Problemas de Teoría de Juegos Fichero W823.doc
Winston página 823, problema 1. ENUNCIADO [Usando la teoría de esta sección] Determine el valor y las estrategias óptimas del juego de dos personas con suma cero de la tabla 15. Tabla 15 2 0
1 2
3 3
ENUNCIADO El jugador 1 escribe un entero entre 1 y 20 en un trozo de papel. Sin mostrar el papel al jugador 2, le dice lo que ha escrito. El jugador 1 puede mentir o decir la verdad. Entonces, el jugador 2 debe adivinar si el jugador 1 ha dicho o no la verdad. Si descubren que es mentira, el jugador 1 debe pagar 10 dólares al jugador 2. Si lo acusaron falsamente de mentir, el jugador 1 cobra 5 dólares al jugador 2. Si el jugador 1 dice la verdad y el jugador 2 adivina que el jugador 1 ha dicho la verdad, entonces el jugador 1 debe pagar 1 dólares al jugador 2. Si el jugador 1 miente y el jugador 2 no adivina que ha mentido, entonces el jugador 2 paga 5 dólares al jugador 1. Determine el valor de este juego y la estrategia óptima de cada jugador. Winston página 823, problema 3. ENUNCIADO Encuentre el valor y las estrategias óptimas para el juego de dos personas de suma cero de la Tabla 16. TABLA 16 2
1
3
4
3
2
SOLUCIÓN Primero analizamos si hay estrategias dominadas. Para el jugador de columnas es claro que la primera estrategia está dominada por la segunda. Por tanto simplificando tenemos: 1
3
3
2
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Usando estrategias simples tenemos que maximinjaij = 2 ≠ minjmaxiaij=3, luego no existen estrategias simples óptimas. Por tanto, usamos estrategias mixtas. Sean: x1 = 1-x1 = y1 = 1- y1=
probabilidad de que el jugador 1 elija la estrategia 1. probabilidad de que el jugador 1 elija la estrategia 2. probabilidad de que el jugador 2 elija la estrategia 1. probabilidad de que el jugador 2 elija la estrategia 2.
Determinación de la estrategia óptima del jugador 1: Es la solución de la ecuación:
x1 + 3(1 − x1 ) = 3x1 + 2(1 − x1 )
que corresponde al punto de corte de las dos rectas que intervienen. De donde, x1 =1/3 y, por tanto, la estrategia óptima para jugador 1 es (1/3,2/3). Sustituyendo en cualquiera de los miembros de la ecuación anterior se tiene que el valor del juego es 7/3. Con esto aseguramos que para cualquier estrategia mixta que elija el jugador 2, la recompensa esperada del jugador 1 sea como mínimo 7/3. Determinación de la estrategia óptima del jugador 2: Como la matriz de pagos es simétrica la estrategia óptima es la misma que para el jugador de filas, es decir, es (1/3,2/3) y su valor del juego también es 7/3. Con esto aseguramos que para cualquier estrategia mixta que elija el jugador 1, el jugador 2 no pagará mas de 7/3.
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ALTERNATIVA Este problema se ha resuelto usando la ecuación asociada al planteamiento teórico dado en clase. Se obtienen los mismos resultados si usamos las fórmulas explícitas ya utilizadas en los problemas 1 y 2. δ = a11 + a22 − a12 − a21 = 1+2−3−3= −3 x1* =
a22 − a21 2-3 1 = = , δ −3 3 y
v* =
y1* =
a22 − a12 2 − 3 1 = = δ −3 3
a11 a22 − a12 a 21 1 ⋅ 2 - 3 ⋅ 3 7 = = δ −3 3
Por tanto, la solución es: para el jugador de filas ( 1/3, 2/3) Y para el jugador de columnas: (1/3, 2/3) Y el valor del juego es: 7/3 La interpretación gráfica de lo anterior es obvia (partiendo de la tabla en la que se ha eliminado la estrategia 2).
4
3
(1/3,7/3)
2
1
0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X1
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Winston página 823, problema 4. ENUNCIADO Para el ejercicio 3 [anterior al presente], demuestre que si el jugador 1 se aparta de su estrategia óptima, entonces, el jugador 2 puede asegurar que el jugador 1 gane una recompensa esperada que es menor que el {7/3} del juego.
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Winston página 823, problema 5. ENUNCIADO Para el ejercicio 3, demuestre que si el jugador 2 se desvía de su estrategia óptima, entonces el jugador 1 puede tener la seguridad de que ha de ganar una recompensa esperada que es mayor que el (7/3) del juego. ENUNCIADO Dos empresas competidoras deben determinar en forma simultánea cuánto fabricar de un producto. La ganancia total de las dos empresas es siempre 1000 dólares. Si la capacidad de producción son 300 dólares. Si capacidad de producción de la empresa 1 es baja y la de la empresa 2 también es baja, las utilidades de la empresa 1 son 500 dólares. Si capacidad de producción de la empresa 1 es baja y la de la 2 es alta, las ganancias de la empresa 1 son 400 dólares. Si el nivel de producción de la empresa 1 es alto y también el de la 2, entonces la utilidad de la empresa 1 es de 600 dólares, pero si la producción de la empresa 1 es alta mientras de la 2 es baja, entonces las utilidades de la empresa 1 sólo son 300 dólares. Determine el valor y las estrategias óptimas para este juego con suma constante. ENUNCIADO La Universidad del Estado jugará ante el Ivy College por el campeonato de tenis. El equipo de la Universidad tiene dos jugadores, A y B, y el Ivy College tres, X, Y, y Z. Se conoce lo siguiente acerca de las capacidades relativas de los jugadores: X siempre le gana a B. Y siempre le gana a A. A siempre le gana a Z. En cualquier otro encuentro, todo jugador tiene una probabilidad ½ de ganar. Antes del juego, el entrenador de la Universidad debe determinar quién jugará el primer individual y quién el segundo. El entrenador de Ivy College, después de haber seleccionado los jugadores para los dos individuales, también debe determinar quién jugará el primero y quién el segundo. Suponga que cada entrenador desea maximizar el número esperado de encuentros individuales que gane su equipo. Utilice la teoría de los juegos para determinar las estrategias óptimas para cada entrenador y el valor del encuentro para cada equipo.
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