkan A = kejadian terambil bola berwarna sama = {4M, 4P} Frekuensi kejadian A: n(A) = 35 + 32 = 67

= = 0,335

20. Jawaban: b Banyak percobaan = n = 100 kali. Misalkan M = kartu merah K = kartu kuning P = kartu putih B = kartu biru Ruang sampel percobaan dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Ruang Sampel

K

→

MPK

B

→

MPB

K –––––– B

→

MKB

P –––––– K –––––– B

→

PKB

P M

Dari diagram pohon di atas diperoleh ruang sampel S = {MPK, MPB, MKB, PKB} Misalkan K = kejadian terambil kartu merah = {MPK, MPB, MKB} Frekuensi relatif kejadian K: fr(K) =

⇔

0,8 = ⇔ n(K) = 80 Komplemen kejadian K adalah Kc = {PKB}. Oleh karena n(K) + n(Kc) = n(S) maka n(Kc) = n(S) – n(K) = 100 – 80 = 20. Jadi, frekuensi terambil kartu putih, kuning, dan biru adalah 20. 21. Jawaban: c Analisis setiap pilihan sebagai berikut. a. Nilai peluang bukan menunjukkan suatu urutan tahun terjadinya suatu kejadian. Jadi, pernyataan pilihan a tidak tepat. b.

Meskipun nilai peluang lebih besar daripada ,

= 0,5

18. Jawaban: d Banyak percobaan = n = 200 kali. Misalkan K = kejadian terambil bola merah dan putih sama banyak = {(2M, 2P)} Frekuensi kejadian K = n(K) = 45. Frekuensi relatif terambil bola merah dan bola putih sama banyak: fr(K) =

Frekuensi relatif terambil 4 bola berwarna sama:

c.

d.

e.

kita tidak dapat meyakini suatu kejadian pasti akan terjadi karena kejadian yang pasti terjadi memiliki peluang 1. Semakin besar nilai peluang suatu kejadian menandakan kemungkinan terjadinya suatu kejadian lebih tinggi daripada kemungkinan tidak terjadinya kejadian tersebut. Jadi, pernyataan pilihan c benar. Pernyataan pilihan d benar, tetapi tidak tepat untuk menggambarkan nilai sebuah peluang sebab nilai peluang hanya memperkirakan terjadinya suatu kejadian. Meskipun terjadinya gempa bumi telah diperkirakan ahli geologi, tetapi belum tentu gempa bumi tersebut pasti akan terjadi karena itu baru perkiraan dan perkiraan tersebut mungkin saja salah. Jadi, pernyataan pilihan e kurang tepat. Matematika Kelas X

125

M1 M1

M2

M3

B1

B2

B3

B4

B5

(M 1, M2)

(M 1, M3)

(M 1, B1)

(M 1, B2)

(M 1, B3)

(M 1, B4)

(M 1, B5)

(M 2, B1)

(M 2, B2)

(M 2, B3)

(M 2, B4)

(M 2, B5)

(M 3, B1)

(M 3, B2)

(M 3, B3)

(M 3, B4)

(M 3, B5)

(B 1, B2)

(B 1, B3)

(B 1, B4)

(B 1, B5)

(B2, B3)

(B2, B4)

(B2, B5)

(B 3, B4)

(B 3, B5)

(M 2, M3)

M2 M3 B1 B2 B3 B4

(B 4, B5)

B5

Dari tabel di atas diperoleh 28 pasangan warna bola yang mungkin terambil sehingga banyak anggota ruang sampel = n(S) = 28. Misalkan A = kejadian terambil dua bola biru = himpunan pasangan warna bola yang diarsir pada tabel Banyak anggota kejadian A = n(A) = 10. Peluang terambil dua bola biru:

P2 P3 P1 M2 P2 P3 126

Peluang

P1 P2 P3 P4

→

P2 P3 P4

→

P3 P4  P4

→

P2 P3 P4 P3 P4  P4

→

→ → →

→ →

→ →

→ → → → →

Pasangan Kelereng yang Mungkin

P1

P3  P3

P2

→ → → →

M1M2P1 M1M2P2 (2M, 1P) M1M2P3 M1M2P4 M1P1P2 M1P1P3 M1P1P4 M1P2P3 M1P2P4 M1P3P4 M2P1P2 M2P1P3 M2P1P4 M2P2P3 M2P2P4 M2P3P4

(1M, 2P)

P1P2P3 P1P2P4 P1P3P4 P2P3P4

(3P)

Dari diagram pohon di atas diperoleh 20 pasangan tiga kelereng yang mungkin terambil sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 20. Misalkan A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih = {(1M, 2P), 3P} Banyak anggota kejadian A = 16. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih:

P(A) = = = 24. Jawaban: c Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas angka ganjil-ganjil atau genap-genap. Banyak angka berjumlah genap dapat dicari menggunakan tabel berikut. Dua angka ganjil 1 1

3

5

7

9

(1, 3)

(1, 5)

(1, 7)

(1, 9)

(3, 5)

(3, 7)

(3, 9)

(5, 7)

(5, 9)

5

23. Jawaban: e Misalkan M1 dan M2 merupakan 2 kelereng merah, sedangkan P 1, P 2, P 3, dan P 4 merupakan 4 kelereng putih. Pasangan warna kelereng yang terambil dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

M1

P1

P3 P4  P4  P4

3

P(A) = = =

M2

P2

22. Jawaban: b Misalkan ketiga bola merah tersebut adalah M1, M2, dan M3, sedangkan kelima bola biru adalah B1, B2, B3, B4, dan B5. Banyak pasangan warna bola yang terambil dapat dicari menggunakan tabel berikut.

7

(7, 9)

9

Dua angka genap 2 2

4

6

8

(2, 4)

(2, 6)

(2, 8)

(4, 6)

(4, 8)

4

(6, 8)

6 8

Dari tabel di atas diperoleh 10 pasangan angka ganjil dan 6 pasang angka genap sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 10 + 6 = 16. Misalkan K = kejadian terpilih dua angka ganjil Banyak anggota kejadian K = n(K) = 10. Peluang terpilih kedua angka ganjil:

P(K) = = =

(1M, 2P)

25. Jawaban: c Misalkan tiga kamus tersebut adalah K1, K2, dan K3, sedangkan ensiklopedinya adalah E. Banyak cara menempatkan keempat buku pada rak dapat dicari menggunakan diagram berikut.

Susunan Buku yang Mungkin

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

K3  E → K1K2K3E K2

E

 K3 → K1K2EK3

0

K2  E → K1K3K2E K1

K3 E

K1 K2

K

3

E

K1

E

 K2 → K1K3EK2

K2  K3 → K1EK2K3 K3  K2 → K1EK3K2 K3  E → K2K1K3E E

2 1

 K3 → K2K1EK3

3

K1  E → K2K3K1E E



1

→ K2K3EK1

K1  K3 → K2EK1K3

5

K3  K1 → K2EK3K1 K2  E → K3K1K2E E

 K2 → K3K1EK2

K1  E → K3K2K1E K3

K2

E

E

K2  K1 → K3EK2K1

0

 K1 → K3K2EK1

K1  K2 → K3EK1K2

K1 E

K2  K3 → EK1K2K3 K3  K2 → EK1K3K2

1 2

K1  K3 → EK2K1K3 K2 K3

K3  K1 → EK2K3K1 K1  K2 → EK3K1K2 K2  K1 → EK3K2K1

Dari diagram pohon di atas diperoleh 24 susunan buku yang mungkin sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 24. Misalkan A = kejadian buku-buku sejenis ditempatkan secara berdampingan = himpunan susunan buku yang dicetak tebal pada diagram pohon Banyak anggota kejadian A = n(A) = 12. Peluang buku-buku sejenis ditempatkan secara berdampingan:

3

P(A) = = =

26. Jawaban: b Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk kurang dari 300, maka angka ratusan kurang dari 3, yaitu 1 dan 2. Banyak bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

Bilangan yang Mungkin Terbentuk

2 3 5 0 3 5 0 2 5

→ → →

→ → →

102 103 105 120 123 125 130 132 135

0 2 3

→ → →

150 152 153

1 3 5 0 3 5 0 1 5

→ → →

201 203 205 210 213 215 230 231 235

→ → →

→ → → → → →

0 → 250 1 → 251 3 → 253 Dari diagram pohon di atas diperoleh 24 bilangan yang mungkin terbentuk sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 24. Misalkan K = kejadian terambil bilangan genap = {102, 120, 130, 132, 150, 152, 210, 230, 250} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 9. Peluang terambil bilangan genap: 5

P(K) = = =

27. Jawaban: d Huruf-huruf pembentuk kata MERDEKA adalah M, E, R, D, K, dan A. Dari keenam huruf tersebut akan diambil 4 huruf berbeda secara acak. Banyak pasangan huruf yang diambil dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut.

Matematika Kelas X

127

Pasangan 4 Huruf yang Mungkin Terambil

D

→

MERD

K

→

MERK

A

→

MERA

K

→

MEDK

A

→

MEDA

A

→

MEKA

K

→

MRDK

A

→

MRDA



A

→

MRKA

 K 

A

→

MDKA

K

→

ERDK

A

→

ERDA

R

E D M

K



D R K D

D R



A

→

ERKA

 K 

A

→

EDKA

 D  K 

A

→

RDKA

K

E D R

29. Jawaban: e Misalkan M1 dan M2 adalah 2 bola merah, P = bola putih, dan K = bola kuning. Banyak pasangan warna bola yang terambil dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Pengambilan I

Pengambilan II

M2 M1

P K M1

M2

P K

P(H) = = = 28. Jawaban: b Misalkan B1, B2, B3, dan B4 merupakan 4 bohlam baik, sedangkan R1 dan R2 merupakan bohlam rusak. Banyak pasangan bohlam yang mungkin terambil dapat dicari menggunakan tabel berikut. Pengambilan II B1

B2 (B2, B1) B3

B3

B4

R1

R2

(B1, B2) (B1, B3) (B1, B4) (B1, R1) (B1, R2)

B1 Pengambilan I

B2

(B2, B3) (B2, B4) (B2, R1) (B2, R2)

(B3, B1) (B3, B2)

(B3, B4) (B3, R1) (B3, R2)

B4 (B4, B1) (B4, B2) (B4, B3)

(B4, R1) (B4, R2)

R1 (R , B ) (R , B ) (R , B ) (R , B ) 1 1 1 2 1 3 1 4

(R1, R2)

R2 (R2, B1) (R2, B2) (R2, B3) (R2, B4) (R2, R1)

Dari tabel di atas diperoleh 30 pasangan bohlam yang terambil sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 30. 128

Peluang

P(K) = = =

Dari diagram pohon di atas diperoleh 15 pasangan 4 huruf yang mungkin terambil sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 15. Misalkan H = kejadian terambil 2 huruf vokal = {MERA, MEDA, MEKA, ERDA, ERKA, EDKA} Banyak anggota kejadian H = n(H) = 6. Peluang terambil 2 huruf vokal:

Misalkan K = kejadian terambil bohlam rusak pada pengambilan kedua = {(B 1 , R 1 ), (B 1 , R 2 ), (B 2 , R 1 ), (B2, R2), (B3, R1), (B3, R2), (B4, R1), (B4, R2), (R2, R1), (R1, R2)} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 10. Peluang terambil bohlam rusak pada pengambilan kedua:

M1 P

M2 K

Pengambilan III

P K M2 K M2 P

→

P K M1 K M1 P

→

M2 K M1 K M1 M2

→

→ → → → →

→ → → → →

→ → → → →

Pasangan Warna bola

M1M2P M1M2K M1PM2 M1PK M1KM2 M1KP M2M1P M2M1K M2PM1 M2PK M2KM1 M2KP PM1M2 PM1K PM2M1 PM2K PKM1 PKM2

M2 → KM1M2 P → KM1P M1 → KM2M1 K M2 P → KM2P M1 → KPM1 P M2 → KPM2 Dari diagram pohon di atas diperoleh 24 pasangan warna bola sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 24 Misalkan A = kejadian terambil bola putih pada pengambilan kedua = {M1PM2, M1PK, M2PM1, M2PK, KPM1, KPM2} M1

Banyak cara menempatkan 5 anak pada 2 tempat yang tersisa dapat dicari menggunakan tabel berikut.

Banyak anggota kejadian A = n(A) = 6. Peluang terambil bola putih pada pengambilan kedua:

Tempat Juara III

P(A) = = =

30. Jawaban: c Misalkan keempat siswa putra adalah L1, L2, L3, dan L4, sedangkan 2 siswa putri adalah P1 dan P2. Banyak susunan panitia yang mungkin terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Susunan Panitia yang Mungkin Terbentuk

L4

→ L1L2L3L4

P1

→

L1L2L3P1

P2

→

L1L2L3P2

P1

→

L1L2L4P1

P2

→

L1L2L4P2

 P2

→

L1L2P1P2

P1

→

L1L3L4P1

P2

→

L1L3L4P2

L3 L2 L4 L1

P1 L4 L3 L4



P1



P2

→

L1L3P1P2

P1



P2

→

L1L4P1P2

P1

→

L2L3L4P1

P2

→

L2L3L4P2

L4 L3 L2 L3



P1



P2

→

L2L3P1P2

L4



P1



P2

→

L2L4P1P2

L4



P1



P2

→

L3L4P1P2

Dari diagram pohon di atas diperoleh 15 susunan panitia yang mungkin terbentuk sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 15. Misalkan A = kejadian tersusun panitia beranggotakan 2 putri = {L1L2P1P2, L1L3P1P2, L1L4P1P2, L2L3P1P2, L2L4P1P2, L3L4P1P2} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 6. Peluang panitia memuat 2 putri: P(A) =

=

=

B. Uraian 1. Tempat juara 1 sudah terisi sehingga ada 2 tempat yang tersisa. Dua tempat tersebut akan ditempati 5 anak. Misalkan kelima anak tersebut A1, A2, A3, A4, dan A5.

Tempat Juara II

A1 A1

A2

A3

A4

A5

(A1, A2)

(A1, A3)

(A1, A4)

(A1, A5)

(A2, A3)

(A2, A4)

(A2, A5)

(A3, A4)

(A3, A5)

A2

(A2, A1)

A3

(A3, A1)

(A3, A2)

A4

(A4, A1)

(A4, A2)

(A4, A3)

A5

(A5, A1)

(A5, A2)

(A5, A3)

(A4, A5) (A5, A4)

Dari tabel di atas diperoleh 20 cara menempatkan 5 anak tersebut pada tempat juara II dan III. Jadi, terdapat 20 foto berbeda yang mungkin dicetak. 2. Tiga angka yang jumlahnya 5 adalah (0, 0, 5), (0, 1, 4), (0, 2, 3), (1, 1, 3), dan (1, 2, 2). Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Susunan bilangan tiga angka dari setiap kelompok angka dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Tiga Angka

Angka Angka Ratusan Puluhan

Angka Satuan



(0, 0, 5)

5

(0, 1, 4)

1

4

(0, 2, 3)

2

3

(1, 1, 3)

(1, 2, 2)

1


0



0

→

500

0



4

→

104

4



0

→

140

0



1

→

401

1



0

→

410

0



3

→

203

3



0

→

230

0



2



0

→

320

1



3

→

113

3



1

→

131

2

→

302

3



1



1

→

311

1



2



2

→

122

2

→

212

1



2

2  1 → 221 Dari diagram pohon di atas diperoleh 15 bilangan yang terbentuk. Jadi, banyak bilangan tiga angka yang nilainya kurang dari 1.000 dan jumlah ketiga angka 5 adalah 15.

Matematika Kelas X

129

3. Misalkan kelima buku adalah B1, B2, B3, B4, dan B5. Cara membagi kelima buku dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Buku pada Kotak I B2 B1

B3

Buku pada Kotak II

B3 → B1B2B3

B4B5

B4 → B1B2B4

B3B5

B5 → B1B2B5

B3B4

B4 → B1B3B4

B2B5

B5 → B1B3B5

B2B4

B4  B5 → B1B4B5

B2B3

B4 → B2B3B4

B1B5

B5 → B2B3B5

B1B4

B4  B5 → B2B4B5

B1B3

B3  B4  B5 → B3B4B5

B1B2

B3 B2

B2 → B1B2

B3B4B5

B3 → B1B3

B2B4B5

B4 → B1B4

B2B3B5

B5 → B1B5

B2B3B4

B3 → B2B3

B1B4B5

B4 → B2B4

B1B3B5

B5 → B2B5

B1B3B4

B4 → B3B4

B1B2B5

B5 → B3B5

B1B2B4

B4  B5 → B4B5

B1B2B3

B1

B2

B3

Dari diagram pohon di atas diperoleh 20 cara memasukkan buku ke kotak I dan kotak II. Jadi, banyak cara membagi kelima buku tersebut ada 20. 4.

B 2  B 3 → B4B1B2B3

B1

B 3  B 2 → B4B1B3B2 B 1  B 3 → B4B2B1B3

B2

B4

B 3  B 1 → B4B2B3B1 B 1  B 2 → B4B3B1B2

B3

B 2  B 1 → B4B3B2B1

Dari diagram pohon di atas diperoleh 24 formasi yang berbeda. Jadi, banyak formasi penataan 4 macam bunga ada 24. 5. Misalkan anggota kelompok ilmiah pelajar dari kelas A adalah A1, A2, A3, dan A4, sedangkan dari kelas B adalah B1, B2, B3, dan B4. Banyak cara memilih 2 siswa dari kelas A dan 3 siswa dari kelas B dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Kelas A Siswa yang Mungkin Terpilih

A1

A2 A3



A2 A3 A4 A3 A4 A4

→ → → → → →

Kelas B Siswa yang Mungkin Terpilih

Formasi yang Mungkin B2 B1

B3 B4 B1

B2

B3 B4 B1

B3

B2 B4

130

Peluang

B2

B 3  B 4 → B1B2B3B4 B 4  B 3 → B1B2B4B3 B 2  B 4 → B1B3B2B4 B 4  B 2 → B1B3B4B2 B 2  B 3 → B1B4B2B3 B 3  B 2 → B1B4B3B2 B 3  B 4 → B2B1B3B4

B1 B2



B3 B3

 

B3 B4 B4 B4

→ → → →

B1B2B3 B1B2B4 B1B3B4 B2B3B4

Banyak kelompok yang terbentuk dapat dicari menggunakan tabel berikut.

B 4  B 3 → B2B1B4B3 B 1  B 4 → B2B3B1B4

A1A2 A1A3 A1A4 A2A3 A2A4 A3A4

B1B2B3

B1B2B4

B1B3B4

B2B3B4

A1A2

A 1 A 2 B 1 B 2 B 3 A1 A2 B 1 B 2 B 4

A1 A2 B 1 B 3 B 4 A 1 A 2 B 2 B 3 B 4

B 1  B 3 → B2B4B1B3

A1A3

A 1 A 3 B 1 B 2 B 3 A1 A3 B 1 B 2 B 4

A1 A3 B 1 B 3 B 4 A 1 A 3 B 2 B 3 B 4

B 5  B 1 → B2B4B3B1

A1A4

A 1 A 4 B 1 B2 B 3 A 1 A 4 B 1 B 2 B 4

A 1 A 4 B 1 B 3 B 4 A1 A4 B 2 B 3 B 4

B 2  B 4 → B3B1B2B4

A2A3

A 2 A 3 B 1 B2 B 3 A 2 A 3 B 1 B 2 B 4

A 2 A 3 B 1 B 3 B 4 A2 A3 B 2 B 3 B 4

A2A4

A 2 A 4 B 1 B2 B 3 A 2 A 4 B 1 B 2 B 4

A 2 A 4 B 1 B 3 B 4 A2 A4 B 2 B 3 B 4

A3A4

A 3 A 4 B 1 B 2 B 3 A3 A4 B 1 B 2 B 4

A3 A4 B 1 B 3 B 4 A 3 A 4 B 2 B3 B 4

B 4  B 1 → B2B3B4B1

B 4  B 2 → B3B1B4B2 B 3  B 4 → B3B2B3B4 B 4  B 3 → B3B2B4B3 B 1  B 2 → B3B4B1B2 B 2  B 1 → B3B4B2B1

Dari tabel di atas diperoleh 24 kelompok yang terbentuk. Jadi, banyak susunan kelompok yang mungkin terjadi ada 24.

6. a.

Ruang sampel percobaan adalah S = {(A, A, A), (A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G), (G, G, A), (G, G, G)}. Misalkan : n = banyak percobaan A = kejadian terlihat dua angka = {(A, A, G), (A, G, A), (G, A, A)} B = kejadian terlihat dua gambar = {(A, G, G), (G, A, G), (G, G, A)} C = kejadian terlihat tiga angka atau tiga gambar = {(A, A, A), (G, G, G)} Frekuensi kejadian A = n1 Frekuensi kejadian B = n2 = 78 Frekuensi kejadian C = n3 Frekuensi relatif kejadian A = fr(A) = 0,32. Frekuensi relatif kejadian B = fr(B) = 0,39. fr(B) =

b.

⇔ n=

a.

Peluang terpilih peserta yang lulus Matematika dan Fisika: P(A ∩ B) = = =

b.

Banyak peserta yang lulus Matematika tetapi tidak lulus Fisika = n(A ∩ Bc) = n(A – B) = 25.

⇔

= = c.

Banyak siswa yang tidak lulus Matematika tetapi lulus Fisika = n(AC ∩ B) = n(B ∩ AC) = n(B – A) = 10 Peluang terpilih siswa yang tidak lulus Matematika tetapi lulus Fisika:

⇔

∩

P(Ac ∩ B) =

=

0,29 =

∩

P(A ∩ Bc) =

= = 200 Jadi, ketiga uang logam tersebut dilambungkan sebanyak 200 kali. Oleh karena A, B, dan C saling lepas, maka fr(A) + fr(B) + fr(C) = 1. fr(A) + fr(B) + fr(C) = 1 ⇔ 0,32 + 0,39 + fr(C) = 1 ⇔ 0,71 + fr(C) = 1 ⇔ fr(C) = 0,29

fr(C) =

∩

=

n3 = 0,29n = 0,29(200) = 58

Jadi, frekuensi terlihat tiga angka atau tiga gambar adalah 58. 7. Misalkan: A = himpunan siswa lulus Matematika B = himpunan siswa lulus Fisika Banyak siswa yang lulus Matematika = n(S) = 35. Banyak siswa yang lulus Fisika = n(B) = 20. Banyak siswa yang tidak lulus Matematika dan Fisika = n(A ∪ B)C = 5. Banyak siswa yang lulus Matematika atau Fisika: n(A ∪ B) = n(S) – n(A ∪ B)c ⇔ n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 50 – 5 ⇔ 35 + 20 – n(A ∩ B) = 45 ⇔ 55 – n(A ∩ B) = 45 ⇔ n(A ∩ B) = 10 Dengan demikian, diperoleh banyak siswa yang lulus Matematika dan Fisika = n(A ∩ B) = 10. Diagram Venn: S A

25

B

10 ▲ A∩B

8. Misalkan 4 bola merah di kotak A adalah M1, M2, M3, dan M4, sedangkan 2 bola putih adalah P1 dan P2. Satu bola merah dari kotak B adalah M, sedangkan 2 bola hijau adalah H1 dan H2. Pasangan warna bola yang diambil dari kotak A dapat dicari menggunakan tabel berikut. P1 P1 P2

M1

M2

M3

M4

P1P2

P1M1

P1M2

P1M3

P1M4

P2M1

P2M2

P2M3

P2M4

M1M2

M1M3

M1M4

M2M3

M2M4

M1 M2 M3

M3M4

M4

Pasangan warna bola yang diambil dari kotak B dapat dicari menggunakan tabel berikut. M M H1

10

P2

H1

H2

MH1

MH1 H1 H 2

H2 5

Matematika Kelas X

131

Pasangan warna bola yang diambil dari kotak A dan kotak B dapat dicari menggunakan tabel berikut. Bola dari Kotak B

Bola dari Kotak A

P1P2

MH1

MH2

H1 H 2

P1P2MH1

P1P2MH2

P1P2H1H2

Banyak bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Angka Ratusan Puluhan

Angka Satuan



0 1 4

6

→

406

0

→

410

6

→

416

0

→

430

P1M1

P1M1MH1

P1M1MH2

P1M1H1H2

3

6

→

436

P1M2

P1M2MH1

P1M2MH2

P1M2H1H2

6



0

→

460

P1M3

P1M3MH1

P1M3MH2

P1M3H1H2

0



4

→

604

0

→

610

4

→

614

0

→

630

4

→

634

0

→

640

P1M4

P1M4MH1

P1M4MH2

P1M4H1H2

P2M1

P2M1MH1

P2M1MH2

P2M1H1H2

P2M2

P2M2MH1

P2M2MH2

P2M2H1H2

P2M3

P2M3MH1

P2M3MH2

P2M3H1H2

P2M4

P2M4MH1

P2M4MH2

P2M4H1H2

M1M2

M1M2MH1

M1M2MH2

M1M2H1H2

M1M3

M1M3MH1

M1M3MH2

M1M3H1H2

M1M4

M1M4MH1

M1M4MH2

M1M4H1H2

M2M3

M2M3MH1

M2M3MH2

M2M3H1H2

M2M4

M2M4MH1

M2M4MH2

M2M4H1H2

M3M4

M3M4MH1

M3M4MH2

M3M4H1H2

Dari tabel tersebut diperoleh 45 pasangan warna bola yang terambil dari kotak A dan kotak B sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 45. Misalkan K = kejadian terambil 2 bola merah = himpunan pasangan warna bola yang diarsir pada tabel di atas Banyak anggota kejadian K = n(K) = 22. Peluang terambil 2 bola merah: n(K)

1 6 3

Dari diagram pohon di atas diperoleh 12 bilangan genap yang lebih dari 300 sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 12. Misalkan A = kejadian terambil bilangan habis dibagi 4 = {416, 436, 460, 604, 640} Banyak anggota kejadian A = n(A) = 5. Peluang terambil bilangan habis dibagi 4: n(A)

P(A) = n(S) = 10. Misalkan 3 pakar Biologi adalah B1, B2, dan B3, 2 pakar Fisika adalah F1 dan F2, sedangkan 2 pakar Kimia adalah K1 dan K2. Kemungkinan tim yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Tim yang Terbentuk

F1 B2

9. Bilangan tiga angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk lebih dari 300 maka nilai angka ratusan lebih dari 3, yaitu 4 dan 6. Bilangan yang dibentuk genap, maka nilai angka satuan adalah angka genap yaitu 0, 4, dan 6.



4

P(K) = n(S) =

F2 F1 B1

B3 F2

F2 F1 F2

132


Peluang



K1

→

B1B2F1K1

K2

→

B1B2F1K2

K1

→

B1B2F2K1

K2

→

B1B2F2K2

K1

→

B1B3F1K1

K2

→

B1B3F1K2

K1

→

B1B3F2K1

K2

→

B1B3F2K2

K1

→

B1F1F2K1

K2

→

B1F1F2K2

K1



K2

→

B1F1K1K2

K1



K2

→

B1F2K1K2

F1 B2 F2 B2

F2 F1 F2



B3 F2



→

B2B3F1K1

K2

→

B2B3F1K2

K1

→

B2B3F2K1

K2

→

B2B3F2K2

K1

→

B2F1F2K1

K2

→

B2F1F2K2

K1



K2

→

B2F1K1K2

K1



K2

→

B2F2K1K2

K1

→

B3F1F2K1

K2

→

B3F1F2K2

F2 F1

K1

K1



K2

→

B3F1K1K2

K1



K2

→

B3F2K1K2

Dari diagram pohon di atas diperoleh 24 tim yang mungkin terbentuk sehingga banyak anggota ruang sampel adalah n(S) = 24. Misalkan K = kejadian terbentuk tim yang beranggotakan 2 pakar Fisika = {B1F1F2K1, B1F1F2K2, B2F1F2K1, B2F1F2K2, B3F1F2K1, B3F1F2K2} Banyak anggota kejadian K = n(K) = 6. Peluang terbentuk tim yang beranggotakan 2 pakar Fisika: n(K)

P(K) = n(S)

= =

Matematika Kelas X

133

4. Jawaban: a Dari x2 + 3x + 4 = 0 diperoleh nilai a = 1, b = 3, dan c = 4.

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: c 2x2 – 5x – 3 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0

⇔

x = – atau

α+β=– α·β=

x=3

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah –

dan 3. 2. Jawaban: b h(t) = –16t2 + 64t + 4 h(t) ≥ 52 ⇔ –16t2 + 64t + 4 ≥ 52 ⇔ –16t2 + 64t – 48 ≥ 0 ⇔ –t2 + 4t – 3 ≥ 0 ⇔ t2 – 4t + 3 ≤ 0 ⇔ (t – 3)(t – 1) ≤ 0 Batas-batas nilai t sebagai berikut. +

– 1

+ 3

Nilai t yang memenuhi yaitu 1 ≤ t ≤ 3. Jadi, ketinggian bola lebih atau sama dengan 52 kaki saat 1 ≤ t ≤ 3. 3. Jawaban: b Suatu fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x jika D = b2 – 4ac < 0 dan a > 0. Fungsi Kuadrat 3x2 – 5x – 4 5x2 – 2x + 3 3x2 + 5x – 4 –5x2 + 2x – 3 –3x2 – 2x + 3

Nilai a 3>0 5>0 3>0 –5 < 0 –3 < 0

Nilai D (–5)2 – 4 · 3(–4) = 73 > 0 (–2)2 – 4 · 5 · 3 = –56 < 0 52 – 4 · 3 · (–4) = 73 > 0 22 – 4 · (–5) · (–3) = –56 < 0 (–2)2 – 4 · (–3) · 3 = 40 > 0

Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi 5x2 – 2x + 3 mempunyai a = 5 > 0 dan D = –56 < 0. Jadi, fungsi yang selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x adalah pilihan b.

= –3

=4

(α + β)2 + (α – β)2 = (α2 + 2αβ + β2) + (α2 – 2αβ + β2) = 2(α2 + β2) = 2(α + β)2 – 4αβ = 2(–3)2 – 4 · 4 = 18 – 16 =2 (α + β)2(α – β)2 = (α + β)2(α2 + β2 – 2αβ) = (–3)2((α + β)2 – 2αβ – 2αβ) = 9((–3)2 – 2 · 4 – 2 · 4) = 9 · (–7) = –63 Persamaan kuadrat baru yaitu: x2 – ((α + β)2 + (α – β)2)x + (α + β)2(α – β)2 = 0 ⇔ x2 – 2x – 63 = 0 5. Jawaban: d f(x) = (p2 + 1)x2 + 2px – 10 mempunyai nilai a = p2 + 1, b = 2p, dan c = –10. −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− +

⇔

p = – atau p

= –2

Oleh karena p bilangan bulat maka p = –2. Dengan demikian, diperoleh: f(x) = ((–2)2 + 1) x2 + 2(–2) x – 10 = 5x2 – 4x – 10 Hasil kali akar-akar f(x) = 5x2 – 4x – 10 = 0 sebagai berikut.

Ulangan Akhir Semester

= –5p = 2(p2 + 1) –5p = 2p2 + 2 2p2 + 5p + 2 = 0 (2p + 1)(p + 2) = 0 2p + 1 = 0 atau p + 2 = 0

x1x2 = = – = –2

134

Sumbu simetri = x = =

6. Jawaban: c Persamaan grafik fungsi kuadrat yang puncaknya di titik (1, 4) berbentuk y = f(x) = a(x – 1)2 + 4.

cos ∠CAD = =

Grafik melalui titik (0, 3), maka f(0) = 3. f(0) = a(0 – 1)2 + 4 ⇔ 3=a+4 ⇔ a = –1

+ α

=

Persamaan grafik fungsi kuadrat sebagai berikut. y = –1(x – 1)2 + 4 ⇔ y = –(x2 – 2x + 1) + 4

+ α

° +

° −

° + °

⇔ y = –x2 + 2x + 3

⇔ ⇔

–

+ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

−

= −− ° + °

= 25

+ α

=

+ α

= BC + α

tan 15° = a =

a

cotan 15° =

1

=

+

15°

° − ° ° + °

° − ° − ° + °

= ° + ° + ° + °

= −

D

tan α = ⇔ CD = BC tan α . . . (1) Oleh karena AB = BC maka AC = AB + BC = 2BC . . . (2) Perhatikan ∆ACD.

+ α

+

+

=

A

+

10. Jawaban: a

+

+

+

=

= 25

8. Jawaban: d Perhatikan ∆BCD.

=

= =

x = = = − = –3 Jadi, titik balik maksimum fungsi tersebut (–3, 25).

AD =

+ ° + − °

= − + ° + + °

= 25

⇔ m2 + 4m + 4 + 16m = 100 ⇔ m2 + 20m – 96 = 0 ⇔ (m + 24)(m – 4) = 0 ⇔ m + 24 = 0 atau m – 4 = 0 ⇔ m = –24 atau m = 4 Oleh karena m > 0 maka m = 4. Absis titik balik:

+ ⋅ −

.

° + °

7. Jawaban: c Fungsi f(x) = 4m – (m + 2)x – x2 mempunyai nilai a = –1, b = –(m + 2), dan c = 4m. Nilai maksimum fungsi = 25. ⇔

+ α

9. Jawaban: e

⇔ y = –x2 + 2x – 1 + 4

– − –

Jadi, nilai cos ∠CAD =

=

α B

C

+

−

−

=

−

11. Jawaban: b Grafik di atas merupakan grafik fungsi sinus yang mempunyai persamaan y = a sin kx. a = amplitudo

= (nilai maksimum – nilai minimum)

= (2 – (–2)) = 2 Grafik berulang setiap interval 0 sampai 180° berarti periode grafik fungsi tersebut 180°, °

k = ° = 2. Jadi, persamaan grafik fungsi adalah y = 2 sin 2x. Matematika Kelas X

135

12. Jawaban: d ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 sin2 x – 3 cos x = 0 2(1 – cos2 x) – 3 cos x = 0 2 – 2 cos2 x – 3 cos x = 0 2 cos2 x + 3 cos x – 2 = 0 (2 cos x – 1)(cos x + 2) = 0 2 cos x – 1 = 0 atau cos x + 2 = 0

15. Jawaban: e ∆PQR siku-siku di Q. PR =

cos x = atau cos x = –2 Untuk cos x = –2, tidak ada nilai x yang memenuhi.

=

+

=

×

W

AR =

T

U

P

AV =

Oleh karena 0 ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi 60° dan 300°. Jadi, himpunan penyelesaiannya {60°, 300°}.

= × 12

! + "!

=

+

=

= 6 cm Jadi, jarak titik A dengan titik V adalah 6 cm. 16. Jawaban: a Perhatikan gambar di samping. BE merupakan jarak titik B ke garis DT.

T

13. Jawaban: d

=

=

E

+

D

·

= 2 sin Q cos Q 14. Jawaban: c Garis AF terletak pada bidang ABFE dan BC terletak pada bidang BCGF, sedangkan bidang ABFE tegak lurus dengan bidang BCGF maka garis AF tegak lurus dengan BC. Pernyataan (i) benar. Oleh karena garis AC tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang dengan garis GH maka garis AC bersilangan dengan garis GH. Pernyataan (ii) benar. Bidang EGH pada EFGH dan ABD pada ABCD sedangkan EFGH sejajar ABCD maka bidang EGH dan bidang ABC merupakan dua bidang yang sejajar. Pernyataan (iii) salah. Bidang ABGH dan bidang BCGF merupakan dua bidang yang berpotongan di BG. Pernyataan (iv) benar. Jadi, pernyataan yang benar (i), (ii), dan (iv).

136


C 4 cm

O A

4 cm

=

Q

a.

x2 = –60° + k · 360° k = 0 → x2 = –60° k = 1 → x2 = 300°

12 cm

PR

= 6 cm Jarak titik A ke titik V adalah AV. ∆ARV siku-siku di R.

b.

12 cm R

S A 12 cm

cos x = ⇔ cos x = cos 60° ⇔ x = ±60° + k · 360° Penyelesaian dari x = ±60° + k · 360° sebagai berikut. x1 = 60° + k · 360° k = 0 → x1 = 60° k = 1 → x1 = 420°

V

= 12 cm

⇔

+ !

BD =

B

+

=

+

=

+

=

= 4 cm

DO = OB = = BT = AT = 8 cm Perhatikan ∆TOB. OT =

C

D

4 cm

4 cm

A

4 cm

B

= 2 cm T

# − $

=

−

=

−

=

= 2 cm

D

O

B

Luas ∆BTD = × BD × OT = × DT × BE

⇔

18. Jawaban: c H

G

× 4 × 2 = × 8 × BE

⇔

BE =

E R

×

= = 2 Jadi, jarak dari titik B ke rusuk TD adalah

8 cm Q

D

C

2 cm. 17. Jawaban: d R

2 cm S

E

G

2 cm

F

K

2 cm

P 2 cm

D

4 cm

3 cm P 3 cm 6 cm B

A

H

S

F

Perhatikan gambar di atas. PQ dan RS saling sejajar. Jarak antara PQ dan RS adalah PR atau QS.

L Q

BR : RF = 3 : 1 ⇔ BR = + · BF

= BF

C

A

= ·8 = 6 cm

B

Perhatikan gambar tersebut. Proyeksi FG pada bidang PQRS adalah KL. Jarak FG ke bidang PQRS adalah KF atau LG. Titik K di tengah-tengah PS sehingga

∆PBR siku-siku di B. PR =

PK = KS = %& + & =

+

=

KF =

+

=

+

=

Jadi, jarak antara PQ dan RS adalah cm. ·

19. Jawaban: c

& − '

R

−

=

−

=

cm

P Q

G

L

F 8 cm

N

D

Jadi, jarak FG ke bidang PQRS adalah

4 cm

O

E

=

4 cm M

H

= cm ∆PKF siku-siku di K.

=

= cm

=

+ !

S

cm.

A

P

B

K 4 cm

C 4 cm

Perhatikan gambar di atas. KLMN dan PQRS saling sejajar. Jarak antara KLMN dan PQRS adalah OP. ∆MLG siku-siku di G.

Matematika Kelas X

137

LM = = =

∆BFT siku-siku di F.

*/ + /;

& + #&

=

+

*/ − *

=

−

=

−

=

BT2 + TG2 = + = 6 + 2 = 8 = = BG2 Oleh karena BT2 + TG2 = BG2 maka ∆TBG sikusiku di T sehingga diperoleh:

#/

= sin ∠TBG = / = ⇔ ∠TBG = 30° Jadi, besar sudut antara BT dan BG adalah 30°.

= cm

21. Jawaban: a Sudut antara GT dan ABCD adalah ∠GTC.

Panjang EO = PG = cm OP = EG – (EO + PG)

TC =

+ #

= – ( + )

=

+

= –

=

+

= cm

GT =

20. Jawaban: a H

H

G

F

E

20 cm

F 2 cm

D T α

# + /

=

+

=

=

= 25

T

#

A

cos α = /# = = D

C

Jadi, nilai cos α = .

m 2c

A

22. Jawaban: c

B

Perhatikan gambar di atas. Sudut antara BT dan BG adalah ∠TBG. ∆BCG siku-siku di C. BG =

T

+ /

=

+

=

12 cm

C 3 cm 9

cm

138

α

D 3 cm

= cm

TF = TG = EG = · =


A

cm

G

= = 15

Jadi, jarak antara KLMN dan PQRS adalah cm.

E

cm

Perhatikan ∆TBG.

PL = PM = LM = · = cm ∆PLG siku-siku di P.

+ =

=

= cm

PG =

BT =

+

9 cm

B

Perhatikan gambar di atas.

12 cm

C 18 cm B

∆ABC sama kaki dengan AB = AC = 9 cm sehingga AD merupakan garis tinggi ∆ABC. Dengan demikian, AD ⊥ BC.

− =

AD =

− =

= cm

# +

AB ⊥ TA maka TB =

# −

=

= = cm

? →−

= 9 + 21 – 6 = 24 24. Jawaban: a Dengan cara memfaktorkan @ − ? − ? ? → − ? + ? +

@ − ? + ? ? → − ? + ? +

=

− ? = ? @ → − ? + − ⋅ −

= ⋅ − + + −

=

? − ? − ? −

? →

= @

? − ? − ? −

@

I→

X? + I − X? I

? + ? I + ?I + I − ? I I→

= @

? I + ?I + I I I→

= @

I→

= 24x2 Jadi, @

I→

X? + I − X? I

= 24x2

27. Jawaban: c Hari Senin

Persentase

Banyak Sepeda Motor 41

Selasa

42

Rabu

47

Naik

Turun

–

–

45

–

Jumat

40

–

42

Minggu

50

–

× 100% = 11,9%

Kamis

Sabtu

–

× 100% = 2,4%

× 100% = 4,3% × 100% = 11,1%

× 100% = 5%

–

× 100% = 19,1%

–

Jadi, pernyataan yang benar pilihan c. ·

? + ? − ? + ? −

? − ? −

? → ? − ? +

= @

= –.

= –7

25. Jawaban: b Dengan cara mengalikan bentuk sekawan

= @

? − ? − ? −

= @ 24x2 + 48xh + 32h2

@ x2 – 7x – 6 = (–3)2 – 7(–3) – 6

? →

26. Jawaban: c f(x) = 4x3 f(x + 2h) = 4(x + 2h)3 = 4(x3 + 6x2h + 12xh2 + 8h3) = 4x3 + 24x2h + 48xh2 + 32h3

23. Jawaban: d

@

− + −

−

= cm Oleh karena AC dan AB tegak lurus TA maka ∆ABC tegak lurus TA di A. AD pada ∆ABC maka AD ⊥ TA. Dengan demikian, ∆TAD siku-siku di A. #

? + ? −

? →

? →

−

sin α = # = =

−

= @

Jadi, @

=

? −

= + = –

= = 15 cm TD ⊥ BC maka TD =

? → ? − ? +

=

+

=

−? −

= @

? −

28. Jawaban: e Besar sudut pusat donat dan roti gulung = 360° – (130° + 20°) = 210° Donat : roti gulung = 2 : 1

−? +

? → ? − ? +

? −

Matematika Kelas X

139

Besar sudut pusat donat =

× 210° = 140°

Z[[\]Z^]_`\@ Z[qZ^]_`\@

=

° °

=

⇔

⇔ n = 560 Jadi, banyak donat yang terjual 560. 29. Jawaban: b + +

+ + +

– x = = = 100 Jadi, rata-rata banyak pengunjung perpustakaan tersebut 100 orang.

30. Jawaban: c Misalkan x = banyak siswa yang menyukai wedang jahe. ? + +

× 100% = 40% ? +

⇔

= ⇔ 5x + 85 = 120 ⇔ 5x = 35 ⇔ x=7 Jadi, banyak siswa yang menyukai wedang jahe 7 orang. 31. Jawaban: a Besar sudut pusat penjualan kartu 8 GB = x x = 360° – (90° + 48° + 132° + 54°) = 360° – 324° = 36° Persentase banyak kartu 8 GB yang terjual °

= ° × 100% = 10% Jadi, persentase banyak kartu 8 GB yang terjual di kios tersebut 10%. 32. Jawaban: c + + + + +

– x = = = 35 Jadi, rata-rata penjualan laptop selama 6 hari tersebut adalah 35 unit.

33. Jawaban: a Frekuensi = 3 + 8 + 10 + x + 4 ⇔ 30 = 25 + x ⇔ x=5 Jadi, banyak pengunjung 182–222 orang terjadi sebanyak 5 hari. 34. Jawaban: c Lama penjualan = 25 hari. Lama penjualan = 3 + 5 + 2 + (x – 1) + (x + 3) + 3 ⇔ 25 = 13 + (2x + 2) ⇔ 2x = 10 ⇔ x=5 140


Penjualan bolpoin 34 – 39 unit = x + 3 = 8 Jadi, penjualan bolpoin antara 34 unit hingga 39 unit terjadi selama 8 hari. 35. Jawaban: a Misalkan: x = banyak mobil yang berkecepatan 54,5–59,5 km/jam Jumlah mobil = 2 + x + 30 + 36 + 18 + 14 + 6 ⇔ 122 = 120 + x ⇔ x=2 Jadi, banyak mobil yang berkecepatan 54,5–59,5 km/jam sebanyak 2 unit. 36. Jawaban: c Banyak percobaan = n = 200 kali. Misalkan mata dadu genap terlihat sebanyak p kali. Frekuensi relatif terlihat mata dadu genap = 0,45, berarti:

0,45 = ⇔ p = 0,45n = 0,45 · 200 = 90 Frekuensi terlihat mata dadu ganjil = 200 – 90 = 110. Jadi, dari perlambangan tersebut mata dadu gajil terlihat sebanyak 110 kali. 37. Jawaban: e Frekuensi terambil kartu putih dan hijau (P, H) = 12. Frekuensi pengambilan kartu = n = 3a + 2a + 2 + 8 + 11 + 12 + 2a – 1 = 32 + 7a Frekuensi relatif terambil kartu putih dan hijau = 0,2. ⇔

= 0,2

⇔

+

= 0,2

⇔ 12 = 6,4 + 1,4a ⇔ 1,4a = 5,6 ⇔ a=4 Misalkan K = himpunan kejadian terambil kartu merah = {(M, P), (M, K), (M, H)} Frekuensi kejadian k: n(K) = 3a + 2a + 2 + 8 = 5a + 10 = 5 · 4 + 10 = 30 Jadi, frekuensi terambil kartu merah adalah 30 kali. 38. Jawaban: c Faktor dari 3 adalah 1 dan 3. Kejadian terlihat mata dadu faktor dari 3, berarti terdapat dua kemungkinan kejadian yaitu terlihat mata dadu 1 atau 3 pada dadu pertama atau terlihat mata dadu 1 atau 3 pada dadu kedua. Banyak anggota kejadian A disajikan dalam tabel berikut.

Dadu I

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

1

(1, 1)

(2, 1)

2

(1, 2)

3 4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

5

(6, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

39. Jawaban: c Bilangan 3 angka terdiri atas angka ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang akan disusun genap maka angka satuan berupa bilangan genap, yaitu 0 dan 2. Susunan bilangan yang terbentuk dapat dicari menggunakan diagram pohon berikut. Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan


0

2

102

2

0

120

0

130

2

132

1

0

210

3

0

230

0

2

302

0

310

2

312

0

320

3

3

2

5

Daerah yang diarsir pada tabel di atas merupakan himpunan kejadian A. Jadi, banyak anggota kejadian A adalah 20.

2

1

4

6

1

Dadu II

Dadu Pertama

Dadu Kedua 1

1 2

Dari diagram pohon di atas diperolah banyak susunan bilangan yang terbentuk ada 10. Banyak bilangan yang nilainya lebih dari 300 ada 4, yaitu 302, 310, 312, dan 320. Peluang terambil bilangan yang nilainya lebih dari

300 adalah p = = . 40. Jawaban: c Dua dadu dilambungkan bersama-sama sekali maka banyak anggota ruang sampel = n(S) = 6 × 6 = 36. Misalkan K = Kejadian muncul mata dadu berjumlah bilangan prima Anggota kejadian K dalam bentuk tabel sebagai berikut.

3

4 (4, 1)

(3, 2) (2, 3)

(1, 4)

5

6 (6, 1)

(5, 2) (4, 3)

(3, 4) (2, 5)

(6, 5)

(1, 6)

(5, 6)

n(K) = 15 '

P(K) = % = = Jadi, peluang terlihat mata dadu berjumlah

bilangan prima adalah . B. Kerjakan soal-soal berikut. 1. Grafik fungsi f(x) = px2 + qx + r memotong sumbu Y di titik (0, –6) maka f(0) = –6. f(0) = p · 02 + q · 0 + r = –6 ⇔ r = –6 Persamaan grafik menjadi f(x) = px2 + qx – 6. Fungsi f(x) = px2 + qx – 6 mempunyai nilai a = p, b = q, dan c = –6. Grafik fungsi f(x) = px 2 + qx – 6 memotong sumbu X di x1 dan x2 maka akar-akar persamaan kuadrat px2 + qx – 6 = 0 adalah x1 dan x2. x1x2 = –3 ⇔ ⇔

−

= –3 = –3

⇔ p=2 Persamaan grafik menjadi f(x) = 2x2 + qx – 6. Grafik mempunyai sumbu simetri x = 1 maka −

=1 ⇔

−

=1

⇔

− ⋅

=1

⇔ q = –4 Dengan demikian, diperoleh persamaan grafik fungsi f(x) = 2x2 – 4x – 6. 2. Misalkan: p = panjang lapangan A = lebar lapangan Keliling lapangan = 2(p + A) = 180 ⇔ p + A = 90 A = 90 – p ⇔ Luas lapangan = p × A ≥ 2.000 ⇔ p × (90 – p) ≥ 2.000 ⇔ 90p – p2 ≥ 2.000 2 ⇔ p – 90p + 2.000 ≤ 0 ⇔ (p – 40)(p – 50) ≤ 0

Matematika Kelas X

141

+

– 40

= sin A cos A × + sin A cos A × = sin2 A + cos2 A = 1 (terbukti)

50

Nilai p yang memenuhi 40 ≤ p ≤ 50. Jadi, panjang lapangan tersebut tidak kurang dari 40 m dan tidak lebih dari 50 m.

2 cos (2x + π) =

3.

b.

cotan A + +

π

= cotan A +

π

⇔ 2x + π = ± + k · 2π

= cotan A + π

Penyelesaian 2x + π = ± + k · 2π sebagai berikut. a.

2x + ⇔ ⇔ k=0 k=1

=

π

2x + ⇔

2x = –π + k·2π

⇔

=

k=1 → x= k=2 → x=

5. Jarak titik C ke garis AG adalah CP. AC merupakan diagonal bidang kubus. Panjang AC = 6 cm. AG merupakan diagonal ruang kubus. Panjang AG = 6 cm.

+ k·2π

H

A

B

Perhatikan ∆ACG. Luas segitiga ACG:

Jadi, himpunan penyelesaiannya { π, π }. sin A cos A (tan A + cotan A) = 1 Bukti: sin A cos A (tan A + cotan A)

= sin A cos A ( + )

· 6 · 6 = · 6 · CP

L = · AC · CG = · AG · CP ⇔


C

D

–π π π

π dan π.

142

F P

G

E

Oleh karena 0 ≤ x ≤ π maka nilai x yang memenuhi

4. a.

+ −

x = – π + kπ

k=0 → x=

− −

= = cosec A (terbukti)

π –

− −

−

= + =

2x = – π + k·2π x = – π + kπ → x = –π → x = π

k = 2 → x = π b.

= cotan A +

+ k·2π

π

−

= cotan A + + × −

⇔ cos (2x + π) = cos

π

cotan A + + = cosec A Bukti:

⇔ cos (2x + π) =

+

⇔

CP =

=

·

= =2

Jadi, jarak titik C ke garis AG adalah 2 cm.

6.

H

b.

G

R E

Banyak Siswa

Q α

F

Diagram batang data tersebut sebagai berikut.

15 12

24 cm

7 6 D S

P 7 cm

18 cm

A

C 7 cm

Perhatikan gambar tersebut. Sudut antara bidang ABQR dan PQRS adalah ∠ARS atau ∠BQP. ∆BPQ siku-siku di P. BQ =

9.

+ =

+ =

a.

= 25 cm

Banyak tanaman yang tingginya lebih dari 27 cm = x + 1 + 2x = 3x + 1 ? +

sin α = sin ∠BQP = =

Persentase = + + + + ? + × 100%

Jadi, nilai sin α adalah . 7.

@

?→

? − ? − ? −

⇔

? − ? +

= ?@ →

? − ⋅ ? +

= ?@ →

? +

? − ⋅ ? +

? +

+ ⋅+

=

? +

40% = + ? × 100% ? +

⇔

? − ? +

= ?@ →

=

Cara Berangkat

a ki an da Tu Ka ra u m pe a g e n d n la n m rs ra Ja Ke U O Be r k i a a nt N ia D

B

b.

0,4 = + ? ⇔ 10 + 1,2x = 3x + 1 ⇔ 1,8x = 9 ⇔ x=5 Banyak tanaman yang tingginya lebih dari 32 cm = 2x = 10. Jadi, tanaman yang tingginya lebih dari 32 cm sebanyak 10 batang. Histogram dari data sebagai berikut. Frekuensi 10

= =

=

8 7 5

33–37

4

28–32

Jumlah siswa = 40 ⇔ (x + 6) + (x – 2) + (x + 3) + (x – 3) = 40 ⇔ 4x + 4 = 40 ⇔ 4x = 36 ⇔ x=9 Banyak siswa yang berangkat ke sekolah dengan cara naik kendaraan umum = x + 6 = 15 Jadi, siswa yang berangkat ke sekolah dengan cara naik kendaraan umum sebanyak 15 orang.

6

23–27

.

18–22

=

13–17

8. a.

? − ? −

8–12

Jadi, nilai lim

? −

Matematika Kelas X

Tinggi Tanaman (cm)

143

10. a.

Misalkan M1 dan M2 adalah 2 bola merah, P1 dan P2 adalah 2 bola putih, sedangkan K1 dan K2 adalah 2 bola kuning. Banyak pasangan bola yang mungkin terambil dapat ditentukan menggunakan diagram pohon berikut. Kelompok Warna bola P1 P2 K1 K2

M1M2P1 M1M2P2 M1M2K1 M1M2K2

P2 K1 K2

M1P1P2 M1P1K1 M1P1K2

P2

K1 K2

M1P2K1 M1P2K2

K1

K2

M1K1K2

P2 K1 K2

M2P1P2 M2P1K1 M2P1K2

P2

K1 K2

M2P2K1 M2P2K2

K1

K2

M2K1K2

P2

K1 K2

P1P2K1 P1P2K2

K1

K2

P1K1K2

K1

K2

P2K1K2

M2

M1

P1

P1 M2

P1 P2

144


b.

Dari diagram pohon, diperoleh 20 pasang warna bola yang mungkin terambil. Misalkan A = himpunan kejadian terambil tiga bola berbeda warna. A = himpunan pasangan warna bola yang dicetak tebal n(A) = 8 Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 20. Peluang kejadian A:

P = % = = Jadi, peluang terambil tiga bola berbeda warna

adalah .

Matematika Kelas X

303

: : : :

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

•

•

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan.

Menghayati dan menggunakan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

Indikator Persamaan dan Fungsi Kuadrat • Persamaan Kuadrat • Pertidaksamaan Kuadrat • Nilai Diskriminan Persamaan Kuadrat • Menyusun Persamaan Kuadrat • Fungsi Kuadrat • Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Materi Pokok

•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena penggunaan persamaan dan fungsi kuadrat. Mendeskripsikan persamaan kuadrat dan bentuk umum persamaan kuadrat disertai contoh-contonhya. Mencermati dan menyelidiki kriteria-kriteria atau ciri-ciri yang terdapat dalam suatu bentuk persamaan kuadrat. Menjelaskan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran


Penilaian

18 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA X/2 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan menghargai perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam interaksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora, dengan wawasan kemanusian kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester Kompetensi Inti

SILABUS Persamaan dan Fungsi Kuadrat

304

Silabus

Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat. 3.10 Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya. 3.11 Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual. 3.12 Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat.

3.9

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu mendeskripsikan persamaan kuadrat disertai contoh-contohnya. Mampu menjelaskan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Mampu menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Mampu mendeskripsikan pertidaksamaan kuadrat disertai contohcontohnya. Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Mampu merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan pertidaksamaan kuadrat dan menyelesaikannya, serta memeriksa kebenarannya.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur dan tangguh menghadapi masalah dalam mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat. Memiliki rasa keingintahuan mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat, serta kemanfaatannya.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Membuktikan rumus abc. Memilih cara penyelesaian persamaan kuadrat yang tepat dan menerapkannya untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan persamaan kuadrat dan menyelesaikannya, serta memeriksa kebenarannya. Menjelaskan akar pangkat dia bilangan negatif. Mendeskripsikan pertidaksamaan kuadrat dan bentuk umum pertidaksamaan kuadrat. Menjelaskan langkahlangkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan pertidaksamaan kuadrat dan menyelesaikannya, serta memeriksa kebenarannya. Menjelaskan diskriminan dari persamaan kuadrat. Menjelaskan jenis-jenis penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya. Membuktikan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian Portofolio • Laporan Tugas

Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Matematika Kelas X

305

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menjelaskan jenis-jenis penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya. mampu menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Mampu menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu. Mampu mendeskripsikan fungsi kuadrat disertai contoh-contohnya. Mampu menjelaskan unsur-unsur yang terdapat pada grafik fungsi kuadrat. Mampu mendeskripsikan bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai koefisien x2 dan nilai diskriminannya. Mampu menyusun fungsi kuadrat yang diketahui unsur-unsurnya. Mampu menjelaskan hubungan antara fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat. Mampu menganalisis grafik fungsi kuadrat.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya. Menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui hubungan akar-akar persamaan kuadrat baru dengan akar-akar persamaan kuadrat lama. Mendeskripsikan bentuk umum fungsi kuadrat disertai contoh-contohya. Menjelaskan unsur-unsur yang terdapat pada grafik fungsi kuadrat berupa pembuat nol fungsi, sumbu simetri, nilai ekstrem, dan titik ekstrem disertai contohcontohnya. Mendeskripsikan bentukbentuk grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai koefisien x2 dan nilai diskriminannya. Menggambarkan grafik fungsi kuadrat menggunakan beberapa titik bantu. Menggambar grafik fungsi kuadrat menggunakan pergeseran grafik. Menyusun fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik. Menyusun fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik. Menyusun fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan melalui sebuah titik. Menyusun fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak segaris.

Pembelajaran

Penilaian

Alokasi Waktu

Sumber Belajar

306

Silabus

Mengidentifikasi dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah nyata dan menjelaskannya secara lisan dan tulisan. 4.10 Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan menyelesaikannya serta memeriksa kebenaran jawabannya. 4.11 Menggambarkan dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya. 4.12 Mengidentifikasi hubungan fungsional kuadratik dari fenomena sehari-hari dan menafsirkan makna dari setiap variabel yang digunakan.

4.9

Kompetensi Dasar

•

•

•

Mampu merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan persamaan kuadrat dan menyelesaikannya, serta memeriksa kebenarannya. Mampu menggambarkan grafik fungsi kuadrat. Mampu merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan fungsi kuadrat dan menyelesaikannya.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

Menjelaskan hubungan antara fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat. Membandingkan dua grafik fungsi kuadrat yang merupakan hasil pencerminan terhadap sumbu X. Merancang model matematika yang berkaitan dengan permasalahan fungsi kuadrat dan menyelesaikannya.

Pembelajaran


Penilaian

Alokasi Waktu

Sumber Belajar

Matematika Kelas X

307

: : : :

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, dan disiplin, dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan trigonometri. Memiliki sikap dan berperilaku jujur dan tangguh dalam melakukan tugas. Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari trigonometri.

•

•

•

Menghayati dan menggunakan trigonometri dalam kehidupan nyata.

•

Indikator Trigonometri • Satuan Sudut • Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku • Perbandingan Trigonometri pada Bidang Koordinat • Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa • Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi • Fungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri • Persamaan Trigonometri Sederhana • Identitas Trigonometri

Materi Pokok

•

•

•

•

Mengamati, menyelidiki peristiwa atau fenomena keseharian yang berhubungan dengan konsep trigonometri. Misalnya prinsip kerja teodolit. Mencermati, menyelidiki, dan melakukan penyelesaian masalah trigonometri dengan langkah-langkah yang tepat. Menjelaskan dan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan permasalahan trigonometri. Menyatakan besar sudut dalam satuan derajat dan radian.

Pembelajaran

Pengamatan sikap • Saat berlangsung pembelajaran


Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu


Sumber Belajar



Kompetensi Dasar


SILABUS Trigonometri

308

Silabus

3.14 Mendeskripsikan konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siki-siku melalui penyelidikan dan diskusi tentang hubungan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dalam beberapa segitiga siku-siku sebangun. 3.15 Menemukan sifat-sifat dan hubungan antarperbandingan trigonomeri dalam segitiga siku-siku. 3.16 Mendeskripsikan dan menentukan hubungan perbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran, memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika. 3.17 Mendeskripsikan konsep fungsi trigonometri dan menganalisis grafik fungsinya serta menentukan hubungan nilai fungsi trigonometri dari sudutsudut istimewa.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menjelaskan satuan sudut derajat dan radian serta menjelaskan hubungan antarkeduanya. Mampu menjelaskan konsep perbandingan trigonometri menggunakan konsep perbandingan dua segitiga siku-siku yang sebangun. Mampu menemukan sifat-sifat perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Mampu menemukan hubungan antarperbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Mampu menghitung nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Mampu menentukan nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran pada bidang koordinat. Mampu menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa. Mampu menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut berelasi. Mampu mendeskripsikan konsep fungsi trigonometri.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menyelidiki hubungan antara perbandingan sisi yang bersesuaian pada dua segitiga siku-siku yang sebangun dengan konsep perbandingan trigonometri. Menemukan rumus sinus, kosinus, tangen sudut, dan kebalikannya pada segitiga siku-siku. Menemukan hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sudut pada segitiga sikusiku Menghitung nilai sinus, kosinus, tangen sudut dan nilai kebalikannya pada segitiga siku-siku. Menentukan nilai sinus, kosinus, dan tangen sudut di setiap kuadran pada bidang koordinat. menentukan nilai sinus, kosinus, dan tangen sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Menentukan nilai sinus, kosinus, dan tangen sudut berelasi. Mendeskripsikan konsep fungsi trigonometri. Mendeskripsikan bentuk grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen. Menentukan nilai maksimum, nilai minimum, amplitudo, dan periode grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen. Menggambar grafik fungsi trigonometri. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri sederhana. Membuktikan identitas trigonometri.

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian


Matematika Kelas X

309

4.14 Menerapkan perbandingan trigonometri dalam menyelesaikan masalah. 4.15 Menyajikan grafik fungsi trigonometri.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri. Mampu membuktikan identitas trigonometri. Mampu menggambarkan grafik fungsi trigonometri

Mampu mendeskripsikan dan menganalisis grafik fungsi trigonometri. Mampu menyelesaikan pesamaan trigonometri sederhana. Mampu membuktikan identitas trigonometri.

Indikator

Materi Pokok

•

•

Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri. Membuktikan identitas trigonometri.

Pembelajaran


Penilaian


310

Silabus

Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.1

Mengagumi dan menggunakan konsep geometri dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian. Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan geometri.

•

•

Indikator Geometri • Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang • Jarak Antara Dua Unsur dalam Ruang • Sudut Antara Dua Unsur dalam Ruang

Materi Pokok

•

•

•

•

Mengamati, menyelidiki peristiwa atau fenomena keseharian yang berhubungan dengan konsep geometri. Mencermati, menyelidiki, dan melakukan langkahlangkah penyelesaian masalah geometri dengan langkah-langkah yang tepat. Menjelaskan dan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan permasalahan geometri. Mendeskripsikan kedudukan titik pada garis dan titik di luar garis menggunakan gambar buah dan anak panah dan gambar disertai contoh-contohnya.

Pembelajaran



Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara 5. http://goo.gl/rGqHh7

Sumber Belajar


Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

: : : :

1.1

Kompetensi Dasar


SILABUS Geometri

Matematika Kelas X

311

Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis, dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.

3.13 Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antartitik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.

2.3

2.2

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

Mampu mendeskripsikan kedudukan titik terhadap garis, menggunakan alat peraga. Mampu menentukan kedudukan titik terhadap garis dalam ruang. Mampu mendeskripsikan kedudukan titik terhadap bidang menggunakan alat peraga. Mampu menentukan kedudukan titik terhadap bidang dalam ruang. Mampu mendeskripsikan kedudukan garis terhadap garis lain menggunakan alat peraga. Mampu menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang. Mampu mendeskripsikan kedudukan garis terhadap bidang menggunakan alat peraga. Mampu menentukan kedudukan garis terhadap bidang dalam ruang.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari geometri.

•

•

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

•

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menentukan kedudukan titik terhadap garis dalam ruang. Mendeskripsikan kedudukan titik pada bidang dan titik di luar bidang menggunakan gambar disertai contohcontohnya. Menentukan kedudukan titik terhadap bidang dalam ruang. Mendeskripsikan kedudukan dua garis saling berpotongan, sejajar, dan bersilangan menggunakan gambar disertai contohcontohnya. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang. Mendeskripsikan kedudukan garis pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong atau menembus bidang menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan kedudukan garis terhadap bidang dalam ruang. Mendeskripsikan kedudukan dua bidang saling sejajar dan dua bidang saling berpotongan menggunakan gambar disertai contohcontohnya. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang. Mendeskripsikan jarak antara dua titik menggunakan gambar disertai contohcontohnya. Menentukan jarak antara dua titik dalam ruang.

Pembelajaran


Penilaian


312

Silabus

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

Mampu mendeskripsikan kedudukan bidang terhadap bidang lain menggunakan alat peraga. Mampu menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang. Mampu mendeskripsikan konsep jarak antara dua unsur dalam ruang menggunakan alat peraga. Mampu menentukan jarak antara dua unsur dalam ruang. Mampu mendeskripsikan konsep sudut antara dua unsur dalam ruang menggunakan alat peraga. Mampu menentukan sudut antara dua unsur dalam ruang.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mendeskripsikan jarak antara titik dan garis menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan jarak antara titik dan garis dalam ruang. Mendeskripsikan jarak antara titik dan bidang menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan jarak antara titik dan bidang dalam ruang. Mendeskripsikan jarak antara dua garis sejajar menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan jarak antara dua garis sejajar dalam ruang. Mendeskripsikan jarak antara garis dan bidang menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan jarak antara garis dan bidang dalam ruang. Mendeskripsikan jarak antara dua bidang sejajar menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan jarak antara dua bidang sejajar dalam ruang. Mendeskripsikan sudut antara dua garis menggunakan gambar disertai contohcontohnya. Menentukan sudut antara dua garis dalam ruang. Mendeskripsikan sudut antara garis dan bidang menggunakan gambar disertai contoh-contohnya.

Pembelajaran

Penilaian


Matematika Kelas X

313

4.13 Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis, dan bidang.

Kompetensi Dasar

•

•

•

Mampu menerapkan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang untuk menyelesaikan permasalahan nyata. Mampu menerapkan konsep jarak antara dua unsur dalam ruang untuk menyelesaikan permasalahan nyata. Mampu menerapkan konsep sudut antara dua unsur dalam ruang untuk menyelesaikan permasalahan nyata.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Menentukan sudut antara garis dan bidang dalam ruang. Mendeskripsikan sudut antara dua bidang menggunakan gambar disertai contoh-contohnya. Menentukan sudut antara dua bidang dalam ruang. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan jarak antara dua unsur dalam ruang. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sudut antara dua unsur dalam ruang.

Pembelajaran


Penilaian

Alokasi Waktu

Sumber Belajar

314

Silabus

Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.1

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, dan disiplin, dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan limit fungsi. Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

•

•

Mengagumi dan menggunakan konsep limit fungsi dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

•

Indikator Limit Fungsi • Konsep Limit Fungsi • Sifat-Sifat Limit Fungsi • Menentukan Nilai Limit Fungsi di Suatu Titik • Menentukan Nilai Limit Tak Tentu

Materi Pokok

•

•

•

•

Mengamati, menyelidiki peristiwa atau fenomena keseharian yang berhubungan dengan konsep limit fungsi. Mencermati, menyelidiki, dan melakukan penyelesaian masalah limit fungsi dengan langkah-langkah yang tepat. Menjelaskan dan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan permasalahan tentang limit fungsi. Mendeskripsikan konsep limit fungsi menggunakan jarak yang ditempuh sebuah mobil pada detik ke-t dan tinggi bola yang ditendang pada detik ke-t.

Pembelajaran



Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara 6. http://goo.gl/9xjtq 7. http://goo.gl/VpYpho

Sumber Belajar



: : : :

1.1

Kompetensi Dasar


SILABUS Limit Fungsi

Matematika Kelas X

315


3.18 Mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya. 3.19 Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar melalui pengamatan contohcontoh.

2.3

2.2

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar menggunakan konteks nyata. Mampu menjelaskan syarat suatu fungsi mempunyai nilai limit. Mampu menjelaskan cara menentukan nilai limit fungsi aljabar. Mampu menerapkan konsep limit fungsi aljabar untuk menyelesaikan pemasalahan. Mampu merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar. Mampu menerapkan aturan dan sifat limit fungsi aljabar untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar. Mampu menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di suatu titik. Mampu memilih cara yang efektif untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan menerapkannya.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari limit fungsi.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menjelaskan nilai limit fungsi dari kiri dan dari kanan. Menyelidiki suatu fungsi memiliki nilai limit atau tidak. Menentukan nilai limit fungsi dari kiri dan dari kanan. Menyelesaikan permasalahan menggunakan konsep limit. Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar di suatu titik. Menggunakan sifat-sifat limit untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar. Menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di suatu titik dengan substitusi disertai contoh-contohnya. Menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di suatu titik yang mempunyai nilai bentuk tak tentu menggunakan pemfaktoran disertai contoh-contohnya. Menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di suatu titik yang mempunyai nilai bentuk tak tentu menggunakan perkalian dengan bentuk sekawan disertai contoh-contohnya. menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di tak hingga dengan substitusi disertai contoh-contohnya. menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di tak hingga yang mempunyai nilai bentuk tak tentu dengan cara membagi dengan variabel tertinggi disertai contohcontohnya.

Pembelajaran


Penilaian


316

Silabus

4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.

Kompetensi Dasar

•

•

Mampu memilih cara yang efektif untuk merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar dan menerapkannya. Mampu merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar dan menyelesaikannya.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

Menjelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar di tak hingga yang mempunyai nilai bentuk tak tentu menggunakan perkalian dengan bentuk sekawan disertai contohcontohnya. Menyelidiki limit fungsi di tak hingga memiliki penyelesaian nyata atau tidak. Memilih cara yang efektif untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan menerapkannya. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.

Pembelajaran Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian


Matematika Kelas X

317

2.2

Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.1

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, dan disiplin, dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan statistika . Memiliki sikap dan berperilaku jujur dan tangguh dalam melakukan tugas. Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari statistika.

•

•

•

Menghayati dan menggunakan statistika dalam kehidupan nyata.

•

Indikator Statistika • Istilah-Istilah dalam Statistika • Membaca dan Menyajikan Data Tunggal dalam Bentuk Tabel dan Diagram • Membaca dan Menyajikan Data Berkelompok dalam Bentuk Tabel dan Diagram • Ukuran Pemusatan Data • Ukuran Letak Data • Ukuran Penyebaran Data

Materi Pokok

•

•

•

Mengamati, menyelidiki peristiwa atau fenomena keseharian yang berhubungan dengan penerapan statistika. Misalnya penerapan statistika dalam pengambilan keputusan berupa kebijakan-kebijakan pemerintah. Mencermati, menyelidiki, dan melakukan penyelesaian masalah statistika dengan langkah-langkah yang tepat. Menjelaskan dan menguraikan langkah-langkah menyelesaikan permasalahan statistika.

Pembelajaran

Pengamatan sikap • Saat berlangsung pembelajaran


Penilaian

14 jp

Alokasi Waktu


Sumber Belajar



: : : :

1.1

Kompetensi Dasar


SILABUS Statistika

318

Silabus

Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

3.20 Mendeskripsikan berbagai penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram/plot yang sesuai untuk mengomunikasikan informasi dari suatu kumpulan data melalui analisis perbandingan berbagai variasi penyajian data. 3.21 Mendeskripsikan data dalam bentuk tabel atau diagram/plot tertentu yang sesuai dengan informasi yang ingin dikomunikasikan.

2.3

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menjelaskan istilah-istilah dalam statistika. Mampu membaca data tunggal dan data berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram. Mampu menjelaskan pengertian mean, median, dan modus data. Mampu menjelaskan cara menentukan nilai mean, median, dan modus data tunggal dan menghitung nilainya. Mampu menjelaskan cara menentukan nilai mean, median, dan modus data berkelompok. Mampu menentukan nilai mean, median, dan modus data berkelompok. Mampu menjelaskan pengertian kuartil, desil, dan persentil data. Mampu menjelaskan cara menentukan kuartil, desil, dan persentil data tunggal. Mampu menentukan nilai kuartil, desil, dan persentil data bertunggal.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menjelaskan pengertian data dan cara pengumpulan data. Menjelaskan pengertian statistik, statistika, populasi, dan sampel. Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Membaca dan menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Menjelaskan pengertian mean, median, dan modus data. Menentukan letak mean, median, dan modus data tunggal dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran dan menghitung nilainya. Menentukan letak mean data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi, dan ogive dan menghitung nilainya menggunakan definisi dan rataan sementara. Menentukan letak modus dan median data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi, dan ogive dan menghitung nilainya. Menjelaskan pengertian kuartil, desil, dan persentil data.

Pembelajaran


Penilaian


Matematika Kelas X

319

4.17 Menyajikan data nyata dalam bentuk tabel atau diagram/plot tertentu yang sesuai dengan informasi yang ingin dikomunikasikan.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menyajikan dan data tunggal dalam bentuk tabel dan diagram. Mampu menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram.

Mampu menjelaskan cara menentukan kuartil, desil, dan persentil data berkelompok. Mampu menentukan nilai kuartil, desil, dan persentil data berkelompok. Mampu menjelaskan ukuran penyebaran data tunggal berupa jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku. Mampu menentukan nilai jangkauan, jangkauan antar-kuartil, simpangan kuartil, langkah, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tunggal. Mampu menjelaskan ukuran penyebaran data berkelompok berupa simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku. Mampu menentukan nilai simpangan ratarata, ragam, dan simpangan baku data berkelompok.

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Menentukan letak kuartil, desil, dan persentil data tunggal dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran dan menghitung nilainya. Menentukan letak kuartil, desil, dan persentil data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi, dan ogive dan menghitung nilainya. Menjelaskan ukuran penyebaran data tunggal berupa jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku. Menghitung jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tunggal dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Menjelaskan ukuran penyebaran data berkelompok berupa simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku. Menghitung simpangan rata-rata, ragam, dan s i m p a n g a n b a k u data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram, poligon frekuensi, dan ogive.

Pembelajaran


Penilaian


320

Silabus

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan. Memiliki sikap dan berperilaku jujur dan tangguh menghadapi masalah dalam mempelajari peluang.

•

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. •

Mengagumi pengertian dan makna peluang serta penggunaannya dalam keseharian.

Indikator Peluang • Frekuensi Relatif • Percobaan Statistika • Ruang Sampel • Kejadian • Peluang Suatu Kejadian • Kisaran Nilai Peluang • Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

Mengamati penggunaan peluang dalam kehidupan sehari-hari. Menjelaskan dan mendeskripsikan konsep frekuensi relatif. Menghitung frekuensi relatif suatu data hasil percobaan. Melakukan percobaan statistika menggunakan kartu bernomor dan menghitung frekuensi relatif data hasil percobaan tersebut. Mampu menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel, kejadian, dan komplemen kejadian. Menentukan ruang sampel suatu percobaan.

Pembelajaran



Penilaian

10 jp

Alokasi Waktu


Sumber Belajar


•

: : : :


Kompetensi Dasar


SILABUS Peluang

Matematika Kelas X

321


4.18 Menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif.

3.22 Mendeskripsikan konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata dalam suatu percobaan.

2.3

2.2

Kompetensi Dasar

Mampu melakukan percobaan statistika dan menghitung frekuensi relatif data hasil percobaan. Mampu menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel, kejadian, dan komplemen kejadian. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian dalam suatu percobaan. Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian. Mampu menjelaskan kisaran nilai peluang.

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menjelaskan dan mendeskripsikan konsep frekuensi relatif. Mampu menghitung frekuensi relatif suatu data hasil percobaan.

Memiliki rasa keingintahuan mempelajari peluang, serta kemanfaatannya.

•

•

Indikator

Materi Pokok

•

•

•

•

•

•

•

Menentukan anggota himpunan suatu kejadian dalam suatu percobaan. Menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian. Menjelaskan kisaran nilai peluang. Menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. Menghitung peluang suatu kejadian. Menghitung peluang komplemen suatu kejadian. menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan peluang.

Pembelajaran



Penilaian

Alokasi Waktu

5. Buku Swadidik Matematika karangan Trevor Johnson & Huge Neill, PT Pakar Raya 6. http://goo.gl/4gliJ

Sumber Belajar

322

Silabus

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

Mampu menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. Mampu menghitung peluang suatu kejadian. Mampu menghitung peluang komplemen suatu kejadian. Mampu menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan peluang.

Indikator

Materi Pokok

Pembelajaran

Penilaian

Alokasi Waktu

5. Buku Swadidik Matematika karangan Trevor Johnson & Huge Neill, PT Pakar Raya 6. http://goo.gl/4gliJ

Sumber Belajar

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Sekolah : Mata Pelajaran : Kelas/Semester : Materi/Submateri Pokok : Alokasi Waktu :

SMA/MA Matematika X/2 Peluang 10 × 45 menit (5 kali pertemuan)

A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Indikator: • Mengagumi pengertian peluang serta penggunaannya dalam keseharian. 2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan. Indikator: • Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan. • Memiliki sikap dan berperilaku jujur dan tangguh menghadapi masalah dalam mempelajari peluang. • Memiliki rasa keingintahuan mempelajari peluang, serta kemanfaatannya. 3.22 Mendeskripsikan konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata dalam suatu percobaan. Indikator: • Mampu menjelaskan dan mendeskripsikan konsep frekuensi relatif. • Mampu menghitung frekuensi relatif suatu data hasil percobaan. 4.18 Menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif. Indikator: • Mampu melakukan percobaan statistika dan menghitung frekuensi relatif data hasil percobaan. • Mampu menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel, kejadian, dan komplemen kejadian. • Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. • Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian dalam suatu percobaan. • Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian. • Mampu menjelaskan kisaran nilai peluang. • Mampu menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. • Mampu menghitung peluang suatu kejadian. • Mampu menghitung peluang komplemen suatu kejadian. • Mampu menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan peluang. B. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa mampu menjelaskan dan mendeskripsikan konsep frekuensi relatif. 2. Siswa mampu menghitung frekuensi relatif suatu data hasil percobaan.

Matematika Kelas X

323

3. Siswa mampu melakukan percobaan statistika dan menghitung frekuensi relatif data hasil percobaan. 4. Siswa mampu menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel, kejadian, dan komplemen kejadian. 5. Siswa mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. 6. Siswa mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian dalam suatu percobaan. 7. Siswa mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian. 8. Siswa mampu menjelaskan kisaran nilai peluang. 9. Siswa mampu menjelaskan pengertian peluang komplemen suatu kejadian. 10. Siswa mampu menghitung peluang suatu kejadian. 11. Siswa mampu menghitung peluang komplemen suatu kejadian. 12. Siswa mampu menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan peluang. C. Materi Pembelajaran • Frekuensi Relatif • Percobaan Statistika • Ruang Sampel • Kejadian • Peluang suatu Kejadian • Kisaran Nilai Peluang • Peluang Komplemen Suatu Kejadian D. Metode Pembelajaran Pendekatan : Scientific Approach Model : Siklus Belajar (Learning Cycle) Metode : Problem Solving dan Diskusi E.

F.

Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran 1.

Media Toples dan kertas bernomor

2.

Alat dan Bahan a. Satu lembar kalender bekas yang memuat angka 1 sampai 10 b. Gunting c. Sebuah kotak atau toples

3.

Sumber Belajar a. Buku Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia b. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia c. Buku PR Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara d. Buku PG Matematika Kelas XB, PT Intan Pariwara e. http://goo.gl/4gliJ

Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (2 jp) 1.

324

Pendahuluan (10 menit) a. Menjelaskan pengertian peluang dengan melakukan percobaan melambungkan sekeping uang logam, sebuah dadu, atau yang lainnya. b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru membimbing siswa melakukan percobaan melambungkan sekeping uang logam sebanyak 40 kali. Setiap kelompok mencatat frekuensi terlihat sisi angka (A) atau sisi gambar (G) setelah uang logam jatuh ke tanah. Percobaan dilakukan secara berkelompok. b. Setiap kelompok menghitung perbandingan antara frekuensi terlihat sisi angka atau sisi gambar dengan banyak pelambungan dari data hasil percobaan. Catatan: sembari melakukan proses pembimbingan, guru melakukan penilaian sikap dengan dipandu instrumen lembar penilaian sikap. c. Guru menjelaskan bahwa perbandingan antara frekuensi terlihat sisi angka atau sisi gambar dengan banyak pelambungan merupakan frekuensi relatif. d. Guru bersama siswa membuat kesimpulan tentang rumus frekuensi relatif. e. Guru membimbing siswa berlatih menghitung frekuensi relatif dari suatu data hasil percobaan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa untuk dapat menerapkan konsep peluang empiris dalam menyelesaikan masalah nyata. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. c. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok untuk melakukan percobaan statistika pada pertemuan berikutnya. Setiap kelompok diberi tugas menyiapkan peralatan sebagai berikut. 1) Satu lembar kalender bekas yang memuat angka 1 sampai 10. 2) Gunting. 3) Sebuah kotak atau toples. Pertemuan II (2 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a. Guru mengatur duduk siswa sesuai dengan kelompok yang telah dibuat, kemudian menyuruh setiap kelompok menyiapkan peralatan yang diperlukan di atas meja. b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru membagikan lembar tugas kepada setiap kelompok (seperti lembar tugas siswa di halaman 109). b. Guru menjelaskan perangkat percobaan yang harus dibuat setiap kelompok dan percobaan yang harus dilakukan. c. Guru memberi kesempatan kepada setiap kelompok untuk bertanya tentang cara membuat perangkat percobaan dan percobaan yang harus dilakukan. d. Guru membimbing setiap kelompok membuat perangkat percobaan. e. Guru membimbing setiap kelompok melakukan percobaan. Catatan: sembari melakukan proses pembimbingan, guru melakukan penilaian sikap dengan dipandu instrumen lembar penilaian sikap. f. Setiap kelompok menghitung frekuensi relatif setiap kejadian sesuai dengan data hasil percobaan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Setiap kelompok membuat laporan hasil percobaan. Hasil laporan tersebut dikumpulkan. b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.

Matematika Kelas X

325

Pertemuan III (2 jp) 1.

Pendahuluan (10 menit) a Guru mengingatkan kembali tentang pengertian frekuensi relatif. b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok. b. Guru membimbing setiap kelompok melakukan percobaan melambungkan sebuah dadu sebanyak 20 kali, 40 kali, 80 kali, 100 kali, 150 kali, dan 200 kali dan mencatat frekuensi terlihat setiap mata dadu ketika dadu jatuh ke tanah. Selanjutnya setiap kelompok menghitung frekuensi relatif terlihatnya setiap mata dadu pada setiap percobaan. b. Setiap kelompok mencatat hasil percobaan dalam tabel berikut. Terlihat Mata Dadu

Banyak Pelemparan 1

2

3

4

5

6

20 40 80 100 150 200 Frekuensi Relatif

c. d.

e.

3.

Guru menyuruh setiap kelompok mengamati hasil perhitungan frekuensi relatif pada setiap kolom pada baris terakhir. Guru menyuruh setiap kelompok menyimpulkan hasil pengamatannya. Diharapkan setiap kelompok membuat kesimpulan sebagai berikut. Semakin banyak percobaan yang dilakukan, frekuensi relatif terlihatnya setiap mata dadu pada setiap percobaan mendekati nilai yang sama. Guru menjelaskan bahwa nilai yang sama ini yang dinamakan peluang suatu kejadian. Catatan: sembari melakukan proses pembimbingan, guru melakukan penilaian sikap dengan dipandu instrumen lembar penilaian sikap.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Setiap kelompok membuat laporan hasil percobaan. Hasil laporan tersebut dikumpulkan. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan IV (2 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a Guru memberikan kilas balik tentang hubungan antara frekuensi relatif dan peluang suatu kejadian. b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru menjelaskan percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian serta memberikan contoh-contohnya.

326


b. c. 3.

Guru menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian, kisaran nilai peluang, dan peluang komplemen suatu kejadian serta memberikan contoh-contohnya. Guru membimbing siswa mengerjakan soal-soal latihan.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan mendorong siswa untuk dapat menerapkan konsep peluang suatu kejadian dalam menyelesaikan masalah nyata. b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa. c. Guru menyampaikan informasi bahwa pertemuan berikutnya diadakan ulangan harian bab peluang. Pertemuan V (2 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a. Guru meminta siswa memasukkan semua barang di atas meja siswa ke laci atau tas dan menyiapkan bolpoin dan penggaris. b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian. b. Siswa mengerjakan soal evaluasi dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru meminta siswa mengumpulkan hasil ulangan, kemudian memberikan penjelasan bahwa hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi peluang. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

G. Penilaian 1.

Teknik dan Bentuk Instrumen Teknik

Bentuk Instrumen

Penilaian Sikap

2.

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Tertulis

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Portofolio

Kumpulan Laporan dan Produk

Contoh Instrumen a. Lembar Pengamatan Sikap No.

Aspek yang Dinilai

1.

Mengagumi konsep peluang dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang matriks.

3.


4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan

3

2

1

Keterangan

mempelajari peluang.

Matematika Kelas X

327

b.

328

Rubrik Penilaian Sikap No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

1.

Mengagumi konsep peluang dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap peluang serta sepenuhnya mengetahui peranan peluang dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap peluang dan belum sepenuhnya mengetahui peranan peluang dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap peluang dan tidak mengetahui peranan peluang dalam membantu menyelesaikan masalah nyata.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang peluang.

3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut. Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahannya. 2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dan kurang percaya diri dalam menghadapi tantangan. 1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidak percaya diri dalam menghadapi tantangan. Sering merasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesaikannya.

3.


3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari peluang.

3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggi tentang kegunaan mempelajari peluang. Hal ini ditunjukkan dengan sering bertanya hal-hal yang belum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadap sesuatu yang baru. 2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari peluang. Hal ini ditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab. Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui. 1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari peluang. Hal ini ditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab. Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.

Mengetahui Kepala SMA/MA . . . .

Guru Bidang

......................... NIP__________________

......................... NIP__________________


Kunci Jawaban, Silabus Dan RPP PR MAT 10B WAJIB 2014

Recommend Documents