Fundamentos de Investigaci´on on de Operaciones El Problema de Transporte
15 de mayo de 2004
El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programaci´ on lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el m´ etodo etodo Simplex, existe un algoritmo simplificado especial para resolverlo.
1.
Form ormulac ulaci´ i´ on del Problema de Transporte on
1.1. 1.1.
Ejemplo Ejemplo de Form Formula ulaci´ ci´ on on
A modo de ejemplo, construyamos el modelo de programaci´ on lineal para el siguiente problema. on
Ejemplo 1 Una empresa e mpresa energ´ en erg´ etica etica dispone de tres plantas de generaci´ ge neraci´ on para satisfacer la demanda
el´ ectric ectrica de cuatro cuatro ciudades. ciudades. Las plantas plantas 1, 2 y 3 pueden pueden satisfac satisfacer er 35, 50 y 40 millones de [kWh] respectivamente. El valor m´ aximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la distancia que deba recorrer recorrer la energ´ energ´ıa. La siguien s iguiente te tabla ta bla muestra m uestra los costos de env´ıo ıo unitario un itario desde cada planta plan ta a cada ciudad. Formule un modelo de programci´ on lineal que permita minimizar los costos de satisfacci´ on de la demanda m´ axima en todas las ciudades. Hacia Desde
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Demanda (Millones kWh)
8 9 14
6 12 9
10 13 16
9 7 5
45
20
30
30
Oferta (Millones (Millones kWh) 35 50 40
En primer lugar debemos definir las variables de decisi´on on necesarias para representar las posibles decisiones que puede tomar la empresa energ´etica etica . En este caso, corresponde a la cantidad de energ´ energ´ıa que se debe enviar desde cada planta a cada ciudad, luego para i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4 : umero de millones de [kWh] producidos en la planta i enviadas a ciudad j umero xij = n´ En t´erminos erminos de ´estas estas variables, el costo c osto total de entregar e ntregar energ´ energ´ıa a todas t odas las ciudades ciudade s es: es : 1
(1.1)
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Segundo Semestre 2003
El Problema de Transporte
8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 +9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 +14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34
(Costo de enviar energ´ energ´ıa desde la Planta 1) (Costo de enviar energ´ energ´ıa desde la Planta 2) (Costo de enviar energ´ energ´ıa desde la Planta 3)
(1.2)
El problema tiene ti ene dos tipos tip os de restricciones. En primer lugar, la energ´ energ´ıa total suministrada por cada planta no puede exceder su capacidad. En este caso se habla de restricciones de oferta o suministro. Como existen tres puntos de oferta o sumistro, existen tres restricciones: x11 + x12 + x13 + x14 x21 + x22 + x23 + x24 x31 + x32 + x33 + x34
35 50 40
≤ ≤ ≤
(Re (Restri stricc cci´ i´ on de oferta de la Planta 1) on (Re (Restri stricc cci´ i´ on de oferta de la Planta 2) on (Re (Restri stricc cci´ i´ on de oferta de la Planta 3) on
(1.3)
En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permitan asegurar que se satisfaga la demanda demanda en las cuatro cuatro ciudades. ciudades. As´ As´ı, las restric restriccione cioness de demanda demanda para cada punto de demanda quedan: x11 + x21 + x31 x12 + x22 + x32 x13 + x23 + x33 x14 + x24 + x34
≥ ≥ ≥ ≥
45 20 30 30
(Res (Restr tric icci ci´ o´n de demanda de la Ciudad 1) on (Res (Restr tric icci ci´ o´n de demanda de la Ciudad 2) on (Res (Restr tric icci ci´ o´n de demanda de la Ciudad 3) on (Res (Restr tric icci ci´ o´n de demanda de la Ciudad 4) on
(1.4)
Evidentemente, cada xij debe ser no negativo, por lo tanto se agregan las restricciones xij ≥ 0 donde i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4. M´ as adelante demostraremos que la soluci´ as on on de este problema es z = 1020, x12 = 10, x13 = 25, x21 = 45, x23 = 5, x32 = 10 y x34 = 30. El resto de las variables vale cero. Por otro lado, es posible construir una representaci´ on on gr´ afica del problema (figura 1.1). afica Puntos de Oferta
Puntos de Demanda x 11
s1 = 35
1
x 2
Planta 1
12 = 1 0
1 3
=
=
Ciudad 1
d1 = 45
Ciudad 2
d2 = 20
Ciudad 3
d3 = 30
Ciudad 4
d4 = 30
4 5
=
x
0
1 3
x
x
2 5 x 22
s2 = 50
= 0
= 0
2
x 3
Planta 2
=
1 0
x
23 = 5
x 33
s3 = 40
= 0
x
1 4
Planta 3
x
2 4
= 0
=
0
x
34 = 3 0
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Segundo Semestre 2003
1.2. 1.2.
El Problema de Transporte
Formula ormulaci´ ci´ on on General
Un problema de transporte queda definido por la siguiente informaci´on: on: 1. Un conj conjun unto to de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta s i . 2. Un conj conjun unto to de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda d j . 3. Cada unidad unidad enviada enviada desde desde un punto punto de oferta oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte transporte cij Consideremos: = n´umero umero de unidades enviadas desde el punto de oferta i al punto de demanda j
xij
(1.5)
Luego, la formulaci´ on general del problema de transporte queda: on i=m i=1
j =n j =1 cij xij
Min st
j =n j =1 xij i=m i=1 xij
xij
≤
si
≥
d j
≥
0
(i = 1 . . . m) ( j = 1 . . . n) (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n)
(Restricciones de oferta) (Restricciones de demanda) (Res (Restr tric icci cion ones es de sign signo) o)
(1.6)
Si se satisface: j =n
i=m
i=1
si =
(1.7)
d j
j =1
se dice que el problema est´a balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se verifica que tando la suma de ofertas como las de las demandas es igual a 125. En el caso de un problema de transporte balanceado balanceado todas to das las restriccion restricciones es estar´ estaran a´n al l´ımite, por lo tanto la l a formulaci´ on queda: i=m i=1
j =n j =1 cij xij
Min st
j =n j =1 xij i=m i=1 xij
1.3. 1.3.
xij
= =
si d j
≥
0
(i = 1 . . . m) ( j = 1 . . . n) (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n)
Proble Problemas mas de Tran Transpor sporte te no Balanc Balancead eados os
(Restricciones de oferta) (Restricciones de demanda) (Res (Restr tric icci cion ones es de sign signo) o)
(1.8)
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Segundo Semestre 2003
El Problema de Transporte
cero. En general, el costo unitario no necesariamente debe ser igual a cero, basta co que tenga igual valor a todos los puntos de oferta disponibles de forma de no generar preferencias. Por simplicidad, se prefiere emplear cero. Para ilustrar el balanceo de un problema no balanceado, supongamos en el ejemplo anterior que la demanda de la ciudad 1 disminuye a 40 [kWh]. La Figura 1.2 ilustra la incoporaci´on on del punto de demanda artificial y entrega la soluci´ on on respectiva. Puntos de Oferta
Puntos de Demanda x 11
s1 = 35
= 0
1
Planta 1
x
12
x
13
= 15
=
x
1 4
=
x 2
2 0
2 x 3
s2 = 50
=
1
x 3
s3 = 40
Ciudad 2
d2 = 20
Ciudad 3
d3 = 30
Ciudad 4
d4 = 30
5
=
= 10
x23
Planta 2
d1 = 40
4 0
= 0
x 2 2
0
=
Ciudad 1
x
0
2 4 = 0
x 3 3
=
x34
Planta 3
0
= 30 x
2 5 =
x
35 = 5
x
1 5
0
= 0
d5 = 5
Artificial
Figura 1.2: Representaci´ on on gr´ afica del problema no balanceado afica
tableau de Una forma m´as a s pr´actica actica de representar un problema de transporte es mediante un tableau transporte. Una celda de la fila i y la columna j representa la variable x ij . Se suele incorporar en la esquina superior derecha de cada celda, el costo unitario cij de la combinaci´ on on i − j . En general, el tableau queda: Oferta c11
c12
c1n s1
···
c21
c22
c2n
.. .
.. .
.. .
cm1
cm2
cmn
s2
···
sm
···
Demanda
d1
d2
···
.. .
dn
Construy Construyendo endo el tableau tableau para el ejemplo ejemplo anterior anterior (caso balanceado) balanceado),, introducie introduciendo ndo la soluci´ solucion ´ optima, ´optima, se tiene:
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El Problema de Transporte
Ciu Ciudad dad 1 8 Planta 1 Planta 2 Planta 3 Demanda
9 45 14 45
Ciud Ciudad ad 2 6 10 12 9 10 20
Ciu Ciudad dad 3 10 25 13 5 16 30
Ciu Ciudad dad 4 9
Ofer ferta 35
7 50 5 30 30
40 40
En este caso se puede verificar que el problema est´a balanceado comprobando que la suma de la u ultima ´ ltima columna y la suma de la ultima u´ltima de la l a fila fil a es id´entica. entica. As´ As´ı como un problema problema de transporte transporte puede no estar balanceado balanceado cuando cuando la demanda demanda es inferior inferior a la oferta, oferta, tambi´ tambi´ en en es posible que la demanda demanda supere a la oferta. oferta. En este caso, se recurre recurre a un punto de oferta artificial con valor de oferta equivalente a la diferencia entre oferta y demanda, de modo de balancear balancear el problema. problema. En la may mayor or´´ıa de las situaciones situaciones,, el hecho hecho de no satisfacer satisfacer totalmente totalmente la demanda puede significar alg´ un un tipo de costo. Por lo tanto, tanto, en ´estos estos casos el costo unitario de las casillas ficticias suele no ser cero y puede variar de un punto de demanda a otro.
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2.
El Problema de Transporte
Reso Resolu luc ci´ on del Problema de Transporte on
2.1. 2.1.
Solu Soluci ci´ ´ on on Inicial
Consideremos un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de demanda. De acuerdo a la formulaci´ on vista anteriormente, el problema tendr´a m + n restricciones de on igualdad. Para proceder a describir algunos m´etodos etodos para encontrar una primera soluci´ on on inicial, es importante observar que si un conjunto de valores para las variables x ij satisface todas las restricciones salvo una, autom´ aticamente aticamente satisface la otra restricci´ restricci´ on. Por ejemplo consideremos que en el ejemplo on. anterior se sabe que los valores de las varibles satisfacen todas las restricciones, salvo la primera restricci´ on de oferta. Por lo tanto, los valores de las xij satisfacen d1 + d2 + d3 + d4 = 125 millones de on [kWh] y proveen s2 + s3 = 125 − s1 = 90 millones de [kWh] de las plantas 2 y 3. Por lo tanto, la planta 1 debe proveer 125 − (125 − s1 ) = 35 millones de [kWh], luego los valores de xij tambi´ tamb i´en en satisfa sat isfacen cen la primera restricci´on on de oferta. En lo sucesivo, para resolver el problema de transporte, consideraremos que se satisfacen m + n − 1 restricciones, omitiendo alguna. En forma arbitraria, omitiremos la primera restricci´on on de oferta. Evidentemente, cualquier colecci´ on on de m + n − 1 variables no necesariamente es una soluci´ on on factible para el problema. Consideremo Consideremoss el siguiente siguiente problema de transporte transporte (omitiremos (omitiremos los costos unitarios): unitarios): 4 5 3
2
4
En forma matricial, las restricciones del problema de transporte balanceado anterior puede ser escrito de la siguiente forma:
1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
x 0 xx 1 x 0 0 x 1
11 12 13 21 22
x23
45 = 3 2
(2.1)
4
Eliminando Eliminando la primera primera restricci´ restricci´ on de oferta el sistema se reduce a: on
x x 1 x 0 x 0 1 x
11
0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1
1 1 0 0
1 0 1 0
12 13 21 22
x23
5 = 3 2 4
(2.2)
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El Problema de Transporte
Para obtener una soluci´on on b´asica asica factible en forma simple introduciremos el concepto de loop. Definici´ on on 1 Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loop si:
1. Dos celdas celdas conse consecutiv cutivas as est´ est´ an en la misma columna o en la misma fila. 2. No tiene tres tres celdas celdas conse consecutiva cutivass en una misma column columna a o en una misma fila. 3. La ultima ´ celda de la secuencia tiene una fila o columna com´ un con la primera celda de la secuencia. Las figuras siguientes muestran algunos tipos de loop en dos tableaux de transporte:
Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un loop, pues no satisfacen todas las condiciones.
Teorema 1 En un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de demanda, las celdas correspondientes a un conjunto de m + n − 1 variables no contienen un loop s´ı y s´ olo ol o s´ı las la s n + m − 1 variables constituyen una soluci´ on inicial.
El teorema anterior se desprende del hecho de que en un conjunto de m + n − 1 celdas no contienen un loop lo op s´ı y s´ s olo o´l o s´ı las la s m + n − 1 columnas correspondientes a las celdas son linealmente independientes.
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El Problema de Transporte
de x11 debe ser el menor entre s1 y d1 . Si x11 = s1 , se puede descartar la primera fila pues ya no podr´ a asignarse m´ as desde el primer punto de oferta, se avanza a la siguiente fila. Al mismo tiempo, as se debe cambiar d1 por d1 − s1 , de forma de indicar la cantidad de demanda no satisfecha en el primer punto de demanda. En caso que x11 = d1 , se debe descartar la primera columna y cambiar s1 por s1 − d1 , avanzando una columna. Si x11 = d1 = s1 , se debe avanzar en una columna o en una fila (pero no en ambas). Se asigna un cero en la direcci´on on escogida y se descarta la otra alternativa. El m´etod et odo o conti co ntin´ n´ua ua aplicando el mismo criterio desde la esquina noroeste del tableau restante. Una vez que est´an an asignadas toda de demanda y oferta disponible, se terminan las asignaciones y est´ a completa la asignaci´ asignaci´ on on inicial. Apliquemos el m´etodo etodo al siguiente tableau (notar que no se incorporan los costos pues el m´etodo etodo no los emplea): 5 1 3 2
4
2
1
Comenzamos asignando la m´ axima cantidad posible por fila o por columna en la esquina noroeste. axima En este caso, controla la primera columna, luego: 2
3 1 3
× ×
0
4
2
1
A continuaci´ on, avanzamos una columna y en esta celda controla la fila, por lo tanto queda: on, 2
3
×
×
1
2
1
× ×
0
0 1 3
En este caso, la esquina m´as as noroeste noroeste disponible disponible es la celda 2-2. Aqu´ Aqu´ı, la demanda demanda y la oferta oferta se igualan. Arbitrariamente se escoger´a la celda inferior de la misma columna para asignar un cero:
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El Problema de Transporte
Finalmente, se completa el tableau haciendo la ultima u ´ltima asignaci´ on on factible: 2
3 1 0 0
× ×
0
×
×
×
×
2 0
1 0
0 0 0
En el tableau final se puede verificar las m + n − 1 asignaciones. Adem´ as se observa que la secuenas cia de celdas no no conforman ning´ un loop, por lo tanto, de acuerdo al teorema corresponde a una un asignaci´ on on inicial factible. M´etodo eto do de Vogel. El m´ etodo etodo comienza comienza calculando calculando por cada columna y por cada fila el castigo o penalty . El castigo se calcula como la diferencia entre los dos costos menores en la columna o en la fila seg´ un un corresponda. A continuaci´ on, se determina la fila o columna con un mayor valor de castigo. Luego, se selecciona on, como variable basal la celda con menor costo de la fila o columna, seg´ un corresponda, y se le asigna la m´ axima axima cantidad cantidad posible. Una vez realizada realizada la asignaci´ asignaci´ on, se descarta la fila o columna cuya oferta o demanda haya sido completa. Se recalcula la demanda u oferta disponible en la fila o columna. La primera asignaci´ on on se ha completado. Se vuelven a calcular los castigos por fila y por columna y se repite el procedimiento descrito hasta completar las asignaciones posibles en el tableau. La ventaja ventaja del m´ etodo etodo de Vogel por p or sobre el de la Esquina Esquina Noroeste Noroeste es que va adelante adelante algunas algunas iteraciones y por lo tanto se obtiene una soluci´ on inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que on aplicando el m´etodo etodo se llegue directamente a la soluci´ on on optima. o´ptima. La desventaja desventaja del m´etodo etodo de Vogel radica en que sin duda es m´as as complejo que el de la esquina noroeste, por lo tanto es m´as as dif´ıcil ıci l de implementar y m´ as proclive a errores en la aplicaci´ as on. on. Para ilustrar la aplicaci´ on on del m´etodo etodo veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente tableau de transporte: Oferta 6
7
8
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El Problema de Transporte
El mayor castigo entre filas y columnas se encuentra en la segunda columna. De ambas celdas, la de m´ınimo costo es la de costo unitario de 7, buscando buscando la m´ axima asiganci´ asiganci´ on por fila y por columna on controla la columna con una signaci´ on on m´ axima axima de 5 unidades. 6
7
15
5 80
Oferta
Castigo
5
8−6 = 2
15
78 − 15 = 63
8 78
×
Demanda Castigo
15 9
0 -
5 70
De los castigos recalculados, el mayor corresponde a la tercera columna. En este caso la celda de menor costo es la de la primera fila. Verificando la asignaci´ on on m´ axima por fila y por columna, controla axima la fila con una asignaci´ on on m´ axima axima de 5 unidades.
Demanda Castigo
6
7
8
15
5 80
5 78
×
×
0 -
0 -
15 9
Ofer Oferta ta
Cast Castigo igo
0
-
15
-
Luego, el unico u ´ nico castigo disponible (y por lo tanto el mayor) corresponde a la primera columna. En este caso, el m´ınimo costo corresponde corresponde a la primera primera fila. La m´ axima cantidad posible a asignar por columna es 15, pero por fila es 0. Por lo tanto, debemos asignar 0 unidades a la celda de menor costo.
Demanda
6
7
8
0 15
5 80
5 78
×
×
0
0
15
Ofer Oferta ta
Cast Castigo igo
0
-
15
-
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El Problema de Transporte
N´ otese otese que el n´umero umero de asignaciones es exactamente igual a m + n − 1 = 2 + 3 − 1 = 5. Eventualmente, el m´etodo etodo puede generar un n´ umero inferior de asignaciones. En dicho caso se completa umero las m + n − 1 asignaciones con ceros. En el caso de que falte s´olo olo una asiganci´ on, on, se puede ubicar un cero en cualquier casilla no asignada. En el caso que se requiera de dos o m´as as ceros, la asignaci´ on on no es tan arbitraria. M´as as adelante se definir´a qu´ e criterio emplear en dichos casos. Existen problemas de maximizaci´ on que pueden ser considerados como problemas de Transporte. on En este caso, los coeficientes cij est´an an asociado a los beneficios unitarios de la variable asociada a la combinaci´ on on i − j y el objetivo es maximizar la suma total de los aportes individuales de las variables. Se mantienen las restricciones de oferta y demanda. En los casos de maximizaci´ on, on, es preciso preciso alterar alterar los m´ etodos etodos para obtener obtener una soluci´ soluci´ on on inicial factible. factible. En el caso del m´ etodo etodo de la Esquina Esquina Noroeste, Noroeste, se debe intentar intentar asignar asignar la may mayor or cantidad cantidad posible a las casillas con mayor cij . En el caso del m´etodo etodo de Vogel, las castigos se calculan entre los dos mayores beneficios por fila y por columna. Al igual ig ual que el m´etodo etodo de la Esquina Noroeste, Noro este, se busca asignar la mayor cantidad posible a las casillas con mayor beneficio. 2.2.
El M´ etodo Simplex del Problema etodo Problema de Transporte ransporte
A continuaci´ on on se expondr´an an los pasos para aplicar el m´etodo etodo Simplex para el problema de Transporte. La deducci´on on y justificaci´on on detallada de cada uno de los pasos se puede encontrar en los textos de la bibliograf´ bibliograf´ıa de la asignatura. Paso 1 Si el problema no est´ a balanceado, balancearlo. Construir el tableau de transporte.
on inicial inicial factible factible por por el m´ etodo etodo de la Esquina Esquina Noroe Noroeste ste o el de Vogel. ogel. Paso 2 Encontrar una soluci´ Verificar las m + n − 1 asignaciones y completarlas si es necesario. Paso 3 Plantear y resolver el sistema que se obtiene a trav´ trav´es es de:
Definir para cada fila del tableau la variable ui con (i = 1 . . . m). Definir para cada columna del tableau la variable v j con ( j = 1 . . . n). Plantear para cada casilla asignada la ecuaci´ on ui + v j = cij . Donde cij es el costo unitario
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Segundo Semestre 2003
El Problema de Transporte
La variable eij representa el aporte neto unitario de la incorporaci´ on on de la variable i − j a la base. Por lo tanto, si el problema es de maximizaci´on, on, la soluci´ on on ser´a optima o´ptima si todos los eij < 0. En caso contrario, se ingresa a la base la variable con mayor eij que pueda formar un loop. En el caso de que al emplear emplear uno de los m´ etodos etodos para obtener obtener una soluci´ on on inicial falten dos o m´ as asignaciones para completar las m + n − 1 asignaciones requeridas, los ceros deben ser ubicados as de tal forma que sea suficiente dar s´olo olo un valor arbitrario a las variables del sistema asociado a la asignaci´ on para poder resolverlo completamente. on Ilustremos el procedimiento resolviendo el tableau planteado para el problema del primer ejemplo. En ese caso, mediante la Esquina Noroeste se obtuvo la siguiente soluci´ on on inicial:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Demanda
Ciu Ciudad dad 1 8 35 9 10 10 14
Ciud Ciudad ad 2 6
Ciu Ciudad dad 3 10
Ciu Ciudad dad 4 9
Ofer ferta 35
12 20 9
45
13 20 16 10 30
20
7 50 5 30 30
A continuaci´ on podemos plantear las variables del sistema asociado: on v1
8
v2
6
v3
10
v4
9
40 40
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El Problema de Transporte
e12 e13 e14 e24 e31 e32
= 6 − 0 − 11 = 10 − 0 − 12 = 9−0−1 = 7−1−1 = 14 − 4 − 8 = 9 − 4 − 11
= = = = = =
−5 −2
8 5 2 −6
(2.4)
Por lo tanto, el menor eij corresponde a e32 con valor −6. Lo que significa que por cada unidad asignada a la variable x32 el efecto global neto es de −6, independien independientemen temente te de que el costo asociado a dicha casilla sea de 9. Veamos si existe un loop factible y el m´aximo aximo valor α que podr po dr´´ıa tomar la variable. 8 35 9 10 14
6
9 35
12 20 − α 9 α
45
10
20
13 20 + α 16 10 − α 30
7 50 5 30 30
40
Como las variables deben ser positivas, el valor de α debe ser tal que no introduzca una variable negativa al tableau. En este caso, la condici´ on on que controla es 10 − α ≥ 0, por lo tanto α = 10.
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El Problema de Transporte
8 35 − α 9 10 + α 14 45
6
10
9 35
α
12
13 30 16
10 − α 9 10 20
30
7 50 5 30 30
40
De acuerdo al loop encontrado, el m´ aximo aximo valor para α es 10. Luego, volvemos a plantear el sistema para las variables basales:
u1 u2
v1
v2
8 25 9 20 14
6 10 12
u3
45
9 10 20 u1 + v1 u1 + v2 u2 + v1
v3
v4
10
9 35
13 30 16 30 = = =
7 50 5 30 30
40
8 6 9 (2.6)
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El Problema de Transporte
v1
8 u1 u2
9 45 14
u3
45
v2
v3
6 10 12
10 25 13 5 16
9 10 20 u1 + v2 u1 + v3 u2 + v1 u2 + v3 u3 + v2 u3 + v4 u1
30
v4
9 35 7 50 5 30 30
40
= 6 = 10 = 9 = 13 = 9 = 5 = 0
(2.7)
Resolviendo el sistema, se determina que todos los eij son positivos, por lo tanto la incorporaci´ on on de cualquier variable a la base aumentar´ a el valor total de la funci´on on objetivo. Como el problema es de minimizaci´ minimizaci´ on, on, se ha alcanzado el ´optimo. optimo. Por lo tanto, el tableau final queda: 8 9
6 10 12
10 25 13
9 35 7
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3.
El Problema de Transporte
An´ alisis alisis de Sensibilidad Sensibilidad en Problemas Problemas de Transpor Transporte te A continuaci´ on on se discustir´a tres tipos de an´ alisis de sensibilidad de un problema de transporte: alisis
Variaci´ on on 1 Cambios en los coeficientes de la funci´ on objetivo de variables no b´ asicas. Variaci´ on on 2 Cambios en los coeficientes de la funci´ on objetivo de variables b´ asicas. Variaci´ on on 3 Incrementos en un oferta y en una demanda.
Para ilustrar el an´ alisis de sensibilidad sobre la soluci´ alisis on on optima o´ptima de un problema de transporte emplearemos emplearemos la soluci´ solucion o´n obtenida en la secci´on on anterior: v1 = 6
8 u1 = 0 u2 = 3
9 45 14
u3 = 3
45 3.1. 3.1.
v2 = 6
6 10 12 9 10 20
v3 = 10
10 25 25 13 5 16 30
v4 = 2
9 35 7 50 5 30 30
40
Varia ariaci ci´ ´ on de Coeficientes en la Funci´ on on Objetivo de Variables No Basales on
En este caso, simplemente se impone una variaci´on on ∆ en el coeficiente de la variable x ij a modi-
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Segundo Semestre 2003
El Problema de Transporte
Por lo tanto la variable puede entrar a la base con valor de 25, el nuevo valor de la funci´on ob jetivo jetivo ser´ıa: z k+1 = z k + eij × α = 1020 + (2 − ∆)25
3.2. 3.2.
∆≥2
(3.2)
Varia ariaci ci´ ´ on de Coeficientes en la Funci´ on on Objetivo de Variables Basales on
En este caso la situaci´ on on es m´ as compleja pues una variaci´on as on del coeficiente de una variable basal afectar´ a el valor de los ui y los v j calculados previamente. En este caso, se debe volver a resolver el sistema en t´erminos erminos de la variaci´ variaci´ on ∆ del coeficiente de la variable basal, volver a calcular los e ij y on determinar el rango de variaci´ on on admisible. Supongamos por ejemplo que se desea determinar en cuanto podr p odr´´ıa aumentar el costo de env´ env´ıo desde la Planta Planta 1 a la Ciudad 3 de modo de mantener mantener la base optima. o´ptima. En este caso, cambiamos c 13 = 10 por c13 = 10 + ∆ y volvemos a resolver el sistema:
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3.3. 3.3.
El Problema de Transporte
Incr Increm emen ento toss en una Ofert Oferta a y en una Dema Demand nda a
Si tanto en alguna oferta si como en alguna demanda demanda d j se produce un aumento de ∆, se mantiene el balanceo del problema. En este caso, se demuestra que: znuevo = zoriginal + ∆ × ui + ∆ × v j
(3.6)
La expresi´on on anterior se obtiene a partir de que tanto los ui y los v j equivalen a menos el precio sombra de la restricci´on on asociada a cada origen i o destino j seg´ un un corresponda. Por ejemplo, si la oferta de la Planta 1 y la demanda de la Ciudad 2 crece en una unidad, se tiene: znuevo = 1020 + 1 × 0 + 1 × 6 = 1026
(3.7)
Una vez definido el nuevo valor de la funci´on on objetivo, es importante determinar como cambian los valores de las variables. Para ello se siguen las siguientes reglas:
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El nuevo valor de la funci´ on on objetivo es: 1020 + u1 + v1 = 1026.
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4.
El Problema de Transporte
El Pro Probl blem ema a de Trans ransbor bordo do
Un problema de transporte permite s´olo olo env´ env´ıos directamente desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer env´ env´ıos a trav´ es es de puntos intermedios (puntos de transbordo). En este caso se habla de un problema de transbordo. A continuaci´ on veremos como la soluci´ on on on a de problema de transbordo puede ser encontrada a trav´ es es de un problema de transporte. Definiremos Definiremos los puntos comoo aquello aquelloss puntos puntos desde desde donde donde s´ olo olo se puede puede despac despachar har puntos de oferta oferta com unidades. Similarmente, un punto de demanda es un punto donde s´olo olo se pueden recibir unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 2 Una f´ abrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver. La
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Memphis
Denver
El Problema de Transporte
New York Chicago
Los Angeles
Boston
Figura 4.1: Representaci´ on on gr´ afica problema de transbordo afica
Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original si . Cada punto de
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El Problema de Transporte
total de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades est´a asignado al punto artificial. De la segunda fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles, quedando 70 asignadas al punto dummy. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignaci´on on de 220 de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tr´ ansito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se ansito,
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5. 1.
El Problema de Transporte
Ejer Ejerci cici cios os Una fabrica a´brica de zapatos predice las siguientes demandas por sus pares de zapatos para los pr´ oxioximos 6 meses: mes 1, 200; mes 2, 260; mes 3, 240; mes 4, 340; mes 5, 190; mes 6, 150. El costo de fabricar una par de zapatos es de US$ 7 con horas normales de trabajo y de US$ 11 con horas de
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El Problema de Transporte
3. Se desataro desataron n tres tres incend incendios ios en Santia Santiago. go. Los incendio incendioss 1 y 2 requie requieren ren de la partic participa ipaci´ ci´ on de dos carros bomba y el incendio 3 requierre tres carros bombas. Existen cuatro compa˜n´ n´ıas ıa s de bomberos que pueden responder a estos incendios. La compa˜n´ıa 1 tiene tres carros bombas disponibles, las compa˜ n´ıas 2 y 3 tienen dos carros bombas cada una y la compa˜ n´ıa 4 tiene tie ne doce do ce carros carros bomb b ombas as disponibles. disponibles. El tiempo en minutos que toma un carro carro bomba en viajar via jar desde cada