Universidad Nacional de San Agustín
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Dr. Juan Armin Becerra Guzmán
MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL
HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Los inicios que hoy se conoce como IO, se remonta a los años 1759 cuando ndo el economista sta Quesnay empieza a utilizar modelos primitiv tivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de nombre Walras, hace uso en 1874, de técnicas similares. Los modelos lineales de la IO, tiene como precursores a Jordan en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tienen su origen con Markov a fines del siglo pasado.
HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Los modelos matemáticos de la IO que utilizan estos precursores, estaban basados en el cálculo diferencial e integral (Newton, Lagrange, Laplace, Lebesgue, Leibinitz, Reimman, Stiegles, por mencionar algunos), la probabilidad y la estadística (Bernoulli, Poiss oisson on,, Gaus Gauss, s, Baye Bayes, s, Goss Gosset et,, Sned Snedec ecor or,, etc. etc.). ). Pero fue hasta la segunda guerra mundial, cuando la IO empezó a tomar auge. Primero se le utilizó en la logística estratégica para vencer al enemigo y más tarde al finalizar la guerra, para la logística de distribución de todos los aliados repartidos por todo el mundo.
HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
En 1947 el doctor George Dantzig, resumiendo el trabajo de sus antecesores, inventa el método simplex, con lo cual dio inicio a la progr programa amació ción n lineal lineal.. Actualmente, la IO no solo se aplica en el sector privado, privado, sino también en el sector público.
Metodología de la Investigación de Operaciones
El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases: 1. Formul ormulac ació ión n y defi defini nici ción ón del del prob proble lema ma.. 2. Cons Constr truc ucci ción ón del del mod model elo o. 3. Solución de del mo modelo. 4. Valid alidac ació ión n del del mod modelo. elo. 5. Impl Implem emen enta taci ción ón de resu result ltad ados os..
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Definición: Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
s i s tema temas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en
estudio.
Sistemas v/s Procesos
Proceso:
Conjunto de Actividades que crean una Salida o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
Sistema:
Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos procesos. En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta. En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de
CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s Procesos Reglas de Operación (Controles) (Controles)
Sistema
Entidades que Entran
Actividades
Recursos
Entidades que Salen
Modelos
Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo trabaja.
Estos supuestos, que por lo general toman la forma de relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión de cómo el sistema se comporta.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos Existen múltiples tipos t ipos de modelos para representar la realidad. Algunos son: •
•
•
•
•
•
Dinámicos: Dinámicos: Utili Utiliza zado dos s para para repr repres esen enta tarr siste sistema mas s cuyo cuyo esta estado do varí varía a con con el tiempo. Estáticos: Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo. Matemáticos: Matemáticos: Repr Repres esen enta tan n la real realid idad ad en form forma a abstr abstrac acta ta de muy muy dive divers rsas as maneras. Físicos: Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible, construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.). Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el siste sistema ma cons consist iste e en oper operar ar con con esas esas fórm fórmul ulas as mate matemát mática icas s (res (resol oluc ució ión n de ecuaciones). Numéricos: Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos •
•
•
•
Continuos: Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas. Discretos: Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua. Determinísticos: Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es única y siempre la misma. Estocásticos: Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repe repeti titi tivo vo.. No se pued puede e ase asegura gurarr cuá cuáles les acci accion ones es ocur ocurrren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución equiprobable dentro del intervalo).
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos •
Es inte intere resa sant nte e dest destac acar ar que que algu alguna nas s vece veces s los los mode modelo los s y los los sist sistem emas as no pertenecen al mismo tipo.
Por Por ejem ejempl plo: o: •
El estu estudi dio o del del movi movimi mie ento nto del del flui fluid do por una una cañe cañerí ría a (Flui Fluido dod diná inámica mica)) corr corres espo pond nde e a siste sistema mas s cont contin inuo uos. s. Sin Sin emba embarg rgo o si el fluid fluido o se lo discr discreti etiza za dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un s i s tema
continuo por un mod odel elo o dis cret creto o.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos El aza zarr en comp mpu utadora es pseudo azar: •
Medi Median ante te un algo algori ritm tmo o mate matemá máti tico co se gene genera ran n núme número ros s al azar azar con con una una distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio. •
tico o es re En est ste e caso, un s i s tema es tocás tic repr pres esen enta tado do po porr un modelo
ps eudoazar ( determi determiní níss tic tico) o)..
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos según la I.O. Modelo Modelo Matemá Matemátic tico o Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de rela relaci cion ones es mate matemá máti tica cas s y supo supone ne que que toda todas s las las vari variab able les s rele releva vant ntes es son son cuantificables. Por ende tiene una solución optima. Mode Modelo lo de Simu Simula laci ción ón Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo entrega soluciones aproximadas.
Modelo Modelo Heurís Heurístic tico o Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada, dada dada una una solu soluci ción ón actua actuall del del mode modelo lo,, gene genera ralm lmen ente te son son proc proced edim imie ient ntos os de búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Tópicos relacionados Anális Análisis is Estadí Estadísti stico co
•
Simulación
•
Progra Programac mación ión Lineal Lineal
•
Sist Siste ema de Red Redes
•
Líne Línea as de Espe Espera ra
•
Prob Proble lema mas s de Inven Inventa tari rio o
•
Prog Progra rama maci ción ón No - Linea ineall
•
Progra Programac mación ión Dinámic Dinámica a
•
Progra Programac mación ión Entera Entera
•
Teoría eoría de Deci Decisi sion ones es
•
Teorí eoría a de Jueg Juegos os
•
INVESTIGACION DE OPERACIONES El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte. •
Una Una cien ciencia cia por por el uso de técn técnic icas as mate matemá máti tica cas s para para la reso resolu lució ción n de los los
problemas. •
Un arte arte ya que que la form formu ulaci lación ón del mod modelo elo depe depend nde e en gra gran par parte de la creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador. investigador.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Etapas para puesta en práctica 1. Def Definició inición n de dell prob robllema: Alternativas Alternativas de decisión (vars. de decisión). decisión). El objetivo de estudio (Función Objetivo). Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
• • •
2. C ons tru trucc c i ón del modelo: •
Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión, la Función Objetivo y las restricciones.
3. S oluc olucii ón del modelo: • •
Uso de algoritmos de optimización. Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Va Vallida idación ción de dell mod ode elo: •
¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema estudiado?
5. P ues ta en pr práctic áctica: a: •
Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACION LINEAL FORMULACION MATEMATICA
PROBLEMA GENERAL METODO GRAFICO
METODO ALGEBRAICO (SIMPLEX)
PROBLEMAS ESPECIALES PROBLE PROBLEMA MASS DE TRA TRANSP NSPORT ORTEE
PROBLE PROBLEMA MASS DE ASIG ASIGNA NACIÓ CIÓN N
PROGRAMACIÓN LINEAL Es un métod todo matemático que se emplea para resol solver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supu Supue estos stos de la P.L. .L.
Proporcionalidad
•
Aditividad
•
Divisibilidad
•
Certidumbre
•
Objetivo único
•
No negatividad
•
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBL PRO BLEM EMA A DE LA ME MEZC ZCLA LA DE PR PRO ODU DUCT CTOS OS Una compañ compañía ía fabric fabrica a dos tipos tipos de compon component entes es electr electróni ónicos cos:: transi transistor stores es y bobinas. Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque. Cada bobina requiere requiere dos minutos minutos de tiempo en ensamble, ensamble, un minuto minuto de tiempo tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque. Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como c omo las bobinas contribuyen c ontribuyen en un sol (S/)a (S/ )a la utilidad. La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar Maxi mizar las uti utilidades lidades de la c ompañía (U (U). ).{{ s oles /dí día} a} Paso 2: Identificar 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X 1….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día} X 2….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día} Paso 3: Identificar 3: Identificar las restricciones del modelo
R 1) Tiem Ti empo po dis ponible en el dep depto. to. de E ns amb mble le por día 300 min. min. R 2) Tiem Ti empo po dis ponible en el dep depto. to. de C . C alida lidad d por día de 400 400 min. R 3) Tiem Ti empo po dis ponible en en el depto depto.. de E mp mpa aque por día de 400 400 min.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo MA X U = X 1 + X 2 S ujeto uj eto a : R 1) X 1 + 2X 2 300 R 2) 2X 2X 1 + X 2
400
R 3) X 1 + 2X 2
400
R 4) X 1 , X 2
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos EJERCI EJERCICIO CIO PROPUES PROPUESTO TO El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por radiografía son S/.4 para la máquina A y S/.3 para la máquina B. ¿Cuántas radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?
S e pide: pi de: Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y las variables de decisión.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Mini Mi nimizar mizar los c os tos de pr proc oces es am amii ento (C). (C ).{{ s oles /dí día} a} Paso 2: Identificar 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X 1….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día} X 2…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día} Paso 3: Identificar 3: Identificar las restricciones del modelo
R 1) C apa paci cida dad d de proces proc esa amient miento o de ra r ad. en la ma maquina A de 80. R 2) C apa paci cida dad d de proces amient miento o de rad. en la ma maquina quina B de 100. R 3) C apa paci ci da dad d mínima míni ma del depa deparr ta tament mento o de 150 ra r ad. por día.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo MIN MI N C = 4X 1 + 3X 2 S ujeto uj eto a : R 1) X 1 R2)
80 2 X
100
R 3) X 1 + X 2 R 4) X 1 , X 2
150 0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PRO PROBLEM BLEMA A DE LA DIET DIETA A La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones.
libra libra componente componente por por libra libra de alimento ganado A. A. ganado
Proteinas
Fibr a
Costo US$/lb
Maíz Semilla Soya
0.09 0.60
0.02 0.06
0. 30 0. 90
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
¿….?
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Mini Mi nimizar mizar el cos to diari di ario o tota totall de la la mezcla de alimento( alimento(C C ).{ ). { dólar dólar es /día} dí a} Paso 2: Identificar 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X 1….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día} X 2…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día} Paso 3: Identificar 3: Identificar las restricciones del modelo
R 1) R equeri equerimient mientos os de alimentos limentos de por por lo menos menos 800 lbs lbs .al día R 2) R eq equerimient uerimiento o de prote proteínas ínas de por por lo meno menoss un 30% R 3) R eq equerimient uerimientos os de fibra de de cuando cuando mucho mucho un 5%.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo MIN MI N C = 0.3X 1 + 0.9X 0.9 X 2 S ujeto uj eto a : R 1) X 1 + X 2
800
R 2) 0.09 0.09X X 1 + 0.6X 0.6 X 2
0.3(X 1 + X 2 ) )
R 3)0.0 3)0.02 2 X 1 + 0.06X 0.0 6X 2
0.05(X 1 + X 2 ) )
R 4) X 1 , X 2
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso Paso 4.1: 4.1: Construcción Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo M I N C = 0.3X 0.3 X 1 + 0.9X 2 S ujeto uj eto a : R 1) X 1 + X 2
800
2 R 2) 0.21 0.21X X 1 - 0.30 .30X
0
2 R 3)0.0 3)0.03 3 X 1 - 0.01 .01X
0
R 4) X 1 , X 2
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBLE PROBLEMA MA DE TRAN TRANSP SPOR ORTE TE Consi Conside dere re el prob problem lema a que que enfr enfren enta ta el depa depart rtam amen ento to de plan planif ifica icació ción n de la compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales. Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es dete determ rmin inar ar qué qué plan planta tas s debe deben n abas abaste tece cerr a que que alma almace cene nes s de mane manera ra que que minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70, 90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Planta 1 2 3
1 19 70 40
Se pide: Formular como un PPL.
Almacén 2 30 30 8
3 50 40 70
4 10 60 20
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso Pa so 1: 1: Identificar Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Mini Mi nimiz mizar ar el c os to tota totall de trans por porte te (C ). ).{{ u. u.m/ m/mes mes}} Paso 2: Identificar 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
Xij….Cantidad Xij….Cantid ad a enviar de la planta planta “i” al almacén “j” mensualmente mensualmente {uds/mes} {uds/mes}
i = 1,2,3
/ j = 1,2,3, 1,2,3,4 4
Paso 3: Identificar 3: Identificar las restricciones del modelo
R 1) C apa paci cida dad d mens mens ual de produc produc ci ción ón planta planta 1 de 70 70 R 2) C apa paci cida dad d mens mens ual de produc produc ci ción ón planta planta 2 de 90 90 R 3) C apa paci cida dad d mens mens ual de produc produc ci ción ón planta planta 3 de 180 180 R 4) R equerimi equerimiento entoss del al alma macén cén 1 para para Marz Marzo o de 50 R 5) R equerimi equerimiento entoss del alm lma acén 2 para para Marz Marzo o de 80 R 6) R equerimi equerimiento entoss del alm lma acén 3 para para Marz Marzo o de 70 R 7) R equerimi equerimiento entoss del alm lma acén 4 para para Marz Marzo o de 140
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso Paso 4.1: 4.1: Construcción Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MinC Mi nC =19X11+70X21+40X31 =19X11+70X21 +40X31+30X12 +30X12+30X22 +30X22+8X32+50X +8X32+50X13+40X 13+40X23+70X 23+70X33+10X 33+10X14+60X 14+60X24+20X 24+20X34 34 S ujeto uj eto a : R 1) X11+ X11+X12+X13+ X12+X13+X14 X14
70
R 2) X21+X22+X23+X24 X21+X22+X23+X24
90
R 3) X31+X32+X33+X34 X31+X32+X33+X34
180
R 4) X11+ X11+X21+X31 X21+X31
50
R 5) X12+X22+X32 X12+X22+X32
80
R 6) X13+X23+X33 X13+X23+X33
70
R 7) X14+X24+X34 X14+X24+X34
140
R 8) Xij Xij
0
i , j
Modelo General de PL Definición de variables: Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n Función objetivo: Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m a11X1 a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn · . · . ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn · . · . am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn Condiciones de signo para variables: toda xj m = # total de restricciones, n = # de variables de decisión (originales)
0
= =
b1 b2
=
bi
=
bm
Ejercicios (Proponer el Modelo) 1. Disponemos Disponemos de 210000 210000 soles para invertir invertir en bolsa. Nos recomiendan recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% anualmente y las las del del tipo tipo B, que que rind rinden en el 8% anua anualm lmen ente te.. Deci Decidi dimo mos s inve invert rtir ir un máximo de 130000 soles en las del tipo A y como mínimo 60000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea men menor que que el dobl doble e de la inve invers rsió ión n en B. ¿Cu ¿Cuál tien tiene e que ser ser la distribución de la inversión para obtener la máxima utilidad anual? 2. En una pasteler pastelería ía se hacen hacen dos tipos de tortas: tortas: Vienes Vienesa a y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 25 soles, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 40 soles. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pued pueden en hace hacerr mas mas de 125 125 tort tortas as de cada cada tipo tipo.. ¿Cuán ¿Cuánta tas s tort tortas as Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
Métodos de Resolució Resolución n Método Grá Método Gráfic fico o Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener obtener regiones de soluciones factibles (RSF), (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo. Método Al Método Algeb gebrai raico co (SI (SIMPLE MPLEX) X) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.
METODO GRAFICO
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBL PRO BLEM EMA A DE LA ME MEZC ZCLA LA DE PR PRO ODU DUCT CTOS OS Un fabr fabric ican ante te prod produc uce e dos dos tipo tipos s de Trici ricicl clos os de Carg Carga, a, los los cual cuales es debe deben n procesarse a través de dos centrales de Producción Mecánica. La Central I tiene un máximo de 120 horas disponibles, y la central II tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura del Triciclo que tiene un costo de fabricación de S/. 300 requiere de 6 horas en la central I y 3 horas en la Central II. La fabricación del triciclo que tiene un costo de fabricación de S/. 320.00 requiere 4 horas en la Central I y 10 horas en la central II. Si se venden a S/. 345 y S/. 375 respectivamente ¿En que cantidad se debe fabricar de ambos para tener la máxima utilidad?
Función Objetivo y Restricciones CENTRALES
TRICICLO X2
Central 1 Central 2 Utilidad
TRICICLO X2
6 3
4 10
45
55
Función Objetivo: (Max) Z
= 45 X1
Restricciones:
(1)6 x1 4 x2
120
( 2)3 x1 10 x2
180
+
55X 2
DISPONIBILIDAD
120 180
Resolución Resoluci ón por el Método Gráfico 2
1 0.8181 0
1
2
Título del gráfico 35 30 25 20 15 10 5 0 0
10
20
30
40
50
60
70
Resolución Algebraica *3 *-6
X1 6 3 18 - 18 0
+ + + +
X2 4 10 12 - 60 - 48
= = = =
120 180 360 -1080 - 720
x2
=
15
X1
=
10
Z MAX
=
1275
Ejercicio de Aplicación.- (Caso de de Minimización) Minimización) La fábrica de papel caritg y Papelera Peruana producen tres tamaños de papel bond satinado de 80 grms. -
Oficio Carta Oficial
Se tiene un requerimiento para la zona sur de 16 Tm de papel tamaño oficio, 5 Tm de tamaño carta y 20 TM de tamaño oficial. Los costos de operación son de S/. 1000 por día para la fabrica CARITG y S/. 2000 por día para la fábrica PAPELERA PERUANA. La producción de la fabrica CARITS por día es de 8 TM de papel tamaño oficio, 1 TM de tamaño carta y 2 TM T M de tamaño oficial. La producción de la fábrica PAPELERA PERUANA por día es de: 2 TM de tamaño oficio, 1 TM de tamaño carta y 7 TM tamaño oficial. ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionado requerimiento requerimiento en la forma más económica posible?
OFICIO CARTA OFICIAL Función Función Objetivo Objeti vo MIN Z =
CAR I TS
PAPEL PER
X1 8 1 2
X2 2 1 7
TOTAL 16 5 20
1000X1
+
2000X2
8X1 +2X2 >= 1X1 +1X2 >= 2X1 +7X2 >= ( X1, X2) >=0
16 5 20
RESTRICCIONES R1 R2 R3 R4
2 Pe ndi e nte
-0.5 1 0.5 0
1
2
Título del gráfico 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
6 X2 R 1
X2 R 2
8 X2 R 3
10
12
Resolución Algebraica -0.21
X1 1 0.21 -0.21 0.21 0
+ + +
X2 1 0.3 -0.21 -0.3 -0.51
= = = =
800 0 -168 0 -168
x2
=
329.411765
X1
=
470.588235
Z MIN
=
437.65
METODO SIMPLEX
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el desarrollo de la computadora computadora hizo posible posible la solución solución de problemas problemas grandes planteados planteados con la técnica matemática de programación lineal. El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de GaussJordan y Jordan y apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa hasta que la solución obtenida converge a converge a lo que se conoce como óptimo.. El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•
La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
•
(vértice) del conjunto de soluciones factibles. El núme número ro máxi máximo mo de punt puntos os extr extrem emos os (vért (vértice ices) s) por por revi revisa sarr en la búsq búsque ueda da de la
•
solución óptima del problema es finito.
El Modelo SIMPLEX
Criterios Básicos del Método Simplex
Variables de Holgura y Variables Variables Artificiales Artifi ciales FUNCION signo OBJETIV O <= = >= Max +S +A -S+A Mi n +S +A -S+A
PIBOTE SOLUCION Variable de Variable de OPTIMA OPTIMA Entrada Sal i da Cj-Zj ayor Posi ti v Me nor Posi t Cj - Zj <= 0 ayor Posi ti v Me Me nor Posi ti Cj - Zj <= 0
EXTRAS
Coe f A-M Coe f A+M
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos SIMPLEX Caso de MAXIMIZACION Ejem Ejempl plo o tene tenemo mos s el sigu siguie ient nte e mode modelo lo mate matemá máti tico co
F.Objetivo MA X U = X 1 + X 2 S ujeto uj eto a : R 1) X 1 + 2X 2 300 R 2) 2X 2X 1 + X 2
400
R 3) X 1 + 2X 2
400
R 4) X 1 , X 2
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos SIMPLEX RESTRICCIONES PARA EL METODO SIMPLEX MAX Z =
X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
R1
X1 + 2X2 + S1
R2
2X1 + X2
R3
X1 + 2X2
R4
(X1,x2,S1,S2,S3)>=
= 300 + S2
= 400 + S3
= 400 0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos SIMPLEX
Cj 0 0 0
MEZCLA DE CANTIDAD PRODUCTOS S1 300 S2 400 S3 400 Zj 0 Cj-Zj
1 X1 1 2 1 0 1
Pibote 1 X2 2 1 2 0 1
0 S1 1 0 0 0 0
0 S2 0 1 0 0 0
Después de muchas iteraciones se llega al resultado óptimo
0 S3 0 0 1 0 0
bi /ai j 300 200 400
PROGRAMACIÓN LINEAL METODO SIMPLEX EJERCICIO DE APLICACIÓN APLICACIÓN La fábrica de bicicletas “ANDA”, produce cuatro modelos de bicicletas de carrera: ANDA – HH, ULTRA, CAMPEÓN (niquelado), SUPER ANDA, los
que tiene que pasar por los siguientes departamentos: corte y Suministros, Taladro, Pintado y Ensamblaje. Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes: DEPARTAMENTO CORTE Y SUM. TALADRO PINTADO ENSAMBLAJE CONTRIB. X U.
ANDA H-H 0,5 2,00 0,5 3,0 S/. 18
PRODUCTO ULTRA CAM PEON 1,0 1 ,0 1,0 1 ,0 0,5 -1,0 1 ,0 S/. 20 S/. 17
SUPER A. 0,5 1,0 1,0 3,0 S/. 16
CAPACIDAD DE PLANTA 1800 hrs 3800 hrs 2000 hrs 5000 hrs
REQUERIMIENTO REQUERIMIENTO M INIMO DE VENTAS ANDA H-H 100 unidades ULTRA 300 unidades CAMPEON 400 unidades SUPER ANDA 400 unidades
a) Determinar la cantidad de bicicletas por modelo que habrá que fabricar fabricar para maximizar la contribución. b) Determinar la contribución total máxima por este mes.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos SIMPLEX caso de MINIMIZACIÓN Función Objetivo MIN Z =
1000X1 + 2000X2 + 0S1 +0S2 +0S3 + A1 + A2 + A3
RESTRICCIONES R1 R2 R3 R4
8X1 +2X2 -S1 1X1 +1X2 -S2 2X1 +7X2 -S3 ( X1, X2) >=0
+ A1 +A2 + A3
= = =
16 5 20
Se tra traba baja ja primer primero o una una func función objeti objetivo vo artific artificial ial Z* donde los coeficientes coefi cientes estruc e structurales turales (del problema) y de holgura son " 0" 0" y los coeficie ntes de las variables variable s estructurales estructurales son "1" MIN Z*
=
0X1 + 0X2 + 0S1 +0S2 +0S3 + A1 + A2 + A3
R1 R2
8X1 +2X2 -S1 1X1 +1X2 -S2
+ A1 +A2
= =
16 5
PROGRAMACIÓN LINEAL METODO DE 2 FASES PRIMERA FASE
Cj 1 1 1
MEZCLA DE CANTIDAD PRODUCTOS A1 16 16 A2 5 A3 20 Zj ZJ- CJ
0 X1 8 1 2 11 11
0 X2 2 1 7 10 10
0 S1 -1 0 0 -1 -1
0 S2 0 -1 0 -1 -1
0 S3 0 0 -1 -1 -1
1 A1 1 0 0 1 0
1 A2 0 1 0 1 0
1 A3 0 0 1 1 0
SEGUNDA FASE
MIN Z Cj 1000 0 2000
=
1000X1 + 2000X2 - 0S1 -0S2 -0S3 + A1 + A2 + A3
MEZCLA DE CANTIDAD PRODUCTOS X1 1.0000 S3 10.0000 X2 4.0000 Zj 9000 ZJ-CJ
1000 X1 1.0000 0.0000 0.0000 1000 0
2000 X2 0.0000 0.0000 1.0000 2000 0 00
0 S1 -0.1667 0.8333 0.1667 167 166 67
0 S2 0.3333 -8.6667 -1.3333 -2333 -2333 33
0 S3 0.0000 1.0000 0.0000 0 0 00
bi /ai j -6 12 24.0000006
bi /ai j 2 5 10
PROGRAMACIÓN LINEAL METODO SOLVER
PLANTEAMIENTO PARA SOLVER UTILID UTILIDAD AD
NUME NUMERO RO DE OPERA OPERACIO CIONE NES S V AR ARIABLE
ANDA H-H ULTRA CAMPEON SUPER ANDA
CORTE TALADRO PINTADO ENSAMBLAJE
170 160
X1 X2 X3 X4
X1 0. 5 2. 0 0. 5 3. 0
X2 1. 0 1. 0 0. 5 1. 0
180 200
CANTIDAD
0 0 0 0 Max imizar Z =
X3 1. 0 1. 0 0. 0 2. 0
TOTAL S/. 0 0 0 0 0
X4 0.5 1.0 1.0 3.0
RESTRICCIONES
0.0 0.0 0.0 0.0
LIMITE 1800 3800 2000 5000
PROGRAMACIÓN LINEAL METODO SOLVER
RESULTADOS DE SOLVER UTIL UTILID IDAD AD
NUME UMERO DE OPE OPERA RAC CIONE IONES V AR ARIABLE
ANDA H-H ULTRA CAMPEON SUPER ANDA
18 20 17 16
X1 X2 X3 X4
CANTIDAD
720 840 400 400 Max imizar Z =
TOTAL S/. 12960 16800 6800 6400 42960