INVESTIGACION OPERATIVA Problema 1
Una planta recicladora de papel procesa papel de cajas, papel tissue, papel de impresión y papel para libros y produce pulpa para tres tipos de papel reciclado. Los precios por tonelada y los contenidos de pulpa de cada materia prima se muestran en la tabla. Para transforma transformarr la materia materia prima en pulpa, se pueden usar dos métodos, métodos, de-inking de-inking y dispersión asfáltica. Cuesta $20 el proceso de de-inking por tonelada de cualquier materia prima. El proceso de de-inking saca el 10% de la pulpa de la materia prima, dejando el 90% de la pulpa original. Cuesta $15 aplicar el proceso de dispersión asfáltica a una tonelada de materia materia prima. Este proceso proceso saca el 20% de la pulpa. A lo sumo 3000 toneladas toneladas de materia materia prima prima pueden pueden proces procesars arse e median mediante te dispers dispersión ión asfált asfáltica ica o el proces proceso o de-ink de-inking ing.. El papel papel reciclado de tipo 1, sólo se puede producir a partir de la pulpa de papel de impresión o de papel para libros; el de tipo 2, sólo a partir de papel para libros, papel tissue o papel de cajas; el de tipo 3, sólo con papel de impresión, papel tissue o papel de cajas. Para satisfacer la demanda actual, la compañía necesita 500 toneladas de pulpa para el papel tipo 1, 500 toneladas de pulpa para7 el papel tipo 2 y 60 toneladas para el papel tipo 3. Formular un LP que minimice los costos de satisfacer la demanda de pulpa.
Costo
Contenido de pulpa
papel de cajas
$5
15%
papel tissue
$6
20%
papel de impresión
$8
30%
papel para libros
$10
40 %
Variables de decisión:
x1: nº de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de-inking y1: nº de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de impresión asfáltica x2: nº de toneladas de papel tissue sometido al proceso de-inking y2: nº de toneladas de papel tissue sometido al proceso de impresión asfáltica x3: nº de toneladas de papel de impresión sometido al proceso de-inking y3: nº de toneladas de papel de impresión sometido al proceso de impresión asfáltica x4: nº de toneladas de papel para libros sometido al proceso de-inking y4: nº de toneladas de papel para libros sometido al proceso de impresión asfáltica Función objetivo: 1
Minimizar los costos de producción: Costos de materia prima 5(x1 + y1) + 6(x2 + y2) + 8(x3 + y3) + 10(x4 + y4) = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 + 5y1 + 6y2 + 8y3 + 10y4 Costos para transformar la materia prima en pulpa 20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 15y1 + 15y2 + 15y3 + 15y4 Obtenemos la función objetivo de minimización sumando ambos costos:
Min: Z = 25x1 + 26x2 + 28x3 + 30x4 + 20y1 + 21y2 + 23y3 + 25y4 Restricciones: A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante el proceso de-inking
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 3000 A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante el proceso de impresión asfáltica
y1 + y2 + y3 + y4 ≤ 3000 Demanda de pulpa para el papel de tipo 1 [pulpa obtenida del papel de impresión] + [pulpa obtenida del papel de libro] ≥ 500 [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y3)] + [0,1(0,4x4) + 0,2(0,4y4)] ≥ 500 0,03x3 + 0,04x4+ 0,06y3 + 0,08y4 ≥ 500
Demanda de pulpa para el papel de tipo 2 [pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de libros] ≥ 500 [0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x 2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,4x4) + 0,2(0,4y 4)] ≥ 500
0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,04x4 + 0,08y4 ≥ 500
Demanda de pulpa para el papel de tipo 3 [pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de impresion] ≥ 500 [0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x 2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y 3)] ≥ 60
0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 ≥ 60
Demanda de pulpa para el papel de tipo 4 [pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de impresion] ≥ 500 [0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x 2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y 3)] ≥ 500 2
0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 ≥ 500 Restricciones de no negatividad x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0,
x3 ≥ 0,
x4 ≥ 0
y1 ≥ 0,
y2 ≥ 0,
y3 ≥ 0,
y4 ≥ 0
Modelo matemático de Programación Lineal Variables de decisión:
x1: nº de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de-inking y1: nº de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de impresión asfáltica x2: nº de toneladas de papel tissue sometido al proceso de-inking y2: nº de toneladas de papel tissue sometido al proceso de impresión asfáltica x3: nº de toneladas de papel de impresión sometido al proceso de-inking y3: nº de toneladas de papel de impresión sometido al proceso de impresión asfáltica x4: nº de toneladas de papel para libros sometido al proceso de-inking y4: nº de toneladas de papel para libros sometido al proceso de impresión asfáltica Función objetivo:
Min: Z = 25x1 + 26x2 + 28x3 + 30x4 + 20y1 + 21y2 + 23y3 + 25y4 Restricciones:
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 3000 y1 + y2 + y3 + y4 ≤ 3000 0,03x3 + 0,04x4+ 0,06y3 + 0,08y4 = 500
0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,04x4 + 0,08y4 = 500 0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 = 60 x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0,
x3 ≥ 0,
x4 ≥ 0
y1 ≥ 0,
y2 ≥ 0,
y3 ≥ 0,
y4 ≥ 0
Problema 2
3
Resolver el siguiente programa por el método simplex, tomando en cuenta que los valores A, B, C y D de la función Objetivo son los 4 últimos dígitos de su código de la universidad. a) Muestre las tablas y los cálculos realizados en Excel. (4 puntos) b) Hallar el programa dual, y los valores de las variables duales a través de la última tabla del primal (2 puntos) a) Maximizar
s.a
Z = Ax1
+ Bx2 + Cx3 + Dx4
- x1
+ 2 x2 + 3 x3 + x4 ≥ 21
3x 1
+ 5 x2 + 7 x3 + x4 ≤ 124
x 1 + x2 − x3
+ x4 = 20
x 1 , x2 , x3 , x4
≥0
Mi código de alumno universitario es: 2012102810, entonces A = 2, B = 8, C = 1 y D = 0 Modelo de PL Maximizar: Z = 2x1 + 8x2 + x3 Sujeto a: -x1 + 2x2 + 3x3 + x4 ≥ 21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 ≤ 124 x1 + x2 - x3 + x4 = 20 x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Convertimos las restricciones a la forma ≤ x1 - 2x2 - 3x3 - x4 ≤ -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 ≤ 124 x1 + x2 - x3 + x4 ≤ 20 x1 + x2 - x3 + x4 ≥ 20 -> -x1 - x2 + x3 - x4 ≤ -20
Obteniendo: x1 - 2x2 - 3x3 - x4 ≤ -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 ≤ 124 x1 + x2 - x3 + x4 ≤ 20 -x1 - x2 + x3 - x4 ≤ -20 Estandarizamos el modelo, agregamos las variables de holgura 4
Maximizar: Z - 2x1 - 8x2 - x3 = 0 Sujeto a: x1 - 2x2 - 3x3 - x4 + x5 = -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 + x6 = 124 x 1 + x 2 - x 3 + x4 + x7 = 20 -x1 - x2 + x3 - x4 + x8 = -20
Aplicación del método simplex Tabla 1 (inicial) Var. Bas. Z
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
RHS
1
-2
-8
-1
0
0
0
0
0
0
X5
0
1
-2
-3
-1
1
0
0
0
-21
10,5
X6
0
3
5
7
1
0
1
0
0
124
24,8
X7
0
1
1
-1
1
0
0
1
0
20
20
X8
0
-1
-1
1
-1
0
0
0
1
-20
20
div
Entra en la base: Sale de la base: Pivote:
div
X2 X7 1
Tabla 2 Var. Bas. Z
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
RHS
1
6
0
-9
8
0
0
8
0
160
X5
0
3
0
-5
1
1
0
2
0
19
-3,8
X6
0
-2
0
12
-4
0
1
-5
0
24
2
x2
0
1
1
-1
1
0
0
1
0
20
-20 5
X8
0
0
0
0
0
0
Entra en la base: Sale de la base: Pivote:
0
1
1
0
inf.
X3 X6 12
Tabla 3 (final) Var. Bas. Z
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
RHS
1
4,5
0
0
5
0
0,75
0
178
X5
0
2,167
0
0
0,667
1
0,41 7
0
29
x3
0
0,167
0
1
0,333
0
0,08 3
0
2
x2
0
0,833
1
0
0,667
0
0
22
X8
0
0
0
0
0
0
4,25 0,08 3 0,41 7 0,58 3 1
1
0
0,08 3 0
Soluciones:
x1 = 0 x2 = 22 x3 = 2 F. objetivo: Z = 178
b) Obtención del modelo Dual a partir del primal 6
Modelo Dual: Min: C = -21y1+124y2 + 20y3 - 20y4 Sujeto a: y1 + 3y2 + y3 – y4 ≥ 2 -2y1 + 5y2 + y3 – y4 ≥ 8 -3y1 + 7y2 - y3 + y4 ≥ 1 -y1 + y2 + y3 – y4 ≥ 0 Soluciones del modelo Dual a partir de la última tabla de la solución Primal
Tabla final del modelo primal Var. Bas. Z
Z
X1
X2
X3
X4
X5
1
4,5
0
0
5
0
0,75 4,25
1
0,41 7 0,08 3
X5
0
2,167
0
0
0,667
x3
0
0,167
0
1
0,333
0
x2
0
0,833
1
0
0,667
0
X8
0
0
0
0
0
0
X6
0,08 3 0
X7
0,08 3 0,41 7 0,58 3 1
X8
RHS
0
178
0
29
0
2
0
22
1
0
Solución dual:
y1 = 0 y2 = 0,75 y3 = 4.25 F. Objetivo: C = 178 7
Problema 3
Una dieta ideal debería satisfacer los requerimientos nutricionales básicos, económicos, ser variado y ser agradable al paladar. Asumiendo que la lista de alimentos disponibles es la siguiente, ¿cuál es la dieta ideal?: Alimento
Cantidad (dosis)
Energía (kcal)
Proteínas (g)
Calcio (mg)
Precio (soles/dosis)
Límites (dosis/día)
Cereales
28 g
110
4
2
0.30
4
Pollo
100 g
205
32
12
2.40
3
Huevos
2 grandes
160
13
54
1.30
2
Leche
237 cc.
160
8
285
0.90
8
Dulces
170 g.
420
4
22
2.00
2
Carne
260 g.
260
14
80
1.90
2
De acuerdo con los nutricionistas, una dieta satisfactoria debe tener al menos 2000 kcal de energía, 55 g de proteínas, y 800 mg de calcio (las vitaminas y hierro serán aportadas a través de pastillas). Se han impuesto restricciones sobre el total de dietas por día de cada alimento, para atender el requerimiento de variedad. ¿Cuál es la mejor dieta que cumple con el criterio de mínimo costo? Variables de decisión:
x1: nº de dosis de cereales para una dieta ideal x2: nº de dosis de pollo para una dieta ideal x3: nº de dosis de huevos para una dieta ideal x4: nº de dosis de leche para una dieta ideal x4: nº de dosis de dulces para una dieta ideal x6: nº de dosis de carne para una dieta ideal Función objetivo:
Minimizar los costos: Min: Z = 0,30x1 + 2,40x2 + 1,30x3 + 0,90x4 + 2x5 + 1,90x6
8
Restricciones: Requerimiento de energía 110x1+ 205x2 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 Requerimiento de proteínas 4x1+ 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 Requerimiento de calcio 2x1+ 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 Restricciones de límites de dosis diaria x1 ≤ 4 x2 ≤ 3 x3 ≤ 2 x4 ≤ 8 x5 ≤ 2 x6 ≤ 2 Restricciones de no negatividad x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0,
x5 ≥ 0,
x6 ≥ 0
Modelo matemático de Programación Lineal Variables de decisión:
x1: nº de dosis de cereales para una dieta ideal x2: nº de dosis de pollo para una dieta ideal x3: nº de dosis de huevos para una dieta ideal x4: nº de dosis de leche para una dieta ideal x4: nº de dosis de dulces para una dieta ideal x6: nº de dosis de carne para una dieta ideal Función objetivo:
Min: Z = 0,30x1 + 2,40x2 + 1,30x3 + 0,90x4 + 2x5 + 1,90x6 Sujeto a: 110x1+ 205x2 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 4x1+ 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 2x1+ 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 0 ≤ x1 ≤ 4 0 ≤ x2 ≤ 3 9
0 ≤ x3 ≤ 2 0 ≤ x4 ≤ 8 0 ≤ x5 ≤ 2 0 ≤ x6 ≤ 2 ¿Cuál es la mejor dieta que cumple con el criterio de mínimo costo? 4 dosis de cereales, 4,5 dosis de leche y 2 dosis de dulces
Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Dieta AS.xls]Hoja1 Informe creado: 21/11/04 16:42:08
Celdas cambiantes Valor Gradiente Celda
Nombre
Igual
reducido
Coeficiente
Aumento
Disminución
objetivo
permisible
Permisible
$B$5
Dosis de producto Cereales
4
0
0,3
0,31875
1E+30
$C$5
Dosis de producto Pollo
0
1,246875
2,4
1E+30
1,246875
$D$5
Dosis de producto Huevos
0
0,4
1,3
1E+30
0,4
$E$5
Dosis de producto Leche
4,5
0
$F$5
Dosis de producto Dulces
2
0
2
0,3625
1E+30
0
0,4375
1,9
1E+30
0,4375
$G$5 Dosis de producto Carne
0,9 0,269230769 0,138095238
Restricciones
Celda
Nombre
$H$7
Energía
$H$8
Proteínas (en gas)
$H$9
Calcio (mg)
$H$10 Máxima dosis cereales
Valor
Sombra
Igual
precio
Restricción
Aumento
Disminución
lado derecho permisible
Permisible
2000
0,005625
2000
560
100
60
0
55
5
1E+30
1334,5
0
800
534,5
1E+30
4
-0,31875
4 2,756042539
4
10
$H$11 Máxima dosis pollo
0
0
3
1E+30
3
$H$12 Máxima dosis huevos
0
0
2
1E+30
2
4,5
0
8
1E+30
3,5
$H$14 Máxima dosis dulces
2
-0,3625
$H$15 Máxima dosis carne
0
0
$H$13 Máxima dosis leche
2 0,294117647 1,333333333 2
1E+30
2
Sobre la base de los resultados obtenidos del problema con SOLVER, responder cada pregunta en forma independiente:
a) ¿En qué consiste la dieta óptima? La dieta óptima consiste en: 4 dosis de cereales,
4,5 dosis de leche y 2 dosis de dulces
b) Si el costo de los cereales se duplicara hasta 0.60 céntimos por dosis. ¿Deberá ser removida de la dieta? No, ya que al duplicarse su costo su aumento sería de 0,3 soles sin embargo el aumento permisible en el costo de los cereales para permanecer en la dieta es de 0,31875 soles
c) Si el costo del pollo bajara a la mitad del costo actual, debería ser incorporado a la dieta? Aún no. Si el costo de pollo baja a la mitad su precio estaría disminuyendo 1,2 soles sin
embargo para que sea incorporado a la dieta debe bajar al menos en 1,246875
1,25 soles, es
decir su precio debería bajar a 1,15 soles o menos.
d) ¿A partir de qué precio los huevos entrarían en la dieta? A partir de: 1,30 – 0,40 = 0,90 soles
e) ¿Dentro de que intervalo podría variar el precio de la leche (redondear a 0.01 céntimos) para que la dieta perfecta siguiera manteniéndose como la óptima? Máxima reducción permisible = 0,138095238 0,13 11
Máxima aumento permisible = 0,269230769 0,26 0,90 – 0,13 = 0,77 0,90 + 0,26 = 1,16 Entonces la leche puede variar de 0,77 soles a 1,16 soles sin que se altere la dieta. f)
Durante los períodos de preparación de las Revisiones, se necesitaría incrementar el contenido en energía de 2000 kcal a 2200 kcal por día. ¿Cuál sería el costo adicional que resulta de esta modificación? Costo adicional = (2200 - 2000)∙(sombra precio) = 200(0,005625) = 1,125 soles
g) El médico del servicio de bienestar universitario recomienda que usted incremente el contenido de calcio en su dieta de 800 mg a 1200 mg. ¿Cuál es el impacto de esto en el costo total? Costo adicional = (1200 – 800)(sombra precio) = 400(0) = 0, entonces: Con este aumento no hay impacto alguno, el coste total permanece invariable.
h) Las papas cuestan 1.20 soles/dosis y disponen de un contenido de energía de 300 kcal, pero no contienen proteínas, ni calcio. ¿Debería ser parte de la dieta? No, con los datos dados no formaría parte de la dieta
12
