TUGAS M2 KB 1 TEORI BILANGAN
Nama No. P!rta Prodi Prodi PPG&K'a! PPG&K'a! LPTK Ta+a 1.
: Farid Hidayat, S.Pd. : 1"#$211"#1#1%$ : (1"#) Matma Matmati*a ti*a & K'a! A : UNS :2
Buktikan bahwa jika a | b dan c | d maka ac | bd P-y'!aia-:
Diketahui a | b maka terdapat bilangan bulat m sehingga b = ma Diketahui c | d maka terdapat bilangan bulat n sehingga d = nc Selanjutnya bd = (ma)(nc) = (mn)ac. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat mn sehingga berlaku bd = (mn)ac. Ini berarti ac | bd. 2.
Buktikan bahwa jika a | b dengan a dan b bilangan psiti! maka a " b a # $ dan b # $ maka k # $ a | b % b = ak& k ∈ B De!inisi '.. misal k = % b = a k#%b#a jadi untuk k bilangan bilangan psiti! maka a " b
sehingga terbukti bahwa jika a | b dengan a dan b bilangan psiti! maka a " b $.
ika a | b dan a | c maka a | (bm * cn) untuk setiap bilangan bulat m dan n. P-y'!aia-:
Diketahui a | b maka terdapat bilangan bulat m sehingga b = ma Diketahui a | c maka terdapat bilangan bulat n sehingga c = na Selanjutnya bm * cn = (ma)m * (na)n bm * cn = m' a * n' a bm * cn = (m' * n') a +arena terdapat bilangan bulat (m ' * n') sehingga bm * cn = (m ' * n')a& maka berlaku a | (bm * cn). ,ntuk setiap m dan n bilangan bulat& berlaku m ' * n' = k dengan k merupakan bilangan bulat. Sehingga berlaku a | (bm * cn) untuk setiap bilangan bulat m dan n.
.
Hitung
-B (/012& 10$1) P-y'!aia-:
3erema4 ika b = 5a * r& maka -B (b&a) = -B (a&r). Dengan menggunakan terema tersebut& maka4 /012 = 10$1. * 1$26 10$1 = 1$26. * 170 1$26 = 170./ * 26 170 = 26. * 17 26 = 17.' * '8 17 = '8.0 * '8 = .' * 0 = 0.' * 0 = .0 * $ Berdasarkan terema di atas& maka -B (/012& 10$1) = -B (10$1&1$26) = -B (1$26& 170) = -B (170&26) = -B (26&17) = -B (17&'8) = -B ('8&) = -B (&0) = -B (0&) = -B (&$) = /.
Buktikan bahwa -B ((a&b)&b) = -B(a&b). P-y'!aia-:
9isal -B(a&b) = m % m:a dan m:b -B ((a&b)&b) = -B (m&b) 9isal -B (m&b) = n % n:m dan n:b m:m dan m:b dengan -B (m&b) = n % m:n n:m dan m:n % m = n
de!inisi '...' de!inisi '..' terema '..
sehingga terbukti bahwa -B ((a&b)&b) = -B(a&b) 0.
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat psiti! m berlaku -B (ma&mb)= m ; -B (a&b). P-y'!aia-:
9isalkan -B (a&b) = d& maka terdapat bilangan bulat k dan l sehingga ak * bl = d m(ak) * m(bl ) = md& dengan m sebarang bilangan bulat psiti! (ma)k * (mb)l = md Ini berarti -B (ma&mb)= m ; -B (a&b) dengan m sebarang bilangan bulat psiti!.
%.
Buktikan -B (a&b) | ++
9isalkan -B (a&b) = d& berarti d | a dan d | b yang berarti terdapat bilangan bulat m dan n sehingga a = md dan b = nd. 9isalkan ++
Buktikan ++
++ kan dibuktikan bahwa4 a. ika ++
3entukan -B dan ++ dari 0878 dan 1102. FPB (/%0%,/$)
0878 = 1102. * 21 1102 = 21.2 * 0 21 = 0.' * '6' 0 = '6'. * '6 '6' = '6. * 82 '6 = 82.2 * $ adi -B (0878&1102) = 82 KPK /%0%,/$3
9isal a = 0878 dan b = 1102 ab = '07/$10 (a&b) = 82
Selidiki apakah 72 dan /18 bilangan prima. P-y'!aia-:
9enurut terema '../ >ndai n = 72 maka bilangan prima " √ 631 adalah '& 2& 0& 8& & 2& 8& 6& dan '2 yang tidak ada diantaranya bilangan?bilangan prima tersebut membagi 72sehingga dapat disimpulkan bahwa 72 adalah bilangan prima. >ndai n = /18 maka bilangan prima " √ 847 adalah '& 2& 0& 8& & 2& 8& 6& dan '2 yang ada diantaranya bilangan?bilangan prima tersebut membagi /18 = 8.. sehingga dapat disimpulkan bahwa /18 adalah 45*a- bilangan prima. 72 hanya memiliki dua !aktr& yaitu dan 72& sehingga 0$1 mr5a*a- 4i'a-6a- rima. /18 memiliki !aktr & 8& & '& dan /18& sehingga "% 45*a- 4i'a-6a- rima. 11.
Buktikan bahwa jika n # suatu bilangan prima maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku -B (a&n) = atau n | a. P-y'!aia-:
a. ika a bilangan prima dan n bilangan prima& maka4 a = .a n = .n -B (a&n) = b. ika a bilangan kmpsit dan n bilangan prima& maka terdapat bilangan bulat m sehingga a = mn& yang berarti n | a. Sehingga jika n # suatu bilangan prima maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku -B (a&n) = atau n | a. 12.
3entukan residu terkecil dari 1 mdul . P-y'!aia-:
1$.
@esidu terkecil dari 1 mdul adalah /& sebab sisa dari 14 adalah /. Buktikan bahwa relasi kekngruenan merupakan relasi ekuiAalen. P-y'!aia-:
@elasi kekngruenan merupakan relasi ekuiAalen& yaitu relasi yang memenuhi si!at re!leksi!& simetris dan transiti!. Hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut. ika m& a& b dan c bilangan?bilangan bulat dengan m $& maka4 a. Berlaku si!at re!leksi!& yakni a C a (md m)& untuk setiap bilangan bulat a.
B5*ti:
+arena a a = $ dapat ditulis a = $.m * a& sehingga a C a (md m) b. Berlaku si!at simetris& yakni jika a C b (md m) maka b C a (md m) B5*ti:
+arena a C b (md m)& berarti a b = km untuk setiap bilangan bulat k sehingga4 b a = km b = km * a Ini berarti b C a (md m) c. Berlaku si!at transiti!& yakni jika a C b (md m) dan b C c (md m) maka a C c (md m). B5*ti:
+arena a C b (md m)& berarti a b = km untuk setiap k bilangan bulat& sehingga4 b = a km +arena b C c (md m)& berarti b c = l m untuk setiap l bilangan bulat. Substitusi b = a km& maka4 b c = l m (a km) c = l m a c = km * l m a c = (k * l ) m Ini berarti a C c (md m). 1.
3entukan nilai y yang memenuhi 'y kngruen dengan 7 (md 0). P-y'!aia-:
'y C 7 (md 0)& maka 0 | 'y 7 & yang berarti untuk sebarang bilangan bulat k berlaku4 0k = 'y 7 'y = 0k * 7 y=
5 2
k*2
y = 0l * 2& dengan l bilangan genap adi nilai y yang memenuhi 'y C 7 (md 0) adalah (0 l * 2) dengan l sebarang bilangan genap. 1/.
3entukan 0 bilangan bulat ; yang memenuhi $ kngruen dengan 7; (md 0). P-y'!aia-:
$ C 7; (md 0) berarti 0 | $ 7;& sehingga untuk sebarang bilangan bulat k berlaku4 0k = $ 7; 7; = $ 0k
; = ($ 0k) E 7 =
10 6
5 6
k
Filai ; yang memenuhi $ C 7; (md 0) adalah4 ,ntuk k = $ maka 7; = $ 0k = $ 0($) = 7$& sehingga ; = $. ,ntuk k = '' maka 7; = $ 0k = $ 0('') = '$& sehingga ; = '$. ,ntuk k = 21 maka 7; = $ 0k = $ 0(21) = /$& sehingga ; = 2$. Dan seterusnya sehingga bilangan bulat yang dapat memenuhi ; adalah $&'$&2$&1$&0$&... 10.
Buktikan bahwa jika a kngruen dengan b (md m) maka (a * c) kngruen dengan (b*c)(md m) dan ac kngruen dengan bc (md m). P-y'!aia-:
Bukti 4 9isal c adalah bilangan bulat i.
+arena a b (md m)& maka ada k bilangan bulat sehingga a = m.k * b.
(3erema '..6)
a = m.k * b& tambahkan kedua ruas dengan c sehingga diperleh a * c = (m.k * b) * c a * c = m.k * (b * c)
(si!at kmutati! bilangan bulat)
+arena ada bilangan bulat k dan a * c = m.k * (b * c) maka (a*c) '..6)
ii.
(b*c)(md m) (3erema
+arena a b (md m)& maka ada k bilangan bulat sehingga a = m.k * b. a = m.k * b&
(3erema '..6)
kalikan kedua ruas dengan c sehingga diperleh
a.c = (mk * b).c ac = (m.k.c) * (bc)
(si!at distributi! perkalian terhadap penjumlahan)
ac = m.(kc) * (bc)
k dan c anggta bilangan bulat maka (k.c) adalah bilangan bulat.
+arena ada bilangan bulat (kc) dan ac = m.(kc) * (bc) maka ac bc (md m) '..6) adi dapat disimpulkan bahwa jika a b (md m) maka (a*c) m).
(3erema
(b*c)(md m) dan ac bc (md
Tr45*ti
