TUGAS M2 KB 3 VEKTOR
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
3 4 5 5 21 237 = 2 28 5 5 5 15 8 105 + 146 = 2 2 28 55 10 10 23 411 = 4 41616 10110100 10 10 == 23−− 41010 == 44 + 4 16 1010 == 1111 16 − = −− = − = −− = 3 = 0 = 3 0,0, 2 2 8 10 + 31 = 83 . = 03 + . 1 = 3 ++ 3.333== 88 == 81 9 = 1 = 3
1. Misalkan = (−3, 2, 1), 2 = 2( − 5 ). Penyelesaian: 5 − 2 = 2(
Jadi = (
Jadi skalar
= (5, −2, 8). Mencari vektor yang memenuhi 5
−5 )
,
2. Misalkan = (2, 1, 0) dan Penyelesaian: +
= (4, 7, −3), dan
= (−2, 3, 1). Mencari skalar dan sehingga
=(−8, =(−8, 8, 3)
dan
.
+
= (−8, (−8, 8, 3).
−
1 2 0 0 20 + 11+ 31 = 00 ++ 2= =00 ××12 2 ++ 22 == 00 2 == 20 22.2 + + + + = =0 0 5 + = 0 ++ 5 == 00 4 == 00 = 0 + +0 == 00 = 0 + 2+ 0 == 00 =0 = 0, = 0, = 0
3. Mencari skalar 1, 2, dan 3 sehingga 1(1, 2, 0) + 2(2, 1, 1) + 3(0, 3, 1) = (0, 0, 0). Penyelesaian: (1, 2, 0) +
(2, 1, 1) + 3(0, 3, 1) = (0, 0, 0) , sehingga:
Dari (i) dan (iii) diperoleh :
............................(iv)
Dari (iii) dan (iv) diperoleh :
Subsitusi
Jadi skalar
pada persamaan (iii), diperoleh:
2 ++2 + =0……………. = 0………. + = 0 ……………..
4. Vektor-vektor baku di = (1, 0, 0), =(0, 1, 0), a. Gambarlah dalam sistem koordinat Cartesius.
= (0, 0, 1)
Penyelesaian:
z (v1, v2, v3)
y
x
b. Tunjukkan dan berilah ulasan bahwa untuk setiap vektor di kombinasi linear dari vektor-vektor , , dan . Penyelesaian:
dapat dinyatakan sebagai
Misalkan V ruang vektor
= {,,, …. , } ⊆ ∈ Misalkan
Vektor disebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari (konstanta riil) k 1, k 2,...,k n sehingga memenuhi persamaan : k 1u1 + k 2u2+...+ k nun=
Ambil sembarang vektor u (a, b, c) di
, jika terdapat skalar-skalar
ℝ
Jelas u (a, b, c) = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c)
u (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
u (a, b, c) = ai + b j + ck
Contoh :
,, = 1,0,0 + 0,1 ,0 + 0,0,1 , , 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1} Berarti
vektor
dapat
dinyatakan
sebagai
kombinasi
linier
dari
5. Diketahui sebuah vektor pada bidang- dengan panjang 9, titik awalnya O(0,0) dan arahnya membentuk sudut 120 berlawanan arah jarum jam dari sumbu- positif, dan terdapat vektor pada bidang tersebut dengan panjang 5 dan arahnya 45 o searah jarum jam dari sumbu- positif. a. Tentukan komponen-komponen vektor dan . Penyelesaian:
120°45°
==99cos120° ∙9 12 = = 9si2n 120° = 99 ∙ 12 √3 = 2 √3 92 , 92 √3 == 55cos45° ∙ 5 12 √ 2 = = 25si√ 2n45° = 5 ∙5 12 √ 2 = 2 √ 2 52 √ 2, 52 √ 2
b.
120° + 45° cos == 120° ∙ cos45° 120° ∙ si n 45° = 112 ∙ 12 √ 12 12 √ 3 ∙ 12 √ 2 = 4 √ 2 4 √ 6
Mencari cos , jika adalah sudut antara dua vektor tersebut.
Penyelesaian:
6. Diberikan sebuah jajargenjang ABCD dengan titik sudut A(2, −3, 1), B(−1, 4, −1) dan C(2, 0, 3). Dengan menggunakan perkalian silang dua vektor, Menghitung luas daerah jajar genjang ABCD tersebut! Penyelesaian: Misalkan ABCD adalah jajargenjang maka:
∕∕ ∕∕ ⃗ = 3 + 7 2 ⃗ = ⃗ = 3 + 4 4 = 3 4 + 4 ⃗ × ⃗ = 33 47 24 = 20 + 6 9 ∥ ⃗ × ⃗ ∥= 20 + 6 + 9 = √ 517 Kita tentukan AB dan AD merupakan sisi berdekatan
Selanjutnya karena
(Hasil kali silang)
Luas jajargenjang tersebut adalah
7. Tunjukkan himpunan semua fungsi real yang didefinisikan pada bilangan real dengan dua operasi (f + g)( ) = f( ) + g( ). ( f)( ) = f( ) merupakan ruang vektor. Petunjuk: Tulis
F = { f / f : R R }
Selanjutnya dengan dua operasi yang didefinisikan tunjukkan bahwa F suatu ruang vektor.
= | : → } = = , ,,..,,.. ,, ̅= ,̅= , ,,.. ,,..,, = ∈, , . . , ∈ , ∈ + ̅ = , , . . , + , , . . ,
Penyelesaian:
Diketahui :
Akan dibuktikan bahwa
suatu ruang vektor
Misalkan a.
Ambil
dan
maka
= + , + , . . , + ∈ + =̅ = +, , ,.. ,+ +, ., ., ,. +. , == ,+, , .+. ,, .+. , ,+, . . , ̅ = + + ̅+ == ,,,, . . , . ., +( + , +, .., , ++ ,, ,. .. ,., +) == + + ++ ,, + + ++ ,, .. .. ,, + + ++ ==+ +̅+, + ,. ., + + + + ⋯+ = , , . . , ∈ 0 = 0, 0 , … , 0 ∈ +0= = +, 0,, +. 0,. , +. .,0,0 ,+…0,0 = = 0+0,0,…,,00 ++ ,, ,. ., 0. +. , = 0 += =,, . . , ∈ = , , . ., ∈ +== ( ,+ ,., ., + + ,, . .,, +. ., ) == 00, 0, . . ,0 = , , . . , ∈ ∈ == ,,,, .. ..,, ∈ +̅= =( ++,, + +,..,, +. . , + ) == ,+,, . +. , , +. .,, +, . . , = + ̅ Jadi F tertutup terhadap operasi penjumlahan
b.
komutatif penjumlahan
c.
asosiatif penjumlahan
d.
e.
Ambil
Ambil
maka terdapat
maka
sedemikian hingga
terdapat
sedemikian hingga
f.
Ambil
dan
sedemikian hingga
Jadi F tertutup terhadap operasi perkalian g.
sifat distributif
h.
i.
j.
+ = = ++ , , +, .. , , . . , + = = , +,, . +. , , + ..,,, + . . , = + ==(,,,. .,,. . , ) == ,,,, . . ,.. , == (,,,, .. .. ,, ) = 1= =11, ,1,, . . , . .,1 = , , . . , =
Karena F memenuhi 10 aksioma ruang vektor, maka F ruang vektor. 8. Apakah vektor-vektor di S = {(6,4,2), (0,2,4), (2, 0, 4)} bebas linear atau bergantung linear? Selidikilah! Penyelesaian:
6 0 2 0 42 + 24+ 04 = 00 6 + 2 = 0 4 + 2 = 0 2 + 4 + 4 = 0 Sehingga diperoleh persamaan :
Dengan menggunakan matriks OBE, didapatkan :
2 2 + + 64 02 2000 3 60 02 200 60 02 200 2 4 4 0 13 + 0 4 0 0 0 60 6 + 2 = 0 ..........(1)
2 = 0
..........(2)
6 = 0 6 = 0 =0 = 0 2 = 00 = 0 = 0 6 + 2 = 0 6 = +00 = 0 = 0 = 0 = 0 ..........(3)
Dari (3) diperoleh :
Substitusi
ke (2) maka didapat:
Substitusi
ke (1) maka didapat:
Karena
,
,
9. Jelaskan mengapa {
maka vektor tersebut bebas linear.
, x, 1} adalah basis untuk
2. Berapakah dimensi dari
.
adalah himpunan semua polinomial berderajat
?
Penyelesaian:
Polinomial 1, x,
,…,
merentang (membangun) ruang vektor Pn, karena setiap polinomial p
dalam Pn dapat ditulis sebagai p = x,
,…,
+
+…+
yang merupakan kombinasi linear dari 1,
. Kita dapat menunjukkan ini dengan menulis Pn = span{1, x,
= { 2, , 1} karena setiap polinomial p dalam Pn dapat ditulis sebagai p = merupakan kombinasi linear dari 1, x, Maka { 2, , 1} dapat ditulis p =
+
,…, +
.
Karena setiap polinomial p dalam P n dapat ditulis sebagai p =
Sehingga P 2 =
+
+
,…,
+
}. Dipunyai S
+…+
merupakan kombinasi linear 1, x,
Sehingga bisa dikatakan { 2, , 1} bebas linear.
merupakan kombinasi linear dari 1, x,
,…,
+
+ … +
yang
. Maka P n merentang Ruang Vektor P n
merentang Ruang Vektor P 2
Karen { 2, , 1}bebas Linear dan { 2, , 1}merentang Ruang Vektor P 2 maka { 2, , 1}basis untuk P 2 dengan Dimensi P adalah 2.
