KEANDALAN DAN PERAWATAN Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE Tentang Modul Ajar MODUL 1 Konsep Dasar MODUL 2 Metode PengkajianKeandalan Bagian 1 MODUL 3 Metode PengkajianKeandalan Bagian 2 MODUL 4 Metode PengkajianKeandalan Bagian 3 MODUL MOD UL 5 Stra Strategi tegi Untu Untuk k Kebij Kebijaksa aksanaa naan n Peraw Perawatan atan Tentang Penulis
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN PERKAPALA N FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER NOPEMEBER SURABAYA
© Copyright ada pada penulis Last Updated March 2000
TENTANG MODUL AJAR
Modul ajar ini merupakan kumpulan dan rangkuman dari materi kuliah keandalan dan perawatan di Jurusan Teknik Sistem Perkapalan, Fakultas Teknologi Teknologi Kelautan ITS, Surabaya. Materi kuliah kuli ah ini dirangkum dari berbagai textbook dan jurnal. jurnal. Melalui program program Teaching Grant Grant yang merup merupakan akan salah satu sat u implementasi program DUE-Like, penulis berkesempatan untuk mengumpulkan dan menulis kembali semua materi kuliah yang diajarkan dalam dal am bentuk elektronik file. Semua mate materi ri disimpan dalam bentuk portable document format (pdf) ( pdf) file yang hanya bisa dibaca (read only). Untuk info lebih lanjut mengenai modul ajar ini, pembaca dapat menghubungi Ir. Dwi Priyanta, MSE Jurusan teknik Sistem Perkapalan Fakultas Teknologi Kelautan Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Kampus ITS Keputih Sukolilo SURABAYA 60111 Telp. (031) 599 4251 ext. 1102 Fax. (031) 599 4754
KEMBALI KE MENU UTAMA
T PE TE EN NT TA AN NG G P EN NU UL LIIS S Dwi Priyanta, lahir di kediri pada 1968. Menamatkan pendidikan menengah atas di SMA Negeri 1 Kediri pada 1987 dan melanjutkan ke Jurusan Teknik Permesinan Kapal - Fakultas Teknologi Kelautan – Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya melalui jalur PMDK. Setelah menamatkan pendidikan program S1 pada 1992, penulis menjadi staf pengajar di jurusan yang sama di ITS. Melalui program beasiswa Asian Development Bank (ADB), penulis melanjutkan pendidikan Master di School of Naval Architecture and Marine Engineering – University of New Orleans, Louisiana – USA pada Agustus 1995 dan menamatkan pendidikan master dengan meraih gelar Master of Science in Engineering (MSE) pada April 1997 dengan bidang keahlian Engineering System Reliability . Setelah menyelesaikan program master, selama tiga bulan penulis menjadi salah satu staff di Freeport Sulphur Company, New Orleans USA – sebuah penambangan belerang milik Freeport yang beroperasi di Gulf of Mexico - dengan tugas untuk melakukan studi implementasi Reliability – Centered Maintenance untuk salah satu sistem. Penulis sekarang menjadi dosen tetap dan kepala laboratorium System Reliability and Safety di Jurusan Teknik Sistem Perkapalan Fakultas Teknologi Kelautan ITS.
KEMBALI KE MENU UTAMA
KEMBALI KE MENU UTAMA
MODUL 1 KEANDALAN DAN PERAWATAN Konsep Dasar
Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER SURABAYA © Copyright ada pada penulis
DAFTAR ISI MODUL 1 BAB 1 Peng Pengena enalan lan Disipli Disiplin n Ilmu Keand Keandala alan n dan Aplika Aplikasin sinya ya 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Pendahuluan Definisi Indeks Keandalan Kajian Keandalan Aplikasi Keandalan Referensi dan Bibliografi
BAB BA B 2 Pr Prob obab abil ilit itas as 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Pendahuluan Permutasi Kombinasi Pemakaian Permutasi dan Kombinasi untuk Perhitungan Probabilitas Hukum untuk Menggabungkan Probabilitas Teorema Binomial Referensi dan Bibliografi
BAB 3 Pemodelan Jaringan dan Evaluasi Sistem 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Pendahuluan Sistem Dengan Susunan Seri Sistem Dengan Susuna Paralel Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri – Paralel Sistem Dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial (Partially Redundant System) Pertimbangan Desain Antara Susunan Seri dan Paralel
FOR INTERNAL USE ONLY
3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12
Standby Redundant System Pemodelan Jaringan yang Kompleks Conditional Probability Approach Metode Cut Set Metode Tie Set Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY KEMBALI KE MENU UTAMA
Pengenalan Disiplin Ilmu Keandalan dan Aplikasinya 1.1 Pendahuluan Didalam masyarakat modern, para insiyur profesional dan manajer teknik bertanggung jawab terhadap perencanaan, desain, manufaktur dan pengoperasian dari produk yang sederhana sampai sistem yang komplek. Kerusakan dari produk daan sistem ini sering dapat memberi dampak yang bervariasi mulai dari sesuatu yang tidak menyenangkan dan mengganggu sampai dampak yang membahayakan terhadap masyarakat dan terhadap lingkungan sekitarnya. Para pemakai, konsumen, dan masyarakat umumya mengharapkan produk dan sistem yang handal. Pertanyaan yang muncul adalah “ seberapa handal atau seberapa aman suatu sistem akan beroperasi selama masa pengoperasiannya dimasa yang akan datang? “ Pertanyaan ini sebagian dapat dijawaaab dengan mengunakan evaluasi keandala secara kuantitatif. Konsekuensinya sebuah teknik untuk mendesain dan mengoperasikan dari suatu sistem yang sederhana dan komplek bersamaan dengan penambahan jumlah aturan-aturan aturan-aturan resmi, termasuk aspek kesetimbangan kesetimbangan produk 1
dan agen-agen resmi. Buku ini terutama berkaitan dengan penggambaran teknik pengevaluasian keandalan yang sangat luas dan aplikasinya. Bagaimanapun, adalah suatu yang berguna untuk mendiskusikan beberapa isu dan filosofi yang berkaitan dengan keandalan untuk meletakkan teknik pengevalusian ini kedalam suatu perspektif dan mengidentifikasi latar belakang dari berbagai teknik pengevaluasian dan pengukuran yang telah dikembangkan dan juga untuk menunjukan mengapa teknik ini dikembangkan. Pengembangan teknik pengevaluasian keandalan pada awalnya berhubungan dengan industri ruang angkasa dan aplikasi militer. Pengembangan teknik inii diikuti dengan cepat oleh aplikasi di reaktor nuklir, yang pada saat ini dibawah tekanan yang sangat kuat untuk memastikan reaktor nuklir yang aman dan handal: dibidang penyuplaian listrik, yang diharapkan dapat menyuplai kebutuhan energi tanpa kerusakan lokal atau kerusakan dalam skala yang besar: dan di pengolahan –pengolahan yang memiliki proses yang kontinu seperti pengolahan baja dan pengolahan bahan kimia, yang dapat mengalami penundaan dan kerugian yang besay jika terjadi kegagalan pada sistem maupun yang menyebabkan kematian dan polusi lingkungan. Semua area yang telah disebutkan telah mengalami beberapa masalah akhir-akhir ini. Masalah-masalah ini termasuk kecelakaan dibidang ruang angkasa (Pesawat ruang angkasa Chalelenger, 1986: beberapa kecelakaan pesawat terbang komersial), kecelakaan dibidang nuklir (Three Mile Island, 1979; Chernobyl, 1986), kecelakaan dibidang penyuplaian tenaga listrik (New York Blackout, 1977), kecelakaan diprose pengolahan (Flixborough, 1974; Seveso 1976; Bhopal, 1984), dan berbagai masalah lain dimana kecelakaan yang terjadi dapat mengakibatkan gangguan terhadap masyarakat dan lingkungann dan mungkin mengakibatkan kematian. Kejadian –kejadian ini telah meningkatkan tekanan untuk melakukan penilaian keandalan, keselamatan dan semua kemungkinan resiko secara obyektif. Celakanya resiko yang dipahami 2
oleh publik umum seringkali berdasarkan emosi, utamanya dampak yang diakibatkan dari sektor nuklir. Masyarakat umumnya mengalami kesulitan dalam membedakan antara bahaya (hazard), yang dikaitkan dengan gangguan tetapi tidak memperhitungkan kemungkinan terjadinya kejadian-kejadian yang membahayakan tetapi juga peluang terjdinya kejadian yang membahayakan tersebut. Teknik pengevaluasian keandalan dapat membantu dalam melakukan penilaian secara obyektif terhadap kemungkinan resiko dan membantu untuk menghitung bukan hanya bahaya yang akan terjadi tetapi juga kemungkinannya. Teknik pengevaluasian keandalan yang moderen juga dipakai didalam aplikasi yang lebih luas termasuk aplikasi domestik, otomobil dan berbagai produk lain yang secara individu memiliki dampak sosio ekonomik yang kecil. Jika mengalami kegagalan. Kecenderungan terbaru baik dimasyarakat Amerika utara dan Eropa adalah meningkatnya kebutuhan untuk melakukan penilaian resiko dan keandalan. Kecenderungan-kecenderungan ini berpusat kepada perubahan hukum-hukum yang berkaitan dengan jaminan produk dimana penyuplai, desainer dan pemroduksi akan dikenai tanggung jawab atas cedera dan kematian kematian konsumen akibat akibat produk yang cacat. Petunjuk-petunjuk Petunjuk-petunjuk juga akan diterbitkan oleh pemerintah dan badanbadan pengatur yang berkaitan dengan kelayakan, keselamatan dan resiko, dan yang berkaitan dengan kebutuhan yang penting untuk melakukan penilaian keandalan dan resiko kemungkinan secara obyektif. Dari diskusi ini jelas bahwa semua insiyur harus memiliki kepedulian terhadap konsep dasar yang berkaitan dengan aplikasi teknik-teknik pengevaluasian keandalan.
3
1.2 Definisi Secara umum teori keandalan dapat dikelompokan menjadi empat keompok utama, yaitu : ( Component and system • Keandalan komponen dan sistem (Component reliability ) (Structural reliability ) • Keandalan struktur (Structural (Human reliability ) • Keandalan manusia (Human • Keandalan perangkat lunak (Software (Software reliability ) Sesuai dengan judul diktat ini, maka didalam diktat ini hanya akan membahas mengenai keandalan sistem dan komponen. Sebelum melangkah lebih jauh, ada baiknya bila pembaca mengetahui beberapa definisi dasar yang berkaitan dengan keandalan sistem dan komponen. Adapun beberapa terminologi dan definisi yang akan ditampilkan pada seksi ini adalah, keandalan (reliability ), ), ketersediaan (availability (availability ), ), dan kemampurawatan (maintainability ). Keandalan Didefinisikan sebagai probabilitas dari suatu item untuk dapat melaksanakan fungsi yang telah ditetapkan, pada kondisi pengoperasian pengoperasian dan lingkungan tertentu untuk periode waktu yang telah ditentukan. Terminologi item yang dipakai didalam definisi keandalan diatas dapat mewakili sembarang komponen, subsistem, atau sistem yang dapat dianggap sebagai satu kesatuan. Definisi di atas dapat disarikan menjadi empat komponen pokok yaitu : • probabilitas performance) yang memadai • kinerja ( performance) • waktu 4
•
kondisi pengoperasian Probabiltas, yang merupakan komponen pokok pertama, merupakan input numerik bagi pengkajian keandalan sutau sistem yang juga merupakan indeks kuantitatif untuk menilai kelayakan suatu sistem. Pada beberapa kajian yang melibatkan disiplin ilmu keandalan, probabilitas bukan merupakan satu-satunya indeks, ada beberapa indeks lain yang dapat dipakai untuk menilai keandalan suatu sistem yang sedang dikaji. Tiga komponen lain - yaitu kinerja, waktu dan kondisi pengoperasian – semuanya merupakan parameter-parameter engineering dan teori probabilitas tidak banyak membantu untuk kajian engineering ini. Seringkali insinyur yang bertanggungjawab langsung terhadap satu sistem tertentu yang cukup akurat untuk memberikan informasi yang cukup memuaskan berkaitan dengan kajian sistem yang sedang dilakukan. Waktu yang telah ditetapkan untuk pengoperasian sistem bisa saja kontinyu atau secara sporadis, sedangkan kondisi pengoperasian bisa kondisi pengoperasian yang uniform atau bervariabel, seperti pada fase pengoperasaian propulsi roket dan pada pengoperasian pesawat terbang komersial pada saat take-off , cruising dan cruising dan landing. landing. Kriteria tentang kinerja yang memadai dari sebuah sistem merupakan masalah yang melibatkan permasalahana manajerial. Kegagalan pengoperasian sistem dapat didefiniskan secara beragam mulai dari kegagalan katastropik atau gangguan terhadap fungsi sistem, seperti pada pompa yang menyuplai bahan bakar untuk motor penggerak kapal yang mungkin tidak mampu menyuplai kebutuhan minimum bahan bakar meskipun pada kenyataannya pompa bahan bakar tersebut masih bisa beroperasi. Ketersediaan Didefinisikan sebagai probabilitas untuk dapat menemukan suatu sistem (dengan berbagai kombinasi aspek-aspek keandalannya, 5
kemampu-rawatan dan dukungan perawatan) untuk melakukan fungsi yang diperlukan pada suatu periode waktu tertentu. Ketersediaan dari sebuah sistem dapat diekspresikan kedalam sebuah persamaan matematis yang menyatakan relasi anatara periode dimana sistem dapat beroperasi (T OP) dengan penjumlahan antara periode waktu ini dengan waktu dimana sistem dalam keadaan tidak dapat beroperasi (TDOWN). Persamaan di bawah ini menunjukkan hubungan antara T OP, TDOWN, dan ketersediaan, A, sedangkan gambar 1.1 menunjukkan ilustrasi dari ketersediaan.
A =
T OP T OP + T D O W N
(1.1)
Ada beberapa faktor yang mempengaruhi ketersediaan suatu sistem. Gambar 1.2 menunjukkan beberapa faktor yang mempengaruhi ketersediaan suatu sistem, beberapa diantaranya dapat diperbaiki pada saat fase desain dan beberapa yang lainnya dapat diperbaiki pada saat fase operasional. Dari gambar 1.2 terlihat bahwa pada dasarnya perawatan akan berfungsi untuk menjaga ketersediaan sistem melalui pengontrolan yang optimal pada perawatan korektif dan perawatan preventif serta didukung oleh administrasi dan penggunaan semua sumber daya secara efisien.
6
Gambar 1.1 Ilustrasi ketersediaan
Ketersediaan
Laju Kegagalan
Desain
Perawatan Preventif
Down time
Kulaitas Perawatan
Waktu Perawatan Korektif
Waktu Perawatan Preventif
Keterlambatan
Sumber daya Kemampurawatan
Kontrol dan efisiensi
Kontrol dan Informasi
Peralatan dan metode
Gambar 1.2 Faktor-faktor yang mempengaruhi ketersediaan
7
Kemampurawatan Didefinisikan sebagai kemampuan suatu item dalam kondisi pemakian tertentu, untuk dirawat, atau dikembalikan ke keadaan semula dimana item itu dapat menjalankan fungsi yang diperlukan, jika perawatan dilakukan dalam kondisi tertentu dan dengan menggunakan prosedur dan sumber daya yang sudah ditentukan. Kemampuarawatan adalah faktor yang penting dalam menentukan ketersediaan dari suatu item. RAM sering kali dipakai sebagai suatu singkatan yang mewakili reliabiliy, availability , dan maintainability.
1.3 Indeks Keandalan Indeks keaandalan yang paling klasik adalah probabilitas seperti yang didefinisikan di seksi 1.2 Bagaimanapun, indeks yang lain juga dihitung dan dikembangkan secara teratur. Indeks keandalan yang paling cocok sangat tergantung dari sistem dan kebutuhan dari sistem tersebut. Contoh-contoh tipikal berikut ini merupakan contoh tipikal dari indeks keandalan selain indeks klasik probabilitas. § Jumlah kegagalan yang diharapkan akan terjadi dalam periode waktu tertentu § Waktu rata-rata diantara dua kegagalan § Laju kegagalan dari suatu proses § Durasi rata-rata downtime dari suatu sistem atau peralatan § Nilai harapan keuntungan yang hilang karena kegagalan § Nilai harapan yang hilang dari output suatu proses karena kegagalan 8
Indeks-indeks ini dapat dievaluasi dengan menggunakan teori keandalan yang relevan setelah beberapa kriteria tertentu yang berhubungan dengan kondisi operasional dari suatu item dipenuhi.
1.4 Kajian Keandalan Secara umum ada dua metode yang secara luas dipakai untuk melakukan kajian keandalan terhadap suatu sistem rekayasa. Kedua metode analisa ini adalah analisa kualitatif yang berbasis pada pengalaman dari personel yang terlibat dalam analisa kualitatif dan analisa kuantitatif dimana perhitungan dan metode yang dipakai sangat memainkan peranan yang sangat penting. Meskipun analisa kualittaif dan kuantitatif jelas berbeda, tetapi ada batas yang samar antara kedua analisis tersebut. Sebagai contoh, sebuah intangible decision matrix dibuat berdasarkan perhitungan, oleh karena itu dapat diklasifikasikan ke dalam metode kuantitatif. Tetapi, figur-figur yang dipakai matriks di atas dibuat berdasarakan penilaian kualitatif dan oleh karena itu matrik ini dikategorikan ke dalam kelompok analisa kualitatif. Gambar 1.3 dan 1.4 masing – masing menunjukkan organisasi untuk analisa keandalan dan prosedur kerja secara umum bidang rekayasa keandalan (reliability engineering). engineering). Selain berbagai metode analisa keandalan yang sudah ditampilkan pada gambara 1.2 dan 1.3, berikut ini beberapa metode analisa keandalan lain. Bentuk dari analisa keandalan secara kualitatif ini bisa berupa (failure mode and effects § analisa mode dan dampak kegagalan (failure analysis - FMEA) FMEA) (fault tree analysis - FTA). FTA). § analisa pohon kegagalan (fault
9
ANALISA KUALITATIF (PENGALAMAN)
I N TA N G I B L E D E CI C I S I O N M A TR TR I X
CRITICALITY A N A L Y S I S
FAI LURE MODEE F F E CT CT A N A L Y S I S
ANALISA KUANTITATIF (PERHITUNGAN)
COMP ON EN T LEV EL
PHYSI CS OF F A I L UR UR E
S T A T I S T I C S
S Y S TE M LE V E L
FAULT TREE A N A L Y S I S
M A R K O V A N A L Y S I S Etc.
Gambar 1.3 Organisasi analisa keandalan ( ∅rbeck 1992)
Sedang bentuk dari analisa keandalan secara kuantitatif bisa dikelompokkan lagi menjadi dua kelompok besar, yaitu analisa keandalan secara analitis dan analisa keandalan dengan menggunakan simulasi. Teknik simulasi yang paling sering dipakai untuk mengevaluasi keandalan dari sistem adalah teknik simulasi montecarlo.
10
R E L I A B I L I T Y TA TA S K
F U N C TI TI O N A L DIAGRAM
B L O CK CK D I A G R A M
FMEA PROPOSAL
SYSTEM ANALYS ANALYSIS IS FTA MARKOV Etc.
COMPONENT ANALYS ANALYSIS IS STATISTICAL STRENGTH ANALYS ANALYSIS IS
MAINTENANCE ANALYSI ANALYSIS S SPARE PART ANALYS ANALYSIS IS MARKOV
ANALYSIS METHODS
System Design
Component Design
Environment Improvement
Monitoring
Quality Control
Spare Parts
Gambar 1.4 prosedur kerja secara umum untuk bidang rekayasa keandalan (Stefenson, 1990)
Metode evaluasi keandalan secara kuantitatif yang sering dipakai diantaranya calculation) untuk sistem-sistem § perhitungan langsung (direct calculation) yang sederhana dengan probabilitas kondisional (conditional ( conditional § pendekatan probability approach) approach) § metode cut set § metode tie set § pohon kejadian (event trees) § pohon kegagalan (fault trees) 11
§ §
rantai markov (markov chain) proses markov (markov process)
1.5 Aplikasi Keandalan Tujuan utama dari studi keandalan adalah untuk memberikan informasi sebagai basis untuk mengambil keputusan. Berkaitan dengan itu, teknologi keandalan mempunyai potensi untuk dipakai dalam ruang yang sangat luas. Adapun area yang memanfaatkan teknologi keandalan diantaranya adalah sebagai berikut. Analisa resiko/keselamatan (Safety/risk analyses) Analisa keandalan adalah merupakan bagian yang sudah sangat mantap dari hampir sebagian besar untuk studi-studi resiko dan keselamatan. Bagian dari analisa resiko (risk (risk analysis) analysis ) umumnya dilakukan dengan menerapkan teknik keandalan seperti analisa modus dan dampak kegagalan (Failure (Failure Mode and Effects AnalysisFMEA) FMEA) dan analisa pohon kegagalan (Fault (Fault tree analysis). analysis). Sedangkan metode lain yang juga digunakan untuk menganalisa resiko antara lain Criticality Analysis, Hazards and Operability (HAZOP) Studies, dan Cause-Consequence Analysis. Gambar 1.5 menunjukkan diagaram analisa resiko secara umum.
12
IDENTIFICATION
ANALYSIS
HAZOP FMEA etc. Recommendations
What can go wrong and consequences
RECOMMENDATIONS Cost effective design and operation improvements
Event tree Fault tree Human Reliability Analysis
Other sources rese research arch accident report reports s etc.
Quantitative analysis re required quired
IMPLEMENTATION
INPUT Managerial Financia Societ Societal al Poli Political tical Regulatory
Implentation
Design and procedu improvements and training
Gambar 1.5 Prosedur Analisa Resiko (Ruxton 1997)
Proteksi Lingkungan (Environmental Protection) Studi keandalan bisa juga dipakai untuk memperbaiki desain dan keteraturan poperasional dari sistem antipolusi seperti sistem pembersih gas/air. Kualitas (Quality) Manajemen dan jaminan kualitas mendapatkan perhatian yangg lebih meningkat dari tahun-tahun sebelumnya. Hal ini terjadi karena adanya dorongan untuk mengaplikasikan rangkaian standar internationall ISO 9000. Konsep tentang kualitas (quality (quality ) dan keandalan (reliability (reliability ) terkait sangat erat. Keandalan dalam beberapa hal dianggap sebagai karakteristik dari kualitas. Oleh karena itu sistem-sistem yang saling 13
melengkapi dari suatu sistem yang besar yang akan dilengkapi dengan manajemenkeandalan dan jaminan kualitas merupakan bagian dari manajemen kualitas secara total (Total (Total Quality Management-TQM ) Optimasi operasi dan perawatan ( O p t i m i z a t i o n o f m a i n t e n an an c e and operation ) Perawatan dilakukan untuk mencegah kegagalan sistem maupun untuk mengembalikan fungsi sistem jika kegagalan telah terjadi. Jadi tujuan utama dari perawatan adalah untuk menjaga dan memperbaiki keandalan dari sistem dan kelancaran produksi/operasi. Beberapa industri telah menyadari betapa pentingnya hubungan antara keandalan dan perawatan dan telah mengimplementasikan perawatan yang berbasiskan pada keandalan atau yang lebih dikenal dengan RCM (Reliability-Centered (Reliability-Centered Maintenance ). Metodologi RCM bertujuan untuk memperbaiki costeffectiveness dan effectiveness dan mengontrol perawatan pada berbagai jenis industri, oleh karena itu RCM akan dapat memperbaiki ketersediaan dan keselamatan. keselamatan. Kajian keandalan juga merupakan elemen penting pada berbagai aplikasi berikut ini : Life Cycle Cost (LCC) analisis, Life Cycle Profit (LCP) analysis, pengalokasi dukungan logistik, pengalokasian suku cadang dan analisa untuk menentukan level operator. Desain rekayasa (Engineering design) Keandalan merupakan salah satu karakteristik kualitas dari suatu produk teknik. Oleh karena itu jaminan keandalan merupakan salah satu topik yang paling penting selama proses pendesaian suatu produk
14
1.6 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 3. ∅ rbeck, F. [1992], “Implementation “Implementation of Reliability Methodology to Ship’s Machinery ”, ”, Transaction IMarE, Vol 103 4. Ruxton, T. [1997], “Formal Safety Assessment”, Transaction IMarE, Part 4. 5. Stefenson, Prof. J.[1990], “Design “Design Procedures for The Reliability of Integrated Marine Systems ”, paper 5 ICMES 6. …….[1994], Training Course in Reliability-Centered Maintenance, MARINTEK-SINTEF Group.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 1 15
Probabilitas 2.1 Pendahuluan Kata probabiliitas sering dipakai jika kehilangan sentuhan dalam mengimplikasikan bahwa suatu kejadian yang mempunyai peluang yang bagus akan terjadi. Dalam hal ini penilaian yang dilakukan ini adalah ukuran yang bersifat subyektif atau kualitatif. Adalah penting untuk menyadari bahwa probabilitas mempunyai arti secara teknis karena secara ilmiah probabilitas dapat ditafsirkan sebagai ukuran dari kemungkinan, yaitu mendefinisikan secara kuantatif kemungkinan dari suatu event atau kejadian secara matematis. Probabilitas merupakan suatu indeks numerik yang nilainya antara 0 dan 1. Indeks numerik 0 akan mendefinisikan suaatu kejadian yang pasti tidak akan terjadi, sedang indeks numerik 1 akan mendefinisikan suatu kejadian yang pasti terjadi. Dari pengertian tentang konsep probabilitas diatas jelas terlihat bahwa sangat sedikit sekali kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 atau 1. Yang ada adalah hampir semua kejadian mempunyai nilai probabilitas antara 0 dan 1. Untuk keperluan teori keandalan, nilai probabilitas secara garis besar dapat dikelompokan 16
menjadi dua keluaran yaitu keluaran yang mewaakiliii kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian yang sukses, sedang keluaran yang lainnya mewakilii kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian yang gagal. Bila ada lebih dari dua keluaran yang mungkin dari suatuu event atau kejadian, maka keluaran itu dapat dikelompokan menjadi kelompok keluaran yang mewaakili kejadian yang sukses sedang sisanya bisa dikelompokan sebagai kejadian yang gagal. Bila suatu eksperimen akan menghasilkan berbagai kemungkinan keluaran maka semua keluaran yang mungkinn dari eksperimen tersebut disebut sebagai ruang sampel (sample (sample space). space ). Jika semua keluaran dari eksperimen ini bisa dikelompokan menjadi dua yaituu kelompok keluaran atau kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian sukses, sedanng kelompok lainnya adalah kelompok yang didefinisikan sebagai kelompok kejadian gagal maka secara umum probilitas sukses dan gagal dari kejadian diatas dapat didefinisikan sebagai. P (sukses) = p
P (gagal )
=q=
=
s s + f f
s
+ f
(2.1)
(2.2)
Dimana : P = banyaknya cara kejadian sukses yang dapat terjadi q = banyaknya cara kejadian kegagalan yang dapat terjadi
contoh 2.1 Pada eksperimen pelemparan tiga buah mata uang logam sebanyak tiga kali maka ruang sampel dari eksperimen itu adalah 17
S = { KKK, KKE, KEK, EKK, KEE, EKE, EEK, EEE } Dengan K adalah bagian atas dan E adalah bagian belakang dari mata uang logam tersebut. Jika didefinisikan kejadian yang menghasilkan ketiga bagian atas dari mata uang logam itu sebagaii kejadian sukses maka probabilitas sukses dari eksperimen itu adalah 1 P (sukses) = q 8
2.2 Permutasi Sebuah susunan dari n buah obyek dalam urutan tertentu disebut permutasi dari obyek. Susunan dari sembarang r dari n obyek dengan r ≤ n disebut permutasi r atau permutasi r obyek dari n obyek dan dinotasikan sebagai P(n,r) atau nPr. Secara umum permutasi r obyek dari n obyek dan dirumuskan oleh n P r = (n
n! − r )!
(2.3)
Dengan n! = n.(n -1).(n -2)……..1 0! = 1 Contoh 2.2 Dari 10 buah persediaan pompa yang ada di gudang, 4 diantaranya akan diistal pada empat buah subsistem yang berbeda. Ada beberapa cara untuk memilih 4 buah pompa ini dari 10 bbuah pompa yang ada. 18
Solusi Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan menggunkan konsep permutasi, mengingat penempatan pompa pada subsistem tertentu identik dengan memberikan urutan tertentu pada pompa yang akan dipasang. P 10 4
=
610 (10 − 4)!
= 5040 cara
q
Dari n obyek yang mengalami permutai mungkin ada r obyek diantaranya yang sama, sehingga r1 + r2 + ………+ rk = n. Untuk menghitung banyaknya permutasi dari kasus ini, rumus yang dituliskan pada persamaan 2.3 akan berubah menjadi n! P = n r r ! r !....r ! 1 2 k
(2.4)
Contoh 2.3 Beberapa pate Beberapa patern rn yang berbeda yang dapat dibuat dalam sebuah baris bila ada 10 buah lampu berwarna yang 4 diantaranya berwarna merah, 3 diantaranya berwaarna kuning dan 3 diantaranya berwarna hijau. Jawab P =
10! 4!3!3!
= 4200 patern
q
19
2.3 Kombinasi Jumlah kombinasi dari n obyek yang berbeda adalah jumlah pilihan yang berlainan dari r obyek, masing-masing tanpa memandang urutan dari susunan dari obyek didalam kelompok tersebut. Hal inilah yang membedakan antara permutasi dan kombinasi. Jumlah kombinasi r obyek dari n obyek dinotasikan oleh n n C r atau r . Secara umum kombinasi r obyek dari n obyek dapat diekspresikan ke dalam formula
(r n )= n C r =
n! (n − r )!r !
(2.5)
Contoh 2.4 Sebuah sub sistem mempunyai dua buah modul yang identik. Kedua modul ini didesain untuk bekerja secara bergiiran atau standby. Bila ada 4 buah modul yang tersedia, ada beberapa cara untuk memilih kedua modul untuk diinstal kedalam sub sistem tersebut. Solusi Untuk menginstal kedua modul ini, bisa dipilih dua modul diantara empat buah modul yang tersedia tanpa memperhatikan urutan penempatan modul itu didalam sub sistem karena modul yang diinstal adalah identik. Banyaknya cara untuk memilih modul bisa dipecahkan dengan menggunakan formula kombinasi yaitu
( )= 4 2
4! ( 4 − 2 )!2!
= 6 cara
q
20
2.4 Pemakaian Permutasi dan Kombinasi Untuk Perhitungan Probabilitas Dalam aplikasi teori keandalan secara praktis, konsep kombinasi umumnya lebih penting dari permutasi, karena umumnya perlu untuk mengetahui event-event apa yang bila dikombinasikan akan menyebabkan kegagalan dari suatu sistem, dan urutan bagaimana kegagalan itu terjadi jarang yang peduli. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh pemakaian permutasi dan kombinasi dalam perhitungan probabilitas
Contoh 2.5 Empat buah bola lampu dipilih secara random dari 10 buah lampu yang ada dimana 3 diantaranya adalah bola lampu yang rusak. Hitung probabilitas dari pengambilan keempat bola lampu itu juga. a) Keempat bola lampu yang diambil tidak ada yang cacat b) Ada satu bola lampu yang cacat c) Paling sedikit ada satu buah bola lampu yang cacat. Solusi Banyaknya cara untuk memilih 4 bola lampu dari 10 buah lampu ada 10! 10 = = 210 cara 4 (10 − 4)!4! a) Ada 7 buah lampu yang tidak mengalami kerusakan. Jadi banyaknya cara untukk memilih 4 buah lampu tanpa ada rusak ada 7! 7 = 35 4 (7 − 4)!4! =
cara 21
P(4 bola lampu baik) = b) Dari
( )= 7 3
data, 7! ( 7 − 3)!3!
ada
3
= 35 cara
buah
35 210 bola
=
1
q
6 lampu
yang
cacat
dan
untuk memilih 3 buah lampu yang tidak
cacat dari 7 buah bola lampu yang tidak cacat, sehingga banyaknya cara untuk memilih empat buah bola lampu dimana satu diantaranya adalah bola lampu yang cacat adalah 3x35 = 105 cara. P(1 bola lampu cacat dan 3 bola lampu baik) =
105 210
=
1 2
q
c) Kejadian yang mewakili pengambilan empat buah lampu paling sedikit ada satu buah lampu yang cacat merupakan komplemen dari kejadian yang mewakili pengambilan empat buah bola lampu tanpa cacat, sehingga probabilitas kejadian ini adalah 1 P(minimal 1 bola lampu cacat) = 1 =5 q 6 6
Contoh 2.6 Jika tiga buah kartu diambi secara acak dari saatu set kartu yang lengkap, hitung probabilitas a) Ketiga kartu itu adalah kartu yang bergambar hati b) Dua kartu bergambar hati dan satu bergambar diamond
22
Solusi Banyaknya cara untuk memilih 3 buah kartu dari 52 buah kartu ada 52 = 52! = 22100 cara 3 ( 52 3 )! 3 ! − a) Banyaknya cara untuk mengambil 3 buah kartu yang bergambar hati dari 13 buah kartu yang bergambar hati ada 13! 13 = = 286 cara 3 (13 − 3)!3! 286 11 P( 3 kartu bergambar hati ) = = q 22100 850 b) Banyaknya cara untuk mengambil satu kartu yang bergambar diamond ada 13 cara sedang banyaknya cara untuk mengambil 2 = 13! = 78 cara. kartu yang bergambar hati ada 13 2 (13 − 2)! Sehingga banyaknya cara untuk mengambil tiga buah kartu dimana satu kartu bergambar diamond dan dua lainnya bergambar hati ada 13 x 78 = 1014 cara. 1014 39 P(1 kartu diamond dan 2 kartu hati) = = q 22100 850
2.5.Hukum untuk Menggabungkan Probabilitas
p e n d en en t e v e n t s ) Kejadian bebas ( I n d e pe Dua buah kejadian dikatakan bebas jika hasil dari satu event tidak mempengaruhi hasil dari event yang lain. Contoh dari kejadian bebas ini adalah bila kita melemparkan sebuah dadu dan dan sebuah koin secara bersama-sama. Apapun 23
hasil keluaran yang dihasilkan oleh dadu tidak akan mempengaruhi hasil keluaran koin.
Kejadian gabungan eksklusif (Mutually exclusive events) Dua keadian dikatakan tergabung secara eksklusif bila dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama-sama. Contoh dari kejadian gabungan ekslusif ini adalah bila kita melempar sebuah koin, keluaran yang mungkin adalah bagian atas atau bagian bawah dari uang logam itu, tetapi keduanya tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Contoh lainnya adalah bila kita melempar sebuah dadu, maka mata dadu yang keluar mungkin mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, tetapi keenam mata dadu ini tidak mungkin keluar secara bersamaan.
Kejadian komplementer (Complementary events) Dua kejadian dikatakan saling berkomplemen bila salah satu dari kejadian itu tidak terjadi maka kejadian yang lainnya pasti terjadi. Kejadian ini bisa dilukiskan dalam bentuk diagram venn seperti yang terlihat pada gambar 2.1. Dari gambar 2.1, bila P(A) mewakili probabilitas dari kejadian A dan P(B) mewakili probabilitas dari kejadian B maka hubungan antara P(A) dan P(B) dapat diekspresikan dalam sebuah formula yaitu P ( A) + P (B)
=1
(2.6)
24
Gambar 2.1 Kejadian komplementer
Contoh dari kejadian komplementer ini adalah bila kita melempar sebuah mata uang logam, hanya ada dua kemungkinan keluaran yaitu bagian depan dan bagian belakang dari mata uang tersebut.
Kejadian kondisional (Conditional events) Kejadian kondisional adalah kejadian yang kondisi terjadinya tergantung dari kejadian lain. Misalkan ada dua kejadian A dan B. Probabilitas dari kejadian A adalah diekspresikan dengan P(A) dan probabilitas dari kejadian B diekspresikan dengan P(B), selain itu misalkan pula ada kejadian dari A setelah kondisi B terjadi. Probabilitas dari kejadian ini dapat dinotasikan dengan ekspresi P(A B). Ekspresi P(AB) dapat dibaca sebagai probabilitas kondisional kejadian A akan terjadi pada saat kejadian B telah terjadi. Secara matematis probabilitas kondisional ini dapat diekspresikan sebagai P ( A B) =
P ( A ∩ B) P (B)
(2.7) 25
persamaan 2.7 dapat pula diubah menjadi P (B A) =
P ( A ∩ B) P ( A)
(2.8)
Contoh 2.7 Dari data perawatan peralatan-peralatan yang berada di dalam suatu sistem pembangkit tenaga listrik, 25% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik, 15% kerusakan yang terjadi disebabkan oleh kerusakan elektrik, dan 10% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik dan elektrik. Bila sebuah peralatan dipilih secara random tentukan a. probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan elektrik setelah sebelumnya terjadi kerusakan mekanik. b. probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan mekanik setelah sebelumnya terjadi kerusakan elektrik. Solusi Misalkan, M = kejadian kejadian yang yang mewakili mewakili kerusakan kerusakan peralata peralatan n yang disebabkan oleh kerusakan mekanik. P(M) = 0,25 ,25 E = kejadian yang mewakili mewakil i kerusakan peralatan yang disebabkan oleh kerusakan elektrik. P(E) P(E) = 0,15, 0,15, dan P(M ∩ E) = 0,10. a. P (E M )
=
P (E ∩ M ) P (M )
=
0,10 0,25
= 0,4
26
b. P (M E )
=
P (E ∩ M ) P (E )
=
0,10 0,15
= 0,667
q
Kejadian yang terjadi secara serentak (Simultaneous occurrence of events) Kejadian secara serentak dari dua kejadian A dan B adalah kejadian untuk kedua A DAN B. Secara matematis kejadian ini dapat dituliskan sebagai (A ∩ B) atau (A DAN B) atau (AB). Ada dua kasus untuk kejadian yang terjadi secara serentak ini yaitu bila kedua kejadian ini saling bebas (independent events) events ) dan bila kedua kejadian ini tidak saling bebas (dependent events). events ).
I n d e pe p e n d en e n t e v e n ts ts Untuk independent events probabilitas dari masingmasing kejadian tidak saling mempengaruhi sehingga untuk kasus ini akan berlaku P(A B) = P(A) dan P(B A) = P(B). Secara matematis probabilitas kejadian secara serentak untuk dua kejadian yang saling bebas dapat diekspresikan sebagai P ( A ∩ B) = P ( A).P (B)
(2.9)
Sedangkan bila ada n buah kejadian yang independent, probabilitas kejadian dari n buah kejadian yang independent yang terjdai secara serentak dapat diekspresikan sebagai P ( A1
∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P ( A1 )P ( A2 ) ... P ( An )
(2.10)
27
Contoh 2.8 Seorang insinyur akan memilih dua buah modul sistem kontrol. Probabilitas modul A tidak cacat adalah 0,95 dan probabilitas modul B tidak cacat adalah 0,87. Probabilitas dari kedua modul itu untuk tidak cacat dapat dihitung sebagai P( A tidak cacat = =
∩ B tidak cacat) P(A tidak cacat) x P(B tidak cacat) 0,95 x 0,87 = 0,8265
q
D e p e n de de n t e v e n t s Jika dua kejadian tidak saling bebas, maka probabilitas dari kejadian satu event akan dipengaruhi oleh kejadian lainnya. Dalam kasus ini, persamaan 2.9 akan berubah menjadi P ( A ∩ B) = P ( A B).P (B)
= P (B A).P ( A)
(2.11)
Minimal satu kejadian dari dua kejadian Kejadian paling sedikit satu dari dua kejadian A dan B adalah kejadian dari A atau kejadian dari B atau kedua-duanya. Secara matematis kejadian ini dapat dituliskan sebagai (A ∪ B) atau (A ATAU B) atau (A + B). Ada tiga kasus untuk kejadian seperti ini yaitu pertama bila kedua kejadian ini saling bebas (independent (independent events) events ) tetapi tidak tergabung secara eksklusif (not ( not mutually exclusive), exclusive ), kedua bila kedua kejadian ini saling bebas (independent events) events ) dan tergabung secara eksklusif (mutually (mutually exclusive) exclusive ) dan yang ketiga bila kedua kejadian ini tidak saling bebas (dependent (dependent events). events ). Secara umum ekspresi probabilitas untuk minimal satu kejadian dari dua kejadian adalah 28
P ( A ∪ B)
= P ( A) + P (B) − P ( A ∩ B)
(2.12)
K e j a d i a n i n d e p e n d en e n t t e t a pi p i t i d a k m u t u a l ly ly e x c lu lu s i v e Untuk kejadian independent tetapi tidak mutually exclusive nilai dari P(A ∩ B) dapat diekspresikan dalam P(A ∩ B) = P(A).P(B), sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B) − P ( A)P (B)
(2.13)
K e j a d i a n i n d e p e n d e n t da d a n m u t u a l ly ly e x c lu lu s i v e Untuk kejadian independent dan mutually exclusive nilai dari P(A ∩ B) dapat diekspresikan dalam P(A ∩ B) = 0, sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B)
(2.14)
Kejadian tidak saling bebas Untuk kejadaian tidak saling bebas nilai dari P(A ∩ B) dapat diekspresikan dalam P(A ∩ B) = P(B|A).P(A) = P(A |B).P(B), sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi P ( A ∪ B)
= P ( A) + P (B) − P ( A B)P (B) P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B) − P (B A)P ( A)
(2.15a) (2.15b)
29
Aplikasi dari probabilitas kondisional Konsep probabilitas kondisional yang diekspresikan dalam persamaan 2.7 dan 2.8 dapat diperluas dengan memperluas salah satu event, misal event A, menjadi tergantung dari beberapa event mutually exclusive Bi. Perluasan dari konsep ini dapat dilihat pada gambar 2.2.
Gambar 2.2 Probabilitas Kondisional
Persamaan 2.7 dapat diubah menjadi P ( A ∩ B) = P ( A B).P (B)
(2.16)
Dengan mengaplikaskan persamaan (2.16) untuk mengekspresikan persamaan matematis dari diagaram venn di atas maka akan diperoleh persamaan baru yaitu : P(A P(A P(A
∩ B1) = P(A | B1).P(B1) ∩ B2) = P(A | B2).P(B2) ∩ B3) = P(A | B3).P(B3) . . 30
. P(A ∩ Bi) = P(A | Bi).P(Bi) . . . P(A ∩ Bn) = P(A | Bn).P(Bn) Bn).P(Bn)
Dan jika digabungkan bersama-sama akan diperoleh persamaan baru n
n
∑ P ( A ∩B ) = ∑ P ( A B )P (B ) i
i =1
i
i
(2.17)
i =1
Ruas kiri dari persamaan 2.17 dapat disederhanakan menjadi P(A), dan persamaan 2.17 dapat disederhanakan lagi menjadi n
n
∑ P ( A) = ∑ P ( A B )P (B ) i
i =1
i
(2.18)
i =1
Contoh 2.9 Tiga buah mesin A,B, dan C masing-masing menghasilkan produk 40%, 35%, dan 25% dari total produk yang dihasilkan oleh pabrik tersebut. Persentase dari barang-barang yang cacat yang dihasilkan oleh masing-masing mesin ini adalah 2%, 3% dan 4%. Jika sebuah produk diambil secara random, tetntukan probabilitas bahwa produk yang diambil itu adalah produk yang cacat.
Solusi Jika 31
Y = Kejadian yang mewakili sebuah item yang cacat A = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin A B = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin B C = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin C maka P(Y) = P(A)P(Y |A) + P(B)P(Y |B) + P(C)P(Y |C) = (0,4)(0,02) + (0,35)(0,03) + (0,25)(0,04) = 0,008 + 0,0105 + 0,0100 = 0,0285
Contoh 2.10 Sebuah produk diproduksi dari dua plant. Plant pertama menghasilkan 60% dari seluruh produk sedang sisanya yang 40% diproduksi oleh plant 2. Dari plant 1, 95% produk diantaranya memenuhi standard yang disyaratkan sedang dari plant 2, 90% produk yang dihasilkan memenuhi standard yang ditentukan. Tentukan : a. Dari 100 produk yang dibeli oleh konsumen berapa buah yang akan memenuhi standard. b. Jika diberikan sebuah produk yang standar, berapa probabilitas bahwa produk itu di hasilkan oleh plant 2.
Solusi Jika A = Kejadian yang mewakili produk yang standar B1 = Kejadian yang mewakili produk yang dihasilkan oleh plant 1 32
B2 = Kejadian yang mewakili produk yang dihasilkan oleh plant 2 maka P(A|B1) = 0,95, P(A|B2) = 0,90, P(B1) = 0,6, dan P(B2) = 0,4. a. P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = (0,95)(0,6) + (0,90)(0,4) = 0,93
Dari 100 item yang dibeli oleh konsumen, 0,93 x 100 = 93 diantaranya akan memenuhi standar. ini dapat diselesaikan dengan persamaan b. Pertanyaan P ( A ∩ B2 ) P (B2 A) = , dimana q P ( A) P(A ∩ B2) = P(B2).P(A|B2) = (0,4)(0,90) = 0,36 dan P(A) = 0,93 sehingga, 0,36 P (B2 A) = = 0,387 q 0,93
Persamaan 2.18 dapat dipakai untuk evaluasi keandalan dari suatu sistem yang mempunyai blok diagram yang sangat komplek. Untuk keperluan ini, misalkan sebuah kejadian A hanya bergantung dari kejadian B yang memiliki dua kejadian yang mutually exclusive yaitu Bs dab Bf yang masing-masing mewakili kejadian dari komponen B dalam keadaan baik dan dalam keadaan buruk. Persamaan 2.18 dapat ditulis menjadi
P ( A) = P ( A BS )P (BS ) + P ( A Bf )P (Bf )
(2.19)
33
Khusus untuk keperluan pengevaluasian keandalan dari suatu sistem, tujuan dari pengevaluasian adalah untuk mengevaluasi probabilitas kesuksesan atau probabilitas kegagalan dari suatu sistem, sehingga untuk keperluan ini, persamaan (2.19 ) dapat dimodifikasi menjadi P(sistem sukses) = P(sistem sukses jika Bdalam kondisi baik)P(BS ) + P(sistem sukses jika Bdalam kondisi jelek)P(B f ) (2.20) Sedangkan probabilitas dari kejadian komplemennya komplemennya adalah P (sistemgagal) = P (sistem gagal jika Bdalam kondisi baik)P (BS ) + P (sistem gagal jika Bdalam kondisi jelek je lek)P (Bf ) (2.21)
Contoh 2.11 Sebuah subsistem terdiri dari dua komponen yaitu komponen A dan komponen B. Agar subsistem ini sukses menjalankan misinya, kedua komponen ini harus bekerja dengan baik. Dengan menggunakan persamaan 2.20, dapatkan probabilitas untuk sukses dari subsistem tersebut. Solusi Misalkan, RA = Probabilitas Probabili tas kesuksesan dari komponen A untuk dapat menjalankan misinya. QA = Probabilitas Probabilitas kegagalan kegagalan dari komponen komponen A untuk menjalankan misinya.
dapat 34
dan RA + QA = 1 RB = Probabilitas Probabilit as kesuksesan dari komponen B menjalankan misinya. QB = Probabilitas Probabilitas kegagalan kegagalan dari komponen komponen B menjalankan misinya. dan RB + QB = 1
untuk
dapat
untuk
dapat
Maka, P(sistem sukses) = P(Sistem sukses | komponen B bagus).P(B bagus) + P(sistem gagal | komponen B jelek).P(B jelek) = (RA x RB ) + (0 x QB) = RA x RB Contoh di atas merupakan sebuah contoh untuk sistem yang mempunyai susunan seri, dimana kedua komponen harus bekerja dengan baik agar sistem dengan susunan seri dapat sukses dalam menjalankan misinya. q
Contoh 2.12 Dari data perawatan peralatan-peralatan yang berada didalam suau sistem pembangkit tenaga listrik, 25 % kerusakan yang terjadi disebabkan karena mekanik, 15 % kerusakan yang terjadi disebabkan karena elektrik, dan 10% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik dan elektrik. Bila sebuah peralatan dipilih random tentukan a. Probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan elektrik setelah sebelum nya terjadi kerusakan mekanik. b. Probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan mekanik setelah sebelumnya terjadi kerusakan elektrik 35
Solusi Misalkan M = Kejadian yang mewakili kerusakan disebabkan oleh kerusakan mekanik. P(M) = 0,25
peralatan
yang
E = kejadian kejadian yang mewakili mewakili kerusaka kerusakan n disebabkan oleh kerusakan elektrik. P(E) = 0,15 dan P (M ∩ E ) = 0,10.
peralata peralatan n
yang
a. P (E | M ) b. P (M E ) =
P (E ∩ M ) 0,10 = = 0,4 P (M ) 0,25 P (E ∩ M ) 0,10 = = 0,667 P (E ) 0,15
=
q
q
2.6 Teorema Binomial Pangkat n dari bentuk (p+q) dapat diekspresikan dalam sukusuku koefisien binomial seperti pada persamaan di bawah ini ( p + q)
n
= pn + npn −1q + n
n(n − 1) n− 2 2 p q 2!
+ ... + qn = ∑ n C r pn − r qr
+ ... +
n! n− r r p q r !(n − r )!
(2.22)
r = 0
Jika p dan q masing – masing menyatakan probabilitas dari suatu event , maka persamaan (2.22) akan menyatakan persamaan 36
distribusi binomial bila beberapa syarat berikut ini dapat dipenuhi. Syarat – syarat yang harus dipenuhi adalah : § Jumlah trial harus tetap, atau n harus diketahui. sukses atau § Masing-masing trial harus menghasilkan event event gagal, gagal, atau dengan kata lain hanya ada dua keluaran yang mungkin dan p + q = 1. § Semua trial harus memiliki probabilitas sukses yang identik, dengan demikian trial harus memiliki probabilitas kegagalan yang identik pula, atau nilai dari p dan q tetap konstan. § Semua trial harus independen.
37
2.7 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Frankel, Ernst G., [1988], Systems Reliability and Risk Analysis, 2nd edition, Kluwer Academic Publishers, PO BOX 17, 3300 AA Dordrecht, The Netherlands. 3. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 1 38
Pemodelan Jaringan Dan Evaluasi Sistem 3.1 Pendahuluan Untuk meegevaluasi keandalan dari suatu komponen atau sistem yang pertama kali harus dilakukan adalah dengan memodelkan komponen atau sistem tersebut kedalam diagram blok keandalan (reliabiliy (reliabiliy block diagram). diagram). Dari diagram blok keandalan ini kemudian dihitung keandalan dari komponen atau sistem yang bersangkutan. Hal ini sangat mungkin dilakukan untuk sistem yang sederhana. Untuk sistem yang lebih kompleks, evalusi keandalan dapat dilakukan dengan memakai teknik lain seperti pendekatan probabilitas kondisional (conditiional (conditiional probabilistic approach), approach), himpunan pemotong (cut (cut set ), ), himpunan pengumpul (tie (tie set ) dan pendekatan-pendekatan pendekatan-pendekatan probabilistik lain. Dalam mengevaluasi keandalan dari sistem, indeks keandalan dari masing-masing komponen yang ada didalam sistem yang akan dievaluasi dapat diekspresikan dengan nilai yang konstan untuk didurasi waktu tertentu. Cara mengevaluasi keandalan sistem seperti ini dikategorikan sebagai evaluasi model keandalan statis. 39
Evaluasi keandalan dari suatu sistem dengan memakai model statis biasanya dilakukan pada analisa pendahuluan untuk mendesain suatu sistem. Model stastis dipakai untuk mengeveluasi berbagai kemungkinan desain dan dipakai untuk menentukan level keandalan yang diperlukan baik untuk subsistem dan komponen yang ada didalam sistem. Untuk membuat blok diagram keandalan dari suatu sistem, antara bentuk fisik sistem dan model blok diagram keandalan dari sistem tidak harus selalu sama. Blok diagram keandalan dari sistem akan sangat tergantung dari kepiawaian sang analisis dalam memahami cara kerja suatu sistem dan menerjemahkannya kedalam blok diagram keandalan. Susunan diagram blok keandalan ini untuk sistem yang sederhana pada dasarnya terdiri dari susunan seri dan paralel atau kombinasi susunan seri dan paralel. Sebagai contoh yang sederhana akan dipakai sebuah subsistem yang terdiri dari dua buah filteer. Jika didefinisikan agar sistem itu dapat berfungsi diperlukan dua buah filter yang bekerja bersamasama, maka diagram bllok keandalan dengan susunan seri adalah yang paling tepat untuk dipakai sebagai model. Sedang bila sistem itu akan berfungsi dengan baik bila hanya membutuhkan satu buah filter yang bekerja, maka diagram blok keandalan dengan susunan paralel adalah yang paling tepat untuk dipakai sebagai model. Gambar . menunjukan blok diagram keandalan dengan susunan seri dan paralel dari dua buah filter yang dipakai sebagai contoh penjelasan.
40
1
1
2
2
a. Susunan Seri
b. Susunan Paralel
Gambar 3.1 Susunan seri dan paralel
3.2 Sistem Dengan Susunan Seri Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika kompponen-komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja atau berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan misinya. Atau dengan kata lain bila ada satu komponen saja yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya. Sistem yang mempunyai susunan seri dapat dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant (non-redundant system). system). Blok diagram keandalan untuk sistem yang terdiri dari dua komponen dengan susunan seri dapat dilihat pada gambar 3.1 a. Misal keandalan untuk komponen 1 pada gambar 3.1 a, adalah R1 dan keandalan untuk komponen 2 adalah R2. Jika keandalan ini mewakili probabilitas suatu komponen untuk tidak mengalami kegagalan atau probabilitas sukses dari komponen pada periode waktu yang telah ditentukan, maka keandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspesikan sebagai perkalian indeks keandalan kedua 41
komponen. Secara matematis, jika Rs menyatakan keandalan dari sistem diatas maka
Rs
= R1R2
(3.1)
Dari sistem selain diekspresikan dalam keandalan, sistem itu juga bisa diekspresikan diekspresikan dalam bentuk ketakandalan ketakandalan (unreliability ). ). Indeks ketakandalan ini mewakili probabilitas dari suatu komponen yang akan mengalami kegagalan pada periode waktu tertentu. Ketakandalan dari sebuah komponen i dinotasikan dengan notasi Qi. Hubungan antara indeks keandalan dan indeks ketandalan dari suatu komponen dapat diekspresikan kedalam rumusan sebagai berikut. Ri + Qi = 1
(3.2)
1
2
.. .
n
Gambar 3.2 Diagram blok keandalan dari n buah komponen dalam susunan seri
Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masingmasing memiliki indeks keandalan R1, R2,……Rn, seperti terlihat pada gambar 3.2, maka ekspresi ekspresi keandalan dari sistem itu adalah
42
R s
n
= R1R2 .....Rn = Π Ri i = 1
(3.3)
Sedang ekspresi ketakandalan ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dari n buah komponen adalah Q s
n
= 1 − Rs = 1 − Π Ri i = 1
(3.4)
Contoh 3.1 Sebuah sistem kontrol terdiri dari lima buah unit dimana semua unit pendukungnya ini bekerja seluruhnya agar sistem kontrol tersebut dapat berfungsi. Jika indeks keandalan dari kelima unit itu masingmasing adalah 0,9; 0,95; 0,87; dan 0,9, tentukan indeks keandalan dari sistem kontrol tersebut. Solusi Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari sistem kontrol tersebut adalah blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing unit diekspresikan dalam Ri maka keandalan dari sistem kontrol ituu adalah Rs
5
= Π Ri = (0,9)(0,95)(0,87)(0,93)(0,9) = 0,622602 i = 1
q
Contoh 3.2 a. Dari contoh 1, jika masing-masing komponen mempunyai keandalan 0,9, tentukan keandalan dari sistem kontrol diatas. 43
b. Jika seorang desainer sanggup menyederhanakan sistem kontrol tersebut diatas hanya menjadi tiga unit, dengan nilai keandalan untuk masing-masing unit tetap 0,9, hitung keandalan dari sistem kontrol yang baru. c. Beri komentar tentang nilai keandalan dari dua sistem tersebut diatas Solusi a. Untuk sistem kontrol dengan susunan seri dari lima unit yang memiliki keandalan yang sama R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R = 0,9 Rs
5
= Π Ri = R5 = (0,9)5 = 0,59049 i =1
q
b. Untuk sistem kontrol dengan susunan seri dari tiga unit yang memiliki keandalan yang sama R1 = R2 = R3 = R = 0,9 Rs
3
= Π Ri = R3 = (0,9)3 = 0,729 i =1
q
c. Dari hasil perhitungan diatas jelas terlihat bahwa komponen yang identik dengan keandalan yang sama bila disusun secara seri, maka semakin banyak komponen yang disusun dalam susunan seri semakin banyak komponen yang disusun dalam susunan seri semakin turun keandalan dari sistem itu. Ini adalah karakteristik q utama dari sistem dengan susunan seri.
44
1,2
0,9999 1
0,999 m0,8 e t s i S n a 0,6 l a d n a e K 0,4
0,99 0,98 0,97
0,2
0,95
0,9
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Jumlah Komponen
Gambar 3.3 Keandalan dari komponen-komponen dengan susunan seri. Angka di dekat kurva menunjukkan keandalan untuk masing-masing komponen
Hubungan antara jumlah komponen dalam susunan seri dengan nilai keandalannya untuk tiap-tiap komponen dengan keandalan 0,9; 0,95; 0,97;0,98; 0,99; 0,999; dan 0,9999 dapat dilihat pada gambar 3.3.
Contoh 3.3 Sebuah sistem terdiri dari 10 buah komponen yang identik. Agar sistem ini dapat bekerja kesepuluh komponen ini harus bekerj 45
seluruhnya. Jika sistem ini didesain agar memiliki keandalan 0,95, tentukan nilai minimum dari masing-masing komponen Solusi Jika keandalan masing-masing kompponen adalah R, keandalan untuk sistem itu adalah Rs = R10 Keandalan yang disyaratkan adalah 0,95, sehingga keandalan dari masing-masing komponen dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan R10 = 0,95 R = 0,994884 q
Keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dalam susunan seri dapat pula didapatkan dengan cara pendekatan. Cara pendekatan ini diturunkan dari persamaan 3.3 dann persamaan 3.2. Secara umum keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dengan keandalan untuk masing-masing komponen adalah R dan ketakandalan untuk masing-masing komponen adalah Q dapat diekspresikan kedalam persamaan Rs
= Rn
Persamaan 3.5 ketakandalan sebagai Rs
(3.5)
diatas
= (1 − Q)n
dapat
juga
ditulis
dalam
bentuk
(3.6) 46
Dengan menerapkan dapat diselesaikan menjadi Rs
= 1 + n(−Q) +
teorema
n(n
binomial,
persamaan
− 1) (−Q)2 + .... + ( −Q)n
2
diatas
(3.7)
Jika nilai dari Q adalah sangat kecil, maka keandalan dari sistem dengan n komponen yang identik dalam susunan seri adalah Rs
≈ 1 − nQ
(3.8)
Persamaan (3.8) dapat pula dipakai untuk menyelesaikan contoh soal 3.3 0,95 = 1 –10Q Q = 5 x 10-3 R = 1 – Q = 1 – 5 x 10 -3 = 0,995 Hasil perhitungan ini 0,012% lebih tinggi dari hasil perhitungan eksak. Untuk perhitungan dengan metode pendekatan, hasil yang diperoleh inii tidak terlalu jelek
3.3 Sistem Dengan Susunan Paralel Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan paralel jika seluruh komponen-komponen yang ada didalam sistem itu gagal berfungsi maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya. Sistem yang memiliki konfigurasi paralel dapat 47
dikategorikan sebagai sistem yang sangat berlebihan (fully (fully redundant system). system). Blok diagram keandalan untuk sistem yang terdiri dari dua komponen dengan susunan paralel dapat dilihat pada gambar 3.1 b. Misal ketakandalan untuk komponen 1 pada gambar 3.1 b adalah Q1 dan ketakandalan untuk komponen 2 adalah Q 2. Jika ketakandalan ini mewakili probabilitas suatu komponen untuk mengalami kegagalan dari komponen pada periode waktu yang telah ditentukan, maka ketakandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspresikan sebagai perkalian ketakandalan dari sistem tersebut diatas dapat diekspresikan sebagai perkalian ketakandalan kedua komponen. Secara matematis, jika Qp menyatakan ketakandalan dari sistem diatas maka Q p
= Q1Q2
(3.9)
Sedangkan ekspresi keandalan dari sistem dengan susunan paralel untuk gambar 3.1 b adalah Rp
= 1 − Qp = 1 − Q1Q2
(3.10)
Rp
= 1 − (1 − R1)(1 − R2) = R1 + R2 − R1R2
(3.11)
atau
Sedang untuk n komponen yang tersusun dalam susunan paralel dengan ketakandalan untuk masing-masing komponen adalah Qi maka ekspresi ketakandalan dari sistem ituu adalah Q p
n
= Q1Q2....Qn = Π Qi i =1
(3.12)
48
1
2
. . .
n
Gambar 3.4 Blok diagram keandalan n buah komponen dalam susunan paralel
Sedang ekspresi keandalan dari n buah komponen yang tersusunan secara paralel adalah n
R p
= 1− Π Qi i =1
(3.13)
Contoh 3.4 Sebuah sistem yang terdiri dari tiga buah komponen dengan keandalan untuk masing-masing masing-masing komponen adalah R1 = 0,9, R2 = 0,95, dan R3 = 0,97. Ketiga kompponen inii akan disusun secara paralel. Hitung keandalan dari sistem ini.
49
Solusi Ketakandalan dari sistem ini adalah Qp = Q1Q2Q3 = 0,1 x 0,05 x 0,03 = 1,5 x 10 -4 Keandalan dari sistem inii adalah Rp = 1 – Q p = 1 – 1,5 x 10 -4 = 0,99985
Contoh 3.5 Seorang system engineer akan mendesain sebuah subsistem yang merupakan bagian dari sebuah sistem pengolahan minyak. Subsistem ini hanya memerlukan satu buah komponen agar dapat menunjang proses pengolahan minyak. Untuk meningkatkan keandalan dari subsistem ini insiyur tadi merencanakan akan memasang komponen yang identik dalam subsistem ini secara paralel. Karena keterbatasan dana hanya ada tiga buah alternatif subsistem yang akan ia desain, masing-masing desain terdiri dari 2,3, dan 4 komponen. Keandalan dari masing-masing komponen ini adalah 0,98. Jika sasaran dari pemilihan desain ini adalah untuk mendapatkan tingkat keandalan yang tinggi, susunan mana kira-kira yang akan dipilih oleh insyiyur tadi.
50
1,2
0,95
0,75 0,85
1
0,8
0,8 e t s i S n a 0,6 l a d n a e K
0,4
0,2
0 0
2
4
6
8
10
Jumlah Komponen
Gambar 3.5 Keandalan dari komponen-komponen dengan susunan seri. Angka di dekat kurva menunjukkan keandalan untuk masing-masing komponen
Solusi Untuk subsistem dengan dua komponen keandalan dari subsistem itu adalah : Rp = 1 – Q2 = 1 – 0,022 = 0,9996
51
Untuk subsistem dengan tiga komponen keandalan dari subsistem itu adalah Rp = 1 – Q3 = 1 – 0,023 = 0,999992 Untuk subsistem dengan empat komponen keandalan dari subsistem itu adalah : Rp = 1 – Q4 = 1 – 0,024 = 0,99999984 Dari hasil perhitungan diatas jelas insiyur tadi akan memilih desain ketiga yaitu buah komponen dalam susunan paralel. Dari contoh desain diatas, jelas terlihat bahwa keandalan dari sistem dengan susunan paralel akan bertambah seiring dengan bertambahnya jumalh komponen. Hal inii merupakan seiring dengan bertambahnya jumlah komponen. Hal ini merupakan sifat utama dari suatu sistem dengan susunan paralel. Reprensentasi grafis dari sifat utama ini dapat dilihat pada gambar 3.5.
3.4 Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri - Paralel Untuk menganalisa suatu sistem sederhana dengan susunan seri atau paralel sudah didiskusikan pada seksi terdahulu. Susunan seri atau paralel merupakan susunan dasar yang akan dipakai untuk menganalisa sistem yang mempunayai susunan yang lebih kompleks. Blok diagram keandalan yang lebih kompleks akan mempunyai struktur gabungan antara susunan seri dan paralel. Prinsip dasar yang dipakai untuk menyelesaikan konfigurasi yang komplek ini adalah dengan mereduksi konfigurasi yang komplek iin secara berurutan dengan jalan menyederhanakan blok yang 52
mempunayi struktur seri atau paralel terlebih dahulu menjadi blok diagram yang ekuivalen. Blok diagram yang ekuivalen ini akan mewakilii konfigurasi asli sebelum konfigurasi ini disederhanakan. Untuk jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut ini.
Contoh 3.6 Gambar dibawah inii menunjukan blok diagram keandalan dari suatu sistem. Keandalan untuk masing-masing kompponen adalah R1 = R2 = 0,97 ; R3 = 0,99 ; R4 = 0,94 ; R5 = 0,98 ; R6 = 0,93. Hitung keandalan dari sistem tersebut.
1
2
n
4
5
6
Gambar 3.6 Diagram blok keandalan untuk contoh soal nomor 6
Solusi Untuk menyelessaikan konfigurasi seperti ini, terlebih dahulu komponen 1,2, dan 3 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yaitu komponen 7. Demikian juga dengan komponen 4,5 dan 6. Ketiga kompponen ini disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yaitu komponen 8
53
7 9 8
Gambar 3.7 Penyerdehanaan Penyerdehanaan blok diagram keandalan contoh soal 6
R 7
R 8
= R1R2 R3 = 0,95 x 0,97 x 0,99 = = =
0,912285
R R R 4 5 6 0,94 x 0,98 x 0,93
Pada akhirnya kedua komponen yang ekuivalen ini, yaitu komponen 7 dan 8 disederhanakann menjadi komponen 9 yang mewakili sistem secara keseluruhan. Q p
= Q9 = Q7Q8
R 9
= 1 − Q7Q9 = 1 − (0,087715)(0,143284) = 0,987431843
atau
54
Contoh 3.7 Dapatkan ekspresi umum untuk sistem yang diwakili oleh blok diagram keandalan seperti pada gambar 3.8 berikut ini, jika semua komponen memilki keandalan R dan Ketakandalan Q
1
3
2
4
6
5
Gambar 3.8 Diagram blok keandalan contoh soal 3.7
Solusi Komponen 1 dan 2 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen, yaaitu komponen 7. Demikian juga komponen 4 dan 5 disederhanakan menjadi sebuah ko ponen yang ekuivalen, yaitu komponen 8 55
7
3
9 11
8
6
10
Gambar 3.9 Penyederhanaan Penyederhanaan diagram blok keandalan contoh soal 3.7
R 7
= 1 − Q1Q2 = R1 + R2 − R1R2
semua komponen mempunyai keandalan R, sehingga R 7
= 2R − R2
Untuk komponen 8, yang memiliki konfigurasi dan keandalan masingmasing komponen yang sama dengan komponen 7, keandalannya adalah R = 2R − R2 8 Komponen 7 dan 3 disederhanakan menjadi sebuah komponen yang ekuivalen yitu komponen 9 dengan keandalannya. R 9
= R7R3 = (2R − R2 )R = 2R2 − R3 56
Untuk komponen 10, yang memiiki konfigurasi dan keandalan masing-masing komponen yang sama dengan komponen 9, keandalannya adalah R 10
= R8R6 = (2R − R2)R = 2R2 − R3
Keandalannya untuk seluruh sistem adalah R 11
= R9R10 = (2R2 − R3 )2
3.5 Sistem dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial l l y R e d u n d an a n t S y s t e m) (P a r t i a ll Jika sistem dengan susunan seri dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant (non-redundant system) system) dan sistem dengan susunan paralel dikategorikan sebagai sistem dengan susunan yang sangat berlebihan (fully (fully redundant system), system), maka ada sebuah sistem yang bisa dikategorikan sebagai sistem dengan susunan berlebihan secara parsial ( partially partially redundant system system). Untuk mengevaluasi keandalan dari sistem yang memiliki konfigurasi berlebihan secara parsial, konsep susunan seri dan susunan paralel yang telah dibahas di seksi terdahulu tidak dapat langsung diterapkan. Untuk menyelesaikan perhitungan keandalan sistem ini, perlu diterapkan konsep distribusi binomial. Contoh berikut 57
akan memperjelas pembahasan mengenai sistem dengan struktur berlebihan secara parsial.
Contoh 3.8 Sebuah sistem yang terdiri dari tiga buah susbsistem dengan keadalan untuk masing-masing subsistem adalah R1, R2, dan R3. Agar sistem itu dapat berfungsi, minimal harus ada dua sistem yang berfungsi. Diagram blok keandalan untuk sistem ini diilustrasikan pada gambar 3.10. Dapatkan ekspresi umum yang mewakili keandalan sistem tersebut.
Gambar 3.10 Diagram blok keandalan contoh soal 8
Solusi Dengan mengaplikasikan konsep distribusi binomial, keandalan dari sistem itu dapat diekspresikan sebagai RSistem
= R1R2R3 + R1R2Q3 + R1Q2R3 + Q1R2R3
58
Jika masing-masing subsistem memiliki keandalan yang sama yaitu R, maka ekspresi keandalan dari sistem itu adalah RSistem
= R3 + 3R 2Q q
3.6 Pertimbangan Desain Antara Susunan Seri dan Paralel Misalkan ada sebuah sistem yang terdiri dari n buah komponen dalam susunan seri. Untuk meningkatkan keandalan dari sistem ini ada dua cara dasar yang umum dipakai yaitu dengan membuat masing-masing komponen yang ada di sistem berlebihan (component-level redundancy ) atau membuat sistemya yang berlebihan (system-level (system-level redundancy ). ). Diagram blok untuk kedua alternatif desain ini dapt dilihat pada gambar 3.11.
59
Gambar 3.11 Konfigurasi component-level redundancy dan system-level redundancy
Untuk konfigurasi pada gambar 3.11 a, jika keandalan untuk masing-masing komponen adalah R, maka keandalan dari sitem itu adalah RSistem a
= (1 − (1 − R)m )n
(3.14)
60
Sedang untuk konfigurasi pada gambar 3.11 b, jika keandalan untuk masing-masing komponen adalah R, maka keandalan dari sitem itu adalah
= 1 − (1 − R n )m
RSistem b
(3.15)
Plot kurva dari persamaan 3.14 dan 3.15 dapat dilihat pada gambar 3.12 dan 3.13. 1.05 m=4, R=0,9 1 m=2, R=0,9 m=3, R=0,9
0.95 e t s i s 0.9 0.9 n a l a d n0.85 a e K
m=4, R=0,8 m=3, R=0,8
m=2, R=0,8
0.8 0.8
0.75
0.7 0.7 1
2
3 Jumlah komponen (n)
4
5
Gambar 3.12 Plot kurva untuk persamaan 3.14
61
1.1 m=4, R=0,9 e t s i S 0.9 n a l a d n a e K
m=3, R=0,9 m=2, R=0,9
m=3, R=0,8 m=2, R=0,8
m=4, R=0,8
0.7
0.5 1
2
3 Jumlah Komponen (n)
4
5
Gambar 3.13 Plot kurva untuk persamaan 3.15
Dengan membandingkan kurva 3.12 dan 3.13 jelas terlihat bahwa component-level redundancy akan memberikan keandalan sistem yang lebih tinggi untuk berbagai harga m dan n yang dicoba. Dari kedua kurva yangsudah diplot, dapat pula disimpulkan bahwa dengan memberikan cadangan pada tiap komponen akan memberikan keandalan yang lebih tinggi secara keseluruhan dibandingkan dengan memberi cadangan pada tiap sistem.
62
3.7 S t a n d b y R e d u n d a n t S y s t e m Pada sistem paralel redundancy , seluruh komponen dioperasikan secara simultan, sedangkan pada sistem standby redundant , unit standby akan dioperasikan hanya ketika dalam keadaan normal unit operasi dalam keadaan gagal. Perbedaan antara dua hal itu digambarkan dalam gambar 3.14 dibawah ini. Secara umum ada dua buah kasus dasar yang berhubungan dengan switching. switching. Pertama, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch switch yang sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang sempurna ( perfect switching) switching) serta yang kedua, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch yang tidak sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang tidak sempurna (Imperfect (Imperfect switching) switching)
1
1
2
2
(a)
(b)
Gambar 3.14 Sistem dengan susunan paralel dan sistem dengan susunan standby
Perfect switching Pada kasus ini, switch diamsusikan tidak pernah gagal pada saat pengoperasian dan juga tidak akan mengalami kegagalan pada 63
saat melakukan pengalihan dari pengoperasian normal ke posisi standby. Gambar 3.14 merupakan contoh tipikal dari sebuah sistem yang memiliki susunan standby. Jika diasumsikan bahwa komponen 2 tidak mengalami kegagalan pada saat sedang dalam kondisi standby, maka sistem hanya akan mengalami kegagalan bila komponen 1 satu telah gagal sebelumnya dan setelah pengoperasiannya dialihkan ke komponen 2, komponen 2 juga gagal beroperasi.
Karena itu probabilitas kegagalan sistem dapat dinyatakan ke dalam persamaan berikut ini.
Q
=
Q (1 ) Q ( 2 1 )
(3.16)
Jika diasumsikan komponen 1 dan komponen 2 saling bebas (independent ), ), maka persamaan (3.160 dapat disederhanakan menjadi Q
= Q(1)Q(2) ≡ Q1Q2
(3.17)
Persamaan (3.17) memberikan kesan seolah – olah sama dengan persamaan ketakandalan sistem yang memiliki dua komponen dengan susunan paralel. Hal ini tidaklah benar karena nilai numerik dari ketakandalan untuk komponen 2 tidak sama, karena komponen 2, yang merupakan komponen standby, hanya dipakai dalam waktu yang sangat singkat, sehingga indeks ketakandalan komponen 2 bila difungsikan sebagai komponen aktif dan standby akan memiliki indeks yang berbeda.
64
I m p e r f e ct c t S w i t ch ch i n g Untuk kasus ini, kemungkinan switch mengalami kegagalan dalam mengalihkan tugas dari komponen aktif ke komponen standby akan dimasukkan dalam perhitungan. Jika P s menyatakan probabilitas dari sukses dari switch untuk mengalihkan tugas, maka probabilitas kegagalan dari switch untuk melakukan pengalihan tugas dapat dinyatakan oleh P s = 1 – Ps. Dengan menggunakan persamaan (2.21), maka untuk kasus imperfect switching dapat diformulasikan ke dalam persamaan berikut ini. P( sistem gagal) = P ( sistem gagal dengan kondisi switch berhasil melakukan pengalihan) x P ( Proses pengalihan berjalan sukses) + P ( sistem gagal dengan kondisi switch gagal melakukan pengalihan) x P(Proses pengalihan gagal) Atau secara matematis dapat ditulis sebagai Q
= Q1Q2 P s + Q1(1 − P s ) = Q1 − Q1P s (1 − Q2 )
1
(3.18)
PS S
RS S
2
65
Gambar 3.15 Blok diagram untuk kasus standby redundancy dengan switch tak sempurna
Persamaan (3.18) untuk imperfect switching yang telah diturunkan, dapat diperluas lagi dengan menambahkan blok diagram lagi pada gambar 3.14 b, sehingga blok diagram keandalan untuk kasus imperfect switching berubah menjadi seperti pada gambar 3.15. Blok diagram S yang pertama mewakili switch dalam melakukan proses pengalihan dari komponen aktif 1 ke komponen standby 2 dengan probabilitas kesuksesan Ps, sedangkan blok diagram kedua mewakili mode pengoperasian normal dari switch dengan indeks keandalan Rs dan indeks ketakandalan Qs. Dari gambar 3.15 terlihat bahwa tambahan komponen kedua disusun secar seri dengan susunan komponen yang sudah ada, sehingga persamaan keandalan dari sistem di atas dapat ditulis sebagai R
= {1 − [Q1 − Q1P s (1 − Q2 )]}Rs
(3.19)
3.8 Pemodelan Jaringan yang Kompleks Pada seksi terdahulu telah dibahas bagaimana memodelkan dan mengevaluasi keandalan dari suatu sistem yang memiliki susunan yang sangat sederhana. Pemodelan yang dimaksud adalah pemodelan sistem dengan susunan seri atau paralel. Ada beberapa susunan model yang pengevaluasian keandalannya tidak bisa diselesaikan hanya dengan mengandalkan teknik pengevaluasian susunan seri atau paralel saja. Contoh yang sering dipakai untuk susunan yang kompleks adalah susunan jembatan seperti yang terlihat pada gambar 3.16. 66
Secara visual, model sistem yang ditunukkan pada gambar 3.16 tidak bisa disederhanakan menjadi sistem dengan susunan seri dan paralel seperti yang telah dijelaskan pada bab 3. Ada berbagai teknik standard yang bisa dipakai untuk mengevaluasi keandalan dai sistem yang memiliki diagram blok keandadalan yang kompleks. Ada beberapa teknik yang bisa dipakai untuk menyelesaikan evaluasi sistem yang memiliki susunan yang kompleks. Teknik – teknik itu antara lain teknik pengevaluasian dengan memakai pendekatan proabilitas kondisonal/bersyarat (conditional (conditional probability approach), approach), metode cut set (cut (cut set method ) dan analisa pohon kegagalan (event tree analysis).
1
3
5
2
4
Gambar 3.16 Sistem dengan susunan jembatan
3.9 Conditional Probability Approach Teknik pengevaluasian untuk sistem yang kompleks dengan memanfaatkan pendekatan probabilitas bersyarat (conditional (conditional probability approach) approach) sebagian telah diulas pada bab 2. Persamaan 67
2.20 dan 2.21 akan dipakai untuk mengevaluasi keandalan sistem. Kedua persamaan itu adalah P(sistem sukses) = P(sistem sukses jika Bdalam kondisi baik)P(BS ) + P(sistem sukses jika Bdalam kondisi jelek)P(B f ) (3.20) Sedangkan probabilitas dari kejadian komplemennya komplemennya adalah P (sistemgagal) = P (sistem gagal jika Bdalam kondisi baik)P (BS ) + P (sistem gagal jika Bdalam kondisi jelek je lek)P (Bf ) (3.21)
Contoh 3.9 Untuk sistem yang diwakili oleh gambar 3.16, sistem itu akan berfungsi jika salah satu jalur 13, 24, 154, atau 253 dalam kondisi yang bagus. Tentukan ekspresi keandalan dari sistem yang memiliki blok diagram keandalan seperti pada gambar 3.16. Solusi Untuk menerapkan pendekatan probabilitas bersyarat, yang pertama harus dilakukan adalah memilih komponen yang akan dipertimbangkan sebagai komponen yang baik dan komponen yang buruk. Semua komponen yang ada yaitu komponen 1 sampai komponen 5 dapat dipilih sebagai komponen yang akan dipertimbangkan sebagai komponen yang baik dan buruk. Pemilihan komponen ini sangat penting, karena pemilihan komponen yang tepat akan sangat membantu untuk mempercepat penyelesaian evaluasi keandalan dari sistem. 68
Untuk soal diatas, komponen nomor 5 dipilih sebagai komponen yang akan dipertimbangkan. Akibat dari pemilihan komponen ini, maka akan ada dua buah blok diagram keandalan yang masingmasing mewakili kondisi komponen 5 dalam keadaan baik dan buruk. Gambar 3.17 menunjukkan pembagian blok diagram ini.
1
3
5
2
4
1
3
1
3
2
4
2
4
Komponen 5 baik
Komponen 5 jelek
Gambar 3.17 Blok diagram untuk komponen no. 5 dalam kondisi baik dan jelek
Jika Ri menyatakan keandalan dari komponen i dan Qi menyatakan ketakandalan dari komponen i, maka secara umum persamaan 69
keandalan untuk blok diagram dengan susunan jembatan seperti terlihat pada gambar 3.17 adalah
RS
= RS ( jika komp. no. 5 baik)R5 + RS ( jika komp. no. 5 jelek)Q5 (3.22)
Untuk blok yang pertama, dimana komponen nomor 5 dianggap dalam kondisi yang bagus, persamaan keandalan dari blok di atas adalah RS ( jika komp. no. 5 baik) = (1 - Q1Q2 )(1 - Q3Q4 )
(3.23)
Untuk blok yang kedua, dimana komponen nomor 5 dianggap dalam kondisi yang jelek, persamaan keandalan dari blok di atas adalah RS ( jika komp. no. 5 jelek) = 1 - (1 - R1R3 )(1 - R2R4 )
(3.24)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.23) dan (3.24) ke dalam persamaan (3.22), maka akan diperoleh persamaan keandalan dari sistem yang dimaksud. Persamaan keandalan dari sistem itu adalah RS
= (1 − Q1Q2 )(1 − Q3Q4 )R5 + (1 − (1 − R1R3 )(1 − R2R4 ))Q5
(3.25)
Jika masing-masing komponen memiliki nilai keandalan R = 0,95, maka keandalan dari sistem itu adalah RS RS
= (1 − Q2 )2 R + (1 − (1 − R2 )2 )Q = (1 − 0,052 )2 × 0,95 + (1 − (1 − 0,952 )2 ) × 0,05 = 0,994781 o
70
4
1
2
5
3
Gambar 3.18 Blok diagram keandalan untuk contoh soal 3.10
Contoh 3.10 Gambar 3.18 menunjukkan sebuah blok diagram keandalan dari suatu sistem. Diketahui R1 = 0,80, R2 = 0,85, R3 = 0,90, R4 = 0,95, dan R5 = 0,97. Dengan menggunakan pendekatan probabilitas bersyarat, tentukan keandalan dari sistem tersebut.
Solusi Seperti pada contoh soal terdahulu, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memilih komponen yang akan dipakai sebagai acuan sebagai komponen bersyarat. Untuk soal di atas komponen nomor 2 adalah komponen yang paling cocok untuk dipilih sebagai komponen yang akan dipakai sebagai acuan sebagai komponen bersyarat. Jika komponen 2 dalam keadaan baik, maka blok diagaram keandalan yang ditunjukkan pada gambar 3.18 akan berubah menjadi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.19 sedang jika komponen komponen 2 dalam keadaan jelek, maka blok diagaram keandalan yang ditunjukkan pada gambar 3.18 akan berubah menjadi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.20. 71
4
5
Gambar 3.19 Blok diagram keandalan contoh soal no. 3.10 untuk kondisi komponen no. 2 dalam kondisi baik
4
1
5
3
Gambar 3.20 Blok diagram keandalan contoh soal no. 3.10 untuk kondisi komponen no. 2 dalam kondisi jelek
Persamaan keandalan untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar 3.18 adalah : RS
= RS ( jika komp. no. 2 baik)R2 + RS ( jika komp. no. 2 jelek)Q2 (3.26) 72
Untuk kondisi jika komponen 2 dalam keadaan baik, maka keandalan dari sistemnya bisa diturunkan dari blok diagram pada gambar 3.19, yaitu RS ( jika komp. no. 2 baik) = 1 - Q4Q5
= 1 − (0,05 × 0,03) = 0,9985
(3.27)
Untuk kondisi jika komponen 2 dalam keadaan jelek, maka keandalan dari sistemnya bisa diturunkan dari blok diagram pada gambar 3.20, yaitu RS ( jika komp.no. 2 jelek)= 1 - (1 - R1R 4)(1 - R3R5)
= 1 − (1 − 0,80 × 0,95)(1 − 0,90 × 0,97) = 0,96952
(3.28)
Dengan memasukkan nilai-nilai yang diperoleh pada persamaan (3.27) dan (3.28) ke dalam persamaan (3.26), maka akan diperoleh keandalan dari sistem. Nilai keandalan dari sistem itu adalah : RS RS
= RS ( jika komp. no. 2 baik)R2 + RS ( jika komp. no. 2 jelek)Q2 = 0,9985 × 0,85 + 0,96952 × 0,15 = 0,994153
o
3.10 Metode Cut Set Untuk memahami konsep cut set, perhatikan gambar blok diagram keandalan dari suatu sistem seperti yang terlukis pada gambar 3.21. Pada gambar 3.21, sebuah komponen di hubungkan secara seri dengan dua komponen lain yang telah dihubungkan secara paralel terlebih dahulu. Bila komponen 1 rusak maka akan 73
mengakibatkan sistem tidak berfungsi. Sistem tersebut juga tidak akan berfungsi jika komponen 2 dan 3 dalam keadaan rusak, komponen 1 dan 2 dalam keadaan rusak, komponen 1 dan 3 dalam keadaan rusak, dan bila ketiga komponen dalam keadaan rusak. Bila komponen-komponen yang sudah disebutkan di atas dikumpulkan dalam sebuah himpunan (set) maka terbentuk himpunan yang beranggotakan komponen-komponen yang bila komponen-komponen itu dalam keadaan rusak akan menyebabkan sistem tidak berfungsi. Ini merupakan konsep dari cut set. Jadi cut set dapat didefinisikan sebagai berikut.
Sebuah cut set adalah sekumpulan dari komponen yang bila komponen-komponen itu mengalami kegagalan, maka akan menyebabkan seluruh sistem akan mengalami kegagalan pula. Sebuah cut set dikatakan sebagai minimal cut set bila salah satu komponen yang terdapat di dalam minimal cut set itu mengalami kegagalan, maka akan menyebabkan seluruh sistem akan mengalami kegagalan pula, tetapi bila salah satu komponen yang terdapat di dalam mininimal cut set bekerja, maka tidak mengakibatkan sistem menjadi gagal.
Cut set dari blok diagram keandalan pada gambar 3.21 adalah : {1}, {2,3}, {1,2}, {1,3}, dan {1,2,3}. Sedang minimal cut set dari blok diagram keandalan pada gambar 3.21 adalah : {1}, {2,3}.
74
2 1
3
Gambar 3.21 Blok diagram keandalan
Metode cut set adalah metode yang sangat berguna untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sistem karena dua alasan utama, yaitu § Metode ini dapat dengan mudah di kerjakan dengan menggunakan program komputer untuk mendapatkan penyelesaian yang cepat dan akurat. § Cut set langsung berkaitan dengan modus-modus kegagalan sistem. Untuk dapat memahami perhitungan keandalan sistem dengan menggunakan metode cut set, perhatikan kembali gambar 3.16. Minimal cut set dari blok diagram keandalannya adalah {1,2}, {3,4},{1,4,5}, dan {2,3,5}. Mengingat semua komponen yang terdapat di dalam minimal cut set ini harus gagal semuanya maka probabilitas kegagalan untuk semua komponen yang ada di dalam minimal cut set dapat diekspresikan dalam bentuk blok diagram keandalan dengan susunan paralel. Suatu sistem akan mengalami kegagalan jika tiap-tiap cut set mengalami kegagalan, maka semua cut set akan dihubungkan dalam susunan seri dalam blok diagram keandalan untuk mengekspresikannya. mengekspresikannya. 75
1
2
1
2
4
3
5
5
3
4
Gambar 3.22 Minimal cut set dari contoh 3.22
Blok diagram keandalan yang ditunjukkan pada gambar 3.22 yang merupakan susunan seri dari beberapa minimal cut set lainnya tidak bisa dipakai untuk mengevaluasi keandalan sistem. Ini terjadi karena ada beberapa komponen yang muncul lebih dari satu kali di dalam satu kelompok minimal cut set. Selanjutnya untuk mengevaluasi keandalan dari sistem, maka konsep gabungan dari dua himpunan atau lebih akan dipakai. Jika Ci menyatakan minimal cut set ke-i, maka untuk kasus di atas kita akan memiliki : C1 = {1,2}, C2 = {3,4}, C3 = {1,4,5}, dan C4 = {2,3,5}. Dan jika P(Ci) mewakili probabilitas untuk event Ci maka ketakandalan dari sistem secara umum dapat diekspresikan sebagai
76
n
QS
n
i −1
= P (C 1 ∪ C 2... ∪ C i ... ∪ C n ) = ∑ P (C i ) − ∑ ∑ P (C i ∩ C j ) i =1
n
i = 2 j =1
i −1 j −1
+ ∑ ∑ ∑ P (C i ∩ C j ∩ C k ) + ... + (−1)n −1 P (C 1 ∩ C 2 ∩ ... ∩ C n )
(3.29)
i =3 j = 2 k =1
Contoh 3.11 Gunakan formula 3.29 untuk menghitung ketakandalan dari sistem yang memiliki diagram blok keandalan seperti pada gambar 3.16. Solusi Minimal cut set untuk kasus struktur jembatan seperti pada gambar 3.16 adalah C1 = {1,2}, C2 = {3,4}, C3 = {1,4,5}, dan C4 = {2,3,5} Sedangkan ekspresi ketakandalan sistemnya adalah QS
= P (C ∪ C ∪ C ∪ C ) = P (C ) + P (C ) + P (C ) + P (C ) − P (C ∩ C ) − P( C ∩ C ) − P(C ∩ C ) − P (C ∩ C ) − P (C ∩ C ) − P (C ∩ C ) + P( C ∩ C ∩ C ) + P (C ∩ C ∩ C ) + P (C ∩ C ∩ C ) + P (C ∩ C ∩ C ) − P ( C ∩ C ∩ C ∩ C ) 1
2
3
1
3
1
2
3
1
2
3
4
1
1
4
2
2
1
2
3
3
4
4
2
1
4
3
1
3
4
2
2
4
3
4
4
(3.30) dimana
P ( C1 ) = Q1 Q2 P( C2 ) = Q3 Q4 P( C1
∩ C ) = P (C 2
P( C3 ) = Q1 Q4 Q5 P( C 4 ) = Q 2 Q 3 Q 5 1
) P (C 2 ) = Q1Q 2 Q3 Q4 77
P( C1 P( C1 P( C2 P( C2 P( C3 P( C1
∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q ∩ C ) = P (C ) P(C ) = Q Q Q Q ∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q ∩ C ) = P(C ) P (C ) = Q Q Q Q ∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q Q 3
1
3
1
2
4
5
4
1
4
1
2
3
5
3
2
3
1
3
4
5
4
2
4
2
4
3
4
1
3
2
4
3
5
4
5
∩ C ∩ C ) = P(C ∩ C ∩ C ) = P (C ∩ C ∩ C ) = P(C ∩ C ∩ C ) = P (C ∩ C ∩ C ∩ C ) =Q Q Q Q Q 2
3
1
1
2
4
1
3
4
2
3
4
1
2
3
2
3
4
4
5
Jadi, ketakandalan dari sistem adalah QS
=QQ +QQ +QQ Q +Q Q Q −QQ − Q Q Q Q + 2Q Q Q Q Q 1
2
2
3
3
4
4
5
1
4
1
5
2
2
3
4
3
5
1
2
Q3 Q4
−QQQ 1
2
4
Q5
−QQQ 1
3
4
Q5
5
(3.31) Dengan mengambil nilai keandalan untuk masing-masing komponen dari contoh soal nomor 1 yaitu R1 = R 2 = R3 = R 4 = R5 = R = 0,95 , maka kita akan memeperoleh nilai-nilai ketakandalan dari masing-masing komponen adalah Q1 = Q2 = Q 3 = Q4 = Q5 = Q = 0,05 . Ketakandalan dari sistem akan menjadi QS
= 2Q2 + 2Q3 − 5Q4 + 2Q5 = 2 × 0,052 + 2 × 0,053 − 5 × 0,054 + 2 × 0,055 = 0,005219
Sedang keandalan dari sistem 78
RS
= 1 − QS = 0,994781
Sama dengan hasil yang diperoleh pada contoh soal pertama.
o
Perhitungan keandalan dan ketakandalan dari sistem baik dengan memakai pendekatan probabilitas bersyarat dan metode cut set sama-sama menghasilkan hasil yang presisi. Untuk sistem yang memiliki struktur yang lebih komplek dan jumlah komponen yang lebih banyak, kedua metode perhitungan keandalan yang sudah diuraikan secar teoritis dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Kendala yang dihadapi hanya waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan perhitungan itu sangat lama dan melelahkan. Perhitungan keandalan dengan pendekatan akan mempercepat penyelesaian meski dengan tingkat presisi yang lebih rendah. Tingkat kesalahan (error (error ) yang dibuat dengan metode pendekatan ini masih dalam batas-batas yang masih dapat di terima. Untuk melakukan perhitungan keandalan dengan metode pendekatan ada dua harga yang akan diperoleh. Harga-harga itu adalah batas atas (upper (upper bound ) dan batas bawah (lower (lower bound ) dari ketakandalan sistem yang dievaluasi. Upper bound dari ketakandalan suatu sistem dapat dihitung dengan mengambil kelompok pertama dari persamaan (3.29) dan lower bound dari ketakandalan suatu sistem dapat dihitung dengan mengambil kelompok pertama dan kedua dari persamaan (3.29). Formula upper bound dari ketakandalan sistem adalah n
QS Upper bound
= ∑ P (C i )
(3.32)
i =1
Sedang formula untuk lower bound dari ketakandalan sistem adalah 79
n
n
i −1
= ∑ P (C i ) − ∑ ∑ P (C i ∩ C j )
QS
i =1
(3.33)
i = 2 j =1
Contoh 3.12 Dengan menggunakan persamaan (3.32) dan (3.34), hitung keandalan dari sistem yang memiliki blok diagram keandalan seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.16. Bandingkan nilai keandalan yang diperoleh dengan memakai metode pendekatan ini dan nilai keandalan yang telah dihitung pada contoh 3.11. Solusi Dengan mengambil nilai keandalan untuk masing-masing komponen dari contoh soal 3.10 yaitu R1 = R 2 = R3 = R 4 = R 5 = R = 0,95 , maka kita akan memeperoleh komponen adalah Q1
nilai-nilai
ketakandalan
dari
masing-masing
= Q = Q = Q = Q = Q = 0,05 . 2
3
4
5
Dengan demikian
P( C1 ) = Q1Q2 P( C2 ) = Q3 Q4 P( C1 P( C1 P( C1 P( C2 P( C2 P( C3
=Q =Q
2
P( C3 ) = Q1 Q4 Q5
2
P( C4 ) = Q2 Q3 Q5
=Q =Q
∩ C ) = P(C ) P (C ) = Q Q Q Q = Q ∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q = Q ∩ C ) = P(C ) P (C ) = Q Q Q Q = Q ∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q = Q ∩ C ) = P( C ) P (C ) = Q Q Q Q = Q ∩ C ) = P ( C ) P (C ) = Q Q Q Q Q = Q
3 3
4
2
1
2
1
2
3
4
3
1
3
1
2
4
5
4
1
4
1
2
3
5
3
2
3
1
3
4
5
4
2
4
2
3
4
4
3
4
1
2
3
4
4
4
4
5
4
5
5
80
Sehingga upper bound ketakandalan dari sistem adalah QS Upper bound
= 2Q2 + 2Q3 = 2 × 0,052 + 2 × 0,05 3 = 0,00525
dan nilai keandalan dari sistem adalah = 1 - 0,00525 = 0,99475. Nilai ketakandalan dari sistem dengan menggunakan pendekatan upper bound adalah 0,59% lebih tinggi dari nilai ketakandalan sistem yang sebenarnya yaitu 0,005219. Sedangkan keandalan sistemnya adalah 0,003% lebih rendah dari nilai keandalan sistem yang sebenarnya. Lower bound ketakandalan dari sistem adalah QS Lower bound
= 2Q2 + 2Q3 − 5Q4 − Q5 = 2 × 0,052 + 2 × 0,053 − 5 × 0,054 − 0,055 = 0,005218
dan nilai keandalan dari sistem itu adalah = 1 - 0,005218 = 0,994782. Nilai ketakandalan dari sistem dengan menggunakan pendekatan lower bound adalah 0,02% lebih rendah dari nilai ketakandalan sistem yang sebenarnya yaitu 0,005219. Sedangkan keandalan sistemnya adalah 0,0001% lebih tinggi dari nilai keandalan sistem q yang sebenarnya.
Dari uraian di atas jelas terlihat bahwa tingkat kesalahan relatif hasil perhitungan keandalan dan ketakandalan sistem dengan memakai metode perhitungan masih dalam batas-batas yang wajar.
81
Contoh 3.13 Dengan menggunakan blok diagram keandalan pada gambar 3.18, hitung ketakandalan dari sistem dengan menggunakan formula (3.32) untuk upper bound ketakandalan sistem dan formula (3.33) untuk lower bound ketakandalan sistem. Solusi Dari soal contoh soal nomor 2 diketahui R1 = 0,80, R2 = 0,85, R3 = 0,90, R4 = 0,95, dan R5 = 0,97. Berikut ini adalah diagram blok keandalan yang dipakai.
4
1
2
5
3
Minimal cut set dari blok diagram keandalan di atas adalah : C1 = {4,5} C2 = {1,2,3} C3 = {1,2,5} C4 = {2,3,4} P(C1) = Q 4Q5 = 0,05 x 0,03 = 0,0015 P(C2) = Q 1Q2Q3 = 0,20 x 0,15 x 0,10 = 0,003 P(C3) = Q 1Q2Q5 = 0,20 x 0,15 x 0,03 = 0,0009 P(C4) = Q 2Q3Q4 = 0,15 x 0,10 x 0,05 = 0,00075 P(C1∩C2) = Q1Q2Q3Q4Q5 = 0,20 x 0,15 x 0,10 x 0,05 x 0,03 = 4,5 x 10-7 P(C1∩C3) = Q1Q2Q4Q5 = 0,20 x 0,15 x 0,05 x 0,03 =4,5 x 10 -5 82
P(C1∩C4) = Q2Q3Q4Q5 = 0,15 x 0,10 x 0,05 x 0,03 = P(C2∩C3) = Q1Q2Q3Q5 = 0,20 x 0,15 x 0,10 x 0,03 = P(C2∩C4) = Q1Q2Q3Q4 = 0,20 x 0,15 x 0,10 x 0,05 = P(C3∩C4) = Q1Q2Q3Q4Q5 = 0,20 x 0,15 x 0,10 x 0,05 = 4,5 x 10-7
2,25 x 10 -7 9 x 10-5 1,5 x 10-4 x 0,03
Upper bound ketakandalan sistem adalah QS = P(C1) + P(C2) + P(C3) + P(C4) = 6,15 x 10-3 Lower bound ketakandalan sistem adalah QS = P(C1) + P(C2) + P(C3) + P(C4) - P(C1∩C2) - P(C1∩C3) – P(C1∩C4) - P(C2∩C3) - P(C2∩C4) - P(C3∩C4) = 5,86 x 10-3
o
3.11 Metode Tie set Metode tie set adalah merupakan komplemen dari metode cut set. Metode ini digunakan dengan frekuensi yang lebih sedikit, karena secara praktis metode ini tidak secara langsung mengarah ke mode kegagalan dari sistem. Metode ini mempunyai aplikasi yang khusus dan sehingga metode ini tidak didiskusikan didiskusikan dengan rinci. Tie set adalah jalur minimal dari sistem dan oleh karena itu tie set merupakan sekumpulan komponen yang ada pada sistem yang dihubungkan secara seri. Akibatnya, sebuah tie set dikatakan gagal jika salah satu komponen komponen didalamnya gagal dan probabilitas probabilitas ini dapat dihitung mengunakan prinsip dari sistem seri. Oleh karena itu agar sistem mengalami kegagalan, seluruh tie set harus gagal gagal dan oleh karena itu seluruh tie set secara efektif akan dihubugkan secara paralel. Dengan menggunakan konsep ini diagram tie set untuk model gambar 3.16 ditunjukan dalam gambar 3.23. 83
T1
1
3
2
4
1
4
5
T3
2
3
5
T4
T2
Gambar 3.23 Tie set dari gambar 3.16
Yang perlu dicatat adalah, meskipun tie set dihubungkan secara paralel, konsep sistem paralel tidak dapat digunakan karena komponen sama dapat muncul dalam dua atau lebih tie set. Konsep gabungan (union (union)) akan berlaku seperti yang diaplikasikan pada minimal cut set. Dari konsep sebelumnya tie set dan gambar 3.16, reliabilitas dari sistem ditunjukan dalam gambar 3.23 memiliki persamaan Rs
= P (T 1 ∪ T 2 ∪ T 3 ∪ T 4 )
(3.34)
dimana Ti adalah tie set ke i dan probabilitas dari kejadian P(Ti). Persamaan (3.34) dapat dikembangkan dalam cara yang sama dengan persamaaan (3.29).
84
Rs
= P (T 1 ) + P (T 2 ) + P (T 3 ) + P (T 4 ) − P (T 1 ∩ T 2 ) − P (T 1 ∩ T 3 ) − P (T 1 ∩ T 4 ) − P (T 2 ∩ T 3 ) − P (T 2 ∩ T 4 ) − P (T 3 ∩ T 4 ) + P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 3 ) + P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 4 ) + P (T 1 ∩ T 3 ∩ T 4 ) + P (T 2 ∩ T 3 ∩ T 4 ) − P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 3 ∩ T 4 )
dimana
(3.35)
P (T 1 ) = R1R3 P (T 2 ) = R2 R4 P (T 3 ) = R1R5R4 P (T 4 ) = R2 R5R3
∩ T 2 ) = P (T 1 )P (T 2 ) = R1R2 R3 R4 P (T 1 ∩ T 3 ) = P (T 1 )P (T 3 ) = R1R3R4 R5 P (T 1 ∩ T 4 ) = P (T 1 )P (T 4 ) = R1 R2 R3R5 P (T 2 ∩ T 3 ) = P (T 2 )P (T 3 ) = R1R2R4 R5 P (T 2 ∩ T 4 ) = P (T 2 )P (T 4 ) = R2 R3 R4R5 P (T 3 ∩ T 4 ) = P (T 3 )P (T 4 ) = R1 R2 R3 R4 R5 P (T 1 ∩ T 2 ) = P (T 1 )P (T 2 ) = R1R2 R3 R4 P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 3 ) = P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 4 ) = P (T 1 ∩ T 3 ∩ T 4 ) = P (T 2 ∩ T 3 ∩ T 4 ) = P (T 1 ∩ T 2 ∩ T 3 ∩ T 4 ) = R1R2 R3 R4 R5 P (T 1
85
Persamaan (3.35) memberikan indeks keandalan dari sistem. Jika R1 = R2 =R3=R4=R5=R, persamaan (3.35) akan berubah menjadi Rs
= 2R 2 + 2R3 − 5R 4 + 2R5
Satu kekurangan dari tie set adalah persamaan (3.35) tidak dapat dipakai untuk menurunkan persamaan pendekatan untuk mengevaluasi indeks keandalan sistem. Hal ini disebabkan, karena secara umum nilai dari R adalah sangat tinggi sehingga hasil pendekatan yang dilakukan akan memiliki tingkat kesalahan yang cukup besar.
86
3.12 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 3. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 4. Kececioglu, D. [1991], Reliability Engineering Handbooks Volume 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 5. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 1 87
MODUL 2 KEANDALAN DAN PERAWATAN Metode PengkajianKeandalan Bagian 1 Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER SURABAYA © Copyright ada pada penulis
DAFTAR ISI MODUL 2 BAB 4
Pengantar Analisa Resiko 4.1 4.2
Pendahuluan Studi Resiko Fase I : Pendefinisian Sistem dan Preliminary Hazard Analysis 4.2.1 Preliminary Hazard Analysis (PHA) 4.3 Studi Resiko Fase II : Identifikasi Urutan Kecelakaan 4.4 Studi Resiko Fase III : Consequence Analysis 4.5 Referensi dan Bibliografi
BAB 5
Fault Tree Analysis (FTA) dan Failure Modes and Effects Analysis (FMEA) 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.4 5.5
Pendahuluan Kegagalan (Failure (Failure)) Fault Tree Analysis Definisi Problem dan Kondisi Batas Pengkonstruksian Fault Tree Pengidentifikasian Minimal Cut Set Evaluasi Kualitatif Fault Tree Evaluasi Kuantitatif Fault Tree Failure Modes and Effects Analysis (FMEA) Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY KEMBALI KE MENU UTAMA
Pengantar Analisa Resiko 4.1 Pendahuluan Terminologi dan pengertian keandalan (reliability (reliability ), ), keselamatan (safety (safety ), ), bahaya (hazard (hazard ) dan resiko (risk (risk ) seringkali tumpang tindih. Terminologi keselamatan atau analisa resiko (risk (risk analysis) analysis ) memiliki makna yang sama sehingga kedua terminologi ini dapat digunakan saling bertukaran satu dengan yang lain. Kedua terminologi ini, seperti halnya analisa keandalan (reliability (reliability analysis) analysis ) merujuk pada studi pada proses kerja atau kegagalan peralatan serta pengoperasiannya. Jika tujuan dari studi adalah untuk menentukan parameter keselamatan (safety (safety parameter ), ), perlu kiranya untuk mempertimbangkan kemungkinan kerusakan yang terjadi pada atau yang disebabkan oleh sistem. Jika fase dari studi menyarankan bahwa ada kemungkinan sistem mengalami kegagalan maka studi resiko (risk (risk study ) akan dilakukkan untuk menentukan dampak kegagalan dalam kerangka kemungkinan kerusakan terhadap properti atau terhadap manusia. 1
Kecelakaan Tragis Pada Berbagai Fasilitas Menyebabkan Demand untuk Memperbaiki Tingkat Keselamatan
Membutuhkan
ANALISA RESIKO Rekomendasi
Rekomendasi
Peningkatan dalam
Peningkatan Reliability Fasilitas
Human R eliability Membutuhkan
Membutuhkan
Pengembangan Sistem Informasi Membutuhkan
Pemanfaatan Teknologi Informasi Menghasilkan
Model untuk Memprediksi Keselamatan Untuk Menjamin
Pengoperasian Fasilitas Kritis secara AMAN EFISIEN dan EKONOMIS
Gambar 4.1 Demand terhadap keselamatan
2
Sebuah contoh dari analisa keandalan adalah tentang analisa seberapa sering sebuah reaktor kimia mengalami panas yang berlebihan (overheat (overheat ) karena pompa, heat exchanger , operator, sistem kontrol, dan berbagai perlengkapan dan peralatan lain mengalami malfungsi. Jika studi ini diperluas dengan melibatkan kajian seberapa sering terjadinya penyimpangan temperatur yang dapat menyebabkan terjadinya ledakan, maka kita akan melihat masalah keselamatan atau bahaya. Untuk menyimpulkan studi keselamatan yang dilakukan untuk permasalahan di atas, kita harus melakukan verivikasi bahwa reaktor kimia tidak akan mengalami panas yang berlebihan, tidak ada perlengkapan dan peralatan yang mengalami kegagalan karena faktor-faktor diluar design envelope. envelope . Jika analisa ledakan reaktor diperluas dengan melibatkan sejumlah dampak – dampak berikut frekuensi terjadinya dampak – dampak tersebut, maka anlisa resiko telah rampung. Karena Salah satu tujuan dari analisa resiko adalah untuk menentukan probabilitas seberapa sering resiko ini terjadi dan berbagai kemungkinan dampak dari kegagalan sistem. Sebagai contoh, dampak dari ledakan yang merupakan akibat dari penyimpangan temperatur reaktor mungkin dapat berupa cedera ringan yang disebabkan oleh pecahan – pecahan bagian reaktor atau berupa bencana mayor karena terjadinya kebakaran. Dengan semakin banyaknya kecelakaan dan musibah yang menimpa mulai dari meledaknya pesawat Challanger (1986), kecelakaan pesawat penerbangan komersial, kecelakaan reaktor nuklir (Three Mile Island 1979, Chernobyl 1986), kecelakaan pada proses pengolahan (Bhopal 1984), serta berbagai kecelakaan lain yang menimpa industri maritim beserta damapak dari kecelakaan dan musibah tersebut terhadap lingkungan, telah mendorong berbagai pihak untuk meningkatkan tingkat keselamatan serta mengurangi resiko yang mungkin terjadi akibat terjadinya satu kecelakaan pada berbagai fasilitas yang kritis. Gambar 4.1 menunjukkan diagram yang melatar belakangi perlunya meningkatkan keselamatan berbagai 3
fasilitas yang kritis yang mungkin memberikan dampak yang sangat buruk baik secara ekonomis, keselamatan maupun dampak terhadapa lingkungan bila sampai terjadi kecelakaan pada fasilitas kritis tersebut. Pada seksi berikutnya akan dibahas berbagai metode – metode untuk analisa resiko secara garis besar. Bagi para pembaca yang tertarik untuk mendalami analisa resiko lebih jauh, pembaca disarankan untuk merujuk pada beberapa literatur yang dipakai pada modul ini atau beberapa literatur lain.
4.2 Studi Resiko Fase I : Pendefinisian Sistem dan Preliminary Hazard Analysis Resiko timbul karena terlepasnya energi atau material beracun lain yang tidak terkontrol. Pada umumnya bagian – bagian tertentu dari sebuah plan plant t lebih berbahaya bila dibandingkan dengan bagian lainnya, oleh karena itu, tahap awal dalam analisa adalah memecah plant menjadi subsistem untuk menetukan seksi – seksi atau komponen –komponen yang kemungkinan besar merupakan sumber – sumber pelepasan yang tidak terkontrol. Berikut ini dua langkah pertama yang harus dilakukan:
Langkah 1 Identifikasi berbagai bahaya (Hazard) yangtimbul. ( Apakah itu berupa sebuah kebicirangas beracun, sebuah ledakan, kebakaran atau hal lainnya) Langkah 2 Identifikasi bagian bagian dari sistem yang dapat meningkatkan keadaan bahaya. 4
( Apakah itu melibatkan reaktor kimia, tangki penyimpanan, power plat atau hal lainnya) Dalam mengidentifikasi subsistem dari sebuah plant yang dapat meningkatkan keadaan bahaya, adalah sangat berguna untuk memakai daftar kata penunjuk (guide (guide words) words ) yang dapat menstimulasi pikiran – pikiran yang lebih kreatif. Beberapa kata penunjuk yang dapat dipakai untuk mengetahui deviasi dari sebuah proses dapat dilihat pada tabel 4.1.
Tabel 4.1 Kata penunjuk (guide (guide words) words) No. 1 2 3 4 5
Kata Penunjuk Lebih dari (more of ) Kurang dari (Less of ) Tdak ada (None of ) Bagian dari ( Part of ) Selain dari (Other than) than)
No. 6 7 8 9
Kata Penunjuk Baik …… maupun …..( As well as) as ) Terbalik ( Reverse Reverse)) Lebih lambat dari (Later than) than ) Lebih cepat dari (Sooner than) than)
Satu – satunya petunjuk dalam memahami bahaya dari sistem adalah penilaian engineering dan pemahaman detail terhdap lingkungannya, serta peralatan – peralatan yang ada pada sistem. Pengetahuan tentang toxic , peraturan keselamatan, kondisi eksplosif, reaktivitas, corrosiveness , dan flamability merupakan hal yang fundamental. Checklist , seperti yang dikembangkan oleh perusahaan pesawat terbang Boeing seperti yang terlihat pada tabel 4.2, merupakan alat dasar dalam mengidentifikasi mengidentifikasi bahaya.
5
Tabel 4.2 Contoh checklist berbagai sumber bahaya HAZARDOUS ENERGY SOURCES Fuels Pressure Containers Prope ll ant s Spring-loaded Devices Initiators Suspension Systems E x p l o s i v e c h ar g e s Gas Generators Charged Electrical Capacitors Electrical Generators Storage Batteries RF Energy Sources Sta tattic Ele lec ctr tric ica al Cha harrges Radi dioa oac cti tive ve En Ener ergy gy So Sou urc rces es
Fal li ng O bj ect s C atap ul t e d O bj e ct s H e a t i n g De v i c e s Pumps, Blowers, Fans Rotating Machinery Actuating devices Nuc Nu cle lea ar De Devic ices es
Langkah 3 Pembatasan Studi. ( Apakah akan dilakukan studi secara detail terhadap resiko sabotase, perang, gempa, dan lain - lain)
li m i n ar a r y H a z ar a r d A n a ly ly s i s ( P H A ) 4.2.1 P r e li Seringkali, studi pada fase I akan melibatkan lebih dari sebuah identifikasi awal dari elemen – elemen sistem atau event – event yang yang mengarah pada suatu bahaya. Jika analisa diperluas dengan cara formal (secara kualitatif) dengan mempertimbangkan baik urut – urutan event yang mengubah sebuah bahaya menjadi sebuah kecelakaan maupun ukuran – ukuran korektif lain serta konsekuensi dari sebuah kecelakaan, maka studi ini dinamakan preliminary preliminary hazard analysis (PHA). analysis (PHA). Berbagai bahaya yang sudah diidentifikasi kemudian dikelompokkan berdasarkan dampak – dampak yang ditimbulkan. Skema perangkingan yang umum dipakai dapat dilihat pada tabel 4.3.
6
Tabel 4.3 Pengelompokan bahay berdasarkan berdasarkan dampaknya
Class Class Class Class
Class I Hazards II Hazards III Hazards IV Hazards
Effects Ne gl ig i bl e Eff ect s Ma rg in al E ff e ct s Crit i cal Ef fe ct s Catast rop hi c Eff e cts
Langkah berikutnya adalah menentukan Kelompok untuk pencegahan kecelakaan , jika ada Class IV Hazards, Hazards , maka kelompok bahaya ini harus dihilangkan demikian juga bila ada kemungkinan dari Class III Hazards dan Class II Hazards. Keputusan yang akan diambil ditunjukkan dalam bentuk decision tree seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.2. Sedangkan format yang dipakai Boein untuk PHA ditunjukkan pada gambar 4.4.
Provide corrective action Decide to correct hazards Hazards found and identified Performs Hazards Analysis
Do both Provide contingency action
Decide to accept hazards No hazards found
Gambar 4.2 Decision tree intik hazards analysis 7
Boein Coman om an Format 6.Evantcausing 1.Subsystem 3.Hazardous 4.Eventcausing 5.Hazardous 7.Potential 9.Hazard 2.Mode hazardous 8.Effect orfunction element hazard rdouselement condition accident Class condidtion 1. Hardwareor functional element bein anal zed. 2.A licables stem hasesormodesof o eration 3.Elementsinthehardwareorfunctionbein anal zedthatareinherentl hazardous 4. Conditions undesiredevents or faults that could cause thehazardous element tobecome theidentifiedhazardouscondition 5.Hazardousconditionsthatcouldresult fromthe interactionofthes stemandeach hazardouselement inthes st stem 6. Undesiredevents or faults that could causethehazardousconditionto become the identified otential accident 7.An otential alaccidentsthat couldresult fro romtheidentifie fiedhazardousconditions 8. Possibleeffe ffectsof the otential accident sho shoulditoccur. 9. Qualitativemeasure of si nificance forthe otentialeffect on eachidentifiedhazardous accordin tothefollowin criteria: Class I - Safe - conditions itions suchthat ersonnel error deficienc /inade uanc ofdesi n ormalfunctionwill notresultinmaor de radationand
10. Accident preventi prevention on measure 10A1 10A2 10A3
11.Validation
will not roducee ui ment dama eor ersonnel inur . Class II -Mar inal conditions su suchthat ersonnel error de deficienc /inade uanc of desi n or malfunctionwil de rade erformance. Canbecounteractedorcontrolledwithout maor dama e or an inur to ersonnel. Class III - Critical - Co - Conditions ns suchthat ersonnel error deficienc /inade uanc of of desi n or malfunctionwill de rade erformance dama ee ui mentorresult inahazardre uirin immediatecorrective actionfor er ersonnel or e ui ui ment survival. Class IV -Catastro Catastro hic - c - condition s such that ersonnel error deficienc /inade uanc of desi n or malfunctionwill severel de de rade erformanceandcausesubse uent e ui ment lossand/ or death ormultiti leinuriesto ersonnel. 10. Recommended reventivemeasurestoeliminateor control identififiedhazardous conditionsand/or otential accidents. Preventivemeasuresto be recommended shouldbehardwaredesi nre uirements incor orationofsafet devices hardwaredesi nchan es s ecial rocedures ersonnel re uirements. 11.Recordvalidated reventivemeasuresandkee awareofthestatusofthe remainin recommended reventivemeasures. Com leteb answerin 1 hastherecommendedsolutionbeenincor orated? 2 isthesolutioneffective?
Gambar 4.3 Format PHA yang disarankan : Format milik Boeing Company
4.3 Studi Resiko Fase II : Identifikasi Urutan Kecelakaan Fase II dari studi biasanya dimulai setelah pemilihan hardware dan setelah konfigurasi sistem dibuat. Teknik analitik yang umum dipakai adalah event tree , tree , fault tree analysis(FTA), analysis(FTA), failure modes and effects analysis (FMEA) (FMEA) dan criticality analysis. analysis. FTA dan FMEA akan dibahas lebih detail pada seksi 5.3 dan 5.4. Sebagai contoh, akan diulas studi keselamatan sebuah sistem yang memiliki susunan seri dimana sistem ini terdiri dari sebua 8
pompa dan sebuah katup yang masing – masing memiliki probabilitas sukses dalam menjalankan fungsinya masing – masing 0,98 dan 0,95. Gambar dari sistem ini ditunjukkan pada gambar 4.4. Analisa event tree untuk sistem ini ditunjukkan oleh oleh gambar 4.5.
Sukses
Start
Gambar 4.4 Diagram pompa - katup
Pump
Valve R V = 0,95
R P=0,98
P(success) = 0,931
QV = 0,02 P(fail) = 0,98 x0,05 + 0,02 = 0,069
QP = 0,02
System failure
System success
Gambar 4.5 Diagram event tree untuk sistem pompa - katup
9
ly s i s 4.4 Studi Resiko Fase III : C o n s e q u e n c e A n a ly Consequence analysis merupakan tahap akhir dari studi / analisa resiko. Salah satu metode yang dipakai adalah cause and consequence analysis (CCA). (CCA) . Teknologi CCA CCA merupakan sebuah perkawinan fault tree (untuk menunjukkan penyebab) dan event tree (untuk menunjukkan akibat / consequence). consequence ). Prosedur untuk pengkonstruksian diagram CCA berawal dari pemilihan sebuah inital event , yang kemudian event ini dikembangkan lebih jauh dengan menjawab beberapa pertanyaan berikut ini. § Pada kondisi bagaimana event – event ini mengarah ke event – event lain yang lebih jauh ? alternatif plan ant t yang yang dapat mengarah ke event – § Apa kondisi alternatif pl event yang berbeda ? § Komponen – komponen lain apa yang mempengaruhi event ini ? apakah event ini mempengaruhi lebih dari satu komponen ? § Event lain apa yang menyebabkan event ini ? Gambar 4.6 menunjukkan tipikal dari sebuah diagram cause and consequence analysis. analysis.
10
Gambar 4.6 Contoh tipikal dari cause and consequence analysis 11
4.5 Referensi dan Bibliografi 1. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 2. Ruxton, T. [1997], “Formal Safety Assessment”, Transaction IMarE, Part 4.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 2
12
Fault Tree Analysis (FTA) dan Failure Modes and Effects Analysis (FMEA) 5.1 Pendahuluan Dalam situasi tertentu data untuk menganalisa keandalan secara kuantitatif tidak cukup atau mungkin tidak ada. Alternatifnya, kita masih bisa melakukan penilaian keandalan berdasarkan data yang ada secara kualitatif dan berdasarkan pengalaman. Dengan analisa kualitatif ini tidak berarti kesimpulan yang dihasilkan akan tidak berharga. Jika analisa yang dilakukan berdasarkan analisa yang terstruktur, dapat ditelusuri sehingga dasar dari penilaian dengan menggunakan analisa yang terstruktur, dapat ditelusuri sehingga dasar dari penilaian secara kualitatif dapat pula dipakai. Bahkan, jika data yang tersedia cukup untuk melakukan penilaian secara kualitatif. Analisa kualitatif yang sering dipakai untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sistem adalah analisa kegagalan. Suatu sistem secara normal akan terdiri dari sejumlah blok-blok fungsional yang terkait sedemikian rupa sehingga sistem tersebut dapat menjalankan fungsinya. Terminologi “ blok fungsional” dapat 13
berupa sebuah komponen sampai sebuah subsistem tergantung dari jenis sistem dan kondisi batas yang dipakai dalam menganalisa suatu kasus. Hubungan struktural antara sistem dengan komponen mungkin bisa dilukiskan dengan berbagai cara. Semua pendekatan yang dipakai untuk melakukan pendekatan untuk mengevalusi kegagalan dari suatu sistem adalah untuk mengilustrasikan bagaimana suatu sistem tertentu akan mengalami atau tidak akan mengalami kegagalan. Ada berbagai teknik untuk mengevaluasi dan mengkaji kegagalan sistem, baik secara kualitatif maupun secara kuantitatif. Pendekatan dan metodologi terbaik untuk mengecaluasi kegagalan sistem tergantung dari beberapa faktor antara lain : § § § §
Tujuan dari studi yang akan dilakukan. Karakteristik sistem dan tata letak sistem Mode – mode kegagalan (failure (failure modes) modes ) yang relevan Prosedur pengoperasian dan perawatan sistem
Berikut ini akan diulas dua metode yang banyak digunakan untuk menganalisa kegagalan sistem. Kedua metode itu adalah Fault Tree Analysis (FTA) dan Failure Modes and Effects Analysis (FMEA). FMEA dapat dikategorikan sebagai metode anlisa kualitatif, sedangkan FTA selain dapat digunakan untuk keperluan analisa kegagalan kualitatif juga dapat digunakan untuk analisa kegagalan secara kuantitatif.
5.2 Kegagalan ( F a i l u r e ) Kegagalan dapat didefinisikan sebagai terhentinya kemampuan suatu item – dapat berupa komponen sampai berupa satu sistem 14
yang kompleks – untuk menjalankan fungsinya. Kegagalan dari suatu komponen dapat diklasifikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu : § § §
Kegagalan primer ( primary primary failure failure)) Kegagalan sekunder (secondary (secondary failure) failure ) Kesalahan perintah (command (command faults) faults )
Kegagalan primer dapat didefinisikan sebagai suatu komponen berada dalam keadaan rusak (non-working (non-working state) state ) dimana komponen tersebut memang diperhitungkan akan mengalami kegagalan, sehingga perlu diadakan aksi perbaikan agar komponen tersebut dapat kembali berada pada keadaan siap bekerja (working (working state). state). Kegagalan primer pada komponen akan terjadi pada design envelope dari komponen, dan penyebab dari kegagalan ini adalah umur dari komponen. Sebagai contoh kerusakan pada tangki karena kelelahan material merupakan contoh dari kegagalan primer. Kegagalan sekunder dapat dikatakan sama dengan kegagalan primer kecuali kegagalan komponen terjadi diluar perhitungan. Stres yang berlebihan yang diterima komponen baik pada masa lalu maupun pada saat sekarang merupakan penyebab kegagalan sekunder. Stres ini melibatkan amplitudo dari kondisi yang tidak dapat ditolrir, frekuensi, durasi, atau polaritas, dan input sumber – sumber energi termal, mekanikal elektrikal, kimia, magnetik, atau radioaktif. Stres ini disebabkan oleh komponen – komponen yang ada disekitar atau lingkungan disekitar komponen yang mengalami kegagalan, yang melibatkan kondisi meteorologi atau geologi, dan sistem engineering yang lain. Personel, seperti operator dan inspektor juga mungkin menybabkan terjadinya kegagalan sekunder, jika mereka merusakkan komponen. komponen. Perlu dicatat bahwa stres yang berlebihan pada komponen tidak akan menjamin komponen akan kembali pada working-state seperti semula, karena stres yang dialami komponen akan meninggalkan kerusakan (memori) pada komponen yang direparasi. 15
Kesalahan perintah didefinisikan sebagai komponen berada dalam keadaan rusak (non-working state state ) karena kesalahan sinyal pengontrol atau noise noise , seringkali aksi perbaikan tidak diperlukan untuk mengembalikan komponen pada keadaan semula.
(2-1) Neighboring Components
(1-1) Natural Aging
i n h e i t o p W l t v e n e n n e o g n p i m s o e C D
(1) Primary Failure
(2) Secondary Failure COMPONENT FAILURE
E n ( v 2 i r o - 2 n ) m e n t
E S x c t r e e s s s s e i s v e
t n l l a n e P n ) o 3 - r s 2 ( e P
(3)Command Fault
Inadvertent Control Signals and Noise (3-1) Neighboring Components
(3-3) Plant Personnel (3-2) Environment
Gambar 5.1 Karakteristik kegagalan komponen
16
Gambar 5.1 menunjukkan karakteristik kegagalan dari sebuah komponen. Lingkaran pertama yang mengelilingi lingkaran yang bertuliskan component failure menunjukkan bahwa kegagalan komponen diebabkan oleh (1) primary primary failure failure,, (2) secondary failure atau (3) command faults. faults. Berbagai penyebab yang mungkin dari ketiga kategori kegagalan ini ditunjukkan oleh lingkaran terluar.
5 . 3 F a u lt l t T r e e A n a ly ly s i s Teknik untuk mengidentifikasikan kegagalan (failure) (failure) dari suatu sistem dengan memakai FT (fault tree) tree) diperkenalkan pertama kali pada tahun 1962 oleh Bell Telephone Laboratories dalam kaitannya dengan studi tentang evaluasi keselamatan sistem peluncuran minuteman misile antar benua. Boeing company memperbaiki teknik yang dipakai oleh Bell Telephone Laboratories dan memperkenalkan progam komputer untuk melakukan analisa dengan memanfaatkan FT baik secara kualitatif maupun secara kuantitatif. FTA (Fault Tree Analysis) Analysis) berorientasi pada fungsi (function(functionoriented ) atau yang lebih dikenal dengan “ top down down “ approach karena analisa ini berawal dari system level (top) (top) dan meneruskan nya kebawah. Titik awal dari analisa ini adalah pengidentifikasikan mode kegagalan fungsional pada top level dari suatu sistem atau subsistem. FTA adalah teknik yang banyak dipakai untuk studi yang berkaitan dengan resiko dan keandalan dari suatu sistem engineering. Event potensial yang menyebabkan kegagalan dari suatu sistem engineering dan probabilitas terjadinya event tersebut dapat ditentukan dengan FTA. Sebuah TOP event yang merupakan definisi dari kegagalan suatu sistem (system failure), harus ditentukan terlebih dahulu dalam mengkonstrusikan FTA. Sistem kemudian dianalisa untuk menemukan semua kemungkinan yang 17
didefinesikan pada TOP event. FT adalah sebuah model grafis yang terdiri dari beberapa kombinasi kesalahan (fault) (fault) secara pararel dan secara berurutan yang mungkin menyebabkan awal dari failure event yang sudah ditetapkan. Setelah mengidentifikasi TOP event, event-event yang memberi kontribusi secara langsung terjadinya top event diidentifikasi dan dihubungkan ke TOP event dengan memakai hubungan logika (logical link). link) . Gerbang AND (AND gate) dan sampai dicapai event dasar yang idependent dan seragam (mutually independent basic event). Analisa deduktif ini menunjukan analisa kualitatif dan kuantitatif dari sistem engineering yang dianalisa. Sebuah fault tree tree mengilustrasikan keadaan dari komponenkomponen sistem (basic event ) dan hubungan antara basic event dan TOP event. Simbol grafis yang dipakai untuk menyatakan hubungan disebut gerbang logika (logika gate). Output dari sebuah gerbang logika ditentukan oleh event yang masuk kegerbang tersebut. Sebuah FTA secara umum dilakukan dalam 5 tahapan, yaitu § Mendefinisikan problem dan kondisi batas (boundary (boundary condition) condition) dari sistem § Pengkontruksian fault tree § Mengidentifikasi minimal cut set atau minimal path set § Analisa kualitatif dari fault tree § Analisa kuantitatif fault tree
5.3.1 Definisi Problem dan Kondisi Batas Aktivitas pertama dari fault tree analysis analysis terdiri dari dua step, yaitu : § §
Mendefinisikan critical event yang akan dianalisa Mendefinisikan boundary condition untuk analisa 18
Critical event yang akan dianalisa secara normal disebut dengan TOP event . Penting kiranya untuk bahwa TOP event harus didefinisikan secara jelas dan tidak kabur (unambiguous (unambiguous). ). Diskripsi dari TOP event seharusnya selalu memberikan jawban terhadap pertanyaan apa (what ), ), dimana (where (where), ), dan kapan (when (when). ). What Mendiskripsikan tipe dari critical event yang sedang terjadi, sebagai contoh kebakaran (fire (fire). ). Where Mendiskripsikan dimana critical event terjadi, sebagai contoh critical event terjadi di process di process oxidation reactor reactor . When Mendiskripsikan dimana critical event terjadi, sebagai contoh critical event terjadi pada saat pengoperasian normal. Sebagai contoh TOP event yang melibatkan ketiga kriteria di atas adalah : “Kebakaran yang terjadi di process oxidation reactor pada saat pengoperasian pengoperasian normal”. Agar analisis dapat dilakukan secara konsisten, adalah hal yang penting bahwa kondisi batas bagi analisa didefinisikan secara hati – hati. Dari kondisi batas, kita akan memilliki beberpa pemahaman sebagai berikut : §
§
§
Batas fisik sistem. Bagian mana dari sistem yang akan dimasukkan dalam analisa dan bagian mana yang tidak ? Kondisi awal. Kondisi pengoperasian sistem yang bagaimana pada saat TOP event terjadi ? Apakah sistem bekerja pada kapasitas yang penuh / sebagaian ? Kondisi batas yang berhubungan dengnan stres eksternal. 19
§
Apa tipe stres eksternal yang seharusnya disertakan dalam analisa? Level dari resolusi. Seberapa detail kita akan mengidentifikasi berbagai alasan potential yang menyebabkan kegagalan ?
System Failure or Accide Accident nt (TOP (TOP EVE EVENT) NT)
The fault tree consists of sequences of events that lead to the system failure or accident
The sequences of events are built by AND, OR, or other logic gate
The events above the gates and all events that have a more basic cause are denoted by rectangles with
the event described in the rectangle
The sequence finally lead to a basic cause for which there is failure rate data available. The basic causes are denoted by circles and represent
the limit of resolution of the fault tree
Gambar 5.2 Struktur fundamental fault tree
20
5.3.2 Pengkonstruksian Fault Tree Pengkonstruksian fault tree selalu bermula dari TOP event. Oleh karena itu, berbagai fault event yang secara langsung, penting, dan berbagai penyebab terjadinya TOP event harus secara teliti diidentifikasi. Berbagai penyebab ini dikoneksikan ke TOP event oleh sebuah gerbang logika. Penting kiranya bahwa penyebab level pertama dibawah TOP event harus disusun secara terstruktur. Level pertama ini sering disebut dengan TOP structure dari sebuah fault tree. tree. TOP structure structure ini sering diambil dari kegagalan modul – modul utama sistem, atau fungsi utama dari sistem. Analisa dilanjutkan level demi level samapai semua fault event telah dikembangkan sampai pada resolusi yang ditentukan. Analisa ini merupakan analisa deduktif dan dilakukan dengan mengulang pertanyaan “Apa alasan terjadinya event ini ?”. Gambar 5.2 menunjukkan struktur fundamental dari sebuah fault tree, tree, sedangkan tabel 5.1 menunjukkan berbagai simbol yang dipakai untuk mengkostruksi sebuah fault tree. tree. Ada beberapa aturan yang harus dipenuhi dalam mengkonstruksi sebuah fault tree. Berikut ini beberapa aturan yang dipakai untuk mengkonstruksi sebuah fault tree. 1. Diskripsikan f a u lt e v e n t . Masing – masing basic event harus didefiniskan secara teliti (apa, dimana, kapan) dalam sebuah kotak. 2 Evaluasi f a u lt e v e n t . Seperti yang telah diuraikan pada seksi 5.2, kegagalan komponen dikelompokkan dalam tiga kelompok yaitu, primary failures, failures, secondary failures, failures , dan command faults. faults .
21
Tabel 5.1 Simbol fault tree NAM A
SIMBOL
DI SK RI P SI
O R – G at e A
L o g i c g a te te s
E1
OR-Gate menunjukkan OR-Gate output dari event A terjadi jika sembarang input event Ei terjadi. E2
A N D – G a t e AND – Gate Gate menunjukkan output dari event A akan terjadi jika semua input event Ei terjadi secara serentak.
A
E1
E2
Basic event
I n p u t ev e v e n ts ts
U n d e v e l op e d ev e n t
C o m m e n t r e c t a n g le Description of state
Transfer s y m b o ls
Transfer out Transfer in
Basic event menyatakan kegagalan sebuah basic equipment yang tidak memerlukan penelitian lebih lanjut dari penyebab kegagalan Undeveloped event menyatakan sebuah event yang tidak diteliti lebih lanjut karena tidak tersedianya/cukupnya informasi atau karena konsekuensi dari event ini tidak terlalu penting Comment dimanfaatkan tambahan
untuk
rectangle informasi
Simbol transfer-out menun jukkan bahwa fault tree dikembangkan lebih jauh dan berkaitan dengan simbol transferin
22
Sebuah normal basic event di dalam sebuah fault tree merupakan sebuah primary failures failures yang menunjukkan bahwa komponen merupakan penyebab dari dari kegagalan. Secondary failures dan command faults merupakan faults merupakan intermediate event yang membutuhkan investigasi lebih mendalam untuk mengi-dentifikasi alasan utama. Pada saat mengevaluasi sebuah fault event, seorang analis akan bertanya, “Dapatkah fault ini dikategorikan dalam primary primary failure ?” Jika jawabannya adalah YA, maka analis tersebut dapat mengkalsifikasikan fault event sebagai normal basic event . Jika jawabannya adalah TIDAK, maka analis tersebut dapat mengkalsifikasikan fault event sebagai intermediate event , yang harus didevelop lebih jauh, atau sebagai secondary basic event . event . Secondary basic event event sering disebut dengan undeveloped event dan menunjukkan sebuah fault event yang tidak dikaji lebih jauh karena informasinya tidak tersedia atau karena dampak yang ditimbulkan tidak signifikan. 3. Lengkapi semua gerbang logika. Semua input ke gate tertentu harus didefiniskan dengan lengkap dan didiskripsikan sebelum memproses gate lainnya. Fault tree harus diselesaikan pada masing – masing level sebelum memulai level berikutnya.
Contoh 5.1 Gambar 5.3 menunjukkan sebuah coolant supply system yang terdiri dari sebuah constant speed pump, pump , heat exchnager , control valve, valve , resservoir , perpipaan. Fungsi utama dari sistem ini adalah untuk memberikan suplai pendingainan yang cukup terhadap peralatan utama. Konstruksi sebuah fault tree untuk sistem ini dengan TOP event hilangnya aliran (coolant (coolant ) minimum ke heat exchanger . 23
Control Valve
HEAT EXCHANGER
Primary coolant line Constant speed pump
PRIMARY EQUIPMENT
Bypass line
RESERVOIR
Gambar 5.3 Coolant supply system
Solusi Hilangnya aliran (coolant (coolant ) minimum mungkin terjadi karena pecahnya primary coolant line line atau hilangnya aliaran dari coolant valve, sehingga event – event ini dikaitkan dengan OR Gate. Pecahnya / bocornya pipa merupakan primary failure, oleh karena itu event ini tidak dikembangkan lebih jauh. Tiga event yang lain yang secara langsung dapat menyebabkan hilangnya aliran dari control valve juga dihubungkan dengan OR gate. Diagarm FTA dari coolant supplay system dapat dilihat pada gambar 5.4.
24
Loss of minimum flow to heat exchanger
Rupture of primary coolant line
No axial flow from control valve
Flow blockage within control valve
Rupture (loss of containment) of control valve
Foreign objects in cooling fluid collect in valve body
No flow into control valve inlet
No flow into control valve inlet
Control valve closed beyond minimum flow position
Rupture of inlet line
Pieces of failed pump enter valve
Pump fails with internal break up Valve closed to full position when valve stop fails
Rupture (loss of containment) of control valve
Primary pump failure
Loss of pump inlet supply
Pump prime mover failure
Gambar 5.4 FTA dari coolant supply system
5.3.3 Pengidentifikasian Minimal Cut Set Sebuah fault tree memberikan informasi yang berharga tentang berbagai kombinasi dari fault event yang mengarah pada critical failure sistem. Kombinasi dari berbagai fault event disebut dengan cut cut set . Pada terminologi fault tree, sebuah cut set didefiniskan sebagai basic event yang bila terjadi (secara simultan) akan mengakibatkan terjadinya TOP event . Sebuah cut set dikatakan sebagai minimal cut set jika cut set tersebut tidak dapat direduksi tanpa menghilangkan statusnya sebagai cut set. 25
Jumlah basic event yang berbeda di dalam sebuah minimal cut set disebut dengan orde cut set. Untuk fault tree yang sederhana adalah mungkin untuk mendapatkan minimal cut set dengan tanpa menggunakan prosedur formal / algoritma. Untuk fault tree yang lebih besar, maka diperlukan sebuah algoritma untuk mendapatkan minimal cut set pada fault tree. MOCUS (method (method for obtaining cut sets) sets ) merupakan sebuah algoritma yang dapat dipakai untuk mendapatkan minimal cut set dalam sebuah fault tree. Algoritma ini akan dijelaskan dengan menggunakan contoh.
TOP Event 1 G
TOP Event 2 G
1
3 G
4 G
2
3
4 G
4
5
6 G
6
7
8
Gambar 5.5 Fault tree contoh soal 5.2
Contoh 5.2 Gambar 5.5 menunjukkan sebuah Fault Tree. Dengan menggunakan algoritma MOCUS, tentukan minimal cut set dari fault tree tersebut.
26
Solusi Tabel 5.2 Algoritma MOCUS untuk contoh soal 5.2
1 1 G2 G3
STEP 2 1 2 G4 G5 G6
3 1 2 3,4 5,6 7 8
Tabel 5.2 menunjukkan algoritma MOCUS untuk mendapatkan minimal cut set dari fault tree pada gambar 5.5. Berikut ini penjelasan dari algoritma di atas. Step 1 List semua basic event yang menjadi input dari G1. Karena G1 merupakan OR gate maka semua input disusun secara vertikal. Step 2 Event 1 merupakan basic event, sehingga event ini tidak dikembangkan, sedangkan G2 dan G4 masing – masing merupakan OR Gate, sehingga kita harus me-list semua input yang memasuki gate ini. Gate 2 merupakan OR gate, sehingga semua event yang memasuki gate ini – yaitu event 2 dan G4 - di-list secara vertikal. Demikian juga dengan gate 3 yang merupakan OR gate, maka semua event yang memasuki gate – yaitu G5 dan G6 - ini juga di-list secara vertikal.
27
Step 3 Gate 4 merupakan AND gate, sehingga semua event yang memasuki gate ini – basic event 3 dan basic event 4 - harus ditulis secara horisontal. Gate 5 juga merupakan AND gate, sehingga merupakan AND gate, sehingga semua event yang memasuki gate ini harus ditulis secara horisontal. horisontal. Gate 6 merupakan OR gate, sehingga semua event yang memasuki gate ini – basic event 7 dan basic event 8 - harus ditulis secara vertikal. Semua event yang diperoleh dengan algoritma MOCUS pada step 3 semuanya merupakan basic event, sehingga kita mendapatkan cut set dari fault tree ini adalah {1}, {2}, {3,4},{5,6}, {7}, dan {8} yang semuanya merupakan minimal cut set .
5.3.4 Evaluasi Kualitatif Fault Tree Evaluasi kualitatif dari sebuah fault tree dapat dilakukan berdasarkan minimal cut set. Kekritisan dari sebuah cut set jelas tergantung pad jumlah basic event di dalam cut set (orde dari cutset). Sebuah cut set dengan orde satu umumnya lebih kritis daripada sebuah cut set dengan orde dua atau lebih. Jika sebuah fault tree memiliki cut set dengan orde satu, maka TOP event akan terjadi sesaat setelah basic event yang bersangkutan terjadi. Jika sebuah cut set memiliki dua basic event, kedua event ini harus terjadi secara serentak agar TOP event dapat terjadi. Faktor lain yang penting adalah jenis basic event dari sebuah minimal cut set. Kekritisan dari berbagai cut set dapat dirangking berdasarkan dari basic event berikut ini : § §
Human error Kegagalan komponen equipment failure) failure )
/
peralatan
yang
aktif
(active (active 28
§
Kegagalan komponen equipment failure) failure )
/
peralatan
yang
pasif
( passive passive
Peringkat ini disusun berdasarkan asumsi bahwa human error lebih sering terjadi dari pada komponen / peralatan yang aktif dan komponen / peralatan yang aktif lebih rentan terhadapa kegagalan bila dibandingkan komponen / peralatan yang pasif.
5.3.5 Evaluasi Kuantitaif Fault Tree Secara umum ada dua buah metode untuk mengevaluasi sebuah fault tree secara kuantitatif. Kedua metode ini adalah metode dengan menggunakan pendekatan aljabar boolean (boolean (boolean algebra approach) approach) serta metode perhitung langsung (direct (direct numerical approach). approach).
B o o le le a n a lg lg e b r a a p p r o a c h Tabel 5.3 menunjukkan hukum – hukum aljabar boolean yang dipakai untuk melakukan evaluasi fault tree secara kuantitatif. Pendekatan aljabar boolean berawal dari TOP event dan mendiskripsikannya secara logis dalam basic event , incomplete event dan intermediate event . Semua intermediate event akan digantikan oleh event – event pada hirarki yang lebih rendah. Hal ini terus dilakukan sampai pernyataan logika yang menyatakan TOP event semuanya dalam bentuk basic event dan incomplete event. Contoh 5.3 akan mengilustrasikan pemakain metode ini dalam mengevaluasi sebuah fault tree.
29
Tabel 5.3 Hukum – hukum aljabar boolean
Jenis Hukum dasar
Formula AA = A A+A=A A(A+B) = A
Jenis Hukum distributif
A A A A = 0
A + A + A = 1 Hukum AB = BA komutatif A + B = B + A A(BC) = (AB)C Hukum Asosiatif A+(B+C)=(A+B)+C
Formula A(B+C)=AB + AC A+BC = (A+B)(A+C) 0A = 0 1A = A
Hukum yang melibatkan 0 + A = A 1 dan 0 1+A=1 Hukum De Morgan
AB = A + B A + B = AB
T 1 G
E3 2 G
E1
E2
Gambar 5.6 Fault tree untuk contoh soal 5.3 30
Contoh 5.3 Gambar 5.6 menunjukkan sebuah fault tree. TOP event dari fault tree ini menyatakan hilangya suplai daya listrik. TOP event ini memiliki dua input event yaitu Intermediate event (I) dan incomplete event yang mewakili hilangnya power dc (E3). Intermediate event (I) memiliki dua incomplete evemt E1 dan E2 yang masing – masing mewakili hilangnya offsite power dan hilangnya onsite power . Data keandalan yang tersedia untuk E1, E2, dan E3 masing – masing adalah 0,933 ; 0,925 ; dan 0,995. Dengan menggunakan pendekatan alajabar boolean dapatkan probabilitas terjadinya kegagalan TOP event.
Solusi Ekspresi alajabar boolean untuk level pertama adalah T = I + E3 Intermediate evant dapat diganti dengan I = E1.E2 Oleh karena itu T = E1.E2 Persamaan di atas merupakan ekspresi akhir aljabar boolean dari fault tree yang sedang dianalisa. Probabilitas terjadinya TOP event T dapat dievaluasi dengan menggunakan aljabar boolean. P(T) = P(E1.E2 + E3) 31
= [P(E1)P(E2)] + P(E3) –[ P(E1)P(E2)P(E3) ] dimana P(E1) = 1 – 0,933 = 0,067 P(E2) = 1 – 0,925 = 0,075 P(E3) = 1 – 0,995 = 0,005 Sehingga P(T) = 0,01
q
D i r e c t n u m e r i c a l a p pr pr o a c h Kerugian dari boolean algebra approach adalah ekspresi yang kompleks jika sistem yang besar dan fault tree yang berhubungan dengan sistem tersebut akan dikaji. Pendekatan alternatif untuk menghitung nilai numerik probabilitas dapat dilakukan dengan menggunakan direct numerical approach. approach. Berbeda dengan boolean algebra approach yang memiliki sifat top-down approach approach maka pendekatan numerik ini bersifat bottom-up approach. approach. Pendekatan numerik ini berawal dari level hirarki yang paling rendah dan mengkombinasikan semua probabilitas dari event yang ada pada level ini dengnan menggunakan logic gate yang tepat dimana event – event ini dikaitkan. Kombinasi probabilitas ini akan memberikan nilai probabilitas dari intermediate event pada level hirarki diatasnya. Proses ini berlangsung terus ke atas sampai TOP event dicapai.
Contoh 5.4 Tinjau kembali contoh soal 5.3. dengan menggunakan pendekatan numerik hitung probabilitas terjadinya TOP event.
32
Solusi P(I)
= P(E1)P(E2) = (1-0,933)(1-0,925) = 0,005025
P(T) = P(I U E3) = P(I) + P(E3) - P(I)P(E3) P(I)P(E3) =o,005025 + (1 – 0,995) – 0,005025 (1 – 0,995) = 0,01
q
Untuk fault tree yang cukup kompleks, selain menggunakan dua metode evaluasi yang sudah didiskusikan di atas, evaluasi kuantitatif dari dapat juga dievaluasi dengan menggunakan formula pendekatan seperti yang sudah didiskusikan pada seksi 3.10. data yang diperlukan adalah minimal cut set dari fault tree. Jika Ci menyatakan minimal cut set ke-i dari suatu fult tree, dan jika P(Ci) mewakili probabilitas untuk event C i maka dengan menggunakan aljabar boolean unreliability dari sistem secara umum dapat diekspresikan sebagai n
n
i −1
QS = P (C 1 ∪ C 2 ... ∪ C i ... ∪ C n ) = ∑ P (C i ) − ∑ ∑ P ( C i ∩ C j ) i =1 n
i −1 j −1
i = 2 j =1
(5.1)
+ ∑ ∑ ∑ P ( C i ∩ C j ∩ C k ) + ... + ( −1) n−1 P ( C 1 ∩ C 2 ∩ ... ∩ C n ) i = 3 j = 2 k =1
Henley dan Kumamoto [1992] memberikan suatu metode evaluasi secara aproksimasi untuk sistem yang memiliki konstruksi fault tree yang sangat kompleks dengan menyederhanaan persamaan (5.1). Aproksimasi ketakandalan dari sistem dapat diperoleh dengan menghitung upperbound dan lowerbound dari unreliability sistem dengan formula sebagai berikut. 33
n
QS Upper bou nd = ∑ P ( C i )
(5.2)
i =1
Sedang formula untuk lower bound dari unreliability sistem adalah n
n
i −1
QS = ∑ P (C i ) − ∑ ∑ P (C i ∩ C j ) i =1
(5.3)
i =2 j =1
Tabel 5.4 Hubungan antara blok diagram reliability dengan fault tree
Bllok Diagram Reliability B
Fault Tree TOP
1
2
3
1
1
2
3
TOP
2
3
1
2
3
34
Sebuah fault tree dapat diterjemahkan ke dalam blok diagram keandalan dengan menerjemahkan basic event ke dalam sebuah blok dan menerjemahkan gerbang logika ke dalam susunan tertentu seri, paralel atau susunan lainnya - yang menghubungkan berbagai blok. Hubungan antara fault tree dan blok diagram reliability untuk konfigurasi yang sederhana diperlihatkan pada tabel 5.4.
5.4 Failure Modes and Effects Analysis (FMEA) (FMEA) Failure modes and effects analysis (FMEA) merupakan salah satu teknik yang sistematis untuk menganalisa kegagalan. Teknik ini dikembangkan pertama kali sekitar tahun 1950-an oleh para reliability engineers yang sedang mempelajari masalah yang ditimbulkan oleh peralatan militer yang mengalami malfungsi. Teknik analisa ini lebih menekankan pada hardware-oriented approach approach atau bottom-up approach. approach. Dikatakan demikian karena analisa yang dilakukan dimulai dari peralatan dan meneruskannya ke sistem yang merupakan tingkat yang lebih tinggi. Proses ini mencoba menjawab pertanyaan “Apa dampak yang akan terjadi jika terjadi kegagalan pada ……….?”. FMEA sering menjadi langkah awal dalam mempelajari keandalan sistem. Kegiatan FMEA melibatkan banyak hal - seperti me-review me-review berbagai komponen, rakitan, dan subsistem - untuk mengidentifikasi mode – mode kegagalannya, penyebab kegagalannya, serta dampak kegagalan yang ditimbulkan. Untuk masing – masing komponen, berbagai mode kegagalan berikut dampaknya pada sistem ditulis pada sebuah FMEA worksheet. Ada berbagai bentuk dari worksheet untuk FMEA, salah satu diantanya seperti yang ditunjukkan pada gambar 5.7. 35
gambar 5.7 Tipikal FMEA worksheet 36
Sebuah FMEA akan berubah menjadi FMECA (failure (failure mode, effects, and criticallity analysis) analysis ) jika kekritisan atau prioritas akan dikaitan dengan dampak dari mode kegagalan yang ditimbulkan oleh sebuah komponen. Secara umum tujuan dari penyusunan FMEA (IEEE Std. 352) adalah sebagai berikut. 1. Membatu dalam pemilihan desain alternatif yang memiliki keandalan dan keselamatan potensial yang tinggi selama fase desain. 2. Untuk menjamin bahwa semua bentuk mode kegagalan yang dapat diperkirakan berikut dampak yang ditimbulkannya terhadap kesuksesan operasional sistem telah dipertimbangkan. 3. Membuat list kegagalan potensial , serta mengidentifikasi seberapa besar dampak yang ditimbulkannya. 4. Men-develop Men-develop kriteria kriteria awal untuk rencana dan desain pengujian serta untuk membuat daftar pemeriksaaan sistem. 5. Sebagai basis analisa kualitatif keandalan dan ketersediaan. 6. Sebagai dokumentasi untuk referensi pada masa yang akan datang untuk membantu menganalisa kegagalan yang terjadi di lapangan serta membantu bila sewaktu – waktu terjadi perubahan desain. 7. Sebagai data input untuk studi banding. 8. Sebagai basis untuk menentukan prioritas perawatan korektif. FMEA merupakan salah satu bentuk analisa kualitatif, dan FMEA harus dilakukan oleh seorang desainer pada tahap desain sistem. Tujuannya adalah untuk mengidentifikasi desain di area mana yang masih memerlukan perbaikan agar persyaratan keandalan dapat dipenuhi. 37
5.4.1 Prosedur Penyusunan FMEA FMEA sangat sederhana untuk dilakukan. FMEA tidak membutuhkan ketrampilan yang canggih bagi seorang personel untuk melakukan analisa. Hal yang diperlukan dalam menganalisa adalah untuk mengetahui dan memahami fungsi dari sistem dan beberapa constrain dimana sistem itu harus dapat beroperasi. Berikut ini beberapa pertanyaan dasar yang yang harus dijawab oleh seorang analis dalam melakukan analisa FMEA (IEEE Std. No. 352). 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Bagaimana masing – masing komponen mengalami kegagalan ? Mekanisme apa yang mungkin menghasilkan suatu mode kegagalan tertentu ? Apa dampak dari kegagalan yang terjadi ? Apakah kegagalan yang terjadi ada kaitannya dengan keselamatan atau tidak ? Bagaiman kegagalan itu dapat dideteksi ? Apa yang harus disediakan desain untuk mengkompensasi kegagalan ?
Pertanyaan – pertanyaan tersebut di atas akan ditabelkan dalm sebuah spread sheet. Gambar 5.7 menunjukkan contoh tipikal dari sebuah FMEA. Berikut ini penjelasan dari masing – masing kolom yang ada di FMEA worksheet. Reference (kolom 1) Menunjukkan nam unit atau gambar. Function (kolom 2) Mendiskripsikan Mendiskripsikan fungsi dari komponen yang sedang di analisa.
38
Tabel 5.5 Mode Kegagalan (Failure mode) FAILURE MODE Clogging Cracking Exte Ex tern rna al leak leaka age Inte In tern rnal al le leak akag age e Loose part St uck
Stuck closed
S t u c k op e n
Worn out Failed
Earth fault Open circuit
Out of range Short circuit Failed
EXPL ANAT I ON MECHANICAL Clogging of filter A crack develop in the material, resulting in a “crack-up” of the component or equipment The Th e com compo pone nent nt or eq equi uipm pmen entt has has de dete teri rior orat ated ed,, res resul ulti ting ng in an external leakage The Th e com compo pone nent nt or eq equi uipm pmen entt has has de dete teri rior orat ated ed,, res resul ulti ting ng in an internal leakage Loose component or part(s) in component The component or equipment is stuck (not possible to move), resulting in it no longer performing its specified function The component or equipment is stuck in closed position due to particle in fluid, resulting in it no longer performing its specified The co component or or eq equipment is is stuck in op open position due to particle in fluid, resulting in it no longer performing its specified The component is worn due to wear Mechanical component failure (not covered by other failure mode) ELECTRICAL / INSTRUMENT Earth leakage from electrical components, resulting in failure of the component or equipment B r ok e n w ir ires, e le lectronic c omponents co or loose lo connections, resulting in failure of the component or equipment The co component i s st still i n op operation, bu b ut is i s no n ot performing within its specified functional range Electrical sh short ci circuit, re resulting in in fa failure of of th th e component or equipment Electrical or instrument component failure (not covered by other failure modes) 39
Operational mode (kolom 3) Menunjukkan mode pengoperasian dari komponen. Sebagai contoh, sebuah komponen mungkin memiliki lebih dari satu mode pengoperasian seperti pengoperasian normal atau standby. Failure mode (kolom 4) Untuk masing – masing fungsi komponen dan mode pengoperasiannya, semua mode kegagalan diidentifikasi dan direcord pada kolom ini. Sebuah mode kegagalan dapat didefinisikan sebagai kegagalan komponen untuk memenuhi salah satu fungsi dari komponen tersebut. Cara praktis untuk mendapatkan mode kegagalan yang signifikan adalah dari pengalaman pengoperasian komponen dan menanyakan kepada personel yang menangani perawatan komponen. Tabel 5.5 menunjukkan beberpa tipikal mode kegagalan yang dialami oleh peralatan mekanik dan elektrik. Failure mechanism (kolom 5) Semua mekanisme kegagalan yang mungkin yang dihasilkan oleh mode kegagalan yang sudah diidentifkasi direcord dalam kolom ini. Tabel 5.6 menunjukkan beberpa tipikal mode kegagalan yang dialami oleh peralatan. Detection of failure (kolom 6) Berbagai kemungkinan pendeteksian dari berbagai mode kegagalan direcord pada kolom ini. Tabel 5.7 menunjukkan beberpa tipikal metode pendeteksian mode kegagalan yang mungkin dialami oleh peralatan.
40
Tabel 5.6 Mekanisme kegagalan (Failure mechanism) CAUSE Abrasive Abrasiv e fluid fluid Accelerated wear Age Ambi Am bien entt air air Cavi Ca vita tati tion on Clogging Corr Co rros osio ion n D u st Eros Er osio ion n Fati Fa tigu gue e Fric Fr icti tion on Flow Fl ow ra rate te Foul Fo ulin ing g
Medi Me dium um Moi ois stu ture re Norma Nor mall wear Operat Ope ration ion Par arttic icle les s Plugging Pres Pr essu sure re Protect Prote ction ion Sea Se a wat water er Stre St ress ss Temper Tem peratu ature re Vibration, external Vibration, internal
EXP L ANATI O N Abrasi Abr asive ve flui fluid d resul resultin ting g in det deteri eriora oratio tion n of com compon ponent ent cau causin sing g a fai failur lure e Accelerated wear resulting in deterioration of component causing a failure Age resulting in deterioration of component causing a failure Ambien Ambi entt air air af affe fect ctin ing g the the co comp mpon onen entt cau causi sing ng a fai failu lure re Form Fo rmat atio ion n of of tran transi sien entt voi voids ds or or vacu vacuum um bu bubb bble les s in a liqu liquid id str strea eam m pass passin ing g over over a surface is called cavitation Clogging of of component causing a failure The Th e mate materi rial al is is grad gradua uall lly y worn worn due due to to che chemi mica call reac reacti tion on res resul ulti ting ng in in fai failu lure re of of the the component Dust affecting the component causing failure Flui Fl uid d co cont ntai ains ns ab abra rasi sive ve su subs bsta tanc nce e th that at ca caus use e er eros osio ion, n, re resu sult ltin ing g in fa fail ilur ure e of th the e component Cycl Cy clic ic or re repe peat ated ed st stre ress sses es re resu sult ltin ing g in in co comp mpon onen entt fa fail ilur ure e whe when n the the ab abil ilit ity y of of met metal al to withstand is lost Fric Fr icti tion on be betw twee een n two two ma matter eria ials ls re resu sult ltin ing g in in det deter erio iora rati tion on of com ompo pone nent nt ca cau usi sin ng a failure Flow Fl ow ra rate te in pi pipe pes s or or thr throu ough gh eq equi uipm pmen entt res resul ulti ting ng de dete teri rior orat atio ion n or or bui build ld up of co coat at in component causing a failure Fou Fo uli ling ng is th the e for forma mati tion on of de depo posi sitts oth other er tha han n sal saltt and and sc scal ale e and and ma may y be be due due to corrosion, solid matter entering the feed, or deposits. Fouling of the surface results in reduced performance performance or failure of the component component Medi Me dium um st stor ored ed or fl flow owin ing g thr throu ough gh th the e equ equip ipme ment nt re resu sult ltin ing g in in det deter erio iora rati tion on or bu buil ild d up up of coat in equipment causing a failure (H2S content, sea water, alga growth, etc.) Moi ois sture affecting the component causing a failu lurre Norm No rmal al wear wear res resul ulti ting ng in in deter deterio iora rati tion on of of comp compon onen entt caus causin ing g a failu failure re Oper Op erat atio ion n res resul ulti ting ng in de dete terio riora rati tion on or bu build ild up of co coat at in equ equipm ipmen entt cau causi sing ng a fai failu lure re Fluid co contains pa particles th that ca cause th the co component to to ja jam Plugged pipe or equipment causing a failure High Hi gh or lo low w pre press ssur ure e res resul ulti ting ng de dete teri rior orat atio ion n or or bui build ld – up up of of coa coatt in in equ equip ipme ment nt ca caus usin ing g a failure Poor Po or pr prote otect ction ion of equ equip ipmen mentt re resu sulti lting ng in det deteri eriora orati tion on of equ equipm ipmen entt ca caus using ing a fa failu ilure re Sea Se a wat water er af affe fect ctin ing g com compo pone nent nt ou outs tsid ide e (ca (casi sing ng)) cau causi sing ng a fai failu lure re Stres ess s on component causin ing g material det eter eriioration and crack up High Hig h or low tem temper peratu ature re resu resulti lting ng in in deter deterior iorati ation on or or build build-up -up of coat coat in comp compone onent nt causing a failure Vibration, not from the equipment itself, affecting the component and causing a failure Vibration, from the equipment itself, affecting the component and causing a failure
41
Tabel 5.7 Metode pendeteksian kegagalan DETECTION METHOD Casual observation Alarm Ala rm fun functio ction n Func Fu nctio tional nal tes testt Corrosion monitoring Oill sam Oi sampl plin ing g Thermo The rmogra graph phy y Non-destructive test Internal inspection Performance monitoring Visual inspe inspection ction Vibration analysis
EXPLANATION Casual observation of potential failure during da ily routine Alarm fun Alarm functi ction on ins instal talled led to det detect ect pot potent ential ial fai failur lure e in in equ equipm ipment ent Func Fu nctio tiona nall test test of of the the comp compon onen entt to det detec ectt poten potentia tiall fail failure ure Corrosion monitoring equipment installed to measure corrosion rate Sampli Samp ling ng of lu lube be oi oill and and hy hydr drau auli lic c oil oil to de dete tect ct po pote tent ntia iall fai failu lure re Ther Th ermo mogr grap aphi hica call test test of comp compon onen entt to detec detectt abnor abnorma mall tempe tempera ratu ture re NDT including X-ray and other methods to detect potential failure of component Internal inspection of component to detect potential failure Measurements of relevant parameters such as temperature, flow, pressure, energy consumption etc. in comparison with reference data and trend development Visual Visu al inspe inspectio ction n of of compon component ent to detect detect pote potential ntial failu failure re Vibration data collection analysis
Effects on other components in the same subsystem (kolom 7) Semua dampak dari mode kegagalan yang telah teridentifikasi pada komponen lain pada subsistem direcord pada kolom ini. Effects on the primary function of the system (kolom 8) Semua dampak utama yang dari semua mode kegagalan yang telah teridentifikasi terhadap fungsi utama sistem direcord pada kolom ini.
42
Failure rate (kolom 9) Laju kegagalan dari masing – masing mode kegagalan direcord pada kolom ini. Untuk kasus yang tidak memiliki data kuantitatif, maka klasifikasi pada tabel 5.8 dapat digunakan untuk mengisi kolom ini.
Tabel 5.8 Data kualitatif failure rate Failure Rate Very unlikely Re mo t e O c c a s i o n al Probable Frequent
Terjadi Terjadi Terjadi Terjadi Terjadi
K e t er an gan sekali setiap 1000 tahun s e k a l i s e t i ap 1 0 0 t ah u n sekali setiap 10 tahun sekali setahun se k a l i s e b u l a n a t a u l e b i h s e r i n g
Severity ranking (kolom 10) Kolom ini berisikan penjelasan dampak potensial yang terburuk yang diakibatkan oleh suatu kegagalan, dampak ini ditentukan berdasarkan tingkat cedera yang dialami oleh personel, tingkat kerusakan properti, atau tingkat kerusakan sistem yang terjadi. Tabel 5.9 menunjukkan tingkat kerusakan yang sering dipakai. Risk Reducing Measures (kolom 11) Kolom ini berisikan berbagai kemungkinan kegiatan yang dilakukan untuk mengembalikan atau mencegah akibat serius dari sebuah kegagalan. Comments (kolom 12) Kolom ini dapat dipakai untuk merecord informasi – informasi lain yang tidak terekam pada kolom – kolom yang lain.
43
Tabel 5.9 Pengelompokan tingkat kerusakan Kategori Cat atas astr trop opic ic
Critical
Maj o r
Minor
K et e ra ng an Kega Ke gaga gala lan n su suat atu u ko komp mpon onen en da dapa patt me meny nyeb ebab abka kan n ke kema mati tian an atau cedera atau menghentikan performance sistem yang telah ditetapkan Kegagalan su suatu ko komponen da dapat me menyebabkan pe penurunan kinerja diluar batas yang dapat diterima dan dapat membahayakan keselamatan ( dapat menyebabkan kematian atau cedera jika aksi korektif tidak segera dilakukan) Kegagalan suatu komponen dapat menyebabkan penurunan kinerja diluar batas yang dapat diterima tetapi masih dapat dikontrol dengan cara dan prosedur lain yang sudah ditetapkan Kegagalan suatu komponen tidak menyebabkan penurunan kinerja diluar batas yang dapat diterima
Dengan mengombinasikan failure rate rate (kolom 9) dan severity (kolom 10), kita bisa mendapatkan rangking kekritisan dari failure mode yang berbeda. Tabel 5.10 menunjukkan apa yang disebut dengan criticallity matrix . Pada contoh ini, failure rate dikelompokkan dalam lima kelas seperti yang sudah dijelaskan pada kolom 9. Demikian juga dengan pengelompokkan severity yang dikelompokkan menjadi empat kelas seperti yang dijelaskan pada kolom 10. Mode kegagalan yang paling kritis ditunjukkan dengan tanda (x) pada pojok kanan atas dari matrix sedangkan yang paling tidak kritis ditunjukkan dengan tanda (x) pada pojok kiri bawah matrix.
44
Tabel 5.10 Pengelompokan tingkat kerusakan Failure Rate Frequent Probable Occational Remote Very unlikely
Minor
Severity Group Maj or Cr i ti c al
Catastrophic
(x)) (x (x)) (x (x)
(x)
45
5.5 Referensi dan Bibliografi 1. Frankel, Ernst G., [1988], Systems Reliability and Risk Analysis, 2nd edition, Kluwer Academic Publishers, PO BOX 17, 3300 AA Dordrecht, The Netherlands. 2. Henley, E.J. and Hiromitsu Hiromitsu Kumamoto Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 3. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 4. McCormick, N.J.[1981], Reliability and Risk Analysis : Methods and Nuclear Power Applications, Academic Press, Inc. 5. Ruxton, T. [1997], “Formal Safety Assessment”, Transaction IMarE, Part 4. 6. Sandtorv, H., J. Eldby, M. Rasmussen [1990], Reliability-Centered Maintenance – Hanbook for Offshore Application, Sintef Report. 7. ……….[1994], Training Course in Reliability-Centered Maintenance (RCM), MARINTEK Sintef Group. 8. 9. Kececioglu, D. [1991], Reliability Engineering Handbooks Volume 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 10. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 2 46
MODUL 3 KEANDALAN DAN PERAWATAN Metode PengkajianKea PengkajianKeandalan ndalan Bagian 2 Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER SURABAYA © Copyright ada pada penulis
DAFTAR ISI MODUL 3 BAB 6 Dist Distribu ribusi si Probabi Probabilita litass dan Terminol Terminologi ogi Keanda Keandalan lan 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15
Pendahuluan Variabel Random Variabel Random Kontinyu Variabel random Diskrit Fungsi Distribusi Kumulatif Terminologi Keandalan Kurva Laju Kegagalan Distribusi Binomial Distribusi Poisson Distribusi Normal Distribusi Lognormal Distribusi Eksponensial Distribusi Weibull Goodnes-of-fit Tests Referensi dan Bibliografi
BAB BA B 7 Mod Model el Kea Keanda ndalan lan Din Dinam amis is 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
Pendahuluan Sistem Dengan Susunan Seri Sistem Dengan Susunan Paralel Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri – Paralel Sistem Dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial (Partially ( Partially Redundant System) System ) 7.6 Sistem Standby (Standby (Standby System) System ) 7.6.1 Perfect Switching 7.6.2 Imperfect Switching 7.7 Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY
BAB 8 C om ompo pone nent nt I mpo porr tance 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
Pendahuluan Birnbaum’s Measure Criticallity Importance Vesely – Fussell’s Measure Improvement Potential Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY KEMBALI KE MENU UTAMA
Distribusi Probabilitas dan Terminologi Keandalan 6.1 Pendahuluan Bab yang terdahulu hanya mengevaluasi keandalan suatu sistem rekayasa (engineering (engineering)) denngan tidak menggunakan distribusi probabilitas dari masing-masing komponen yang ada di dalam sistem tersebut. Dalam hal ini nilai keandalan dari masing-masing komponen yang ada di dalam sistem berupa angka yang tetap, artinya tidak bergantung pada waktu. Untuk tahap awal dalam mempelajari teori keandalan sistem hal ini akan sangat membantu untuk memahami dasar-dasar perhitungan keandalan dari suatu sistem. Nilai keandalan suatu komponen atau sistem merupakan nilai kemungkinan/probabilitas dari suatu komponen atau sistem untuk dapat memenuhi fungsinya dalam kurun waktu dan kondisi tertentu yang sudah ditetapkan. Dan kenyataannya, untuk mengevaluasi keandalan suatu sistem rekayasa yang sebenarnya, nilai keandalan dari suatu komponen tidak lagi merupakan harga yang tetap melainkan akan bergantung terhadap waktu. Untuk itu 1
pengevaluasian keandalan akan banyak berhubungan distribusi probabilitas dengan waktu sebagai variabel random. Ada dua kelompok utama dari distribusi probabilitas, yaitu distribusi diskrit (discrete (discrete distribution) distribution) dan distribusi kontinyu (continuous distribution). distribution). Distribusi diskrit yang sering dipakai adalah distribusi binomial dan distibusi Poisson. Sedang distribusi kontinyu yang sering banyak dipakai adalah distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi lognormal, distribusi weibull, distribusi Rayleigh, dan distribusi gama. Konsep yang berkaitan dengan distribusi probabilitas yang akan di bahas pada seksi ini adalah variabel random, fungsi probabilitas massa ( probability probability mass function), function), fungsi probabilitas densitas ( probability probability density function), function), fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function), function), nilai harapan (expected value), value ), varian dan deviasi standar. Konsep tersebut di atas sangat diperlukan dalam mengevaluasi keandalan dari suatu sistem rekayasa yang berbasis pada waktu.
6.2. Variabel Random Di dalam mengolah data, ada suatu nilai atau parameter yang akan diukur. Agar teori probabilitas dapat diterapkan maka kejadian dari nilai-nilai ini haruslah random terhadapa waktu (time (time)) atau ruang (space (space)) atau kedua-duanya. Parameter dari kejadian yang akan diukur, misal laju kegagalan dari komponen, lama waktu untuk mereparasi, kekuatan mekanis dari komponen, adalah variabel yang bervariasi secara random terhadap waktu dan/atau ruang. Variabel random ini dapat didefinisikan secara diskrit maupun secara kontinyu. Sebua variabel random diskrit adalah variabel random yang hanya mempunyai bilangan diskrit pada suatu interval tertentu. Sedang variabel random kontinyu adalah variabel yang mempunyai 2
nilai secara kontinyu pada suatu interval tertentu. Contoh dari variabel random diskrit adalah pada eksperimen pelemparan dadu, dimana variabel randomnya didefinisikan sebagai hasil yang keluar dari pelemparan sebuah dadu. Sedangkan contoh untuk random variabel yang kontinyu misalnya adalah pada eksperimen pengujian kegagalan komponen dengan waktu sebagai variabel randomnya. Perilaku dari variabel random didiskripsikan dalam hukumhukum probabilitas. Cara yang paling umum dalam mengekspresikan probabilitas dari suatu variabel random adalah dengan memakai distribusi proabilitas. Untuk analisa keandalan sistem, variabel random yang sering dipakai adalah variabel random waktu kegagalan (time to failure – TTF) dan sering dinotasikan dengan T. Gambar 6.1 menunjukkan ilustrasi dari sebuah TTF. Absis pada pada gambar 6.1 menunjukkan waktu sedang orninat menunjukkan keadaan dari komponen / sistem, jika komponen komponen / sistem dalam keadaan up up / tidak rusak maka komponen / sistem ditunjukkan dengan angka 1 sebaliknya jika komponen / sistem dalam keadaan down down / rusak maka komponen / sistem ditunjukkan oleh angka 0.
Gambar 6.1 Ilustrasi TTF dari sebuah komponen / sistem 3
6.3. Variabel Random Kontinyu Misalkan T adalah random variabel yang kontinyu dan f(t) mewakili suatu fungsi probabilitas untuk random variabel T. Jika P(a ≤ T ≤ b) menyatakan probabilitas dari variabel random t pada interval a dan b maka b
P (a
≤ T ≤ b ) =
∫ f (t ) dt
(6.1)
a
Fungsi f(t) yang mewakili fungsi probabilitas untuk variabel random T yang yang kontinyu disebut fungsi probabilitas densitas probability ( density function). function). Untuk selanjutnya istilah fungsi probabilitas densitas akan disingkat dengan fpd . Secara umum fungsi probabilitas densitas memenuhi sifat : f(t) ≥ 0 ,
− ∞ < t < ∞
(6.2)
∞
∫ f (t )dt = 1
(6.3)
−∞
Contoh 6.1 Untuk memberi gambaran mengenai sifat-sifat dari fpd , perhatikan fungsi berikut ini.
at 0
f ( t ) =
0 ≤ t ≤ 5 untu untuk k t yang yang lain
Tentukan nilai a agar fungsi di atas dapat dikategorikan sebagai fpd. 4
Solusi Agar fungsi di atas dapat dikategorikan sebagai fpd maka ∞
∫ f (t )dt = 1
−∞ 5
∫ at dt = 1 0
a =
2 25
= 0,08
Jadi persamaan fpd untuk fungsi di atas adalah f ( t )
0,08t = 0
0 ≤ t ≤ 5 untuk tuk t yang lain lain
Syarat yang lain, yaitu f ( t ) ≥ 0 sudah dipenuhi, karena nilai dari f(t) untuk nilai t dengan interval 0 sampai 5 selalu positif. Sketsa dari fpd untuk fungsi di atas dapat dilihat pada gambar 6.2. q
Gambar 6.2 fpd untuk contoh soal 6.1 5
Nilai harapan (expectation (expectation)) dari variabel random T dengan fpd f(t) didefiniskan oleh E (t )
=
∞
∫ tf (t ) dt
(6.4)
−∞
Sedang varians (variance (variance)) dari f(t) didefinisikan oleh
{
Var (t ) = E (t − E {t })
2
}
(6.5)
Persamaan (6.5) dapat disederhanakan menjadi Var (t ) = E (t 2 ) − {E (t )} 2 Sedang deviasi standar (deviation (deviation standard ) σ
=
(6.6)
σ didefinisikan oleh
Var (t )
(6.7)
6.4. Variabel Random Diskrit Jika T adalah random variabel yang diskrit dan f(t) mewakili suatu fungsi probabilitas untuk random variabel T dan P(T = a) menyatakan probabilitas dari variabel random T pada saat T = a, maka P (T = a) = f (a)
(6.8)
Fungsi f(t) yang mewakili fungsi probabilitas untuk variabel random T yang yang diskrit disebut fungsi probabilitas massa 6
( probability probability mass function). function). Untuk selanjutnya istilah fungsi probabilitas densitas akan disingkat dengan pmf pmf . Secara umum fungsi probabilitas densitas memenuhi sifat : f (t ) ≥ 0
, untuk semua t
(6.9)
∑ f(t) = 1
(6.10)
semua t
Contoh 6.2 Pada sebuah percobaan pelemparan sebuah mata dadu, jika T merupakan variabel random yang mewakili mata dadu dan f(t) mewakili probabilitas dari variabel random T, maka hubungan antara variabel random T dengan probabilitas dapat ditabelkan sebagai berikut.
T f (t )
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Jika hubungan antara variabel random T dan fungsi probabilitas f(t) diplot pada sebuah kurva, akan terlihat bahwa fungsi probabilitas di atas memenuhi sifat-sifat fpm. fpm. Sketsa dari fpm untuk fungsi di atas dapat dilihat pada gambar 6.3. q
7
Gambar 6.3 fpm untuk soal no 6.2
Nilai harapan (expectation (expectation)) dari variabel random T dengan fpm f(t) didefiniskan oleh E (t )
=
∞
∑ t f (t ) i
i
(6.11)
i =1
Sedang varians (variance (variance), ), dan deviasi standar dari f(t) dapat dihitung degan menggunakan persamaan seperti yang didefinisikan pada persamaan (6.6) dan (6.7).
6.5 Fungsi Distribusi Kumulatif Jika T adalah variabel random, baik variabel random yang kontinyu ataupun variabel random yang diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) function ) dari variabel random T didefinisikan oleh F (t )
=
P (T ≤ t )
(6.12) 8
Jika T merupakan variabel random yang kontinyu dengan fpd f(t), maka fungsi distribusi kumulatifnya adalah t
F (t )
= P ( −∞ ≤ T ≤ t ) =
∫ f (u)du
(6.13)
−∞
Sedang jika T merupakan variabel random yang diskrit dengan fpm f(t), maka fungsi distribusi kumulatifnya adalah F (t )
=
∑ f (t )
(6.14)
i
t i ≤t
Contoh 6.3 Pada contoh 6.1, fpd dari variabel random T didefinisikan oleh f ( t )
0,08t = 0
0 ≤ t ≤ 5 untuk t yang lain lain
Dapatkan fungsi distribusi kumulatif dari fungsi di atas.
9
1 0.8 0.6 ) t ( F 0.4 0.2 0 0
1
2
t
3
4
5
Gambar 6.4 Fungsi distribusi kumulatif contoh soal 6.3
Solusi maka fungsi distribusi kumulatif dari fungsi di atas adalah t
∫
F (t ) = 0,08u du
= 0,04t 2
0≤ t≤5
0
Gambar 6.4 menunjukkan sketsa dari fungsi distribusi kumulatif dari contoh soal 6.3. q
Hubungan antara fungsi distribusi kumulatif dan fpd adalah f (t ) =
d F (t ) dt
(6.15)
10
6.6. Terminologi Keandalan Fungsi distribusi kumulatif nilainya akan naik mulai dari nol sampai satu seiring dengan naiknya nilai variabel random dari yang terkecil sampai yang terbesar. Fungsi distribusi ini bertambah seperti anak tangga untuk variabel random diskrit dan bertambah seperti kurva yang kontinyu untuk random variabel yang kontinyu. Dalam mengevaluasi keandalan suatu sistem, variabel random yang dipakai umumnya adalah waktu. Pada saat t = 0 komponen atau sistem berada dalam kondisi akan beroperasi, sehingga probabilitas komponen atau sistem itu untuk mengalami kegagalan pada saat t = 0 adalah 0. Pada saat t à ∞ probabilitas untuk mengalami kegagalan dari suatu komponen atau sistem yang dioperasikan akan cenderung mendekati 1. Karakteristik ini sama dengan fungsi distribusi kumulatif. Fungsi distribusi kumulatif ini akan mengukur probabilitas kegagalan dari suatu sistem atau komponen sebagai fungsi dari waktu. Dalam terminologi keandalan fungsi distribusi kumulatif ini dikenal sebagai fungsi distribusi kegagalan kumulatif (cumulative (cumulative failure distribution function) function ) atau disingkat distribusi kegagalan kumulatif (cumulative (cumulative failure distribution). distribution). Distribusi kegagalan kumulatif ini biasanya dilambangkan dengan Q(t). Q(t). Jika R(t) R(t) menyatakan fungsi keandalan dari suatu komponen atau suatu sistem sebagai fungsi waktu maka hubungan antara fungsi keandalan R(t) R(t) dan distribusi kegagalan kumulatif atau fungsi ketakandalan Q(t) dihubungkan oleh sebuah formula di bawah ini. R(t ) = 1 − Q(t )
(6.16)
Persamaan (6.15) menunjukkan bahwa fungsi distribusi probabilitas merupakan turunan dari distribusi probabilitas kumulatif. Dalam 11
terminologi keandalan fungsi distribusi probabilitas ini disebut dengan fungsi densitas kegagalan (failure (failure density function). function). Fungsi densitas kegagalan ini, yang dinotasikan dengan f(t), f(t), dapat diturunkan baik dari fungsi ketakandalan maupun fungsi keandalan seperti pada formula di bawah ini. f (t )
=
dQ(t ) dt
=−
dR(t ) dt
(6.17)
Sebaliknya fungsi ketakandalan maupun fungsi keandalan dapat diperoleh dari fungsi densitas kegagalan seperti yang dituliskan dalam formulasi di bawah ini. t
Q(t ) =
∫ f (t ) dt
(6.18)
0
dan t
R(t )
∞
= 1 − ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt 0
(6.19)
t
Gambar 6.5 menunjukkan sebuah tipikal kurva fungsi densitas kegagalan. Sesuai dengan formulasi fungsi ketakandalan dan keandalan yang ditunjukkan pada rumus (6.18) dan (6.19) maka luasan daearah di bawah kurva untuk interval mulai dari 0 sampai t mewakili fungsi ketakandalan sedang luasan daerah di bawah kurva untuk interval mulai dari t sampai tak hingga.
12
Gambar 6.5 Tipikal fungsi densitas kegagalan
Satu konsep lagi yang sering dipakai adalah laju perubahan (transition rate). rate ). Salah satu aplikasi dari konsep laju perubahan yang sering dipakai dalam mengevaluasi komponen atau sistem adalaha laju kegagalan (failure (failure rate) rate) dan laju pembenahan (repair (repair rate). rate). Penjelasan berikut ini akan menjelaskan bagaimana laju kegagalan dari suatu komponen atau siatem yang memiliki fungsi densitas kegagalan f(t). f(t). Misalkan pada saat t sebuah komponen sedang bekerja. Probabilitas dari komponen itu untuk mengalami kegagalan pada interval waktu antara t dan t+∆t jika komponen itu diketahui berfungsi pada saat t dapat diekspresikan oleh P (t < T ≤ t + ∆t T > t )
=
P (t < T < t + ∆t ) P (T > t )
(6.20)
Bagian pembilang dari persaamaan (6.20) dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif sebagai F(t+∆t) - F(t), sedang penyebut dari persamaan (6.20) dapat diekspresikan sebagai R(t). Persamaan (6.20) dapat ditulis menjadi 13
P (t < T ≤ t + ∆t T > t )
=
F (t + ∆t ) − F (t ) R(t )
(6.21)
Dengan membagi ekspresi probabilitas pada persamaan (6.20) atau (6.21) dengan interval waktu ∆t dan membuat ∆t à 0, maka akan diperoleh laju kegagalan dari suatu komponen dan diekspresikan dengan notasi z(t). z (t )
=
lim li m
∆t →
F (t + ∆t ) − F (t ) 1 ⋅ ∆t 0 R(t )
(6.22)
F (t + ∆t ) − F (t ) pada persamaan (6.22) adalah sama ∆t → 0 ∆t identik dengan persamaan (6.15), sehingga persamaan (6.22) dapat disederhanakan disederhanakan menjadi Ekspresi
lim li m
z (t )
=
f (t ) R(t )
(6.23)
Dengan mensubstitusikan persamaan (6.17) ke persamaan (6.23), maka akan diperoleh z (t ) =
−
dR(t ) R(t ) dt 1
(6.24)
Dengan mengintegralkan kedua ruas dari 0 sampai t, dan mensubstitusikan nilai R(0) = 1, maka persamaan (6.24) akan menjadi
14
t
∫ z (t )dt = − ln R(t )
(6.25)
0
atau t
R(t ) = e
−
∫ z (u)du
(6.26)
0
Untuk kasus yang khusus komponen adalah konstan, z(t) = berubah menjadi R(t )
=
e −λ t
dimana laju kegagalan suatu λ ,maka persamaan (6.26) akan
(6.27)
yang merupakan ekspresi fungsi keandalan dari suatu komponen atau sistem yang mengikuti distribusi eksponensial. Waktu rata-rata kegagalan (mean (mean time to failure = MTTF ) dari suatu komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan (failure (failure density function) function) f(t) didefinisikan oleh nilai harapan dari komponen itu. Secara matematis waktu rata-rata kegagalan dapat diekspresikan sebagai ∞
∫
MTTF = E (T ) = tf (t )dt
(6.28)
0
Dengan mensubstitusikan persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.28), maka akan diperoleh
15
∞
MTTF =
− ∫ tR' (t )dt
(6.29)
0
Persamaan (6.29) dapat diselesaikan dengan memakai integral parsial MTTF
∞
∞
= −[tR (t ) ] 0 + ∫ R (t )dt 0
Jika MTTF <
∞,
maka nilai dari
∞
[ tR (t )] 0 = 0 ,
sehingga persamaan di
atas menjadi ∞
MTTF =
∫ R(t )dt
(6.30)
0
Persamaan (6.30) lebih banyak dipakai untuk mendapatkan MTTF suatu komponen. Untuk kasus komponen yang memiliki fungsi keandalan R(t ) = e − λt , maka MTTF dari komponen itu adalah ∞
MTTF =
∫
− λt
e dt =
0
1 λ
(6.31)
6.7 Kurva Laju Kegagalan Laju kegagalan dari suatu komponen atau sistem dapat di plot pada suatu kurva dengan variabel random waktu sebagai absis dan laju kegagalan dari komponen atau sistem sebagai ordinat. Kurva laju kegagalan klasik yang sering dipakai untuk menjelaskan perilaku dari 16
komponen atau sistem adalah kurva bak mandi (bath-up (bath-up curve). curve ). Kurva ini terdiri dari tiga buah bagian utama, yaitu masa awal (burn(burnin period ), ), masa yang berguna (useful (useful life period ), ), dan masa aus (wear out period ). ). Gambar 6.6 menunjukkan kurva bak mandi dengan ketiga bagian utamanya.
Gambar 6.6 Kurva laju kegagalan bak mandi
Bagian pertama dari kurva ini, yaitu masa awal dari suatu sistem atau komponen, ditandai dengan tingginya kegagalan pada fase awal dan berangsur-angsur turun seiring bertambahnya waktu. Bagian kedua dari kurva ini ditandai dengan laju kegagalan yang konstan dari komponen atau sistem. Sedang bagian ketiga dari kurva ini ditandai dengan naiknya laju kegagalan dari komponen atau sistem seiring dengan bertambahnya waktu.
17
6.8 Distribusi Binomial Misalkan R menyatakan probabilitas sukses dari suatu kejadian dan Q menyatakan proabilitas gagal dari suatu even, sehingga R + Q = 1 dan probabilitas dari R dan Q adalah tetap. Jika ada n kali trial yang diulang maka proabilitas k kali sukses dari n kali trial dengan T sebagai variabel random dapat dituliskan dalam distribusi binomial sebagai P (T = k ) =
n k n − k R Q k
(6.32)
Sedangkan rata-rata (mean), varian (variance), dan standar deviasi dari distribusi binomial dapat diekspresikan oleh persamaanpersamaan berikut. µ = nR
(6.33)
=
nRQ
(6.34)
nRQ
(6.35)
σ2 σ
=
Contoh 6.4 Sebuah subsistem terdiri dari dari tiga buah komponen yang masing-masing masing-masing memiliki probabilitas kesusksesan untuk menjalankan fungsinya 0,95. Agar subsiistem ini dapat berfungsi dengan normal, diperlukan minimal dua komponen yang berfungsi dengan baik. Tentukan probabilitas dari subsistem itu untuk suskes menjalankan fungsinya. 18
Solusi §
§
Probabilitas sukses untuk tiap komponen, R = 0,95 sehingga Q = 0,05. Agar subsistem itu sukses menjalankan fungsinya, harus ada minimal 2 buah komponen yang berfungsi. Ada 3 buah komponen yang identik, ini sama halnya kita melakukan tiga kali trial untuk sebuah komponen, jadi probabilitas subsistem itu untuk sukses menjalankan fungsinya adalah
3 3 3 2 95 ) 2 × (0 ,05) = 0 ,99275 R + R Q = (0,95)3 + 3 × (0,95 3 2
P ( sukes) =
q
6.9 Distribusi Poisson Distribusi Poisson mewakili probabilitas dari sebuah kejadian yang diisolasi pada suatu interval waktu kontinyu tertentu untuk laju kegagalan yang konstan. Karakteristik khusus dari distribusi Poisson adalah distribusi hanya memperhitungkan kejadian dari satu event tertentu sedangkan evant lain yang tidak termasuk dalam kejadian tidak diperhitungkan. Ini yang membedakan antara distribusi Poisson dan distribusi binomial. Jika distribusi binomial memperhitungkan baik probabilitas untuk suskes dan gagal dari suatu event maka distribusi Poisson hanya memperhitungkan probabilitas kegagalan atau kesuksesan dari suatu event. Distribusi Poisson termasuk salah satu distribusi yang diskrit. Fungsi probabilitas massa dari distribusi Poisson dengan T sebagai variabel random didefinisikan oleh P (T = k ) =
(λt )k e− λt k !
(6.36) 19
dengan k bilangan bulat positif. Sedangkan rata-rata (mean (mean), ), varian (variance (variance), ), dan standar deviasi dari distribusi Poisson dapat diekspresikan oleh persamaanpersamaan berikut. µ = λt
= λt
σ2 σ
(6.37)
=
(6.38)
λt
(6.39)
Contoh 6.5 Pada sebuah sistem instalasi pipa, jumlah kegagalan pipa per tahun per 1000 meter adalah 0,3. Jika diambil pipa sepanjang 100 meter sebagai sample, hitung probabilitas pipa itu untuk mengalami kegagalan sebanyak 3 kali untuk periode (a) 5 tahun dan (b) 10 tahun.
Solusi Laju kegagalan dari pipa adalah λ= a.
( 0,03 kegagalan / tahun) × 100 m 1000 m
= 0,003 kegagalan / tahun
Untuk periode 5 tahun µ = λt = 0,003 × 5 = 0,015 20
( 0,015) 3 e −0 , 015 P(T = 3) = 3! b.
= 5,54 5 4 × 10 − 7
q
Untuk periode 10 tahun µ = λt = 0 ,003 × 10 = 0 ,03 03 P(T = 3)
=
(0,03) 3 e −0 , 0 3 3!
= 4,37 × 10 10 − 6
q
6.10 Distribusi Normal Distribusi normal, yang seringkali direfer sebagai distribusi Gaussian, merupakan distribusi probabilitas yang paling banyak dan sering dipakai. Dalam kaitannya dengan keandalan, distribusi ini banyak dipakai pada cabang keandalan struktur (structural (structural reliability ). ). Kurva fungsi probabilitas densitas dari ditribusi normal memiliki bentuk simetris yang sempurna terhadap nilai rata – ratanya (mean (mean value) value ) dan dispersi terhadap mean diukur mean diukur dengan deviasi standarnya. Bentuk yang presisi dan posisi dari fungsi densitas dapat ditentukan hanya dengan term mean dan standar deviasi saja. Sifat ini menghasilkan kemungkinan bagi distribusi normal untuk disalahpakaikan (misused) karena semua distribusi dapat dikarakterisasi oleh mean dan standar deviasi. Dengan hanya menentukan mean dan standar deviasi, amat mungkin bahwa distribusi yang bukan normal akan diasumsikan memiliki distribusi normal, karena tidak informasi tambahan lain yang tersedia selain mean dan standar deviasi. Satu
21
teorema yang sering dirujuk, dan sekali lagi besar kemungkinan juga disalh-pakaikan adalah Central Limit Theorem (CLT). Jika Jika time to failure failure dari suatu komponen adalah T mengikuti distribusi normal, maka pdf maka pdf nya nya dapat diekspresikan sebagai
− 2 σt e
1 t − µ
f ( t )
1
=
2
(6.40)
σ t 2π
dengan
σ = deviasi standar µ = rata-rata/ mean
Fungsi keandalan dari sebuah komponen yang memiliki distribusi normal dapat ditulis sebagai
∞ R ( t ) = ∫
− 2 σ t e
1 t − µ
1
2 t − µ dt = 1 − Φ
t σt 2π
σt
(6.50)
sedangkan fungsi unreliability-nya adalah
t − µ Q ( t ) = Φ σ
(6.51)
t
Mean time to failure dari distribusi normal ini adalah MTTF =µ
(6.52) 22
6.11 Distribusi Lognormal Distribusi lognormal berhubungan dengan distribusi normal. Time to failure, failure , dari suatu komponen dikatakan memiliki distribusi lognormal bola y = ln T mengikuti distribusi normal dengan rata-rata − − T T dan varians σT . Probability density function dari distribusi lognormal adalah
− f (t ) =
1
t σ − 2π T '
e
2 1 lnt T ' 2 σ T '
− −
−
dt
(6.53)
Fungsi keandalan dari komponen yang mengikuti distribusi lognormal adalah
∞ R(t ) = ∫
1
0 t σ
−
2π
e
2 − 1 ln t − T ' − 2 σ −
T '
dt
(6.54)
T ' sedang fungsi ketakandalannya adalah
23
2
∞ Q (t ) = 1 − ∫
− ln t −T ' 1 σ − −
1
t t σ − T '
e 2
T '
d t
(6.55)
2π
6.12 Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan distribusi yang paling banyak dipakai di dalam mengevaluasi keandalan sistem. Ciri utama dari distibusi ini adalah laju kegagalannya yang konstan. Jika waktu untuk galal (time to failure) failure ) dari suatu komponen adalah T terdistribusi secara eksponensial dengan parameter λ, maka fungsi densitas probabilitas dapat diekspresikan sebagai f (t ) = λe − λt
(6.56)
Sedangkan fungsi keandalannya adalah ∞
R(t ) =
∫ f (u)du = e
− λt
(6.57)
t
Dengan demikian fungsi ketakandalannya dapat ditulis sebagai Q(t )
= 1 − R(t ) = 1 − e− λt
(6.58) 24
Waktu rata-rata kegagalan dari komponen itu adalah ∞
MTTF =
1
∫ R(t )dt = λ
(6.59)
0
Yang menarik dari distribusi ini adalah jika komponen yang memiliki
= distribusi eksponen ini dioperasikan sampai MTTF-nya, atau t =
1 λ
,
maka keandalan dari komponen itu dapat diprediksi dengan memakai persamaan (6.59), yaitu R( 1λ )
−λ 1 = e ( λ ) = e −1 = 0,37
Jadi bila sebuah komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial bila dioperasikan dengan durasi sampai pada MTTF-nya, maka keandalan dari komponen itu hanya tinggal 37%.
25
0.00012
0.0001
f ( t )
− 4 − 1, 1 4 × 10 10 = 1,14 14 × 10 e
−4
0.00008
) t ( f 0.00006
0.00004
0.00002
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
1 0000
Waktu (Jam)
Gambar 6.7 Tipikal fungsi densitas probabilitas eksponensial
1 0.9
R (t ) = e
0.8
−1,14×10− 4
0.7
) t ( 0.6 Q u a 0.5 t a ) t ( R 0.4 0.3
t
0.2
, ×10 = 1 − e − 114
−4
0.1 0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Waktu (Jam)
Gambar 6.8 Fungsi keandalan dan ketakandalan eksponensial 26
Laju kegagalan dari komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial dapat diturunkan dengan menerapkan persamaan (6.23). z (t )
=
f (t ) R(t )
=
λe− λt
e − λt
=
(6.60)
λ
Tipikal kurva dari distribusi eksponensial untuk λ = 1.14x10-4 kegagalan/jam dapat dilihat pada gambar 6.7. Sedang fungsi keandalan dan ketakandalannya dapat dilihat pada gambar 6.8. Misalkan komponen yang memiliki fungsi densitas kegagalan yang mengikuti distribusi eksponensial telah berioperasi selama t. Untuk mengevaluasi probabilitas kegagalan dari komponen itu pada interval waktu τ, probabilitas kegagalan dari komponen itu tidak bisa dihitung secara a priori atau independen dari waktu pengoperasian sebelumnya sampai waktu t. Alasannya adalah, jika pada interval (0,t) maka komponen itu tidak bisa gagal pada interval (t,t+ τ). Oleh karena itu untuk mengevaluasi probabilitas kegagalan dari komponen itu selama periode waktu τ adalah penting untuk mempertimbangkan probabilitas kegagalan selama periode waktu (0,t). Probabilitas kegagalan selama waktu τ dikenal sebagai probabilitas a posteriori , yaitu harga dari probabilitas kegagalannya tergantung dari sejarah komponen yang terdahulu. Misalkan T adalah waktu kegagalan (time (time to failure) failure ) dari suatu komponen yang mengikuti distribusi eksponensial, maka akan berlaku probabilitas kondisional kondisional di bawah ini P (T > t + τ T > t )
=
P (T > t + τ) e− λ (t +τ ) = P (T > t ) e − λt
=
e− λτ (6.61)
27
Persamaan (6.61) menunjukkan probabilitas dari suatu komponen yang akan berfungsi pada interval t+τ jika diketahui diketahui bahwa komponen itu berfungsi pada saat t tidak tergantung dari waktu operasional sebelumnya, dalam hal ini waktu operasional komponen itu adalah t. Sifat ini disebut sebagai sifat tak bermemori (memory less property ) dari distribusi eksponensial. Kembali kepada probabilitas a priori dan probabilitas a posteriori, jelas bahwa probabilitas kegagalan dari komponen komponen yang mengikuti distribusi eksponensial tidak tergantung dari sejarah komponen yang terdahulu. Atau dengan kata lain untuk distribusi eksponensial, eksponensial, probabilitas a priori dan probabilitas a posteriori adalah sama. Hal ini tidak berlaku untuk komponen-komponen lain yang mengikuti distribusi probabilitas selain distribusi eksponensial. eksponensial.
6.13 Distribusi Weibull Selain distribusi eksponensial yang sering dipakai di dalam mengevaluasi keandalan sistem, distribusi weibull banyak dipakai karena distribusi ini memiliki shape parameter sehingga distribusi mampu untuk memodelkan barbagai data. Jika Jika time to failure dari suatu komponen adalah T mengikuti distribusi Weibull dengan tiga parameter β ,η, dan γ , maka pdf nya nya dapat diekspresikan sebagai β t − γ β −1 − β t − γ f ( t ) = e η
(6.62)
η
dengan 28
β = shape parameter, β > 0 η = scale parameter, η > 0 γ = = shape parameter, γ < < first time to failure jika nilai dari γ = 0, maka akan diperoleh distribusi Weibull dengan dua parameter. Beberapa karakteristik dari distribusi Weibull berdasarkan adalah § § §
Untuk 0 < β < 1, laju kegagalan ( failure rate ) akan berkurang seiring bertambahnya waktu. Untuk β = 1, maka failure rate-nya adalah konstan. Untuk β > 1, laju kegagalan (failure rate) akan rate) akan bertambah seiring bertambahnya waktu.
Sedangkan fungsi reliability-nya adalah β t −γ − η R ( t ) = e
(6.63)
dan fungsi unreliability-nya dapat ditulis sebagai β t − γ − η Q (t ) = 1 − e
(6.64)
Mean time to failure dari failure dari distribusi Weibull itu adalah 1 MTTF = γ + ηΓ + 1
(6.65)
β
29
dimana
Γ (
) menyatakan fungsi gamma
e s s - o f - f i t t es es t 6.14 G o o d n es Jika ada sekumpulan data waktu kegagalan (TTF) dari sebuah komponen, kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa data tersebut memiliki distribusi normal untuk memodelkan kegagalan sistem, kecuali ada bukti – bukti fisik yang menunjang. Pertanyaan yang timbul adalah seberapa tepat data yang ada memiliki kesesuaian dengan distribusi probabilitas tertentu untuk memodelkan kegagalan komponen. Pertanyaan ini dapat dilakukan dengan melakukan uji kesesuaian (goodness-of-fit (goodness-of-fit test ). Ada berbagai metode untuk mlakukan pengujian ini, seperti maximum likelihood estimate (MLE), chi-square test (χ2), dan Kolmorov – Smirnov (K-S) tets. Bagi pembaca yang menginginkan mempulajari metode ini lebih detail, dianjurkan untuk merefer referensi 2 dan 3. Sedangkan bagi para pembaca yang menginginkan memakai bantuan software dalam mengolah dan menganalisa data, ada beberapa software komersial yang yang bisa dipakai dan menyediakan fasilitas untuk analisa data seperti yang telah disebutkan di atas, diantaranya SPSS dan Weibull ++.
30
6.15 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 3. Lawless, J.F. [1982], Statistical Models and Methods for Lifetime Data, John Willey and Sons< New York.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 3
31
Model Keandalan Dinamis 7.1 Pendahuluan Prosedur standar untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sistem adalah dengan memecah sistem itu menjadi beberapa komponen. Langkah berikutnya adalah mengestimasi keandalan dari masing-masing komponen. Nilai keandalan dari masing-masing komponen ini bisa diperoleh dengan jalan memperkirakan keandalan untuk masing-masing komponen berdasarkan pengalaman, mengambil dari database keandalan yang sudah ada, atau dengan mengumpulkan data pengoperasian dari tiap-tiap komponen yang bersangkutan kemudian mengolahnya menjadi data keandalan yang siap pakai. Setelah masing-masing angka keandalan dari masingmasing komponen diketahui, baru keandalan dari sistem tersebut dapat dievaluasi dengan memakai prosedur standar untuk mengevaluasi keandalan. Untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sitem dengan memakai pemodelan keandalan statis adalah mudah. Hal ini dikarenanakan angka keandalan dari masing-masing komponen yang ada adalah konstan. Artinya angka keandalan ini tidak tergantung 32
dari waktu. Teknik evaluasi dengan menerapkan pemodelan keandalan statis seperti ini sangat berguna pada desain permulaan suatu sistem, dimana berbagai konfigurasi sistem dicoba untuk dievaluasi keandalannya. Kenyataan yang ada di lapangan adalah keandalan dari suatu sistem atau komponen akan tergantung terhadap waktu. Untuk itu keandalan dari masing-masing komponen, subsitem atau sistem akan juga tergantung terhadap waktu. Untuk itu keandalan dari masingmasing komponen, subsistem atau sistem ini akan diwakili oleh suatu fungsi densitas probabilitas tertentu yang merupakan fungsi dari waktu. Beberapa distribusi probabilitas yang banyak dipakai dalam mengevaluasi keandalan sudah disinggung pada bab 6. Lain halnya dengan bab terdahulu yang membahas pemodelan keandalan statis dari suatu sistem, dimana keandalan dari masingmasing komponen dianggap konstan dan tidak tergantung pada waktu, maka pada bab ini akan membahas model keandalan dinamis dari suatu sistem. Model keandalan dinamis ini akan melibatkan waktu artinya keandalan dari masing-masing komponen atau sistem akan tergantung dari waktu. Oleh karenan itu, pemodelan keandalan yang tergantung waktu lebih sulit bila dibandingkan dengan pemodelan keandalan statis. Beberapa model keandalan yang sudah dibahas pada bab 3 akan dibahas lagi pada bab ini tetapi dengan melibatkan distribusi probabilitas eksponensial untuk masing-masing komponen yang ada di dalam sistem.
7.2 Sistem dengan Susunan Seri Misalkan dua buah komponen yang disusun secara seri memiliki fungsi keandalan masing-masing R1(t) dan R2(t). Probabilitas dari 33
sistem itu untuk tetap beroperasi untuk suatu periode waktu t dapat diekspresikan sebagai RS (t ) = R1(t )R2(t )
(7.1)
Dengan memanfaatkan persamaan 5.26 untuk mengekspresikan keandalan dari masing-masing komponen maka persamaan 6.2 dapat ditulis sebagai t
RS (t ) =
−
e
t
∫
−
z 1 (τ )d τ
e
0
∫ z (τ )d τ 2
0
(7.2)
Sedang untuk sistem dengan n buah komponen dalam susunan seri, keandalan dari sistemnya dapat diekspresikan dengan persamaan berikut ini t
n
RS (t ) = Π e i =1
−
∫ z (τ )d τ i
(7.3)
0
Untuk kasus khusus, dimana masing-masing komponen mengikuti distribusi eksponensial maka persamaan (7.2) menjadi RS (t )
= e− λ t e −λ t = 1
2
e
−(λ1 + λ 2 )t
(7.4)
sedang persamaan 6(7.3) akan berubah menjadi n
RS (t ) =
n
− λ t Π =e e i =1 i
∑= λ t
−
i
i 1
(7.5)
34
Fungsi densitas kegagalan untuk n buah komponen dalam susunan seri yang masing-masing komponennya mengikuti distribusi eksponensial dapat diperoleh dengan memanfaatkan persamaan 5.17. Fungsi densitas kegagalannya adalah n
f S (t ) =
n
∑ λi × e
−
∑= λ t i
(7.6)
i 1
i =1
Sedang laju kegagalannya adalah z S (t ) = λS
=
f S (t ) RS (t )
=
n
∑λ
(7.7)
i
i =1
yang merupakan penjumlahan laju kegagalan dari masing-masing komponen. Waktu rata-rata kegagalan dari konfigurasi seri ini dapat dihitung dengan memakai persamaan (6.19). MTTF =
∞
∫ 0
RS (t ) dt =
n
∞
∫
e
0
−
∑ λ t i
i = 1
dt =
1
(7.8)
n
∑λ
i
i =1
Contoh 7.1 Sebuah subsistem kontrol terdiri dari dua buah modul yang mempunyai konfigurasi seri. Masing-masing modul ini mempunyai laju kegagalan yang konstan yaitu 3 kegagalan per satu juta jam untuk modul pertama dan 5 kegagalan per satu jam. a. Hitung laju kegagalan dari subsistem kontrol tersebut. b. Hitung keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 200 jam. 35
c. d.
Setelah subsistem itu dioperasikan 200 jam (soal b), subsistem itu dioperasikan lagi selama 50 jam, hitung keandalan dari sistem itu. Waktu rata-rata kegagalan dari subsistem kontrol tersebut.
Solusi Laju kegagalan dari masing-masing modul adalah konstan, jadi modul-modul modul-modul ini mengikuti distribusi eksponensial. § Laju kegagalan dari modul1 adalah λ1 §
10
6
jam −1
= 3 × 10− 6
jam -1
=
5 6
10
jam −1
= 5 × 10 −6
jam -1
Dengan menggunakan persamaan (7.7), laju kegagalan dari subsistem kontrol tersebut di atas adalah λS
b.
3
Laju kegagalan dari modul 2 adalah λ2
a.
=
= λ1 + λ2 = 8 × 10 −6
jam -1
q
Fungsi keandalan dari sistem itu adalah −6
8 10 jam λS =λ 1 +λ 2 =×
-1
Untuk misi pengoperasian selama 200 jam maka keandalan dari subsistem kontrol itu adalah RS ( 200)
c.
−6 )( 200 )
= e − ( 8 ×1 0
= 0,9984
q
Untuk misi pengoperasian dengan durasi 50 jam setelah sebelumnya dioperasikan 200 jam, keandalan dari subsistem itu 36
dapat dihitung dengan memakai teori probabilitas kondisional. Misalkan T adalah waktu kegagalan (time (time to failure) failure ) dari susbsitem kontrol, maka ekspresi probabilitas kondisional untuk masalah di atas adalah R( 200,50) = P (T
R( 200 200,50) =
> 200 + 50 T > 200 ) =
R( 250) R( 200)
=
e − ( 8 ×1 0 e
P(T > 250) P(T > 200)
−6 )( 250 )
− (8 × 1 0− 6 )( 200 )
= e − ( 8 ×1 0
−6
)( 5 0 )
R( R( 200,50) = 0,9996
q
Contoh di atas merupakan contoh dari sifat tak bermemori (memory less property ) dari distribusi eksponensial.
d.
Waktu rata-rata kegagalan dari subsistem kontrol itu adalah ∞
MTTF =
∫
R S (t ) dt =
0
1 λS
=
1 8 × 10− 6
= 125 125.000 000
jam
q
7.3 Sistem dengan Susunan Paralel Jika dua buah komponen yang disusun secara paralel memiliki fungsi ketakandalan masing-masing Q 1(t) dan Q 2(t), maka probabilitas dari sistem itu untuk mengalami kegagalan untuk suatu periode waktu t dapat diekspresikan sebagai QP (t )
= Q1(t )Q2 (t )
(7.9)
Sedangkan ekspresi keandalan untuk kedua komponen itu adalah 37
RP (t )
=
R1(t ) + R2 (t ) − R1 (t )R2 (t )
(7.10)
atau t
RP (t )
=e
−
t
∫
z 1 (τ )d τ
0
+e
−
t
∫
z 2 (τ )d τ
−e
0
−
∫
t
−
z 1 (τ )d τ
0
e
∫ z (τ )d τ 2
0
(7.11)
Sedang untuk n buah komponen yang mempunyai susunan paralel, fungsi ketakandalannya adalah t
n
QP (t )
n
= i Π=1 Qi (t ) = i Π=1(1 − e
−
∫ z (τ )d τ 0
)
(7.12)
sedang keandalannya adalah t
RP (t ) = 1 −
n
Π(1 − e i =1
−
∫ z (τ ) d τ 0
)
(7.13)
Untuk komponen-komponen yang mengikuti eksponensial, maka persamaan (7.11) berubah menjadi RP (t )
= e− λ t + e− λ t − e −(λ + λ )t 1
2
1
2
distribusi
(7.14)
Sedang persamaan (7.12) dan (7.13) akan masing-masing akan berubah menjadi n
QP (t )
n
= i Π=1 Qi (t ) = i Π=1(1 − e− λ t ) i
(7.15)
dan 38
n
RP (t )
n
= 1 − i Π=1 Qi (t ) = 1 − i Π=1(1 − e− λ t )
(7.16)
i
Dari persamaan (7.16) dapat disimpulkan bahwa meskipun masing-masing komponen dari sistem yang memiliki konfigurasi paralel mengikuti distribusi eksponensial, fungsi keandalannya bukan merupakan fungsi keandalan yang mengikuti distribusi eksponensial. Dengan demikian laju kegagalan dari sistem yang memiliki konfigurasi paralel bukan merupakan laju kegagalan yang konstan, tetapi merupakan fungsi dari waktu. Waktu rata-rata kegagalan untuk dua buah komponen yang mengikuti distribusi eksponensial dengan konfigurasi paralel adalah ∞
MTTF =
∞
∫ R (t ) dt = ∫ (e P
0
MTTF =
1 λ1
− λ1t
+ e− λ t − e −( λ + λ )t ) dt 2
1
2
(7.17a)
0
+
1 λ2
−
1 λ1
+ λ2
(7.17b)
Contoh 7.2 Jika sub-sistem kontrol pada contoh soal 7.1 disusun secara paralel, tentukan : a. Indeks keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 200 jam. b. Waktu rata-rata kegagalan (MTTF) dari subsistem kontrol tersebut.
Solusi Laju kegagalan dari masing-masing modul adalah konstan, jadi modul-modul modul-modul ini mengikuti distribusi eksponensial. 39
§
Laju kegagalan dari modul1 adalah λ1
§
=
3 10
6
jam −1
= 3 × 10− 6
jam -1
Laju kegagalan dari modul 2 adalah λ2
=
5 6
10
jam −1
= 5 × 10 −6
jam -1
a. Fungsi keandalan dari subsistem itu adalah RP (t ) = e −λ1t + e− λ2t − e−(λ1 + λ 2 )t
= e−3 x 10
−6 t
+ e−5 x 10
−6 t
− e−8 x 10
−6 t
Untuk misi pengoperasian selama 200 jam maka keandalan dari subsistem kontrol itu adalah RP ( 200)
=
e−3 x 10
−6 x 200
+ e− 5 x 10
−6 x 200
− e−8 x 10
−6 x 200
= 0,999947
q
b. MTTF dari sub sistem itu adalah MTTF =
1 λ1
+
1 λ2
−
1 λ1
+ λ2
MTTF = 408333,3333
=
1 3 x 10
−6
+
1 5 x 10
−6
−
1 8 x 10 −6
jam
q
7.4 Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri - Paralel Paral el Untuk menganalisa suatu sistem sederhana dengan susunan seri atau paralel sudah didiskusikan pada seksi terdahulu. Susunan seri atau paralel merupakan susunan dasar yang akan dipakai untuk menganalisa sistem yang mempunayai susunan yang lebih kompleks. 40
Blok diagram keandalan yang lebih kompleks akan mempunyai struktur gabungan antara susunan seri dan paralel. Prinsip dasar yang dipakai untuk menyelesaikan konfigurasi yang komplek ini adalah dengan mereduksi konfigurasi yang komplek iin secara berurutan dengan jalan menyederhanakan blok yang mempunayi struktur seri atau paralel terlebih dahulu menjadi blok diagram yang ekuivalen. Blok diagram yang ekuivalen ini akan mewakilii konfigurasi asli sebelum konfigurasi ini disederhanakan. Untuk jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut ini.
Contoh 7.3 Untuk menambah ketabilan sistem kontrol, sub sistem kontrol pada contoh 7.2 dihubungkan dengan satu sub sistem kontrol lain secara seri. Diagarm blok keandalan untuk sistem ini ditunjukkan pada gambar 7.1. Data kegagalan dari masing – masing subsistem adalah λ1 = 2 x 10-6 kegagalan per jam, λ2 = 3 x 10-6 kegagalan per jam, dan λ3 = 5 x 10-6 kegagalan per jam. Tentukan : a. ekspresi keandalan subsistem tersebut sebagai fungsi waktu b. indeks keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 1000 jam. c. Waktu rata-rata kegagalan (MTTF) dari subsistem kontrol tersebut. 2
1
3
Gambar 7.1 Blok diagram keandalan contoh 7.3
41
Solusi a. Blok diagram keandalan sistem pada gambar 7.1 dapat disederhanakan menjadi dua blok saja seperti yang ditunjukkan oleh gambar 7.2.
1
4
Gambar 7.2 Penyederhanaan blok diagram keandalan
Ekspresi fungsi keandalan untuk blok 4 adalah sama dengan ekspresi fungsi keandalan pada contoh 7.2, yaitu R4 (t ) = e− λ2t + e
− λ3 t
− e−( λ
2
+ λ 3 )t
= e −3 x 10
−6 t
+ e−5 x 10
−6 t
− e−8 x 10
−6 t
Sedangkan ekspresi fungsi keandalan sistem adalah R sy s (t )
=
R1 (t )R 4 (t )
= =
e − 2 x 10
−6
e − 5 x 10
−6
t t
(e −
−6
−6
+ e − 5 x 10 t − e − 8 x 10 − − + e −7 x 10 t − e −10 x 10 t 3 x 10
t
6
−6
t
)
q
6
b. Indeks keandalan sistem setelah menjalankan misi selama 1000 jam adalah a dalah R sy s (t )
= e −5 x 10
−6 x 1000
+ e −7 x 10
Rsys (t) = (t) = 0,999998
−6 x 1000
− e −10 x 10
−6 x 1000
q
42
c.
MTTF dari subsistem tersebut dapat dihitung sebagai berikut. ∞
MTTF =
∫ R(t )dt 0
=
∞
∫
e − 2 x 10
−6 t
(e −
3 x 10 −6 t
+ e − 5 x 10
− 6 t
− e − 8 x 10
−6 t
)dt
q
0
=
1 5 x 10
−6
+
1 7 x 10
−6
−
1 10 x 10 − 6
= 242857,142 9 jam
7.5 Sistem dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial ll y R e d u n d an a n t S y s t e m) (P a r t i a ll Jika sistem dengan susunan seri dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant (non-redundant system) system) dan sistem dengan susunan paralel dikategorikan sebagai sistem dengan susunan yang sangat berlebihan (fully (fully redundant system), system), maka ada sebuah sistem yang bisa dikategorikan sebagai sistem dengan susunan berlebihan secara parsial ( partially partially redundant system system). Teknik yang dipakai untuk mengevaluasi sistem yang memiliki susunan seperti ini kurang lebih sama dengan apa yang telah dibahas pada bab bab 3. Aplikasi distribusi probabilitas untuk partially partially redundant redundant system system dapat diilustrasikan dengnan sistem yang memiliki n komponen yang identik. Probabilitas masing-masing keadaan sistem ini - dalam hal ini komponen yang yang sedang beroperasi adalah komponen 0,1,2, … n - dapat ditentukan dari ekspansi binomial (R + Q)n. Pada bab terdaulu, nilai dari R dan Q ini diasumsikan konstan. Untuk kasus probabilitas yang tergantung dari waktu (time( timedependent probability ), ), nilai dari R dan Q adalah fungsi dari waktu 43
n
dan ekspresi binomial dimodifikasi menjadi [R(t ) + Q(t )] , dimana nilai dari R(t) dan Q(t) masing – masing dapat ditentukan dari fungsi probabilitas yang menjadi model kegagalan suatu komponen / sistem. Untuk pemodelan kegagalan komponen dengan menggunakan distribusi eksponensial, maka R(t ) = e − λt
(7.18)
Q(t ) = 1 − e − λt
(7.19)
dan
oleh karena itu ekspresi binomial menjadi [e − λt
+ (1 − e − λt )]n .
Contoh 7.4 Sebuah sistem memiliki empat buah unit identik yang masing – masing memiliki laju kegagalan (failure (failure rate) rate) 0,1 kegagalan / tahun. Evaluasi probabilitas dari sistem tersebut untuk tetap dapat beroperasi setelah 0,5 tahun dan 5 tahun jika minimal dua unit harus dapat beroperasi agar sistem sukses menjalankan misinya.
Solusi Dengan menggunakan ekspresi binomial untuk n = 4
44
[R(t)+Q(t)] 4 = R4(t)+4R3(t)Q(t)+6R 2(t)Q 2(t)+4R(t)Q 3(t)+Q4(t) Dimana R(t) dan Q(t) masing – masing dinyatakan oleh persamaan (7.18) dan (7.19). Tabel 7.1 menunjukkan probabilitas kesuksessan dari sistem untuk berbagai kondisi komponen.
Tabel 7.1 Probabilitas kesuksesan sistem untuk berbagai kondisi komponen Jumlah unit yang diperlukan agar sistem sukses 4
Probabilitas kesuksesan sistem
e −4 λt +
3
e −4λt + 4e −3λt (1 − e −λ t ) + 6e −2λt (1 − e − λt ) 2
2 1
e− 4 λt 4e −3 λt (1 − e − λt )
e−4λt + 4e− 3λ t (1 − e− λt ) + 6e−2λt (1 − e− λt )2
+ 4e −λt (1 − e− λt )3
Oleh karena itu, untuk contoh soal ini R(t ) = e −4 λt + 4e−3λt (1 − e− λt ) + 6e−2 λt (1 − e− λt )2 Untuk t = 0,5 dan λ = 0,1 maka R(0,5) = 0,9996
q
Sedang untuk t = 5, maka R(5) = 0,8282
q
45
Untuk kasus yang lebih umum dari unit yang non – identik, maka probabilitas dari masing – masing sistem dapat dievaluasi dengan [R1(t)+Q1(t)] [R2(t)+Q2(t)] … [Rn(t)+Qn(t)] dimana nilai dari Ri(t)dan Q i(t) dapat dideksi dari distribusi probabilitas dari komponen ke-i dan periode waktu yang menjadi interes dalam analisa. Untuk kasus distribusi eksponensial maka
= e − λ t Qi (t ) = 1 − e − λ t
Ri (t )
i
i
untuk i = 1,2, … , n untuk i = 1,2, … , n
7.6 Sistem Standby ( S t a n d b y S y s t e m ) Seperti yang telah diulas pada beberapa contoh soal terdahulu, konfigurasi paralel dan partially redundant system mengakibatkan keandalan sistem meningkat secara keseluruhan. Semua atau sebagian komponen yang memiliki konfogurasi ini mungkin akan berada pada mode pengoperasian. Hal ini tentunya tidak selalu feasible atau tidak praktis, sehingga konfigurasi standby mungkin akan dipakai. Pada konfigurasi standby, satu atau lebih komponen berada dalam keadaan standby dan siap akan mengambil alih ketika komponen normal atau kompone utama mengalami kegagalan. Secara umum ada dua buah kasus dasar yang berhubungan dengan switching. switching. Pertama, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch switch yang sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang sempurna ( perfect switching) switching) serta yang kedua, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch 46
yang tidak sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang tidak sempurna (Imperfect (Imperfect switching) switching)
1
2
Gambar 7.3 Sistem dengan susunan standby
ch i n g 7.6.1 P e r f e c t S w i t ch Pada kasus ini, switch diamsusikan tidak pernah gagal pada saat pengoperasian dan juga tidak akan mengalami kegagalan pada saat melakukan pengalihan dari pengoperasian normal ke posisi standby. a. Sistem dengan 2 Komponen Misalkan sebuah sistem memiliki dua komponen yang identik, dimana komponen pertama berfungsi sebagai komponenutama sedangkan komponen lainnya bertindak sebagai komponen stanby. Susunan ini dapat dipandang sebagai susunan yang ekuivalen dengan unit tunggal yang hanya diijinkan untuk mengalami satu kali kegagalan. Setelah kegagalan pertama dari unit yang ekuivalen (kegagalan komponen 1), maka komponen (2) akan mengambil alih
47
untuk kelangsungan operasi dan oleh karena itu sistem tidak mengalami kegagalan. Jika ada kegagalan kedua dari unit yang equivalen (kegagalan komponen 2), sistem akan mengalami kegagalan. Logika pengoperasian pada sistem ini mengimplikasikan bahwa distribusi poison dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari sistem failure karena distribusi ini memberikan probabilitas dari berbagai komponen yang sedang beroperasi pada masa bergunanya. Untuk kasus ini, perlu kiranya untuk mendapatkan probabilitas kegagalan yang tidak melebihi satu kegagalan. Dengan menggunakan distribusi Poisson P )= x (t
(λt ) x e −λt x !
(7.20)
dimana Px (t) menyatakan probabilitas dari komponen x yang gagal dalam waktu t. Dengan menggunakan persamaan (7.20) P[Tidak ada komponen yang gagal] = P 0 (t )
= e − λt
P [Satu komponen gagal] = P 1 (t ) = λte − λt Oleh karena itu keandalan sistem adalah − λt R(t ) = P 0 (t ) + P (1 + λt ) 1 (t ) = e
(7.21)
b. Sistem dengan 2 komponen standby Dengan menggunakan logika di atas, untuk satu komponen utama dan dua komponen stanby maka, jumlah kegagalan yang dapat ditoleransi dalam unit yang equivalen adalah dua sebelum 48
sistem mengalami ditentukan dengan R(t )
=
gagal.
Sehingga
P 0 (t ) + P 1 (t ) + P 2 (t )
=e
−λt
keandalan
1 + λt +
sistem
(λt ) 2 2!
dapat
(7.22)
c. Sistem dengan n komponen standby Secara umum prinsip yang digunakan untuk mendapatkan persamaan (7.21) dan (7.22) dapat diperluas untuk sembarang jumlah komponen standby, karena jumlah kegagalan yang dapat ditoleransi sama dengan jumlah komponen standby. Oleh karena itu, secara umum keandalan sistem dengan n komponen standby yang identik adalah R(t )
=
e
− λt
1 + λt +
(λt ) 2 2!
+
(λt ) 3 3!
+ ... +
(λt ) n n!
(λt ) x e −λt = x ! x = 0 n
∑
(7.23)
d. Mean time to failure (MTTF) Harga dari MTTF untuk sistem dengan satu komponen standby dapat dihitung sebagai berikut MTTF =
∞
∫ 0
e − λt (1 + λt )dt =
1 λ
+
1 λ
=
2 λ
(7.24)
Dan untuk sistem dengan n komponen standby, MTTF nya dapat dihitung sebagai berikut MTTF =
∞
(λt ) x e − λt x ! x = 0 n
∫ ∑ 0
=
n
+1 λ
(7.25) 49
7.6.2. Imperfect Switching Untuk kasus ini, kemungkinan switch mengalami kegagalan dalam mengalihkan tugas dari komponen aktif ke komponen standby akan dimasukkan dalam perhitungan, dengan demikian perlu didefinisikan probabilitas sukses pengoperasian switch. Probabilitas sukses ini dinotasikan dengan Ps dan dapat ditentukan nilainya dengan mengumpulkan data kesuksesan dan kegagalan operasional switch dengan menggunakan persamaan berikut ini. P s
jumla h kesuksesanoperasional switch = jumlah jumlah juml ah operasional switch
(7.26)
Kembali pada kasus 2 komponen yang memiliki susunan standby, dimana proses pengalihan dan perlatan pengalih memiliki nilai keandalan yang kurang dari 100%, maka agar sistem sukses dalam menjalankan misinya maka salah satu kondisi berikut ini harus dipenuhi, yaitu jika tidak ada satupun komponen yang gagal atau satu komponen (utama) mengalami kegagalan dan peralatan pengalih (switch) sukses beroperasi. Dengan demikian keandalan sistem dapat diturunkan sebagai berikut. P [tidak ada komponen yang gagal] = P0(t) = e- λt P [satu komponen gagal dan proses pengalihan dan dan swit switch ch bero berope pera rasi si]] = P1(t).P s = Ps λ te - λt Yang akan memberikan persamaan keandalan sistem R(t )
= e −λt (1 + P s λt )
(7.27) 50
Konsep ini dapat diperluas untuk kasus dengan dua atau lebih komponen standby, dengan memasukkan term Ps pada persamaan (7.22) dan (7.23). MTTF dari sistem standby dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan keandalan sistem dengan batas integrasi mulai dari o sampai ∞, yaitu MTTF =
∞
∫ 0
e − λt (1 + P s λt )
=
1 + P s λ
(7.28)
51
7.7 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 3. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 3 52
Component Importance Analysis 8.1 Pendahuluan Secara umum reliability importance dari sebuah komponen dalam sebuah sistem tergantung dari dua faktor yaitu : § letak komponen di dalam sebuah sistem § reliability dari komponen yang sedang di analisa Analisa importance ( importance (importance importance analysis) analysis) dapat dikatakan sama dengan sensitivity analysis dan oleh karena itu sangat bermanfaat untuk mendesain sistem, mendiagnosis sistem, serta mengoptimalkan sistem. Dengan menggunakan ukuran importance diharapakan dapat memberikan prioritas untuk melakukan pengecekan terhadap komponen-komponen yang dapat menyebabkan kegagalan sistem. Secara umum, semakin besar nilai dari component importance semakin penting komponen tersebut untuk mendapat perhatian. Ada beberapa cara untuk melakukan analisa/mengukur reliability importance dari sebuah komponen yang sudah didefinisikan. Berikut ini teknik analisa reliability importance yang 53
sudah dipublikasikan oleh Heley dan Kumamoto (1992) serta oleh H∅ yland dan Rausand (1994). Teknik itu adalah : • Birnbaum’s measure • Criticality Importance • Vesely – Fussell’s measure • Improvement Potential
a u m ’s ’s M e a s u r e 8.2 B i r n b au Birnbaum (1969) mengusulkan ukuran reliability importance dari sebuah komponen yang ada di dalam sistem sebagai berikut. I B (i t )
=
∂ RS ( t ) ∂ Ri (t )
(8.1)
dengan B
I ( i t ) = ukuran reliability importance birnbaum
RS(t) = nilai nilai reliabilit reliability y dari sistem sistem pada saat saat t Ri(t) = nilai nilai reliabili reliability ty dari dari kompone komponen n i yang ada ada di dalam dalam sistem pada saat t, i = 1,2, … , n B
Jika nilai I ( i t ) besar, perubahan reliability dari komponen i yang kecil akan menghasilkan perubahan komparatif yang besar pada reliability sistem pada saat t. Selain ukuran tersebut di atas, Birnbaum juga mengusulkan apa yang disebut dengan Birnbaum structural importance. importance . Untuk mengetahui indeks ini, berikut ini fungsi struktur (structural (structural function) function) dari sebuah sistem yang merupakan fungsi biner dari sebuah sistem dan diekspresikan oleh persamaan berikut ini. 54
φ ( x )
= φ ( x1, x2 ,..., xn )
(8.2)
dengan φ ( x )
= 0 ,
1,
jika sistemberfungsi
jika sistem dalam keadaan gagal xi = variabel biner dari komponen i 1 , jika komponen berfungsi x i = 0 , jika komponen dalamkeadaan gagal x = state vector x = (x1, x2, … , xn) Sedangkan birnbaum structural importance didefinisikan oleh Bφ(i) =
ηφ (i ) 2n −1
(8.3)
dengan ηφ ( i ) = jumlah total dari critical path set dari komponen i ηφ ( i )
= ∑ [φ(1i , x ) − φ( 0i , x )]
n = jumlah komponen yang ada di dalam sistem
55
1 2/3
2
3
Gambar 8.1 Blok diagram keandalan susunan 2 dari 3
Contoh 8.1 Gambar 8.1 menunjukkan blok diagarm keandalan yang terdiri dari tiga komponen, dimana agar sistem ini sukses minimal diperlukan 2 komponen yang beroperasi dari tiga komponen yang ada. Susunan ini dapat dikategorikan sebagai susunan partially redundant system. system. Indeks keandalan masing – masing komponen pada saat t dinyatakan oleh R1 = 0,98, R2 = 0,96, dan R3 = 0,94. Tentukan Birnbaum’s measure dari masing – masing komponen.
Solusi Persamaan keandalan sistem tersebut bila ditulis dalam term R1, R2, dan R3 adalah R
=
R1 R2
+ R1R3 + R2 R3 − 2R1 R2 R3 =
0,9957
(8.4)
Birnbaum’s measure dari masing – masing komponen adalah 56
= ∂R = R 2 + R3 − 2R2 R3 = 0,0952 ∂R1 ∂R = R1 + R3 − 2R1R3 = 0,0776 I B (2 t ) = ∂R2 ∂R = R1 + R2 − 2R1 R2 = 0,0584 I B (3 t ) = ∂R3 I B (1t )
q
q
q
Sehingga I (1 t ) > I (2 t ) > I (3 t ) B
B
B
8.3 Criticality Importance Criticality importance didefinisikan sebagai probabilitas dari komponen i yang menyebabkan kegagalan sistem dimana sistem telah mengalami kegagalan pada saat t. Secara matematis criticality importance didefinisikan importance didefinisikan oleh I (i t )(1 − Ri ( t )) B
CR
I ( i t )
=
1 − RS (t )
(8.5)
atau dapat juga ditulis sebagai CR
I ( i t )
=
I B (i t ) Qi ( t ) QS (t )
(8.6)
dengan, Qi(t) = nilai ketakandalan dari komponen i pada saat t. 57
QS(t) = nilai ketakandalan dari sistem pada saat t.
Contoh 8.2 Dengan merujuk pada contoh soal 8.1, importance dari masing – masing komponen.
tentukan
criticallity
Solusi Dengan memanfaatkan hasil dari contoh soal 8.1 dan persamaan (8.6) maka criticallity importance importance dari masing – masing komponen adalah I (1 t ) =
I B (1t )(1 − R1 )
CR
I (2 t ) =
1 − R1 R2
I B ( 2 t )(1 − R2 )
CR
I (3 t ) =
− R1R3 − R2 R3 + 2R1 R2 R3
1 − R1R2
− R1R3 − R2 R3 + 2R1R 2 R3 I B (3 t )(1 − R3 )
CR
1 − R1 R2
− R1R3 − R2 R3 + 2R1 R2 R3
= 0,4428
q
=
0,7219
q
= 0,8149
q
Sehingga I (1t ) < I (2 t ) < I (3 t ) CR
CR
CR
58
8.4 Vesely – Fussell’s Measure Vesely – Fussell’s measure menyatakan probabilitas bahwa minimal satu cut set yang mengandung komponen i mengalami kegagalan pada saat t dimana sistem juga telah mengalami kegagalan pada saat t. Secara matematis Vesely – Fussell’s didefiniskan oleh persamaan berikut ini. I VF (i t )
= P ( Di (t ) C (t )) =
P ( Di ( t ) ∩ C (t )) P (C (t ))
(8.7)
dimana Di(t) = minimal cut set yang mengandung komponen i yang megalami kegagalan pada saat t. C(t) = kegagalan sistem pada saat t. Persamaan (8.7) dapat disederhanakan menjadi I VF (i t )
=
P ( Di (t ))
(8.8)
P (C (t ))
Hal ini dapat terjadi karena jika Di(t) terjadi maka C(t) pasti terjadi, atau secara matematis Di(t) merupakan himpunan bagian dari C(t). Persamaan (8.8) dapat juga ditulis menjadi 1− I VF (i t )
=
mi
∏ (1 − P ( E (t )) i j
j =1
1 − RS (t )
(8.9)
dengan,
59
i
E j (t ) = minimal cut set j diantara beberapa minimal cut set
yang mengandung komponen i yang mengalami kegagalan pada saat t untuk i = 1,2, … , n dan j = 1,2, … , mi. mi = jumlah minimal cut set yang mengandung kompnen i. Dengan melakukan aproksimasi pada bagian pembilang persamaan (8.9), persamaan (8.9) dapat ditulis kembali menjadi persamaan di bawah ini mi
mi
∑ P (E (t )) ∑ Q( j i (t ) i j
I VF (i t ) =
j =1
1 − RS (t )
=
j =1
(8.10)
QS (t )
Untuk sistem yang kompleks, persamaan (8.10) sangat disarankan untuk diaplikasikan.
Contoh 8.3 Dengan merujuk pada contoh soal 8.1, tentukan Vesely –Fussell’s measure dari masing – masing komponen.
Solusi Cut set dari blok diagram keandalan sistem adalah {1,2}, {1,3}, dan {2,3}, sehingga P (D1(t )) = P (E 11 (t ) ∪ E 12 (t )) = P (E 11 (t )) + P (E 21 (t )) − P (E 11 (t ) ∩ E 12 (t ))
= Q1 (t )Q2 (t ) + Q1 (t )Q3 (t ) − Q1(t )Q2 (t )Q3 (t ) ≈
0,0020 60
P (D 2 (t )) = P (E 12 (t ) ∪ E 22 (t )) = P (E 12 (t )) + P (E 22 (t )) − P (E 12 (t ) ∩ E 22 (t ))
= Q1(t )Q2 (t ) + Q2 (t )Q3 (t ) − Q1(t )Q2 (t )Q3 (t ) ≈ 0,0032 = P (E 13(t ) ∪ E 23 (t )) = P (E 13 (t )) + P (E 23 (t )) − P (E 13(t ) ∩ E 23 (t )) = Q1(t )Q3 (t ) + Q2 (t )Q3 (t ) − Q1(t )Q2 (t )Q3 (t ) ≈ 0,0036
P (D3 (t ))
Dari contoh 8.1, kita mempunyai P (C (t )) = 1 − R = 1 − 0,9957 = 0,0043 . Sehingga Vesely – Fussell’s measure dari measure dari masing – masing komponen adalah I VF (1 t ) =
P (D1 (t )) P (C (t ))
=
0,0020
I VF (2 t ) =
P (D1 (t )) P (C (t ))
=
I VF (3 t ) =
P (D1(t )) P (C (t ))
=
0,0043 0,0032 0,0043 0,0036 0,0043
≈
0,4651
q
≈
0,7442
q
≈
0,8372
q
Vesely – Fussell’s measure measure dapat pula menggunakan rumus pendekatan (8.10), yaitu I VF (1 t ) ≈
I VF (2 t )
≈
( Q11
+ Q12 (
QS
( Q12
+ Q22
=
(
QS
=
+ Q1Q3
Q1 Q2
QS Q1 Q2
+ Q2 Q3 QS
≈
0,4651
≈
0,7442
didihitung
dengan
q
q
61
I VF (3 t ) ≈
+ Q23
( Q13
(
QS
=
+ Q2 Q3
Q1Q3
QS
≈
0,8372
q
sehingga I (1 t ) < I (2 t ) < I (3 t ) VF
VF
VF
8.5 Improvement Potential Pada kasus-kasus tertentu, mungkin menjadi hal yang perlu diketahui seberapa besar reliability dari sistem bertambah jika komponen i (i = 1, 2, … , n) diganti dengan sebuah komponen yang sempurna. Jika h(RS (t)) menyatakan reliability dari sistem pada saat t, maka perbedaan antara h(1 i, RS(t)) dan h(RS (t)) disebut dengan improvement potential. Secara matematis improvement potential ditulis sebagai IP
I (i t )
= h(1i , RS (t )) − h( RS (t ))
(8.11)
Persamaan (8.11) dapat ditulis sebagai fungsi dari birnbaum measure B I ( i t ) sebagai IP
I (i t )
= I B (i t )(1 − Ri (t ))
(8.12)
Persamaan (8.12) dapat juga ditulis sebagai fungsi dari criticality CR importance I ( i t ) sebagai I (i t ) = I (i t )QS ( t ) IP
CR
(8.13) 62
Contoh 8.4 Dengan merujuk pada contoh soal 8.1, tentukan potential dari masing – masing komponen.
improvement
Solusi Dengan menggunakan persamaan (8.12)
= I B (1t )(1 − R1 ) = 0,0019 I P B I (2 t ) = I (2 t )(1 − R2 ) = 0,0031 I P
I (1t )
I P
I (3 t )
=
I (3 t )(1 − R3 ) = 0,0035 B
q q
q
Sehingga I (1t ) < I (2 t ) < I (3 t ) I P
I P
I P
Tabel 8.1 menunjukkan perbandingan hasil dari berbagai metode untuk menyelesaikan masalah partially redundant system. system. Tabel tersebut menunjukkan rangking yang berbeda untuk tiap – tiap komponen. Ini merupakan hal yang wajar karena masing metode memiliki definisi yanag berlainan, sehingga apabila kita menganalisa sistem harus disesuaikan dengan keperluannya. Untuk mengidentifikasi komponen yang harus diperbaiki untuk meningkatkan keandalan sistem, birnbaum’s measure dan improvement potential merupakan metode yang tepat untuk dipakai. Sedangkan untuk mengidentifikasi komponen mana yang memiliki probabilitas yang dapat menyebabkan kegagalan sistem, maka critical importance measure dan Vesely – Fussel’s measure merupakan metode yang paling tepat untuk dipakai. 63
Tabel 8.1 Perbandingan hasil component importance analysis dari berbagai metode
Ko mpo nen
Birnbaum
1 2 3
0,0952 (1) 0,0776 (2) 0,0584 (3)
Criticallity Importance 0,4428 (3) 0,7219 (2) 0,8149 (1)
VeselyFussell 0,4651 (3) 0,7442 (2) 0,8372 (1)
Improveme nt Potential 0,0 019 (3) 0,0 031 (2) 0,0 035 (1)
64
8.6 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 3. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 3
65
MODUL 4 KEANDALAN DAN PERAWATAN Metode PengkajianKeandalan Bagian 3 Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER SURABAYA © Copyright ada pada penulis
DAFTAR ISI MODUL 4 BAB 9 Rant Rantai ai Markov Markov Disk Diskrit rit (Disc (Discrete rete Marko Markov v Chain) Chain) 9.1 9.2 9.3 9.4
Pendahuluan Konsep Pemodelan Stochastic Transitional Probability (STP) Matrix Evaluasi Probabilitas yang Tergantung Waktu (time (time Dependent Probability Evaluation) Evaluation) 9.5 Evaluasi Probabilitas Untuk Kondisi Mantap 9.6 Absorbing State 9.7 Referensi dan Bibliografi
BAB 10 1 0 Proses Markov Kontinyu Kontinyu (Continuous Markov Markov Process) 10.1 Pendahuluan 10.2 Konsep Umum Pemodelan 10.3 Pengevaluasian yang Tergantung Waktu 10.4 StochasticTransitional Probability (STP) Matrix 10.5 Pengevaluasian Probabilitas untuk Kondisi Batas 10.5.1 Komponen Tunggal yang Mampu-Rawat 10.5.2 Dua Komponen yang Mampu-rawat 10.6 Pengevaluasian dengan Menggunakan Persamaan Diferensial 10.7 Mean Time to Failure (MTTF) 10.8 Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY
BAB 11 Simu Simulasi lasi Monte Monte Carlo 11.1 Konsep Simulasi 11.2 Random Number Generator 11.3 Konversi Uniform random Number 11.4 Algoritma Simulasi 11.4.1 Algoritma Konfigurasi Seri Untuk Sistem Non-Repairable 11.4.2 Algoritma Konfigurasi Paralel Untuk Sistem Non-Repairable 11.4.3 Algoritma Konfigurasi Paralel Repairable System 11.4.4 Algoritma Konfigurasi Standby System 11.5 Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY KEMBALI KE MENU UTAMA
Rantai Markov Diskrit (D i s c r e te t e M ar a r k o v C h ai ai n ) 9.1 Pendahuluan Berbagai teknik analitis untuk mengevaluasi reliability dari suatu sistem telah diuraikan pada bab terdahulu. Teknik analitis ini mengasumsikan bahwa sistem adalah tidak repairable, repairable, kalaupun sistem itu repairable maka selalu diasumsikan bahwa waktu untuk mereparasi sistem / komponen yang ada di dalam sistem adalah sangat singkat bila dibandingkan dengan waktu pengoperasian sistem. Teknik pemodelan dengan menggunakan pendekatan Markov (Markov Approach) Approach) menawarkan suatu pemodelan untuk memperhitungkan waktu reparasi atau repairable system. system. Pendekatan Markov dapat diaplikasikan pada perilaku (behavior ) random dari suatu sistem yang bervariasi secara diskrit maupun kontinyu terhadap ruang dan waktu. Variasi random baik secara diskrit maupun secara random ini disebut dengan proses stokastik (stochastic process). process ). Tidak semua proses stokastik dapat dimodelkan dengan memakai pendekatan Markov dasar (basic ( basic 1
Markov approach). approach). Syarat yang harus dipenuhi agar suatu sistem dapat dimodelkan dengan menggunakan pedekatan Markov dasar adalah a. sistem harus memiliki sifat lack of memory b. proses dari sistem harus stasioner atau homogen Sifat pertama, lack of memory , berarti bahwa keadaan sistem pada masa yang akan datang tidak tergantung dari keadaan masa lalu kecuali keadaan yang langsung mendahuluinya. Dengan kata lain keadaan dari suatu sistem pada masa yang akan datang hanya tergantung dari keadaan saat ini, dan bukan tergantung dari keadaan masa lalu dan tidak juga tergantung dari bagaimana suatu sistem dapat mencapai suatu keadaan pada saat ini. Sifat kedua, sistem yang stasioner atau homogen, berarti bahwa perilaku sistem adalah sama pada semua titik-titik waktu yang akan dipertimbangkan, artinya probabilitas untuk berpindah dari satu keadaan ke keadaan lain adalah sama (stasioner) pada sembarang waktu baik waktu lampau dan waktu yang akan datang. Jika probabilitas ini merupakan fungsi dari waktu atau merupakan berupa angka diskrit yang berjenjang, maka proses ini dikategorikan sebagai non stasioner atau juga bisa disebut dengan non-Markovian. non-Markovian. Kedua sifat yang harus dimiliki oleh suatu sistem agar sistem ini bisa dimodelkan dengan menggunakan pendekatan Markov adalah bila sistem atau komponen yang ada di dalam sistem memiliki probability distribution distribution dengan laju kegagalan (failure (failure rate) rate ) yang konstan. Probability distribution function yang memiliki laju kegagalan yang konstan misalnya adalah distribusi eksponensial atau distribusi Poisson. Secara umum pemodelan dengan menggunakan pendekatan Markov dapat diapakai untuk memodelkan ruang dan waktu (space and time) time ) sistem baik yang diskrit maupun yang kontinyu. Umumnya, space space dari sistem adalah diskrit, karena space ini hanya 2
menunjukkan keadaan suatu sistem. Sebagai contoh, suatu sistem mungkin dalam keadaan up up atau down. down. Sedangkan untuk waktu mungkin bisa diskrit atau kontinyu. Pemodelan sistem yang melibatkan pendekatan Markov secara diskrit disebut dengan rantai Markov diskrit (discrete (discrete Markov chain) chain) sedang pemodelan sistem yang melibatkan pendekatan Markov secara kontinyu disebut dengan proses Markov (Markov (Markov process). process ).
Gambar 9.1 State space diagram untuk sistem dengan 2 keadaan
9.2 Konsep Pemodelan Untuk mengilustrasikan mengenai konsep pemodelan Markov, misalkan ada sebuah sistem yang memiliki dua keadaan yaitu keadaan up (beroperasi) up (beroperasi) dan keadaan down (rusak). down (rusak). Kondisi ini dapat digambarkan dalam sebuah state space diagram (diagram keadaan ruang). Gambar 9.1 menunjukkan state space diagram dari contoh sistem yang dibahas. Pada gambar 9.1, state 1 1 mewakili keadaan untuk sistem dalam keadaan up,sedang up,sedang untuk state 2 2 mewakili keadaan sistem 3
dalam keadaan down. down. Probabilitas dari sistem itu untuk tetap pada state 1 adalah 2/3 atau sistem itu dapat berpindah dari state 1 ke state 2 dengan probabilitas 1/3. Yang perlu diperhatikan dalam pemodelan ini adalah bahwa jumlah dari proabilitas ini adalah 1. Dari gambar 1 juga terlihat bahwa probabilitas sistem itu untuk tetap berada pada state 2 adalah 4/5 sedang probabilitas sistem itu berpindah dari state 2 ke state 1 adalah 1/5. Contoh di atas merupakan contoh dari rantai Markov diskrit, karena sistemnya adalah stasioner dan perpindahan antara satu state ke state yang lain terjadi dalam jenjang diskrit. Sistem di atas diasumsikan berawal pada state 1 dan perilaku transien (transient behavior ) dievaluasi sesuai dengan pertambahan waktu. Keadaan sistem pada saat t = 0 disebut dengan kondisi awal (initial condition). condition). Untuk berbagai kasus pengevaluasian reliability dari sistem kondisi awal ini biasanya sudah diketahui. Perilaku transien dari sistem ini sangat tergantung dari kondisi awal sistem, sedangkan nilai probabilitas dari kondisi mantap (limiting (limiting state / steady state) state) tidak tergantung dari kondisi awal. Sebuah sistem atau suatu sistem dimana nilai probabilitasnya tidak tergantung pada kondisi awal dikenal dengan sistem ergodik (ergodic (ergodic system). system). Agar suatu sistem bisa disebut sebagai sistem yang ergodik, maka semua state dari suatu sistem dapat dicapai dari berbagai state yang lain baik secara langsung maupun tidak langsung melalui state antara (intermediate state). state ). Jika kondisi ini tidak mungkin terjadi dan ada satu atau beberapa state yang bila sekali sistem berada pada state ini sistem tidak bisa bertransisi ke state yang lain, maka state ini disebut dengan absorbing state. state. State 3 pada gambar 9.2 merupakan suatu contoh absorbing state. state.
4
Gambar 9.2 State-space diagram dengan state 3 sebagai absorbing state
9.3 Stochastic Transitional Probability (STP) Matrix State space diagram pada gambar 9.1 dapat diekspresikan dalam bentuk matrik. Matrik ini merepresentasikan probabilitas transisi dari satu state ke state lain dalam satu jenjang atau interval waktu. Matrik ini disebut dengan matrik probabilitas transisional stokastik (Stochastic (Stochastic Transitional Probability Matrix – STP Matrix ). ). Matrik STP dari gambar 9.1 dapat ditulis sebagai
P 11 P = P 21
P 12
2 3 = P 22 15
4 5 1
3
(9.1)
dimana Pij = probabilitas untuk melakukan transisi ke state j setelah satu interval waktu tertentu dimana state i merupakan awal dari satu interval waktu.
5
Sedang matrik STP untuk state space diagram pada gambar 9.2 adalah
P 11 P = P 21 P 31
P 12 P 22 P 32
P 13
2 3 P 23 = 1 5 P 33 0
1 3
3 5
0
0
1 1
5
(9.2)
Secara umum bila suatu sistem yang dimodelkan dengan menggunakan pemodelan Markov secara diskrit memiliki n buah state, maka secara umum matrik STP nya dapat dituliskan sebagai berikut.
P 11 P 21 P = . . P n1
P 12
... ... P 1n
P 22
... ... P 2n
.
... ...
.
... ...
P n2
... ...
. P nn .
(9.3)
dengan Pij = probabilitas untuk melakukan transisi ke state j setelah satu interval waktu tertentu dimana state i merupakan awal dari satu interval waktu. Yang perlu diperhatikan dari matrik STP ini adalah jumlah probabilitas untuk masing-masing baris harus sama dengan satu.
6
Contoh 9.1 Gambar 9.3 menunjukkan sebuah state – space diagram yang merupakan model dari sebuah sistem. Laju perubahan dari satu state ke state lain juga ditunjukkan pada gambarTentukan matrik STP dari dari state space diagram tersebut.
1
0,005
0,001 0,02
0,04
2
3
0,008
0,009 4
Gambar 9.3 State – space diagram untuk contoh 9.1
Solusi STP matrik untuk permasalah an di atas
7
P 11 P 21 P = P 31 P 41
P 12 P 22 P 32 P 42
P 14
0,994 0,02 P 23 P 24 = 0,04 P 33 P 34 P 43 P 44 0 P 13
0,001 0,005 0,972
0
0
0,951
0
0
0,008 0,009 1 0
q
9.4 Evaluasi Probabilitas yang Tergantung Waktu (Time D e p e n d e n t P r o b ab a b i l i t y E v a l u at at i o n ) Pada contoh sistem yang diekspresikan pada gambar 9.1, setelah dua interval waktu maka perilaku dari sistem yang diwakili oleh nilai probabilitas yang terdapat di dalam matrik STP akan berubah menjadi 2
P
2 3 = 1 5
2 3 4 1 5 5 1
3
23 45 = 22 4 5 75 1
3
53 75 22
45
(9.4)
Elemen pada baris pertama kolom pertama dari matrik di atas dapat diartikan sebagai probabilitas sistem itu berada pada state 1 jika pada awalnya sistem itu berada pada state 1 adalah 23/45. Sedang elemen pada baris pertama kolom kedua dari matrik di atas dapat diartikan sebagai probabilitas sistem itu berada pada state 2 jika pada awalnya sistem sistem itu berada pada state 1 adalah 22/45. Elemen pada baris kedua kolom pertama dari matrik di atas dapat diartikan sebagai probabilitas sistem itu berada pada state 1 jika pada awalnya sistem itu berada pada state 2 adalah 22/75. Sedang elemen pada baris kedua kolom kedua dari matrik di atas dapat diartikan sebagai probabilitas sistem itu berada pada state 2 jika pada awalnya sistem itu berada pada state 2 adalah 53/75. Jadi 8
matrik P2 menyatakan semua proabailitas dari sistem setelah dua interval waktu, baik sistem itu berawal dari state 1 maupun berawal dari state 2. Secara umum elemen-elemn yang terdapat di dalam matrik Pn menyatakan probabilitas dari suatu sistem yang berawal dari keadaan i dan berakhir pada state j setelah n interval waktu. Jika keadaan awal dari sistem diwakili oleh suatu matrik probabilitas P(0) yang menyatakan probabilitas dari masing-masing state pada saat awal dari misi sistem, maka setelah n interval probabilitas dari sistem itu dapat dituliskan ke dalam sebuah persamaan
P (n) = P (0)P n
(9.5)
dengan P(n) = matrik proababilitas yang menyatakan probabilitas dari masing-masing state setelah n interval waktu P(0) =matrik probabilitas yang menyatakan probabilitas dari masing-masing state pada saat awal dari misi sistem P =matrik STP yang mewakili sistem Bila sistem yang digambarkan pada gambar 9.1 mengawali misinya pada state 1, maka kondisi awal dapat dituliskan dalam matrik probabilitas P (0) = [1 0]
(9.6)
Elemen 1 pada matrik probabilitas pada persamaan (9.6) menyatakan bahwa probabilitas dari sistem itu untuk berada pada 9
state 1 adalah 1, sedang elemen 0 pada matrik probabilitas pada persamaan (9.6) menyatakan bahwa probabilitas dari sistem itu untuk berada pada state 2 adalah 0.
Contoh 9.2 Dengan menggunakan state – space diagram pada gambar 9.1, tentukan probabilitas masing-masing state setelah dua interval waktu, jika misi dari sistem tersebut diawali dari state 1.
Solusi Setelah dua interval waktu maka perilaku dari sistem yang diwakili oleh nilai probabilitas yang terdapat di dalam matrik STP akan berubah menjadi 2
P
2 3 = 1 5
2 3 4 1 5 5 1
3
23 45 = 22 4 5 75 1
3
53 75 22
45
Setelah dua interval waktu, probabilitas masing-masing state dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (9.5).
P (2) = P (0)P = [1 2
23 45 0] 22 75
23 = [ 45 53 75 22
45
22
45
]
(9.7)
yang berarti bahwa setelah dua interval waktu, probabilitas dari sistem itu untuk tetap berada pada state 1 adalah 23/45 sedang 10
probabilitas dari sistem itu untuk berada pada state 2 adalah 22/45. q
9.5 Evaluasi Probabilitas Untuk Kondisi Mantap Seksi 9.4 telah membahas bagaimana cara menghitung probabilitas dari suatu sistem yang telah dimodelkan dengan menggunakan rantai Markov diskrit untuk kondisi transien. Cara tersebut dapat juga dipakai untuk menghitung probabilitas dari sistem ergodik. Satu kelemahan dari cara ini adalah, perkalian matrik harus dialakukan secara berulang-ulang dan membutuhkan waktu yang sangat lama. Berikut ini akan diuraikan suatu teknik perhitungan untuk mendapatkan nilai probabilitas dari suatu sistem ergodik untuk kondisi mantap. Prinsip dari perhitungan ini adalah sekali suatu sistem memasuki kondisi mantap, perkalian matrik STP lebih lanjut tidak akan merubah nilai probabilitas dari keadaan sistem yang sudah mantap. Secara matematis prinsip ini dapat ditulis dalam bentuk perkalian matrik. Jika A menyatakan vektor probabilitas untuk keadaan mantap sistem dan P adalah matrik STP, maka untuk kondisi mantap dari sistem aka berlaku
AP = A
(9.8)
Sistem yang dimodelkan pada gambar 9.1 kembali akan dipakai sebagai contoh. Misalkan A = [ P 1 P2 ], dengan P 1 mewakili probabilitas keadaan mantap dari sistem itu untuk berada pada state 1 dan P2 mewakili probabilitas keadaan mantap dari sistem itu untuk 11
berada pada state 2. Dengan memakai persamaan (9.8), probabilitas masing-masing state untuk kondisi mantap dapat dihitung sebagai berikut.
[ P 1
2 3 P 2 ] 15
= [ P 1 4 5 1
3
P 2 ]
(9.9)
atau
2 3
P 1 + 15 P 2
1 3
+ 45 P 2
P 1
= P 1 = P 2
(9.10)
yang bisa disederhanakan menjadi
− 13 P 1 + 15 P 2 = 0 1 P − 15 P 2 = 0 3 1
(9.11)
Kedua persamaan di atas adalah identik, sehingga untuk menyelesaikan kedua persamaan di atas diperlukan sebuah persamaan lagi yaitu P 1 + P 2
=1
(9.12) 12
Dengan mengambil salah satu persamaan dari dua persamaan yang ada pada persamaan (9.11) dan persamaan (9.12), maka akan terbentuk dua buah persamaan simultan. Kedua persamaan simultan ini dapat ditulis menjadi sebuah persamaan matrik yaitu
13 − 15 P 1 0 1 1 P = 1 2
(9.13)
Persamaan matrik di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik penyelesaian standar seperti metode Cramer, eliminasi Gauss dan berbagai teknik penyelesaian lain. Solusi dari persamaan (9.13) adalah P 1 = 3/5 dan P 2 = 5/8. Untuk sistem yang memiliki matrik STP dengan ordo lebih dari 2x2, maka salah satu persamaan yang dihasilkan oleh persamaan (9.8) harus diganti dengan persamaan yang memiliki bentuk seperti persamaan (9.12). Sebagai contoh, bila matrik STP suatu sistem berordo 3x3, maka persamaan (9.12) akan berubah menjadi P1 + P2 + P3 = 1.
9.6 Absorbing State Pada seksi terdahulu telah dijelaskan definisi dari absorbing state, state , yaitu sekali suatu sistem memasuki state ini maka sistem itu tidak akan bisa keluar dari state ini kecuali sistem ini memulai misi yang baru. Sistem yang memiliki sifat seperti ini bisa dikategorikan sebagai sistem yang berorientasi pada misi (mission ( mission oriented 13
system). system). Pada kasus tertentu, satu persyaratan dari analisa keandalan adalah untuk mengevaluasi jumlah rata – rata dari interval waktu dimana sistem berada pada salah satu non-absorbing state, state, atau dengan kata lain berapa kali interval sistem beroperasi sebelum sistem tersebut memasuki absorbing state. Prinsip ini juga dapat diterapkan pada repairable system, system, yaitu untuk mengevaluasi jumlah rata – rata interval waktu sistem yang akan beroperasi secara memuaskan sebelum memasuki keadaan yang tidak diinginkan. Pada kasus ini state yang dimaksud bukanlah merupakan absorbing state yang nyata karena keadaan ini dapat ditinggalkan setelah aksi reparasi dilakukan. Berikut ini akan diuraikan metode perhitungan yang dipakai untuk menghitung berapa interval waktu rata – rata dari suatu sistem sebelum absorbing state tercapai. Jika P merupakan matrik STP dari sistem, sebuah truncated matrix Q dapat dibuat dengan menghapus kolom dan baris matrik yang berkaitan dengan absorbing state. Untuk persamaan (9.1) yang mewakili sebuah matrik STP sistem, jika state 2 didefinisikan sebagai absorbing state, maka matrik Q hanya akan memiliki satu elemen, yaitu [P 11]. Ini terjadi karena kolom kedua dan baris kedua dari matrik STP tersebut telah dihilangkan. Secara umum, nilai harapan dari sebuah variabel random didefinisikan oleh E ( x ) =
∞
∑ x P i i
(9.14)
i =1
Persamaan ini tidak hanya berlaku untuk elemen probabilitas tunggal Pi tetapi juga untuk elemen probabilitas multi yang dinyatakan oleh matrik Q. Oleh karena itu jika N menyatakan jumlah interval waktu yang diharapkan, maka 14
N = 1.I + 1Q + 1Q2 + ... + 1Qn −1
(9.15)
dimana I merupakan matrik identitas. Angka 1 pada tiap – tiap suku dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk suku pertama, 1 mewakili kontribusi terhadap nilai harapan dari sistem yang mulai beroperasi pada state 1, sedangkan angka 1 yang berada pada suku kedua mewakili kontribusi terhadap nilai harapan dari sistem yang mulai beroperasi pada state 2, begitu seterusnya. Sedangkan matrik satuan I pada suku pertama mewakili probabilitas terjadinya interval waktu pertama, probabilitas terjadinya interval waktu kedua dinyatakan dengan Q, sedangkan sedangkan probabilitas terjadinya interval waktu ketiga dinyatakan dengan Q3 begitu seterusnya. Persamaan (9.15) bukan merupakan persamaan yang siap untuk dievaluasi. Dengan mempertimbnagkan persamaan berikut ini
[I − Q][I + Q + Q2 + ... + QN −1] = I − QN
(9.16)
Karena nilai – nilai elemen matrik Q adalah kurang dari 1, maka akan lim li m berlaku Qn = 0 , sehingga I − Qn → I , dan persamaan (9.16) n→∞ berubah menjadi
[I − Q][I + Q + Q 2 + ... + QN −1] = I
15
atau
[I + Q + Q2 + ... + QN −1] = [I − Q]− 1 Oleh karena itu, dari persamaan(9.15) dan (9.16) akan diperoleh
N = [I − Q]−1
(9.17)
Contoh 9.3 Dengan menggunakan state – space diagram pada gambar 9.1, jika didefinisikan state 2 merupakan absorbing state, tentukan untuk berapa kali interval sistem itu rata – rata akan beroperasi sebelum mencapai absorbing state.
Solusi Jika state 2 didefinisikan sebagai absorbing state, maka truncated matrix Q dapat ditentukan sebagai berikut. Q = P11 = ½ Sehingga N = [ 1-1/2]-1 = 2 Jadi rata – rata sistem itu akan beroperasi selama 2 interval waktu sebelum state 2 dimasuki. q 16
9.7 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 3. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 4. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 4 17
Proses Markov Kontinyu (C on o n t i n u o u s M ar ar k o v Processes ) 10.1 Pendahuluan Masalah keandalan yang berhubungan dengan sistem secara normal adalah space memiliki sifat diskrit - yaitu sistem tersebut dapat eksis pada salah satu keadaan diskrit dengan state yang dapat diidentifikasi – dan sistem tersebut eksis secara kontinyu pada salah satu state sampai terjadi sebuah transisi yang membawa sistem tersebut secara diskrit dari satu state ke state yang lain. Teknik evaluasi yang ditulis pada seksi ini akan menyinggung sistem yang dapat didiskripsikan sebagai stationary Markov proces, proces , yaitu probabilitas kegagalan kondisional atau reparasi selama interval waktu yang tertentu adalah konstan. Hal ini mengimplikasikan bahwa karakteristik kegagalan dan reparasi dari komponen berhubungan dengan distribusi eksponensial. Jika kondisi yang disyaratkan seperti di atas terpenuhi, maka pendekatan Markov dapat dipakai untuk berbagai permasalahan reliabiity, termasuk sistem yang repairaple atau non-repairable, non-repairable, juga termasuk sistem yang terhubung secara seri, paralel atau standby. 18
10.2 Konsep Umum Pemodelan 10.2.1 Konsep Laju Perpindahan (Transition Rate) sebagai contoh awal pemodelan, pertimbangkan sebuah komponen tunggal yang mampu-reparasi (repairable (repairable)) dimana failure rate dan repair rate nya adalah konstan, yaitu keduanya dikarakteristikkan oleh distribusi eksponensial. Gambar 10. 1 menunjukkan state-space diagram dari sebuah komponen tunggal.
λ State 0
State 1
Komponen dapat dioperasikan
Komponen mengalami kegagalan
µ Gambar 10.1 State-space diagram untuk komponen tunggal
Definisi – definisi berikut ini juga akan dipergunakan untuk menjelaskan diagram state-space pada gambar 10.1. P0(t) = Probabilitas komponen komponen dapat beroperasi beroperasi pada pada saat t P1(t) = Probabilitas komponen tidak dapat beroperasi pada saat t = laju kegagalan (failure (failure rate) rate) λ µ = laju perbaikan (repair (repair rate) rate) Failure density function bagi sebuah komponen yang memiliki laju kegagalan yang kontan, λ, dapat ditulis sebagai f (t ) = λe− λt
(10.1)
19
Dengan memanfaatkan persamaan (10.1), maka density function diagram state-space pada gambar 10.1, density function yang mewakili keadaan sistem pada saat beroperasi dan pada saat dalam keadaan gagal masing – masing dapat dituliskan sebagai f 0(t ) = λe −λ t
(10.2)
f 1 (t ) = µe− µt
(10.3)
dan
Parameter – parameter λ dan µ menunjukkan laju transisi (transition (transition rate) rate) karena masing –masing menyatakan dimana sistem berpindah dari satu keadaan ke keadaan yang lain.
10.2.2 Pengevaluasian Probabilitas yang Tergantung Waktu State space diagram untuk komponen tunggal telah ditunjukkan pada gambar 10.1. Pada discrete Markov chain, chain, perpindahan dari satu keadaan ke keadaan lain ditunjukkan oleh probabilitas transitional. Untuk kasus continuous Markov process perpindahan dari satu keadaan ke keadaan lain dinyatakan oleh laju perpindahan (transition (transition rate), rate ), yaitu dengan parameter λ dan µ yang masing – masing mewakili laju perubahan dari keadaan beroperasi dan perubahan dari keadaan gagal. Misalkan sebuah pertambahan interval waktu dt yang sangat kecil yang mewakili interval waktu pindah dari satu keadaan ke keadaan lain sehingga tidak memungkinkan terjadinya lebih dari satu kegagalan pada interval waktu tersebut. Probabilitas bahwa 20
komponen tersebut tetap berada dalam keadaan beroperasi (state (state 0) 0) pada saat (t + dt) dapat dinyatakan sebagai [Probabilitas untuk tetap beroperasi pada saat t DAN tidak mengalami kegagalan pada saat dt] + [Probabilitas untuk mengalami kegagalan pada saat t DAN akan dapat direparasi pada saat dt] Secara matematis, uraian di atas dapat ditulis sebagai berikut P 0 (t + dt ) = P 0(t )(1 − λdt ) + P )(µdt ) 1 (t
(10.4)
P 0 (t + dt ) − P 0 (t ) = −λP 0(t ) + P 1(t )µ dt
(10.5)
atau
untuk dt
à 0,
maka
P 0 (t + dt ) − P dP (t ) 0 (t ) = 0 = P 0 ' (t ) dt → 0 dt dt lim li m
(10.6)
sehingga persamaan (10.5) akan berubah menjadi P 0 ' (t ) = −λP 0 (t ) + P )µ 1(t
(10.7)
Dengan pendekatan yang sama, probabilitas bahwa komponen tersebut tetap berada dalam keadaan gagal (state (state 1) 1) pada saat (t + dt) dapat dinyatakan sebagai
21
P ) = P ) + P 0 (t )(λdt ) 1 (t + dt 1 (t )(1 − µdt dimana untuk dt
à 0
(10.8)
persamaan (10.8) dapat ditulis sebagai
P ) = λP 0(t ) − µP 1 ' (t 1 (t )
(10.9)
Persamaan (10.7) dan (10.9) dapat ditulis dalam sebuah bentuk persamaan matrik di bawah ini.
− λ λ µ − µ
[P 0 ' (t ) P ) P )] 1 ' (t )] = [P 0 (t 1 (t
(10.10)
Matrik koefisien pada persamaan (10.10) bukan merupakan matrik STP karena penjumlahan semua koefisien pada satu baris menghasilkan nilai 0, sedangkan pada matrik STP akan menghasilkan 1. Persamaan (10.7) dan (10.9) merupakan persamaan diferensial linier dengan koefisien – koefisen yang konstan. Kedua persamaan di atas dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu cara yang paling mudah dan banyak digunakan adalah dengan menggunakan transformasi La Place. Secara umum transformasi La Place didefinisikan oleh ∞
F (s) =
∫ e
− s t
f (t )dt
(10.11)
0
sedangkan tabel 10.1 menunjukkan beberapa transformasi La Place untuk beberapa fungsi. 22
Tabel 10.1 Transformasi Transformasi La Place
f(t) 1 T e− kt sin si n kt cos kt 1
t n−1e −kt
(n − 1)! dy dt
F(s) 1
s 1
s
2
1
( s + k ) k (s 2 + k 2 ) s (s 2 + k 2 ) 1
(s + k )n sF (s ) − y (0)
Transformasi La Place dari persamaan (10.7) sP 0(s) − P 0 (0) = −λP 0 (s ) + µP 1(s )
(10.12)
dengan Pi(s) = trans transfor formas masii La Plac Place e daro daro P i(t) P0(0) (0) = nilai nilai awal awal dari dari P0(t) Persamaan (10.12) dapat ditulis kembali menjadi 23
P 0( s) =
µ
s+λ
P 1 (s) +
1
s+λ
P 0(0)
(10.13)
demikian juga untuk persamaan (10.9), transformasi La Place dari persamaan ini dapat disederhanakan menjadi P 1 (s) =
λ
s+λ
P 0 (s) +
1
s+λ
P 1 (0)
(10.14)
dengan P1(0) (0) = nilai nilai awal awal dari dari P1(t) Persamaan (10.13) dan (10.14) dapat digunakan secara serentak untuk mendapatkan nilai dari P 0(s) dan P1(s), dengan menggunakan metode substitusi kita akan memperoleh P 0( s) =
P 0(0) + P 1(0) + + s λ µ
P 1 (s) =
P 0 (0) + P 1(0) + s λ + µ
µ
λ
1
⋅
1
⋅
1
λ+ µ s + λ+ µ 1
λ+ µ s
+λ+µ
[λP 0 (0) − µP 1(0)]
(10.15)
[µP 1(0) − λP 0 (0)]
(10.16)
Persamaan (10.15) dan (10.16) harus ditransformasi kembali ke fungsi waktu. Untuk itu, persamaan – persamaan di atas harus ditransformasi kembali dengan menggunakan inverse transformasi La Place. Inverse transformasi La Place untuk persamaan (10.15) dan (10.16) masing – masing ditunjukkan oleh persamaan
24
P 0(t ) =
P 1 (t ) =
µ λ+ µ λ λ+µ
[P 0(0) + P 1(0)] +
e
[P 0(0) + P 1(0)] +
e
−(λ + µ )t
λ+ µ −( λ + µ )t
λ+ µ
[λP 0(0) − µP 1(0)]
(10.17)
[µP 1(0) − λP 0(0)]
(10.18)
Untuk semua kondisi akan berlaku P0(0) + P1(0) = 1, oleh karena itu persamaan (10.17) dan (10.18) akan berubah menjadi P 0 (t ) =
P 1 (t ) =
µ λ+ µ λ λ+µ
+
e
+
e
− (λ + µ )t
λ+ µ
[λP 0 (0) − µP 1(0)]
(10.19)
[µP 1(0) − λP 0(0)]
(10.20)
−(λ + µ )t
λ+ µ
Secara praktekpada umumnya sistem berawal dari state 0, yaitu sistem berada pada kondisi yang dapat dioperasikan pada saat t = 0. Untuk kasu ini P 0(0) = 1 dan P 1(0) = 0, dan persamaan (10.19) dan (10.20) dapat ditulis menjadi P 0 (t ) =
P 1 (t ) =
µ λ+ µ λ λ+µ
+
−
µe
−( λ + µ )t
λ+µ λe
(10.21)
− (λ + µ )t
λ+ µ
(10.22)
Persamaan (10.21) dan (10.22) masing – masing menyatakan probabilitas dari sistem untuk berada pada keadaan beroperasi dan 25
gagal sebagai fungsi dari waktu dimana sistem mulai beroperasi pada saat t = 0 pada saat sistem dalam keadaan beroperasi.
10.2.3 Pengevaluasian Probabilitas Untuk Kondisi Batas Probabilitas batas keadaan (Limiting (Limiting state probability ) atau probabilitas untuk kondisi mantap (steady-state (steady-state probability ) tidak akan sama dengan nol untuk sebuah continuous Markov process dimana sistemnya adalah ergodic. Untuk kasus komponen tunggal yang repairable repairable seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.1, probabilitas batas keadaan dapat dihitung dari persamaan (10.21) dan (10.22) dengan membiarkan t à ∞ . Jika nilai dari probabilitas kondisi batas didefinisikan oleh P0 dan P1 masing – masing untuk keadaan beroperasi dan keadaan gagal, maka persamaan (10.21) dan (10.22) dapat ditulis menjadi P 0 =
P 1 =
µ λ+ µ λ λ+ µ
(10.23)
(10.24)
Ekspresi probabilitas batas keadaan dapat diterapkan tanpa memandang apakah sistem berawal dari keadaan beroperasi atau berawal dari keadaan gagal. Salah satu karakteristik distribusi eksponensial adalah MTTF dari distribusi ini dapat diitung langsung dari MTTF = 1λ , dengan demikian MTTR =
1
µ
. Dengan mensubstitusikan kedua persamaan ini
ke dalam persamaan (10.23) dan (10.24), maka akan diperoleh 26
P 0 =
MTTF MTTF + MTTR
(10.25)
P 1 =
MTTR MTTF + MTTR
(10.26)
Nilai dari P0 dan P1 umumnya masing – masing dirujuk sebagai ketersediaan sistem pada keadaan mantap (steady (steady state availability ) A, dan ketaktersediaan sistem pada keadaan mantap (steady (steady state availability ) U. Sedangkan ketersediaan sistem yang tergantung waktu (time (time dependent availability ) diberikan oleh persamaan (10.21). Persamaan ini menyatakan probabilitas untuk mendapatkan sistem dalam keadaan beroperasi pada saat t dimana sistem berada dalam keadaan beroperasi pada saat t = 0. Hal ini tentunnya sangat berbeda dengan keandalan R(t) yang diberikan oleh persamaan R(t ) = e− λt Keandalan ini menyatakan probabilitas dari suatu sistem untuk tetap berada pada keadaan beroperasi sebagai fungsi dari waktu dimana sistem juga berada dalam keadaan beroperasi pada saat t = 0. Gambar 10.2 menunjukkan hubungan antara A(t) dan R(t).
27
A(t)
R(t)
Gambar 10.2 Hubungan antara A(t) dan R(t)
Probabilitas keadaan batas dapat dievaluasi secara langsung dari persamaan diferensial yang ditunjukkan pada persamaan (10.8) dan (10.9) tanpa secara aktual menyelesaikan persamaan – persamaan tersebut. Pendekatan yang dipakai adalah dengan mengevaluasi probabilitas keadaan untuk t à ∞. Untuk kondisi seperti ini, P0’(t) dan P1’(t) keduanya akan cenderung bernilai 0, dan persamaan (10.8) dan (10.9) masing – masing dapat direduksi menjadi
− λP 0 + µP 1 = 0
(10.27)
λP 0 − µP 1 = 0
(10.28)
Kedua persamaan ini merupakan persamaan yang identik, sehingga diperlukan satu persamaan lain agar nilai dari P 0 dan P1 dapat diselesaikan. Persamaan lain yang dipakai adalah 28
P0 + P1 = 1 Dengan menggunakan kedua persamaan ini maka akan diperoleh P 0 = P 1 =
µ λ+ µ λ λ+ µ
10.3 S t a t e S p a c e D i a g r a m (Diagram Ruang Keadaan) Untuk memfasilitasi penyelesaian continuous Markov process dan discrete Markov chain, chain, perlu kiranya untuk mengkonstruksi state space diagram yang layak dan memasukkan berbagai laju perubahan (transition rate) rate ) yang relevan. Semua state state yang relevan dimana sistem dapat berada harus disertakan pada diagram dan semua cara yang diketahui dimana perubahan dari satu state ke state yang lain juga harusl disertakan. Pengkostruksian state space diagram merupakan salah satu bagian terpenting dari seluruh rangkaian penyelesaian masalah dengan menggunakan metode Markov. Pengkonstruksian diagram ini merupakan perwujudan dari pengetahuan seorang analis terhadap pengoperasian sistem dalam bentuk pemodelan matematis yang nantinya akan diselesaikan dengan menggunakan teknik Markov.
29
0 Beroperasi Penuh
λ1
λ3 µ1
1 Beroperasi Secara Parsial
µ3 µ2 2 Gagal
λ2
Gambar 10.3 State space diagram untuk komponen tunggal yang mampu-rawat
10.3.1 Pemodelan Komponen Tunggal yang Mampu-Rawat Sebuah komponen yang mampu rawat dapat memiliki lebih dari satu state space diagram yang menggambarkan pemodelan keadaan komponen tersebut beroperasi. Sebagai contoh, sebuah komponen dapat dimodelkan ke dalam sebuah state space diagram hanya dengan dua keadaan saja yaitu keadaan beroperasi dan keadaan gagal. Sebuah komponen mungkin juga dapat dimodelkan ke dalam sebuah state space diagram dengan tiga keadaan yaitu keadaan beroperasi penuh, beroperasi secara parsial dan keadaan gagal. Gambar 10.3 menunjukkan sebuah state space diagram untuk sebuah komponen yang mampu rawat (repairable (repairable component ). Contoh aktual dari komponen ini dapat berupa pompa, diesel engine , dan lain – lain. Pada contoh ini komponen didefinisikan memiliki tiga state yang berlainan yaitu state 0, state 1, dan state 2 yang masing – masing mewakili keadaan beroperasi penuh, beroperasi secara parsial 30
dan keadaan gagal berikut semua kemungkinan laju perpindahannya dari satu keadaan ke keadaan lain.
10.3.2 Pemodelan Dua Komponen yang Mampu-Rawat Sebuah sistem yang terdiri dari dua buah komponen berbeda yang mampu-rawat akan memiliki minimal empat buah kemungkinan keadaan. Keempat keadaan yang mungkin itu adalah § kedua komponen dapat beroperasi § komponen 1 beroperasi dan komponen 2 gagal § komponen 1 gagal dan komponen 2 beroperasi § kedua komponen mengalami kegagalan. λ2 1 Komp. 1 beroperasi Komp. 2 beroperasi
3 Komp. 1 beroperasi Komp. 2 gagal
µ2 λ1
µ1
µ1
λ1
µ2 2 Komp. 1 gagal Komp. 2 beroperasi
4 Komp. 1 gagal Komp. 2 gagal
λ2 Gambar 10.4 State space diagram untuk dua komponen berbeda yang mampu-rawat
Gambar 10.4 mengilustrasikan state space diagram dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen yang berbeda dengan laju 31
kegagalan dan laju perbaikan untuk masing – masing komponen dinyatakan oleh λ1 dan µ1 serta λ2 dan µ2. State space diagram yang ditunjukkan pada gambar 10.4 merupakan state diagram universal yang mewakili sebuah sistem yang memiliki dua buah komponen tanpa memandang apakah konfigurasi sistem tersebut seri, paralel, atau standby. Tabel 10.2 menunjukkan ketersediaan (availability (availability ) dan ketaktersediaan (unavailability ) dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi Pi yang digunakan pada tabel 10.2 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i.
Tabel 10.2 Ketersediaan dan ketaktersediaan dari sistem yang terdiri dari dua komponen mampu rawat yang berbeda
Konfigurasi Seri Paralel
Availability (A) A = P1 A = P1 + P 2 + P3
Unavailability (U) U = P 2 + P3 + P4 U = P4
Untuk konfigurasi seri, dua komponen harus dalam keadaan beroperasi agar sistem dapat menjalankan misinya. Satu saja komponen mengalami kegagalan maka sistem akan mengalami kegagalan. Oleh karena itu ketersediaan dari sistem, A, diwakili oleh state 1, atau secara matematis ditulis sebagai A(t) = P1. Sedangkan ketaktersediaan sistem diwakili oleh state 2, 3, dan 4, atau secar matematis ditulis sebai U = P2 + P3 + P4 . Seperti telah diulas pada seksi 10.3.1, mungkin saja sebuah komponen dapat beroperasi secara parsial selain beroperasi secara penuh. Apabila hal ini dikehendaki dalam analisa, maka keadaan ini dapat ditambahkan dalam pengkonstruksian diagram state space. 32
Perlu dicatat pula bahwa untuk transisi tertentu di dalam model state space mungkin secara fisik tidak mungkin dan harus dihilangkan dan transisi lain mungkin harus ditambahkan. Sebagai contoh jika kedua komponen di dalam sistem mengalami kegagalan, perbaikan komponen 2 mungkin tidak akan dilakukan sebelum komponen 1 selesai diperbaiki sehingga transisi dari state µ2 dari state 4 ke state 2 tidak ada. Selain itu, mungkin saja kedua komponen akan mengalami kegagalan secara serentak sehingga transisi dari state 1 ke state 4 menjadi ada. Untuk situasi praktis tertentu, state space diagram pada gambar 10.4 dapat disederhanakan dan direduksi. Sebagai contoh, jika salah satu komponen mengalami kegagalan untuk sistem dengan konfigurasi seri, maka komponen lain tidak lagi beroperasi dan laju perubahannya untuk situasi ini menjadi nol. Sehingga untuk kasus ini state 4 menjadi tidak ada. Jika kedua komponen adalah identik, maka state 2 dan state 3 juga akan identik sehingga kedua state ini dapt dikombinasikan yang pada akhirnya akan mengurangi jumlah model state space dari 4 state menjadi 3 state seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.5. Laju kegagalan 2λ dan 2µ pada gambar 10.4 menunjukkan bahwa masing – masing ada dua komponen yang tersedia untuk mengalami kegagalan atau untuk diperbaiki pada pertambahan waktu berikutnya dan hanya ada satu dari dua komponen yang dapat mengalami kegagalan atau direparasi, tetapi tidak kedua-duanya pada interval waktu tersebut.
33
1 Kedua komponen beroperasi
2λ
µ
2 satu komponen beroperasi
λ
2µ
3 Kedua komponen gagal
Gambar 10.5 State space diagram untuk dua komponen identik yang mampu-rawat
10.3.3 Pemodelan Tiga Komponen yang Mampu-Rawat Jika sebuah komponen memiliki dua kemungkinan keadaan, yaitu keadan beroperasi dan gagal, maka untuk sistem yang memiliki tiga komponen ada 23 atau 8 state yang ada dalam sebuah model state space. Gambar 10.6 melukiskan sebuah diagram state space dari sebuah sistem yang terdiri dari 3 komponen. Laju kegagalan dan laju perbaikan untuk masing – masing komponen ditunjukkan oleh λi dan µi.
34
1 1 Beroperasi 2 Beroperasi 3 Beroperasi
µ1 λ1
λ3
λ2
2 1 Gagal 2 Beroperasi 3 Beroperasi
µ3
µ1
3 1 Beroperasi 2 Gagal 3 Beroperasi
µ2
4 1 Beroperasi 2 Beroperasi 3 Gagal
µ3
µ2 λ2
µ3
µ2
λ1
λ3
5 1 Gagal 2 Gagal 3 Beroperasi
µ1 λ3
λ2
6 1 Beroperasi 2 Gagal 3 Gagal
µ3
λ1
7 1 Gagal 2 Beroperasi 3 Gagal
µ1
µ2
λ1 λ3
8 1 Gagal 2 Gagal 3 Gagal
λ2
Gambar 10.6 State space diagram untuk tiga komponen
Tabel 10.3 menunjukkan ketersediaan (availability (availability ) dan ketaktersediaan (unavailability (unavailability ) dari sebuah sistem yang terdiri dari tiga komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi P i yang digunakan pada tabel 10.3 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i. 35
Tabel 10.3 Ketersediaan dan ketaktersediaan dari sistem yang terdiri dari tiga komponen
Konfigurasi Seri
Availability (A) A = P1
Unavailability (U) U = P 2 + P3 + P4 + P 5 + P6 + P 7 +P8
Paralel
A = P 1 + P 2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P 7
U = P8
2 dari 3
A = P1 + P 2 + P3 + P4
U = P 5 + P6 + P7 + P 8
10.4 Stochastic Transitional Probability (STP) Matrix Untuk kasus discrete Markov chain, chain, sebuah matrik didefinisikan sebagai matrik STP telah diulas (lihat seksi 9.3) yang menyatakan probabilitas untuk melakukan perpindahan dari satu state sistem ke state yang lain. Hal ini relatif lebih mudah untuk kasus discrete Markov chain, chain, karena masing – masing step pada rantai (chain (chain)) menyatakan interval waktu yang sama dan probabilitas perpindahan masing – masing interval adalah konstan. Sebuah matrik STP yang serupa dapat juga diturunkan untuk continuous Markov process. process . Perbedaan dasar pada kasus ini adalah, pada continuous Markov process process interval waktu yang diskrit bukan merupakan bagian spesifikasi permasalahan, sebagai gantinya maka akan dipakai pertamabahan waktu ∆t, yang intervalnya cukup pendek sehingga probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kegagalan pada interval waktu itu dapat dihindarkan.Matrik STP bagi continuous process dapat diturunkan dengan menggunakan terminologi yang sudah didiskritkan karena probabilitas terjadinya dari sebuah transisi pada interval waktu ini sama dengan laju perpindahan dikali dengan interval waktu. Jika laju kegagalan dari ebuah komponen adalah λ 36
maka probabilitas dari sebuah kegagalan pada waktu ∆t adalah λ∆t dan probabilitas untuk tidak mengalami kegagalan pada interval ∆t ini adalah 1 – λ∆t . Untuk kasus sebuah komponen yang mampu rawat seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.1, maka matrik STP-nya adalah
1 − λ∆t µ∆t
P =
λ∆t
1 − µ∆t
(10.29)
10.5 Pengevaluasian Probabilitas Untuk Kondisi Batas 10.5.1 Komponen Tunggal yang Mampu-Rawat Pada seksi 9.5 telah ditunjukkan bahwa matrik STP memang secara ideal diperuntukkan untuk mengevaluasi probabilitas kondisi batas (limiting (limiting state probability ). ). Pendekatan yang dilakukan adlaah dengan mendefinisikan matrik A sebagai vektor probabilitas kondisi batas yang tidak akan berubah jika dikalikan dengna matrik STP, yaitu AP = A Jika A adalah [P 0 P 1]
(10.30) untuk komponen tunggal yang mampu rawat,
maka dari persamaan (10.29) dan persamaan (10.30)
[P 0
1 − λ∆t µ∆t
] P 1
λ∆t
= [P 0 P 1 ] 1 − µ∆t
(10.31)
37
yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit (1 − λ∆t )P 0 + µ∆tP 1 = P 0
(10.32)
λ∆tP 0 + (1 − µ∆tP 1)
(10.33)
= P 1
dan dapat disederhanakan menjadi
− λ∆tP 0 + µ∆tP 1 = 0 λ∆tP 0 − µ∆tP 1 = 0
(10.34) (10.35)
Pada persamaan (10.34) dan (10.35) nilai dari ∆t adalah tidak nol, sehingga kedua persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi
− λP 0 + µP 1 = 0 λP 0 − µP 1 = 0
(10.36) (10.37)
yang identik dengan persamaan (10.27) dan (10.28) yang juga memiliki solusi P 0 =
µ λ+ µ
dan P 1 =
λ λ+µ
.
Suku ∆t yang muncul pada persamaan (10.34) dan (10.35) dapat dihilangkan, oleh karena itu akan lebih mudah bila menghapuskan seluruh ∆t pada saat memformulasikan matrik awal dan mengekspresikan probabilitas perubahan dalam bentuk laju perubahan. Untuk kasus ini matrik STP yang diberikan pada persamaan (10.29) akan berubah menjadi
1 − λ µ
P =
1 − µ λ
(10.38) 38
Perlu ditekannkan bahwa persamaan (10.38) merupakan bentuk tak lengkap dari matrik STP karena λ dan µ bukanlah secara khusus menyatakan probabilitas.
10.5.2 Dua Komponen yang Mampu-Rawat Untuk kasus ini, state space diagram dari dua komponen ditunjukkan oleh gambar 10.5. Matrik STP untuk state space diagram ini adalah
1 − 2λ P = µ 0
2λ 1− λ− µ 2µ
λ 1 − 2µ 0
(10.39)
Oleh karena itu, jika vektor probabilitas kondisi batasnya adalah [P P 2 P 1 3 ] , maka persamaan (10.30) dapat ditulis menjadi
[P1
1 − 2λ P 2 P 3 ] µ 0
2λ 1− λ − µ 2µ
] (10.40) λ = [P1 P 2 P 3 1 − 2µ 0
yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit (1 − 2λ)P 1 + µP 2 = P 1 2λP 1 + (1 − λ − µ)P 2 + 2 µP 3
(10.41)
= P 2
(10.42) 39
λP 2 + (1 − 2 µ)P 3
= P 3
(10.43)
Dengan menyusun ulang ketiga persamaan di atas menjadi
− 2λP 1 + µP 2 = 0
(10.44)
2λP 1 − (λ + µ)P 2 + 2µP 3
=0
(10.45)
λP 2 − 2µP 3 = 0
(10.46)
Probabilitas keadaan batas untuk masing – masing keadaan dapat dihitung secara langsung dengan menyelesaikan tiga buah persamaan serentak, dimana dua diantaranya dipilih dari persamaan (10.44) sampai (10.46) sedangkan satu persamaan lainnya adalah persamaan P 1 + P 2 + P 3 = 1 . Solusi dari ketiga persamaan serentak itu adalah 2
P 1 =
µ
(λ + µ)2
P 2 =
2λµ
(λ + µ)2
2
P 3 =
λ
(λ + µ )2
(10.47)
Tabel 10.4 menunjukkan ketersediaan (availability (availability ) dan ketaktersediaan (unavailability (unavailability ) dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen dengan berbagai konfigurasi. Notasi P i yang digunakan pada tabel 10.4 menunjukkan probabilitas dari sistem tersebut untuk berada pada state i.
40
Tabel 10.4 Ketersediaan dan ketaktersediaan dari sistem yang terdiri dari dua komponen mampu rawat yang berbeda
Konfigurasi Seri
Availability (A) A = P1 2
A =
µ
U =
(λ + µ)2
A = P 1 + P 2 Paralel
Unavailability (U) U = P 2 + P3
2
A =
µ
(λ + µ)2
+
2 λµ
(λ + µ)2
2λµ
(λ + µ )2
+
λ2
(λ + µ )2
U = P3 U =
λ2
(λ + µ )2
10.6 Pengevaluasian Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Konsep dasar pengevaluasian probabilitas yang tergantung waktu dari Markov process dengan menggunakan persamaan diferensial didiskripsikan pada seksi 10.2.2 yang mengilustrasikan evaluasi untuk komponen tunggal. Untuk sistem yang kompleks, adalah sangat sulit untuk mendapatkan ekspresi probabilitas general yang tergantung waktu. Untuk kasus ini adalah lebih baik untuk menggunakan teknik numerik yang konvensional untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang berhubungan dengan sistem daripada menurunkan ekspresi general. Berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang aplikasi persamaan diferensial untuk mendapatkan ekspresi umum probabilitas yang tergantung waktu dari sistem yang terdiri dari dua komponen. State space diagram untuk sistem ini ditunjukkan oleh gambar 10.5. Proses penurunan ekspresi ini diserahkan kepada para pembaca sebagai latihan. 41
Misalkan P1(t) = probabilitas probabilitas kedua komponen komponen dalam keadaan beroperasi pada saat t P2(t) = probabilit probabilitas as satu komponen komponen dalam dalam keadaan keadaan beroperasi beroperasi dan satu komponen gagal pada saat t P3(t) = probabil probabilitas itas kedua kedua kompone komponen n gagal gagal pada saat saat t Dengan menggunakan prinsip yang sama untuk menurunkan persamaan (10.7), (10.9), dan (10.10), persamaan diferensial untuk sistem ini adalah 2λ 0 − 2λ [P 1' P 2' P 3' ] = µ − (λ + µ) λ [P 1 P 2 0 2µ − 2µ
P 3 ]
(10.48)
Dengan mengasumsikan sistem berawal dari state 1, maka P1(0) = 1, P2(0) = 0, dan P3(0) = 0. Solusi dari persamaan (10.48) adalah P 1 (t ) = P 2 (t ) = P 3(t ) =
µ2
(λ + µ)
2
2µ
(λ + µ)
2
λ2
(λ + µ)
2
+ + −
2λµ
e
(λ + µ)
2
− (λ + µ )t
2λ(λ − µ)
(λ + µ)
2
2λµ
(λ + µ)
2
e
e
+
− (λ + µ )t
− (λ + µ )t
+
λ2
(λ + µ)
2
−
e − 2( λ + µ )t
2λ2
(λ + µ)
2
λ2
(λ + µ)
2
e− 2 (λ + µ )t
(10.49)
e− 2 ( λ + µ )t
42
10.7 Mean Time to Failure (MTTF) Secara umum MTTF dari sistem dapat dihitung dengan mengintegralkan langsung fungsi reliability seperti yang ditunjukkan pada persamaan (6.28). Untuk sistem yang kompleks akan sangat sulit untuk mendapatkan persamaan keandalan sebagai fungsi dari waktu. Metode alternatif untuk mendapatkan MTTF dari sistem dapat dilakukan dengan menggunakan metode truncated probability matrix seperti yang dijelaskan pada seksi 9.6 dimana baris dan kolom dari matrik STP yang berhubungan dengan absorbing state akan dihapus. Sebagai ilustrasi pemakaian metode ini, akan ditentukan MTTF dari sebuah sistem yang terdiri dari dua komponen. Matrik STP dari sistem ini dapat dilihat pada persamaan (10.39). Jika kedua komponen kita asumsikan bekerja secara paralel, maka state 3 akan menjadi absorbing state, sehingga truncated matrix Q untuk sistem ini adalah
1 − 2λ µ
Q=
1 − λ − µ 2λ
(10.50)
Pada bab 9, matrik Q dipakai untuk deduksi rata – rata jumlah langkah yang harus dilalui sebelum sistem memasuki absorbing state. Pada kasus Markov process, teknik yang sama juga dapat digunakan untuk deduksi waktu rata – rata, dalam hal ini MTTF, yang akan dilalui sebelum sistem memasuki absorbing state. Interval waktu rata – rata dapat untuk tiap state dapat dideuksi dari −1
N = [I − Q]
1 = 0
0
1 − 2λ − 1 − µ
−1
= 1 − λ − µ 2λ
1 2λ2
λ + µ µ
2λ
(10.51)
2λ 43
dimana komponen nij pada N adalah waktu rata – rata yang dihabiskan pada state j dengan catatan bahwa process berawal dari state i sebelum sistem tersebut memasuki absorbing state. Jika sistem memulai proses dari state 1, maka MTTF dari sistem adalah MTTF = n11 + n12 =
(λ + µ) + 2λ 2
2λ
=
3λ + µ 2
2λ
(10.52)
44
10.8 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 3. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 4. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 4 45
Simulasi Monte Carlo 11.1 Konsep Simulasi Metode evaluasi secara analitis sangat dimungkinkan untuk sistem dengan konfigurasi yang sederhana. Untuk sistem yang kompleks, Bridges [1974] menyarankan untuk menggunakan teknik simulasi yang dikenal dengan simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo terdiri dari sebuah model matematis yang di set di dalam program komputer dan dengan menggunakan random sampling sampling dari distribusi kegagalan dan distribusi reparasi dari masing-masing komponen yang ada di dalam sistem, reliability dan availability dari sistem dapat diprediksi. Random sampling merupakan hasil dari random number generator. Random sampling ini kemudian dimanfaatkan untuk melakukan penilaian reliability dan availability atau parameter lain yang dikehendaki. Keuntungan dan kekurangan teknik simulasi bila dibandingkan dengan teknik analitis adalah sebagai berikut.
46
§
§
§
§
Waktu yang diperlukan untuk solusi secara analitis umumnya relatif lebih singkat sedangkan untuk simulasi relatif lebih lama. Hal ini tidak menjadi masalah untuk simulasi yang dilakukan dengan komputer yang mempunyai kecepatan dan memori yang lebih besar. Pemodelan secara analitis akan selalu memberikan hasil numerik yang sama untuk sistem, model, dan satu set data yang sama, sedangkan hasil dari simulasi tergantung dari random number generator yang dipakai dan jumlah simulasi yang dilakukan. Hasil dari pendekatan secara analitis yang konsisten membangkitkan keyakinan bagi user tetapi mungkin juga menjadi tidak realistik. Model yang dipergunakan untuk pendekatan secara analitis biasanya merupakan penyederhanaan dari sebuah sistem, dan terkadang terlalu disederhanakan sehingga menjadi tidak realistik. Sedangkan teknik simulasi dapat melibatkan dan menyimulasikan semua karakteristik sistem yang diketahui. Teknik simulasi dapat memberikan output parameter dengan range yang sangat luas termasuk semua momen dan probability density function function yang lengkap, sedangkan output dari metode analitis biasanya terbatas hanya pada expected value. value.
11.2 Random Number Generator Random number merupakan hal terpenting untuk semua teknik simulasi. Sebuah random number yang uniform mempunyai nilai yang terdistribusi secara uniform pada interval (0,1), yaitu variabel dapat berniali sembarang antara 0 dan 1 dengan kemungkinan yang sama. Random number dapat diciptakan dengan sebuah komputer digital dengan menggunakan algotima deterministik yang dikenal dengan random number generator . Karena random number 47
dihasilkan mengikuti algoritma matematis tertentu, maka random number tersebut tidaklah benar-benar berupa random number dan oleh karena itu disebut dengan pseudo-random pseudo-random number . Random number generator harus memnuhi persyaratan minimal untuk dapat dipakai untuk menghasilkan random number. Berikut ini beberapa karakteristik yang harus dimiliki oleh random number generator. § § § §
Random number yang dihasilkan harus terdistribusi secara uniform dan acak. Harus memiliki periode yang panjang sebelum urutan random number yang dihasilkan terulang kembali. Harus memiliki kemampuan reproduksi sehingga sequence yang sama dapat diulangi. Harus memiliki efisiensi dalam metode perhitungannya. perhitungannya.
Algoritma populer yang sering dipakai untuk menghasilkan random number adalah congruential generator dimana random number yang baru Xi+1 dalam satu urutan dihitung dari random number yang terdahulu Xi dengan menggunakan persamaan
X i +1
= ( AX i + C )(mod B)
(11.1)
dengan, A = pengali (multiplier) B = modulus C = pertambahan
48
Beberapa subroutine random number generator dengan menggunakan algoritma congruential generator yang ditulis dalam bahasa FORTRAN dapat dilihat pada [5].
11.3 Konversi Uniform Random Number Serangkaian random number yang dihasilkan dari random number generator merupakan basis untuk data input yang diperlukan untuk simulasi Monte Carlo. Random number yang uniform terkadang dapat langsung dipakai untuk beberpa jenis simulasi. Untuk kasus simulasi evaluasi relibility, random number ini harus dikonversi ke distribusi non-uniform yang lain sebelum proses simulasi dapat dilakukan. Metode transformasi invers (inverse (inverse transformation method ) merupakan salah satu metode yang dapat dipakai untuk mengkonversi uniform random number ke distribusi yang lain. Sedangkan distribusi dari fungsi invers yang diperoleh dari pengkonversian suatu distribusi tertentu, dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan T menyatakan variabel random dengan cummulative distribution function FT(t) , yang nilainya terus naik untuk semua t, sedemikian rupa sehingga F T −1 ( y) secara unik ditentukan oleh semua nilai y ∈ (0,1), dan lebih jauh Y = F T(T). Maka cummulative distribution function FY(y) dari Y dapat diperoleh dengan
= P (Y ≤ y ) = P ( F T (T ) ≤ y) = P (T ≤ F T −1 ( y )) = F T ( F T −1 ( y )) = y
F Y ( y )
untuk 0 < y < 1
(11.2)
49
Dari sini terlihat bahwa Y = FT(T) memiliki distribusi uniform antara (0,1). Ini menyatakan bahwa jika variabel Y memiliki distribusi uniform antara (0,1) maka T = F T −1 (Y ) memiliki distribusi yang sama dengan fungsi distribusi FT(t).
11.4 Algoritma Simulasi Untuk memberi ilustrasi bagaiman simulasi monte carlo dipakai utnuk menganalisa dan mendapatkan indeks keandalan sistem, berikut ini akan diberikan sebuah contoh sederhana tentang perbandingan bagaimana mengevaluasi indeks keandalan sebuah komponen dengan metode analitis dan simulasi. Berikut ini beberapa buah contoh permasalahan simulasi keandalan sistem, berikut algoritma untuk menyimulasikan sistem yang terdiri dari dua komponen dengan konfigurasi seri, paralel dan standby. Sedangkan untuk sistem yang lebih kompleks, algoritma simulasi dapat dikembangkan dari algoritma yang akan dibahas berikut ini.
11.4.1 Algoritma Konfigurasi Konfigurasi Seri Untuk Sistem Sistem NonRepairable system Langkah 1: Generate dua Generate dua buah random number, yang pertama untuk komponen 1 dan yang kedua unutk komponen kedua. Langkah 2: Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, untuk masing-masing komponen. Langkah3 Langkah3:: Jika salah salah satu satu waktu waktu ini ini kurang kurang dari waktu waktu yang yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event 50
ini sebagai event kegagalan. Sebaliknya, jika kedua waktu ini sama atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event sukses. Langkah 4: Ulangi lagkah 1 – 3, jumlahkan semua kegagalan dan kesuksesan , dan lanjutkan untuk jumlah simulasi yang dikehendaki. Langkah 5: Evaluasi reliability sistem sebagai jumlah kesuksesan dibagi dengan jumlah simulasi.
11.4.2 Algoritma Konfigurasi Paralel Untuk Sistem NonRepairable system Langkah 1: Generate dua Generate dua buah random number, yang pertama untuk komponen 1 dan yang kedua unutk komponen kedua. Langkah 2: Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, untuk masing-masing komponen. Langkah3 Langkah3:: Jika salah salah satu satu waktu waktu ini ini lebih dari waktu waktu yang diperluk diperlukan an untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event sukses. Jika kedua waktu ini kurang dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event kegagalan. Langkah 4: Ulangi lagkah 1 – 3, jumlahkan semua kegagalan dan kesuksesan , dan lanjutkan untuk jumlah simulasi yang dikehendaki. Langkah 5: Evaluasi reliability sistem sebagai jumlah kesuksesan dibagi dengan jumlah simulasi.
51
11.4.3 Algoritma Konfigurasi Paralel Repairable System Langkah 1: Generate sebuah Generate sebuah random number Langkah 2: Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, yang merupakan waktu pengoperasian komponen Langkah 3: Generate sebuah Generate sebuah random number yang baru Langkah 4: Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, yang merupakan waktu yang diperlukan untuk mereparasi komponen Langkah5 Langkah5:: Ulangi Ulangi langkah langkah 1 – 4 untuk untuk satu satu periode periode yang yang sama sama atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi Langkah 6: 6: Ulangi lagkah 1 – 5 Langkah 7: Bandingkan Bandingkan urutan dari masing-masing masing-masing komponen. Jika selama misinya tidak terjadi reparasi yang overlap, misi dari sistem dapat dianggap sebagai sukses. Sebaliknya, jika terjaadi reparasi yang overlap, misi dari sistem dapat dianggap gagal. Langkah 8: Ulangi langkah 1 – 7 untuk jumlah simulasi yang diinginkan.
11.4.4 Algoritma Konfigurasi Standby System Langkah 1: Buat urutan pengoperasian pengoperasian,, dalam hal ini time to failure (TTF) dari komponen dipakai sebagai acuan, untuk komponen A. Komponen B akan langsung dioperasikan bila komponen A mengalami kegagalan. Langkah 2: Buat urutan kedua yang berhubungan dengan waktu reparasi (TTR – time to repair ) yang dimulai pad saat 52
komponen A mengalami kegagalan. Masing-masing elemen berikutnya dari urutan urutan ini dimulai jika komponen yang sedang beroperasi mengalami kegagalan. Langkah 3: Jika waktu reparasi TTR dari sebuah komponen lebih besar dari waktu pengoperasian TTF untuk komponen yang sedang disimulasikan, maaka sistem akan mengalami kegagalan. Langkah 4: Ulangi Ula ngi lagkah lagkah 1 – 3 sampai waktu simulasi total sama dengan atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk satu misi. Langkah 5: Ulangi langkah 1 – 4 untuk jumlah simulasi yang diinginkan. Untuk sistem yang kompleks algoritma di atas dapat dipakai sebagai referensi untuk taylor-made program.
53
11.5 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. R. and Ronald Ronald N. Allan [1992], [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Bridgees, D.C. [1974], The Application of Reliability to the Design of Ships’ Machinery, Transaction IMarE, Vol. 86. 3. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 4. H∅ yland, Arnljot Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods , John Willey & Sons, Inc. 5. Press , W.H., Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, and Brian P. Flannery [1992], Numerical Recipes in FORTRAN : The Art of Scientific Computing, 2nd edition, Cambridge University Press, New York.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 4 54
MODUL 5 KEANDALAN DAN PERAWATAN Strategi Untuk Kebijaksanaan Kebijaksanaa n Perawatan Oleh Ir. Dwi Priyanta, MSE
JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMEBER SURABAYA © Copyright ada pada penulis
DAFTAR ISI MODUL 5 BAB 12 1 2 Strateg Strategii Untuk Kebijaksanaan Kebijaksanaan Perawatan 12.1 Pendahuluan 12.2 Jenis Perawatan 12.3 Pemodelan Perawatan Terjadwal Ideal (Ideal Scheduled Maintenance) 12.4 Perbaikan Ideal 12.4.1 Kasus Kusus Waktu Antar Kegagalan yang Terdistribusi Secara Eksponensial 12.5 Perbaikan Ideal dan Perawatan Preventif 12.6 Ekonomi dari reparasi dan Perawatan 12.7 Analisa Ketersediaan 12.8 Referensi dan Bibliografi
FOR INTERNAL USE ONLY KEMBALI KE MENU UTAMA
Strategi Untuk Kebijaksanaan Perawatan 12.1 Pendahuluan Saat ini peralatan dan plant yang dioperasikan cenderung semakin kompleks dan membutuhkan modal yang sangat besar baik untuk investasi awal maupun untuk biaya operasional. Untuk itu, strategi dan kebijaksanaan perawatan sangat diperlukan agar semua peralatan yang beroperasi di dalam sistem tidak sering mengalami kegagalan dalam pengoperasiannya. Secara tradisional, perawatan dipandang sebagai sesuatu yang hanya dipertimbangkan jika telah terjadi sesuatu yang salah pada suatu sistem atau sesuatu yang salah akan segera terjadi, bila hal ini terjadi maka biasanya fungsi perawatan yang ada tidak terorganisasi dan tidak sistematis. Berbagai upaya untuk mengoptimalkan perawatan, baik bentuk maupun beaya perawatan telah banyak dilakukan yang kesemuanya bertujuan untuk menjaga ketersediaan (availability ( availability ) sistem. Oleh karena itu, untuk saat ini teknik perawatan lebih banyak dikonsentrasikan pada perawatan pencegahan / preventif untuk menghindari kerusakan yang lebih serius, dan strategi perawatan pencegahan ini juga difokuskan untuk mempertahankan efisiensi dari 1
sistem sedekat mungkin dengan efisiensi maksimum yang sudah didesain. Umumnya, regulasi dan policy baik internal maupun eksternal akan menentukan kebijakan perawtan yang berkaitan dengan keselamatan. Sedangkan perawatan yang berkaitan dengan ketersediaan dan konsumsi energi, optimasi harus dijadikan sebagai basis penentuan kebijaksanaan perawatan, karena penambahan tugas perawatan tidak hanya akan menambah ketersediaan sistem tetapi juga akan menambah beaya perawatan nya. Sehingga tujuan dari implementasi perawatan itu hendaknya diharapkan juga mempertimbagkan optimalisasi berbagai faktor yang saling berkaitan. Perawatan merupakan hal yang sangat mahal dan merupakan suatu godaan yang kuat untuk menundanya sampai esok hari dan menghemat dana untuk hari ini. Ekspresi minimal maintenance approach approach menunjukkan tindakan perawatan terhadap suatu plant yang dilakukan hanya untuk memenuhi persyaratan dan hukum yang telah ditentukan oleh badan pembuat peraturan. Jika tindakan ini dikombinasikan dengan manajemen perawatan yang terabaikan , maka hal ini akan memperpendek masa berguna ( useful life) life) dari plant dan juga meungkin juga akan menambah beaya lainnya seperti beaya kerusakan (downtime cost ) dan berbagai denda yang timbul akibat dampak yang mungkin ditimbulkan oleh kerusakan sistem.
12.2 Jenis Perawatan Ada berbagai jenis perawatan yang banyak dilakukan secara praktis. Jenis – jenis perawatan ini secara skematis dapat dilihat pada gambar 12.1 di bawah ini, yang secara umum dibagi menjadi planned planned maintenance (perawatan terencana) dan unplanned maintenance (perawatan tak terencana). 2
Perawatan terencana adalah perawatan yang diorganisir dan dilakukan dengan perencanaan dan pengonntrolan yang sudah ditentukan terlebih dahulu. Sedangkan perawatan tak terencana adalah satu jenis perawatan yang dilakukan tanpa perencanaan terlebih dahulu. Perawatan preventif adalah perawatan yang dilakukan pada interval waktu yang sudah ditentukan – contoh dari strategi ini adalah scheduled maintenance maintenance - atau berhubungan dengan kriteria yang sudah ditentukan - contoh dari strategi ini adalah condition maintenance .Dengan melakukan perawatan preventif, mengandung maksud untuk mengurangi probabilitas kegagalan atau penurunan performance dari suatu sistem. Perawatan korektif adalah perawatan yang dilakukan setelah peralatan mengalami kegagalan dan perawatan ini dimaksudkan untuk mengembalikan sistem ke keadaan dimana sistem tersebut dapat melakukan fungsinya kembali. Emergency maintenance adalah salah satu jenis dari corrective maintenance yang diperlukan untuk memfungsikan kembali peralatan secepatnya agar dampak yang lebih buruk dapat dihindari. Perawatan preventif dapat dibagi lagi menjadi scheduled maintenance (perawatan terjadwal) dan condition based maintenance (Perawatan yang berbasis pada kondisi sistem). Perawatan terjadwal dilakukan pada interval waktu tertentu, baik itu banyaknya jam kerja, jumlah siklus yang ytelah dilalui, dan lain – lain. Pemilihan interval waktu perawatan untuk satu komponen tertentu terbukti sangat sulit. Bentuk dari perawatan preventif biasanya berupa pengecekan (inspection) inspection) terhadap berbagai komponen secara periodik untuk menentukan apakah pengaturan (adjustment ( adjustment ) dan penggantian (replacement ) sudah diperlukan. Jika interval ini terlalu sering, maka pengecekan ini akan mengurangi ketersediaan sistem dan menambah resiko kesalahan re-assembly . Sedangkan pengecekan yang jarang mungkin akan menimbulkan kerusakan sistem yang tidak diinginkan. 3
MAINTENANCE
PLANNED
UNPLANNED
MAINTENANCE
MAINTENANCE
PREVENTIVE
CORRECTIVE
MAINTENANCE
MAINTENANCE
SCHEDULED
CONDITION BASED
CALENDAR
RUNNING
CONDITION
BASED
HOURS
MONITORING
INSPECTION LUBRICATION ADJUSTMENT REPLACEMENT
ONLINE MEASUREMENT
PERIODIC MEASUREMENT/ INSPECTION/TESTING
Gambar 12.1 Jenis – jenis perawatan
Condition based maintenance (perawatan yang berbasis pada kondisi sistem) adalah perawatan terhadap suatu yang dilakukan sebagai hasil dari suatu kondisi yang sudah diketahui dari hasil pemantauan secara kontinyu atau secara periodik. Kegiatan perawatan dilakkukan hanya jika kondisin dari peralatan menunjukkan bahwa peralatan tersebut membutuhkan perawatan. 4
Dengan pendekatan ini perawatan hanya dilakkukan bila hal itu diperlukan. Condition monitoring (pemantauan kondisi) adalah pengukuran secara periodik dan kontinyu dan menginterpretasikan data yang menunjukkan kondisi dari peralatan dan menentukan apakah peralatan tersebut perlu membutuhkan perawatan atau tidak. Pemanatauan kondisi secara normal dilakukan pada saat peralatan sedang beroperasi dan tidak sedang dalam keadaan rusak berat. Aplikasi dari pengukuran secara kontinyu mungkin bisa dibandingkan dengan pemakaian proses sistem alarm. Pada sistem alarm ini parameter operasional yang kritis dimonitor secara terus menerus dan alarm akan berbunyi bila kondisi tertentu dilampaui. Tujuan dari pemantauan kondisi adalah untuk mengkuantifikasikan kondisi suatu peralatan dan tidak begitu saja memberikan peringatan bila batas operasi yang ditentukan telah dicapai. Pengukuran secara periodik umumnya mempunyai tujuan untuk memberikan proteksi yang cukup dari suatu peralatan terhadap kondisi yang buruk atau kondisi yang perlahan-lahan mengarah ke terjadinya suatu kegagalan. Suatu pengukuran mungkin dapat dilakukan pada interval yang lebih pendek bila running hours peralatan semakin bertambah.
12.3 Pemodelan Perawatan Terjadwal Ideal (Ideal Schedule Maintenance) Misalkan sebuah komponen yang tidak mampu rawat tetapi komponen tersebut menjalani perawatan preventive/terjadwal. Perwatan seperti ini dikatakan ideal jika perawatan ini membutuhkan waktu yang singkat (interval waktu perawatan diamsusikan mendekati /sama dengan nol) untuk menyelesaikannya dan jika komponen tersebut dikembalikan ke kondisi seperti baru lagi setelah 5
perawatan usai. Meskipun komponen tidak mampu rawat dan dibuang pada saat mengalami kegagalan, alasan untuk perawatan terjadwal agar tetap untuk memperpanjang usia komponen dan menunda kegagalannya. Jika komponen memiliki laju kegagalan konstan maka waktu kegagalan komponen (time to failure) memiliki distribusi eksponensial. Dengan kata lain probabilitas kegagalan selama pertambahan waktu ∆t berikutnya agar tetap tidak berubah selama usia komponen, hal ini menunjukan bahwa komponen ini tetap sebagus kondisi barunya tanpa tanpa memandang berapa lama komponen tersebut telah dioperasikan. Pada kasusu seperti ini perawatan preventive menjadi tidak relevan . Jika komponen memiliki laju kegagalan yang menurun, yang berarti laju kegaglannya semakin membaik seiring bertambahnya waktu, perawatan yang bertujuan untuk menggembalikan komponen ke kondisi seperti baru adalah tidak menguntungkan dan tidak disarankan. Perawatan terjadwal akan berharga hanya jika komponen memiliki laju kegagaln yang semakin meningkat. Sebagian besar didiskusikan pada seksi ini mengamsusikan bahwa komponen memiliki laju kegagalan yang meningkat dan perawatan dilakukan hanya pada komponen – komponen yang bekerja. Jika f T ( t ) = Failure density function T M = interval waktu yang tetap diantara 2 perawatan
≤ T M f 1 (t ) = f T (t ) 0 < t ≤ R(t ) = fungsi keandalan komponen
* (t ) untuk komponen setelah mengalami maka density function f T perawatan dapat ditulis sebagai 6
* T
f (t )
=
∞
∑= f (t − KT )R (T ) K
1
M
M
(12.1)
k 0
dengan K = 0 hanya dipakai untuk interval waktu t = 0 dan t = T M K = 1 hanya dipakai untuk interval waktu t = T M dan t = 2 T M dan seterusnya. Gambar 12.1 menunjukan tipikal fungsi f T * (t ) . Skala waktu dibagi kedalam segmen durasi waktu TM yang sama . Fungsi f T * (t ) pada masing-masing segmen skalanya diturunkan dari fungsi pada segmen sebelumnya dengan faktor skala R(T M). Faktor skala juga sama dengan pecahan dari komponen yang memasuki sebuah segmen yang akan survive pada segmen berikutnya. Pengamatan lebih detail pada gambar 12.1 menunjukan bahwa density function dari komponen yang menjalani perawatan preventive menunjukan kecenderungan eksponensial
Gambar 12.1 Density function dengan perawatan terjadwal ideal 7
Dampak terpenting dari perawatan preventive secara periodik adalah density fuction dari bentuk aslinya. Perubahan ini merupakan salah satu dari berbagai justifikasi mengapa distribusi eksponensial digunakan untuk memodelkan umur hidup komponen
Contoh 12.1 Asumsikan sebuah komponen yang umur hidupnya secara uniform didefinisikan oleh f (t ) = 0,25 0 < t ≤ 4 tahun komponen ini menjalani perawatan secara teratur (asumsikan sebagai perawatan ideal) sekali setahun. Tentukan modifikasi density function jika perawatan dilaksanakan. Solusi §
Cumulative distribution function t
F (t )
=
∫ f (t )dt = 0,25t
untuk 0 < t ≤ 4
0
§
Fungsi keandalan
∞
R(t ) =
∫ f (t )dt = 1− F (t )
0
untuk 0 < t ≤ 4
R(t ) = 1 − 0,25t §
laju kegagalan
§
0 025 f (t ) = , R(t ) 1 − 0,25t MTTF komponen tanpa perawatan λ(t )
=
8
4
∫ R (t )dt = 2
MTTF =
Tahun
0 §
§
Jika perawatan terjadwal T M, adalah 1 th, maka R(TM) = R(1) = 0,75 Dengan menggunakan persamaan 12.1 f (t ) = * T
∞
∑ (0,25)(0,75)
K
K = 0 §
Rata – rata laju kegagalan ( λ* ( t ) ) *
λ (t )
=
1
1
0
0
0,25
dt 4λ(t )dt = ∫ 4∫ 1 − 0,25t 1
=
1
dt
∫ 4 − t = − ln(4 − t )
1 0
0
= ln 4 − ln 3 = 0,2877 §
Perawatan periodik telah menggantikan density function f(t) dengan density function yang memiliki tendensi eksponensial. Berdasarkan aproksimasi eksponensial, MTTF dari komponen adalah MTTF =
§
1 0, 2877
≈ 3.476 tahun
Sedangkan nilai eksak dari MTTF dengan memasukan faktor perawatan adalah
9
MTTF *
∞ =
∫ tf T *(t )dt
0
=
1 8
∞
∑ (0,75) K (2 K + 1)
K = 0
= 3,5tahun
12.4 Perbaikan Ideal Perbaikan ideal (ideal (ideal repair ) memiliki 2 kondisi yang harus dipenuhi : 1. Durasi perbaikan setelah masing-masing kegagalan adalah sangat pendek dibandingkan dengan waktu diantara dua kegagalan sehingga dapat diasumsikan sama dengan nol. 2. Setelah diperbaiki, komponen dikembalikan pada kondisi seperti baru. Contoh yang bagus dari perbaikan ideal adalah penggantian komponen yang gagal dengan proses penggantiannya memerlukan waktu yang sangat singkat. Ada perbedaan fundamental antara perbikan ideal dan perawatan terjadwal. Perawatan terjadwal ideal dilakukan pada interval waktu yang sudah ditentukan dimana komponen masih dalam kondisi tidak rusak (bekerja) sedangkan perbaikan ideal selalu dilakukan setelah terjadi kegagalan, dan waktu kegagalannya tidak ditentukan (random). Mengamsusikan umur hidup komponen T merupakan variabel random yang kontinu dengan density function
10
f T (t )
= lim li m ∆ t → 0
1
P [t < T ≤ (t + ∆t ]
∆t
(12.2)
jelas terlihat bahwa density function f 1(t) untuk random variabel yang mewakili kegagalan pertama adalah f T (t ) . Pertanyaan yang harus dijawab adalah, apakah bentuk density function f 2 (t ) untuk random variabel kontinyu untuk kegagalan kedua ? Asumsikan bahwa kegagalan pertama terjadi disekitar waktu τ. Maka probabilitas untuk kegagalan kedua dalam interval waktu (t,t+∆t), t>τ, untuk τ tertentu adalah f 2(t )∆t ≈ [f 1(τ)∆τ ] [f 1(t − ∆τ)∆t ]
(12.3)
karena durasi dari umur hidup (lifetime ( lifetime)) kedua adalah t – τ. Dengan mempertimbangkan mempertimbangkan semua nilai – nilai yang mungkin dari τ yang kurang t, kita akan memperoleh t
f 2 (t ) =
∫ f (τ) f (t − τ)d τ 1
1
(12.4)
0
Argumen yang sama mengarahkan kita ke density function untuk variabel random kontinyu yag menunjukkan kegagalan ke-k, yaitu t
f k (t ) =
∫ f
k −1
(τ) f1 (t − τ)dτ untuk k ≥ 2
(12.5)
0
pada saat mempertimbangkan semua kegagalan – kegagalan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya – probabilitas dari sembarang kegagalan yang terjadi pada interval (t,t+∆t) merupakan penjumlahan probabilitas dari kegagalan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya yang terjadi pada interval waktu yang telah 11
dipertimbangkan. Jika L(t) menyatakan density function sembarang kegagalan yang terjadi pada perbaikan ideal, maka L(t) ∆t =
dari
prob probab abil ilit itas as beb beber erap apa a kega kegaga gala lan n yang yang ter terja jadi di pad pada a interval (t,t+∆t)
L( t ) =
lim
1
∆t → 0 ∆t
P [sembarang kegagalan pada (t,t+∆ t)]
(12.5)
∞
∑ f (t )
=
k
k =1
atau L(t ) = f 1(t ) +
∞
t
∑ ∫ f
k −1
k = 2 0
(τ)f 1(t − τ)d τ
(12.6)
12.4.1 Kasus Kusus Waktu Antar Kegagalan yang Terdistribusi Secara Eksponensial Jika waktu antar kegagalan terdistribusi secara eksponensial, maka f k(t) menjadi distribusi khusus Erlangian, Erlangian, yang merupakan distribusi Gamma dengan nilai β yang bulat. Penurunan distribusi itu adalah sebagai berikut f 1(t ) = f T (t ) = λe −λt
(12.7)
t
∫
f 2(t ) = (λe
− λ (t −τ )
d τ
= λ2te −
λ t
(12.8)
0
12
t
∫
2
f 3(t ) (λ τe
− λτ
)λe
− λ( t −τ )
d τ
=
0
3
λ
t 2 2
e
− λt
(12.9)
Pattern dari persamaan – persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk umum, yaitu f k (t ) =
t k −1 λ e −λt (k − 1)! k
(12.10)
Fungsi densitas probabilitas L(t) bagi sembarang kegagalan yang terjadi pada perbaikan ideal untuk kasus ini dapat ditulis sebagai L(t ) =
(λt )k −1 = λe− λt eλt = λ ) k =1 (k − 1)!
∞
∞
∑ f (t ) = (λe ∑ −λt
k
k =1
(12.11)
Contoh 12.2 Kembali pada contoh 12.1, jika perbaikan ideal pada komponen masing – masing dilakukan pada masing – masing kegagalan, tentukan fungsi densitas kegagalan komopnen tersebut. Solusi Fungsi densitas untuk masing – masing kegagalan adalah f 1(t ) = f T (t )
= 0,25
t
∫
f 2(t ) = (0,25)(0,25)d τ
= ( 14 )2 t
0
13
t
∫
f 3(t ) = ( 14 ) τ( 14 )d τ 2
2
= ( 14 )3( t 2 )
0
Bentuk umum dari f k (t) dapat disimpulkan dari pattern persamaan – persamaan di atas yaitu k 1 t k −1 f k (t ) = 4 (k − 1)!
Oleh karena itu 1 ∞ ( t 4)k −1 = L(t ) = ∑ f k (t ) = ∑ − ( )! 4 1 k k =1 k =1 ∞
0,25e
t 4
12.5 Perbaikan Ideal dan Perawatan Preventif Dari berbagai uraian sebelumnya terlihat bahwa, bagi sebuah komponen yang memiliki fungsi laju kegagalan yang semakin meningkat, perawatan preventif secara periodik akan meningkatkan MTTF dan sebagai hasilnya fungsi densitas kegagalan (failure (failure density function) function ) dari komponen tersebut akan memilimi kecenderungan eksponensial. Jika kemungkinan perawatan ideal dimasukkan dalam analisa, maka hasil yang diperoleh adalah berkurangnya frekuensi perawatan. Dengan mengasumsikan perawatan ideal pada interval periodik TM, frekuensi perbaikan f R akan sama dengan rata – rata densitas kegagalan pada durasi waktu T M, yaitu
14
f R
=
T M
1
T M
∫ L(t )dt
(4.12)
0
Dimana L(t) diberikan oleh persamaan (12.6). Jika frekuensi perawatan bertambah panjang maka T M dan f R akan berkurang. Dengan kata lain, MTTF efektif yang merupakan kebalikan dari f R akan bertambah.
Contoh 12.3 Jika komponen pada contoh 12.1 dan 12.2 menjalani perawatan preventif tiap interval waktu TM dan juga dikenakan perbaikan ideal, tentukan frekuensi perbaikan dai komponen tersebut.
Solusi Frekuensi perawatan f R
=
T M
1
T M
1
∫ L(t )dt = T
M
0
T 4 4 = − , 0 25 1 e dt e ∫ 0 T M
T M
t
1
M
Jika TM = 1 tahun , maka f R = e
1
4
−1 =
0,284
per tahun
15
12.6 Ekonomi Dari Reparasi Dan Perawatan Kita lihat pada pemebahasan terdahulu, bahwa perawatan preventif secara periodik akan menambah MTTF dari komponen yang memiliki fungsi laju kegagalan yang semakin meningkat. Perawatan preventif juga mengurangi frekuensi reparasi baki komponen yang mampu-rawat (repairable (repairable). ). Penambahan frekuensi perawatan ( sebagai dampaknya, akan mengurangi waktu antara dua perawatan ) lebih lanjut akan mengurangi frekuensi reparasi. Yang menjadi permasalahan sekarang adalah, berapa waktu optimum diantara dua perawatan ? Jawabannya tergantung pada beaya relatif dari reparasi dan pemeliharaan. Umpamakan CR = Nilai reparasi CM = Nilai satu perawatan. Jika CR dan CM nilainya kira-kira hampir sama, maka pelaksanaan perawatan akan menjadi tidak ekonomis. Untungnya, dalam banyak hal CM << CR, dan pelaksanaan perawatan dapat ditentukan bagi komponen dengan fungsi laju kegagalan yang semakin meningkat. Harga total perunit waktu untu perbaikan dan perawatan adalah K
= C R f R + C M f M
(12.13)
dimana f R
= frekuensi
reparasi
dan f = frekuensi perawatan =1/T M M Untuk mendapatkan harga yang optimum dari TM, definisikan Ko = K/CR sebagai fungsi dari T M dan dapatkan harga T M yang meminimumkan Ko. Jadi 16
K
0
=
K C R
= f R +
C M f C M R
(12.14)
Dengan menggunakan persamaan (4.12), maka persamaan (12.14) akan berubah menjadi K 0
T = ∫ L(t )dt + T M 0 1
M
C M f M C R
(12.15)
atay
T C M = ∫ L(t )dt + f M C R 0 M
T M K 0
(12.16)
Dengan mendiferensialkan persamaan (12.16) terhadap T M, maka K 0
+ T M dK 0 = dT M
L(T M )
(12.17)
dimana 1 1 dKo = L(T ) − Ko M T dT T M M M
Dengan
(12.18)
menyamakan
dKo / dKo / dT sama dengan nol dan M mensubsitusikan Ko dari persamaan (12.15)., kita akan peroleh
17
persamaan yang perlu untuk dimecahkan dari untuk mendapatkan harga optimum T M, yaitu
T L(T ) M M
=
T C M M + L ( t ) dt ∫ C 0 R
(12.18)
Gambar 12.2 menunjukan variasi dari Ko dengan T M.
Gambar 12.2 Variasi dari Ko dengan T M
Contoh 12.4 Perhatikan kembali contoh 12.1 sampai 12.3. Andaikan C M / CR = 0,15. Tentukan interval waktu perawatan yang optimum. 18
Solusi Dengan menggunakan persamaan 0
e
4
(12.15)
dan
(12.18)
untuk
[1 − 0,25T M ] = 0,85
dengan menyelesaikan persamaan ini, interval waktu optimum akan diperoleh interval waktu optimum untuk berbagai kondisi yang sudah ditetapkan yaitu selama 1,869 tahun. Jadi bila perawatan dilakukan pada interval waktu 1,869 tahun akan meminimalkan beaya perawatan total dan prebaikan. Secara praktis, anhka ini akan dibulatkan menjadi dua tahun.
12.7 Analisa Keter Ketersediaan sediaan Produktivitas dari sebuah plant diukur oleh kombinasi bebagai indeks yang dipengaruhi oleh besarnya, frekuensi dan durasi dari waktu out of service, service , maupun beayanya. Analisa rekayasa ketersediaan (availability (availability engineering analysis) analysis ) adalah sebuah metodologi yang dapat membantu para insiyur dalam memperbaiki produktivitas dari sebuah plant. Jenis analisa ini selalu memasukan perbandingan harga ketersediaan dan harga keuntungan penjualan. Penyelesaian untuk optimasi produktivitas plant direkomendasikan berdasarkan pada hasil analisis ketersediaan MTTR dari komponen adalah ukuran kemampu-rawatan dari sebuah komponen, dan MTTF adalah ukuran dari keandalan komponen. Sering kita menghadapi masalah perbandingan antara keandalan dan kemampurawatanan untuk meminimalkan beaya secara keseluruhan. Analisa ketersediaan menawarkan sebuah 19
metodologi untuk meminimkan harga ini, sebagai tambahan dari pemenuhan seluruh spesifikasi yang telah ditetapkan. Misalkan sebuah komponen yang mampu-rawat dengan laju kegagalan dan laju perbaikan masing – masing λ dan µ. Dari pembahasan sebelumnya kita mempunyai MTTF = MTTR =
1
(12.19)
λ 1
(12.20)
µ
dan A
= Availability =
µ MTTF = MTTF + MTTR λ + µ
Denngan mengekspresikan MTTR kita akan mempunyai
(12.21)
sebagai fungsi dari dari MTTF dan A,
1 − A MTTF A
MTTR =
(12.22)
Untuk masing- masing harga dari A, plot dari MTTR lawan MTTF akan berupa garis lurus dengan kemiringan (1 – A)/A, seperti yang diilustrasikan dalam gambar 12.3. Berikut ini faktor – faktor tipikal yang akan ditentukan : 1. Level minimum ketersediaan yang diperlukan 2. MTTF minimum yang diperlukan 3. MTTR maksimum yang diijinkan
20
Gambar 12.3 Variasi dari MTTR dengan MTTF untuk harga A yang tetap
Daerah arsiran yang ditunjukan pada gambar 12.4 adalah wilayah dimana seluruh spesifikasi akan dipenuhi. Desainer bebas untuk memilih titik – titik desain yang ada pada daerah ini yang akan menghasilkan terendah. Contoh 12.5 Akan didesain sebuah sistem pompa untuk sebuah. Tujuan dari desain sistem ini adalah untuk meminimumkan PWRR (Present-worth (Present-worth Revenue Requirements) Requirements ) total. Tiga alternatif disediakan, detailnya sebagai berikut :
21
Gambar 12.4 Wilayah perbandingan (trade-off ) ekonomi untuk analisa ketersediaan
Jumlah Pompa 1 2 3
Kapasitas dalam Persen 100% x 1 50% x 2 50% x 3
Harga Pemasangan Total $ 500,000 $ 650,000 $ 900,000
Beaya Rata – Rata Reparasi Per Reparasi $ 1,000 $ 90 900 $ 800
Masing-masing pompa, dengan mengabaikan kapasitas, mempunyai laju kegagalan 0,25 per tahun dan waktu reparasi rata-rata 24 jam. Akan ada penalti sebesar $15,000 perjam (pada kapasitas penuh) jika pompa tidak dapat beroperasi. Lifetime dari plant diperkirakan 35 tahun. Interest rate rate pada saat meminjamm adalah 10%, dan ada 22
pembayaran tahunan tambahan sebesar 15% untuk pengembalian modal yang telah dipinjam, biaya operasi dan perawatan. Tentukan PWRR bagi masing – masing skenario desain sistem.
Solusi Untuk masing-masing pompa MTTF =
1 λ
=
1 0,25
=
4 tahun 24
MMTR = 24 jam =
8,760
tahun
dan 4
Availability = 4
+
24
=
35,040 35,064
8,760
Oleh karena itu A = 0,9993155 dan U = 0,0006845 Dengan mencicil pembayaran n tahun, EPWF (Effective (Effective Present-Worth Factor ) untuk tarif r per unit adalah EPWF =
(1 + r )n − 11 r (1 + r )n
23
Untuk r = 0,1 dan n = 35, maka EPWF = 9.644
A lt e r n at i f 1 Jumlah jam yang tidak berfungsi per tahun adalah = (0.00068445)(8.760) (0.00068445)(8.760) = 6 jam Jika pompa tidak beroperasi / berfungsi maka sistem 100% tidak berfungsi maka kapasitas plant juga akan berkurang 100%. Beaya tahunan yang harus dikeluarkan tiap tahunnya akibat plant tidak berfungsi adalah = 6 x $ 15,000 = $90,000. Oleh karena itu
annual total annual annual arg e installed + outage + repair PWRR = (EPWF ) ch arg rate cos t cos t cos t = $(9,644)[(0,15)(500.000) + 90.000 + (0,25)(1.000) = $1.593.671 A lt e r n at i f 2 Dengan dua pompa yang identik, ada tiga kemungkinan yang dipertimbangkan : i. Kedua pompa bekerja. Maka tidak ada pengurangan dalam kapasitas dan tidak ada penalti. 24
ii.
iii.
Satu pompa up dan up dan satu down. Maka pengurangan 50% dalam menghasilkan kapasitas dan probability dari bagian ini adalah = 2AU = 0.00136806 Kedua pompa down. Maka ada pengurangan 100% dalam kapasitas, dan dan probabilitas pada bagian bagian ini ini adalah adalah 2 -9 = U = 469 x 10
Beaya tahunan yang harus dikeluarkan tiap tahunnya akibat plant tidak berfungsi adalah 0.00136806 = $(15,000) + 469 x 10 −9 x 1(8,760) 2 = $(15,000)[684.03 x 10 −6 + 0.469 x 10− 6 ](8,760) = $89,943
PWRR = (9.644)[(0.15)(650,000) + 89,943 + 2(0.25)(900)] = $ 1,812,040
A lt e r n at i f 3 Dengan tiga pompa yang identik, ada empat kemungkinan yang dipertimbangkan : i. Ketiga pompa bekerja seluruhnya. Maka tidak ada pengurangan kapasitas ii. Hanya dua pompa bekerja. Maka, tetap tidak pengurangan kapasitas iii. Hanya satu pompa yang bekerja. Maka ada pengurangan 50% kapasitas, dan probabilitas untuk keadaan ini adalah = 3AU2 = 1.405 x 10 -6 iv. Seluruh pompa down. Maka ada pengurangan 100% kapasitas dan probabilitas pada keadaan ini adaalh = U 3 = 0.3207158 x 10 -9 25
Beaya tahunan yang harus dikeluarkan tiap tahunnya akibat plant tidak berfungsi adalah 1,405 x 10−6 + 0,3207158 x 10− 9 = $(15.000 x 8.760)x
2
= $92,35 PWRR = (9,644)(0,15)(900.000) (9,644)(0,15)(900.000) + 92,35 + 3(0,25)(800) = $ 1.308.617 Berbagai beaya dan rasio worth-to-cost ditabelkan pada tabel berikut ini.
Design
Total PWRR $
Annual Fixed Cost $
Annual Other Cost $
1 2 3
1 . 5 9 3 .6 7 2 2 . 8 1 2 .0 4 0 1 . 3 0 8 .6 1 7
75.000 97.500 135. 000
90.250 90.393 692
Increase in Improvement Worth-toAnnual In Worth of Fixed Cost Cost Ratio Availability$ $
…… …… 22.500 60.000
(base case) -143 89.558
… ……. -0,006 1 ,492
Jelas terlihat bahwa alternatif 3 mempunyai total PWRR paling rendah dan rasio worth-to-cost paling baik.
26
12.8 Referensi dan Bibliografi 1. Billinton, R. and Ronald Ronald N. Allan Allan [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2 nd edition, Plenum Press, New York and London 2. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto [1992], Probabilistic Risk Assessment : reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York. 3. H∅ yland, Arnljot and Marvin Rausand Rausand [1994], [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods Methods , John Willey & Sons, Inc. 4. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
KEMBALI KE DAFTAR ISI MODUL 5
27
