Análisis aproximado de estructuras estáticamente indeterminadas Cargas laterales sobre marcos de Construcción MÉTODO DEL VOLADIZO El método del voladizo se basa en la misma acción que una viga en voladizo larga sometida a una carga transversal. Como se vio en el estudio de la mecánica de materiales, tal carga provoca un esfuerzo flexionaste en la viga que varía linealmente desde el eje neutro de la viga, De manera similar, las cargas laterales sobre un marco tienden a volcarlo o a causarle una rotación respecto a un “eje neutro" el cual se encuentra en un plano horizontal que pasa a través de las columnas entre cada piso. Para contrarrestar este volcamiento, las fuerzas (o esfuerzos) axiales en las columnas serán de tensión en un lado del eje neutro y de compresión en el otro lado, Por lo tanto, al igual que con la viga en voladizo parece razonable suponer que este esfuerzo axial tiene una variación lineal desde el centroide de las áreas de la columna o el eje neutro. Por consiguiente, el método del voladizo es adecuado si el marco es alto y delgado, o tiene columnas con áreas transversales diferentes.
En resumen, cuando se emplee el método del voladizo, deben aplicarse los siguientes supuestos aun marco fijamente apoyado. 1. 2. 3.
En el centro de cada viga se coloca una bisagra, puesto que se supone que éste es un punto de momento cero. En el centro de cada columna se coloca una bisagra, puesto que se supone que éste es un punto de momento cero. El esfuerzo axial en una columna es proporcional a su distancia desde el centroide de las áreas transversales de la columna según nivel de piso dado. Como el esfuerzo es igual a fuerza por área, entonces en el caso especial de las columnas que tienen áreas transversales iguales, la fuerza en una columna también es proporcional a su distancia desde el centroide de las áreas de la columna.
Estos tres supuestos hacen que el marco sea estable y estáticamente determinado. Los siguientes ejemplos ilustran la forma en que se aplica el método del voladizo para analizar un caballete de edificio. La estructura del edificio tiene conexiones rígidas. El método del voladizo puede usarse para realizar un análisis(aproximado) de cargas laterales.
Ejemplo:
Determine (en forma aproximada) las reacciones en la base de las columnas del marco que se muestra en la figura. Se supone que las columnas tienen áreas de sección transversal iguales. Use el método de análisis del voladizo. Solución En primer lugar se colocan bisagras en los puntos medios de las columnas y trabes. Las ubicaciones de estos puntos se indican mediante las letras G a L en la. Los centroide de las áreas transversales de las columnas pueden determinar se por inspección, o analíticamente de la siguiente manera:
El esfuerzo axial en cada columna es proporcional a su distancia desde este punto. Aquí las columnas tienen la misma área en su sección transversal y. por lo tanto, la fuerza en cada columna es proporcional a su distancia desde el centroide. Entonces, una sección a través de las bisagras H y K en el piso superior genera el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura. Tenga en cuenta que la columna a la izquierda del centroide debe estar
sometida a tensión, en tanto que la columna de la derecha estará sometida a compresión. Esto es necesario para contrarrestar el volcamiento causado por la fuerza de 30kN. Al sumar los momentos con respecto al eje neutro se tiene
Las incógnitas pueden relacionar se por medio de triángulos proporcionales, es decir:
Así que.
De una manera parecida, utilizando una sección del marco a través de las bisagras en G y L, se tiene
Ahora puede analizar se cada parte del marco usando los resultados anteriores. Como en los ejemplos, se comienza en la esquina superior, donde se produce la carga aplicada, es decir, en el segmento HCI. Al aplicarlas tres ecuaciones de equilibrio, ΣMi=0, ΣFx=0 y ΣFy=0, se obtienen los resultados para Hx, Ix e Iy, respectivamente, que se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura. Con base en estos resultados, en seguida se analiza el segmento IDK, seguido de HJG , después KJL, figura y por último las partes inferiores de las columnas, Los diagramas de momento para cada trabe se muestran en la figura.
Ejemplo 2 Muestre cómo se determinan (en forma aproximada) las reacciones en la base de las columnas del marco que se muestra
en la figura las columnas tienen las áreas de sección transversal que se muestran en la figura Use el método de análisis del voladizo.
Solución: Primero, se supone que existen bisagras en los centros de las trabes y columnas del marco, figura. El centroide de las áreas Transversales de las columnas se determina a partir de la figura de la siguiente manera:
En primer lugar se considerará la sección a través de las bisagras en L, M. N y O.
En este problema las columnas tienen diferentes áreas transversales, por lo que debe tener se en cuenta que el esfuerzo axial en cada columna es proporcional a su distancia desde el eje neutro, ubicado en x=28.53pies. Los esfuerzos en las columnas pueden relacionarse mediante triángulos semejantes, figura. Si se expresan las relaciones en términos de la fuerza en cada columna, puesto que o=F/A, se tiene.
Ahora que cada fuerza está relacionada con Ly. El diagrama de cuerpo libre es como se muestra en la figura. Observe cómo las columnas a la izquierda del centroide están sometidas a tensión y las de la derecha están sometidas a compresión. ¿Por qué? Al sumar momentos con respecto al eje neutro se tiene
Resolviendo,
Usando este mismo método, de muestre que se obtienen los resultados de la figura para las columnas E, F, G y H.
Ahora se puede procederá analizar cada parte del marco. Como en los ejemplos anteriores, se comienza con el segmento de la esquina superior LP. Utilizando los resultados calculados, en seguida se analiza el segmento LEI, seguido por el segmento EA. Luego pueden seguirse analizando los otros segmentos en secuencia. Es decir ,PQM ,después MIFl, enseguida, FB y así sucesivamente.
