KUANTUM MEKANİĞİ ÇALIŞMA SORULARI PROBLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ
2w 1 T ≈ exp − 2m mgH − mV 2 2 h
1001 Kuantum olgusu “makroskopik” dünyada çoğu zaman ihmal edilebilir.
2mw = exp − 2 gH − V 2 , olduğundan h
Aşağıdaki durumlarda bu sayısal olarak gösterilmiştir:
2mw 2 gH − V 2 ≈ 0.9 x10 30 h
(a) m=1kg ve ℓ=1 m ve uzunluğunda bir sarkaç için sıfır noktası salınım genliği. (b)Kütlesi m=5kg yüksekliği H=5cm ve genişliği w=1cm olan bir mermer engele karşı 10cm/sn hız için tünel olasılık hareketi. (c)m=0.1kg ve v=0.5m/sn de hareket eden bir tenis topu için 1x1.5metrekarelik bir pencere boyutunda kırınımı.
30
Böylece
T ≈ e −0.9 x10 ≈ 0
Yani mermer için tünel olasılık aslında sıfırdır. (c)Tenis topu için De Broglie dalga boyu,
λ=
Çözüm (a)Harmonik osilatör teorisi ortalama kinetik enerjiyi verir.
V =
1 1 1 2 2 E , i.e., m w A = hw w = 2 2 4
h −17 A= ≈ 0.41 x10 mdir. 2mw Böylece sıfır noktasındaki salınım makroskopik bir sarkaç için ihmal edilir. (b)
Yatay ve dikey yöndeki kırınım açıları sırasıyla
θ1 ≈
g/ l
olduğundan ve kök ortalama kare sıfır noktası için sanlım genliğidir.Bundan dolayı
h h = =1.3x10−30 cm p mw
θ2 ≈
λ = 1.3 x10−32 rad . D
λ = 9 x10−33 rad . L
Böylece o noktada herhangi bir ışın kırılması yoktur. 1002
h, e , c , m elektron açısından M=protonun kütlesi olarak adlandırılmaktadır.Aynı zamanda herbirinden kabaca sayısal boyutta fikir edinmek için tahmin verin. (a)Bohr yarıçapı (cm)
(b)Hidrojenin bağlanma enerjisi(eV) (c)Bohr manyetonu(kendi birim seçimi) (d)Bir elektronun Compton dalga boyu(cm)
(h) α =
(i) ∆E =
(e)Klasik elektronun yarıçapı(cm)
(h)İnce yapı sabiti (i)Hidrojenin tipik ince yapı yarılması(eV) Çözüm (a) a =
h2 = 5.29 x10−9 cm. 2 me 4
me =13.6 eV 2h2
(c) µ B =
(e) re =
Aşağıdaki sayısal değerler için bir tahmin veya çıkarım türetiniz. (a)Elektronun Comton dalga boyu. (b)Elektronun Thomson kesiti. (c)Hidrojenin Bohr yarıçapı.
(b) E =
(d) λ =
e8 mc 2 1 4 2 = α mc =1.8 x10− 4 eV 2 4 8h c 8 1003
(f)Elektronun geri kalan enerjisi(Mev) (g)Protonun geri kalan enerjisi(Mev)
e2 1 = 7.30 x10−3 ≈ hc 137
eh = 9.27 x10 −21 erg ⋅ Gs −1 2mc
2π h = 2.43x10−10 cm mc
(d)Atomik Hidrojenin iyonizasyon potansiyeli. (e)Atomik Hidrojenin taban seviyesi için aşırı ince yarılma. (f)Çekirdeğin Z=3 olan 3 Li 7 için manyetik dipol moment. (g)Proton ile nötron arasındaki kütle farkı. (h)Ömür boyu ücretsiz nötron. (i)Helyum-4 çekirdeğinin bağlanma enerjisi.
2
e = 2.82 x10−13 cm 2 mc
(f) Ee = mc = 0.511Mev 2
(g) E p = Mc = 938 Mev 2
(j)Büyük bir çekirdeğin yarçapı. (k)Bir π 0 mezonun ömrü. (I)Bir µ − mezonun ömrü. Çözüm
h ( a) λ 2.43x 10 A . e = = mc e
−2
8π 2 (b) σ =r = 6.5 10 m. e6x 3 h2 (c) a = = 0.5 3 A. 2 me e
τ = 2.2x 10−6 s . dir.
o
1004 31
2 −
Aşağıdaki deneyler radyasyon ve mekanik kuantumlanmanın ne olduğunu açıklar.
o
(a)Fotoelekrik olay
2
e ( d) Ι==13.6eV. 2a
(b)Siyah cisim ışıma spektroskopisi (c)Franck-Hertz deneyi
(e)Taban enerji seviyesindeki yarılma
(d)Davisson-Germer deneyi
2
1 −4 ∆E f = 13.6x ≈ 10 eV . 137 Taban enerji seviyesinde aşırı ince yarılma
∆Ehf ≈
∆E f 3
10
≈10−7 eV.
( f ) µ = 1.67 x10 −26 J gT −1 ( g ) ∆m = m p − mn = −2.3 x10 −30 kg. ( h)τ n ≈ 15 min = 9 x10 2 s. (i) E = 4 x 7 Mev = 28Mev (f)Bir alan içindeki nükleer kuvvetin etkili olduğu yarıçap şöyledir 1 3
1
r ≈ 1.4 A = 1.4x (100 ) 3 = 6.5 fm. (k)τ = 8.28x 10−17 s . (I)Pi zayıf etkileşimi için bozunma böylece
(f)Compton saçılması Deneylerde ölçülen kasik olmayan etkilerin kuantum fenomeniyle nasıl açıklanır.Uygun olması durumunda denklemleri veriniz. Çözüm (a)Fotoelektrik olay:Vakumlanmış bir ortamda metal plakaya gelen ultraviyole ışığın, metal plakadan elektronun biri yayılır, bu gözlenen olay elektronun emisyonunu ifade eder.Bu şekilde üretilen elektrik akımı foton yoğunluğu ile doğru orantılıdır.Eşik frekansı metalin cinsine bağlıdır ancak fotonların enerjilerinin artması, elektron sayısını arttırmaz enerjilerini arttırır.Bu sonuçları klasik fizikle açıklamak mümkün değildir. 1905 yılında Einstein ışığı hν enerjisine sahip parçacıklardan oluşan fotonlar olarak adlandırdı.Metaldeki bir elektron bir foton ile karşılaştığında hν enerjili foton tammen emilir.Bu enerjiyi alan elektron bir miktarını iş fonksiyonu olarak W (yani metalden sökülebilmek için) harcıyor.Kalan
1 2 mv = hυ − W 2
Kalan enerji kinetik enerji olarak
ortaya çıkıyor Bu teori onaylamıştır.
ardışık enerji seviyeleri ve T elektronlara düşen kinetik enerji T’yi şöyle ∆ = E1 − E
ile
böylece
ışığın
tanecikli
niteliğini
(b)Siyah cisim ışıması:Siyah cisim, üzerine düşen bütün ışımayı emer.Siyah cisim tarafından yayılan radyasyonun spektral dağılımı elde edilebilir.Bunun için madde ve ışıma arasındaki etkileşimi klasik teori ile çıkarılan Wien yasası ve daha sonraki Rayleigs yasası eski deneyle uyumluluk gösterir. Fakat ilki sadece yelpazenin kısa dalga boyuna,ikincisi ise uzun dalga boyu ile toplamında farklılıklara yol açar. Planck, 1900 yılında karşılaşılan güçlüklerin giderilmesi için siyah cisim ışımasını klasik fizikte enerjiyi sürekli olduğu gibi değil de parçalı yani kuantumlu yapıda olduğunu varsayarak gösterdi.Enerjiyi E = hν spektrumunda ifade eder.Bu da deneyle uyum içindedir.
Eν =
8π hν ⋅ c3 3
1 hν kt
absorbe etmezler ve bütün çarpışmalar elastiktir.Şimdi esnek olmayan çarpışmalar meydana gelen bazı atomların ilk uyarılmış kinetik enerjileri T >E1 − E0 ’dir.Benzer şekilde atomların ikinci uyarılma halinde enerjileri
e −1
h Planck sabiti olarak bilinen evrensel bir sabit Planck hipotezi mikroskobik ölçekteki süreksizliklerin varlığını ortaya koymaktadır.
fiziksel
Yani kuantumlu yapıyı ortaya koymaktadır. (c) Franck-Hertz deneyi:Franck-Hertz deneyinde tek enerjili elektronlar atomlarla çarpışarak elektronların hareket enerjileri ölçülür.Varsayalım
E0 , E1 , E 2 ... atomların
T >E2 − E0 vs.
Böylece Franck-Hertz deneyi deneysel olarak atomik enerji seviyelerinin kuantumlu olduğunu açıklar. (d) Davisson-Germer deneyi:L.de Broglie madde ve ışığı temelinde birleşik bir teori gibi varsayarak,madde ve ışığı her ikisini de dalga gibi göstermektedir.(hem ışık dalgasının hem de maddesel dalgayı birleştirmiştir.)1927’de Davisson ve Germer tarafından elektron dalgaları elde edildi.Bu olay bir elektriksel potansiyel vasıtasıyla içinden geçen elektronların hızlandırılmasıyla sağlandı.Kristal kafes parametrelerini bilmek mümkün olan bir elektronun dalga boyu için deneysel değerlerin ve sonuçlarının anlaşılmasını sağlar buda deBroglie dalga λ =
,
ifade edilebilir.Atomlar enerjiyi
h ve p elektronun momentumu ile p
mükemmel bir uyum içindedir.Benzer deneyler başkaları tarafından Helyum atomları ve Hidrojen molekülleri ile yapıldı.Elektronların dalga yapısı hidrojen moleküllerinin dalga yapısına özgü olmadığı göz önüne serildi. (f) Compton saçılması:Compton, zayıf x ışınlarının saçılmasında gözlenen elektron ve x ışını arasındaki θ açısı ile ∆λ dalga boyu farkı arasında
∆λ = 2
h θ sin 2 vardır mc 2
Burada h planck sabiti, m geri kalan kütledir ayrıca gelen fotonun dalga boyundan bağımsızdır. Compton etkisi, herhangi bir ışık gibi klasik dalga teorisi ile izah edilemez.Bundan dolayı ışığın foton kuramını onaylamaz. 1005 Kuantum mekaniği için önceleri büyük problem durdurulan bir atom ışın yayar.Açıklayınız.Kuantum mekaniği sonraları büyük problem uyarılmış atomlar ışın yayarlar.Açıklayınız.Uyarılmış atomlar neden ışıma yaparlar. Çözüm:Kuantum mekaniğinden önce,Rutherford göre atom modeli elektronlar çekirdek etrafında eliptik bir yörüngede hareket ederler.Klasik elektrodinamik yüklü bir parçacık hızlandırıldığında radyasyon yayar böylece atom ışık yayar.Bu demektir ki elektronlar sürekli enerji kaybedecek ve sonuçta çekirdek tarafından yakalanacak.Gerçekte elektronlar çekirdeğin içine düşmezler.Bunun nedeni atomlar taban durumunda ışıma yapmazlar.Problem ışıma yapan atomu önleyebilecek bir mekanizma keşffetmekti.Fakat tüm bu girişimler başarısızlıkla sonuçlandı.
içeren herhangi bir foton başlangıçta olmasa bile tamamiyle kaybolmaz.Bu terim uyarılmış durumdaki atomların geçişleri sırasında kendiliğinden ışıma yaparak yayımlanır. 1006 Bir elektron demetine yönelik bir deney düşünün.İki tane yarık içeren plaka etiketli plaka ötesinde A ve B gibi bir dizi yeri belirlemeyi sağlayan dedektörlerle donatılmıştır.Aşağıdaki durumlarda kabataslak olarak elektronların bu durumlarının bir fonksiyonu olarak ilişkin ekran boyunca olayları tayin ediniz ve kısaca açıklama veriniz. (a)A açık yarık,B kapalı yarık (b)B açık yarık,A kapalı yarık (c)Her iki yarık açık (d)”Stern-Gerlanch” aygıtı şekildeki gibi yarıklara bağlandıktan sonra
sz =
h h sadece A’dan tek elektron geçebilir sz = − sadece 2 2
B’den tek elektron geçebilir.
Kuantum mekaniğinde temel prensib dış bir etkileşim olmadan, yani zamandan bağımsız Hamiltonyenle ile çalışmaktır.Bunun anlamı uyarılmış durumda bir atom hala sabit durumda ışıma yapmadan kalamaz ve kendiliğinden ışıma yayınlarlar.Ancak kendiliğinden geçiş uyarılmış atomlarda atomlarda meydana gelir ve ışıma yaparlar.
elektron B’den geçer.
Kuantum mekaniğine göre radyasyonun tesir sahasında elektronlar ve atom için iki kuantum sistemini
Çözüm
kapsar.Tek bir terim için foton oluşturma
a + operatörü
(e)Yalnız sz =
h h elektron A’dan geçer,yalnız sz = − 2 2
Işık yoğunluğu yüksek olmayan yalnız bir elektron ne kadar zaman içinde cihazdan geçiyor?
Ι 2 = ΙB ( x )
(a)Perdedeki bu olasılık A yarığının içinden geçen elektronlardan meydana gelir.
Ι c = Ι12 ( x ) = Ι1 + Ι2 +girişim ≠ Ι1 + Ι2
(c) (a)
A
(d)Denklemin şartlarından biri A yarığından geçen elektronlar veya B yarığından geçen elektronlar ve herhangibir girişim terimidir.Ekrandaki yoğunluk sadece toplamıdır.
B
Ιd = Ι1 + Ι 2
(b) A
(e) c’ ye benzerdir fakat yoğunluk c’nin yarısıdır
Ιe =
B
Ιc 2
Çünkü elektronlar dalga fonksiyonunun öz karşılamasındaki bu olay yukarıda geçen ışın yoğunluğu için cevapları geçerli kılar, bir seferde sadece bir elektron geçmesi düşük bir olaydır.
(c) A B
1007
(d)
m kütleli bir parçacığa F( r ) = −∇ V ( r) kuvveti maruz
A
bırakıldığında ψ ( p, t ) dalga fonksiyonunun momentum
B
uzayında denklemi
(e)
δ ( p, t ) p2 − a∇2p ψ ( p, t ) = i ψ , δt 2m
A B
h = 1 değişmeyen gerçek sabit ve, Ι1 = Ι A ( x)
(b)B yarığından geçen elektronların olasılığı,
∇ 2p =
∂2 ∂2 ∂2 + + dir ∂px2 ∂p y2 ∂p z2
Eğer ψ ( x ) dalga fonksiyonu x → ± ∞ olduğunda ψ ( x ) → 0
F(r) kuvvetini bulunuz. Çözüm:Bir dalga fonksiyonunun koordinat ve momentum gösterimi şöyledir,
1 ψ ( r, t ) = 2π
3/2
1 ψ ( k,t ) = 2π
3/2
∫ψ ( k , t ) e ∫ψ ( r , t ) e
ikr
dk ,
− ikr
dr ,
p k= olduğundan ( h = 1 ile) böylece, h
P 2ψ ( p, t) → −∇ 2 ψ( r, t) , ∇ 2p ( p, t ) → −r 2ψ ( r , t) , Schrödinger denklemi koordinat alanında
olacağını ispat ediniz.Bundan dolayı olası genel bir faz faktörü olacağını göster. İpucu:Aksine varsayımın bir çelişkiye yol açtığını göster. Çözüm:O noktada bulunan başka bir Φ ( x ) fonksiyonun olduğunu farz edelim.Schröndinger denklemi aynı E enerjisindeki ψ ( x ) ileΦ ( x ) fonksiyonları olduklarından
lim x →∞ Φ ( x ) = 0 diyebiliriz.O zaman 2m ( E − V ) ψ ′′ =− , ψ h2 ve böylece 2m ( E − V ) Φ′′ =− , Φ h2
δ ( r, t ) −∇ 2 + ar 2 ψ ( r, t ) = i ψ δt 2m
ψ ′′Φ − Φ ′′ ψ =0, veya
ψ ′Φ − Φ ′ ψ =değişmez
Bundan dolayı potansiyel
V (r ) = ar
2
x → ∞ sınır durumunda ψ ′Φ − Φ ′ ψ =0 verir. Veya
ψ′ Φ′ = . ψ Φ
Sahip olduğumuz integre ifademiz lnψ = ln Φ +sabit
ve kuvvet ise
r r d F ( r ) = −∇V (r ) = V (r ) = −2ar dir. r dr 1008 Tek boyutlu zamandan bağımsız Schrödinger denklemi düşünün, V(a) keyfi bir potansiyel.
veya ψ = sabitx Φ ’dir. Bundan dolayı ψ ve Φ dalga fonksiyonları istatiksel olarak aynı yorumu anlatır. V(x) potansiyelinin olduğu zaman ψ * ve
ψ birlikte
aynı sınır durumlarına getirildiğinde aynı enerjiyi sağlar.
lim x →∞ ψ * = 0 dır.Burada lim x →∞ ψ * = 0 veya ψ = C *ψ * ’den dolayı
ih
bizim için 2
c = 1 ’dir veya c = eiδ burada δ bir gerçel sayıdır.Eğer biz δ =0 seçersek o zaman c=1 olur Buda bize
ψ (asıl dalga) fonksiyonumuzu verir.
δ h2 ψ *ψ ) = − ∇ ⋅( ψ* ∇ ψ − ψ∇ ψ*) ( δt 2m
Bir boyutlu durum için tüm alan üzerinde integre vardır. +∞
d ih ψ * ( x, t ) ψ ( x, t ) dx = ∫ dt −∞ 2m
+∞
δ * δψ δψ * ∫ ψ δ x − ψ δ x d −∞ δ x +∞
ih * δψ δψ * = ψ −ψ 2m δ x δ x −∞
1009 Tek boyutlu bir parçacık düşünün
ψ bağlı bir durumda ise o zaman ψ ( x → ±∞) =0 ve böylece
+∞
d ψ * ( x, t ) ψ ( x, t ) dx = 0 olduğunu gösteriniz. (a) ∫ dt −∞ (ψ sabit bir durumda olması gerekmez) (b)Parçacık belirli bir anda durağan durumda olduğu zaman sabit kalacağını gösteriniz. (c)T=0 anında dalgal fonksiyonu -a
δψ h2 2 =− ∇ ψ + Vψ , (1) δt 2m δψ * h2 2 * −ih =− ∇ ψ + Vψ * , (2) δt 2m
ih
ψ x(1) −ψ x(2) alırsak *
+∞
d ψ * ( x, t ) ψ ( x, t ) dx = 0 ∫ dt −∞ (b) t = t0 anında E enerjiye sahip sabit durağan parçacık varsayalım
Hˆ ψ ( x, t0 ) = Eψ ( x, t0 ) ,
Hˆ açıkça bağımlı olmayan bir operatör.Daha sonraki bir zamanda Schröndinger denklemi
ih
δψ ( x, t ) ˆ = Hψ ( x, t0 ) , δt
Hˆ t’ye açıça bağlı değildir.Schröndinger denkleminin formal bir çözümü vardır.
ψ ( x, t ) = exp −iHˆ ( t − t0 ) / hψ ( x, t0 )
Her iki taraf Hˆ ile soldan çarpılırsa aralarında değişebilir ve
exp −i ( t − t0 ) Hˆ / h ulaşılır.
ψ ( x, 0 ) = ∑ n n ψ ( x, 0 ) , n
−iHˆ ( t − t 0 ) Hˆ ψ ( x, t ) = exp Hˆψ ( x , t 0 ) h
E ψ ( x, t ) = ∑ n n ψ ( x, 0 ) exp −i n t h n
−iHˆ ( t − t 0 ) = E exp ψ ( x, t 0 ) h
buradan ψ ( x, t ) =
= Eψ ( x, t )
E ∑ a ψ ( x ) exp − i h t n
n
n
n
ile birlikte
Böylece ψ ( x, t ) daha sonraki bir t zamanını temsil eder.
+ ∞
* an =n ψ x ( =,0 ) ψ n ψ ∫x ( )x
dx ,0 (
)
− ∞
(c)Dalga fonksiyonunun t=0’da hakkında ifade verilmiştir C,
ψ ( x, 0 ) =
0,
1 2a
+a
∫ψ
n
aksi durumda * ∫ ψ ψ dx = 1 gerektirir.
( x) dx 1010
m kütleli serbest bir parçacık için ψ ( x, t ) ’nin Schröndinger denkleminde çözümü
−a
1 C = 2a
*
−a
IxI
+a
C bir sabit olduğundan normalizasyon
=
x2 ψ ( x, t ) = A exp − 2 a
1/ 2
(a)t=0 anında momentum uzayının olasılık genliği.
Bağlı temel özfonksiyonları ifade edersek x n ve
Hˆ n = En n o zaman 1 = ∑ n n , ve n
(b)ψ ( x, t ) dalga fonksiyonunu bulun. Çözüm:(a)
+∞
1 e− ipx / hψ ( x, 0) dx ∫ 2π h −∞
ψ ( p, 0 ) = =
+∞
=
x ipx A exp − 2 − dx ∫ h 2π h −∞ a =
2
a2 p2 Aa exp − 2 2h 4h
1/2
∫
−∞
2 Aa x , exp − 2 i h t 2 i h t 2 a2 + a + m m
δψ ( p, t ) ˆ p2 = Hψ ( p, t) = ψ( p, t) verir δt 2m
t=0 zamanında B = ψ
( 2π h)
a2 p2 Aa exp − 2 2h 4h
p p 2t x exp i x − dp h 2 m h +∞ a 2 p 2 ip 2 t ipx Aa = exp ∫ − 4h2 − 2mh + h dp 2h π −∞
(b)Serbest bir parçacık için momentum uzayında Schröndinger denklemi
ih
+∞
1
−ip 2t ψ ( p, t ) = B exp 2mh
önceki sonucu kabul eder.
(
Tekboyutlu m kütleli bir parçacığın 0 ≤ x ≤ a aralğında şekilde gösterildiği gibi t=0 anında dalga fonksiyonunu göstermektedir.
1011
p, 0 ) bundan dolayı
a 2 p 2 ip 2t Aa exp − − , 2 2 mh 2h 4h 2 Aa x = exp − 2iht a 2 + 2iht 2 a + m m
ψ ( p, t ) =
Ayrıca doğrusal bir düzlemde süperpozisyon gibi dalga fonksiyonunu genişletebiliriz
ψ ( x, t ) =
+∞
1
ψ ( p, 0 ) e ( ∫ ( 2π h) 1/2
−∞
i kx −wt )
dp
π x ψ ( x, t = 0 ) = 8 / 5a 1 + cos sin ( π x / a) a (a) t = t0 anında dalga fonksiyonu nedir. (b) t = t0 ve t = 0 anında sistemin ortalama enerjisi nedir. (c) t = t0 ’da parçacığın kuyunun sol tarafında bulunma olasılığı nedir.( 0 ≤ x ≤ a / 2 aralığında)
Çözüm:0
2
=
Çözüm için verilen ψ ( x ) = A sin kx yeterli sınır koşullarında
k2 =
2mE sağlandığında ψ (0) = 0 dir. h2
A1 (0) =
Sınır durumda ψ ( a ) = 0 olduğu zaman ka = nπ dir.Böylece
2 , 5
V(x)
+
a
x
ve enerji özdeğer denklemi En =
2
n
n
( x, 0 )
iE t An = An (0) exp − n h Bu suretle
n ≠ 1, 2. için.
iπ 2 ht0 π x 8 = exp − sin 2 5a a 2ma
iπ 2 ht0 i 2π 2ht 0 π x nx exp − + exp − cos sin 2 2 ma a a 2ma
E = ∑ ψn E ψn n
2
= ∑ An (0) 2 En
n=1,2,3…
n
4 1 E1 + E2 5 5 2 2 4π h = 5ma 2
Herhangi bir ψ ( x, t ) dalga fonksiyonu için
ψ ( x, t ) = ∑ An ( t )ψ
An (0) = 0
(b)Sistemin ortalama enerjisi
nπ h , 2ma 2 2
1 , 5
i 2π 2t0 2 2π x exp − sin 2 5a a ma 8 5a
2 nπ x sin , a a
ψn =
A2 (0) =
ψ ( x, t0 )
∞
0
8 πx 2 2π x sin + sin , 5a a 5a a
(a)Böylece
normalize özfonksiyonları ∞
8 πx πx 1 + cos sin 5a a a
ψ ( x, 0 ) =
h ∂ψ + Eψ = 0 2m ∂ x2 2
=
ile
(c)Parçacığın t = t0 anında 0 ≤ x ≤ olasılığı
a aralığında bulunma 2
a P0 ≤ x ≤ = 2 = =
8 5a
a /2
∫ 0
a /2
∫
2
l
n ψ ( t = 0) = ∫
ψ ( x, t0 ) dx
0
0
3
3π 2 ht0 πx πx π sin 2 1 + cos2 + 2 cos cos dx 2 a a a 2ma
3π 2 ht0 1 16 + cos 2 2 15π 2ma
2 π x 30 sin n ⋅ 5 x ( l − x ) dx l l l
1 = 4 15 ( 1 − cos nπ ) nπ n 3 = 4 15 1 − ( −1) ( 1/ nπ ) , ve böylece
1012
∞ E ψ ( x, t ) = ∑ n ψ ( t = 0 ) ψ n exp −i n t h n =1
Tek boyutlu m kütleli bir parçacığın l uzunluğunda bir potansiyel kuyusunda
V = ∞ → x〈0, V = 0 → 0〈 x 〈 l ,
2
h 2 n +1 π t l
30 1 2 n + 1 − i 2 m = ∑8 ⋅ sin π xe 3 3 l ( 2n + 1) π l n=0 ∞
V = ∞ → x〉 l t=0 anında bu parçacığın dalga fonksiyonunun bilinen formu Ayşegül AZİLİ
ψ 0 30 / l 5 X ( l − X ) , → 0〈 X 〈l ,
(Bölüm-1)
ψ = 0, → aksidurumda Aşağıda ψ ( x , t〉 0) için bir dizi ve dizi katsayıları için ifadeleri yazınız. Çözüm:Özfonksiyonlar ve enerji özdeğerleri
1013 atalet momenti ile rijit gövde xy düzleminde izin verilirse ve rotator ekseni arasında serbestçe döner.
açısı x-ekseni
(a) enerji öz değerleri ve karşılık gelen öz fonksiyonlarını bul
ψ n ( x) =
2 nx sin n , l l
En =
2
h π n , 2m l 2
n=1,2,3… böylece
(b) t=0 zamanında bir dalga paketi açıklanan t> 0 için
ψ = ∑ n nψ , n
Çözüm :
bu
tarafından
bir yüzey Hamiltonyeni Bu nedenle t zamanda Ve böylece Schrödinger denklemi 1014 Bir elektronun genişliği tek boyutlu bir kutunun temel hali ile sınırlıdır. enerji 38eV
çözümü olarak yazarsak
Hesaplayın. (a) ilk uyarılmış halde elektronun enerjisini A,B keyfi sabitleri için, dalga fonksiyonu yerlerde bize gerekli olan:
olduğu
(b) elektron temel haldeki kutunun duvara olan ortalama gücünü
çözümü:
Enerji öz değerden sonra
Bir boyutlu kutu ile sınırlı bir elektron enerji seviyeleri (problem 1011) Ve ilgili öz fonksiyonları Bu nedenle ilk uyarılmış durumuna (n = 2), enerji
Normlanması
(c) kutunun duvarlarına ortalama kuvvet
(a) t=0 da sabit durum denklemi ayırt edilmesi m = 0 ve m = ± 2 de bir açısal hız verir
tarafından
ve
ve dolayısıyla
Yukarıdaki denklemin sol tarafını bütünleştirerek,
çözüm: gerçek olduğundan denklemin sağ tarafında bütünleştirdiğimizde sıfır verir.
(a) Şekil .1.4 de gösterildiği gibi sistem koordinatı kullanın. Schrödinger denklemi
Bundan dolayı
n = 1 temel durumu için,
burada
1015 enerji düzeyleri tek boyutlu potansiyeli şekil 1.3 (a) da yanı sıra enerji düzeyleri potansiyeli Şekil. 1.3 (b) verir
Bağlı durumları için
Schrödinger denklemi
A, B, C, D yok olmadığı için çözümler A = 0, ya da C = D verir B=0 ya da C=-D de verir. Böylece çözümlere bağlı bölüm mümkün 1.bölüm
Bu çözümler olur
da
durumları veren iki
şartlarını gerektirir enerji seviyeleri
ve
pozitif değerler ile sınırlı olduğundan, ε
karşı çizilen γ radyan ile tan eğrisi daire ilk çeyrek daire içinde kesişimler bulunmaktadır. Şekil1.5. ve
Sınır koşulları x=
dan sonra sınırlı olarak
seviyelerinin sayısı olası belirlenmesidir
2.bölüm
ve a kesikli
ve a bağlıdır ve Sadece küçük bir γ için
Benzer bir yapı Şekil. 1.6. da büyük iki çözüm verirken küçük değeri verir.
herhangi bir ψ → 0 da X → ± ∞ gider ve son olarak
yukardaki ikinci bölüm çözümleridir. 1016 M kütleli bir parçacığın bir potansiyel içinde tek boyutlu bir problem düşünün (b) Şekil 1.7 de görüldüğü gibi kullanılan koordinat
(a)Bağlı durumuna enerjileri
denklemi tarafından verildiğini göster.
(b) başka çözüm olmadan, zemin durumuna bağlıfonksiyon taslağını Schröndinger’in denklem çözümleri
çözüm (a) iki bölge için schördinger denklemler
Bir V (x) Potansiyeli Dinamikleri hamiltonyeni ψ = 0 ve x = 0 sınır koşulları için ψ için → 0 x → + ∞. çözümler
tek
boyutlu hareket eden bir parçacığın tarafından yönetilir. momentum operatörüdür. yeni hamiltonyen
, n=1,2,3,…,
öz değer. Düşünün. Bir
ve λ verilen bir parametre.
, m ve
özdegerleri bul. Çözüm: Yeni Hamiltonyenin ve
sürekli bir sabit olduğunda x=a verir
b) taban-durum dalga fonksiyonu olarak şekil 1.8 de gösterilir
ve
öz fonksiyonları ve öz değerler
fonksiyonları
Ve ilgili öz değerler 1018 Tek boyutlu dalga fonksiyonu düşünün 1017 A, n ve
sabitlerdir
yeni öz
schröndinger denklemini kullanarak, V (x) ve enerji E
terimi
(b) bağlantısı bu yörünge açısal momentum I hydogenic düzlem için potansiyel ve etkili bir şekilde radyal potansiyeli arasında görüyor musunuz?
ve n= hidrojen otumu için potansiyel yörünge açısal
momentumudur. Bu iki potansiyel arasındaki farktır. 1019 Aşağıdaki tek boyutlu kuyuyu göz önünde bulundurun. (a)
Çözüm: Verilen dalga fonksiyonu farklılığı
derinliği için bağlı durumunu nitel olarak açıklayınız?
(b)
kuyu için bağlı durumların enerjileri arasındaki ilişki nedir?
(c) Verilen sürekli enerji durumları için kaç bağımsız çözüm olabilir?
Ve zamandan bağımsız schröndinger denklemde yerine
(d) Parçacığın sınır durumları içinde ve dışında bulunma olasılığını açıklayın? ÇÖZÜM (a)
Biz olarak
bağlı durumları için;
ve dolayısıyla Burada
iki durum
dır.
Şekil 1.9 da verilen potansiyel problem 1015 de çözümleri verilmektedir. hidrojen atomu için etkin radyal potansiyelidir.
karşılaştırarak gördüğümüz
terim ile
terim resmen özdeştir. Burada açısal momentum terimi yer alıyor.
enerji seviyeleri yarı çaplı dairenin merkezi ve kesiştiği şekil 1.16 da verilmektedir. Görüldüğü gibi
ve ,
ve
den
büyük olmalıdır. Dolayısıyla
Daha önce olduğu gibi
sınır koşulları
verilir.
dır.
Buradan
Şekil 1.10 da gösterilen potansiyel için iki çözüm mümkündür. Şekil 1.16 daki durum aynı ve keyfi için mümkün değildir. Çözümler diğer kısım tarafından verilmektedir.
eğrisi orjinde olarak değerler olabilir. Ancak küçük vardır.
eğrisi ile kesişen kesişen küçük
Parite çözümleri verilmektedir.
Burada
olur.
için her zaman bağlı durumlar ve
(b) Şekil 1.10 da potansiyel için şekil 1.9 da bağlı durumlar potansiyelini bulunuz?
çözüm olur. olur.
(c) Hhjj (d)
Analitik
1020
parçacık içinde ve dışındaki olasılıkları göstermektedir.
Aşağıdaki m kütleli bir parçacığın kısa uzunluklu potansiyeli nedeniyle bir boyutlu enerjisini elde edinin?
ÇÖZÜM Burada
sürekliliğini x=a sağlar.
için
Schördinger denklemi;
Ve
olarak yazılabilir.
olur.
Schördinger denklemi
– ve , x üzerinde yukarıdaki denklemin her iki tarafından birleştirerek keyfi küçük bir pozitif sayı elde ederiz.
haline geldiğinde
olur.
dir
Farklı olarak E<0 bağlı durumları için
Ve
elde ederiz.
schördinger denklemi çözümü x üzerinden her iki tarafı birleştirirsek, keyfi küçük bir sayı elde ederiz.
(1) Denkleminde anlaşıldığı gibi ile İki sonuç karşılaştırdığımızda k=
olur.
Böylece
bağlayıcı enerjisi bulunur.
olur.
denklemin çözümü
da schördinger
olur. K pozitiftir. verir.
Ve buradan
olur.
1021 M kütleli bir parçacığın tek boyutlu
fonksiyon potansiyeli düşünün
Böylece
olur.
negatif olması gerekir.Daha sonra bağlı
durumların enerjisi negatif ise bağlı bir bağlı bir durum vardır ve bağlayıcı enerji dır ÇÖZÜM
Bağlı durumların dalga fonksiyonu;
olur.
Burada A keyfi sabittir. Normalleştirme tarafından elde edilmiştir.
Simetri olasılıkları
1022 M kütleli bir parçacık
ile verilen potansiyel bir boyut
olmayan relavistik hareket eder. Burada fonksiyonudur. Parçacığa bağlıdır. olasılığı
dirac delta parçacığın bulunma
ye tam eşit olduğunda
verir. Böylece
değerini bulun.
olur.
ÇÖZÜM
1023
E<0 bağlı durumlar için. Shördinger denklemi
M kütleli parçacığın 0
da aşağıdaki gibi
Burada
sınırları için çözümleri vardır.
ve A keyfi sabitler.
Scördinger denklemi kuyu içinde
uygulaması
schördinger denklemini verir.
olmalı. deki değişiklik (1) i verir.
Böylece
olur.
E enerji özdeğeri için m kütlesi, boyutunu L yönünde bulun?
potansiyelini ve sistemin
Bir parçacık bir boyutlu sonsuz kare kuyu potansiyelinde arasında hapsedilmiştir. En küçük enerjili öz durum için dalga fonksiyonunu bulunuz? Eğer bu sonsuz kare kuyu potansiyelinin merkezine şeklindeki itici delta potansiyel fonsiyonu eklenir ise yeni dalga fonksiyonu elde ediniz ve enerjinin azalmasını veya artmasını belirleyiniz. Eğer enerji değişmiyorsa yani ise ne olur?
ÇÖZÜM Schördinger denkleminin her iki tarafına uygulayarak
ÇÖZÜM
elde edilir. Burada
dır
Sonsuz kare kuyu potansiyeli için en düşük enerji seviyesine karşılık gelen öz fonksiyonlar ve öz değerler sırasıyla aşağıdaki gibidir
Sınır değerlerini uyguladığımız zaman schördinger denklemi
için;
Çözümüne sahiptir
Burada fonksiyonu
ve
gelişi güzel küçük bir pozitif sayıdır. Dalga
Bu dalga fonksiyonun şekli şekil 1.12 deki gibidir. Şeklindeki delta potansiyeli eklediğimiz zaman schördinger denklemi;
deki sürekliliğinden elde edilir. Dalga
Burada
dır. Sınır değerleri
fonksiyonu (1) denklemde yerine yazarsak elde edilir. Burada için transandantal 1024
denklemleri enerji öz değerleri olur.
Denklem 2,
‘ın
şeklindeki transistandal
denklemin en küçük kökü olduğunu gösterir. negatif olduğu için
dır. Görüldüğü gibi enerji
artmıştır. Dolayısıyla, eğer taban durum enerjisi
a giderken
ye gider ve yeni
dır
Denklem (2) schördinger denkleminin her iki tarafına uygulandığı zaman elde edilir. Ve denklem (3)
in x=
deki
sürekliliğinden elde edilir. için (1) denklemi sağlayan çözümler
1025 Relativistik olmayan m kütleli bir parçacık, Şeklindeki potansiyel altında hareket etsin.
dır. Taban durumu için alalım. Denklem (3) olmasını gerektirir ve taban durum için dalga fonksiyonu şeklinde olur.
Burada g>0 olan bir sabit ve dirac delta fonksiyonu taban durum enerji öz fonksiyonlarını bulunuz ve nin sabit olduğu durumlar için enerji öz değerlerini elde ediniz. ÇÖZÜM
Olduğu için enerji öz fonksiyonları tanımlı pariteye sahiptir. Taban durumu çift pariteye sahiptir durum bir bağlı durum olur ve enerjisi negatiftir. E<0
Uzayın tamamında simetriden dolayı dalga fonksiyonu
. Bu taban
şeklinde olur.
İçin schördinger denklemİ Mehtap KORKMAZ
Şeklindedir.
(Bölüm-1) Bunun
için
çözümleri burada
dır.
İken dalga fonksiyonun sonlu olmasını şartını paritenin çift olması şartlarını kullanarak
Duvara yakın bir atom modeli için yaklaşık model, bir boyutlu potansiyelin etkisi altında hareket eden bir parçacığı düşünelim ve problem için yaklaşık bir sorun δ(x) delta fonksiyonu olarak adlandırılır ve
Elde edilir. nin x=a da sürekli olmasından A=B elde edilir. Böylece Olur. Normalizasyon şartı
dir. (a) Uzaktayken duvarın yol açtığı “bağıl durumu” un enerji değişimini bulun. Ayrıca “uzaktayken” ne kadar uzakta olduğunun açıklayın. (b) En az bir bağıl durumun varlığı için
verir X=a da dalga fonksiyonun birinci türevinde süreksizlik vardır. (problem 1024 )
Yi yerine yazdığımızda Elde edilir.
ve d de durum tam olarak ne olur?
verir. Burada bulduklarımızı çözersek Çözüm: Potansiyel yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi schrödinger denkleminde
,
dir.
için sınırlı iken, bu biçimsel çözümlere sahiptir.
gerekliliğinin yanı sıra x=0 da dalga fonksiyonunun sürekliliği ve türevinin süreksizliği
Bundan dolayı, eğer Yaklaşım bağıl sabiti veren
ise bir bağıl sabit vardır.
denklemidir.
Son ifadenin ikinci kısmı duvarın yol açtığı enerji değişimidir. Böylece enerji değişimi için gerekli küçüklüğün olması için olmalıdır.bu “uzakta” olmak anlamına gelir.
1027 m kütlesi ve k sabit kuvvetine sahip harmonik bir salınıcının zemin durumundaki dalga fonksiyonu , Klasik bölge dışında parçacığın bulunma olasılığı için bir ifade elde ediniz. Çözüm: Eğer
ise parçacığın klasik bölge dışında bulunduğu
söylenebilir. Zemin durumu için
ve klasik olmayan durum için
ise. Yani:
(b)
iken ikinci grafiği ifade eden doğru 1’i ve ifade eden eğri 2’ yi gösterir. denklemi için başlangıç koşulunun çözüm
noktasındaki 2 eğrisinin eğiminin 1 doğrusundan daha fazla olmasıdır.
dır. Bu nedenle, klasik olmayan bölgede parçacığın bulunma olasılığı:
de extramuma sahip olan eğer
ise
olduğunu düşünerek,
maksimuma çıkarıldığını; eğer
ise
in azaldığını görürüz. 1029 iken
olduğunda, basit bir harmonik
salınıcının minimum enerjisinin hω/2 olduğunu gösterin. Çözüm: Harmonik bir salınıcı için,
1028
dir. O zaman harmonik bir salınıcının Hamiltonyen’i
Lineer bir harmonik salınıcı düşünün ve sırasıyla normalize edilmiş zeminin ve birinci durumun enerji öz fonksiyonları olan
ile A ve B reel sayılarını salınıcının anlık dalga fonksiyonu
olarak ele alalım.
in ortalama değerinin genel olarak sıfırdan farklı olduğunu
gösterelim. A ve B ’nin
,
i onun aslı (reeli) olarak
alalım.
dir ve böylece
ni maksimuma çıkaran ve azaltan değerleri nelerdir? olarak ortalama bir enerji değeri verir. a,b pozitif reel sayılar ve
Çözüm: Ortonormal durum veya
ise
, i verir. Genellikle A ve B sıfır değildir. Bu yüzden
in ortalama değeri,
dir. 1030
, sıfıra eşit değildir. Bir elektron
Yukarıdaki işlemi
olduğu gibi, tek boyutlu harmonik
salınıcının taban durumunda sınırlıdır. Elektronun 1. uyarılmış duruma uyarılması için gerekli olan enerjiyi eV cinsinden bulun. (virial teoremi yardımcı olabilir. olarak yazarsak ve
Çözüm:Virial teoremi tek boyutlu harmonik salınıcı için (T)=(V) yi belirtir. Böylece
ya da taban
durum için
(c) T’ de ,
salınıcı için
(b) Bu durumdaki bir enerji ölçümünün olası sonuçları nelerdir ve bu değerlerin alınmasının göreceli olasılıkları nelerdir? nedir?
zamanla nasıl değişir?
olduğunu vererek, harmonik bir iken m yi elde ederiz. Bu
Nedenle 1. uyarılmış duruma uyarılması için gerekli olan enerji:
Çözüm: (a) Sistem için Schrödinger denklemi t=0 da alırken dir. , fonksiyonu iken,
değeri verilen
t ye açıkça bağlı değilken, doyurucu enerji öz dir.
genişleyerek
açısından, iken 1031 için dalga fonksiyonu t=0, β ve A
Harmonik bir salınıcıda potansiyel reel sabit,
dir.
Böylece,
dir.
Harmonik bir salınıcı için,
dir. Bu
nedenle,
iken dir.
Şeklindedir ve hermitik polinoma dönüştürülüyor ve böylece oluyor. (a) ψ(x,t) için bir ifade yazın.
Fonksiyonlar
ortanormal iken,
yi
(c) (a) da apaçık görüldüğü gibi
geneldir. Bunu kullanarak ortalama
bir zamanda potansiyel enerjinin hariç, tüm
olduğunu gösteriniz.
dır. Buradan Eşitliği dikkate alın
,
olması için
e göre
olarak verilir.
(a)Zamana bağlı schrödinger denkleminden
(b) Bu durum için görünür enerji değerleri
ve
ve bu değerlerin göreceli olasılığı (c)
dir
ve
ı elde ederiz.
in tek doğrusal bileşimi
dır. Bundan dolayı, t=0 için dır. Zamanla değişmeyen
için
açıkça zaman bağlı olmaksızın
dır.
, çift pariteye sahip olan iken,
Çözüm:
ile açısından
in ortalama
ve in öz fonksiyonları iken
ı genişletebiliriz. Bundan dolayı dır.
değerini takip eder. (b) 1032 (a) Tek boyutlu harmonik salınım yapan m kütleli parçacığın potansiyeli dir. Harmonik salınıcının öz durumları zamana bağlı schrödinger denklemi
cinsinden,
için en genel çözümü yazın.
(b) (a) yı kullanarak x in beklenen değerini gösterin. A ve B sabit ise zamanın fonksiyonu olarak yazılabilir.
iken ve
yı kullandığımızda, verilen eşitliği kullanarak
iken,
yi elde ederiz. (c)Zamanla potansiyel enerjinin ortalama değeri üzerinden, operatör V’ nin genel etkisinin ortalama süresi olarak görülür. Bir tam salınım için geçen ortalama zamanı (periyodu) olarak almak yeterlidir. ve yı bir A operatörünün zaman ve genel ortalaması olarak ayrı ayrı belirtelim.
İken, durumundadır. İkinci terim sıfır iken bir periyot üzerinden alınan ortalama potansiyel:
Diğer taraftan,
ve
dir. Bu yüzden, dir.
1033 m kütleli bir parçacığın bir boyutta potansiyeli
ile x=0 da harmonik salınıcının potansiyelinden yüksek ince ve neredeyse aşılamaz engel vardır. şek 1.16.
(b) Orada zayıf olanlar engelin içine girecek. Apaçık parçacık için olasılık de engelinin dışında olasılığı nispeten daha büyük olurken, engel olduğunda, herhangi bir potansiyel durum için daha az olur. Başlangıç noktasına yakın çift pariteli durumların dağılımı olasılığı tek pariteli durumlarınkinden daha büyükken: çift parite çözümlerinin küçük bir kısmı parçacık durumlarına karıştırılır. Buna paralel olarak, enerjinin küçük bir kısmı durum (a) için enerjinin karıştırılır. engel potansiyeli | olduğu için, enerji seviyeler yukarı doğru kayacak. Çift pariteli durum için seviye değişimleri tek pariteli durumda olduğundan daha büyüktür. Ayrıca, enerji değişimi aynı eşik durumları için olan daha büyük enerjiler için daha küçüktür. 1034 Daha küçük birimlerde (m=h=ω=1) harmonik bir salınıcı için Hamiltonyen
(a) Tamamıyla nüfuz edilemez olan engelin tahminin altındaki alçak enerji spektrumu nedir? Engelden tamamının geçmediği tahmin edilen düşük enerji spektrumu nedir?
Burada
(b) Engelin nüfuz edilebilirlik sınırının spektrum üzerindeki etkisini bakımdan belirtin.
Normalize edilmemiş bir enerji öz fonksiyonu dir
Çözüm: (a) Düşük enerji spektrumlarını bariyer tamamen tamamen nüfuz edemezken, potansiyel; harmonik salınıcı potansiyelinin iki ayrı yarımına eşittir ve alçak öz fonksiyonlar duruma uymalıdır . Düşük enerji spektrumu böylece 2’nin bir dejeneresiyle n=0,1,2,…,x=0 ve de
için tek kuantum sayılarıyla 2n + 1
normal bir salınıcıya karşılık gelir.böylece sadece tek pariteli dalga fonksiyonlarının alçak seviyeleri için izin verilir.
e enerji bakımından en yakın olan diğer iki normalize edilmemiş öz fonksiyonu bulun.
Çözüm: harmonik salınıcının Fock gösterimi, imha etme ve üreme operatörüdür. ,
,
ve
aşağıda gösterildiği gibi
,
t = 0 zamanında bir parçacığın potansiyeli
Burada,
enerjinin öz durumları ve
, dalga fonksiyonu
öz değerleridir.
olduğu veriliyor. (a) A sabitinin normalizasyonunu bulunuz. (b) (c) İken, fonksiyonları, Bunlar:
ü elde ederiz. Bundan dolayı, ve
ya en yakın enerji öz
olan normalize edilmemiş dalga fonksiyonlarıdır.
olduğunda
için bir ifade yazınız.
nin zamanın periyodik bir fonksiyonu olduğunu ve en uzun periyot T’ yi gösterin.
(d) t=0 için enerjinin beklenen değerini bulun. Çözüm: (a) Normalizasyon durumu
A’yı pozitif reel olarak aldığımızda 1035
(b) Zamana bağlı dalga fonksiyonu
yi verir.
(c) Olasılık yoğunluğu
dir.
Not: Zaman faktörü
ve maksimum periyodu 2π/ω iken,
periyotlu bir fonksiyon olduğuna dikkat ediniz.
(d) Enerjinin beklenen değeri
1036 potansiyelindeki µ kütleli bir parçacığın bir boyutlu hareket eden bir parçacığı göz önüne alalım. Burada n pozitif bir tam değer ve . paritelerin ve öz değerlerin dağılımını uygun öz fonksiyonlara göre nitel olarak tartışın. Büyüklük mertebesini elde etmek için belirsizlik ilkesini kullanarak en düşük enerji öz değerini tahmin edin. n=1 ve n→∞ için bu tahminleri belirleyin.
Bu durumlarda V(x) in ne olduğunu açıklayın ve önceki sonuçlarla bunu karşılaştırın. Çözüm: a çünkü potansiyel de gider.burada potansiyeldeki bağlı durumların sayısı sonsuzdur ve enerji öz değerleri kesiklidir. Öyleyse m. uyarılmış durum ile verilen bölgesindeki m işaretteki değişime sahip olmalıdır. yavaşça azaldığı gibi m de azalır. orantılıdır. Virial teoreminden
ve böylece
ifadesine sahip oluruz. Genel olarak n’ in azalmasına karşılık eş değer enerji seviyeleri arasındaki fark da azalır. olduğunda öz durumlar kesin paritelere sahiptir. Temel durum ikinci, dördüncü… uyarılmış durumlar çift pariteye sahiptir. Diğer durumlar tek pariteye sahiptir. Parçacığın enerjisi bilirsizlik ilkesiyle tahmin edilebilir 1037 burada
Bir boyutta hareket eden bir parçacığın Hamiltonyeni
Böylece Burada bütün x ler için ve V her yerde sıfır değildir.en az bir bağlı durum olduğunu gösterin (özel bir dalga fonksiyonu için RayleighRitz) prensibini kullanmak bir metot dur) bununla birlikte eğer başka bir metot biliyorsan bunu da kullanabilirsin.
Biz o zaman Çözüm: Şekilde gösterildiği gibi bir potansiyeli
varsayalım. İyi bir kare potansiyel
de
şöyledir. lerle H öz fonksiyonunu belirler ve genişletirsek:
Eşitsizliği karşılayan en azından bir
Bu nedenle
öz fonksiyonu vardır.
de en az bir bağlı durum vardır.
2. metot: b belirsiz bir parametre iken dalga fonksiyonu
olarak alalım. iyi bir potansiyeli için en az bir bağlı durumunun
olduğunu biliyoruz;
Tüm x ler için
ve böylece
iken
dır ve V her yerde 0 değildir,
ı elde ederiz.ve bundan dolayı dır. Aslında bu şartlar altında, belirli bir negatif değere sahip olan toplam enerji (T’ yi pozitif yapmak için V den büyük olan) değeri, ne olursa olsun V içindeki bir parçacık şeklinde sonsuza kadar hareket edemez bir bağıl sabit kalmalıdır. 1038 şeklindeki bir boyutlu potansiyelde M kütleli bir paçacığın dalga fonksiyonu
Böylece
Burada α,β ve γ pozitif sabitlerdir. (a) Parçacık bağlımıdır? Açıklayınız. (b) Parçacığın toplam E enerjisinin ölçümü için olasılık nedir? (c) Verilen büyüklüğe göre
verimi için ifadede yerine konulursa
in en küçük enerji öz değerini bulun.
Çözüm: (a) Parçacığın bağlı sabit olması nedeniyle dalga fonksiyonu
i karşılar.
veya
ayarlayarak (b) (c) schrödinger denkleminde
için dalga fonksiyonu yerine,
ve veren
, yukarıdaki denklemin
ile bir hidrojen atomunun
radyal dalga fonksiyonu ile karşılandığını görüyoruz. Enerji seviyeleri
için potansiyel
İken, ilgili Bohr yarı çapı
dir.
i karşılayan parçacığın sabit bir dalga fonksiyonu olarak
dir. Ve sonuç olarak en düşük enerji öz değeri
dır. Bundan dolayı,
Dalga fonksiyonu ile
(b) Enerjinin ortalama değeri takip eden denemelerde(izleyen zamanlarda) değişmez midir?niçin?
dir. Olasılık yoğunluğu
(c)Bu değişmeyen bir enerji durumu olabilir mi?(Bu enerjinin bir ölçümü olabilir mi bu durumda hep aynı sonuca ulaşılır mı?)niçin?
dir. Bu nedenle
(d)Dalga fonksiyonu t=0dan başka değerler alırsa değişir mi?Eğer cevap ”evet” ise dalga fonksiyonunu nasıl hesaplarsın?Eğer cevap “hayır”sa neden hayırdır? (e)Bir parçacığın potansiyelden kaçması mümkün müdür?(iki durum içinde geçerlidir)Açıklayınız. Çözüm: t=0 da dalga fonksiyonun normalizasyonu Ψ
Demet KAHRAMAN (Bölüm-1) Soru 1039:m kütleli bir parçacık t=0 da serbest bırakılır.Tek boyutlu çift kare şekil 1.14 de gösteriliyor Şöyleki t=0daki dalga fonksiyonu bir sinüzoideal lop(yarım sinüs dalga) potansiyel konum grafiğinde gösterilmiştir. V(x)
(b) t>0 da sabittir ve bu nedenle
a
(c)Bu durum sabit bir enerji durumu değildir.Çünkü sonsuz kare kuyunun öz fonksiyonu başlangıç aşamasındaki a, ve verilen olasılıktaki potansiyel değildir.Öz fonksiyonun belirttiği süperpozisyondur.Bu yüzden bu durumda enerji ölçülünce her zaman aynı değeri vermez.Fakat bazı enerji paketleri bu durumun dışındadır.
Ψ(x) x
(a)t=0 anında ortalama değeri bulunuz(yukarıda belirtilen sembollere göre)
olur.
(d)Dalga fonksiyonun şekli zamana göre değişir.Bu yüzden süperpozisyon durumu için yeterli bir çözümlemedir.
Değişimi ile
) de değişir.
(e)Eğer takip eden
’daki şartlar sağlanırsa parçacığın
bütünden kopması mümkündür.Eğer bu potansiyel yeterli genişlikte ise derinlik fazla olamaz ve parçacığın enerjisi pozitif ise parçacık potansiyelden kaçabilir. Soru 1040:
(b)Fourier transformu ile,
m kütleli bir parçacık tek boyutta hareket ediyor.Parçacığın t=0 zamanındaki normalizasyonu, Ψ Ve
dir.
(a)Momentumun yayılmasını
hesaplayınız.
(b)t>0 zamanında parçacığın olası yoğunluğu nedir? Den,
(c)Yukarıdaki (a) ve (b) parçalarının kesin olmayan sonuçlarını yorumlayınız. Çözüm:(a) gibi
Serbest parçacıklar içindir.Bunu da fourier transformunu ters çevirerek bulursak,
(c)V(x) bulun. (d)Parçacığın olası p ile p+dp arasındaki momentumu bulun. Çözüm:(a) Parçacığın ortalama konumu,
(b)Ortalama momentumu,
(c) Tartışalım sonuçlar gösteriyor ki gaussian dalga paketleri t zamanında da sabittir.(t=0 da ) (c)Schrödinger eşitliğini şöyle yazabiliriz:
Şeklinde yazabilir.
prensibi yeterlidir.
Problem 1041: m kütleli bir parçacık tek boyutta V(x) potansiyeli etkisi altında hareket eder.Eğer öz durumunda yazarsak
bir enerji
Sahip olduğumuz denklem,
.
(a)Parçacığın ortalama konumunu bulun. (b)Parçacığın ortalama momentumunu bulun.
Veya,
(d)Schrödinger eşitliği momentum ifadesinde şöyle gösterilebilir;
Fonksiyonunu yukarıdaki eşitlikteki yerine yazarsak bu ,
Problem 1042:Tek boyutlu, m kütleli bir parçacık çok küçük parçacıklara ayrılmış durumda iken uzayda küçük bir bölgede birbirine potansiyelle bağlanabilir.t=0 da bu olasılık ortadan kalkar.t>0 zamana ulaşan parçacığın gözlemci L noktasından uzakta iken muhtemel konumunu birim zaman cinsinden formüle edin.
Veya
Çözüm:Dalga fonksiyonu
Yukarıdaki denklemde a=1/2
yerine yazarsak bu durumda,
Buna öz fonksiyonu ile enerjinin
belirtilmesi
denir.Momentumu gösterirsek normalizasyonu
dır.Bu
parçaların momentumu p ile p+dp arasındadır. Yerine yazarsak, dp Unutmayalım ki fourier transformları bu değeri direk verir
;
t=0 da,
Bundan dolayı akım yoğunluğu;
Formülde yerine koyarsak birim zamanda parçacığın x=L noktasından uzakta olan gözlemciye ulaşma zamanını hesaplayabiliriz. Problem 1043: m kütleli bir parçacığın başlangıçtaki dalga fonksiyonu Ψ(x,0)’dır. Bu yüzden,
(a)Başlangıçtaki fonksiyonun dalga boyu Ψ
Gaussian dalgalarından bir paket gösterirsek a:
En sonki integral bu değeri verir
Fouier transformuna göre parçacık üzerine etkisi ile t zamanda yeteri kadar süre geçtikten sonraki yayılımı nedir?
(b) a değerleri aralığı için tahmin edici bilgi verin. İpucu:
giderken zamanı dikkate alın.
Çözüm: (a) schrödinger eşitliği
Fouier transformu şekildeki gibi yazılır,
için, eşitlik bu duruma gelir,
Uzun bir t süresi geçtikten sonra (t integrali bunu verir, Ve
bu yüzden,
(b)
Çünkü
alırsak eğer,
fourier trasnformundaki
ile aynıdır
Değerlerine sahibiz
(c)İki bölge için olası çözümleri bulun. (d)öz fonksiyonu üzerinde t=0 iken dalga fonksiyonunu belirtin.
f(k) Buda bize toplam olasılığın korunduğunu gösterir.t sınırlı durumda bulduğumuzu yerine yazarsak,
giderken
nın çözümünün nasıl olacağını gösterin.
(e)f(k) koşullarında dalga fonksiyonun nasıl geliştiğini gösteren ifade yazın.Uzun bir zaman aralığı için k’nın değerinin ne olması beklenir.
Buda parçacığın dalga fonksiyonunun sonsuzda nasıl yayıldığını gösterir.
V(x)
Soru 1044:m kütleli bir parçacığın tek boyuttaki kuantum mekaniği dikkate alınarak ki enerisi
I -a
Şekil 1.19 da görüldüğü gibi t=0 durumunda parçacığın dalga fonksiyonu –a
(b)öz fonksiyonundaki koşullara göre sınırları veren, ve I Bölge –a0
0
x
Çözüm: (a)
(a)t=0 zamanı için parçacığın minumum normalizasyon değerini yazın
II
dalga fonksiyonu bu koşullardaki sınırlar içinde olmalıdır.
’ da tamamlanmamış ve –a
n=1,2……. ile
(c)Hem I ve hem de II bölgedeki dalga boylarıdır.
.Bunların gerçek çözümü sinüzoideal fonksiyonlardır. Üst şartlar için yeterli çözüm, En düşük normal enerji fonksiyonu n=1 olarak verilmiştir.
Sürekli olmayan ve normal şartlar,
(b)x>-a için schrödinger eşitliği
(d)
veya
ile
Üst şartlar ve sürekli olmayan şartlar yeterlidir
Veya
Küçük bir aralıktaki schrödinger eşitliği en son denklemden elde edilir ve ξ
da
‘yı görelim.
durum için
’nin dalga fonksiyonu genişletelim ve
(e) gibi
zamanında salınım faktörü
dır.Değişiklik çok hızlı
olsada integral normal davranma eğilimi gösterir.Bu yüzden dır.Çok geniş olduğunda k numaralı küçük dalgayı oluşturan etmenler birinci rol oynar.O anda parçacık o bölgeden kaçabilir. Sahip olduğumuz
t=0 zamanında çok küçük parçalar halindeki parçacık sonsuz derin kuyuda a engelini delip geçer. dalga paketi,t>0 şartıyla yayılır.Önce şunu hesaplarız.
Soru 1045:
radyoaktif izotoplar
kaybolur enerjinin
ve E=6.0 Mev da
parçacıkları tarafından dışarı verilir.
(a)Yarılanma süresini hesaplamak için ve şekil 1.20 deki potansiyel sınırı düşünmek gerekir.m kütleli bir parçacığın geçiş olasılığını T hesaplamak için gereken enerji sınırı nedir?E’nin sınırı T<<1. (b)Yukarıdaki sonuçları kullanarak çekirdeğin yarılanma süresini kabataslak kestirmeye çalışın bir alt ve sınırları verin.
Potansiyel halfa parçacığı için
V(x)
k Ve buradan
x 0 Çözüm:
Bölge I ve bölge II için yukarı sıradaki ve aşağı sıradaki dalgalar için şu ifadeler verilmiştir.
b
(a)Eğer T<<1 ise,örnekteki dalganın potansiyel sınırı sonsuzmuş gibi olur ve pik geniş olur.T’deki genişleyen difüzyon yeterli gibidir ve devamı x=0 ı verir
(b)
oranını hesaplamak için Coulomb potansiyel deneyi ilk
adım olur. parçacıkları çekirdeğin kare sınırları içerisindedir.Şekil 1.21 gösteriyor ki
’daki değer
genişliğinde yansıma katsayısı,
x=0 da
süreklidir
V(x) B’deki yansımasını düşünün.sahip olduğumuz
V
E R
Ve böylece Çekirdeğin hareketli kısmı Bu yüzden geçme olasılığı,
Coulomb potansiyel ağırlığı ile uyuşan
parçacığı ile,Tl çekirdeğinde v hızı ile hareket eder duvardaki çarpışma her saniyesinde
Çözüm:Çözüm olasılığı Problem 1045
yarılanma süresi
nereden veya
Kare potansiyelin en üst sınırı budur.
b=
=33.
v=0.1 bizim bulduğumuz
Problem 1047:Şekil 1.23 deki tek boyutlu potansiyel kareyi düşünün
Problem 1046: E=1 eV enerjiye sahip olan elektron kare sınırları içinde olan bir enerji için örnek midir?Geçişin sağlanabilmesi için sınırın genişliği ne olmalıdır? V(x)
pozitif iken m kütleli bir parçacık relativistik olmayan bir kinetik enerjiye örnek olursa potansiyel arasındaki geçiş olasılığı nedir? Bunun için E’nin hangi değerleri olasıdır?
d
V(x)
E x
0
a
x
Çözüm:Değişmeyen değerler, Geçiş rezonansı k’a=n sırasında ortaya çıkar,bu parçacığın kinetik enerjisi E olur,
Ve katsayılar
Olası geçiş ,P,bir bütünlük sağlar. Soru 1048:Tek boyutta bir potansiyel kare düşünelim,
x=0 ve x=a ki bunlar R.S.A.B değerlerini verir ve sınırlar için belirleyicidir.Şunu verir
ve
bu
Bu yüzden
Ve geçiş olasılığı
(a)E<0 için,potansiyele bağlı olan parçacığın dalga boyunu bulun.Olası değerleri veren bir denklem yazın.
(b)E>0 da bir enerjiye sahip parçacığın bir durumu örnek teşkil ettiğini varsayalım.Bu dalga ile dışarı çıkan dalganın aşamalarını bulun.
için, ik
,ve enerjimi tanımlayan denklem
şu hale gelir kcot(ka)=-k’.sahip olduğumuz fonksiyonumuz
Çözüm:Schrödinger eşitliği farklı bölgelerdedir
Devam eden ve normalleşen dalga boyu
(a)E<0
(b)E>0. Fonksiyonumuz Ve katsayılar
nereden Devam eden dalga fonksiyonu şunu verir
X=a da Ve bu yüzden
Bu yüzden x>0 için çözüm yoktur.
böylece
süreklidir
Çözüm: x>0 için,Schrödinger eşitliği şöyledir x>a için
Bunun çözümüne bağlıdır
nereden
nerede
Bu aşama değişmesi olarak ortaya çıkan dalganın bahsettiğimiz dalga ile ilişkisi vardır. x>0 için, eşitlik
Soru 1049:Şekil 1.25 deki tek boyutlu potansiyel sistemde
Eğer E<
için bir pozitif sabittir.E’deki parçacıktaki foton bir örnek teşkil ederse hangi kısımlara yayılır?Hangi kısımdan yansır?E’nin olası bütün değerlerini göz önüne alın.
ise yukarıdakini şöyle yazın,
sabit olmalıdır
nerde
V(x) E Devam eden durum şunu verir
Bu yüzden r=(k’+ik)/(ik-k’)=(1-ik’/k)/(1+ik’/k).Bu kısımdan yansıyan R=j/j’=1,yayılan ise T=1-R=0 olur.
(a)Eğer E<
ise,sahip olduğumuz,
E> . x>0 için .sahip olduğumuz Nerede
nerede
Sadece dışarıya çıkan dalgalar vardır. için 1+r=t(ikikr)=ik’t,ver=(k’-k)/(k’+k).Bu yüzden yansıyan kısım R= ,yayılan kısım T=1-R=4kk’/ dır.
durumunda sınırlı olacağından durum böyledir.Devam eden şartlar 1+r=t,ik- ikr=-k’t bu yüzden r=(k’+ik)/(ik-k’).Yansıma ihtimali R=j/j’= dır.
Soru 1050:m kütleli bir parçacık ve p momentumu şekil 1.26 gösterilen adımdaki potansiyele örnek olsun da geri planda kalan seyrek parçacığın olasılığını hesaplayın.
(c)Eğer E>
(a) (b)
Çözüm:schrödinger eşitliği,
Nerede
ise,sahip olduğumuz
x> için sadece dışarı çıkan bir dalgadan başka bir şey değildir. Devamından 1+r=t,ik- ikr=-k’t olur.Bu yüzden r=(k’+ik)/(ikk’).Olası yansıma R= ‘dır. Soru 1051:Şekil 1.27 de gösterilen bir aşama için tek boyutlu potansiyel yansıma ve yayılma katsayılarını bulun eğer potansiyel sağdan bir örnekse,
Diğer bir
,ve çözüm
X<0 da dalga boyunun değişmez kuralını kullanarak R=Sdır.Dalga boyunun ilk artışı içindir. alırız.Bu yüzden yansıma katsayısı R=(
Geçiş katsayısı, x
Olur. Çözüm:Eğer potansiyel sağdan büyük bir örnekse E> dır.Her ikiside tesadüfü ve x>0 bölgesinde yansıyan bir dalgadır.x>0 için schrödinger denklemi
Bilal TURKAN Çözüm için
olmalıdır (Bölüm-1) 1052
X<0 bölgesinde yayılan dalga schrödinger denklemi
Kuantum mekaniğinde pozitif x yönünde hareket eden m kütleli bir parçacık akımı düşünelim.X=0 ‘ da E kinetik enerjisi ile beraber
potansiyel sıçrama tespit edilmiştir.Potansiyel, için 3E/4 ’ tür.
için sıfır ve
‘da yansıyan parçacıkların olasılığı nedir?
(b)
için, dalga fonksiyonunu veren form ?
(c)Dalga fonksiyonunun sınır bölgeler arasındaki şartlarını veren form ?
Çözüm
(d)İletim ihtimalini hesaplayınız ?
Schrödinger eşitliğinden;
Çözüm (a)
için
formunda gelen dalgalar ve
formunda yansıyan dalgalar. Böylece; olduğu yerde
için moleküller zaten yansıyan
dalgalar olacaktır. çözüm de şu formda olur; (b)
için,
sadece var olan iletilmiş dalgalardır.
Böylece;
Dalga fonksiyonunun x=0’ da süreklilik koşulları , elde ederiz ve böylelikle , tür.Böylece
(c)Schrödinger eşitliğinden; ‘
‘da yansıyan parçacıkların olasılığı 1/9 dur. Ve bu çözüm problem 1020’ye yeter. 1053
Düzlem dalgası tarafından yaklaştırılmış, soldan x ekseni boyunca yöneltilmiş, yüke göre potansiyeli molekül ışığı göz önüne alındığında, Dirac delta fonksiyonu; (a)
için, dalga fonksiyonunu veren form ?
olan
Dalga fonksiyonu
devamlıdır.
(d)(a), (b) ve (c) çözümlerinden elde ettiğimiz , bize,
‘yı verir. Bu nedenle
Çözüm
olduğu yerde, iletim katsayısı ;
iken asimptotik formları varsayabiliriz.
r, t, k, 1054
zaman başına parçacıklar yoğunluğunun numarası
Şemada gösterilen şekilde m kütleli bir parçacık üstüne gelen bir boyutlu potansiyel problemi düşünelim. dan daha büyük olduğunu farzedelim.
lar burada sabitdirler.Tanımlanmış yoğunluk olayları birim ‘ dir.
Aynı şekilde, sırasıyla iletilen ve yansıyan gerilimler;
da E enerjisinin iken
asimptotik
potansiyel değeridir.
Schrödinger eşitliği
‘ a göre çarpımı ;
Gelen bir gerilim tarafından bölünmüş, yansıyan ve iletilen gerilimlerin toplamını gösterir. ve schrödinger eşitliği
‘ a göre eşleniği ;
V(x )
ve iki eşitliğin farkını ; E 0
alırız.
x Bunun manası şudur ;
Bir sabittir.buradan
ve
eşitliğini bulabiliriz. alırsak bu eşitlik doyuma ulaşmış olur.Böylelikle;
Her iki taraf
ile beraber toplanırsa ; Uygun düşen enerji ve eşitliğin bir çözümü dolayı
için
ve
dir.Bundan alırız.
1055 Bir boyutlu schrödinger denklemi; ‘ ni gösterir. (a)
belirli bir sabit değeri için, çözümü
olduğundan aktarma katsayısı , T=1 dir ve yansıma katsayısı V(x) yoluyla hareket eden parçacıktan dolayı R=0 dır.Yani S-matrisi ;
verdiğini gösteriniz. Bu problem için S matrisini hesaplayınız ( S matrisi= iletim ve yansıtma katsayılarıdır) (b)schrödinger denklemine cevap vermek için bu dalga fonksiyonu "sec x" olur.Sınır değerine uygun düşen enerji değerini hesaplayınız ve bunun temel durum potansiyeli olduğuna dair bir örnek gösteriniz. (c) dalga fonksiyonunu bilmeseydiniz, temel durum potansiyelini tahmin etmede nasıl bir yol izlerdiniz? Çözüm (a)Çözümde verilen sabiti kabul edersek " ", K olur ve schrödinger denkleminden "
"yi çıkarırsak;
(b)Schrödinger eşitliğinde alırız.Böylelikle,
bozuyor. olur.Çünkü bütün uzay koordinatında
zorunlu durum boğum noktası değildir, bu taban durumu olmalıdır. (c) Bir parametre ile bağlı bir düğüm olmayan hatta ilerleyen fonksiyonu varsayarak varyasyonel yöntem ile taban durum enerjisi yaklaşık bir değer elde ederiz.
göstersin. Gelen dalganın genliği 1 olsun. O halde 2. ortama 1056
aktarılan dalganın genliği toplam
E enerjisinin izafi olmayan nötronlarının tek enerjili paralel ışını t kalınlığındaki madde plakası düzleminden geçmektedir.
1057
Maddedeki nötronlar tek boyutlu çekici V potansiyelinde hareket etmektedir. Resim 1.29’da gösterildiği gibi gelen ışın düzleme normale nazaran 0’lık bir açı yapmaktadır. (a) t sonsuz ise gelen ışın nasıl kırılır?
-iV sabit sanal bir potansiyelin bir boyutta hareket eden parçacık için dalga fonksiyonunu bulun.Burada
dir.
Güncel olasılığını hesaplayın ve parçacığın absorbsiyonunu (b) V itici ve V = E ise gelen ışın nasıl kırılır? t’yi sonlu alın. Çözüm
temsil eden sanal potansiyeli gösterin.V’nin absorbsiyon katsayılarını temsil eden terimleri bulun.
Çözüm Alternatif Çözüm: Çözüm, optikteki Fabry-Perot interferometresine benzer şekilde sonsuz genliklerin çakıştırılmasıyla da elde edilebilir (bkz. Resim
Schrödinger eşitliğinden
1.30). Sadece dalgaların x bileşenini göz önüne almamız gerekmektedir.T12 ve R12 sırasıyla 1. ortamdan 2. ortama geçen bir dalga şeklinde genlik aktarımı ve yansımasının katsayılarını göstersin. T21 ve R21 de 2. ortamdan 1. ortama gerçekleşen genlik aktarımı ve yansımasının katsayılarını
Diyelim ki ;
iken ;
alırız.
Sanal potansiyel iV parçacığın absorbsiyonu için sorumludur.daha sonra madem j hayali olacak.Böylelikle , eğer V gerçekse orada absorbsiyon olmayacaktır.
Ve böylelikle ;
1058 (x,t) koordinatları çerçevesinde, O gözlemcisi civarında tanımlamış dalga boyu
olarak belirlenmiş
nin bir
boyutlu zamana bağlı serbest parçacığı scrödinger denkleminde çözelim.şimdi aynı parçacığı Burada
sırasıyla sağ ve soldan hareket eden
dalgaların üstel olarak azalması ile ilgilidir.geçerli olasılık;
fonksiyonuyla tanımlanmış bağlı
dalga
gözlemcisine göre (x,t) ye
koordinatları ile beraber Galileo da şekil
değiştirdiğini düşünün.
Burada, yönergeler ayrı ayrı üstel azalma olasılılarıydı.absorbsiyon katsayısından ;
(a) Aynı dalga boyunun
,
tanımlı dalgalarını
yapın? (b) Ayrı ayrı koordinatlarının schrödinger eşitliğini her ikisi de sağlıyorsa
ve
arasındaki ilişki nedir? Çözüm
(a) Serbest parçacık için bir boyutlu zamana bağlı schrödinger eşitliği;
Ve dalga boyu ile belirli çözüme uyan;
Bununla birlikte ;
nın (1) eşitliğini kullanarak ve tanımlayarak şunu görürüz. İki referans etrafında paracığın p momentumu farklıdır ayrıca (b)
dalga boyu da farklıdır. etrafında schrödinger eşitliğini kullanarak yapılan
ve Galileo nun şekil değiştirmesini uygulayarak buluruz. Bu sadece shrödinger eşitliğinden
doyumuna
ulaşmıştır.Böylelikle, faz faktörünü hatasız ilişkilendiririz.
1059 Düşünün;
frekansının tek boyutlu harmonik osilatör potansiyelinde ve taban durumda bulunan bir m kütle parçacığına
itici gücü
uygulanmaktadır. Taban durumda kalma olasılığını bulun. Çözüm Parçacık t = 0’da ani p momentumu kazanır ve hızı aniden p/m şeklinde değişir. Ancak itici gücün süresi dalga fonksiyonunu değiştiremeyecek kadar kısadır. Bu nedenle parçacıkla birlikte
Buradan;
hareket eden K’ çerçevesi göz önünde bulundurulduğunda ikincisi harmonik osilatör
nin taban durumunda kalır. 1060
Ama hareketsiz K çerçevesi göz önünde bulundurulduğunda durumundadır. Süreç boyunca parçacığın
İdealleştirilmiş m kütleli bir pin pon topu sadece hısı yönüyle
konumunu makul derecede sabit tutabiliriz, böylece itici güç
birlikte bir boyutlu evrende geri tepmesiz masada, taban
sona erdiğinde parçacığın konumu K ve K’ için aynı olur. Bu
durumunda zıplıyor.
nedenle K’deki ilk dalga fonksiyonu;
(a)
ye uyarak m,g,h ‘ ı enerjide uygun yerine koyarak ispat ediniz ve
Böylece itici güç uygulandıktan sonra parçacığın taban durumda kalma olasılığı ;
(b) Erg’in m=1 gram için
yı tespit ediniz. değerinin ve sürekli K değerinin
değişken hesabını tahmin ediniz. Çözüm (a) Boyut analizi metotunu kullanırsak ;
‘ ü verir.
Buradan ; Böylece;
tür. verilirse topun enerjisi izah edilmiş olur.
(b) Hız masadan orjin ile beraber yukarı yönde x koordinatında alınırsa ; hamiltonyene göre ; 1061 enerji özdeğerleri ile ilgili teorem bir boyutta schrödinger eşitliğini takip ediyor. Teorem: Eğer
özdeğerlerini veren
özdeğerlerini veren
potansiyeli ve
potansiyeli ve tüm x değerleri için
ise, buradan
dir.
(a) Bu teoremi ispat edin İpucu: en aza indirilmiş, Taban durum enerjisinden ;
alınır ve
sağlanır.
potansiyelini düşünün.Burada (tüm x değerleri için) ve
hesaplanır.
(b) Şimdi şekil (1.31) deki potansiyeli düşünün.
ve
Biz bu potansiyeli tutabilir bağlı durumların sayısını belirlemek isteriz. Bu sayı
varsayalım. Bu en yüksek bağlı durum için
dalga fonksiyonunun kaitelibi resmini çizmeye faydalı olabilir. Çözülebilir bir karşılaştırma potansiyeli ve N’ ye şiddetli bağlı alt değer veya N’ ye şiddetli bağlı üst değer belirlemek için yukarıdaki teoremi seçin(her ikisi de yapılabilir fakat sadece biri
Çözüm
Hamiltonyenden;
notu kullanırız. (b)
izin verilendir.Buradan potansiyeli için enerji seviyesi
istenir.)
(a)
alırız ve teorem ispatlanmış olur. Şu
Burada
dir. Eğer
ise ;
dir. Bağlı durum için
dır. dir.
yi çözersek ;
tanımlanır. Açıkça görülüyor ki;
Burada
belirlemeleri maximum A tamsayısından daha azdır.
Şimdi V(x) için sonlu derinlikte bir kare kuyu seçeriz. Ve özgün denklemi ;
Buradan ;
U(x)’e bağlı durumların sayısı V(x) ‘ den daha azdır.İkincisi için ‘dir.
Bundan dolayı ;
bağlı durumların sayısını alabiliriz.
ihmal edilebilir bir terim için U(x) ‘ in kadar bağlı üstten
Birlikte alınmış,
ve
arasında bağlı
durumların sayısını buluruz. 1062
Ve
Elektronik durumlar için bir boyutlu sistemde sade bir hamiltonyen modeli;
Biliyoruz ki ; problemi sadece Burada
ortonormal tabanda
parametrelerdir.
dir.
varsayalım.Enerji seviyelerini ve dalga fonksiyonlarını hesaplayın.
Alırız ;
Çözüm durumudur.
Burada n=1,2,3,……,N şeklindedir ve ;
Veya ;
Bununla beraber ;
Yani;
‘ nin özvektörlerdir. Böylelikle
operatörünün özdeğer ve özvektörlerini
bularak çözeriz. Yani ;
kadarını periyodik sınır şartları
Ortonormal fonksiyon eksiksiz bir set formunda
bazen
Denklemini veren ;
Eğer
operatörleri bazen
‘ nin özvektörleri ise , yan ;
Veya;
Buradan ; 1063 Neden Kristal katılarda enerji bantları bulunduğuyla ilgili kısa bir açıklama yapın. Kuantum mekaniği fikirlerini kullanın ancak karmaşık hesaplamalar yapmayın. Açıklamanızı okuyan Böylelikle ,
‘ nin özdeğerleri ; dir. Bununla beraber
herhangi birinin Kuantum mekaniğini anlayacağını ama katıların teorisiyle ilgili hiçbir şey anlamayacağını varsaymalısınız. Çözüm
İlgili fonksiyonların matris denklemleri elde edilebilir.
Kristal, 1065. sorudaki örgü yapı gibi potansiyel kuyuların sonsuz periyodik dizilişi olarak görülebilir. Bloch teoremine göre Schrodinger denkleminin çözümü
Bununla ;
formundadır.
Burada K sabit ve u(x) örgünün belli aralıklarla gerçekleşmesiyle periyodiktir. u(x) ve
’in kuyu sınırlarındaki süreklilik
durumu yayılan parçacığın enerjisini belli değer aralıklarına yani
enerji bantlarıyla sınırlandırır. 1065. soruda detaylı bir örnek
(d) Gizlevi olamayan E0’dan daha büyük E değerlerinin
verilmiştir.
aralıklarını gösterin. İlk boşluğun başladığı enerjiyi bulun. 1064
Çözüm
m kütle parçacığı sonsuz kapsamın periyodik potansiyelinde tek
(a) Schrödinger eşitliğinden ;
boyutlu olarak hareket eder. Çoğu alanda potansiyel sıfırdır, fakat b genişliğinin a uzunluğunun aralıklarıyla (b << a) bölündüğü dar bölgelerde potansiyel V0’dır, buralarda V0 büyük bir pozitif potansiyeldir. [Potansiyel Dirac delta fonksiyonlarının
Entegre ederek
toplamı olarak düşünülebilir:
elde ederiz.
Buradan
‘ dan
‘ a ve
iken şunu
, bu ve diğer sınır şartları ;
Alternatif olarak daha karmaşık bir yoldan gidilerek aralıklar sonlu olarak alınıp limite gidilerek de aynı cevaba ulaşılabilir. ] ‘ da dalga fonksiyonu kabul edilir.Buradan (a) Dalga fonksiyonunu uygulamanın uygun sınır şartları nelerdir, neden? (b) Bu potansiyel boyunca yayılan bir dalganın en düşük enerjisi olsun (bu k0’ı tanımlar). k0’ı ve E0’ı vermek için
(b)
için orada iki önemli çözümler schrödinger eşitliğinde ;
çözülebilecek bir transandantal denklem yazın (diferansiyel değil). (c) 0 < x < a bölgesinde geçerli E0 enerjisindeki dalga fonksiyonunu yazın (Tek biçimlilik için
deki gibi
normalizasyon ve aşama seçmemizi sağlayın). x = a ve x = a + b arasında dalga fonksiyonuna ne olur?
Enerji varlığının yerini tutan ;
Meydana gelen ;
Bu eşitsizliğe uyan k’nın minimumu (c)
‘ dır.
için ;
bölgesinde, Bloch’un teoremine göre ; Burada ; Burada K, Bloch dalga sayısıdır.Sınır şartlarını veren ;
normalizasyonunu verenler ; A ve B’ nin sıfırdan farklı çözümleri için ihtiyaç duyduğumuz; x=a ‘ da sınır şatlarını veren ;
Veya
Yani ;
Bloch dalga sayısı, K determinesine göredir. Bu nedenle k’ nın izin için ; dalga fonksiyonu
verilen dalgaları belirlenen aralıkla sınırlıdır.
Veya
(d)
, burada
formundadır. Burada ;
, ufak bir pozitif sayıdır. Biz ;
gayet ufak olduğundan, sol taraftan nedenle belli bir bölgede Diğer elde
dir. Bu
‘ nın orada öz fonksiyonu yoktur.
özfonksiyona benzeyenlerdir. yani ilk enerji
boşluğu , hangisi ; doyuma ulaşan ilişkideki
veya
.
ve . Faz potansiyel V (x) nedeniyle kaymalar olarak verilen bu sonuçlar almak.onları elde değilŞimdi, sonsuz bir periyodik potansiyel (x) potansiyel itrating tarafından inşa göz önünde Mesafe ile ayrılmış merkezleri ile V (x) . (x) "İç Potansiyeli" noktaları aramak potansiyel yayılan dalgalar oluşturmak için girişimi olacaktır (x)sağ ve sol hareket eden dalgalar superpositions olarak
……
Hatice MUTLU (Bölüm-1) 1065 "tek bir potansiyel" yineleme tarafından inşa edilmiş bir boyutlu periyodik potansiyelde parçacık dalga yayılımı eğitim almak isteyen V(x) uzunluğu arası l. V(x) ve ve V(x)=V(-x) Eğer bir dalga soldan olay dalga üretir için x
için x x
ve
Şekil 1.33
iletilen bir Soldan dalga olay için potansiyelini V (x), izin olma =t +
, t=
=r -
, r=
iletim ve yansıma katsayıları olduğu dalga olay için t'=t , r'=
ve r' sırasıyla .
.
potansiyeli
Periyodik potansiyelde, komşu interpotential noktalarında iletim ve yansıma katsayıları ilişkileri var = ve = exp(i2kl). böylece tek bir gösterim iletim katsayısı ile gösterilir.
,o
dönemi
olarak
zaman,
l,
bölgedeki
dalga
fonksiyonu
exp(
bölgedeki
dalga
fonksiyonu
. =
(a) komşu iç potansiyel noktalarda dalgalar halinde gösterilmiştir. Şekil 1.33belli ki, sadece yansıması vadeli ve iletim vadeli
=
ve
=
katkıda 1=
+t Benzer şekilde
, =
+ böylece biz =
=
+t
+t
ve
)
(1-
+
+t
Biz
=
+t
-4 -4
(d)Sonsuz periyodik alanında varlığını kararlı bir dalga için gerekli bir koşuldur.
= r ve
r exp(i2nkl).Varsayabiliriz
=
=0
çözümünde =
=
(b) n ile n +1 değiştirilmesi vermektedir
+t
+ +
Ve
Şekil 1.33
=
=
1+
-
(c)
=t
Çözüm:
= t( Yerine elde ederek t
gözlemlenebilir olduğunu kanıtlamak?
+
yukarıdaki denklemin ve kullanılması
=2
+
(a)İkinci dereceden bir denklemi olduğu gibi karşılayan 2x2 matris tarafından temsil edilebilir. Öz değerler ikinci dereceden denklemin kökleri =1, =2
=1
cos ,
(b)
matrisi ile temsil edilir.
Öz değer denklemi , veya tanımı kullanarak
a= 1, b = 0 (c )
= 1 ve a = 0, b = 1 = 2 verir.
, bu nedenle
hermityenyendir.
SORU 1067 Qelektrik yükündeki operatörün q karşılık gelenherhangi bir özdeğer denklemi, (e) Metaller, pozitif iyonları düzenli bir dağılımı olup iletimi elektronların dönemsel bir potansiyelinin bir şekilde hareket ettiği.
verici bir gerçek bir
operatör
özdeğeri k Q'nun karşılık gelen
C
=
(a) CQ+QC ‘nin operatörün özdeğerlerini bul
-3
Bu deklem
(b)
, “çekim yükü “operatörün C uygulanan
–q :
ikinci derece denklemini cevap verilir.
(a)
=q
bir eigenstate yol açar.
1066
,
demek ki, Q
opratörü ile oluşan en düşük dereceli denklem ise özdeğer vektörleri nelerdir?
ın özdurumları nelerdir?
(b)Aynı anda C ve Q eigenstate olabilir? ÇÖZÜM :
=
Sonra (CQ+QC)
=qC
+Q
q
q
0
Böylece operatörün
CQ + CQ özdeğeri 0 olur.
(b)C çekim yükü bir dönüşümdür, CQ Q nun ortak özdurumları olamaz.
=P
=-Q, ya da CQ+QC=0, C ve
+
Ve
oluguna göre
SORU 1068
P
Bir kuantum mekanik sistem indirgenen sadece iki enerji özdurumları sahip olduğu bilinmektedir( ve ) .P, Q ve R olarak bilinir başka bir gözlenebilirler, sistemin de içermektedir.
(b) Q
(a)
=
,
(b)
=,
(c)
=,
=
=
bu veriler Q özdeğer tespit edilemedi.
(c)
bu yazabileceğimiz gibi;
=
ÇÖZÜM: Biz onların görünür değişikliklerin Hermityene karşılayan P, Q, R, verilmektedir. ve mekanik sistemin, enerji öz durumları tam bir dizi sahip olduğunu
belirlenir. =
ve
(a) İki durumdan bütünlüğü ve "deneysel veriler" vermek =
+
,
belirleyeceği göz önünde bulundurarak
Burada belirlenecek bir sabittir.Özdurumlarıortogonallik ve grafik eğrisi Hermitik
=
+
+ + ,
Bu yüzden P
=
ise tespit edilecek.
+
exp(i
ve
, =P(P
bu nedenle
=
=-
= ,
=0
belirlenmelidir, benzeri bir işlemi olsun. .
=
ve
)
R
,
olduğunu gösteren
-q
R (1+ =
Ayrıca aşağıdaki şekilde R =
+
=
+ (1+ +
+
Deneysel bu nedenle üsleri
(
-
)
=
böylece ve
=
veren
R matrisi i
1070 Koordinat momentumu komütasyon ilişkisini kullanarak patlamak
R özdeğerlerini bulmak için,
=0 =constant,
- =(1
) (1
)=0 çözülür.R=
1069
ÇÖZÜM:
Bir manyetik alanda, yüklü bir parçacığın, hız bileşenleri ile ilgili operatörleri için komütasyon kurallarını belirlemek.
H=
ÇÖZÜM:Manyetik alanında bir çıktığını varsayalım;
A vektör potansiyelini ortaya
+V(x), =
=
=-
(c) B özdeğer ile ikinci bir Hermit operatör verilen
,
ve
özfonksiyonları (x),A, B özvektörlerini dönüştürür üniter bir operatör V bir temsili oluşturmak. ÇÖZÜM: =2 =2
=A
m
=exp(-i
-2 (b)
=2 H
A hermityen )=exp(-iA)= =
+
,
hermitiyen operatör matrislerle gösterilmesi C=U+
=
=U ,
=C
bunun için ( c) Hermitiyen operatör ve ortonormal bir set oluşturmakicin, dolayısıyla herhangi bir
ve
tam setini getirilerek açılabilir.
= = (x) =
(x)dx
Benzer şekilde
=
iki sonucun eşitlenmesi ile m = 0 elde edilir.
=
=
=
1071 (a)Hermitiyen operatör A özdeğerleri (x) olduğunu gösterin. (b), göstermek.
=
ve özfonksiyonları
bundan dolayı =
,r exp (iA) üniter bir operatör
verilen Hermit operatör matris tersine
ve çevirmeyi
1072
dir.
Hamilton ile tek boyutlu osilatör düşünün H=
+
=
böylece bu operatörlerinin bağımsız olarak bulundu.
)sinwt, (b)
+mwx.
=
Hamiltonyenin ile bu operatörlerin gidip gelmek?
sinswt+
m
coswt-
beklenti
değerleri
zaman
sinwt
coswt+i
(a) ve (b) uyumlu olmasının sonuçlarınıbulun?
=
Heisenberg görüntü operatörlerinin hareket denklemleri nelerdir? komütatörü
+
=0
(a) "başlangıç pozisyonuna" beklenti değerleri zaman bağımlılık ve "başlangıç momentumu" operatörleri bulmak
=
coswt-w
coswt+mw
sinwt
xcoswt+i
ölçülmesi teori adına önemi nedir? (c ) (a) ve (b) sonuçlarını uyumludur. ve .
ifadeleri
için ise t açık bir şekildeH ile komütasyon kendi korunur. ilişkisi faydalanarak
=
-w
-
=
+
=0
=
+
=0
coswt =
coswt-w
-
+m
sinwt+
bunlar aslında korunur olduğunu gösterir. (c) Heisenberg görüntü, bir operatör hareket denklemi =
+
.
Böylece hareket denklemleri
sırasıyla
=0 , ve
SORU 2001
=0
Bir elektron üç boyutlu iyi sonsuz potansiyel sınırlıdır. x,y ve z eksenleri paralel kenarlarında her L uzunluğu ;
ifadeler kullanarak
=
a) Uygun bir Schrödinger denklemi yazılır.
coswt+
mwsinwt coswt+
b) Mümkün olan en düşük enerji durumuna tekabül eden zamandan bağımsız dalga fonksiyonu yazılır.
mwsinwt
c) Varsayalım ki için bazı verilen E çok daha az enerjiye sahip olan N sayısı için bir ifadesini verir. =
co wt-
si
wt
==-i
=
=0,
=i
genel denklemi, A ve B iki gözlenebilirler karşılayan
=i
Den
Sonra onların karekök sapmaları anlamına , Eş zamanlı olarak ölçülür zaman, belirsizlik ilkesi yerine getirmelidir.
Buradan Bu durumda ortaya çıkar. aynı anda ölçülmesi, ilişkidir.
olası üst limitlerinin arasındaki bir
=
=461MeV
SORU 2003
Eksenleri
olan bir koordinat sistemini göz önüne
alalım. Bir N doğal sayısı yarıçapı olan bir kürenin ilk çeyrek dairesinin hacmine eşitliğine gereklilik kısmı için sağlanmıştır. Buradan
Bir NaCl kristalinde, Negatif iyonu boş bir elektron bulunduğu, boyutları sabit örgü üzerindeki bir hacim içerisindeki serbestçe hareket eden bu elektronların davranışı kristalin oda sıcaklığındaki elektronlar tarafından güçlü bir şekilde absorbe edilen elektromanyetik ışınımın en uzun dalga boyunda için sayısal bir tahmini bulmak. Çözüm: Bir elektronun enerji düzeyleri iki tarafın ile kübik kutusunda tarafından verilmektedir. =( (
n, m ve k pozitif tamsayılara 'Kuark' (kütlesi =
=(
) kübik kutusunda uzunluğu 2 fermis = 2x
ile sınırlı durum için zemin t uyarma enerji Zemin durumuna MeV ilk uyarılmış hal uyarılma enerjisini bulun.
=
=112Ev
= =110
Çözüm:
SORU 2004
Küp şeklinde kutusunun enerji düzeyleri tarafından verilir. =
temel durum enerjinin
(
+
zemin durumuna
,
=1,2,3…..
göre enerjisi dolayısıyla
=
ilk
uyarılmış duruma = = .bu nedenle zemin uyarılmış hal ilk uyarılmış durumuna uyarılma enerji olan
Bir elektron yarıçapı R aşılmaz duvarları olan içi boş bir küresel boşluğunun içlerine kadar sınırlıdır.Elektronun duvarlarına uyguladığı basıncı, zemine durumda için bir ifade bulmak ÇÖZÜM: Zemin durumu için, l = 0 veR(x)= gibisonra X (r) verilir için r
radyal dalga fonksiyonu
X=0
l =0 taban durumu için böylece radyal dalga fonksiyonu önemsiz
için r
olduğundan V ( r ) =0 izin vermektedir. K 2 = 2mE h2 deyip denklemi Bu durum karşılayan çözümler =
sin
, (n=1,2,3,)
azaltırsak
X ′′ + K 2 x = 0 ile
= duvarlarda elektron radyal hareket ortalama F kuvveti tarafından verilen F=
=-
=
(
=
n=1 ve F=
X
r=a
=X
r =b
=0
V(a)=0 formu çözüm gerektirir.
X ( r ) = A sin K (r − a )
=
Sonra X(b)=0, K olası değerler olmak üzere P=
=
K = nπ Mustafa DEVELİOĞLU (Bölüm-2) 2005
n=1 de yani taban durumunda parçacığın enerjisi elde edilir.
E = h2K 2 2m = h2 π2 2m b (− a
)
2
normalize durumunda
m kütleli bir parçacığın r=a ve r=b’ de sınırlandırılmış geçirimsiz iki küre arasında başka bir potansiyel vardır.Taban durumunda enerjiyi ve normalize edilmiş dalga fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Parçacığın radyal dalga fonksiyonu R ( r ) = X ( r ) r olsun.Sonra X ( r ) denklemi
2m l ( l + 1) 2 E − V ( r ) − r2 h
( b − a) , ( n = 1, 2,3...)
b
b
∫ R ( r ) r dr = ∫ X ( r ) dr = 1 2
a
2
a
A = 2 ( b − a) olsun.Dolayısıyla taban durum için radyal dalga fonksiyonu normalize durumu
R ( r) =
X ( r) =0
2
2 1 π ( r − a) dir. sin b−a r b −a
ve normalize edilmiş dalga fonksiyonu
( a ≤ r ≤ b)
ψ ( r) =
1 4π
2 1 π ( r − a) dir. sin b−a r b −a
