KONSEP DASAR PROBABILITAS Tugas Besar Statistika
Disusun Oleh: Kelompok 3 BELLA YOHANA: 1605171049 EITER PASARIBU: 1605171037 IRVAN MARBUN: 1605171019 MASRY TARIGAN: 1605171073 NINA ANNISA: 1605171012 SITI SENDARI:
KELAS MATA KULIAH DOSEN
1605171030
: : :
MB-3A Statistika M. Khahfi Zuhanda
PRODI MANAJEMEN BISNIS JURUSAN ADMINISTRASI NIAGA POLITEKNIK NEGERI MEDAN 2018
Bab
3
Konsep Dasar Probabilitas
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah Swt karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan Tugas Besar Statistika tentang “PROBABILITAS” ini dengan baik dan tepat waktu meskipun masih banyak kekurangan didalamnya. Dan kami juga berterima kasih pada Bapak M. Khahfi Zuhanda selaku Dosen mata kuliah Statistika Politeknik Negeri Medan yang telah memberikan tugas ini kepada kami serta telah membimbing kami dengan sangat baik selama mengerjakan tugas besar i ni.
Kami sangat berharap Tugas Besar ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai materi Probabilitas dalam Statistika serta cara pengerjaan soal-soalnya. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam Tugas Besar ini masi banyak terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab it u, kami berharap adanya kritik dan saran demi perbaikan Tugas Besar ini di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.
Semoga Tugas Besar yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kat a yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun dari Anda demi perbaikan makalah ini di waktu yang yang akan datang.
Medan, 22 Januari 2018
Penyusun
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.......................................................................................................
i
KATA PENGANTAR.....................................................................................................
ii
DAFTAR ISI....................................................................................................................
iii
BAB I PENDAHULUAN............................................................................................
1
1.1 Latar Belakang................................................................................................
1
1.2 Tujuan Pembelajaran......................................................................................
2
1.3 Pokok Bahasan...............................................................................................
2
BAB II PEMBAHASAN..............................................................................................
3
2.1 Konsep dan Definisi dasar dari Probabilitas..................................................
3
2.1.1 Definisi Probabilitas............................................................................
7
2.1.2 Pendekatan Perhitungan Probabilitas..................................................
8
2.2 Probabilitas Peristiwa Majemuk....................................................................
13
2.2.1 Definisi Probabilitas Peristiwa Majemuk............................................
13
2.2.2 Probabilitas Bersyarat.........................................................................
13
2.2.3 Hukum-Hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk................................
15
2.2.4 Teorema Bayes...................................................................................
23
2.3 Teknik Enumerasi / Pencacahan...................................................................
25
2.3.1 Faktorial..............................................................................................
25
2.3.1 Permutasi.............................................................................................
25
2.3.2 Kombinasi............................................................................................
27
BAB III PENUTUP......................................................................................................
28
3.1 Kesimpulan.....................................................................................................
28
3.2 Saran...............................................................................................................
28
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................
29
BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang Sampai saat ini statistika merupakan alat dan juga metode analisis yang dipakai untuk mengevaluasi data yang pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan berdasarkan sampel yang ada. Dari semua alat analisa, konsep probabilitas merupakan salah satu alat analisis yang mempunyai peran sangat penting untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari mulai dari bidang ilmiah sampai pada masalah-masalah kecil, seperti masuk kantor atau tidak, karena awan tebal kemungkinan akan hujan deras dan banjir, dan sebagainya. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P. Probabilitas sering diterjemahkan sebagai peluang atau kebolehkejadian, yaitu peristiwa yang didefinisikan sebagai peluang proses terjadinya sesuatu, baik disengaja (eksperimentasi) atau tidak. Pada praktikum ini, akan dipelajari mengenai probabilitas yang menyatakan suatu nilai kejadian yang dapat terjadi lagi. Konsep probabilitas ialah suatu bagian ilmu dari statistika yang dapat meramalkan kejadian yang dapat terjadi lagi di masa mendatang , peluang ini hanya memuat nilai antara 0 sampai dengan 1. Dalam pembuatan modul konsep dasar probabilitas ini akan dijelaskan beberapa hal tentang peluang dan bagaimana mencari nilai peluang, diantaranya peluang irisan dua kejadian, peluang paduan dua kejadian, peluang bersyarat dan menerapkan konsep kaidah bayes serta menganalisa sampai dengan menarik kesimpulan dari hasil nilai peluang yang telah didapat.
Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, pembaca diharapkan mampu:
Mendefinisikan terminologi-terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan
Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat, bebas, dan mutually exclusive
Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam melakukan perhitungan probabilitas
Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks: permutasi dan kombinasi
Pokok Bahasan: 3.1 Konsep dan Definisi Dasar 3.2 Probabilitas Peristiwa Majemuk 3.3 Teknik Enumerasi (Pencacahan)
BAB II PEMBAHASAN
3.1
Konsep dan Definisi Dasar
3.1.1 Definisi Probabilitas Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara lengkap, probabilitas didefenisikan sebagai berikut: “Probability” is a measure of a likelihood of the occurance of random event. ( Mendenhall dan Reinmuth , 1982 ). Artinya: “Probabilitas” ialah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas yaitu, Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak). Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 (1 P 0).
Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kunci yang harus diketahui yaitu: eksperimen, hasil (outcome), dan kejadian atau peristiwa (event). Sebagai contoh, sebuah eksperimen pelemparan sebuah koin. Hasil (outcome) dari pelemparan sebuah koin tersebut adalah “MUKA” atau “BELAKANG”. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (event). Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan decimal (seperti 0,50, 0,25, atau 0,70), atau bilangan pecahan (seperti
, , atau ).
Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya, semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi. Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P( A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P( A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu berisi enam digulirkan adalah:
1
3.1.2
Pendekatan Perhitungan Probabilitas Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu : (1). Pendekatan Klasik (2). Pendekatan Frekuensi Relatif (3). Pendekatan Subjektif
3.1.2.1 Pendekatan Klasik Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama. Rumus:
P(A) =
P( ) = 1 P(A)
–
Keterangan:
x = Frekuensi terjadinya Kejadian A n = Ukuran Sampel (jumlah observasi) = Komplemen A
Contoh 3.1
Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 25 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak, berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut rusak? Penyelesaian Dari soal, n = 100 dan x = 25. Dengan demikian,
P(A) =
=
= 0,25 atau 25%
Jadi, besarnya probabilitas (kemungkinan) untuk memperoleh barang rusak adalah 25%.
Contoh 3.2
Seorang Direktur Bank mengatakan bahwa dari 1000 nasabahnya terdapat 150 orang yang tidak puas dengan mutu pelayanan bank. Pada suatu hari kita bertemu dengan salah seorang nasabah. Berapa probabilitasnya bahwa nasabah tersebut tidak puas? Penyelesaian:
Dari soal diketahui bahwa n = 1000 dan x = 150. Ji ka A adalah nasabah yang tidak puas, maka:
P(A) =
.
= 0,15 atau 15%
Jadi, probabilitasnya bahwa kita bertemu dengan nasabah yang tidak puas adalah 15%.
3.1.2.2
Pendekatan Frekuensi Relatif
Perhitungan probabilitas dengan pendekatan frekuensi relatif ditentukan melalui percobaan. Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, kalau nilai n semakin besar mendekati tak hingga maka nilai k/n cenderung konstan mendekati nilai tertentu. Nilai tertentu inilah peluang kejadian A. Rumus:
P(A) =
lim →∞
Keterangan:
P(A) = Probabilitas Peristiwa A
k
= Frekuensi Peristiwa A
n
= Banyaknya Peristiwa Terjadi
Contoh 3.3
Sebuah studi dilakukan terhadap 750 lulusan sekolah administrasi bisnis dari suatu universitas (dalam hal ini, studi tersebut dapat dikatakan sebagai eksperimen). Studi ini menunjukkan bahwa 300 dari 750 lulusan tidak bekerja sesuai dengan bidang studi utama yang diambil di universitas tersebut. Misalnya, seorang mahasiswa akuntansi bekerja sebagai manajer pemasaran. Berapa probabilitasnya bahwa seorang lulusan administrasi bisnis akan bekerja di bidang yang bukan merupakan studi utamanya? Penyelesaian:
Berdasarkan rumus di atas, maka dapat dihitung probabilitas suatu kejadian: P(A) =
= 0,4
Contoh 3.4
Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, sala h satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji/upah bulanan, yang digambarkan sebagai berikut. TABEL 1 Tingkat Upah Bulanan Karyawan satu Perusahaan PT Cahaya Kusuma 0 1 2 3 4 55 65 75 85 X 8 10 16 14 F X = upah bulanan dalam ribuan rupiah.
5 95 10
6 105 5
7 115 2
Apabila kita kebetulan bertemu dengan salah seorang karyawan tersebut, berapakah besarnya probabilitas bahwa upahnya 65 ribu rupiah? 105 ribu rupiah? Penyelesaian:
Dari soal, diketahui bahwa: P(X = 65)
=
=
= 0,15 atau 15%
P(X = 105)
=
=
= 0,048 atau 5%
3.1.2.3
Pendekatan Subjektif (Intuitif) Probabilitas subjektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengamalan/pengamatan masa lalu sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif. Hal ini biasanya terjadi dalam bentuk opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas.
Contoh 3.5
Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapat dipercaya. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.
3.2 3.2.1
Probabilitas Peristiwa Ma emuk Definisi Definisi probabilitas yang dibahas pada bagian terdahulu merupakan definisi untuk peristiwa sederhana (simple event). Peristiwa majemuk (compound event ) adalah peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana (simple event).
3.2.2
Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersyarat (conditional probability) adalah probabilitas dari sebuah peristiwa yang akan terjadi jika sebuah peristiwa lainnya telah terjadi. Dari Gambar 3.2, dapat dimengerti bahwa dengan diketahui terlebih dahulu berlangsungnya peristiwa B, maka terjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampel yang perlu dipertimbangkan untuk menentukan probabilitas peristiwa A.
A
B
B
A∩B
Probabilitas bersyarat peristiwa A akan terjadi jika peristiwa B telah terjadi didefinisikan sebagai berikut:
P(A|B) =
∩
P(B) > 0
Contoh 3.6
Sebuah perusahaan pembuat personal computer melengkapi produk terbarunya dengan program-program siap pakai. Jika dihitung dari jumlah seluruh produk terbaru itu, 60% dilengkapi dengan program word processor, 40% dilengkapi dengan program spreadsheet, dan 30% dilengkapi dengan kedua program siap pakai tersebut, Misalkan {seseorang membeli computer yang dilengkapi dengan program word processor} dan B = {computer yang dilengkapi dengan program spread sheet}. Maka P(A) = 0,6 dan P(B) = 0,4 dan = 0,3. Jika computer yang dibeli oleh orang tersebut telah dilengkapi dengan program spread sheet, maka probabilitas computer itu juga dilengkapi dengan program word processor adalah probabilitas bersyarat P(A|B) :
∩
P(A|B) =
∩ = , = 0,75 ,
Dengan kata lain, dari seluruh computer yang dilengkapi dengan program spread sheet, 75%-nya dilengkapi pula dengan program word processor. Hal ini dapat ditunjukkan dengan diagram venn berikut:
A
B
∩ 0,3
0,3
0,1
0,3
0,1
3.2.3 Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk Berikut akan dijelaskan (tanpa pembuktian) dua hukum dasar probabilitas yang berguna dalam menangani peristiwa majemuk. Hukum-hukum ini berlaku pada banyak situasi praktis bidang perancangan teknik (engineering design).
3.2.3.1.
Hukum Perkalian ( Multiplication Law )
Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian bebas (independent event) dan kejadian tidak bebas (dependent even). A.
Peristiwa Saling Bebas (Independent Event)
Hukum perkalian menyatakan bahwa jika A, B, C, … adalah peristiwa -peristiwa yang saling bebas (independent event), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi, atau disebut pula probabilitas gabungan (joint probability) adalah produk (perkalian) dari probabilitas masing-masing peristiwa.
∩ ∩ … ,
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling memengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas apabila kejadian A tidak memengaruhi B atau sebaliknya. Menurut defenisinya, jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) =P(A) dan P(B/A) = P(B).
∩ Kenyataannya, kejadian-kejadian saling bebas jarang terjadi karena, pada dasarnya, antara kejadian satu dengan lainnya saling memengaruhi baik secara langsung maupun tidak. Sebagai contoh, kejadian pasang-surut Pantai Kuta dan harga motor Honda di Bali, banyaknya peristiwa pemboman yang terjadi di Jerman dengan banyaknya jumlah korban banjir di Jakarta, banyaknya curah hujan di Kalimantan dengan naiknya produksi padi di Sumatera. Pembicaraan mengenai kejadian-kejadian bebas sebetulnya kurang memiliki arti praktis. Notasi matematis umumnya adalah:
⋂ 1 ∩ 2 ∩ … ∩ 1 ∩ ∏ 1 Dalam aplikasi di bidang teknik, hukum perkalian ini memberikan dasar matematis untuk konsep intuitif dalam meningkatkan reliabilitas desain melalui penggunaan desain lebih. Desain lebih biasanya dipakai pada satu atau lebih alat (devices) cadangan yang memungkinkan operasi system terus berjalan ketika terjadi kegagalan pada sebuah alat.
Contoh 3.7
Satu mata uang logam Rp50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung (B), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung (B), berapakah ?
1∩2
Penyelesaian:
Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak memengaruhi pelemparan kedua dan
2 , maka 1 ∩ 2 ∙ .
P(A1) = P(B) =
Contoh 3.8
Kita mengambil dua lembar kartu berturut-turut secara acak dari satu set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil pengambilan pertama dikembalikan lagi sehingga hasil pengambilan pertama tidak memengaruhi hasil pengambilan kedua. Kalau A1 = kartu As wajik (diamond) dan A2 = kartu As hati (heart), berapa ?
1∩2
Penyelesaian:
Dari soal dikatakan bahwa
1 , 2 , maka 1 ∩ 2 1 2 ∙ 0,0059 =
S=N
∩
Gambar Diagram Venn
∩
S = N titik sampel ( sample points)
A terdiri dari a titik sampel (merupakan subset)
B terdiri dari b titik sampel (subset)
∩ terdiri dari c titik sampel (titik-titik sampel yang selain menjadi anggota A
juga anggota B), yaitu daerah yang diarsir.
Contoh 3.8
Jika P(A) = 0,7 dan P(B) = 0,6 serta A dan B independen, hitunglah
∩ !
Penyelesaian:
∩ ∙ = 0,42
Contoh 3.9
0,3, 0,4,dan ∩ 0,20, buktikan apakah A dan B
Jika independen (bebas)? Penyelesaian:
Jika A dan B bebas maka
∙ ∩ = 0,12
∩ 0,20 ∙ ≠ ∩ ,sehingga dan tidak bebas.
Bila maka B.
Peristiwa Tidak Saling Bebas (Dependent events)
Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah tejadi atau akan tejadi disebut probabilitas bersyarat (condotional probability), atau biasa ditulis P(A/B). Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas (S atau N) sama dengan 10.000 orang. Himpunan A mewakili 2.000 mahasiswa lama (a). Himpunan B mewakili 3.500 mahasiswa putri (b). Sedangkan 800 dari 3.500 mahasiswa putri merupakan mahasiswa lama (c). A dan B masing-masing merupakan himpunan bagian dari S.
Kita memilih satu orang mahasiswa secara acak/random, dengan kejadian bersyarat (A/B) adalah kejadian yang mewakili mahasiswa lama dengan syarat bahwa mereka putri. P(A/B) = probabilitas bersyarat untuk menjawab pertanyaan. Pada umumnya probabilitas dirumuskan sebagai berikut:
∩ ∩ (b) P(B|A) = (a) P(A|B) =
Dengan demikian:
∩ B/A) = P(B)P(AB)
Contoh 4.0
Jumlah pelamar untuk menjadi dosen pada Jurusan Administrasi Niaga Politeknik Negeri Medan ada 100 orang. Masing-masing pelamar mempunyai kesempatan yang sama untuk diterima, yaitu memiliki probabilitas sebesar 0,01. Para pelamar ada yang bergelar Doktor dan ada yang tidak, ada yang menikah dan ada yang belum, ada lakilaki dan perempuan. Berdasarkan data yang masuk ke bagian Sekretariat Jurusan Administrasi Niaga, diperoleh rincian sebagai berikut: Doktor
Sudah Menikah
Belum Menikah
Laki-laki
40
10
Perempuan
10
10
Bukan Doktor
Sudah Menikah
Belum Menikah
Laki-laki
3
12
Perempuan
10
5
Misalkan P, M, D mewakili kejadian bahwa pelamar yang terpilih perempuan, menikah, dan bergelar Doktor: P(P),P(M), P(D), P( ), P(
,dan .
Penyelesaian: P = 10 + 5 + 10 + 10 = 35 diantara 100 pelamar (S)
P(P) =
= 0,35 M
= 3 + 10 + 40 + 10 = 63
P(M) =
= 0,63
D = 40 + 10 +10 + 10 = 70
= 0,70
1 = 1 – 0,35 = 0,65 1 = 1 – 0,63 = 0,37 1 = 1 – 0,70 = 0,30
Contoh 4.1
Kita mengambil kartu 3 kali secara acak dari satu set kartu bridge. Setiap selesai pengambilan kartu, kartu tersebut tidak dikembalikan lagi. Berapa probabilitas bahwa pengambilan kartu pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan kartu wajik? Penyelesaian:
S = jumlah lembaran kartu dalam satu set = 52 A = pengambilan pertama kartu wajik
ada 13 lembar kartu wajik diantara 52 lembar kartu B|A = pengambilan kedua kartu wajik dengan syarat bahwa pengambilan pertama berupa kartu wajik.
| kartu wajik tinggal 12 lembar,seluruh kartu tinggal 51 C| ∩ pengambilan ketiga juga wajik dengan syarat bahwa pengambilan pertam P=
dan kedua adalah wajik.
| ∩ (wajik tinggal 11 lembar, seluruh kartu tinggal 50 lembar) ∩ ∩ | | ∩ = ∙ ∙ = 0,0129 Perhatikan bahwa didalam mencari probabilitas suatu kejadian, kita harus mencari nilai proporsi dari banyaknya elemen himpunan bagian terhadap seluruh elemen himpunan (ruang sampel/ sample points).
Probabilitas suatu kejadian bisa berbeda karena ruang sampelnya berbeda. Karena suatu kejadian pada dasarnya merupakan kumpulan elemen yang membentuk himpunan bagian, maka kita harus mengetahui himpunan atau ruang sampel sebagian induknya. Pada dasarnya, probabilitas suatu kejadian merupakan rasio atau perbandingan himpunan bagian dengan himpunan.
3.2.3.2 Hukum Penjumlahan Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) atau tidak saling meniadakan. A. Kejadian Saling Meniadakan (mutually exclusive)
Aturan penjumlahan yang diterapkan untuk kejadian saling meniadakan disebut dengan aturan penjumlahan khusus. Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive ( saling meniadakan ) jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama. Dengan kata lain, peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Sebagai contoh, dalam pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu 3 dan 4 tidak bisa tejadi secara bersamaan, sehingga munculnya mata dadu 3 akan meniadakan munculnya mata dadu yang lain. Jika peristiwa A dan B adalah mutually exclusive, maka berlaku: P(A dan B) =
∩ = 0 artinya juga P(A | B) = 0; P(B | A) = 0 (3.5)
Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan (saling lepas), aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A atau B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya, dan dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: P ( A atau B) =
∪ = P(A) + P(B)
(3.6)
Untuk tiga kejadian saling meniadakan yang dinyatakan dengan A, B, dan C ditulis: P(A atau B atau C) =
∪ ∪ = P(A) + P(B) + P(C)
(3.7)
Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan tidak mutually exclusive ditunjukkan oleh gambar:
A B
Contoh 4.2
Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik dengan campuran beberapa jenis sayuran menunjukkan bahwa sebagian besar kantong plastik berisi sayuran tersebut memuat berat yang benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kantong plastik mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standar. Pengecekan terhadap 4.000 paket menunjukkan hasil sebagai berikut: Tabel Berat
Kejadian
Jumlah paket
Lebih ringan
A
100
Standar
B
3.600
Lebih berat
C
300
Jumlah
4.000
Probabilitas
100 0,025 4000 3600 0,900 4000 300 0,075 4000 1.000
Hitung berapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar? Penyelesaian:
Hasil (outcome) “lebih ringan” adalah kejadian A, dan hasil “lebih berat” adalah kejadian C . Dengan menerapkan aturan penjumlahan, maka diperoleh:
atau ∪ + = 0,025 + 0,075 = 0,10
Catatan: Kejadian diatas merupakan kejadian yang saling meniadakan (saling lepas). Artinya sebuah paket tidak dapat memenuhi berat “lebih ringan”, “standar”, dan “lebih berat” secara bersamaan. Jadi, hanya salah satu dari tiga kriteria tersebut.
B.
Kejadian Tidak Saling Meniadakan
Adakalanya hasil dari suatu eksperimen tidak bersifat saling meniadakan. Secara ringkas, aturan umum untuk penjumlahan kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada dua kejadian dapat ditulis: Rumus:
atau + dan Atau
∪ ∩ Catatan: P(A atau B) atau ∪ dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat “peluang bahwa A
mungkin terjadi dan B mungkin terjadi”. Kalimat ini juga mencakup “ kemungkinan bahwa A dan B terjadi” dalam hal kejadian yang tidak saling meniadakan.
Kejadian yang tidak saling meniadakan dapat digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut.
A
B
Contoh 4.2
Sebuah perusahaan elektronik mengambil sampel 100 rumah tangga yang ditanya tentang apakah mereka merencanakan untuk membeli besar atau tidak. Setahun berikutnya responden yang sama ditanya benar-benar telah membeli televisi ukuran besar tersebut atau tidak. dilihat dari tabel berikut:
dan responden televisi ukuran apakah mereka Hasilnya dapat
Tabel Merencanakan untuk membeli Ya Tidak Total
Benar-benar telah dibeli 200 100 300
Tidak benarbenar dibeli 50 650 700
Total
250 750 1000
Hitung berapa probabilitas seseorang yang telah merencanakan untuk membeli atau benar-benar telah membeli. Penyelesaian:
Misalkan kejadian A, yaitu telah merencanakan membeli, adalah 250 kejadian dan kejadian B, benar-benar telah membeli adalah 300. Maka P( telah merencanakan membeli) + P (benar-benar telah membeli) – P( telah merencanakan membeli dan benar benar membeli, atau:
∪ + ∩ + + = = 0,35
3.2.4. Teorema Bayes
Seorang ahli matematika Inggris, Thomas Bayes (1702-1761), mengembangkan teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab (causes) dari suatu kejadian berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi. Sejak Perang Dunia Kedua telah berkembang apa yang disebut “ Bayesian decision theory”, yaiu teori keputusan berdasarkan perumusan Thomas Bayes yang bertujuan untuk memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making under uncertainty). Misalkan A1, A2, A3, ...., An adalah kejadian-kejadian saling-meniadakan yang gabungannya adalah ruang sampel S, dengan kata lain, salah satu dari kejadian-kejadian tersebut harus terjadi. Maka jika A kejadian sembarang, kita harus memakai teorema Bayes berikut ini:
| ∑ | | =
Contoh 3.9
Suatu daftar pertanyaan dikirimkan kepada para responden untuk mengetahui penggunaan mobil keluarga. Kita anggap nilai “a priori probability” bahwa daftar pertanyaan tersebut akan diisi oleh keluarga yang tinggal di Medan adalah 0,5. Probabilitas bahwa daftar pertanyaan diisi oleh mereka yang berpenghasilan tinggi adalah 0,3. Berdasarkan pengalaman, probabilitas bahwa daftar pertanyaan yang dikirim kepada penduduk di luar Medan diisi oleh mereka yang berpenghasilan tinggi sama dengan 0,2. Kita gunakan simbol berikut:
A1
= keluarga yang tinggal di luar kota Medan
A2
= keluarga yang tinggal di Medan
A
= keluarga berpenghasilan tinggi
P(A1) = 0,5 P(A2) =
̅ 1 10,50,5
A2 merupakan komplemen A 1 P(A) = 0,3 P
| 0,2
Misalkan daftar pertanyaan yang sudah diisi sudah kita terima, sedangkan kode mengenai tempat tinggal responden sudah dihapus. Dengan demikian, kita tidak mengetahui apakah responden tersebut tinggal di luar Medan atau di Medan. Kalau daftar pertanyaan tersebut diisi oleh keluarga yang berpendapatan tinggi: Berapa probabilitasnya bahwa responden atau keluarga tersebut bertempat tinggal di luar kota Medan, ?
|
Penyelesaian:
) | ( ( ) ,, = , =
3.3
Teknik Enumerasi (Pencacahan) Dalam menentukan probabilitas dari peristiwa-peristi wa majemuk yang kompleks, suatu enumerasi (pencacahan) peristiwa-peristiwa yang berkaitan sering kali menjadi sulit. Untuk itu terdapat beberapa teknik yang dapat memudahkan.
3.3.1 Faktorial Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli). Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :
n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1 n ! dibaca n faktorial
nb: 0! = 1dan 1! = 1
Contoh 3.1
3! = 3 x 2 x 1 = 6 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3.3.2 Permutasi Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) ji ka terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut : Rumus:
−! ! , !! Keterangan :
P = Jumlah permutasi atau cara objek disusun n = jumlah total objek yang disusun r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil ! = tanda dari faktorial
Contoh 3.2
Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut? Penyelesaian :
Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)
, !! ↔ 3,2 3 3!2! 3.2.1 1! 6 3.3.2.1
Permutasi Unsur-unsur yang sama
Rumus:
(,, …) !!!… ! Contoh 3.3
Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA! Jawab: pada kata MATEMATIKA terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:
10! 10.2.3.2 2!3!2! ..8....... .... 151.200
3.3.2.2 Permutasi Siklis
RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!
Contoh 3.4
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda? Penyelesaian: Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
! ! !
= 5.4.3.2.1=120
3.3.3 Kombinasi Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut: Rumus:
C !! ! Contoh 3.5
Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Chelsea) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim Chelsea? (tidak memperhatikan posisi pemain).
! ! !−! !! =
∙∙8∙∙∙∙∙∙∙! !∙8∙∙∙∙∙∙∙
= 167.960
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P. Irisan dua kejadian yaitu kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. dilambangkan dengan
∩ . Unsur – unsur dalam himpunan ∩
mewakili terjadinya secara sekaligus kejadian A dan B, oleh karena itu haruslah merupakan unsur – unsur, dan hanya unsur – unsur yang termasuk dalam A dan B sekaligus. Unsur – unsur itu dapat dirinci ataupun didefinisikan menurut kaidah
{ | },
sedangkan lambang
∈ berarti
∩
“adalah anggota” atau
“termasuk dalam.” Dalam diagram venn pada gambar daerah yang mewakili menyatakan kejadian A
∩ B, Sedangkan Paduan / gabungan dua kejadian adalah
kejadian yang mencangkup semua unsur atau anggota A dan B atau keduanya . Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian. Perinsip Menghitungnya mengunakan Permutasi dan kombinasi. Berdasarkan penelitian yang dilakukan sebelumnya, baik dengan data perhitungan dadu maupun kelereng atau koin, ketiganya menggunakan rumus yang sama dalam mencari suatu nilai, tetapi pada data ketiganya masih mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing.
3.2 Saran Dengan menggunakan konsep probabilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan. Dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random. Dengan konsep Probabilitas tersebut, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari suatu populasi.
