JUAN DIEGO RODRIGUEZ HERRERA INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA ESTUDIO DEL TRABAJO II VERONICA SANCHEZ FLORES TRABAJO DE INVESTIGACION INGENIERIA INDUSTRIAL 404-E TIERRA BLANCA, VER. A 18 DE ABRIL 2015
1
INDICE
APORTACION DEL METODO SIMPLE!!!!!!!!!!!!!........." PASOS DE METODO SIMPLE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.5 TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO SIMPLE #NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC$!!!!!!!!!!!!!.% PASOS DEL METODO DE DOBLE FASE!!!!!!!!!!!!!!..1" TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO DE DOBLE FASE #NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC$!!!!!!!!!!..14 IMPORTANCIA & APLICACIONES DEL METODO SIMPLE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1' BIBLIOGRAFIA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.1%
2
APORTACION DEL METODO SIMPLE & SUS PASOS
El M()*+* S/ es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante elmétodo gráfico sin restricción en el número de variables. El M()*+* S/ es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya según el conte!to de la función objetivo" sea ma!imizar o minimizar#" dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se $allará solución. Este famosísimo método fue creado en el a%o de &'() por el estadounidense *eorge +ernard ,antzig y el ruso Leonid -italievic$ antorovic$" con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
G*3 B+ D)63 #1714-2005$ /ue un matemático reconocido por desarrollar el método simple! y es considerado como el 0padre de la programación lineal0. 1ació el 2 de 1oviembre de &'&( en 3ortland" 4regon" EE55. 6u padre era profesor de 7atemáticas" se retiró dejando su puesto de 8efe del ,epartamento de 7atemáticas en la 5niversidad de 7aryland poco después de la 6egunda *uerra 7undial. 6u madre era una ling9ista especializada en idiomas eslavos. ,antzig se graduó de matemáticas en &':; en la 5niversidad de 7aryland donde ense%aba su padre. 4btuvo el 7aster en
as$ington a trabajar como 8unior 6tatiscian en el +ureau of Labor 6tatistics" labor que llevó a cabo desde &':) $asta &':'. 3
4
PASOS DEL METODO SIMPLE El método del simple! es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dic$a solución. El método está dise%ado de manera que la función objetivo no disminuya o aumente# en un modelo de ma!imización o
minimización#
aumentará
y
generalmente
o disminuirá# en
cada
iteración.
P* / +*//* +/ ()*+* /9 1. Jallar una solución básica factible inicial. a.
2. 3rueba de optimidad determinar si la solución básica factible inicial es óptima" esto ocurre si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos K I#" para el caso de ma!imización. 6i es así" el proceso termina de otra manera se lleva a cabo otra iteración para obtener la nueva solución básica factible inicial.
". 3ara escoger la variable de decisión que entra en la base" nos fijamos en la primera fila" la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor
5
a. 6i e!istiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior" entonces se elige uno cualquiera de ellos. b. 6i en la primera fila no e!istiese ningún coeficiente negativo" significa que se $a alcanzado la solución óptima. 3or tanto" lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simple!" es que en la primera fila no $aya elementos negativos para el caso de ma!imización#. c. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote
4. 3ara todos los problemas de ma!imización y minimización" la variable que sale es la variable básica que tiene la razón más peque%a positiva#. 5na coincidencia se anula arbitrariamente. a. 3ara determinar la razón de cada renglón" se divide cada término de la última columna valores solución# por el término correspondiente de la columna pivote" siempre que estos últimos sean mayores que cero. b. 6i $ubiese algún elemento menor o igual que cero no se $ace dic$o cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero" entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. c. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo" indica la fila de la variable de $olgura que sale de la base. Esta fila se llama fila pivote
5. En la intersección de la fila pivote y columna pivote se encuentra el elemento pivote.
'. 6e determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de *auss" abajo de la que se tiene. 3ara cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a &" se divide todo el renglón entre el número pivote" entonces 1ueva fila del pivote K renglón o fila pivote antigua M número pivote
%. 3ara el resto de las filas 1ueva filaK -ieja fila# G
4 Oenglón nuevo K renglón antiguo G coeficiente de la columna pivote N renglón pivote nuevo#
8. 6i en los elementos de la primera fila $ay un coeficiente negativo" significa que no $emos llegado todavía a la solución óptima. Entonces se repite el proceso.
7. 6i todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos" $emos llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de P en la columna de los valores solución . En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza" observando las filas correspondientes a las variables de decisión que $an entrado en la base.
TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO SIMPLE #NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC$
C* :/ / /::; +/ ()*+* /:
DEGENERACION En la aplicación de la condición de factibilidad" una coincidencia de la razón mínima se debe descomponer en forma arbitraria para los fines de determinar la variable que sale.
E</* #S*/=:; ;) +3+$ M6 6 > "1 ?72 7
S=<)* !& Q (!H ≤ 2 !& Q H!H ≤ ( !&"!H ≥ I
T@/ "-2
Rres rectas cruzan el optimo.
,esde el punto de vista teórico" la degeneración tiene dos implicaciones. La primera tiene que ver con el fenómeno del ::/< o ::/<. 6i se observan las iteraciones & y H de la tabla :GH" se verá que el valor de la función objetivo no $a mejorado zK&2#. 3or lo tanto" es posible" en términos generales" que el procedimiento simple! repetiría la misma sucesión de iteraciones" sin mejorar nunca el valor de la función objetivo ni poner fin a los cálculos. El segundo punto teórico se presenta en el e!amen de las iteraciones & y H. Ambas iteraciones" pese a diferir en la clasificación de las variables como 8
básicas y no básicas" producen valores idénticos de todas las variables y el valor de la función objetivo" es decir"
1 > 0, 2 > 2, " > 0, 4 > 0, 6 > 18 3or lo tanto" se genera un argumento relacionado con la posibilidad de suspender los cálculos en la iteración & cuando aparece la degeneración#" aunque no es óptima. Este argumento no es válido porque" en general" una solución puede ser temporalmente degenerada.
OPCIONES PTIMAS9
E</* #I++ + */=:*$ M6 6 > 21 ? 42 6ujeto a !& Q !H ≤ F !& Q !H ( ≤
!&" !H I ≥
En términos algebraicos sabemos que el método simple! es capaz de encontrar soluciones en puntos e!tremos e!clusivamente.
+ !& KI" !HKFMH < N&K:" !HK&
T@/ "-"
SOLUCION NO ACOTADA9 En algunos modelos de programación lineal los valores de las variables se pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones" lo que significa que el espacio de soluciones es no acotado cuando menos en una dirección.
E</* #F=:; *@<)* * :*)+$ 7a!imizar z K H!& Q !H
S=<)* 10
!& G !H &I ≤
H!& (I ≤
!&" !H I ≥
@teración inicial
En la tabla inicial ! & y !H son los candidatos para entrar en la solución.
La regla general para reconocer la falta de acotación es la siguiente. 6i en cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de una variable no básica son no positivos" entonces el espacio de solucionesno está acotado en esa dirección. Además" si el coeficiente de la función objetivo de esa variable es negativo en el caso de la ma!imización o positivo en el caso de la minimización" entonces el valor de la función objetivo está acotado.
SOLUCION INFACTIBLE9
11
6i las restricciones no se pueden satisfacer en forma simultánea" se dice que el modelo no tiene solución factible. Esta situación nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo suponiendo constantes no negativas en el segundo miembro# ya que la variable de $olgura produce siempre alguna solución factible. 6in embargo" cuando empleamos los otros tipos de restricciones" recurrimos al uso de variables artificiales que" por su mismo dise%o" no ofrecen una solución factible al modelo original. Aunque se toman medidas a través del uso de la penalización# para $acer que las variables artificiales sean cero en el nivel óptimo" esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene un espacio factible. 6i no lo tiene" cuando menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Esta es nuestra indicación que el problema no tiene solución factible. ,esde el punto de vista práctico un espacio infactible apunta a la posibilidad de que el modelo no se $aya formulado correctamente en virtud de que las restricciones estén en conflicto. Rambién es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en forma simultánea" en este caso" quina se necesite una estructura del modelo totalmente deferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo.
T@/ "-4
E</* + :* + */=:; :)@/ 7a!imizar z K :!& Q H!H
S=<)* H!& Q !H ≤ H :!& Q (!H ≥ &H !&" !H ≥ I Las iteraciones simple! de la tabla :G( muestran que la variable artificial O es positiva K (# en la solución óptima. Esta es una indicación de que el espacio de soluciones es infactible. La figura :G) muestra el espacio de soluciones infactible. El método simple!" $aciendo posible que la variable artificial sea positiva" $a invertido en esencia la dirección de la desigualdad de :! &Q (!H ≥ &H a :!& Q (!H ≤ &H. El resultado lo podemos llamar la solución pseudoóptima" como se muestra en la figura :G).
12
PASOS METODO
DEL DE DOBLE FASE
M()*+* S/ + 2 F Esta estrategia algorítmica se aplica cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar no se dispone de una solución básica factible inicial.
F 1
FASE 19 Al agregar 6& como variable de e!ceso en la restricción & resulta evidente que no se dispone de una solución básica factible inicial" por tanto utilizaremos una variable au!iliar 0y0 que incluiremos en el lado izquierdo de la restricción y que servirá como variable básica inicial. Esto define el problema inicial de la /ase & junto a su tabla.
13
Luego la variable NH entra a la base costo reducido negativo# y claramente 0y0 deja la base. 6e actualiza la tabla utilizando el método simple!
FASE 29 6e elimina la columna asociada a la variable artificial 0y0 y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original. ,e esta forma se obtiene la tabla inicial de la /ase H.
,ado que NH es variable básica al finalizar la /ase & buscamos dejar esta misma variable como básica al iniciar la /ase H. 3ara ello multiplicamos por G: la fila & y luego la sumamos a la fila H.
En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la /ase H" con solución óptima N&KI y NHK&I. El valor óptimo - 3#KG:I.
TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO DE DOBLE FASE #NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC$ 14
S*/=:; ;)9 cuando se cumple la condición de parada y no $ay variables artificiales en la base con valor positivo los valores se indican en la columna 3I#" se $a conseguido la optimización. El valor PI actual es la solución óptima del problema" cumpliéndose para las variables que se encuentran en la base. 6i se trata de un problema de minimización" el valor óptimo obtenido se multiplicará por 0G&0. I) */=:*9 cumplida la condición de parada" si alguna variable de decisión no básica tiene un valor I en la fila P" significa que e!iste otra solución que aporta el mismo valor óptimo para la función objetivo. Es este caso el problema admite infinitas soluciones" estando todas ellas comprendidas dentro del segmento o porción del plano" región del espacio" etc. dependiendo del número de variables del problema# definido por ASN& Q +SNH K PI. 7ediante una nueva iteración y $aciendo que la variable de decisión que tiene el I en la fila P entre en la base se obtendrá otra solución diferente para el mismo valor óptimo. S*/=:; /)+ #* :*)+$9 si toda la columna de la variable que entra a la base tiene todos sus elementos negativos o nulos se trata de problema no acotado" es decir" que tiene solución ilimitada. 1o $ay valor óptimo concreto para la función objetivo sino que a medida que se aumenta el valor de las variables también se incrementa el valor P sin violar ninguna restricción. N* ) */=:;9 cuando ningún punto satisface todas las restricciones del problema se produce la infactibilidad no e!istiendo ninguna solución posible para él. En este caso" una vez terminadas todas las iteraciones del algoritmo" e!isten en la base variables artificiales cuyo valor es superior a cero. E) + @/ ))9 cuando se produce un empate en la condición de decisión de la variable entrante se puede optar por cualquiera de ellas sin que esto afecte a la solución final. 3or contra si influye en el número de iteraciones necesarias para obtener dic$a solución. 6e aconseja optar a favor de las variables básicas ya que ellas son las que formarán parte de la solución óptima. E) + @/ /)9 se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas. 6in embargo" a fin de no alargar el problema y evitar la entrada en un bucle infinito caso degenerado#" se discrimina a favor de las variables de decisión $aciendo que permanezcan en la base. En el caso de estar en la primera fase del método de las ,os /ases" se optará por sacar de la base las variables artificiales. C=*++ / F 19 al finalizar la fase &" si el problema original tiene solución" todas las variables artificiales en la fila indicadora deben tener el valor 0&0. 15
E/ /)* *) =+ =/*9 1o" el elemento pivote siempre será estrictamente positivo ya que únicamente se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero ante un problema de ma!imización#.
IMPORTANCIA & APLICACIONES DEL METODO SIMPLE E!isten muc$os problemas tanto en la ciencia" la tecnología así como la economía"
donde se usa la programación lineal la cual busca $allar una solución que permita formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. En problemas de optimización es indispensable el conocimiento de determinados métodos que permitan la solución de dic$os problemas. La resolución de problemas de grandes dimensiones lo permite muy eficazmente el 7étodo 6imple!" siendo este un algoritmo el cual sirve para determinar con eficiencia cuando una solución e!iste" mostrando eficacia este método en la formulación y solución de diversos problemas de optimización y demás. Este método permite ver las aplicaciones a las ramas de las ciencias é ingeniería. Este método o procedimiento cuenta con un sin número de aplicaciones en programación lineal" pero también usos en matemática y geometría.
D ) / /::* :*= +/ ()*+* / +):9 G Es una técnica utilizada para dar soluciones numéricas a problemas de programación lineal ya que es comúnmente aplicado para encontrar una solución óptima en problemas de ma!imización y minimización. G Es útil para resolver problemas de gran tama%o y complejos. GA partir del método simple! se $an desarrollado variantes comúnmente utilizadas en programación lineal. G Este método $a sido de suma utilidad para el desarrollo de softTare que facilitan el proceso de cálculos un ejemplo de ello es el R4OA. G Este modelo sirve para la correcta interpretación de modelos de decisión basados en descripciones matemáticas con la finalidad de ayudar en la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. La importancia de este método radica en que gracias a su e!istencia se pueden resolver problemas complejos. Este método conforma la base de la 16
programación lineal y es debido a que facilita la toma de decisiones en casos complejos ya que permite solucionar sistemas donde en número de variables supera el número de ecuaciones" $a resultado ser muy eficiente en la práctica. 5na gran parte de softTare para cálculos están estrictamente basados en el método simple!" facilitándonos la interpretación. Es muy importante en el área empresarial ya que lo utilizan para obtener solución a los problemas de las empresas en cuanto a inventario" ganancias y pérdidas. Este método permite visualizar cuanto se debe vender" cuanto se debe producir o cuanto se debe comprar según sea el caso para que la empresa obtenga las ganancias optimas y suficientes para competir en el mercado. En +ase a esta importancia el método simple! $a tenido diversas aplicaciones en las industrias especialmente en el área de transporte" en la parte de inventarios y en lo empresarial en general. El método simple! implica cálculos tediosos y voluminosos" lo que $ace que la computadora sea una $erramienta esencial para resolver los problemas de programación lineal. 3or consiguiente" las reglas computacionales del método simple! se adaptan para facilitar el cálculo automático.
BIBLIOGRAFIA
" Pa l a br aNu ev a . n et . "Pa l a br aNu ev a .We b.1 9Fe b.2 01 2. ht t p: / / www. pal abr anue v a. ne t / c ont ens / 10/ 0001010. ht m>.
" Bi o gr a f í aDeGe or g eBe r n ar dDa nt z i g . "PHPSi mp l e x .We b.1 9Fe b.2 01 2. ht t p: / / www. phps i mpl e x. c om/ bi ogr afi a_Dant z i g. ht m>.
$ttpMMTTT.ingenieriaindustrialonline.comM$erramientasGparaGelGingenieroG industrialMinvestigaciU<:U+:nGdeGoperacionesMmU<:UA'todoGsimple!M $ttpMMoptimi!acion.blogspot.m!MHI&HMIHMgeorgeGbernardGdantzigG&'&(G HIIF.$tml $ttpMMTTT.p$psimple!.comMejemploVmetodoVsimple!.$tm $ttpMMTTT.investigaciondeoperaciones.netMmetodoVsimple!VHVfases.$tml
17
