PENGUJIAN CHI-KUADR C HI-KUADRAT AT DAN UJI INDEPENDENSI
Dr.. Indr Dr Indra a Suh Suhend endra, ra, SE SE., ., M.S M.Si. i. Prodi Prod i EKBA EKBANG NG FE UNTI UNTIRTA RTA BANT BANTEN EN
UJI CHI KUADRAT Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perban per bandin dinga gan n ant antara ara fr freku ekuens ensii obs observ ervasi asi/ya /yang ng ben benarar-ben benar ar terjadi/aktuall dengan frekuensi harapan/ekspektasi terjadi/aktua • Frekuensi observasi nilainya didapat dari hasil percobaan (O i) • Frekuensi harapan nilainya dapat dihitung secara teoritis (e i)
BENTUK CHI-KUADRAT • Nilai χ ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ ² selalu positif. • Bentuk distribusi χ ² tergantung dari derajat bebas(db) / degree of freedom (d.f) dimana df = k - 1
daerah yang diarsir daerah penolakan hipotesis H0
Daerah penolakan H0 → χ ² > χ ² tabel (db; α)
PENGUJIAN CHI-KUADRAT
Uji χ ² dapat digunakan untuk :
1. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test 2. Uji Kebebasan (Independensi) 3. Uji beberapa proporsi
UJI KECOCOKAN Digunakan
untuk menguji apakah frekuensi yang diamati (observasi) berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoretis atau frekuensi yang diharapkan
Bila frekuensi yang teramati sangat dekat dengan frekuensi
harapan, nilai χ ² akan kecil, menunjukkan adanya kesesuaian yang baik. Bila frekuensi yang teramati berbeda cukup besar dari frekuensi harapannya, nilai χ ² akan besar, menunjukkan kesesuaian yang buruk. Kesesuaian yang baik akan membawa pada penerimaan H0,
sedangkan kesesuaian penolakan H0.
yang
buruk
akan
membawa
pada
Penetapan Hipotesis H0 dan Ha H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. Ha : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/ perbandingan tersebut.
k
2
χ
(oi − ei )
=∑ i=1
2
ei
Dimana: χ2 : distribusi Chi-Kuadrat
Oi : Frekuensi yang diobservasi ei : Frekuensi yang diharapkan
Jika χ2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi sama dengan frekuensi yang diharapkan adalah sama tepat. Jika χ2 > 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan yang diharapkan berbeda.
Penetapan Hipotesis H0 dan Ha Frekuensi yang diharapkan dihitung atas dasar Hipotesis Nol (H0) Pada α tertentu, H0 diterima apabila χ ²hitung < χ ²tabel
dan H0 ditolak apabila χ ²hitung > χ ²tabel H0 diterima, berarti frekuensi yang diobservasi sama dengan
frekuensi yang diharapkan. H0 ditolak berarti frekuensi yang diobservasi berbeda dengan frekuensi yang diharapkan. Mengingat besar kecilnya nilai χ ² menunjukkan kesesuaian
antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi χ ² sering disebut sebagai uji yang diharapkan, maka uji kebaikan-suai.
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha 2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) = k – 1 3. Menentukan uji statistik (χ ² hitung), dengan rumus: k
2
χ
2 (oi −ei )
=∑ i=1
ei
4. Membuat kesimpulan, apakah menerima H 0 atau menolak H0
CONTOH KASUS 1. Sebuah uang logam dilemparkan sebanyak 100 kali, yang menghasilkan sebanyak 58 kali muncul sisi muka dan sebanyak 42 kali sisi belakang. Ujilah hipotesis bahwa uang logam itu simetri dengan menggunakan taraf signifikan α = 0,05 dan α = 0,01. Jawab: n = banyaknya lemparan = 100 p = probabilitas muncul sisi muka = ½ dan q = 1 – ½ = ½ Frekuensi harapan sisi muka (A1) = n.p dan sisi belakang (A2) = n.q Kejadian muncul sisi uang logam
A1
A2
Frekuensi Observasi (Oi)
58
42
Frekuensi Harapan (ei)
50
50
JAWABAN KASUS 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha H0 : p (muka) = q (belakang) Ha : p (muka) ≠ q (belakang) 2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) α = 0,05 dan 0,01 dk = k – 1 = 2 – 1 = 1 katagori sisi muka dan sisi belakang (χ ²0,05 = 3,841 dan χ ²0,01 = 6,635) 3. Statistik Uji: k
2
χ
=∑ i =1
(oi − ei ) 2 ei
= =
(o1 − e1 )2 e1
(58 − 50)
2
+
(o2 − e2 ) 2 e2
(42 − 50)
+ 50 50 =1,28 + 1,28 = 2,56
2
JAWABAN KASUS 4. Merumuskan Kesimpulan: Pada α = 0,05; nilai 2,56 < 3,841 Pada α = 0,01; nilai 2,56 < 6,635 Kesimpulan : Terima H0 pada α = 0,05 dan α = 0,01. Artinya uang logam tersebut simetri
CONTOH KASUS 2. Sebuah dadu dilemparkan 120 kali dengan hasil sebagai berikut: Pelemparan dadu
1
2
3
4
5
6
Frekuensi (f)
20
22
17
18
19
24
Apakah dadu setimbang. Gunakan taraf nyata ( α) = 0,05 Jawab:
n = banyaknya lemparan = 120 p = probabilitas muncul setiap mata dadu = 1/6 Frekuensi harapan mata dadu = n.p Pelemparan dadu
1
2
3
4
5
6
Frekuensi Observasi (Oi)
20
22
17
18
19
24
Frekuensi Harapan (ei)
20
20
20
20
20
20
JAWABAN KASUS 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha H0 : muka dadu setimbang (semua mata dadu) akan muncul = 20 kali Ha : muka dadu tidak setimbang (semua mata dadu) akan muncul ≠ 20 kali 2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) α = 0,05 dk = k – 1 = 6 – 1 = 5 katagori muka dadu ada 6 Didapatkan χ ²0,05 = 11,070 3. Statistik Uji: k
2
χ
=∑ i=1
(oi − ei )2 ei
= =
(o1 − e1)2 e1
(20− 20)2
+
(o2 − e2 )2 e2
+
(22− 20)2
(o3 − e3 )2 e3
+
(17− 20)2
(o4 − e4 )2 e4
+
(18− 20)2
+ + + 20 20 20 20 =0,00+ 0,20+ 0,45+ 0,20+ 0,05+ 0,80=1,70
(o5 − e5 )2 e5 +
+
(o6 − e6 )2
(19− 20)2 20
e6 +
(24− 20)2 20
JAWABAN KASUS 4. Merumuskan Kesimpulan: Pada α = 0,05; nilai 1,70 < 11,0705 Kesimpulan : Terima H0 pada α = 0,05. Artinya mata dadu tersebut setimbang atau pernyataan dadu setimbang dapat diterima
UJI KEBEBASAN (INDEPENDENSI)
Uji Chi Kuadrat juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi) atau kaitan anatara beberapa faktor. Misalnya antara : - Prestasi belajar mahasiswa dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya. - Agama yang dipeluk dengan ketaatan beribadah - Prestasi belajar mahasiswa pada mata kuliah matematika dengan prestasi mahasiswa pada mata kuliah statistik
Jika tidak ada hubungan diantara beberapa faktor itu, maka dikatakan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen secara statistik.
Prosedur uji Chi-kuadrat ini disebut dengan uji kebebasan (independensi) atau sering juga disebut uji Kontingensi.
Biasanya digunakan untuk data yang bersifat Nominal.
Hal yang Perlu diperhatikan 1. Menggunakan Tabel Kontingensi, yang terdiri dari r baris dan c kolom, sering disebut dengan tabel kontingensi r x c, dengan setiap sel dijumlahkan. 2. Frekuensi harapan, dihitung menggunakan rumus : Frekuensi harapan =
(total kolom ) x (total baris ) total observasi
3. Uji kebebasan (independensi), dihitung menggunakan rumus: k
2
χ
=∑ i =1
(oi − ei ) ei
2
Dimana: χ2 : distribusi Chi-Kuadrat
Oi : Frekuensi yang diobservasi ei : Frekuensi yang diharapkan
Derajat kebebasan dihitung dengan (dk): (r – 1 ) (c – 1)
Penetapan Hipotesis H0 dan Ha
Pada α tertentu, H0 diterima apabila χ ²hitung < χ ²tabel dan H0 ditolak apabila χ ²hitung > χ ²tabel
H0 diterima, berarti antar faktor saling bebas (tidak ada hubungan). H 0 ditolak berarti antar faktor tidak saling bebas (ada hubungan).
Semakin kecilnya nilai χ ² menunjukkan semakin bebas hubungan antar faktor.
Bentuk Tabel Kontingensi, sebagai berikut: Faktor X
Faktor Y Y1
Y2
Y3
Y4
Total Baris
X1
Sel 1 Sel 2 Sel 3 Sel 4
ΣX1
X2
Sel 5 Sel 6 Sel 7 Sel 8
ΣX2
Total Kolom
ΣY1
ΣY2
ΣY3
ΣY4
Total Observasi
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha 2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) 3. Menghitung nilai Frekuensi Harapan 4. Menentukan uji statistik (χ ² hitung), dengan rumus: k
2
χ
2 (oi −ei )
=∑ i=1
ei
5. Membuat kesimpulan, apakah menerima H0 atau menolak H0
CONTOH KASUS 1. Di Kota Serang, akan diuji apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Untuk itu diambil sebanyak n = 1.000 orang. Penghasilan dianggap sebagai faktor 1 dan pendidikan dianggap sebagai faktor 2. Sementara itu, penghasilan dibedakan menjadi dua kategori, penghasilan rendah dan penghasilan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkatan, SMU kebawah, Diploma dan Sarjana (termasuk pascasarjana). Datanya sebagai berikut: Penghasilan
Pendidikan
Total Baris
SMU
Diploma
Sarjana
Rendah
182
213
203
598
Tinggi
154
138
110
402
Total Kolom
336
351
313
1.000
Tentukan pada α = 0,05, tentukan tingkat independensi antara penghasilan dengan pendidikan masyarakat.
JAWABAN KASUS 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha H0 : 2 faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikan Ha : 2 faktor tidak saling bebas, penghasilan tidak saling bebas dgn pendidikan 2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) α = 0,05 dk = (r – 1) (c – 1) = (2 – 1) (3 – 1) = 2 Didapatkan nilai χ ²0,05 = 5,991) 3. Menentukan Frekuensi Harapan: Frekuensi harapan Sel 1 (e1 ) :
Frekuensi harapan Sel 2 (e2 ) : Frekuensi harapan Sel 3 (e3 ) :
(598)(336) 1000
(598)(351) 1000 (598 )(313 ) 1000
= 200,9
Frekuensi harapan Sel 4 (e4 ) :
= 209,9
Frekuensi harapan Sel 5 ( e5 ) :
= 187 , 2
Frekuensi harapan Sel 6 (e6 ) :
(402)(336) 1000 ( 402 )( 351) 1000 ( 402 )(313 ) 1000
= 135,1 = 141,1
= 125,8
JAWABAN KASUS Pendidikan
Penghasilan
Total Baris
SMU
Diploma
Sarjana
Rendah
182 (200,9)
213 (209,9)
203 (187,2)
598
Tinggi
154 (135,1)
138 (141,1)
110 (125,8)
402
336
351
313
1.000
Total Kolom 4. Statistik Uji: k
χ
2
=∑ i =1
(oi − ei ) 2 ei
= =
(o1 − e1 ) 2 e1
+
(o2 − e2 ) 2
(182 − 200,9) 2 200,9
e2 +
+
(o3 − e3 ) 2 e3
( 213 − 209,9) 2 209,9
+
+
(o4 − e4 ) 2 e4
+
(203 − 187,2) 2 187,2
(o5 − e5 ) 2 e5 +
+
(o6 − e6 ) 2 e6
(154 − 135,1) 2 135,1
=1,7780 + 0,0458 + 1,3335 + 2,6440 + 0,0681 + 1,9844 = 7,854
+
(138 − 141,1) 2 141,1
+
(110 − 125,8) 2 125,8
JAWABAN KASUS 5. Merumuskan Kesimpulan: Pada α = 0,05; nilai 7,854 > 5,991, maka χ ²hitung lebih besar dari χ ²0,05 Kesimpulan : Tolak H0 pada α = 0,05. Artinya antara penghasilan dan pendidikan masyarakat tidak saling bebas. Dengan kata lain, ada hubungan antara penghasilan dengan tingkat pendidikan masyarakat di Kota Serang.
UJI PROPORSI
Uji Chi Kuadrat juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis perbedaan proporsi antara beberapa faktor. Misalnya antara : - perbedaan proporsi penayangan beberapa jenis film di beberapa stasiun televisi. - Perbedaan proporsi beberapa partai dalam memberikan pendapat atas suatu peraturan perundangan. - Perbedaan proporsi dari ahasiswa yang lulus mata kuliah tertentu
Jika tidak ada perbedaan proporsi diantara beberapa faktor itu, maka dikatakan bahwa beberapa faktor itu memiliki proporsi yang sama secara statistik.
Prosedur uji Chi-kuadrat ini disebut dengan uji proporsi. Adapun prosedur dan penghitungannya hampir sama dengan metode pengujian independensi.
Biasanya digunakan untuk data yang bersifat Nominal.
CONTOH KASUS 1. Data berikut adalah banyaknya penyiaran untuk 3 (tiga) jenis film di 3 (tiga) Stasiun TV. Ujilah apakah proporsi penayangan (pemutaran) Film India, Taiwan dan Amerika di ketiga Statiun TV tersebut. Lakukan pengujian proporsi dengan menggunakan taraf nyata 2,5%. Film
Stasiun TV
Total Baris
ATV
BTV
CTV
India
4
4
2
10
Taiwan
3
2
4
9
Amerika
3
1
1
5
Total Kolom
10
7
7
24
JAWABAN KASUS 1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha H0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Amerika di ketiga statiun TV adalah sama Ha : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Amerika di ketiga statiun TV adalah tidak sama 2. Menetapkan taraf signifikan (α) = 2,5 % dan d.k = (3-1) (3-1) = 4 11,143 3. Menentukan Frekuensi Harapan: Frekuensi India , ATV (e1 ) : Frekuensi India, BTV (e2 ) : Frekuensi India , CTV (e3 ) :
(10)(10) 24 (10)(7) 24 (10 )( 7 )
Frekuensi Taiwan, ATV (e4 ) : Frekuensi Taiwan, BTV (e5 ) :
24
= 2,92 = 2,92
(9)(10) 24 (9)(7) 24
= 4,17
Frekuensi Taiwan, CTV (e6 ) : Frekuensi Amerika, ATV (e7 ) : Frekuensi Amerika, BTV (e8 ) :
= 3,75
Frekuensi Amerika, CTV (e9 ) : = 2,63
(9)(7) 24 (5)(10) 24 (5)(7) 24 (5)(7) 24
= 2,63 = 2,08 = 1,46 = 1,46
JAWABAN KASUS Stasiun TV
Film
Total Baris
ATV
BTV
CTV
India
4 (4,17)
4 (2,92)
2 (2,92)
10
Taiwan
3 (3,75)
2 (2,63)
4 (2,63)
9
Amerika
3 (2,08)
1 (1,46)
1 (1,46)
5
10
7
7
24
Total Kolom 4. Statistik Uji: 2
2
χ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) (o − e ) =∑ i i = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 ei e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 i=1
=
(4 − 4,17)2 4,17
+
(4 − 2,92)2 2,92
+
(2 − 2,92)2 2,92
+
(3 − 3,75)2 3,75
+
(2 − 2,63)2 2,63
+
(4 − 2,63)2 2,63
+
(3 − 2,08)2 2,08
=0,0067+ 0,4024+ 0,2881+ 0,1500+ 0,1488+ 0,7202+ 0,4033+ 0,1440+ 0,1440= 2,4070
+
(1−1,46)2 2,46
+
(1−1,46)2 1,46
JAWABAN KASUS 5. Merumuskan Kesimpulan: Pada α = 0,025; nilai 2,4076 < 11,1433, maka χ ²hitung lebih kecil dari χ ²0,025 Kesimpulan : Terima H0 pada α = 0,025. Artinya proporsi pemutaran ketiga jenis film, di ketiga Statiun TV adalah sama.
LATIHAN DI RUMAH 1. Tiga Uang logam dilemparkan sekaligus sebanyak 240 kali. Frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan dari munculnya 0 muka, 1 muka, 2 muka dan 3 muka disajikan sebagai berikut: Pelemparan Uang Logam
0 muka
1 muka
2 muka
3 muka
Frekuensi Observasi (Oi)
24
108
95
23
Frekuensi Harapan (ei)
30
80
80
30
Ujilah hipotesis bahwa uang logam tersebut simetri. Gunakan α = 0,05 dan 0,01 2. Menurut Hukum Mandell mengenai keturunan, dari perkawinan silang tertentu, seharusnya menghasilkan keturunan berwarna merah, hitam dan putih mengikuti perbandingan 9 : 3 : 4. Berdasarkan eksperimen persilangan, ternyata diperoleh keturunan sebanyak 143 warna merah, 69 warna hitam, dan 75 warna putih. Apakah hasil eksperimen ini mendukung teori Mandell tersebut? Ujilah menggunakan taraf nyata = 5%.
LATIHAN DI RUMAH 3. Tabel berikut menyajikan jumlah mahasiswa yang lulus dan yang gagal dari tiga dosen, yaitu Pak Didu, Pak Indra, dan Pak Kuswantoro. Lulus/Gagal
Pak Didu
Pak Indra
Pak Kuswantoro
Total
Lulus
50
47
56
153
Gagal
5
14
8
27
Total
55
61
64
180
Ujilah hipotesis bahwa proporsi (persentase) dari mahasiswa yang lulus pada ketiga dosen tersebut adalah sama. Gunakan α = 0,05.
