12.- Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los anteles, Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta a una región se señalan en la tabla 11. Se desea cumplir con las demandas semanales a un costo mínimo, m ínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes: 1.- Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega en Los Ángeles. 2.- Es posible abrir a lo más dos bodegas. 3.- Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles.
Formule un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas. Tabla 11
Desde
Nueva York Los Ángeles Chicago Atlanta
Región 1
Hasta (Dólares) Región 2
Región 3
20 48 26 24
40 15 35 50
50 26 18 35
Primero definimos las variables
= {01 = Número de productos que se enviaran de la bodega i a la región j Con i =1,2,3,4 (siendo Nueva York=1, Los Ángeles=2, Chicago=3, Atlanta= 4 ) Con j= 1,2,3 (Región 1, Región 2, Región 3) Ahora nuestra función objetivo es:
+402+503+482+1522+2623+263+ 3532 +1833 +234 +5042 +3543
Min z=400 +500 2 +300 3 +150 4 +20
Ahora tenemos las restricciones de la siguiente manera:
+ 2 + 3 + 4 80 2 + 22 + 32 + 42 70 3 + 23 + 33 + 43 40 + 2 + 3 100 2 + 22 + 23 100 3 + 32 + 33 100 4 + 42 + 43 100 2 + + 3 + 4 2 + 4 = 1 {0,1} ; ; ≥ ≥ ≥
≤
≤ ≤ ≤
≥
≤2
ϵ
≥0
ϵΖ
La primera restricción corresponde a las unidades que requiere la región 1 La segunda restricción corresponde a las unidades que requiere la región 2 La tercera restricción corresponde a las unidades que requiere la región 3 La cuarta restricción corresponde a las unidades que se pueden embarcar desde NY La quinta restricción corresponde a las unidades que se pueden embarcar desde LA La séptima restricción corresponde a las unidades que se pueden embarcar desde CHICAGO La octava restricción corresponde a las unidades que se pueden embarcar desde ATLANTA La octava restricción corresponde a el hecho de que si se abre la bodega de NY se abrirá la de LA La novena restricción corresponde a el hecho de que es posible abrir a lo más 2 bodegas La decima restricción corresponde a el hecho de que se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles. Usando el software la solución que obtenemos es:
33.- La firma financiera Boris Milkem posee seis bienes. El precio de venta esperado (en millones de dólares) por cada bien se presenta en la tabla 32. Si el bien 1 se vende en el año 2, la firma recibe 20 millones de dólares. Para conservar un flujo de efectivo regular, Milkem debe vender por lo menos 20 millones de dólares en el año 1, por lo menos 35 millones de dólares en el año 2 y por lo menos 30 millones en el año 3. Prepare un PE que Milkem pueda usar para determinar cómo maximizar el rendimiento total de los bienes vendidos durante los tres años siguientes. Al poner en marcha este modelo, ¿Cómo se podría aplicar el concepto de horizonte de planeación rodante? Tabla 32
Bien 1 2 3 4 5 6
Vendido en Año 2 20 18 30 20 19 25
Año 1 15 16 22 10 17 19
Año 3 24 21 36 30 22 29
= La venta del bien i en el año j. Ahora nuestra función objetivo es:
+202+243+162+1822+2123+223+3032+3633+104+2042+ 3043 +175 +1952 +2253 +196 +2562 +2963 Min z=15
Ahora tenemos las restricciones de la siguiente manera:
+2+3 = 1 2+22+23 = 1 3+32+33 = 1 4+42+43 = 1 5+52+53 = 1 6+62+63 = 1 15 +162 +223 +104 +175 +196 202 +1822 +3032 +2042 +1952 +2562 243 +2123 +3633 +3043 +2253 +2963
≥
20
≥
35
≥ 30
35.- Una planta de generación de energía eléctrica tiene tres calderas. Si una caldera dada esta en operación es posible utilizarla para generar cierta cantidad de vapor (en toneladas) entre el mínimo y el máximo dado en la tabla 34. Se proporciona también el costo de producción de una tonelada de vapor en una caldera. El vapor proveniente de las calderas se usa para generar energía eléctrica en las tres turbinas. Si operan, cada turbina procesa una cantidad de vapor (en toneladas) entre el mínimo y el máximo que se da en la tabla 35. Se proporciona, asimismo, el costo por procesar una tonelada de vapor y la energía producida por cada turbina. Platee un PE con el que se pueda minimizar el costo de producir 8000 kwh de energía eléctrica. Tabla 34
Caldera 1 2 3
Vapor minimo 500 300 400
Vapor máximo 1000 900 800
Costo/tonelada(dólares) 10 8 6
Tabla 35
Turbina
Mínimo
Máximo
1 2 3
300 500 600
600 800 900
Kwh por tonelada de vapor 4 5 6
= Cantidad de vapor generado en la caldera i y procesado en la turbina j. Ahora nuestra función objetivo es:
+132+143+102+1122+1223+83+932+1033
Min z=12
Ahora tenemos las restricciones de la siguiente manera:
+2+3 3002 2 +22 +23 4003 3 +32 +33 500
9002 8003
≤
≤ 1000
≤
≤
≤
≤
Costo de proceso por (dólares) 2 3 4
4 +2+3 6004 5005 2 +22 +32 8005 6006 3 +23 +33 9006 4( +2 +3 ) + 5(2 +22 +32 ) + 6(3 +23 +33 ) = 8000 1 4 1 2 1 5 1 3 1 6 1 300
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
36.- Una compañía de Ohio, Clevcinn, está constituida por tres subsidiarias. Cada una de ellas tiene su respectiva nomina promedio, fondo de reserva para desempleo y nomina estimada que se da en la tabla 36. (Todos los valores están en millones de dólares.) Cualquier empleador en el estado de Ohio cuya relación nómina de reserva/nomina promedio es menor que 1 debe pagar 20% de su nomina estimada en primas de seguro por desempleo o 10% si la relación es por lo menos 1. Clevcinn puede unir sus subsidiarias y considerarlas como empleadores separados. Por ejemplo, si la subsidiaria 2 y la 3 se unen, deben pagar entonces 20% de su nómina combinada en primas de seguros por desempleo. Formule un PE con el que se pueda determinar que subsidiarias deben unirse. Tabla 36
Subsidiaria 1 2 3
Nomina promedio 300 600 800
Reserva 400 510 600
Nomina estimada 350 400 500
39.- Huntco elabora salsa de tomate en cinco plantas distintas. La capacidad (en toneladas) de cada planta se encuentra en la tabla 40. La salsa de tomate se almacena en una de tres bodegas. El costo por tonelada (en cientos de dólares) por producir salsa de tomate en cada planta y embarcarla a cada bodega se proporciona en la tabla 41. Huntco tiene cuatro clientes. El costo de embarcar una tonelada de salsa desde cada bodega hasta el lugar del cliente es como se indica en la tabla 42. Cada cliente debe recibir l a cantidad (en toneladas) de salsa que se presenta en la tabla 43. a) Formule un problema de transporte balanceado cuya solución indique la manera de minimizar el costo de cumplir con las demandas de los clientes.
b) Modifique este problema si estas son demandas anuales y hay un costo anual fijo por la operación de cada planta y cada bodega. Estos costos (en miles) se dan en la tabla 44.
Tabla 40
Planta Toneladas
1 300
2 200
3 300
4 200
5 400
Tabla 41
Hasta Desde Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 Planta 5
Bodega 1 8 7 8 5 7
Bodega 2 10 5 6 6 6
Bodega 3 12 7 5 7 5
Tabla 42
Desde Bodega 1 Bodega 2 Bodega 3
Cliente 1 40 70 80
Hasta Cliente 2 80 70 30
Cliente 3 90 60 50
Cliente 4 50 80 60
1 200
Cliente 2 300
3 150
4 250
Tabla 43
Demanda Tabla 44
Instalación Planta 1 Planta 2
Costo fijo anual (en miles de dólares) 35 45
Planta 3 Planta 4 Planta 5 Bodega 1 Bodega 2 Bodega 3
40 42 40 30 40 30
