UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNIČKI FAKULTET „MIHAJLO PUPIN“ ZRENJANIN
FINANSIJSKA MATEMATIKA
KREDIT - ZAJAM -seminarski rad-
Student: Perica Lukić Smer: Poslovna informatika
Zrenjanin, 2008.
UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNIČKI FAKULTET „MIHAJLO PUPIN“ ZRENJANIN
FINANSIJSKA MATEMATIKA
KREDIT - ZAJAM -seminarski rad-
Profesor mentor:
Student: Perica Lukić
Prof. Dr Bjelica Močilo
Smer: Poslovna informatika
Zrenjanin, 2008.
SADRŽAJ:
1. KREDIT – ZAJAM – AMORTIZACIJA ZAJMA.......................................4 1.1. KREDIT SA JEDNAKIM OTPLATAMA.......................................................................4 1.2. KREDIT SA JEDNAKIM ANUITETIMA.....................................................................8
2. UPOREĐIVANJE KREDITA SA JEDNAKIM OTPLATAMA I KREDITA SA JEDNAKIM ANUITETIMA...................................................12 Literatura:.........................................................................................................17 [1] Miodrag Ivović, Branislav Boričić, MATEMATIKA ZA EKONOMISTE, Bijeljina, 2004.......................................................................17 [2] Milošević V., Ivović M., Nenadović R., Simić K., MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA, zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1997.....................................................................................................................17
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
1. KREDIT – ZAJAM – AMORTIZACIJA ZAJMA Kreditni odnosi se uspostavljaju između dužnika i poverioca, a nastaju kada dužnik, pod određenim ugovornim uslovima, od poverioca uzme određenu sumu novca na zajam. Ovu sumu sa pripadajućom kamatom dužnik poveriocu vraća u ugovorenom roku kroz određeni broj rata. Uobičajeno je da se ugovara vraćanje kredita kroz određeni broj godišnjih ili mesečnih rata čije iznose nazivamo anuitetom. Anuiteti mogu ali ne moraju biti isti u svim otplatnim periodima. Kamata se najčešće otplaćuje zajedno sa glavnicom, ali može se ugovarati i drugačije vraćanje kredita. Ako se kamata vraća zajedno sa glavnicom, onda se svaki anuitet sastoji od dela otplate i date kamate. Vremenski interval jednog otplatnog perioda, pored godine i meseca, može biti i bilo koji vremenski interval. Vraćanje zajma-kredita, obično se naziva amortizacijom zajma, može se realizovati na više načina. Kredit se može amortizovati jednakim ili nejednakim anuitetima. Dogovorom između dužnika i poverioca određuje se ne samo broj već i vrsta anuiteta. Ako se kredit vraća pomoću nejednakih anuiteta, onda su oni najčešće rastući, odnosno opadajući po aritmetičkoj ili geometrijskoj progresiji. Anuiteti mogu biti opadajući i zbog, u njima, udela kamate koja se , iz anuiteta u anuitet, smanjuje zbog smanjenja ostatka duga i pored toga što je u svakom od njih otplata ista. U ovoj glavi prvo će biti obrađen kredit koji se realizuje jednakim otplatama, ali različitim anuitetima, kod kojeg se za sva izračunavanja koristi samo aparatura prostog interesa. Zatim, kredit sa jednakim anuitetima i na kraju krediti po kojima otplate obrazuju aritmetičku, odnosno geometrijsku progresiju.
1.1.KREDIT SA JEDNAKIM OTPLATAMA Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n nejednakih anuiteta u kojima su otplate jednake i sa godišnjom kamatnom stopom p, onda se kamata za ovu vrstu kredita izračunava tako što se, u prvom otplatnom periodu ona izračunava na ceo dug, u drugom na dug umanjen za jednu K , . . . u k-tom periodu izračunava na dug umanjen za (k – 1) otplatu i tako sve do otplatu, n vraćanja poslednjeg n-tog anuiteta. Za ovaj kredit iz same definicije kamate sledi tvrđenje Teorema 1. Pripadajući interes (kamata) k-tom anuitetu, u slučaju da su anuiteti godišnji, iznosi k −1 I k = K 1 − p, 1 ≤ k ≤ n, (1) n
Perica Lukić
4
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
a za slučaj da su anuiteti mesečni, iznosi k −1 p I k = K 1 − , 1 ≤ k ≤ n. (1´) n 12 Teorema 2. Ukupna kamata koju dužnik daje poveriocu sa vraćanjem celog duga, sa ngodišnjih anuiteta, iznosi Kp (n + 1) I= , (2) 2 a sa n-mesečnim anuitetima iznosi Kp (n + 1) I= . (2´) 24 Dokaz. Ukupna kamata je zbir svih pripadajućih kamata svakog od anuiteta, odnosno ukupna kamata je n 1 n k −1 I = ∑ K 1 + p = n + ∑ ( k − 1) . n n k =1 k =1 Kako je, na osnovu formule za zbir n prvih članova aritmetičke progresije n n (k − 1) = (n − 1) , to je ukupna kamata ∑ 2 k =1 1 n Kp (n + 1) I = Kp n + ⋅ (n − 1) = . n 2 2 p Ako su anuiteti mesečni, onda se za kamatnu stopu p uzima . 12 Primer. Izračunati ukupnu kamatu na kredit od 100 n.j. sa godišnjom kamatnom stopom od 8%, uzetog na pet: a) godišnjih, b) mesečna rata. Rešenje. a) Prema (2) ukupna kamata za 5 godina iznosi I=
100 ⋅ 0,08 ⋅ 6 = 24 n.j.. 2
b) Prema (2´) ukupna kamata za 5 godina iznosi 100 ⋅ 0,08 ⋅ 6 = 2 n.j.. 24 Anuiteti za ovaj kredit, izračunati ovim matematičkim modelom, nisu jednaki i oni se dobijaju sabiranjem kamate dobijene formulom (1), odnosno (1´), i otplate koja je za svaki k anuitet ista i iznosi . n Kod ove vrste kredita formule za izračunavanje anuiteta daje: I=
Teorema 3. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n-rata uz godišnju kamatnu stopu p, tada su iznosi anuiteta ak , k = 1,2, ..., n toga kredita sa n-godišnjih rata K k −1 a k = + Kp 1 − , 1 ≤ k ≤ n, (3) n n a sa n-mesečnih rata K Kp k − 1 ak = + 1 − , 1 ≤ k ≤ n. (3´) n 12 n Tačnost ove teoreme sledi direktno iz definicija anuiteta i kamate. Perica Lukić
5
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Teorema 4. Anuiteti ak , k =1,2, ..., n ove vrste kredita obrazuju opadajuui aritmetičku Kp progresiju razlike d = . n Dokaz. Kako je za svako k = 1,2, ..., n razlika dva uzastopna člana K Kp k K k −1 a k +1 − a k = + Kp 1 − − + Kp1 − . = − n n n n n Kp stalna veličina − , to članovi obrazuju aritmetičku progresiju. n k Vidimo da su kod anuiteta ove vrste kredita prvi sabirci uvek isti i da oni n predstavljaju otplate, a da se drugi sabirci smanjuju iz anuiteta u anuitet i da oni predstavljaju tom anuitetu odgovarajuću kamatu. Na ovakav način izračunati i napisati anuiteti daju jasan postupak načina razbijanja, razdvajanja, anuiteta na otplatu i kamatu. Iznos anuiteta, kamate i otplate za jedan kredit i njihovi međusobni odnosi najbolje se sagledavaju na konkretnom primeru, tj. na njegovom amortizacionom planu. Ako je izračunati anuitet u saglasnosti sa vrstom kredita, onda je u amortizacionom planu zbir svih kamata jednak ukupnoj kamati i zbir svih otplata jednak pozajmljenom kapitalu, kao i da je poslednje stanje duga jednako nuli. Ovo ćemo ilustrovati amortizacionim planom kredita od 100 n.j. uzetog na 5 godina (5 meseci) sa godišnjom kamatnom stopom od 8%. U tabeli 1. prikazan je plan kredita koji se realizuje za 5 godina, a u tabeli 1´ plan kredita koji se realizuje za 5 meseci. Tabela 1.
Perica Lukić
godina
otplata
kamata
anuitet
1 2 3 4 5 ∑
20 20 20 20 20 100
8,0 6,4 4,8 3,2 1,6 24,0
28,0 26,4 24,8 23,2 21,6 124
stanje duga 100 80 60 40 20 0
6
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Tabela 1´ godina
otplata
kamata
anuitet
1 2 3 4 5 ∑
20 20 20 20 20 100
0,67 0,53 0,40 0,27 0,13 2,00
20,67 20,53 20,40 20,27 20,13 102,00
stanje duga 100 80 60 40 20 0 0
U tabeli 1, a i tabeli 1´, u kolonama koje predstavljaju anuitete, otplatu i kamatu, očigledno je da su ispunjeni svi ranije pomenuti uslovi: zbir anuiteta jednak je dugu, zbir kamata jednak je ukupnoj kamati, zbir otplata jednak je pozajmljenom kpitalu, a i poslednje stanje duga jednako je nuli. Ovaj raspored ne samo da je u skladu sa definicijom otplate i kamate, već je ugrađen i u sam matematički model izračunavanja ovih veličina, pa su tako njime jednoznačno određeni i otplata i kamata. Sve druge metode koje bi anuitete ujednačavale ili ih još više izdeferencirali, ne bi bile u skladu sa ovim načinom izračunate kamate. Anuiteti mogu biti i jednaki i još više izdiferencirani ali se za takve anuitete kamata izračunava na sasvim drugi način. Sada ćemo ukazati na neke nelogičnosti koje nastaju kada se dužniku ukupni interes izračuna po formulama (1) ili (1´), a anuitet a mu se odredi uprosečenjem duga i ukupnog interesa po formuli K+I a= (4) , n gde je K kapital, I ukupni interes izračunat formulom (1) ili (1´), a n broj otplata. Ako bi dužnik vratio ceo kredit sa anuitetima izračunatim po formuli (4), onda bi njemu deo obaveze iz prvih otplatnih perioda bio pomeren za kasnije, što bi mu olakšalo vraćanje kredita, praktično dodatnim beskamatnim kreditiranjem. Ovaj način određivanja anuiteta ne bi trebao da odgovara kreditoru jer, prvo, dodatno beskamatno kreditira dužnika i drugo, on pravi poremećaje u odnosu na otplatu i kamatu na štetu otplate, što nije beznačajno. Problem ovakvog kredita sa ovakvim anuitetima je u tome što je u formuli za izračunavanje ukupne kamate poštovan jedan princip u stvaranju anuiteta, a u formuli (4) se koristi drugi princip za razbijanje anuiteta na kamatu i otplatu. Ovaj problem zaslužuje veću pažnju s obzirom da se ovaj način izračunavanja anuiteta nalazi u skoro svim udžbenicima u kojima se obrađuje ova materija, što znači da ga, verovatno, i banka koristi. O kakvim se problemima radi najbolje se može ilustrovati na ranijem primeru kredita, formiranju tabele 2. Ako bi se anuiteti izračunali po problematičnoj formuli (4) onda su oni prikazani u 7. koloni i oni su svi jednaki 24,80 n.j., a ako se oni izračunavaju po formuli (3) onda oni treba redom da iznose 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; ....,21,60 dunara i prikazani su u 4. koloni. Odavde vidimo da je dužniku ovim načinom izračunavanja anuiteta, u prvoj rati odloženo vraćenje duga, od 3,2 n.j., u drugoj 1,6 n.j., za kasnije periode, što je ustvari dodatno beskamatno kreditiranje. Kako je ovo bio primer kredita od 100 n.j. to su iznosi odlaganja duga od 3,2; i 1,6 n.j. istovremeno i iznosi u procentima odloženog duga, što nikako nije zanemarljivo.
Perica Lukić
7
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Tabela 2. g. 1
kam. 2
otp. 3
an. 4
kam. 5
otp. 6
an. 7
1 2 3 4 5 ∑
8,0 6,4 4,8 3,2 1,6 24
20 20 20 20 20 100
28,0 26,4 24,8 23,2 21,6 124
8,00 6,66 5,20 3,64 1,94 25,44
16,80 18,14 19,60 21,16 22,86 98,56
24,8 24,8 24,8 24,8 24,8 124
s.d. 8 100 83,20 65,06 45,46 24,30 1,44 0
Ovde postoji još jedan važan problem koji se lepo vidi iz prethodnog amortizacionog plana. Kod ovoga kredita ukupna kamata je 24 n.j., a sa metodologijom uprosečenja pomoću formule (4) od ukupno vraćenog duga za kamatu se izdvaja 25,44 n.j., znači 1,44 n.j. više, dok se za sve otplate izdvaja 98,56 n.j. što je za 1,44 n.j. manje. Znači ovde je 1,44 n.j. iz otplate prešlo u kamatu! Ovo je očigledan nesklad sa definicijom pomenutog kredita.
1.2.
KREDIT SA JEDNAKIM ANUITETIMA
Amortizacija kredita (zajam) metodom jednakih anuiteta je način da dužnik poveriocu vrati dug (pozajmljeni iznos) kroz dogovoreni broj jednakih anuiteta. Prvi problem koji se ovde javlja je kako izračunati taj anuitet kojim će se amortizovati (vratiti) zajam zajedno sa pripadajućom kamatom kroz ugovoreni broj otplatnih perioda. Ako se radi o kreditu sa jednakim anuitetima onda važi: Teorema 5. Ako se realizuje kredit od K n.j. sa godišnjom stopom p i sa n-godišnjih i jednakih anuiteta, onda se anuitet izračunava po formuli n Kp (1 + p ) a= (5) , (1 + p ) n − 1 ili Kp a= (5´) −n . 1 − (1 + p ) Dokaz. Ako označimo sa a anuitet koji realizuje vraćanje glavnice K zajedno sa kamatom kroz n istih iznosa, onda je stanje duga Sk , k= 1,2, ...., n iz perioda u period jednako S1 = K (1 + p ) − a, S 2 = S1 (1 + p ) − a, (6) S n −1= S n −2 (1 + p ) = −a, S n = S n −1 (1 + p) − a = 0. Kako se amortizacija kredita završava sa poslednjim n-tim anuitetom, to je stanje duga posle vraćanja poslednjeg anuiteta S n = 0 . Perica Lukić
8
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Ako se u sistemu jednačina (6) veličine S1,S2,...,Sn-1, eliminišu, tj. vrednost S1 iz prve jednačine zameni u drugoj, zatim iz izmenjene druge vrednosti S2 zameni u trećoj i tako redom do pretposlednje iz koje se vrednosti Sn-1 zamenjuje u poslednjoj jednačini. Na ovaj način se dobija jednakost ( ( ( K (1 + p) − a) (1 + p) − a ) ) (1 + p) − a = 0, u kojoj figurišu samo veličine K, p, i a. Ova jednakost posle sređivanja, dobija oblik K (1 + p) n − a (1 + p ) n −1 − a (1 + p) n − 2 − − a (1 + p ) − a = 0, onosno (7)
(
)
K (1 + p) n = a (1 + p) n −1 + (1 + p ) n − 2 + + (1 + p ) + 1 .
Izraz u zagradi kod ove jednačine predstavlja geometrijsku progresiju, čiji je zbir (1 + p )
n −1
+ (1 + p )
n−2
(1 + p ) n − 1 + + (1 + p ) + 1 = , p
što, zamenjeno u (7), daje K (1 + p) n = a
(1 + p ) n − 1 , p
odakle je Kp (1 + p) n , (1 + p) n − 1 Što predstavlja dokaz formule (5). Ako se u formuli (5) i brojilac i imenilac podele sa (1+p)n, dobija se formula (5´). Znači ako se kredit realizuje sa n-jednakih godišnjih anuiteta, sa anuitetima koji se računaju po formulama (5) ili (5´), onda se isplatom svih n-anuiteta poveriocu obezbeđuje vraćanje celog duga zajedno sa pripadajućom kamatom. Ovo je moguće jer se u sastavu anuiteta nalazi kamata plus otplata. Formula (5´) je pogodnija za kompjutersko računanje. Ako se u k-tom anuitetu označi otplata sa bk,, a kamata sa ik, tada se anuitet može napisati u obliku a=
a = bk + i k ,
(8)
k = 1,2, , n.
Kako je svaka vrsta kredita jednoznačno definisana načinom izračunavanja njegovih anuiteta, na osnovu veličina: kapitala K, interesne stope p, broja rata n sa kojima se kredit realizuje, to je sada za izradu amortizacionog plana kredita potrebno još izračunati odgovarajuće veličine: kamate, otplate i stanja duga svakom od n anuiteta. Kod kredita jednakih anuiteta, izračunatim po formuli (5) ili (5´), za veličine K, p, i n važe sledeće teoreme, koje dajemo bez dokaza. Teorema 6. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n jednakih anuiteta i sa kamatnom stopom p, tada je otplata bk (k = 1,2, , n) jednaka (9) Perica Lukić
bk =
Kp (1 + p ) k −1 , (1 + p ) n − 1
k = 1, 2, , n, 9
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
a u funkciji anuiteta a ona je (9´)
bk = a (1 + p) k − n −1 ,
k = 1, 2, , n.
Teorema 7. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n jednakih anuiteta, interesnom stopom p, tada je interes koji odgovara k-tom anuitetu ik k = 1, 2, , n jednak (11)
i k = Kp
(1 + p ) n − (1 + p) k −1 , (1 + p ) n − 1
k = 1, 2, , n,
a u funkciji anuiteta je (11´)
i k = a (1 − (1 + p) k − n −1 ),
k = 1, 2, , n.
Teorema 8. Ako se kredit od K n.j. realizuje sa n-godišnjih i jednakih anuiteta sa godišnjom kamatnom stopom p, onda vraćeni dug sa k-tim anuitetom JSk iznosi (12)
J Sk = K
(1 + p) k − 1 , (1 + p ) n − 1
k = 1, 2, , n,
(1 + p ) k − 1 , p (1 + p) n
k = 1, 2, , n.
a u funkciji anuiteta je (12´)
J Sk = a
Specijalno ako se želi iznos stanja duga Sk onda on iznosi: (1 + p ) n − (1 + p ) k , (13) (1 + p ) n − 1 a u funkciji anuiteta iznosi Sk = K
(13´)
(
k = 1, 2, , n,
)
S k = a 1 − (1 + p) k − n .
Primer. Napraviti amortizacioni olan, kredita jednakih anuiteta os 100 n.j., uzetog na 5 godišnjih rata i godišnjom kamatom od 8%. Rešenje. Prema (5´) anuitet je 100 ⋅ 0,08 = 25,0456 n. j. 1 − 1,08 −5 Ako se sada sa formulama (9´), (11´), i (12´) izračunavaju sve kamate, otplate, kao i redom sva stanja duga, može se formirati amortizacioni plan koji prikazujemo na tabeli 3. u kojoj se vidi sve karakteristike ovog kredita. a=
Perica Lukić
10
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Tabela 3. godina 1 2 3 4 5 ∑
Perica Lukić
stanje duga 100,00 82,9543 64,5450 44,6030 23,1904 0
kamata
otplata
anuitet
8,0000 6,6363 5,1635 3,5730 1,8552 25,228
17,0457 18,4093 19,8820 21,4726 23,1904 100,00
25,0456 25,0456 25,0456 25,0456 25,0456 125,228
11
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
2. UPOREĐIVANJE KREDITA SA JEDNAKIM OTPLATAMA I KREDITA SA JEDNAKIM ANUITETIMA Faktori koji direktno, a i najznačajnije, utiču na povoljnost jednog kredita su visina kamatne stope, način i vremenski raspored otplata, kao i metoda po kojima su anuiteti izračunati. Ovi faktori su najznačajniji u neinflacionim uslovima. U inflacionim uslovima oni mogu postati čak i nevažni. Sada ćemo, za neinflacione uslove, uporediti kredit jednakih otplata i kredit sa jednakim anuitetima. Ako sa n označimo broj godišnjih rata kredita od K n.j., sa godišnjom kamatnom stopom p, onda se za kredit jednakih otplata anuiteta računaju po formuli (3), a za kredit jednakih anuiteta po formuli (5´). K U formuli (3) prvi sabirak predstavlja otplatu koja je jednaka u svim anuitetima, a n k −1 ), (1 ≤ k ≤ n) čini kamatu pripadajuću k-tom anuitetu i ona se iz drugi sabirak Kp (1 − n anuiteta u anuitet smanjuje. Ukupni iznos kamate kod ove vrste kredita izračunava se po formuli (2). Kod kredita sa jednakim anuitetima ukupna kamata I se dobija oduzimanjem glavnice K od ukupno vraćenog duga na, tj. ona je (14)
I = na − K
Najznačajniji problemi kod ove dve vrste kredita su: 1) problemi koji se odnose na razlaganje duga na anuitete i 2) problemi koji se odnose na iznos kamate u anuitetima. Što se tiče problema 1), važi sledeće: Kod kredita sa jednakim otplatama anuiteti nisu jednaki, prvi je najveći, a sledeći se smanjuju zbog sve manjeg učešća kamate, dok su kod kredita sa jednakim anuitetima svi anuiteti jednali. Na ranije posmatranom kreditu, čiji su amortizacioni planovi prikazani tabelama 1. i 4., imali smo redom anuitete: 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; i 21,60 n.j. za kredit sa jednakim otplatama, a 25,0456 n.j. za kredit sa jednakim anuitetima. Logično su korisniku kredita povoljniji anuiteti od 25,0456 n.j. nego da mu budu redom: 28,00; 26,40; 24,80; 23,20; i 21,60 n.j., iz prostog razloga što ga rasterećuje u prvim otplatnim periodima, u kojima se kredit po pravilu i najteže podnosi. Što se tiče problema 2), važi sledeće: Pri istim veličinama p, n i K, formule (3) i (5) mogu davati velike razlike iznosa kamate i anuiteta. Ove razlike se povećavaju sa povećanjem kamatne stope i nastaju zbog toga što je formula (5) jedno uprosečenje (aproksimacija) formule (3). U principu aproksimativne formule mogu dovoljno dobro zamenjivati datu formulu i davati iznose sa unapred željenom tačnošću, pod uslovom da se one koriste samo u planiranim intervalima promenljive p. Formule (5) i (3) jedna drugu dobro aproksimiraju samo za male vrednosti kamatne stope p. U protivnom one daju potpuno neprihvatljive iznose, što se u inflacionim uslovima po pravilu i dešava.
Perica Lukić
12
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Kako smo već videli, ukupna kamata za kredit od K n.j. koji se realizuje sa n-rata i dekurzivnom kamatnom stopom p: a) u slučaju kredita jednakih otplata iznosi I=
(15)
K (n + 1) p , 2
što izraženo u procentima iznosi (15´)
I = 100
(n + 1) p %. 2
b) u slučaju kredita jednakih anuiteta iznosi (16)
pn I = K − 1 , −n 1 − (1 + p)
Što u procentima iznosi (16´)
pn I = 100 − 1% . −n 1 − (1 + p )
Ako se želi potpunija uporedna analiza iznosa kamate koju daju ove dve vrste kredita, onda se to najbolje može iznvest konstrukcijom grafika funkcije (15) i (16), pri fiksiranom K i n, u funkciji kamatne stop p, za koju se, zbog prirode problema, pretpostavlja da je p ≤ 0. Preglednost radi grafike ovih funkcija daćemo na istoj slici 1. Slika 1.
Perica Lukić
13
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Grafik funkcije (15) je prava linija koja prolazi kroz koordinatni početak i ima K (n + 1) koeficijent pravca , dok funkcija (16) nije linearna funkcija i složenija je od (15). 2 Ona na krajevima posmatrane oblasti ima sledeća svojstva: Kp lim K − 1 = ∞, i − n p →∞ 1 − (1 + p ) np = 0. lim K − n p →0 1 − (1 + p ) Ova funkcija je rastuća, ima kosu asimptotu pravu I=Knp – K, a izvod joj teži ka K (n + 1) kada p → 0 . Zatim, kako su ove funkcije jednake za p = 0 , to je prava (15) 2 tangenta funkcije (16) u tački p = 0 i predstavlja u toj tački njen Maklorenov razvoj. Iznosi kamata dobijene sa (16) teže dvostrukim iznosima kamate dobijene po formuli (15) kada p → ∞ , jer je np K − 1 −n 1 − (1 + p ) = 2. lim p →∞ K (n + 1) p 2 Sa slike 1. jasno se vidi da se povećanjem kamatne stope p povećavaju razlike između vrednosti ovih dveju funkcija, kao i da se ova razlika smanjuje smanjenjem kamatnih stopa i da teži nuli kada stopa p teži nuli. Razlike u iznosu kamate povlače u visini ukupno vraćenog duga. Ako se ovo ilustruje na kreditu od 100 n.j., uzetog na deset rata, uz kamatnu stopu od 8 %, onda dužnik vraćanjem svih anuiteta, metodom jednakih anuiteta vraća ukupno 149,03 n.j., a metodom jednikim otplatama vraća ukupno 144 n.j.. znači, metoda jednakih otplata na svakih 100 n.j., dužnika opterećuje za 5,03 n.j. manje, što u procentima iznosi 5,03%. Da je kamatna stopa bila veća od 8% i ova bi razlika bila veća. Za kamatne stope veće od 41,5% ova bi razlika premašila i samu glavnicu. Sve ovo postaje očiglednije ako se ilistruje na primeru kredita od K n.j., uzetog na deset godišnjih anuiteta, za koji ćemo formirati tabelu 4, u kojoj će u procentima biti iskazani, u odnosu na dug K, iznosi ukupne kamate u zavisnosti od kamatne stope p i to u koloni 2 iznosi za kredit sa jednakim anuitetima, a u koloni 3 za kredit sa jednakim otplatama.
Perica Lukić
14
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Tabela 4. God.kam. stopa p% 1 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 20% 30% 40% 50% 80% 100%
kamata jed.anuit. 2 5,58% 11,33% 17,23% 23,29% 29,50% 35,87% 42,38% 49,03% 55,82% 62,75% 76,98% 99,25% 138,52% 223,46% 314,32% 408,82% 702,25% 900,98%
kamata jed.otpl. 3 5,5% 11,00% 16,50% 22,00% 27,50% 33,00% 38,50% 44,00% 49,50% 55,00% 66,00% 82,50% 110,00% 165,00% 220,00% 275,00% 440,00% 550,00%
Δ% 4 0,08% 0,33% 0,73% 1,29% 2,00% 2,87% 3,88% 5,03% 6,32% 7,75% 10,98% 16,75% 28,52% 58,46% 94,32% 133,82% 262,25% 350,98%
Tabela 4. na očigledan način pokazuje koloko se metoda jednakih anuiteta od dužnika uzima više na ime kamate nego po metodi izračunavanja anuiteta jednakih otplata. Ova razlika se drastično povećava povećanjem kamatne stope p tako da ona, na primer, pri kamatnoj stopi od 2% iznosi 0,33%, pri stopi od 5% iznosi 2%, pri 10% ona iznosi 7,75% itd., a pri većim kamatnim stopama ova razlika dostiže i neverovatne iznose. Tako bi pri stopi od 30% ona iznosila 58,46%, pri stopi od 50% ona iznosila 133,82%, pri stopi od 80% ona bi bila 262,25%, a pri stopi od 100% bila bi čak 350,98%. Za veće kamatne stope ove bi razlike bile i veće. Neverovatna je činjenica da bi, na primer, pri kamatnoj stopi od 80% dužnik, po metodi jednakih anuiteta, na svakih 100 n.j. duga vratio ukupno 702,25 n.j., a po metodi anuiteta jednakih otplata ukupno vratio 440 n.j., što je za 262,25 n.j. manje. Ova razlika metodi jednakih anuiteta daje 262,25% veću kamatu nego što daje metodi jednakih otplata. Činjenica je da u neinflacionim uslovima kamatne stope ne dostižu tako visoke iznose kao tšo su 80%. One te iznose, a i više, dostižu u inflacionim uslovima, u šta se ovde nećemo upuštati. Međutim, ova razlika nije zanemarljivani pri nižim kamatnim stopama koje nisu retkost i u neinflacionim uslovima. Tako su, na primer, pri stopama od 8%, 10% i 12% ove razlike 5,03%, 7,75% i 10,98%, što se nikako ne može smatrati zanemarljivim. Ako se sada posmatraju iznosi kamate po anuitetima unutar istog kredita, onda se može zaključiti da u prvim anuitetima veću kamatu ima kredit sa jednakim otplatama u odnosu na kredit sa jednakim anuitetima, što za dužnika, takođe, ne može biti povoljno. Ovo postaje jasnije ako se ponovo ilustruje na primeru kredita od 100 n.j. kojie se realizuje u 5 rata sa dekurzivnom kamatnom stopom od 8% i to prikažemo pomoću tabele 6. u kojoj će poslednja kolona davati razlike anuiteta kredita a jednakim anuitetima i kredita sa jednakim otplatama, a ćiji će iznosi biti upravo razlike ove dve vrste kredita.
Perica Lukić
15
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Tabela 5. godina 1 2 3 4 5 ∑
jednaki anuit. 25,0456 25,0456 25,0456 25,0456 25,0456 125,228
jednake otp. 28,00 26,40 24,80 23,20 21,60 124,00
Δ% - 2,9544 - 1,3544 0,2456 1,8456 3,4456 1,228
Iz tabele 5. se može zaključiti da metod jednakih otplata u prve dve rate ima veće kamate od metode jednakih anuiteta i pored toga što je kod ove metode ukupna kamata manja. Ovo znači da je kredit sa jednakim otplatama u prvim otplatnim periodima po dužnika nepovoljniji, s obzirom, da se, prirodno, u prvim otplatnim periodima kredit teže otplaćuje. Ovo može uticati i na ukupnu povoljnost nekog kredita, bez obzira što je dužniku u zadnjim otplatnim periodima kamata manja. Ova činjenica je itekako značajna u slučajevima, da je u periodu realizacije kredita bila, pa i ne previše velika, inflacija.
Perica Lukić
16
Seminarski rad
KREDIT - ZAJAM
Literatura: [1] Miodrag Ivović, Branislav Boričić, MATEMATIKA ZA EKONOMISTE, Bijeljina, 2004 [2] Milošević V., Ivović M., Nenadović R., Simić K., MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA, zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1997.
Perica Lukić
17
