TUGAS M6 KB 3 METODE NUMERIK
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
A. Kerjakan tugas berikut dengan melihat referensi yang ada di daftar pustaka. Tuliskan hasil jawaban Anda dengan menuliskan referensi yang Anda gunakan. 1. Carilah aturan yang digunakan dalam pembulatan dan berikan contohnya. 2. Carilah aplikasi penggunaan metode numerik pencarian solusi sistem persamaan dan interpolasi.
Perhatikan lingkungan sekitar anda, kemudian tulislah sebuah situasi nyata yang berkaitan dengan matematika.
Buatlah sebuah soal bertipe pemodelan matematika yang termasuk dalam kategori sederhana dari situasi nyata tersebut.
Selesaikan soal tersebut dengan mengikuti siklus pemodelan matematika serta berikan beberapa alternatif lain cara menyelesaikan soal tersebut.
Gunakan software matematis juga untuk menyelesaikan soal tersebut.
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan langkah-langkah yang tepat! 1.
Diberikan sistem persamaan linier berikut : x + 2y + 3z = 1,
2x + 5y + z3=6, 4 x+ 8z = -6 Selesaikanlah dengan: 1. Iterasi Jacobi 2. Iterasi Gauss-Seidel
Penyelesaian:
A.
1. ATURAN PEMBULATAN: a. Aturan 1 : Jika angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan kurang dari 5, maka angka terkanan dari angka yang mendahuluinya tetap (tidak berubah). Contoh : 1) 62,35 kg dibulatkan hingga satuan ton terdekat menjadi 60 kg. Dalam hal ini angkaangka yang harus dihilangkan adalah 35 dan angka terkanan adalah 5 maka 62,35 dibulatkan terlebh dahulu menjadi 62,4. Selanjutnya 62,4 dibulatkan ke kg terdekat menjadi 60 kg 2) 18,415 meter dibulatkan ke kg terdekat menjadi 18 meter (dalam hal ini angka yang harus dihilangkan adalah 415 dan dan angka terkanan adalah 5 maka 18,415 dibulatkan terlebih dahulu menjadi 18,42. Selanjutnya 18,42 dibulatkan menjadi 18,4 dan terakhir dibulatkan ke kg terdekat menjadi 18 meter.
b. Aturan 2 : Jika angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau angka 5 diikuti oleh angka-angka bukan nol semua, maka angka terkanan dari angka yang mendahuluinya bertambah dengan satu Contoh : 1) 593 kg dibulatkan hingga ribuan kg menjadi 600 kg. Dalam hal ini, angka terkiri dari 93 itu adalah 9 (lebih dari 5), maka angka terkanan yang medahului 93, yaitu 5, bertambah dengan satu menjadi 6. 2) 72,15001 gram dibulatkan hingga pesepuluhan menit terdekat menjadi 72,2. dalam hal ini, angka-angka yang harus dihilangkan adalah 5001dan angka terkiri dari 5001 adalah 5 tapi diikuti oleh angka-angka bukan nol semua, maka angka terkanan yang mendahului 5001, yaitu 1, bertambah dengan satu menjadi 72,2.
c. Aturan 3 : Jika angka terkiri dari angka yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau angka 5 diikti oleh angka-angka nol semua, maka angka terkanan dari angka yang mendahuluinya tetap jika angka tersebut genap, dan bertambah satu satu jika angka tersebut ganjil. Contoh : 1) 14,35 gram dibulatkan hingga pesepuluhan gram terdekat menjadi 14,4 gram. Dalam hal ini angka yang harus dihilangkan adalah 5, maka angka terkanan yang mendahului 5, yaitu 3 bertambah 1 menjadi 4 (karena 3 merupakan angka ganjil). 2) 24,5000 cm dibulatkan hingga satuan cm menjadi 24. dalam hal ini, angka-angka yang harus dihilangkan adalah 5000 dan angka terkiri dari 5000 adalah 5, maka angka terkanan yang mendahului 5000, yaitu 4, (tetap karena 4 merupakan angka genap).
2. “Keliling kebun Pak Budi adalah 32 m, sedangkan selisih panjang dan lebaranya adalah 4 m. Tentukan panjang dan lebar kebun Pak Budi tersebut!” Penyelesaian:
Diketahui: Keliling kebun = 32 m Selisih panjang dan lebar = 4 m Misal: panjang kebun = x Lebar kebun = y Maka permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model matematis yaitu: Selisih panjang dan lebar = panjang – lebar = 4 x – y = 4 ....... (1) Keliling = 2 (panjang + lebar) = 32 2 ( x + y) =32 x + y =16 ......(2) maka diperoleh sistem persamaan linier: x – y = 4 x + y = 16 a. Penyelesaiand dengan cara eliminasi dan subtitusi:
x – y = 4 x + y = 16 -2 y = -12
= − − =6 Subtitusi nilai y = 6 ke pers (2)
= 16 6 = 16 = 16 6 = 10 Jadi panjang dan lebar kebun tersebut adalah 10 m dan 6 m.
b. Penyelesaian dengan cara grafik software Geogebra
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan grafik pada software Geogebra:
=4 x
0
4
y
-4
0
( x, y)
(0, -4)
(4, 0)
= 16 x
0
26
y
16
0
( x, y)
(0, 16)
(16, 0)
Buatlah garis
= 4 dan garis = 16 dengan cara membuat titik koordinatnya,
kemudian hubungkan kedua pasang titik tersebut.
Perpotongan kedua garis tersebut terletak pada koordinat (10, 6), maka diperoleh nilai x = 10, dan y = 6
Jadi Jadi panjang dan lebar kebun tersebut adalah 10 m dan 6 m.
Gambar Penyelesaian dengan Geogebra
c. Penyelesaian dengan Matriks
] = [ 4 ] [11 1 ][ 1 16 − 4 [] = [11 1 ] 1 [16] 1 1][ 4 ] [] = [1 1 16 [] = [20 12] [] = [10 6 ]
d. Penyelesaian dengan Iterasi Jacobi
=4 = 16 Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi:
=4 = 16 Proses Iterasi Jacobinya sebagai berikut:
+ = 4 + = 16
Iterasi 1
Asumsikan kita mulai dengan
(,) = (0,0), maka kita peroleh nilai-nilai baru:
= 4 0 = 4 = 16 0 = 16
Iterasi 2
Pendekatan kedua dengan nilai
(,) = (4,16)
= 4 16 = 20 = 16 4 = 12 Secara analog, perhitungan iterasi selanjutnya dapat dilihat pada tabel dari perhitungan menggunakan software Ms. Excel berikut ini: i
x
y
1
4
16
2
20
12
3
16
-4
4
0
0
5
4
16
6
20
12
7
16
-4
8
0
0
9
4
16
10
20
12
11
16
-4
12
0
0
13
4
16
14
20
12
15
16
-4
Terlihat sampai iterasi ke-15 belum nampak konvergen ke penyelesaian. Dimungkinkan ini karena
sistem
persamaan
linear
di
atas
tidak
memenuhi
konvergen.Penyelesaian secara eksaknya yaitu x = 10, dan y = 6
syarat
cukup
agar
B.
1. Metode Iterasi Jacobi
4 8 = 6 2 5 3 = 6 2 3 = 1 Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi:
= −− = −− = 1 2 3 Proses Iterasi Jacobinya sebagai berikut:
+ = −− + = −− + = 1 2 3
Iterasi 1
Asumsikan kita mulai dengan
(,,) = (0,0,0), maka kita peroleh nilai-nilai baru:
= −−. = 1,5 = −.−. = 1,2 = −−. = 0,333333
Iterasi 2
(,,) = (1,5; 1,2,;0,3333) = −−.(,) = 2,166667 = −.(,)−.(,) = 1,6 = −(,)−.(,) = 0,033333 Pendekatan kedua dengan nilai
Iterasi 3
(,,) = (2,16667; 1,6, ; 0,03333) = −−.(,) = 1,566667 = −.(−,)−.(,) = 2,046667 = −(−,)−.(,) = 0,011111 Pendekatan ketiga dengan nilai
Secara analog, perhitungan iterasi selanjutnya dapat dilihat pada tabel dari perhitungan menggunakan software Ms. excel dan Metodos Numericos berikut:
Tabel Perhitungan Iterasi Jacobi Dengan menggunakan Ms.Excel x
y
z
Iteration
0,000000
0,000000000000
0,000000000000
-1,500000 -2,166667
1,200000 1,600000
0,333333 0,033333
1 2
-1,566667 -1,477778 -0,482222
2,046667 1,833333 2,096444
-0,011111 -0,508889 -0,396296
3 4 5
-0,707407 0,307111 -0,464049 0,738202 -0,625445 1,068242 -1,027516
1,630667 2,025096 1,387941 2,057080 1,167085 2,220651 0,914448
-0,903556 -0,517975 -1,119101 -0,437277 -1,284121 -0,236242 -1,503181
6 7 8 9 10 11 12
1,506363 -1,632413 2,188129 -2,511301 3,237958 -3,812390 4,826515 -5,760126 7,214891 -8,684943 10,801284 -13,078548
2,512915 0,557731 2,959404 0,021358 3,625908 -0,788900 4,622910 -2,008644 6,118518 -3,841439 8,364363 -6,594078
0,066207 -1,844064 0,505650 -2,368979 1,156195 -3,163258 2,130063 -4,357445 3,592472 -6,150642 5,789274 -8,843336
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
16,186673 -19,677803 24,274343 -29,589215 36,420794 -44,474812
11,737421 -10,728010 16,803424 -16,936502 24,411924 -26,260761
9,088901 -12,887172 14,044607 -18,960397 21,487406 -28,081548
25 26 27 28 29 30
Tabel Perhitungan Iterasi Jacobi Dengan menggunakan Aplikasi Android Metodos Numericos
Terlihat sampai iterasi ke-30 belum nampak konvergen ke penyelesaian. Dimungkinkan ini karena sistem persamaan linear di atas tidak memenuhi syarat cukup agar konvergen.Penyelesaian secara eksaknya yaitu x = 0,071428571, y = 1,642857143,dan z = -0,785714286
2. Metode Iterasi Gauss Seidel
Perbedaan iterasi Gauss-Seidel dibandingkan iterasi Jacobi adalah nilai xi yang telah dihasilkan dari iterasi sebelumnya langsung disubstitusikan untuk mencari xi+1
4 8 = 6 2 5 3 = 6 2 3 = 1 Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi:
= −− = −− = 1 2 3 Proses Iterasi Gauss Seidelnya sebagai berikut:
Iterasi 1
Asumsikan kita mulai dengan
(,,) = (0,0,0), maka kita peroleh nilai-nilai baru:
= −−. = 1,5 = −.(−,)−. = 1,8 = −(−,)−.(,) = 0,366667
Iterasi 2
(,,) = (1,5; 1,8, ; 0,366667) = −−.(−,) = 0,766667 = −.(−,)−.(−,) = 1,726677 = −(−,)−.(,) = 0,562222 Pendekatan kedua dengan nilai
Iterasi 3
(,,) = (0,766667; 1,726677; 0,562222) = −−.(−,) = 0,375556 = −.(−,)−.(,) = 1,687556 = −(−,)−.(,) = 0,666519 Pendekatan ketiga dengan nilai
Secara analog, perhitungan iterasi selanjutnya dapat dilihat pada t abel dari perhitungan menggunakan software Ms. excel dan Metodos Numericos berikut:
Tabel Perhitungan Iterasi Gauss-Seidel Dengan menggunakan Ms.Excel x1
x2
x3
Iteration
0,000000000000 -1,500000
0,000000000000 1,800000
0,000000000000 -0,366667
1
-0,766667 -0,375556 -0,166963 -0,055714 0,003619 0,035264 0,052141 0,061142
1,726667 1,687556 1,666696 1,655571 1,649638 1,646474 1,644786 1,643886
-0,562222 -0,666519 -0,722143 -0,751810 -0,767632 -0,776070 -0,780571 -0,782971
2 3 4 5 6 7 8 9
0,065942 0,068503 0,069868 0,070596 0,070985 0,071192 0,071302 0,071361 0,071393 0,071409 0,071418 0,071423 0,071426 0,071427 0,071428 0,071428 0,071428 0,071428 0,071429 0,071429
1,643406 1,643150 1,643013 1,642940 1,642902 1,642881 1,642870 1,642864 1,642861 1,642859 1,642858 1,642858 1,642857 1,642857 1,642857 1,642857 1,642857 1,642857 1,642857 1,642857
-0,784251 -0,784934 -0,785298 -0,785492 -0,785596 -0,785651 -0,785681 -0,785696 -0,785705 -0,785709 -0,785712 -0,785713 -0,785714 -0,785714 -0,785714 -0,785714 -0,785714 -0,785714 -0,785714 -0,785714
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
0,071429 0,071429
1,642857 1,642857
-0,785714 -0,785714
30 31
Tabel Perhitungan Iterasi Jacobi Dengan menggunakan Aplikasi Android
Dari tabel perhitungan Iterasi Gauss Seidel di atas, terlihat bahwa nilai ( x, y, z ) konvergen mulai dari iterasi ke-26, yaitu x = 0,071429, x = 1,642857, dan z = -0,785714.
