Introducción al Análisis de Espacios Métricos

´ A LA TEORÍA DE INTRODUCCION ´ ESPACIOS METRICOS

M.C. Ma. Guadalupe Raggi Cárdenas Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna Dr. Francisco Javier Mendoza Torres F.C.F.M. BUAP

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA Enrique Agüera Ibáñez Rector. José Ramón Eguíbar Cuenca Secretario General. Pedro Hugo Hernández Tejeda Vicerrector de Investigación y Estudios de Posgrado. Lilia Cedillo Ramírez Vicerrectora de Extensión y Difusión de la Cultura. Cupatitzio Ramírez Romero Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Carlos Contreras Cruz Director Editorial.

Primera edición 2010 ISBN: 978‐607‐487‐139‐5 ©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dirección de Fomento Editorial 2 Norte 1404, CP 72000 Puebla Pue. Teléfono fax 01 222 2468559 Impreso en México Printed in México Agradecimientos Los autores agradecen el apoyo financiero del PIFCA 2009 (Proyecto Institucional de Fortalecimiento para los Cuerpos Académicos) obtenido a través del Cuerpo Académico de Modelación Matemática y Ecuaciones Diferenciables.

Índice General Pr´ ologo. 1. Teor´ıa de Conjuntos. 1.1. Introducción . . . . . . . . . 1.2. Preliminares. . . . . . . . . 1.3. Operaciones con Conjuntos. 1.4. Familias de Conjuntos . . . 1.5. Relaciones . . . . . . . . . . 1.6. Funciones . . . . . . . . . . 1.7. El Producto Cartesiano . . . 1.8. Axioma de Elección. . . . . 1.9. Cardinalidad de Conjuntos.

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3 3 3 5 7 9 10 12 13 13

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15 15 18 20 31

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35 37

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49 50 55 57 59

4. Funciones Continuas en Espacios M´ etricos. 4.1. Funciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Continuidad Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 71

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2. Espacios M´ etricos. 2.1. Definiciones y Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Construcción de Métricas a Partir de Métricas Dadas. 2.3. Conceptos Topológicos en Espacios Métricos. . . . . . 2.4. Conjuntos Acotados en Espacios Métricos. . . . . . . 2.5. Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios Métricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sucesiones en Espacios M´ etricos. 3.1. Convergencia de una Sucesión. . 3.2. Subsucesiones. . . . . . . . . . . 3.3. Sucesiones de Cauchy. . . . . . 3.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . .

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i

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ÍNDICE GENERAL

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4.3. Métricas Equivalentes, Semejantes, Uniformemente Equivalentes e Isometr´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 80

5. Espacios M´ etricos Completos. 5.1. Espacios Métricos Completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Completación de un Espacio Métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 92 93

6. Conjuntos Compactos. 6.1. Conjuntos Secuencialmente Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Conjuntos que tienen la Propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). 6.3. Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios Métricos. . . . . 6.5. Relación entre la Compacidad y la Completitud. . . . . . . . . . . 6.6. Funciones Continuas en Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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97 98 100 101 106 107 108 109

7. Aplicaciones Contractivas. 7.1. Contracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113 113 118 124

8. Conexidad. 8.1. Conjuntos Conexos . . . . . . . . . 8.2. Continuidad en Conjuntos Conexos. 8.3. Componentes Conexas. . . . . . . . 8.4. Arco–conexidad. . . . . . . . . . . . 8.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

127 127 131 132 133 134

Bibliograf´ıa.

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Pr´ ologo. Este libro fue elaborado para el curso de An´ alisis Matem´ atico en Espacios M´ etricos, el cual está ubicado en el sexto semestre del mapa curricular de la carrera Lic. en Matemáticas. Los autores hemos impartido esta materia en diversos cuatrimestres (semestres). Versiones preliminares de este libro han apoyado a los estudiantes de dicho curso, en su formación profesional.

M.C. Ma. Guadalupe Raggi Cárdenas. Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna. Dr. Fco. Javier Mendoza Torres.

1

Cap´ıtulo 1 Teor´ıa de Conjuntos. 1.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo, daremos una introducción breve a la teor´ıa de conjuntos, revisaremos la notación, los conceptos y resultados básicos que necesitaremos a lo largo del libro. Nuestro enfoque será intuitivo y no axiomático, a pesar de saber que este enfoque nos puede conducir a paradojas, sin embargo, para nuestros propósitos es suficiente. La mayor´ıa de los resultados aqu´ı incluidos se demuestran en los cursos básicos de las licenciaturas en ciencias, es por esto que no daremos las demostraciones en este texto. La teor´ıa de conjuntos es, por si misma, un área muy importante de las matemáticas, que tiene su propio desarrollo, pero también juega un papel relevante en la organización, unificación y comprensión de la mayor parte de las matemáticas.

1.2.

Preliminares.

Para nosotros, un conjunto es una colección (familia) de objetos a los que llamaremos elementos del conjunto. Para denotar un conjunto, usualmente se utilizan letras may´ usculas: A, B, C, . . . , X, Y, etc. y a veces se usan letras may´ usculas con sub´ındices. Para los elementos, usaremos letras min´ usculas a, b, c, . . . , x, y, etc. y también letras min´ usculas con sub´ındices. Dado un elemento x y un conjunto A, si x es elemento de A , lo denotaremos como x ∈ A, también se suele decir que x pertenece a A, x es miembro de A, x está en A; en el caso de que x no sea elemento de A, lo denotaremos como x ∈ / A, también se suele decir que x no pertenece a A, x no es miembro de A, x no está en A. La regla fundamental es: dado un conjunto A y un elemento x, ocurre una y sólo una de las siguientes afirmaciones: x ∈ A ó x ∈ / A. Existen dos formas básicas de expresar un conjunto, una, enlistando entre llaves todos sus elementos, en este caso decimos que el conjunto está definido por extensión. 3

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS.

4

Obviamente esta manera de definir conjuntos es muy limitada. Otra manera de definirlo es a través de una “propiedad” el conjunto se forma con todos los elementos que cumplan dicha propiedad, en este caso decimos que el conjunto está definido por comprensión. Definici´ on 1.1. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es subconjunto de Y , si para cada x, si x ∈ X, entonces x ∈ Y. Cuando X es subconjunto de Y lo denotamos como X ⊂ Y ó Y ⊃ X. Cuando X no es subconjunto de Y lo denotamos como X 6⊂ Y . Definici´ on 1.2. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X = Y, si y s´ olo si, X ⊂ Y y Y ⊂ X. Si X ⊂ Y , pero X 6= Y , decimos que X es un subconjunto propio de Y . Se denota como X ( Y . Usualmente, cuando trabajamos en determinado contexto, consideramos a los conjuntos como subconjuntos de un conjunto U, al que llamamos conjunto universal. Por ejemplo, el conjunto de n´ umeros naturales N es un subconjunto del conjunto de los n´ umeros reales R, en este caso, U = R.

Propiedades de la contenci´ on y la igualdad. Teorema 1.1. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. X ⊂ X. Ley reflexiva. 2. X ⊂ Y y Y ⊂ X, implica que X = Y . Ley antisimétrica. 3. X ⊂ Y y Y ⊂ Z, implica que X ⊂ Z. Ley transitiva. Teorema 1.2. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. X = X. Ley reflexiva. 2. X = Y implica que Y = X. Ley simétrica. 3. X = Y y Y = Z implica que X = Z. Ley transitiva. Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado X se le llama el conjunto potencia de X y se le denota como P(X).

1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS.

1.3.

5

Operaciones con Conjuntos.

Definici´ on 1.3. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos La unión de X y Y , denotada por X ∪Y , como X ∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ´ o x ∈ Y }. La intersección de X y Y , denotada por X ∩ Y , como X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X y x ∈ Y }. Teorema 1.3. Sean X, Y y Z tres conjuntos. Entonces 1. X ∪ ∅ = X y X ∩ ∅ = ∅. (leyes de identidad). 2. X ∪ X = X y X ∩ X = X. (leyes de idempotencia). 3. X ∪ Y = Y ∪ X y X ∩ Y = Y ∩ X. (leyes conmutativas). 4. X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z y X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z. (leyes asociativas). 5. X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) y X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). (leyes distributivas). El siguiente teorema nos da una relación entre las operaciones de unión, intersección de conjuntos y la relación de contención. Teorema 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Son equivalentes 1. X ⊂ Y . 2. X ∪ Y = Y . 3. X ∩ Y = X. Definici´ on 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos La diferencia de X y Y , denotada por X −Y , como X −Y = {x | x ∈ X y x ∈ / Y }. En particular, si Y ⊂ X, el complemento de Y con respecto a X, denotado por ∁X Y , como ∁X Y = X − Y . Obsérvese que la operación de complementación está definida u ´ nicamente cuando un conjunto es subconjunto de otro, sin embargo en la operación diferencia no existe, necesariamente, una relación entre los dos conjuntos. Se suele denotar a ∁X Y como Y C cuando no hay confusión de quién es X. La relación entre ambas operaciones está dada por el siguiente teorema


6

Teorema 1.5. Sea Z un conjunto. X y Y subconjuntos de U Entonces X − Y = X ∩ Y C. Algunas de las propiedades básicas del complemento son: Teorema 1.6. Sea X y Y subconjuntos de U. Entonces 1. X ∩ X C = ∅. 2. X ∪ X C = Z. 3. (X C )C = X. 4. X ⊂ Y , si y sólo si, Y C ⊂ X C . 5. (X ∪ Y )C = X C ∩ Y C . 6. (X ∩ Y )C = X C ∪ Y C . Las dos u ´ ltimas propiedades se les suele conocer como las leyes de De Morgan.

Propiedades de la Diferencia. Teorema 1.7. Sean X, Y y Z conjuntos. 1. X − Y ⊂ X. 2. (X − Y ) ∩ Y = ∅. 3. X − Y = ∅, si y sólo si, X ⊂ Y . 4. X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ). 5. X − (X − Y ) = X ∩ Y . 6. (X − Y ) − Z = (X − Z) − Y . 7. X − (Y − Z) = (X − Y ) ∪ (X ∩ Z). 8. (X − Y ) ∪ (Y − X) = (X ∪ Y ) − (X ∩ Y ). Por su importancia, destacamos las siguientes propiedades conocidas como las leyes de De Morgan. Teorema 1.8 (Leyes de De Morgan). Sean X, Y y Z conjuntos. (a) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).

1.4. FAMILIAS DE CONJUNTOS

7

(b) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X) ∩ (Z − Y ).

Producto Cartesiano de dos Conjuntos. En la teor´ıa de conjuntos se define, de manera formal, el concepto de pareja ordenada como: Definici´ on 1.5. Sean a y b dos objetos. Definimos la pareja ordenada, denotada por (a, b) por (a, b) = {{a}, {a, b}}. A a se le llama el primer elemento (primera coordenada, primera componente) de la pareja ordenada (a, b) y a b se le llama el segundo elemento (segunda coordenada, segunda componente) de la pareja ordenada (a, b). Teorema 1.9. (a, b) = (c, d), si y s´ olo si , a = c y b = d En muchos textos, no se define el concepto de pareja ordenada, u ´ nicamente se caracteriza a la pareja ordenada con la igualdad de parejas, como lo afirma el teorema 1.9 Definici´ on 1.6. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos el producto cartesiano de X y Y , denotado por X × Y , como X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. Teorema 1.10. Sean W, X, Y y Z conjuntos. Entonces 1. W × (X ∪ Y ) = (W × X) ∪ (W × Y ). Ley distributiva. 2. W × (X ∩ Y ) = (W × X) ∩ (W × Y ). Ley distributiva. 3. Si W ⊂ X y Y ⊂ Z, entonces W × Y ⊂ X × Z. 4. X × Y = ∅, si y sólo si, X = ∅ ó Y = ∅.

1.4.

Familias de Conjuntos

a una familia de conjuntos. Definimos S S 1. La unión, denotada por A ó {A | A ∈ a} , de esta familia es el conjunto: a [ A = {x | existe A ∈ a, con x ∈ A}. a

Definici´ on 1.7. Sea

A∈

A∈


8 2. La intersección, denotada por

T

a

A∈

conjunto

\

a

A ´ o

T

{A | A ∈

A = {x | para toda A ∈

a}, de esta familia, es el

a, x ∈ A}.

A∈

Con frecuencia ocurre que a cada elemento de un conjunto A, diferente del vac´ıo, se le asigna un u ´ nico conjunto Aα , en este caso, la familia de conjuntos que se forma con estos conjuntos se denota por {Aα | α ∈ A} y se dice que la familia de conjuntos está indexada por el conjunto A. Si {Aα | α ∈ A}, es una familia indexada deSconjuntos,Tla unión y la intersección de esta familia de conjuntos, las denotaremos por α∈A Aα y α∈A Aα , respectivamente, es decir [ Aα = {x | existe α ∈ A, tal que x ∈ Aα }. α∈A

Similarmente

\

α∈A

Aα = {x | para cada α ∈ A, x ∈ Aα }.

S S S Frecuentemente, denotaremos A como A ´ o {Aα | α ∈ A}. De manera α α α∈A α T análoga, para α∈A . En S el caso de S que A = N, la familia de conjuntos se denota por {An | n ∈ N} y su unión n∈N An ó ∞ on, tenemos una notación similar. n=1 An . Para la intersecci´ Cuando A = {1, 2, . . . , n}, la familia se denota por {Ai | i ∈ {1, 2, . . . , n}} y su unión S por ni=1 Ai . Para la intersección, tenemos una notación similar.

Teorema 1.11. Sean {Aα | α ∈ A} y {Bβ | β ∈ B} dos familias de conjuntos. Entonces S S S 1. Aα ∩ Bβ = {(Aα ∩ Bβ ) | (α, β) ∈ A × B}. α∈A

2.

T

α∈A

β∈B

Aα ∪

T

Bβ =

β∈B

T

{(Aα ∪ Bβ ) | (α, β) ∈ A × B}.

En 1. decimos que la unión se distribuye con respecto a la intersección y en 2. decimos que la intersección se distribuye con respecto a la unión. Teorema 1.12 (Leyes de Morgan). Sea X un conjunto no vac´ıo y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos de X. Entonces h S ic T 1. Aα = [Aα ]c . α∈A

2.

h T

α∈A

α∈A

Aα

ic

=

S

α∈A

[Aα ]c .

9

1.5. RELACIONES

1.5.

Relaciones

Definici´ on 1.8. Sean X y Y dos conjuntos. Una relaci´ on R de un conjunto X a un conjunto Y , es cualquier subconjunto de X × Y , esto es R ⊂ X × Y . Una relaci´ on en un conjunto X es una relación de X a X. Si la pareja (x, y) ∈ R, decimos que x está relacionado con y y lo denotamos xRy. Si la pareja (x, y) no pertenece a R, decimos que x no está relacionado con y y lo denotamos x/ Ry. Si R es una relación de X en Y . Al conjunto {x ∈ X | existe y ∈ Y, que cumple (x, y) ∈ R} se le llama dominio de la relación R y se le denota como DomR o Dom(R). Al conjunto {y ∈ Y | existe x ∈ X que cumple (x, y) ∈ R} se le llama rango o imagen de la relación y se denota como Img R o Ran R. Definici´ on 1.9. Sea R una relación en un conjunto X. Decimos que R es una relación de equivalencia en X si: (a) Para cada x ∈ X, xRx. (Reflexividad). (b) Si xRy, entonces yRx. (Simetr´ıa). (c) Si xRy y yRz, entonces xRz. (Transitividad). Generalmente una relación de equivalencia en un conjunto X se denota por los s´ımbolos ∼, ∼ =, ≈, ≡. Definici´ on 1.10. Sea X un conjunto no vac´ıo y ∼ una relaci´ on de equivalencia en X. Para x ∈ X, definimos la clase de equivalencia de x con respecto a la relaci´ on ∼, denotada por [x], como el conjunto [x] = {y ∈ X | y ∼ x}. Al conjunto de las clases de equivalencia se le denota como X/∼ y se le llama el conjunto cociente de X con respecto a la relación ∼. Teorema 1.13. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto no vac´ıo X. Entonces 1. Para cada x ∈ X, x ∈ [x], en particular, [x] 6= ∅.


10 S

2.

[x] = X.

x∈X

3. Para x, y ∈ X, [x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y]. Un concepto cercano al concepto de relación de equivalencia es el de partición. Definici´ on 1.11. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una familia P de subconjuntos no vac´ıos de X se llama una partici´ on de X si para cada A y B elementos de P, A 6= B, se cumple que A ∩ B = ∅, S A = X. A∈P

Como consecuencia del teorema 1.13, se tiene que el conjunto cociente X/∼ con respecto a la relación ∼ es una partición del conjunto X. También se tiene que si P es una partición del conjunto X y definimos la relación x ∼ y, si existe A ∈ P tal que x, y ∈ A. ∼ es una relación de equivalencia en X y el conjunto cociente X/∼= P.

1.6.

Funciones

El concepto de función es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas, a nivel elemental, una función de un conjunto X a un conjunto Y se define como una regla que asocia a cada elemento de X un u ´ nico elemento de Y . Si bien esta definición es adecuada para muchos propósitos y capta la esencia del concepto, éste se puede definir en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos. Definici´ on 1.12. Sean X y Y dos conjuntos. Una funci´ on es una relación f de X en Y que cumple El dominio de f es X, esto es, Dom(f ) = X. Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z. Obsérvese que esta definión refleja la definición dada al inicio, pero tiene la ventaja de evitar el término regla. Dependiendo de la naturaleza de los conjuntos X y Y , en las distintas áreas de las matemáticas, el término “función”se sustituye por mapeo, transformación, morfismo, operador, funcional . . . Al elemento y que le corresponde a x, se le acostumbra denotar por y = f (x) y se le llama el valor de la función en x o la imagen de x bajo f . A x se le llama la preimagen

11

1.6. FUNCIONES

de y bajo f . Usualmente para definir una función se especifica el dominio y el valor de la función en cada punto del dominio. Si f es una función de X en Y se le denota por f : X → Y , aunque con frecuencia, cuando es claro quien es el dominio y el codominio, u ´ nicamente se usa el s´ımbolo f . Como una función es un conjunto, la igualdad de funciones es en términos de la igualdad de conjuntos, de esto, es inmediato que dos funciones f y g son iguales, si Dom(f ) = Dom(g) y f (x) = g(x) para cada x ∈ X. Definici´ on 1.13. Sea X y Y conjuntos no vac´ıos, A ⊂ X, B ⊂ Y y f : X → Y una función. 1. La imagen de A en Y bajo f , denotada por f (A) es el subconjunto de Y definido como f (A) = {y ∈ Y | existe x ∈ A, tal que f (x) = y}. 2. La imagen inversa de B en X bajo f , denotada por f −1 (B), es el subconjunto de X definido como f −1 (B) = {x ∈ X | existe y ∈ B tal que f (x) = y}. Teorema 1.14. Sea f : X → Y una funci´ on, entonces: 1. f (∅) = ∅. 2. Si A ⊂ B ⊂ X, entonces f (A) ⊂ f (B). 3. Si A ⊂ B ⊂ X, entonces f (B) − f (A) ⊂ f (B − A). Teorema 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos de X. Entonces S S 1. f ( α Aα ) = α f (Aα ). T T 2. f ( α Aα ) ⊂ α f (Aα ). Teorema 1.16. Sea f : X → Y una funci´ on.

1. Para cada A ⊂ X, se cumple que A ⊂ f −1 [f (A)]. 2. Para cada B ⊂ Y , f [f −1 (B)] ⊂ B. Definici´ on 1.14. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Definimos la composición g · f : X → Z como (g · f )(x) = g(f (x)).


12

Teorema 1.17. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Sea A ⊂ Z. Entonces (g · f )−1 (A) = f −1 (g −1(A)).

Definici´ on 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on. Decimos que:

f es inyectiva (o uno a uno), si para cada x1 , x2 ∈ X, si x1 6= x2 , entonces f (x1 ) 6= f (x2 ). Esto equivale a decir que si f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 = x2 . f es sobreyectiva (suprayectiva o sobre), si para toda y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si f (X) = Y . f es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Teorema 1.18. Sea f : X → Y una funci´ on. f es biyectiva, si y sólo si, existe g : Y → X, tal que g · f = IX y f · g = IY . A lo más puede existir una función g que cumpla con el teorema 1.18. Si f es biyectiva, a la función g se le llama la inversa de f y se denota por f −1 .

1.7.

El Producto Cartesiano

Definici´ on 1.16. Q El producto cartesiano de una familia de conjuntos {Xα | α ∈ A}, denotado por α∈A Xα , se define como el conjunto Y [ Xα = {f : A → Xα f (α) ∈ Xα para cada α ∈ A}. α∈A

α∈A

AQcada Xα se le llama el α-ésimo factor del producto. Usualmente, a un elemento f ∈ α∈A Xα se le denota por {xα }α∈A , donde xα = f (α), y a xα se le llama la α-ésima coordenada del elemento {xα }α∈A . Nótese que si Xα = X, para cada α ∈ A, donde X es un conjunto dado, entonces el producto cartesiano de la familia {Xα }α∈A es el conjunto formado por todas las funciones con dominio A y codominio X, en este caso, se acostumbra usar la notación X A .

Propiedades. Teorema 1.19. Sea {Bα }α∈A una familia de conjuntos y Aα ⊂ Bα para cada α ∈ A. Entonces Y Y Aα ⊂ Bα . α∈A

α∈A

Teorema 1.20. Sea {Xα }α∈A una familia de conjuntos y Aα , Bα subconjuntos de Xα para cada α ∈ A. Entonces Q TQ Q 1. α∈A α∈A = α∈A (Aα ∩ Bα ). Q SQ Q 2. α∈A α∈A = α∈A (Aα ∪ Bα ).

´ 1.8. AXIOMA DE ELECCION.

1.8.

13

Axioma de Elecci´ on.

Si bien es cierto que dijimos que nuestro enfoque de la teor´ıa de conjuntos no es axiomática, consideramos conveniente introducir expl´ıcitamente el axioma de elecci´ on (de selección). Este axioma ha sido fuente de fuertes controversias en el estudio de la axiomatización de la teor´ıa de conjuntos. Sin embargo se usa en la demostración de muchos resultados importantes en diversas áreas de las matemáticas, algunos de ellos parecen contradecir la intuición. El axioma de elección fue enunciado expl´ıcitamente por Zermelo a principios del siglo pasado, aunque ya se usaba impl´ıcitamente en algunas demostraciones. Enunciaremos dos versiones equivalentes del axioma de elección (aunque existen muchas más). El producto cartesiano de una familia no vac´ıa, de conjuntos no vac´ıos, es no vac´ıo. Para cada familia de conjuntos no vac´ıos, ajenos dos a dos, existe un conjunto formado con exactamente un elemento de cada conjunto de la familia. En este trabajo, será usado en algunas demostraciones, sin mencionarlo, ser´ıa pertinente que el lector se percatará en cuales.

1.9.

Cardinalidad de Conjuntos.

Definici´ on 1.17. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es equipotente a Y , (o que X tiene la misma cardinalidad que Y ), si existe una funci´ on biyectiva de X sobre Y . Denotaremos X es equipotente a Y por card X = card Y . Es claro que la relación de equipotencia es una relación de equivalencia en la clase de todos los conjuntos. Decimos que el conjunto X es: Numerable si es equipotente al conjunto de los n´ umeros naturales N. Finito si X = ∅ o existe n ∈ N tal que X es equipotente al conjunto {1, 2, . . . , n}. Infinito si X no es finito. A lo más numerable si X es un conjunto finito o un conjunto numerable.

Propiedades.


14

Teorema 1.21. Sea X un conjunto no vac´ıo. Son equivalentes: 1. X es numerable. 2. Existe una función sobreyectiva f : N → X. 3. Existe una función inyectiva g : X → N. Teorema 1.22. Sea X un conjunto numerable y A ⊂ X. Entonces A es a lo más numerable. Teorema 1.23. Sean X y Y numerables. Entonces X × Y es numerable. Este resultado se puede extender cuando tenemos una familia finita {Xi }ni=1 de conjuntos numerables, es decir, el producto finito de conjuntos numerables es numerable. Sin embargo, el producto numerable de conjuntos numerables puede no ser numerable. Teorema 1.24. Sea {Xi }i∈N una familia numerable de conjuntos numerables. Entonces S i∈N Xi es numerable.

Teorema 1.25. Sea X un conjunto infinito. Entonces existe un subconjunto numerable de X. Ejemplos de conjuntos numerables. El conjunto de los n´ umeros naturales N. El conjunto de los n´ umeros enteros Z. P = {2n | n ∈ Z}. Im = {2n + 1 | n ∈ Z}. El conjunto de los n´ umeros racionales Q. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales. El conjunto de los n´ umeros algebraicos en R. El conjunto de todos los subconjuntos finitos de N. Ejemplos de conjuntos no numerables. El conjunto de los n´ umeros reales R. Cualquier intervalo: [a, b], (a, b], (a, ∞), (−∞, a], etc. El conjunto de los n´ umeros irracionales I.

Cap´ıtulo 2 Espacios M´ etricos. 2.1.

Definiciones y Ejemplos.

Definici´ on 2.1. Sean X un conjunto diferente del vac´ıo y d : X × X → R una función. Diremos que d es una métrica o una distancia en X, si para cada x, y, z ∈ X, d cumple con las siguientes propiedades: 1. d(x, y) ≥ 0. 2. d(x, y) = 0, si y sólo si, x = y. 3. d(x, y) = d(y, x). 4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (Desigualdad del Tri´ angulo). A la pareja ordenada (X, d) le llamaremos espacio métrico. En general, diremos simplemente espacio métrico X. Si la función d cumple con 1, 3, 4 y en lugar de 2 cumple con 2’. d(x, x) = 0, diremos que d es una pseudométrica en X. Es decir, en el caso de que d sea pseudométrica, no garantizamos que d(x, y) = 0, implique que x = y. Ejemplos de m´ etricas y pseudom´ etricas: 1. Sea X = R, definamos d : R × R → R como d(x, y) = |x − y|. En los cursos elementales de matemáticas, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta métrica se conoce como la métrica usual en R. 15

´ CAPÍTULO 2. ESPACIOS METRICOS.

16

2. Sea X = Rn , definamos d1 : Rn × Rn → R, como d1 (x, y) =

n X i=1

|xi − yi |.

Las propiedades 1, 2, 3, 4 se siguen inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. Esta métrica se conoce como la métrica del taxista. 3. Sea X = Rn , n ∈ N, n ≥ 2, definamos d2 : Rn × Rn → R como v u n uX d2 (x, y) = t (xi − yi )2 , con x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). i=1

En el curso de cálculo diferencial en varias variables, se demuestran las propiedades 1, 2, 3, 4. Esta métrica se conoce como la métrica euclidiana en Rn . 4. Sea X = Rn , p ≥ 1. Definamos dp : Rn × Rn → R por !1/p n X |xi − yi |p , donde x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). dp (x, y) = i=1

Frecuentemente a Rn con esta métrica se le denota por lp (n) La demostración de que dp es una métrica se encuentra en [4]. P p 5. Sea X = {{xn }n∈N n∈N |xn | < ∞}, donde p ∈ R, p ≥ 1 fijo. Como en el caso inmediato anterior, la demostración de que la función dp : X × X → R, definida por !1/p X dp (x, y) = |xn − yn |p n∈N

es una métrica se encuentra en [4]. Este espacio se denota por lp .

6. Sea X = Rn , d∞ : Rn × Rn → R definida por d∞ (x, y) = máx{|x1 − y1 |, |, . . . |xn − yn |}. Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas y la desigualdad triangular se sigue de |xi − yi | ≤ d∞ (x, y), i = 1, . . . , n. Esta métrica se conoce como la métrica uniforme en Rn y a Rn con esta métrica se le denota por l∞ (n).

17

2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS.

7. Sea X = {{xn } | {xn } es una sucesión acotada de n´ umeros reales }. Definamos d∞ : X × X → R como d∞ ({xn }, {yn }) = sup{|xj − yj | | j ∈ N}. Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular, se usa |xj − yj | ≤ d∞ ,

para cada j ∈ N.

8. Sea X = c = {{xn } ∈ l∞ | {xn } es convergente }. Si consideramos la función d∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a c × c, entonces, también es una métrica. 9. Sea X = co = {{xn } ∈ c | l´ımn→∞ (xn ) = 0} Si consideramos la función d∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a co × co , entonces, también es una métrica. 10. Sea X = B(A, R) = {f : A → R f es una función acotada en A}. Definamos d∞ : X × X → R por

d∞ (f, g) = sup{|f (x) − g(x)| x ∈ A}.

Observe que d∞ (f, g) ∈ R ya que, la función f − g es acotada.

Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular se usa |f (x) − g(x)| ≤ d∞ (f, g), para x ∈ A. Esta métrica se conoce como la métrica uniforme en B(A, R).

Si A = {1, 2, . . . , n}, B(A, R) se puede “identificar” con l∞ (n). En el caso de que A = N, B(A, R) es el espacio de sucesiones acotadas y se le denota por l∞ . 11. Sea X = C[a, b] = {f : [a, b] → R f es continua en [a, b]}. Definamos d∞ X × X → R por

d∞ (f, g) = sup{|f (x) − g(x)| x ∈ [a, b]}.

Observe que como C[a, b] es subconjunto de B([a, b], R) y la función d∞ es la misma, entonces d∞ es una métrica. 12. Sea X = C[a, b]. Definamos d1 : X × X → R por Z b d1 (f, g) = |f (x) − g(x)| dx . a


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Recuerde que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] es Riemann– integrable en [a, b], esto nos dice que d1 (f, g) ∈ R. Las propiedades 1, 2, 3 y 4 son consecuencia de las propiedades de la integral de Riemann para funciones continuas. Observación. Si X = {f : [a, b] → R f es Riemann–integrable en [a, b]} y consideramos en X × X R b la misma función d1 , entonces d1 , en este caso, es una pseudométrica, ya que, a |f (x) − g(x)| dx = 0, no nos garantiza que f = g. 13. Sea X = C ′ [a, b] = {f : [a, b] → R f es continuamente diferenciable en [a, b]}. Definamos las siguientes funciones a) d(f, g) = d∞ (f, g). ¯ g) = d∞ (f ′ , g ′). b) d(f,

c) d′ (f, g) = d∞ (f, g) + d∞ (f ′ , g ′). El primer y tercer caso son métricas, el segundo caso es un ejemplo de una pseudométrica. 14. Sea f : R → R inyectiva. definimos df : R × R → R como df (x, y) = |f (x) − f (y)|. Es fácil demostrar que es una métrica en R. En el caso de que la función f no sea inyectiva, df es una pseudométrica, ya que no podemos garantizar que si df (x, y) = 0, entonces x = y. 15. Sea X cualquier conjunto diferente del vac´ıo. Definamos d : X × X → R por ( 1, si x 6= y, dd (x, y) = 0, si x = y. Es fácil probar que dd es una métrica. Esta métrica se conoce como la métrica discreta en X. Es una métrica u ´ til para contraejemplos, además de decirnos que podemos definir una métrica en cualquier conjunto.

2.2.

Construcci´ on de M´ etricas a Partir de M´ etricas Dadas.

1. Sea d una métrica en un conjunto X.

´ DE METRICAS ´ ´ 2.2. CONSTRUCCION A PARTIR DE METRICAS DADAS.

19

a) E ⊂ X. Definamos dE : E × E → R por dE (x, y) = d(x, y). Evidentemente dE es una métrica, llamada la métrica inducida por d. Se dice que E es un subespacio métrico de X, cuando E es considerado con la métrica inducida. b) Definamos dˆ : X × X → R como ˆ y) = m´ın{d(x, y), 1}. d(x, Es inmediato demostrar que dˆ es una métrica en X. c) Definamos d¯ : X × X → R por ¯ y) = d(x,

d(x, y) . 1 + d(x, y)

Las propiedades 1, 2 y 3 son fáciles de demostrar. Para la desigualdad trianx gular, se usa el hecho de que la función f (x) = es una función creciente 1+x para x > 0. Q 2. Para cada i = 1, . . . , n, sea di una métrica en el conjunto Xi y sea X = ni=1 Xi . Definamos d : X × X → R por: a) d(x, y) =

n X

di (xi , yi ), x = (x1 , . . . , xn ), y = (x1 , . . . , yn ).

i=1

Es inmediato que d es una métrica. b) d∞ (x, y) = máx{di(xi , yi), | i = 1, n}, x = (x1 , . . . , xn ), y = (x1 , . . . , yn ). También es inmediato que es una métrica. 3. Para cada i ∈ N, sea di una métrica en Xi y sea X = d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X i=1

Q

i∈N

Xi . Definamos

di (xi , yi ) . + di (xi , yi ))

2i (1

La demostración de este ejemplo se la dejamos al lector. Ver ejercicio 8.


20

2.3.

Conceptos Topol´ ogicos en Espacios M´ etricos.

Muchos conceptos en Rn se pueden trasladar de manera inmediata a espacios métricos (X, d). Definici´ on 2.2. Sea xo ∈ X y r > 0. La bola abierta con centro en xo y radio r, denotada por B(xo , r), es el conjunto B(xo , r) = {x ∈ X d(x, xo ) < r}. La bola cerrada con centro en xo y radio r, denotada por B[xo , r], es el conjunto B[xo , r] = {x ∈ X d(x, xo ) ≤ r}. La esfera con centro en xo y radio r, denotada por S(xo , r), es el conjunto S(xo , r) = {x ∈ X d(x, xo ) = r}.

Observación. Se pide que el radio r sea un n´ umero estrictamente positivo, de esta manera, garantizamos que la bola abierta y la bola cerrada sean conjuntos diferentes del vac´ıo, ya que al menos contienen al centro. En los espacios usuales, como R, R2 , R3 , estos conceptos, se corresponden con el nombre, y es importante mantener esta visión geométrica, pero debemos ser cuidadosos, ya que, en otros espacios la interpretación geométrica no se corresponde con la anterior, como veremos a continuación. Ejemplos. 1. En R con la métrica usual B(xo , r) = (xo − r, xo + r), B[xo , r] = [xo − r, xo + r], S(xo , r) = {xo − r, xo + r}. 2. En el intervalo [0, 1), con la métrica inducida de R, la bola abierta con centro en 0 y radio 1/2 es el intervalo [0, 1/2). 3. En R2 , con la métrica euclidiana, B(xo , r) es el interior del c´ırculo centrado en xo y radio r, B[xo , r] es el c´ırculo, y S(xo , r) es la circuferencia con centro en xo y radio r. En R3 la bola abierta es el interior de la esfera, la bola cerrada es el interior de la esfera con su cáscara y la esfera es la cáscara. Ver figura 1.1. 4. En R2 con la métrica d1 , se tiene

B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 |x − a| + |y − b| < r}

es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y rotado π/4 radianes con respecto a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.

´ ´ 2.3. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN ESPACIOS METRICOS.

21

5. En R2 con la métrica uniforme d∞ se tiene B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 máx{|x − a|, |y − b|} < r}

es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y lados parelelos a los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1. Las bolas en R2 con las m´ etricas d2 , d1 y d∞ .

Métrica Euclidiana

Métrica del taxista

Métrica uniforme

Figura 1.1

6. Sea X 6= ∅ con la métrica discreta. B(x, 1/2) = B[x, 1/2] = {x}, S(x, 1/2) = ∅.

B(x, 1) = {x}, B[x, 1] = X, S(x, 1) = X − {x}. B(x, 2) = B[x, 2] = X, S(x, 2) = ∅.

7. En C[a, b] con la métrica uniforme, d∞ la bola centrada en fo y radio r, es el conjunto de todas las funciones continuas cuyas gráficas están contenidas en la banda con centro en fo y radio r. Ver figura 1.2.


22

Las bolas en C[a, b] con la m´ etrica uniforme.

Figura 1.2

Definici´ on 2.3. Sea (X, d) un espacio métrico (pseudométrico), O ⊂ X. Diremos que O es un conjunto abierto o simplemente abierto, si O cumple la siguiente condición Si para cada x ∈ O existe r = rx > 0, tal que B(x, r) ⊂ O. Observaciones. En realidad, deberemos decir un conjunto d−abierto, ya que, un conjunto puede ser abierto con una métrica en X pero no con otra, pero en general como el espacio métrico permanece fijo, nos permitiremos decir, simplemente abierto. Note que si O no es un conjunto abierto, debe existir x ∈ O, tal que, para cada r > 0, B(x, r) no es subconjunto de O, es decir, existe zr ∈ B(x, r) con zr ∈ / O. El nombre de bola abierta no es casual, nos sugiere que ésta, es un conjunto abierto, como probaremos a continuación. Teorema 2.1. Toda bola abierta es un conjunto abierto.


23

Demostraci´ on: Sea y ∈ B(x, r). Tomemos r ′ = r −d(x, y) > 0, ya que d(x, y) < r. Ver figura 1.3. Probemos que B(y, r ′) ⊂ B(x, r). Sea z ∈ B(y, r ′), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + (r − d(x, y)) = r, luego, z ∈ B(x, r), por lo tanto, B(y, r ′) ⊂ B(x, r).

▲

r

. x

r’

• y

Figura 1.3 Obsérvese que este resultado se cumple para cualquier espacio métrico, independientemente de cual sea el conjunto y la métrica que se defina en él. El teorema siguiente es muy importante en el estudio de espacios métricos, ya que, con él, concluimos que todo espacio métrico es un espacio topológico, y de esta manera, estudiar en un marco más general, entre otros, los conceptos de sucesión convergente y de función continua. Teorema 2.2. Sea (X, d) un espacio métrico. (a) ∅, X son conjuntos abiertos. (b) La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. (c) La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Demostraci´ on:

El inciso (a) es evidente.


24

T Para (b). Sean O1 , O2T , . . . , On , n conjuntosTabiertos. Si ni=1 Oi = ∅ es inmediato de (a). Supongamos que ni=1 Oi 6= ∅, sea x ∈ ni=1 Oi , entonces, como x ∈ Oi y Oi es abierto, existen ri > 0, i = 1, n tales que B(x, ri ) ⊂ Oi , i = 1, n. Sea r = m´ın{ri i = 1, n}, obviamente r > 0. Como r ≤ ri as´ı que B(x, r) ⊂

Tn

B(x, r) ⊂ B(x, ri ) ⊂ Oi , i = 1, n,

i=1

Oi .

α ∈ I} una familia cualquiera de conjuntos abiertos en Para el inciso (c). Sea {O α S S S X. Si α∈I Oα = ∅ es inmediato de (a). Supongamos que α∈I Oα 6= ∅. Sea x ∈ α∈I Oα , entonces existe αo ∈ I, tal que x ∈ Oαo , como Oαo es abierto, existe r > 0 tal que [ B(x, r) ⊂ Oαo ⊂ Oα . Por lo tanto

S

α∈I

α∈I

Oα es un conjunto abierto.

▲

En general, la intersección arbitraria de abiertos no es abierta. Más adelante daremos el contraejemplo. Si “copiamos” la demostración que se hizo para el caso finito, T detectaremos un error. Sea x ∈ α∈I Oα . Como x ∈ Oα y Oα es un conjunto abierto, existe rα > 0 tal que B(x, rα ) ⊂ Oα . Tomemos r = ´ınf{rα α ∈ I}. Como r ≤ rα ,

B(x, r) ⊂ B(x, rα ) ⊂ Oα , α ∈ I, T T luego, B(x, r) ⊂ α∈I Oα , por lo tanto α∈I Oα es abierto. ¿Dónde se encuentra el error? Respuesta: No podemos garantizar que r > 0. Esto no nos garantiza que sea falso que la intersección arbitraria de abiertos sea un conjunto abierto. Para demostrar la falsedad de esta afirmación, necesitamos dar un contraejemplo. Consideremos R con la métrica usual, T para cada n ∈ N, se tiene que B(0, 1/n) = (−1/n, 1/n) es un conjunto abierto, pero n∈N B(0, 1/n) = {0}. Este conjunto no es abierto. A la familia τ formada por todos los conjuntos abiertos, se le llama la topolog´ıa inducida por la métrica d. Ejemplos. 1. En R con la métrica usual los siguientes conjuntos son abiertos: (a, b), (a, ∞), (−∞, b). Sin embargo, existen métricas en donde un intervalo abierto no es un conjunto abierto, as´ı que debemos ser cuidadosos para no confundir ambos conceptos. Los siguientes conjuntos, con la métrica usual, no son abiertos en R [a, b], [a, b), (a, b], (−∞, b], [a, ∞), N, Z, Q.


25

2. Sea X = [0, 1), con la métrica inducida de R. El intervalo [0, 1/2) es un conjunto abierto. 3. En R2 con la métrica euclidiana, son abiertos, el interior de un rectángulo, el interior de un semiplano, el interior de un c´ırculo, el interior de un triángulo, etc. No son abiertos, estas mismas figuras, si inclu´ımos al menos un punto de su frontera, N × N, N × A, con A ⊂ R, A 6= ∅. 4. Sean X 6= ∅ y dd la métrica discreta en X. En este caso, cualquier subconjunto A de X es abierto. 5. Sea X = C[0, 2π] con la métrica uniforme y O = {sen x + k 0 < k < 1}

no es un conjunto abierto. En realidad, para cualquier función f ∈ O, es decir, de la forma f (x) = sen x + ko y r > 0, la función g(x) = sen x + r/2 sen 8x + ko ∈ B(f, r) yg∈ / O.

Definici´ on 2.4. Sean (X, d) un espacio métrico y F ⊂ X. Decimos que F es un conjunto cerrado, si F C es un conjunto abierto. Observaci´ on. En un espacio métrico, puede ocurrir que un subconjunto de él, no sea abierto, ni cerrado. También podemos encontrar conjuntos que son abiertos y cerrados al mismo tiempo. Además el hecho de que un conjunto no sea abierto, no significa que el conjunto sea cerrado. De manera análoga, si un conjunto no es cerrado, no implica que sea un conjunto abierto. Probaremos, ahora, resultados similares a los probados para conjuntos abiertos. Teorema 2.3. Sea (X, d) un espacio métrico. 1. B[x, r] es un conjunto cerrado, para cada x ∈ X y r > 0. 2. ∅ y X son conjuntos cerrados. 3. La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 4. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.


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Demostraci´ on: Para 1. sea y ∈ B[x, r]C . Tomemos s = d(x, y) − r > 0. Probaremos que B(y, s) ⊂ B[x, r]C . Sea z ∈ B(y, s), se tiene que d(y, z) < s = d(x, y) − r, de ésto y de la desigualdad del triángulo, obtenemos r < d(x, y) − d(y, z) ≤ d(x, z). Hemos demostrado que z ∈ B[x, r]C , por lo tanto, B(y, s) ⊂ B[x, r]C , es decir, B[x, r]C es un conjunto abierto. La demostración del 2. es inmediata, ya que ∅C = X y X C = ∅. 3. y 4. se demuestran, usando las leyes de Morgan. ▲ Ejemplos. 1. Los conjuntos unitarios en espacios métricos son conjuntos cerrados. Es inmediata su demostración. De esto y 4. del teorema inmediato anterior, se infiere que todo conjunto finito en un espacio métrico es un conjunto cerrado. 2. En R con la métrica usual, los intervalos de la forma [a, b], [a, ∞), (−∞, a] son conjuntos cerrados. Los intervalos de la forma [a, b), (a, b] no son conjuntos, ni abiertos, ni cerrados. N y Z son conjuntos cerrados, pero Q no es un conjunto, ni abierto, ni cerrado. 3. Sea dd la métrica discreta en un conjunto X. Ya demostramos que todo subconjunto de X es abierto, de aqu´ı se infiere que todo subconjunto de X es cerrado, es decir, en este caso, todo subconjunto de X es abierto y cerrado simultáneamente. A continuación, presentaremos una serie de conceptos que son generalizaciones de conceptos familiares en Rn . Definici´ on 2.5. Sean (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X y x ∈ X. 1. x es un punto interior de A, si existe un conjunto abierto O = Ox , tal que x ∈ O ⊂ A. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto interior de A, si existe r = rx > 0 tal que B(x, r) ⊂ A El interior de A, denotado por int(A) ó Ao es el conjunto de los puntos interiores de A. 2. V = Vx es una vecindad de x, si x es un punto interior de V . 3. x es un punto de acumulaci´ on de A, si para cada vecindad V = Vx de x se cumple que (V − {x}) ∩ A 6= ∅. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto de acumulación de A, si para cada r > 0, B(x, r) − {x} ∩ A 6= ∅ El conjunto de los puntos de acumulaci´ on de A se denota por A′ . Algunos autores le llaman a este conjunto, el conjunto derivado de A.


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4. x es un punto adherente de A, si para cada vecindad V = Vx de x se tiene que V ∩ A 6= ∅. Esta definición es equivalente a: x es punto adherente de A, si para cada r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅. La cerradura del conjunto A denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A. 5. x es un punto exterior a A si existe una vecindad V = Vx de x, tal que x ∈ V ⊂ AC . El exterior de A, denotado por ext(A) es el conjunto de todos los puntos exteriores de A. 6. x es un punto frontera de A si toda vecindad V = Vx de x cumple que V ∩ A 6= ∅ y V ∩ AC 6= ∅. La frontera de A, es el conjunto formado por todos los puntos frontera de A y se denota fr(A). 7. x es un punto aislado de A, si existe una vecindad V = Vx de X tal que V ∩A = {x}. Ejemplos. 1. En R con la métrica usual: a) int(Q) = ∅, ext(Q) = ∅, fr(Q) = R, Q′ = R, Q = R.

b) int(N) = ∅, ext(N) = R − N, fr(N) = N, N′ = ∅, N = N.

c) int[a, b) = (a, b), ext[a, b) = (−∞, a) ∪ [b, ∞), fr[a, b) = {a, b}, [a, b)′ = [a, b], [a, b) = [a, b].

2. Sea X = (0, 1] ∪ {2} con la métrica usual; sea A = {2}, entonces int(A) = A, ext(A) = (0, 1], fr(A) = ∅, A′ = ∅, A = A. 3. En cualquier espacio métrico un conjunto finito no tiene puntos de acumulación, pero el hecho de que un conjunto no tenga puntos de acumulación, no significa que sea finito, (sea N ⊂ R con la métrica usual). También observe que si A′ 6= ∅ entonces A debe ser un conjunto infinito. 4. El siguiente ejemplo nos muestra que la cerradura de la bola abierta no es necesariamente la bola cerrada (como ocurre en Rn con la métrica usual). Considere R con la métrica discreta, tomemos B(x, 1), B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = R. A continuación, presentaremos algunas propiedades de estos conceptos y su relación con los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado. Teorema 2.4. Sea A ⊂ X, entonces X = int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A). Además, estos conjuntos son disjuntos dos a dos.


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Le dejamos al lector, demostrar este resultado. Teorema 2.5. Sea (X, d) un espacio métrico. 1. int(A) ⊂ A. 2. Para cada A ⊂ X, int(A) es un conjunto abierto. 3. El interior de A es el m´ aximo conjunto abierto contenido en A, es decir, [ int(A) = {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}. 4. A es un conjunto abierto, si y s´ olo si, int(A) = A. 5. Si A ⊂ B, entonces int(A) ⊂ int(B). 6. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). ¿Ser´ a int

T

α∈I

T Aα = α∈I int(Aα )?

7. int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B). la contenci´ on puede ser estricta.

Demostraci´ on: La demostraciones de 1, 2, 4 y 5 son obvias. Para la demostración de 3, como int(A) es abierto e int(A) ⊂ A, tenemos que [ int(A) ⊂ {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}.

S Para la otra contención, sea x ∈ {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}, entonces existe un conjunto abierto O tal que x ∈ O y O ⊂ A, entonces x ∈ int(A), por lo tanto, S {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A} ⊂ int(A). As´ı, hemos demostrado la igualdad. Para la demostración de 6, int(A) ⊂ A e int(B) ⊂ B, por lo tanto int(A) ∩ int(B) ⊂ A ∩ B. Como int(A) ∩ int B es un conjunto abierto, que está contenido en A ∩ B, por 3, se concluye que int(A) ∩ int(B) ⊂ int(A ∩ B).

Para la otra contención, sea x ∈ int(A ∩ B), entonces existe O abierto tal que x ∈ O ⊂ A ∩ B, de aqu´ı se concluye que x ∈ O ⊂ A y x ∈ O ⊂ B, es decir, x ∈ int(A) ∩ int B. Obsérvese que este u ´ ltimo argumento se puede usar para demostrar que el interior de la intersección arbitraria de conjuntos es un subconjunto de la intersección de los interiores de estos conjuntos, pero que el argumento inicial de esta demostración no se puede usar, en general, (ya que la intersección arbitraria de abiertos no necesariamente


29

es abierta). Esto nos da un indicio de que la respuesta a la pregunta del inciso 6 es no. Un contraejemplo es: tome An = (−1/n, 1/n) ⊂ R considerando R con la métrica usual. La demostración de 7 se deja al lector. ▲ Teorema 2.6. Sea (X, d) un espacio métrico. 1. A ⊂ A. 2. Para cada A ⊂ X, A es un conjunto cerrado. 3. Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B. 4. A es cerrado, si y sólo si, A = A. 5. A es el m´ınimo conjunto cerrado que contiene a A, es decir, \ A = {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }. olo si, A′ ⊂ A. 6. A′ ⊂ A, A = A ∪ A′ y A es cerrado, si y s´

7. A = int(A) ∪ fr(A). 8. A ∩ B ⊂ A ∩ B. La contención puede ser propia. S S 9. A ∪ B = A ∪ B. ¿Será α∈I Aα = α∈I Aα ?

Demostraci´ on: La demostración de 1 y 3 son inmediatas. Para 2, demostraremos que (A)C es un abierto. Sea x ∈ (A)C , entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅, como B(x, r) es vecindad de cada uno de sus puntos, tenemos que B(x, r) ⊂ (A)C . La demostración de 4 se le deja al lector. Para 5, como A es un conjunto cerrado que contiene a A se concluye que \ {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F } ⊂ A.

La otra contención se sigue de 3 y 4, ya que si F es cualquier cerrado, tal que A ⊂ F , entonces A ⊂ F = F, T as´ı que A ⊂ {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }. Para 6, es claro que A′ ⊂ A, además, como A′ ⊂ A y A ⊂ A, entonces A′ ∪ A ⊂ A. Para la otra contención, sea x ∈ A, entonces, si x ∈ A, ya terminamos, si x ∈ / A, como

30


x ∈ A, entonces toda vecindad de x intersecta a A en un punto diferente de x, es decir, x ∈ A′ . Por lo tanto A ⊂ A ∪ A′ . Que A es cerrado, si y sólo si, A′ ⊂ A es consecuencia de las dos anteriores. Las demostraciones de 7, 8 y 9 de dejan al lector. ▲ A continuación veremos un criterio para determinar cuando un punto es punto de acumulación de un conjunto. Teorema 2.7. Sea A un subconjunto del espacio métrico X. x ∈ A′ , si y sólo si, para toda vecindad V de x, existe un subconjunto C de A, infinito, con C ⊂ V . Demostraci´ on: ⇒] Probaremos la contrarrec´ıproca. Basta demostrar este resultado para bolas abiertas centradas en x. Supongamos que existe una bola B(x, r) tal que B(x, r) contiene a lo más una cantidad finita de puntos de A, digamos A ∩ B(x, r) = ∅ ó {x1 , x2 , . . . , xn } = (A ∩ B(x, r)), xi 6= x. Es claro que si A ∩ B(x, r) = ∅ entonces, x ∈ / A′ . En el otro caso, consideremos ro = m´ın{r, d(xi , x) i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos B(x, ro ), entonces (B(x, ro ) − {x}) ∩ A = ∅. ⇐] Sea V vecindad de x. Consideremos V − {x}, como V contiene una cantidad infinita de puntos de A, podemos tomar z ∈ A, z 6= x y z ∈ V , por lo tanto x ∈ A′ . ▲ Obsérvese que de este teorema, se deduce que un conjunto finito no puede tener puntos de acumulación. Sin embargo, existen conjuntos infinitos que tampoco tienen puntos de acumulación, por ejemplo, en R con la métrica usual, el conjunto N no tiene puntos de acumulación. Sean (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X. Hemos visto que Y hereda la métrica de X y podemos considerar a Y como espacio métrico. Adoptaremos la siguiente notación, BY (y, r), BY [y, r], SY (y, r) para la bola abierta, bola cerrada, esfera en Y y les llamaremos la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro en y y radio r relativa en Y . De manera similar diremos abierto, cerrado relativo en Y cuando nos refiramos a abiertos y cerrados en Y . También adoptaremos la notación AY para la cerradura de A ⊂ Y en Y y notaciones similares para los demás conceptos. En el siguiente teorema, veremos la relación de estos conceptos en el espacio métrico Y con respecto al espacio métrico X. La demostración de estas afirmaciones es elemental y la dejaremos como ejercicio al lector. Teorema 2.8. Sea (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X, entonces 1. Sea y ∈ Y , entonces BY (y, r) = Y ∩ B(y, r).

´ 2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS METRICOS.

31

2. Sea A ⊂ Y, A es abierto relativo en Y , si y s´ olo si, existe O abierto en X tal que A = Y ∩ O. 3. Sea A ⊂ Y, A es cerrado relativo en Y , si y s´ olo si, existe F cerrado en X tal que A = Y ∩ F. 4. AY = Y ∩ A, A′Y = Y ∩ A′ , intY (A) ⊃ Y ∩ int(A) y frY (A) = Y ∩ fr(A), donde A ⊂Y. Observaci´ on. No necesariamente un abierto, cerrado relativo en Y es abierto, cerrado en X, por ejemplo, en R con la métrica usual, consideremos Y = [0, 1), el conjunto [0, 1/2) es un abierto relativo en Y , de hecho, es la bola abierta relativa en Y con centro en 0 y radio 1/2, este conjunto no es abierto en R. Sin embargo tenemos el siguiente resultado, cuya demostración es inmediata. Teorema 2.9. Sean (X, d) un espacio métrico, Y ⊂ X cerrado (abierto) en X y A ⊂ Y . Si A es cerrado (abierto) relativo en Y , entonces A es cerrado (abierto) en X.

2.4.

Conjuntos Acotados en Espacios M´ etricos.

Definici´ on 2.6. Sea A un conjunto no vac´ıo en (X, d) espacio métrico. Decimos que A es acotado, si existe k ∈ R, k > 0 tal que para todo x, y ∈ A, se tiene que d(x, y) ≤ k. Obsérvese que decir que un conjunto A no es acotado, equivale a decir que, para todo k > 0 existen xo , yo ∈ A tales que d(xo , yo) > k. Evidentemente si B ⊂ A, y A es acotado, entonces B también es acotado. Ejemplos. 1. En cualquier espacio métrico X, la bola abierta B(a, r), la bola cerrada B[a, r] y la esfera S(a, r), A son conjuntos acotados. Esta afirmación se demuestra fácilmente usando la desigualdad triángular, esto es, si x, y pertenecen a cualquiera de estos conjuntos, se tiene que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y). 2. Consideremos en (R2 , d2 ), el conjunto A = {(x, y) xy = 1}.

32

´ CAPÍTULO 2. ESPACIOS METRICOS. Este conjunto no es acotado. Sea k > 0, elijamos a, b ∈ A de la siguiente manera: a = (n, 1/n), b = (1/n, n) con n ∈ N. Entonces la distancia entre a y b es p √ d2 ((n, 1/n), (1/n, n)) = (n − 1/n)2 + (n − 1/n)2 = 2(n − 1/n) k como n − 1/n > n − 1, si tomamos n ∈ N tal que n > √ + 1 entonces 2 √ d2 (a, b) > 2(n − 1) > k.

3. En el mismo (R2 , d2 ), consideremos el conjunto C = {(x, y) 4(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1}. Este conjunto s´ı está acotado. La demostración es sencilla.

4. En R con la métrica usual, el concepto de conjunto acotado mediante la definición dada coincide con el que ya conoc´ıamos, es decir, “A es acotado, si existe k > 0 tal que para todo x ∈ A, |x| ≤ k”. Sea A acotado, entonces existe k > 0 tal que d(x, y) = |x−y| ≤ k, fijemos y ∈ A despejemos x y obtenemos que y−k ≤ x ≤ y+k para todo x ∈ A, lo cual significa que A está acotado inferior y superiormente, o sea, A está acotado.

El que un conjunto A sea acotado nos lleva a considerar que el conjunto de n´ umeros reales {d(x, y) x, y ∈ A} es un conjunto acotado superiormente, luego tiene sentido considerar el supremo de este conjunto, el cual nos proporciona la siguiente definición. Definici´ on 2.7. Sea X un espacio métrico y sea A un conjunto no vac´ıo y acotado. Llamamos “diámetro de A” al n´ umero δ(A) = sup{d(x, y) x, y ∈ A}. Si un conjunto no está acotado, decimos que carece de diámetro, algunos autores dicen que δ(A) = ∞. además, si el conjunto {d(x, y) x, y ∈ A} está acotado superiormente, entonces A está acotado. Si A es acotado y B ⊂ A, entonces B es acotado y δ(B) ≤ δ(A). Este resultado es evidente. Un resultado importante y de mucha utilidad, como veremos más adelante, es el siguiente.

´ 2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS METRICOS.

33

Teorema 2.10. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un conjunto no vac´ıo. A es acotado, si y sólo si, está contenido en una bola abierta. Demostraci´ on: ⇐] Como toda bola abierta B(x, r), x ∈ X, r > 0 es acotada, y A ⊂ B(x, r), entonces A es acotado. ⇒] Sea δ(A) el diámetro de A, sea xo ∈ X un punto cualquiera. Construiremos una bola centrada en x0 que contenga a A. Sea z ∈ A y definamos el radio de la bola as´ı: r = d(z, xo ) + δ(A) + 1. Veamos que todo elemento x de A pertenece a B(xo , r) d(x, xo ) ≤ d(x, z) + d(z, xo ) ≤ δ(A) + d(z, xo ) < δ(A) + d(z, xo ) + 1. Esto es, x ∈ B(xo , r).

▲

Ejemplos. 1. Todo conjunto unitario tiene diámetro cero. Rec´ıprocamente, si δ(A) = 0, entonces, para todo x, y ∈ A se tiene que 0 ≤ d(x, y) ≤ 0, o sea x = y, luego A es unitario. 2. Toda bola abierta B(x, r) (cerrada B[x, r]) en un espacio métrico tiene diámetro ≤ 2r. No necesariamente su diámetro es 2r, por ejemplo, en el espacio métrico discreto, B(x, 1) = {x} y su diámetro es cero. 3. En R con la métrica usual, δ((a, b)) = δ([a, b]) = δ({a, b}) = b − a. Obsérvese que estos conjuntos son diferentes, en el primer caso, no existen elementos del conjunto (a, b) tales que d(x, y) = b − a, a diferencia del segundo conjunto y el tercer conjunto, en donde d(a, b) = b − a. El ejemplo 3 anterior, se generaliza para un conjunto acotado y su cerradura. Teorema 2.11. Sea (X, d) espacio métrico. Si A ⊂ X es un conjunto acotado, entonces δ(A) = δ(A). Demostraci´ on: Como A ⊂ A, se tiene que δ(A) ≤ δ(A). Para la otra desigualdad, sea ǫ > 0 y sean x, y ∈ A. Entonces B(x, ǫ/2) ∩ A 6= ∅

y

B(y, ǫ/2) ∩ A 6= ∅.


34

Tomemos p ∈ B(x, ǫ/2) ∩ A y q ∈ B(y, ǫ/2) ∩ A, entonces d(x, y) ≤ d(x, p) + d(p, y) ≤ d(x, p) + d(y, q) + d(p, q) < δ(A) + ǫ. De esta desigualdad se deduce que A es acotado y que δ(A) ≤ δ(A) + ǫ, como ǫ es arbitrario, se concluye que δ(A) ≤ δ(A). Luego, se tiene la igualdad.

▲

Como consecuencia inmediata se tiene el siguiente resultado. Corolario 2.1. Un conjunto A es acotado, si y s´ olo si, A es acotado. Otro concepto que involucra distancias es el siguiente. Definici´ on 2.8. Sean X un espacio métrico, A y B subconjuntos no vac´ıos de X. Se define la distancia entre los conjuntos A y B como d(A, B) = ´ınf{d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. Observaciones.

d(A, B) no es propiamente una distancia, a pesar de su nombre. d(A, B) = d(B, A) para toda A, B ⊂ X, es decir cumple con el axioma de simetr´ıa. Si A ∩ B 6= ∅ entonces d(A, B) = 0. El rec´ıproco no se cumple, se puede tener que d(A, B) = 0 y sin embargo, A ∩ B = ∅, por ejemplo A = (0, 1), B = (1, 2). Si el conjunto A está formado por un u ´ nico punto a, la distancia se denomina distancia de un punto a un conjunto: d(a, B) = ´ınf{d(a, b) b ∈ B}. Ejemplos.

1. Sean X = R con la métrica usual y B = Q. Para cualquier a ∈ R, se cumple que d(a, Q) = 0. También d(Q, I) = 0, donde I es el conjunto de n´ umeros irracionales.

2.5. CONJUNTOS TOTALMENTE ACOTADOS EN ESPACIOS

´ METRICOS.

35

2. Sean R con la métrica usual y A = (1, 2]. Se comprueba directamente que d((3/2, A) = ´ınf a∈A |3/2 − a| = 0 d(1, A) = ´ınf a∈A |1 − a| = 0 d(0, A) = ´ınf a∈A |a| = 1. 3. Sean R2 con la métrica del taxista y A = {(x, y) ∈ R2 y = x2 } = {(x, x2 ) x ∈ R} entonces

d2 ((2, 0), A) = ´ınf (x,y)∈A d2 ((2, 0), (x, y)) = ´ınf x∈R d2 ((2, 0), (x, x2 )) p = ´ınf x∈R { (2 − x)2 + x2 } √ √ 2´ınf x∈R 2 − 2x + x2 = Si definimos f (x) =

√

2 − 2x + x2 , se tiene que

0 = f ′ (x) = √

x−1 , si y sólo si, x = 1 2 − 2x + x2

luego ´ınf x∈R f (x) = f (1) = 1. √ Por lo tanto d2 ((2, 0), A) = 2. Una desigualdad auxiliar que se usará con frecuencia es la siguiente. Teorema 2.12. Sea X un espacio métrico, A ⊂ X un subconjunto no vac´ıo y x, y ∈ X. Entonces. |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). Dejamos la demostración al lector.

2.5.

Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios M´ etricos.

Otro concepto, que utilizaremos más adelante, es el de conjunto totalmente acotado, el cual es más fuerte que el de conjunto acotado, como veremos enseguida.


36

Definici´ on 2.9. Sea (X, d) un espacio métrico. Diremos que A ⊂ X es totalmente acotado (algunos autores le llaman precompacto), si para todo ǫ > 0, existe un conjunto finito de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ A, tales que A⊂

n [

B(xi , ǫ).

i=1

Ejemplos. 1. Si A es finito, evidentemente es totalmente acotado. 2. Si X tiene la métrica discreta y A ⊂ X es totalmente acotado, entonces A es finito. 3. En R el intervalo (0, 1) es totalmente acotado: sea ǫ > 0, para dicha ǫ existe n ∈ N tal que 1/2n < ǫ. Los puntos xi =

2i − 1 2n

i = 1, 2, . . . , n,

pertenecen al intervalo (0, 1) y dividen al intervalo en subintervalos de longitud 1/n. Si y ∈ (0, 1), entonces y pertenece a uno de los subintervalos, es decir, existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que y ∈ [(i − 1)/n, i/n], de donde d(y, xi) ≤ 1/2n < ǫ. De aqu´ı conclu´ımos que n [ (0, 1) ⊂ B(xi , ǫ). i=0

Teorema 2.13. En un espacio métrico (X, d), todo conjunto totalmente acotado es acotado. Demostraci´ on: Sea A ⊂ X totalmente Sn acotado y ǫ = 1, entonces existe un conjunto {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ A, tales que A ⊂ i=1 B(xi , 1). Sea h = máx{d(xi , xj ) i = 1, 2, . . . , n}.

Si x, y ∈ A, por la hipótesis x ∈ B(xi , 1) para alguna i y y ∈ B(xj , 1) para alguna j. Luego d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) < 1 + h + 1 = 2 + h. Por lo tanto, A es acotado. ▲

37

2.6. EJERCICIOS.

El rec´ıproco no siempre es cierto, un conjunto puede ser acotado y no ser totalmente acotado: sea X un espacio infinito, con la métrica discreta, cualquier subconjunto A de X está acotado, ya que, δ(A) = 1, pero, si A es infinito, es fácil demostrar que no es totalmente acotado. Sin embargo, en R, con la métrica usual, veremos más adelante que todo conjunto acotado es totalmente acotado. Teorema 2.14. Sea (X, d) espacio métrico. Si A ⊂ X es totalmente acotado entonces cualquier subconjunto no vac´ıo de A es totalmente acotado. Demostraci´ on: Sea C ⊂ A, con C 6= ∅. Dado ǫ > 0, existe un conjunto finito x1 , x2 , . . . , xn de elementos de A, tales que A⊂

n [

B(xi , ǫ/2).

i=1

Eliminemos las bolas cuya intersección con C sea vac´ıa, reordenando ´ındices, tenemos que m [ C⊂ B(xj , ǫ/2), m ≤ n. j=i

Consideremos ahora, para cada j = 1, 2, . . . , m, zj ∈ C ∩B(xj , ǫ/2) y la bola B(zj , ǫ). Veamos que B(xj , ǫ/2) ⊂ B(zj , ǫ). Sea y ∈ B(xj , ǫ/2), entonces d(y, zj ) ≤ d(y, xj ) + d(xj , zj ) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ,

luego, y ∈ B(zj , ǫ), de donde C⊂

m [

B(zj , ǫ).

j=1

Lo que significa que C está totalmente acotado. ▲

2.6.

Ejercicios.

1. Sea X 6= ∅, a) Sea d : X × X → R, una función que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y sólo si, x = y. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), para cada x, y, z ∈ X.

Demuestre que d es una métrica en X.


38

b) d : X × X → R una función que cumple las siguientes propiedades: d(x, y) = 0, si y sólo si, x = y. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), para cada x, y, z ∈ X.

¿Es d una métrica en X?

2. Sea g : [0, ∞) → R tal que g(0) = 0, con g estrictamente creciente y que satisface g(x + y) ≤ g(x) + g(y) para todo x ≥ 0, y ≥ 0. Pruebe que si d es una métrica en un conjunto X, entonces d1 = g ◦ d es también una métrica en X. 3. De las siguientes funciones, determine cuáles son métricas en R. a) d(x, y) = (x − y)2 ,

b) d(x, y) = |x2 − y 2|, 3

3

x, y ∈ R.

x, y ∈ R.

c) d(x, y) = |x − y |, x, y ∈ R. p d ) d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R. e) d4 (x, y) = |x − 2y|, f ) d5 (x, y) =

x, y ∈ R.

|x − y| , x, y ∈ R. 1 + |x − y|

4. Sea d : R2 × R2 → R definida por d(x, y) = |x1 − y1 |, donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ¿es d una métrica en R2 ? ¿es una pseudométrica? 5. Sean d1 , d2 , . . . , dn métricas en un conjunto X. demuestre que d(x, y) =

n X i=1

di (x, y), para x, y ∈ X

es una métrica en X. 6. Sean (R2 , d2 ) (d2 métrica euclidiana) y A ⊂ R2 , definido por a) A = {(x, y) ∈ R2 (x − 2)2 + y 2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 (x + 2)2 + y 2 ≤ 1}. Determine en (A, d2 ) los puntos a ∈ A que verifican d2 (0, a) ≤ 1.

b) A = {(x, y) ∈ R2 y = x2 }. Proporcione una forma expl´ıcita de las métricas inducidas por d1 , d2 y d∞ en A.

39

2.6. EJERCICIOS.

7. Encuentre todas las métricas en un conjunto X que conste de sólo dos puntos. También en X, donde X consta de un sólo punto. 8. Sea {(Xi , di), i ∈ N} una sucesión de espacios métricos. Q Sea X = i∈N Xi = {{xi } xi ∈ Xi , i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X i=1

di (xi , yi) , donde x = {xi } , y = {yi }. + di (xi , yi ))

2i (1

Demuestre que d es una métrica. 9. Sea (X, d) un espacio métrico. Definamos d : X × X → R como d(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. Demuestre que d es una métrica. 10. Sean X 6= ∅, (Y, d) espacio métrico y φ : X → Y una función inyectiva. Definamos d1 : X × X → R como d1 (x, z) = d(φ(x), φ(z)). Demuestre que d1 es una métrica en X. En el caso de que φ no sea inyectiva, demuestre que d1 es una pseudométrica en X. 11. Sea (X, d) espacio métrico. Definamos d : X × X → R como p d(x, y) = d(x, y). ¿Es d una métrica en X? Si definimos d como

d(x, y) = (d(x, y))2, ¿es d una métrica en X? 12. Sean A 6= ∅, A ⊂ R y X = RA = {f : A → R f es función }. Sea xo ∈ A, definamos dxo : X × X → R como dxo (f, g) = |f (xo ) − g(xo)|.

¿Es dxo una métrica en X? ¿es pseudométrica? 13. Sea P(N) el conjunto potencia de N. Para cada A, B ∈ P(N), definamos d : P(N) × P(N) → R como d(A, B) = 0, si A = B, d(A, B) = 1/m, donde m es el n´ umero natural más peque˜ no que está en A o en B, pero no en ambos.


40 a) Demuestre que d es una métrica.

b) Calcule d(A, B) en los siguientes casos: A = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}, B = {1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . .}. A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 6}. A = {2, 3, 5}, B = {4, 6, 8}.

c) Sea {Xn }, n ∈ N una sucesión creciente de subconjuntos de N. Demuestre S∞ que la sucesión {Xn } converge a i=1 Xi en esta métrica.

14. Sea D = {z ∈ C |z| ≤ 1}. Definamos d : D × D → R por

( |z − w|, si arg(z) = arg(w) o´ z = 0 o´ w = 0. d(z, w) = |z| + |w|, en los otros casos.

Demuestre que d es una métrica en D. 15. Sea X = {{xi } xi ∈ {0, 1}, i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como d(x, y) =

∞ X |xi − yi | i=1

2i

.

Demuestre que d es una métrica en X. (X, d) es llamado el espacio de Cantor. 16. Sea 0 < α ≤ 1. Definamos d : R × R → R como d(x, y) = |x − y|α . Demuestre que d es una métrica. 17. La métrica de la Oficina Postal. Sea X = R2 y d la métrica euclidiana. Definamos dˆ : R2 × R2 → R como ( ˆ y) = d(0, x) + d(0, y), si x 6= y, d(x, 0, si x = y. Demuestre que dˆ es una métrica en R2 y que {x}, x ∈ R2 , x 6= 0, es un conjunto abierto.

41

2.6. EJERCICIOS. 18. Definamos d : R2 × R2 → R por   1/2, si (x1 = y1 y x2 6= y2 ) ó (x1 6= y1 y x2 = y2 ), d(x, y) = 1, si x1 6= y1 y x2 6= y2 ,   0, si x = y, donde x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ).

Pruebe que d es una métrica en R2 . 19. Definamos d : R × R → R por ( 1 + |x − y|, si uno y sólo uno de los dos es positivo, d(x, y) = |x − y|, en los otros casos. Pruebe que d es una métrica. 20. Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }, es decir, X es un conjunto numerable. Demuestre que  1  1+ , si i 6= j, d(xi , xj ) = i+j  0, si i = j. es una métrica. A (X, d) se le conoce como el espacio métrico de Sierpinski.

21. Sea X = {f : N → N | f es función }. Definimos d(f, g) =

∞ X i=1

|g(i) − f (i)| . + |g(i) − f (i)|)

2i (1

Demuestre que d es una métrica. A (X, d) se le conoce como el espacio de Baire. 22. El siguiente espacio métrico, llamado el espacio nulo de Baire tiene aplicaciones en la teor´ıa de comunicaciones: Sea Y = {f : N → N | f es función }. Definimos  0, si f (i) = g(i) para todo i, d(f, g) = 1  , si i es el primer ´ındice tal que f (i) 6= g(i). i

Demuestre que d es una métrica.


42

23. Sea X = N. Demuestre que la función d : N × N → R definida por d(n, m) =

|n − m| nm

es una métrica en N. 24. Sea X = N × N. Definimos |da − bc| d (a, b), (c, d) = , bd

para (a, b), (c, d) ∈ N × N. Demuestre que d es una métrica. 25. Sea (X, d) un espacio métrico. Demuestre: a) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), para cada x, y, z ∈ X.

b) |d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w), para cada x, y, z, w ∈ X.

c) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para cada x, y ∈ X y A ⊂ X.

d ) Si A ⊂ B ⊂ A, entonces d(x, A) = d(x, B) = d(x, A), x ∈ X. 26. Sea (X, d) un espacio métrico, sean A, B, C ∈ P(X).

Definamos d : (P(X) − ∅) × (P(X) − ∅) por d(A, B) = ´ınf{d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}. a) ¿Es d una métrica? ¿es una pseudométrica?

b) Si A ∩ B 6= ∅, demuestre que d(A, B) = 0. ¿Es válido el rec´ıproco?

c) Si d(A, B) 6= 0, entonces A ∩ B = ∅. Demuestre que el rec´ıproco no es verdadero, aunque A y B sean cerrados. Sug. En R con la métrica usual, considere A = N y B = {n + 1/2n n ∈ N}.

d ) d(A, B) = d(A, B).

e) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) + δ(B).

f ) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(A ∪ B, C) + δ(B).

g) d(A, B ∪ C) = m´ın{d(A, B), d(A, C)}.

27. Demuestre que si f, g : [a, b] → R son funciones continuas, entonces Z

b a

2 Z b Z b 2 f (t)g(t) dt ≤ f (t) dt g 2 (t) dt . a

a

43

2.6. EJERCICIOS. Usando esta desigualdad, demuestre que d(f, g) =

Z

b 2

a

(f (t) − g(t)) dt

1/2

es una métrica en el conjunto C = {f : [a, b] → R f es continua }

28. Si (Y, d′ ) es un subespacio métrico de (X, d), pruebe que:

a) F ⊂ Y es cerrado en Y , si y sólo si, existe L cerrado en X, tal que F = L ∩ Y . b) Y es cerrado en X, si y sólo si, todo abierto U en Y , es abierto en X.

c) Y es cerrado en X, si y sólo si, todo cerrado U en Y es cerrado en X. o d ) Si F ⊂ Y , entonces FY = FX ∩ Y y FY = X − (X − F ) ∩ Y .

29. Sean (X, d) un espacio métrico, A, B ⊆ X con A 6= ∅ = 6 B y xo ∈ X. Demuestre que: a) xo ∈ A ⇒ d(xo , A) = 0.

b) No siempre se cumple que d(xo , A) = 0 ⇒ xo ∈ A.

c) x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0.

d ) d(A, B) = ´ınf{d(x, B) x ∈ A} = ´ınf{d(y, A) y ∈ B}. e) A ∩ B 6= ∅ ⇒ d(A, B) = 0.

f ) No siempre se cumple que d(A, B) = 0 ⇒ A ∩ B 6= ∅.

30. Sea (R, | · |), pruebe que: ( ) 1 a) Si S = x ∈ R x = , n ∈ N , entonces n o

S = ∅. S = S ∪ {0}. S ′ = {0}. fr S = S ∪ {0}. ( ) ′ 1 1 ′ ′ ′ ′ b) Si A = + n, m ∈ N , entonces (A ) 6= ∅. y (A) = ∅. n m o

c) Existe A ⊂ R, tal que A = ∅ y A = R.


44

d ) Si E ⊂ R, E 6= ∅, E es acotado y y = sup E entonces y ∈ E. 31. Sean A, B ⊂ (X, d). a) ¿Será cierto qué: i) fr A ⊂ fr A,

o

ii) fr A ⊂ fr A,

iii) fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B?

b) Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B. 32. Sean (X, d) y A ⊂ X. Verifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Si A es finito, entonces A′ = ∅.

b) Sea X = R con la métrica usual, y sea A no numerable, entonces A′ 6= ∅. c) Sea A′ numerable, entonces A es numerable.

d ) Si A es numerable , entonces A′ es numerable. e) A′ = ∅ ⇒ A es finito. 33. Sea (X, d) un espacio métrico. A y B subconjuntos de X. Pruebe que a) δ(A) = 0, si y sólo si, A consta de un sólo punto. b) δ(A) = δ(A). c) Si A ⊂ B, entonces δ(A) ≤ δ(B).

d ) Si A ∩ B 6= ∅, entonces δ(A ∪ B) ≤ δ(A) + δ(B). ¿Se cumple este resultado, si A ∩ B = ∅? 34. Sea (R2 , d2 ). Calcule d2 (x, B), cuando x = (1, 1) y B = B[(1/2, 0), 1/2]. 35. Sea (R2 , d1 ). Calcule d1 (x, B), donde x y B son los mismos que en el problema anterior. 36. Sea (R2 , d2 ). Calcule d2 (A, B), donde A = {(x, 0) x > 0} y B = {(x, y) y = 1/x, x > 0}. 37. En R con la métrica usual, calcule d(x, B), donde ( ) 3 + (−1)n n x = 1/2, B = n ∈ N ∪ {3}. n2 + 1

38. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en R con la métrica usual.

45

2.6. EJERCICIOS. a) {m + nπ m, n ∈ N}. b) {1/n + 1/m m, n ∈ N}.

39. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en R2 con la métrica euclidiana. a) {(1/n, 1/m) n, m ∈ N}. b) {(x, 0) x ∈ R}. c) {(p, q) p, q ∈ Q}. 40. Sean X = {1/n n ∈ N} ∪ {0}, con la métrica inducida por la métrica usual en R y A ⊂ X. Pruebe que a) Para cada n ∈ N, el conjunto unitario {1/n} es abierto. b) El conjunto {0} no es abierto en X.

c) Si 0 ∈ / A entonces A es un conjunto abierto en X.

d ) Si 0 ∈ A, entonces A es cerrado en X. Observación. Note que en este espacio, un subconjunto de X es abierto o cerrado (o ambos). 41. Sean (X, d) un espacio métrico. x ∈ X y r > 0. Demuestre que a) B(x, r) ⊂ B[x, r].

b) ¿Se cumplirá B(x, r) = B[x, r]?

42. En el espacio métrico (R2 , d2 ) sean los subconjuntos: A1 = {(x, y) ∈ R2 |x| < 1, |y| ≤ 2}. A2 = {(x, y) ∈ R2 |x| ≤ 1, |y| ≤ 2}. A3 = {(x, y) ∈ R2 |x| < 1, |y| < 2}.

A4 = {(x, y) ∈ R2 |x| ≤ 1, |y| < 2}.

Determine cuáles de estos conjuntos, son abiertos, cuáles son cerrados, cuáles no son ni abiertos, ni cerrados. Justifique. 43. Describa el interior, la adherencia, la acumulación, el exterior, la frontera de los siguientes conjuntos en la recta real R. (a) [−2, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5},

(b) N,

(c) Q,

(d) Z.


46

44. Demuestre que la frontera de cualquier conjunto en un espacio métrico es siempre cerrada. 45. Demuestre que si A es un subconjunto de un espacio métrico X, entonces: (a) int(int(A)) = int(A). (c) fr(A) ⊂ A ⇔ A es cerrado. (e) fr(A) ∩ A = ∅ ⇔ A es abierto.

(b) A = A. (d) fr(A) = ∅ ⇔ A es abierto y cerrado. (f) A′ = A′ .

46. Sea Y ⊂ X, donde X es un espacio métrico, demuestre que: a) Todo conjunto A ⊂ Y abierto en Y es abierto en X, si y sólo si, Y es abierto en X. b) Todo conjunto A ⊂ Y cerrado en Y es cerrado en X, si y sólo si Y es cerrado en X. 47. Sean X = R y A ⊂ Y ⊂ X. Estudie el carácter de abierto y cerrado relativo a Y del conjunto A, en los siguientes casos: a) Y = [0, 1] ∪ (1, 2] ;

A = [0, 1]. b) Y = (0, 1] ; A = {1/n n = 1, 2, 3, . . .}. c) Y = Q ; A = {x ∈ Q x < 0 ó x2 > 2}.

48. Sean X = R2 y A ⊂ Y ⊂ X. Estudie si A es abierto o cerrado relativo a Y , en los siguientes casos: a) Y = {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 < 1} ; A = {(x, y) ∈ Y y ≥ |x|}. b) Y = {(x, y) x2 + y 2 = 1} ; A = {(x, y) ∈ Y y < |x|}. 49. En C([0, 1], R), con la métrica uniforme, determine si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados (o ni abiertos, ni cerrados): a) A = {sen x + k k ∈ [0, 1]}. b) B = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0}. c) C = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0 = f (1)}. 50. En el mismo espacio del ejercicio anterior, consideremos los siguientes conjuntos: a) A = {f ∈ C([0, 1], R) f (x) < 1, para cada x ∈ [0, 1]}. b) B = {f ∈ C([0, 1], R) f (0) = 0 = f (2)}. Determine: int(A), ext(A), fr(A), A, A′ , B y B ′ .

2.6. EJERCICIOS.

47

51. Demuestre que si un conjunto es totalmente acotado en un espacio métrico, su cerradura también lo es. 52. Demuestre que todo intervalo acotado de R, es totalmente acotado. 53. Demuestre que un subconjunto de R es acotado, si y sólo si, es totalmente acotado. 54. Sea {xn } una sucesión de Cauchy en R. Determine si el conjunto K = {xn }n∈N , es totalmente acotado en R con la métrica usual. 55. Sea A un subconjunto no vac´ıo en un espacio métrico X. Supongamos que para todo ǫ > 0, existe una familia finita de conjuntos A1 , A2 , . . . , An que cubre A y tal que δ(Ak ) < ǫ, para k = 1, 2, . . . , n. Probar que A es totalmente acotado.

48


Cap´ıtulo 3 Sucesiones en Espacios M´ etricos. Definici´ on 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesi´ on en (X, d) es una función f : N → X; es decir, una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales y su codominio es el espacio métrico X. Si f es una sucesión, para cada n ∈ N, f (n) lo representaremos como xn , la notación usual para una sucesión es {xn }∞ en usaremos {xn }n∈N o simplemente {xn } o n=1 , tambi´ (xn ) o {x1 , x2 , . . . xn , . . .}; a xn le llamaremos el término general de la sucesión o término n−ésimo. También, en lugar de decir la sucesión f , diremos la sucesión {xn }. Desde luego, no debemos confundir la sucesión {xn } con su rango f (N), por ejemplo, la sucesión de n´ umeros reales f : N → R, definida por f (n) = (−1)n se representar´ıa por {(−1)n } o por {−1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . .}. y f (N) = {−1, 1}. Ejemplos de sucesiones. 1. En R con la métrica usual, consideremos la sucesión cuyo término general es xn = n2 , Otra sucesión es {xn } =

n ∈ N.

1 sen n , n

n ∈ N.

2. En R2 con la métrica euclidiana, la sucesión cuyo término general es {n2 , n(−1)n }, 49

n ∈ N.

´ CAPÍTULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS.

50

3. En B([0, 1], R) consideremos la sucesión {fn }, donde fn : [0, 1] → R definida por fn (x) = x2 /n, otro ejemplo en este espacio es la sucesión {gn }, donde gn : [0, 1] → R es la función definida por gn (x) = sen(nx).

3.1.

Convergencia de una Sucesi´ on.

Definici´ on 3.2. Sea (X, d) un espacio métrico, {xn } una sucesi´ on en X y x ∈ X. Se dice que x es un d−l´ımite o simplemente un l´ımite, de la sucesi´ on {xn } cuando n tiende a infinito, si se cumple la siguiente afirmaci´ on, si para cada n´ umero real ǫ > 0, existe k = k(ǫ) ∈ N, tal que d(xn , x) < ǫ, para cada n ≥ k. Si x es un l´ımite de la sucesión {xn }, cuando n tiende a infinito, también diremos que x es un l´ımite de la sucesión {xn }, o que la sucesión {xn } converge a x, cuando n tiende a infinito o que la sucesión {xn } tiende a x. Si ning´ un elemento de X es un l´ımite de la sucesión {xn } diremos que la sucesión es divergente en X. Teorema 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesi´ on {xn } en X puede tener a lo más un l´ımite. Demostraci´ on: Si la sucesión es divergente, no hay nada que probar. Supongamos que x y y son dos l´ımites distintos de la sucesión {xn }. Sea ǫ = d(x, y)/2 > 0, como x y y son l´ımites de la sucesión {xn }, existen k1 , k2 ∈ N tales que d(xn , x) < ǫ para cada n ≥ k1 , y d(xn , y) < ǫ para cada n ≥ k2 . Sea n ∈ N tal que n ≥ máx{k1 , k2 }, entonces, se cumple lo siguiente d(x, y) =≤ d(x, xn ) + d(xn , y) < ǫ + ǫ = d(x, y), y esto es una contradicción. ▲ Como consecuencia de este teorema, si x es un l´ımite de la sucesión {xn } ahora le podemos llamar el l´ımite de la sucesión, que la sucesión converge a x y lo denotaremos por l´ımn→∞ xn = x o simplemente {xn } → x cuando n → ∞. El concepto de l´ımite de una sucesión, puede escribirse en el lenguaje de las bolas abiertas o de los conjuntos abiertos, éste u ´ ltimo es el adecuado para estudiar este concepto en el marco de los espacios topológicos. Teorema 3.2. Sea X un espacio métrico, {xn } una sucesi´ on en X y x ∈ X. Son equivalentes las siguientes proposiciones:

´ 3.1. CONVERGENCIA DE UNA SUCESION.

51

1. l´ımn→∞ xn = x. 2. Para cada ǫ > 0, existe k ∈ N tal que xn ∈ B(x, ǫ), para cada n ≥ k, es decir, para cada bola abierta centrada en x, todos los términos de la sucesión, excepto, posiblemente una cantidad finita de términos, pertenecen a esta bola. 3. Para cada vecindad V = Vx de x, existe k ∈ N tal que xn ∈ V , para cada n ≥ k. 4. La sucesión de n´ umeros reales {d(xn , x)} converge a cero. La demostración se le deja al lector. Definici´ on 3.3. Una sucesión en un espacio métrico se dice que es acotada si su imagen es acotada. Teorema 3.3. Toda sucesión convergente en un espacio métrico es acotada. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesión que converge a x en el espacio X. Tomemos ǫ = 1, existe k ∈ N tal que d(xn , x) < 1,

para cada n ≥ k.

Sea r = máx{1, d(x1 , x), . . . , d(xk−1, x)}, entonces se tiene que para cada n ∈ N, xn ∈ B(x, r). ▲ El rec´ıproco de este resultado es falso, es decir, existen sucesiones acotadas que no son convergentes, como lo veremos en alguno de los ejemplos que siguen. Obsérvese también que una sucesión no acotada, es divergente Ejemplos de sucesiones convergentes y sucesiones divergentes. 1. En cualquier espacio métrico X, la sucesión constante {x}, es decir, la que tiene como término general a xn = x, n ∈ N converge a x. 2. En cualquier espacio métrico X, la sucesión casi constante {x}, es decir, la sucesión {xn } que cumple la condición de que existe k ∈ N tal que xn = x, converge a x.

para cada n ≥ k

52

´ CAPÍTULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS. 3. Sea X = R con la métrica usual. Del análisis real, sabemos que, entre otras, las siguientes sucesiones: {1/n}n∈N ,

{(−1)n /n}n∈N ,

{n/n + 1}n∈N

convergen a 0, 0 y 1 respectivamente. Que la sucesión {(−1)n } es divergente, sin embargo es una sucesión acotada. Mención especial merece el hecho de que toda sucesión monótona y acotada en R con la métrica usual es convergente. 4. Sea dd la métrica discreta en un conjunto cualquiera X. En este caso, una sucesión {xn } es convergente, si y sólo si, la sucesión es casi constante, es decir las u ´ nicas sucesiones convergentes son las sucesiones casi constantes. 5. Sea X = Rk con la métrica euclidiana d2 . En este caso, la definición de sucesión convergente coincide con la que se da en los cursos de cálculo, en estos cursos, se demuestra que una sucesión {xn } converge a x, si y sólo si, l´ımn→∞ xin = xi ,

para i ∈ {1, 2, . . . , k},

donde el término general xn = (x1n , x2n , . . . , xkn ) y x = (x1 , x2 , . . . , xk ). Es decir, coloquialmente diremos que en Rk con la métrica euclidiana, una sucesión converge, si y sólo si, converge componente a componente. Si en Rk consideramos la métrica dp , p ≥ 1, se cumple un resultado análogo. Podr´ıamos preguntarnos si tenemos un resultado análogo en l2 , es decir, que una sucesión converge en l2 , si y sólo si, converge componente a componente, la respuesta es no, sólo es válido que si la sucesión converge en l2 entonces converge componente a componente y esto se demuestra usando el hecho de que |xjn − xj | ≤ d2 (xn , x), para j ∈ N, donde el término general del elemento xn es la sucesión {xjn }j∈N . El contraejemplo para el rec´ıproco es la sucesión {xn } donde √ √ xn = {1, 1/ 2, . . . , 1/ n, 0, 0, . . . , } donde los ceros empiezan a partir del término n + 1. Sin embargo, es válido preguntarse si existe una métrica d en el espacio de sucesiones, tal que {xn } converge a x con la métrica d, si y sólo si, la sucesión {xn } converge componente a componente. Esto lo contestaremos más adelante, ver teorema 3.6.

´ 3.1. CONVERGENCIA DE UNA SUCESION.

53

Teorema 3.4. Sea X = B(A, R) con la métrica uniforme d∞ . Una sucesi´ on de funciones {fn } en X, converge con esta métrica a f , si y s´ olo si, la sucesi´ on {fn } converge uniformemente a f en A. Demostraci´ on: ⇒] Use el hecho de que |fn (x) − f (x)| ≤ d∞ (fn , f ), para cada x ∈ A, n ∈ N. ⇐] Use el hecho de que si, para cada x ∈ A |fn (x) − f (x)| < ǫ, entonces d∞ (fn , f ) ≤ ǫ. ▲ Es pertinente mencionar, que el concepto de convergencia uniforme de sucesiones de funciones, no necesita que las funciones sean acotadas, as´ı que se puede uno hacer la siguiente pregunta, ¿existe una métrica d en X = {f : A → R f función }, tal que fn converge a f en esta métrica, si y sólo si, la sucesión {fn } converge uniformemente a f en A? La respuesta es s´ı, pero no lo demostraremos. También nos podemos preguntar si existe una métrica d en este mismo espacio, tal que la sucesión {fn } converge a f en esta métrica, si y sólo si, la sucesión {fn } converge puntualmente a f en A? La respuesta depende de la cardinalidad del conjunto A. Probaremos el siguiente resultado Teorema 3.5. Sea X = {f : A → R f funci´ on }. Supongamos que existe una métrica d en X tal que, para cada fn ∈ X, f ∈ X, si {fn } converge puntualmente a f entonces {fn } converge a f , con la métrica d. Entonces A es a lo m´ as numerable. Demostraci´ on:

Para cada n ∈ N, sea Bn = {x ∈ A d(X{x} , 0) > 1/n},

donde X{x} es la función caracter´ıstica del conjunto x. Para cada n, Bn debe ser un conjunto finito, ya que si existe no tal que Bno es infinito, podemos escoger un subconjunto infinito numerable S = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} ⊂ Bno ; es claro que la sucesión de funciones caracter´ısticas {X{xn } } converge puntualmente a la función cero, entonces, por hipótesis, esta sucesión de funciones caracter´ısticas converge, con la métrica d, a la función cero, lo cual es una contradicci´ on, ya que S ⊂ Bno . As´ı que S Bn es un conjunto finito, para cada n ∈ N. Además, A = ∞ n=1 Bn y por lo tanto A es un conjunto a lo más numerable. ▲ Será cierto que si A es a lo más numerable, existirá una métrica d en X tal que la convergencia puntual de una sucesión de funciones {fn } a f sea equivalente a la convergencia de la sucesión con la métrica d. La respuesta es s´ı:


54

Teorema 3.6. Sea X = {f : N → R f funci´ on }. Consideremos la métrica d, definida por: ∞ X |f (i) − g(i)| d(f, g) = . i 2 (1 + |f (i) − g(i)|) i=1 Sean fn , f ∈ X, n ∈ N. La sucesi´ on {fn } converge puntualmente a f , si y sólo si, la sucesión converge a f con la métrica d. Demostraci´ on: ⇒] Supongamos que la sucesión {fn } converge puntualmente a f . Sea ǫ > 0, existe N1 ∈ N tal que ∞ X 1 < ǫ. 2i i=N +1 1

Como n ≥ N2 ,

PN1

|f (i)−fn (i)| i=1 2i (1+|f (i)−fn (i)|)

converge a cero, cuando n → ∞ existe N2 tal que, si

N 1 X |f (i) − fn (i)| < ǫ/2. i 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) i=1

Sea n > máx{N1 , N2 }, entonces d(fn , f ) =

N1 X i=1

∞ ∞ X X |f (i) − fn (i)| |f (i) − fn (i)| 1 + < ǫ/2 + < ǫ. i i 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) i=N +1 2 (1 + |f (i) − fn (i)|) 2i i=N +1 1

1

Hemos demostrado que la sucesión {fn } converge a f en la métrica d. ⇐] Se usa el hecho que para cada i ∈ N |fn (i) − f (i)| ≤ d(fn , f ) + |fn (i) − f (i)|)

2i (1

▲ Existe un criterio en términos de sucesiones, para determinar si un punto del espacio X es punto de acumulación (adherente) de un subconjunto A ⊂ X. Teorema 3.7. Sea A un subconjunto del espacio métrico X. Sea x ∈ X, x es punto de acumulación de A, si y s´ olo si, existe una sucesi´ on {xn } tal que, xn ∈ A, para cada n ∈ N, el rango de la sucesi´ on es un conjunto infinito y l´ımn→∞ xn = x. Demostraci´ on: ⇐] Supongamos que existe una sucesión {xn } como lo indica el teorema. Sea r > 0, existe un k ∈ N tal que xn ∈ B(x, r), para n ≥ k. Tomemos xn 6= x, con n > k

55

3.2. SUBSUCESIONES.

(esto lo podemos hacer ya que el rango de la sucesión es un conjunto infinito), entonces xn ∈ B(x, r) − {x}, por lo tanto, x ∈ A′ . ⇒] Sea x ∈ A′ , para ǫ = 1 existe x1 ∈ A, x1 6= x y x1 ∈ B(x, 1), para ǫ = 1/2 existe x2 ∈ A, x2 6= x1 , x2 6= x y x2 ∈ B(x, 1/2). Procediendo inductivamente, para ǫ = 1/n, existe xn ∈ A, xn 6= xi , (i = 1, n − 1) y xn ∈ B(x, 1/n). Este proceso de elección está justificado, ya que toda vecindad de x contiene un conjunto infinito de elementos de A. Como d(xn , x) < 1/n para cada n ∈ N, entonces l´ımn→∞ xn = x. ▲ ′ Observaci´ on. Nótese que si x ∈ A , la sucesión puede tomarse con la propiedad de que xn 6= xm para n 6= m. Si la sucesión de elementos de A tiene rango finito, no necesariamente x es punto de acumulación, pero s´ı podemos garantizar que es punto adherente. En realidad, tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.8. x ∈ A, si y sólo si, existe una sucesi´ on {xn } de elementos de A tal que l´ımn→∞ xn = x. La demostración se la dejamos al lector.

3.2.

Subsucesiones.

Definici´ on 3.4. Sea {xn } una sucesi´ on en el espacio métrico (X, d). Sea {nk } una sucesión de n´ umeros naturales estrictamente creciente. A la sucesi´ on {xnk }∞ k=1 se le llama subsucesión de la sucesión {xn }. Si la subsucesi´ on {xnk } es convergente en X, al l´ımite de esta subsucesión se le llama l´ımite subsecuencial. Observaciones. Los sub´ındices nk están en orden estrictamente creciente, es decir, el orden de los elementos de la subsucesión es el mismo que en el que aparecen en la sucesión {xn }. Para cada k ∈ N, nk ≥ k.


56

Una subsucesión de una subsucesión es una subsucesión de la sucesión original. Ejemplos. 1. Toda sucesión es una subsucesión de ella misma: tomemos nk = k, k ∈ N. 2. Sea {xn } una sucesión y N ∈ N fijo. Definamos nk por nk = N + k, entonces {xnk } = {xN +1 , xN +2 , . . . , xN +k , . . .}, es una subsucesión de {xn }. 3. Si el rango de una sucesión es finito, hay un término de la sucesión que debe repetirse infinitas veces, digamos x, con este término podemos formar una subsucesión constante {x}. 4. {x2n }, {x2n+1 } son subsucesiones de la sucesión {xn } Teorema 3.9. Sea {xn } una sucesi´ on del espacio métrico X que converge al punto x. Toda subsucesión de {xn } es convergente y converge a x. Demostraci´ on: Sea {xnk } una subsucesión de {xn } y ǫ > 0, como l´ımn→∞ xn = x existe N ∈ N tal que d(xn , x) < ǫ, si n ≥ N. Sea k ≥ N, entonces nk ≥ k, as´ı tenemos que

d(xnk , x) < ǫ. Por lo tanto, la subsucesión {xnk } converge a x.

▲

Teorema 3.10. El conjunto de los l´ımites subsecuenciales de una sucesión en un espacio métrico X es un conjunto cerrado. Sea {xn } una sucesión en X y E = {x ∈ X x es un l´ımite subsecuencial de {xn } }.

Demostraci´ on:

Si E ′ = ∅, ya terminamos. Sea x ∈ E ′ , probaremos que existe una subsucesión de {xn } que converge a x; es decir, x ∈ E, con lo cual, probar´ıamos que E ′ ⊂ E, y esto significa que E es cerrado.

3.3. SUCESIONES DE CAUCHY.

57

Sea n1 ∈ N tal que xn1 6= x. Tomamos ǫ = d(x, xn1 ) > 0, existe y1 ∈ E tal que d(x, y1 ) < ǫ/22 , con y1 6= x, como y1 ∈ E existe n2 > n1 , tal que d(y1, xn2 ) < ǫ/22 y xn2 6= x, por lo tanto, d(x, xn2 ) ≤ d(x, y1 ) + d(y1, xn2 ) < ǫ/22 + ǫ/22 = ǫ/2, es decir, d(x, xn2 ) < ǫ/2. Como x ∈ E ′ existe y2 ∈ E, y2 6= x, tal que d(x, y2) < ǫ/23 y como y2 ∈ E existe n3 ∈ N, n3 > n2 y d(y2 , xn3 ) < ǫ/23 y xn3 6= x. Por lo tanto d(x, xn3 ) ≤ d(x, y2 ) + d(y2 , xn3 ) < ǫ/23 + ǫ/23 = ǫ/22 , es decir d(x, xn3 ) < ǫ/22 . As´ı, inductivamente, construimos una subsucesión {xnk }, de la sucesión {xn } con xnk 6= x y d(x, xnk ) < ǫ/2k−1. Por lo tanto, de aqu´ı se sigue que la subsucesión {xnk } converge a x, es decir, x ∈ E. ▲ Teorema 3.11. Sea (X, d) un espacio métrico, {xn } una sucesi´ on en X, y x ∈ X. Son equivalentes: (a) La sucesi´ on {xn } no converge a x. (b) Existe ǫo > 0 y una subsucesión {xnk } tal que d(xnk , x) ≥ ǫo (c) Existe una subsucesión de {xn } que no converge a x. La demostración se la dejamos al lector. Teorema 3.12 (Criterio de Divergencia.). Sean {xnk } y {xnj } dos subsucesiones de {xn }, convergentes y con l´ımites distintos, entonces la sucesi´ on {xn } es divergente. La demostración es inmediata.

3.3.

Sucesiones de Cauchy.

Definici´ on 3.5. Una sucesión {xn } en un espacio métrico X es una sucesi´ on de Cauchy en X, si cumple con la siguiente condici´ on: para cada ǫ > 0, existe k = k(ǫ) ∈ N, tal que d(xn , xm ) < ǫ si n, m ≥ k.


58

Intuitivamente una sucesión es de Cauchy, si sus términos están cercanos entre s´ı, con sólo tomar los ´ındices lo suficientemente grandes en la sucesión. As´ı que, como en una sucesión convergente, los términos de la sucesión están cercanos a su l´ımite, con sólo tomar los ´ındices lo suficientemente grandes, deber´ıamos tener que una sucesión convergente es de Cauchy, como lo demostraremos a continuación. Teorema 3.13. Toda sucesi´ on convergente en un espacio métrico X, es una sucesión de Cauchy. Demostraci´ on: existe k ∈ N tal que

Sea {xn } una sucesión en X que converge a x ∈ X y sea ǫ > 0, d(xn , x) < ǫ/2, si n ≥ k.

Sean n, m ≥ k, entonces d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ, por lo tanto, {xn } es una sucesión de Cauchy.

▲ El rec´ıproco de este teorema, no siempre se cumple, como lo veremos a continuación.

Ejemplo. Sea X = (0, 1) con la métrica usual. Demostraremos que la sucesión {1/n} es de Cauchy, pero no es convergente en X. Sea ǫ > 0, tomemos k ∈ N, k > 2/ǫ, sean n, m ≥ k, entonces |1/n − 1/m| ≤ |1/n| + |1/m| = 1/n + 1/m ≤ 1/k + 1/k < ǫ. es decir, hemos demostrado que la sucesión {1/n} es de Cauchy en el intervalo (0, 1), pero no es convergente en (0, 1), ya que el cero no pertenece a (0, 1). Teorema 3.14. Toda sucesi´ on de Cauchy en un espacio métrico es acotada. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesión de Cauchy en un espacio métrico X. Sea ǫ = 1, existe k ∈ N, tal que d(xn , xm ) < 1, si n, m ≥ k, en particular, d(xn , xk ) < 1 para n ≥ k. Sea M = máx{1, d(xi , xk ), i = 1, k − 1}, entonces xn ∈ B(xk , M),

59

3.4. EJERCICIOS. por lo tanto, la sucesión {xn } es acotada.

▲ El rec´ıproco no siempre se cumple, la sucesión {(−1) } es una sucesión acotada con la métrica usual, pero no es de Cauchy. n

Anteriormente, hemos demostrado que toda subsucesión de una sucesión convergente, es convergente y converge al mismo l´ımite, pero existen sucesiones divergentes, que tienen subsucesiones convergentes, pero si la sucesión es de Cauchy, esto no puede ocurrir, es decir, Teorema 3.15. Sea {xn } una sucesión de Cauchy en el espacio métrico X. Supongamos que existe una subsucesión {xnk } que converge a x ∈ X. Entonces, la sucesi´ on {xn } es convergente y l´ımn→∞ xn = x. Demostraci´ on: tal que

Sea ǫ > 0, como {xn } es una sucesión de Cauchy, existe k ∈ N, d(xn , xm ) < ǫ/2, si n, m ≥ k.

Además, como {xnk } converge a x, existe k1 ∈ N tal que d(xnk , x) < ǫ/2, si k ≥ k1 . sea k2 ≥ máx{k1 , k} y n ≥ k2 , entonces d(xn , x) ≤ d(xn , xnj ) + d(xnj , x) < ǫ, donde el sub´ındice nj es tomado de tal manera que cumpla que j > k2 . As´ı hemos demostrado que la sucesión {xn } converge a x.

3.4.

Ejercicios.

1. Sea fo : [0, 1] → R definida por fo (x) = 0, para cada x ∈ [0, 1]. Pruebe que la función f : [0, 1] → R definida por ( 0, si x = 0, fn (x) = 1 − 1/n, si x ∈ (1/(n + 1), 1/n], n ∈ N. pertenece a la esfera con centro en fo y radio 1. En este problema se está considerando al espacio métrico (B([0, 1], R), d∞ ).

▲

60

´ CAPÍTULO 3. SUCESIONES EN ESPACIOS METRICOS. 2. Sea la sucesión {Xn }n∈N definida como X1 X2 ... Xn ...

= = = = =

{1, 0, 0, . . .} {1, 1/2, 0, 0, . . .} ...... {1, 1/2, 1/3, . . . 1/n, 0, . . .} ......

Demuestre que esta sucesión converge a {1, 1/2, 1/3, . . . 1/n, 1/(n + 1), . . .} en co con la métrica uniforme. 3. Sea la sucesión {Xn }n∈N definida como X1 X2 ... Xn ...

= = = = =

{1, 0, 0, . . .} {1/2, 1/2, 0, 0, . . .} ...... {1/n, 1/n, 1/n, . . . 1/n, 0, . . .} ......

¿será esta sucesión convergente en l1 ? 4. Sean (X, d) un espacio métrico y {xn } una sucesión de Cauchy en X. Demuestre que d(xn , xn+1 ) → 0 cuando n → ∞. ¿El rec´ıproco se cumple? 5. Demuestre que si {xn }, {yn } son sucesiones de Cauchy, entonces {d(xn , yn )} es convergente. ¿Se cumplirá el rec´ıproco? 6. Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico X, tal que xn = x para todo n > m, m ∈ N fijo. Demuestre que la sucesión {xn } converge a x. 7. Sea (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X. Demuestre que a) a es punto interior de A, si y sólo si, para toda sucesión {xn } en X, tal que xn → a, existe no ∈ N, tal que xn ∈ A para todo n ≥ no .

b) a es un punto de acumulación de A, si y sólo si, existe una sucesión {xn } contenida en A − {a}, tal que xn → a.

8. Sean {xn } y {yn } dos sucesiones de un espacio métrico X, las cuales convergen hacia el mismo l´ımite a. Pruebe que la sucesión {x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn , . . .} converge hacia a. 9. Sea {xn } una sucesión en el espacio métrico X.

61

3.4. EJERCICIOS.

a) Pruebe que {xn } es convergente, si y sólo si, las subsucesiones {x2k } y {x2k+1 } convergen al mismo l´ımite. b) Pruebe que si las tres subsucesiones {x2k }, {x2k+1 } y {x3k } son convergentes, entonces {xn } es convergente. 10. Sea {xn } una sucesión en el espacio métrico X. Se dice que a ∈ X es valor de adherencia de {xn }, si y sólo si, para toda vecindad V = V (a) y para todo n ∈ N existe m ≥ n tal que xm ∈ V . Pruebe que el conjunto de valores de adherencia de {xn } coincide con el conjunto de l´ımites subsecuenciales. 11. Sea la métrica del ejercicio 2b, sección 2.2, cap´ıtulo 2. Demuestre que si {xn }, {yn } son dos sucesiones en X y Y respectivamente, entonces la sucesión {(xn , yn )} en X × Y , es tal que d

d

d

∞ X Y {(xn , yn )} −→ (x, y) ⇐⇒ {xn } → x, y {yn } → y.

62


Cap´ıtulo 4 Funciones Continuas en Espacios M´ etricos. 4.1.

Funciones Continuas.

El concepto de métrica, nos permite generalizar el concepto de continuidad que se estudió para funciones de Rn en Rm . Como ahora manejaremos, al menos dos espacios métricos, no necesariamente iguales, tendremos que distinguir las métricas en dichos espacios. Denotaremos con (X, dX ) al espacio métrico con la métrica dX . Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos. Definici´ on 4.1. Sean f : X → Y una funci´ on y xo ∈ X. Diremos que la funci´ on es continua en el punto xo , si se cumple la siguiente condici´ on: para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que, si x ∈ X, y dX (x, xo ) < δ, entonces dY (f (x), f (xo )) < ǫ. En realidad, deber´ıamos decir, que f es dX −dY continua en el punto xo , ya que como veremos, en general, la continuidad de f , depende de las métricas que tengamos. A esta definición, la llamaremos la definición ǫ − δ para la continuidad de una función en un punto. Definici´ on 4.2. Sea A ⊂ X. Diremos que una funci´ on f : X → Y es continua en A, si f es continua en cada punto de A, Si A = X, diremos que es continua en X. Obsérvese que primero definimos la continuidad de una función en un punto, y luego la continuidad en cualquier subconjunto del espacio, as´ı, si nosotros queremos probar 63

64

´ CAPÍTULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS.

directamente de la definición, que una función es continua en un subconjunto del espacio, debemos probar la continuidad de la función en cada punto del subconjunto. Frecuentemente es necesario considerar funciones, cuyo dominio es un subconjunto A de un espacio métrico X, como A es un espacio métrico con la métrica heredada de X, la definición 4.2 de continuidad se aplica a una función f : A → Y . As´ı, f es continua en xo ∈ A, si para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que, si x ∈ A, y dA (x, xo ) < δ, entonces , dY (f (x), f (xo )) < ǫ, donde dA es la métrica en A inducida por dX . f es continua en A, si es continua en cada punto de A. Observación. Para demostrar que una función es continua, es importante conocer cual es el dominio de esta función. Por ejemplo, f : X → Y es continua en A ⊂ X si para toda xo ∈ A y para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ X y d(x, xo ) < δ, entonces d(f (x), f (xo )) < ǫ, (4.1) mientras que la restricción f A : A → Y es continua en A si para toda xo ∈ A y para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ A y d(x, xo ) < δ, entonces d(f (x), f (xo )) < ǫ.

(4.2)

Obsérvese que las afirmaciones (4.1) y (4.2) no son equivalentes, en la primera se pide que x pertenezca al espacio X y en la segunda se pide solamente que x pertenezca a A. Sin embargo, se cumple que si f : X → Y es continua en A, entonces f A : A → Y es continua en A. El rec´ıproco no siempre se cumple. Véase la sección de ejercicios. Ejemplos. 1. Sea f : X → Y. yo ∈ Y . La función constante f (x) = yo es una función continua en todo X. 2. Si X = Y y dX = dY , la función identidad es continua en X. Cuidado, si dX 6= dY , la función identidad no es necesariamente continua, como lo veremos más adelante. 3. Sea f : X → Y cualquier función, xo ∈ X un punto aislado de X, entonces f es automáticamente continua en xo . Por eso, a veces, en la definición se pide que el punto sea punto de acumulación de X. 4. Sea dd la métrica discreta en un conjunto X 6= ∅ y sea (Y, d) cualquier espacio métrico. Toda función f : X → Y es continua en X.

65

4.1. FUNCIONES CONTINUAS. 5. Sea (X, d) espacio métrico, xo ∈ X fijo, la función f : X → R, definida por f (x) = d(x, xo ). Para probar que f es continua en X, usar el siguiente hecho |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).

6. Sea (X, d) espacio métrico, la función métrica d : X × X → R, es continua en X × X. Usar el hecho siguiente: |d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w). ¿Qué métrica, usas en el producto cartesiano? Más adelante, daremos más ejemplos. A continuación, traduciremos el concepto de continuidad al lenguaje de bolas abiertas, conjuntos abiertos,... etc. Teorema 4.1. Sea f : X → Y una funci´ on. Son equivalentes 1. f es continua en xo . 2. Para cada ǫ > 0, existe δ > 0, tal que si x ∈ B(xo , δ), entonces f (x) ∈ B(f (xo ), ǫ). 3. Para cada ǫ > 0, existe δ > 0, tal que f (B(xo , δ)) ⊂ B(f (xo ), ǫ). 4. Para cada abierto O en Y , con f (xo ) ∈ O, existe un abierto U en X, con xo ∈ U y f (U) ⊂ O. 5. Para cada V vecindad de f (xo ) en Y , se cumple que f −1 (V ) es una vecindad de xo en X. Demostraci´ on: 1.⇔ 2. Se la dejamos al lector. 2.⇒3. Sea ǫ > 0, por la hipótesis, existe δ > 0, tal que si x ∈ B(xo , δ), entonces f (x) ∈ B(f (xo ), ǫ). Esto nos dice que f (B(xo , δ)) ⊂ B(f (xo ), ǫ).

66


3.⇒2. Se deja al lector. 3.⇔4. Se la dejamos al lector. 4. ⇒5. Sea V vecindad de f (xo ) en Y , existe U abierto, tal que f (xo ) ∈ U ⊂ V ,. Por la hipótesis, existe O abierto en X tal que xo ∈ O y f (O) ⊂ U ⊂ V . La vecindad del punto xo que tomamos es O. 5.⇒4. Se la dejamos al lector. ▲ También enunciaremos equivalencias de la continuidad en todo el espacio X, en términos de abiertos, cerrados,.... Teorema 4.2. Sea (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos. f : X → Y una función. Son equivalentes 1. f es continua en todo el espacio X. 2. Para cada V abierto en Y , se cumple que f −1 (V ) es abierto en X. 3. Para cada G cerrado en Y , se cumple que f −1 (G) es cerrado en X. 4. Para cada subconjunto A de X se cumple que f (A) ⊂ f (A). Demostraci´ on: 1. ⇒2. Sea V abierto en Y . Queremos demostrar que f −1 (V ) es abierto en X. Sea x ∈ f −1 (V ), entonces f (x) ∈ V , por el teorema 4.1 inciso 4, existe U abierto en X, tal que x ∈ U y f (U) ⊂ V. Como U es abierto y x ∈ U, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ U. Probaremos que B(x, r) ⊂ f −1 (V ). Sea z ∈ B(x, r), entonces f (z) ∈ f (B(x, r)) ⊂ f (U) ⊂ V , es decir, z ∈ f −1 (V ). Por lo tanto, B(x, r) ⊂ f −1 (V ), as´ı, hemos probado que f −1 (V ) es un conjunto abierto en X. 2.⇒1. Sea x ∈ X. Probaremos, usando el teorema 23 que f es continua en x. Sea V un abierto en Y con f (x) ∈ V , por la hipótesis, f −1 (V ) es un conjunto abierto que contiene a x, además, f (f −1(V )) ⊂ V. 2.⇒3. Sea G cerrado en Y , entonces Y −G es abierto en Y , por la hipótesis f −1 (Y −G) es abierto en X. Como f −1 (Y − G) = X − f −1 (G), entonces X − f −1 (G) es abierto en X, por lo tanto f −1 (G) es cerrado en X. La demostración de 3.⇒2. es análoga.

67

4.1. FUNCIONES CONTINUAS.

2.⇒4. Sea A ⊂ X. Demostraremos que f (A) ⊂ f (A). Sea y ∈ f (A) y U un abierto en Y tal que y ∈ U, probaremos que U ∩ f (A) 6= ∅. Por la hipótesis, f −1 (U) es un abierto que contiene a x, para alg´ un x ∈ A con y = f (x). De esto, se sigue que f −1 (U) ∩ A 6= ∅, sea z ∈ f −1 (U) ∩ A, entonces f (z) ∈ U ∩ f (A), por lo tanto U ∩ f (A) 6= ∅. As´ı y ∈ f (A). 4⇒3. Sea F un conjunto cerrado en Y . Que A = f −1 (F ) es cerrado en X, se sigue de la siguiente cadena A ⊂ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (f (A)) = f −1 (f (f −1 (F ))) ⊂ f −1 (F ) = f −1 (F ) = A. ▲ ¿Será cierto que: f es continua en X, si y sólo si, f (A ) ⊂ (f (A)) , para cada A subconjunto de X? No siempre se cumple la equivalencia, sólo se cumple una implicación (la rec´ıproca). Para el contraejemplo, considere la función constante en R. ′

′

Un criterio muy importante, equivalente a la continuidad de una función en un punto, es el criterio de continuidad por sucesiones. Pero antes, diremos que significa éste. Definici´ on 4.3. Sean (X, dX ), (Y, dY ), f : X → Y y xo ∈ X. Diremos que la función f es continua por sucesiones en el punto xo , si f cumple la siguiente condici´ on Para cada sucesión {xn } ⊂ X, si l´ımn→∞ xn = xo , entonces l´ımn→∞ f (xn ) = f (xo ). Teorema 4.3. Sea f : X → Y una funci´ on. Sea xo ∈ X. Son equivalentes 1. f es continua en xo . 2. f es continua en xo por sucesiones. Demostraci´ on: 1 ⇒ 2. Sea {xn } una sucesión de elementos de X que converge a xo . Queremos demostrar que {f (xn )} converge a f (xo ). Sea U un abierto en Y tal que f (xo ) ∈ U, como f es continua en xo , existe V abierto en X, tal que xo ∈ V, y f (V ) ⊂ U. Como la sucesión {xn } converge a xo , existe k ∈ N, tal que xn ∈ V , para n ≥ k. Sea n ≥ k, entonces, xn ∈ V , y como f (V ) ⊂ U, entonces f (xn ) ∈ U. As´ı, hemos demostrado que la sucesión {f (xn )} converge a f (xo ).

68


2 ⇒1. Probaremos que la negación de 1 implica la negación de 2. Supongamos que f no es continua en xo , entonces existe ǫo > 0, tal que, para cada n ∈ N, existe xn ∈ B(xo , 1/n) y f (xn ) ∈ / B(f (xo ), ǫo ). Es claro que la sucesión {xn } converge a xo , pero, la sucesión {f (xn )} no converge a f (xo ). ▲ M´ as ejemplos de funciones que son continuas y funciones que no son continuas. Sea X = C([a, b], R), con la métrica uniforme. 1. Definamos T1 : X → R por T1 (f ) =

Z

b

f. a

Sea fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ/(b − a). Sea f ∈ X, tal que d∞ (f, fo ) < δ, entonces Z b Z b Z b |T1 (f ) − T1 (fo )| = f− fo ≤ |f − fo | ≤ d∞ (f, fo )(b − a) = ǫ. a

a

a

Por lo tanto, hemos demostrado que T1 es continua en fo y por lo tanto, que T1 es continua en X.

2. Definamos T2 : X → X por T2 (f ) = g, donde la función g : [a, b] → R está definida por Z x

g(x) =

f.

a

Por el primer teorema fundamental del cálculo, g ∈ X. Ahora tomemos fo ∈ X y ǫ > 0. Sea δ = ǫ/(b − a) y f ∈ X tal que d∞ (fo , f ) < δ, entonces, para cada x ∈ [a, b], se tiene que Z x Z x Z x |g(x) − go (x)| = f− fo ≤ |f − fo | ≤ d∞ (f, fo )(b − a) = ǫ. a

a

a

De aqu´ı, se concluye que

d∞ (T2 (f ), T2 (fo )) = d∞ (g, go) ≤ ǫ. Por lo tanto, hemos demostrado que T2 es continua en fo y por lo tanto, que T2 es continua en X.

69

4.1. FUNCIONES CONTINUAS. 3. Sea xo ∈ [a, b]. Definamos Txo : X → R por Txo (f ) = f (xo ).

Sean fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ, sea f ∈ X tal que d∞ (f, fo ) < δ, entonces |Txo (f ) − Txo (fo )| = |f (xo ) − fo (xo )| ≤ d∞ (f, fo ) < ǫ. Por lo tanto, hemos demostrado que Txo es continua en fo y por lo tanto, que Txo es continua en X. A la función Txo se le conoce como el funcional evaluación en xo . Veamos ahora, que si cambiamos las métricas, en algunos de los anteriores ejemplos, la función ya no es continua. As´ı, la continuidad de una función, no sólo depende del punto donde se esté considerando, sino también, de las métricas que se estén usando. Sea X = C([a, b], R), con la métrica d1 , es decir d1 (f, g) =

Z

a

b

|f − g|.

1. Definamos T1 : X → R por T1 (f ) =

Z

b

f.

a

Sea fo ∈ X y ǫ > 0. Tomemos δ = ǫ. Sea f ∈ X, tal que d1 (f, fo ) < δ, entonces Z b Z b Z b |T1 (f ) − T1 (fo )| = f− fo ≤ |f − fo | = d1 (f, fo ) < ǫ. a

a

a

Por lo tanto, T1 es continua en fo y as´ı, T1 es continua en X.

Obsérvese que en este caso, T1 resultó continua con ambas métricas d∞ y d1 . 2. Sea xo ∈ [a, b]. Definamos Txo : X → R por Txo (f ) = f (xo ). Vamos a demostrar que Txo no es continua en la función constante 0, para ning´ un xo en [a, b]. Para esto, veremos que Txo no cumple con el criterio de continuidad por sucesiones, es decir, construiremos una sucesión {fn } de funciones continuas que converge a la función 0, pero que la sucesión {Txo (fn )} no converge a Txo (0).

70

´ CAPÍTULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS. Por simplicidad, lo haremos u ´ nicamente para el caso xo = b. Para cada n ∈ N, definamos fn : [a, b] → R como ( 0, si x ∈ [a, b − 1/n], fn (x) = n(x − b) + 1, si x ∈ [b − 1/n, b]. Nótese que la gráfica de fn para x ∈ [b − 1/n, b] es el segmento de recta que une el punto (b − 1/n, 0) y el punto (b, 1) Ver figura [3.1]. Es fácil ver que d1 (fn , 0) = 1/2n, por consiguiente esta sucesión converge a 0. Pero como Tb (fn ) = f (b) = 1, entonces la sucesión {Tb (fn )} no converge a Txo (0).

También se puede demostrar que en realidad Txo no es continua en ning´ un punto de X, pero esto se lo dejamos al lector. fn :[a,b]| 5, ( a
a

b-1/n

b

Figura 3.1 3. Consideremos X = C ′ ([a, b], R), con la métrica uniforme y Y = C([a, b], R), con la métrica uniforme. Definamos T : X → Y como T (f ) = f ′ . Probaremos que este operador no es continuo en la función 0. Para esto, veremos que Txo no cumple con el criterio de continuidad por sucesiones, es decir, construiremos una sucesión {fn } de funciones continuas que converge a la función 0, pero que la sucesión {T (fn )} no converge a T (0). Por comodidad, trabajaremos con el intervalo [0, 1]. Para cada n ∈ N definamos fn : [0, 1] → R como fn (x) =

xn . n

4.2. CONTINUIDAD UNIFORME.

71

Es claro que d∞ (fn , 0) = 1/n, as´ı, la sucesión {fn } converge a la función 0 con la métrica uniforme, pero como T (fn ) = xn−1 y la distancia d∞ (T (fn ), 0) = 1, se tiene que la sucesión T (fn ) no converge a la función 0. Dejamos al lector demostrar que T no es continuo en X. 4. Consideremos el mismo operador que en el inciso anterior, pero en X consideremos la métrica d, definida por d(f, g) = d∞ (f, g) + d∞ (f ′ , g ′), y a Y le dejamos la misma métrica. Dejamos al lector, demostrar que este operador es continuo en X.

Como hemos visto, en un mismo conjunto, podemos definir diferentes métricas. La continuidad de una función depende también de las métricas que se tienen en el dominio y en el codominio.

4.2.

Continuidad Uniforme.

Otro concepto que se puede generalizar a funciones entre espacios métricos, es el concepto de continuidad uniforme de una función de R a R. Recordemos que una función f : X → Y es continua en el punto xo ∈ X, si para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ, xo ) > 0, tal que dX (x, xo ) < δ, entonces dY (f (x), f (xo )) < ǫ, y que f es continua en X, si es continua en cada punto de X, es decir, dado x ∈ X y ǫ > 0, el n´ umero δ va dependiendo, tanto de ǫ, como del elemento x que estemos considerando, cuando δ depende u ´ nicamente del ǫ que estemos considerando, diremos que f es uniformemente continua en X. Formalmente, la definición es la siguiente Definici´ on 4.4. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos, diremos que la función f : X → Y es uniformemente continua en X, si f cumple con la siguiente condición: para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ) > 0, tal que si x1 , x2 ∈ X, y dX (x1 , x2 ) < δ, entonces dY (f (x1 ), f (x2 )) < ǫ. Si la función f está definida u ´ nicamente en un subconjunto A del espacio métrico X, diremos que es uniformemente continua en A, si es uniformemente continua en A,

72


considerando en A la métrica dA , inducida por dX , es decir, para cada ǫ > 0, existe δ = δ(ǫ) > 0, tal que si x1 , x2 ∈ A, y dX (x1 , x2 ) < δ, entonces dY (f (x1 ), f (x2 )) < ǫ. Obsérvese que la continuidad uniforme es un concepto que se define globalmente, no localmente. Es claro que si f es uniformemente continua en X, es continua en X, pero el rec´ıproco no siempre es válido, como lo veremos a continuación: sea X = (0, 1) y Y = R, ambos con la métrica usual, definamos f : X → Y como f (x) =

1 . x

Sabemos que esta función es continua (0, 1), pero veremos que no es uniformemente continua en (0, 1). Tomemos ǫ = 1/2, vamos a demostrar que para cada δ > 0 existen dos puntos x1 y x2 en el intervalo (0, 1), tal que |x1 − x2 | < δ, y |f (x1 ) − f (x2 )| ≥ 1, sea δ > 0, como la sucesión {1/n} es de Cauchy en el intervalo (0, 1), existe n1 , n2 ∈ N, tal que |1/n1 − 1/n2 | < δ. Pero, |f (1/n1 ) − f (1/n2 )| = |n1 − n2 | > 1/2. Otro ejemplo de este mismo fenómeno, es el siguiente: sea X = Y = R con la métrica usual. Definamos f : R → R por f (x) = x2 . Sabemos que esta función es continua en R, pero a continuación veremos que no es uniformemente continua en R. Sea ǫ = 1 y δ > 0, tomemos n ∈ N tal que 1/n < δ, entonces |n + 1/n − n| < δ, pero |f (n + 1/n) − f (n)| = 2 + 1/n2 ≥ 1. Con esto, hemos demostrado que f no es uniformemente continua en R. Sin embargo, si definimos f : [0, 1] → R por f (x) = x2 , ésta es uniformemente continua en [0, 1]. Sea ǫ > 0, tomemos δ = ǫ/2, sean x, y ∈ [0, 1], tal que |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| = |x2 − y 2| = |x + y| |x − y| < 2ǫ/2 = ǫ. Por lo tanto f es uniformemente continua en el [0, 1]. A continuación presentaremos un criterio muy u ´ til para determinar cuando una función no es uniformemente continua, cuya demostración es inmediata. No la haremos aqu´ı.

4.2. M. EQUIVALENTES, SEMEJANTES, U. E. E ISOMETRÍAS.

73

Teorema 4.4. Sean (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos y f : X → Y una funci´ on. Son equivalentes: 1. f no es uniformemente continua en X. 2. Existe ǫ > 0, tal que, para todo δ > 0, existen xδ y yδ que cumplen dX (xδ , yδ ) < δ, y dY (f (xδ ), f (yδ )) ≥ ǫ. 3. Existe ǫ > 0 y dos sucesiones {xn }, {yn }, tales que l´ımn→∞ dX (xn , yn ) = 0 y dY (f (xn ), f (yn )) ≥ ǫ.

Hemos visto que existen funciones continuas que no son uniformemente continuas, sin embargo, si se cumple que el dominio sea compacto, entonces toda función continua en el compacto, es uniformemente continua. (no hemos definido este concepto, lo haremos más adelante y este resultado lo demostraremos en su momento). En esta sección, demostraremos este teorema para cuando el dominio es un intervalo cerrado y acotado en R. Teorema 4.5. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces f es uniformemente continua. Demostraci´ on: Usaremos la contrarrec´ıproca. Supongamos que f no es uniformemente continua, entonces existe ǫ > 0 y dos sucesiones de elementos del intervalo [a, b], {xn } y {yn } que cumplen l´ımn→∞ |xn − yn | = 0, y |f (xn ) − f (yn )| ≥ ǫ.

(4.3)

Como xn ∈ [a, b], para cada n ∈ N, la sucesión {xn } es acotada, entonces, por el principio de Weierstrass, existe una subsucesión {xnk } y un elemento x ∈ R tal que l´ımk→∞ xnk = x. Además, como [a, b] es un conjunto cerrado, x ∈ [a, b]. Como l´ımn→∞ |xn − yn | = 0, entonces la subsucesión {ynk } también converge a x. De (4.3), se concluye que |f (xnk ) − f (ynk )| ≥ ǫ. (4.4) Luego, de (4.4), y del hecho de que las dos subsucesiones convergen a x, se concluye que f no es continua en x ▲


74

4.3.

M´ etricas Equivalentes, Semejantes, Uniformemente Equivalentes e Isometr´ıas.

Hemos visto que en un mismo conjunto, podemos definir varias métricas, que en principio nos dan diferentes espacios métricos, sin embargo, esto no significa que las topolog´ıas generadas por las métricas, sean diferentes. A continuación estudiaremos cuando dos métricas definidas en un mismo conjunto nos proporcionan la misma topolog´ıa. Como consideraremos varias métricas en un mismo conjunto, a los distintos conceptos, le agregaremos al inicio el s´ımbolo correspondiente de la métrica. As´ı, si (X, d) es un espacio métrico, diremos d abierto, d cerrado... Definici´ on 4.5. Sea X un conjunto diferente del vac´ıo, d1 , d2 dos métricas definidas en X. Diremos que la métrica d1 es equivalente a la métrica d2 , anotaremos d1 ≈ d2 , si la topolog´ıa en X inducida por d1 es igual a la topolog´ıa inducida por d2 , es decir, para cada A ⊂ X A es d1 − abierto, si y s´ olo si, es d2 − abierto. Observaciones. Todos los conceptos que se pueden definir u ´ nicamente en términos de abiertos (conjunto cerrado, interior, cerradura, frontera de un conjunto, convergencia de una sucesión, continuidad de una función,... etc) se preservan cuando tenemos dos métricas equivalentes en un conjunto X. Por ejemplo: A es d1 −cerrado, si y sólo si, es d2 −cerrado, la sucesión {xn } es d1 −convergente a x, si y sólo si, es d2 −convergente. Pero, aquellas propiedades que dependen estrictamente de la métrica, como conjunto acotado, diámetro de un conjunto,... etc. no necesariamente se preservan, para esto, se necesita un concepto más fuerte que el de métricas equivalentes, este concepto es el de métricas semejantes, el cual, definiremos más adelante. Dos métricas son equivalentes, si y sólo si, la función identidad Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) y su inversa son funciones continuas. Esta definición, la podemos dar en términos de bolas abiertas. Teorema 4.6. Sean d1 y d2 dos métricas en X. La métrica d1 es equivalente a la métrica d2 , si y s´ olo si, 1. Para cada bola abierta Bd1 (x, r) en el espacio (X, d1 ), existe una bola abierta Bd2 (x, s) en el espacio (X, d2 ), tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r). 2. Para cada bola abierta Bd2 (a, s) en el espacio (X, d2 ), existe una bola abierta Bd1 (a, r) en el espacio (X, d1 ), tal que Bd1 (a, r) ⊂ Bd2 (a, s).

4.3. M. EQUIVALENTES, U. E. E ISOMETRÍAS.

75

Demostraci´ on: ⇒] Sea Bd1 (x, r) una bola d1 −abierta, como d1 es equivalente a d2 , Bd1 (x, r) es un conjunto d2 −abierto, por lo tanto existe s > 0, tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r). De manera análoga, se demuestra la otra afirmación. ⇐] Sea A un conjunto d1 −abierto, sea x ∈ A, entonces, existe r > 0, tal que Bd1 (x, r) ⊂ A. Por la primera hipótesis, existe s > 0, tal que Bd2 (x, s) ⊂ Bd1 (x, r) ⊂ A. Con esto, hemos probado, que A es un conjunto d2 −abierto. De manera análoga, se demuestra la otra contención. ▲ Ejemplos de m´ etricas equivalentes. 1. Sea (X, d) espacio métrico y d1 la métrica en X definida por d1 (x, y) =

d(x, y) . 1 + d(x, y)

Probaremos que d es equivalente a d1 . Para esto, probaremos que la función identidad y su inversa son continuas, usando el criterio de sucesiones. Sea Id : (X, d) → (X, d1 ). Sea x ∈ X, y {xn } una sucesión d−convergente a x, entonces d(xn , x) converge a cero y 1 + d(xn , x) converge a 1, por lo tanto, d(xn , x) d1 (xn , x) = converge a cero. Por consiguiente, la sucesión {xn } es 1 + d(xn , x) d1 −convergente. La prueba de la continuidad de la función inversa, se hace de manera similar. También, de manera similar se prueba que la métrica d2 en X, definida por d2 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. es equivalente a d. Obsérvese que en estas primeras dos métricas, el concepto de conjunto acotado no se preserva. Cualquier subconjunto de X es d1 −acotado, d2 −acotado, pero no necesariamente es d−acotado, para ver esto, basta con tomar X = R y d la métrica usual.

76


Definici´ on 4.6. Sea X un conjunto. d1 y d2 dos métricas en X. Diremos que la métrica d1 es semejante a d2 , anotaremos d1 ⋍ d2 , si existen k y m n´ umeros estrictamente positivos, tales que k d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ m d1 (x, y), para cada x, y ∈ X.

(4.5)

Observación. Si d1 y d2 son métricas semejantes, entonces 1. A es d1 −acotado, si y sólo si, A es d2 −acotado. El rec´ıproco, no se cumple, consideremos en R la métrica d1 del ejemplo anterior 1. y la métrica discreta dd ; las métricas no son equivalentes, y como veremos enseguida, no son semejantes. 2. {xn } es una sucesión d1 de Cauchy, si y sólo si, {xn } es d2 de Cauchy.

Es claro que si d1 y d2 son métricas semejantes, entonces d1 y d2 son métricas equivalentes, ya que de (4.5), se sigue que, la identidad y su inversa, son continuas, de hecho son uniformemente continuas. Pero el rec´ıproco no es válido, es decir, existen métricas equivalentes que no son semejantes. para demostrar esto, tome X = R, d la métrica usual y d1 la métrica del ejemplo anterior 1., es decir d1 (x, y) =

|x − y| . 1 + |x − y|

Estas métricas son equivalentes, pero no son semejantes (obsérvese que R es d1 −acotado, pero, no es d−acotado). Es pertinente preguntarse que ¿si Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) y su inversa son uniformemente continuas, entonces d1 es semejante a d2 ? La respuesta es no. Considere X = R, d la métrica usual y d2 la métrica en R definida por d2 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)}. Como d2 (x, y) ≤ d(x, y) entonces la función Id : (R, d) → (R, d2 ) es uniformemente continua. A continuación, probaremos que Id : (R, d2 ) → (R, d) es uniformemente continua. Sea ǫ > 0, tomemos δ = m´ın{1, ǫ}, entonces, si d2 (x, y) = m´ın{1, |x − y|} < δ, debe ocurrir que |x − y| < ǫ. Estas métricas no son semejantes, (R es acotado con la métrica d2 , pero no con la métrica d). Sin embargo, las métricas d1 y d2 son semejantes, ya que d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ 2d1 (x, y). La demostración de este hecho, se la dejamos al lector. Sug. Considere dos casos: |x − y| ≥ 1 y |x − y| < 1. Obsérvese que una función uniformemente continua no manda necesariamente conjuntos acotados en conjuntos acotados. Estas consideraciones, nos permiten introducir el concepto de métricas uniformemente equivalentes.


77

Definici´ on 4.7. Sean d1 y d2 dos métricas en X. Diremos que d1 es uniformemente u equivalente a d2 , anotaremos d1 ≈ d2 , si la funci´ on identidad y su inversa son uniformemente continuas. u

Resumiendo, tenemos lo siguiente, d1 ⋍ d2 , implica que d1 ≈ d2 , implica que d1 ≈ d2 , pero los rec´ıprocos no se cumplen necesariamente. Sólo nos falta el contraejemplo de dos métricas equivalentes que no sean uniformemente equivalentes. Este ejemplo se lo dejamos al lector. Definici´ on 4.8. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos. ψ : X → Y una función. Diremos que ψ es una isometr´ıa de X en Y si ψ cumple la siguiente condici´ on: dY (ψ(x1 ), ψ(x2 )) = dX (x1 , x2 ), para cada x1 , x2 ∈ X. Diremos que X y Y son isométricos, denotado por X ∼ = Y , si existe una isometr´ıa de X sobre Y . Obsérvese que si ψ es una isometr´ıa, entonces ψ es automáticamente inyectiva y continua. También note que en la definición de isometr´ıa no se pide que ψ sea sobre.

78

´ CAPÍTULO 4. FUNCIONES CONTINUAS EN ESPACIOS METRICOS. Ejemplos. 1. Definamos ψ : R → R2 , definida por ψ(x) = (x, 0),

x ∈ R.

Es claro que ψ es una isometr´ıa y que R es isométrico al subespacio b = {(x, 0) x ∈ R}. R

En R y R2 se están considerando las métricas usual y euclidiana respectivamente.

2. Sean k y n dos naturales y k < n. Definamos ψ : Rk → Rn como ψ(x1 , . . . , xk ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0). k n k Es claro que ψ es una isometr´ ıa de R en R , yk que nR es isométrico al subespacio ck = {(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) xi ∈ R}, donde R y R tienen la métrica euclidiana. R

3. Sea ψ : Rk → l2 , definida por

ψ(x1 , . . . , xk ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0, . . .). También, es claro que ψ es una isometr´ıa de Rk en l2 . Rk es isométrico al subespacio ck = {{xi } ∈ l2 xj = 0, para j ≥ k + 1} R

4. Sea a ∈ R, b ∈ Rn . Definamos f : Rn → Rn como

f (x) = ax + b, donde x ∈ Rn . f es una isometr´ıa de Rn sobre Rn , si y sólo si, |a| = 1. Esto es inmediato de d2 (f (x), f (y)) = d2 (ax + b, ay + b) = |a|d2 (x, y). 5. Definamos f : l2 → l2 por f (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) = (0, x1 , x2 , . . . , xn , . . .). Es claro que f es una isometr´ıa de l2 en l2 (no es suprayectiva). Este operador es conocido como el operador desplazamiento por la derecha.


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Sabemos que si f : R → R es continua y biyectiva, entonces, la función inversa, es continua. Pero en el caso general de espacios métricos, esto no siempre ocurre, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Denotemos con dd la métrica discreta en R y d la métrica usual, entonces la función identidad Id : (R, dd ) → (R, d) es biyectiva y continua, de hecho, es uniformemente continua, pero la inversa de ésta, no es continua. Cuando f y f −1 son continuas, f recibe el nombre de homeomorfismo. Definici´ on 4.9. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios métricos. ϕ : X → Y una función. Diremos que ϕ es un homeomorfismo de X en Y si 1. ϕ es biyectiva. 2. ϕ es continua. 3. ϕ−1 es continua. Diremos que X es homeomorfo a Y , si existe un homeomorfismo ϕ de X a Y . Observaciones. 1. Es claro que si d1 y d2 son dos métricas en un conjunto X, d1 ≈ d2 , si y sólo si, la función Id : (X, d1 ) → (X, d2 ) es un homeomorfismo. 2. Si ϕ : X → Y es una isometr´ıa suprayectiva, entonces ϕ es un homeomorfismo. El rec´ıproco no siempre es cierto. Considere la identidad Id : (R2 , d∞ ) → (R2 , d2). Id es un homeomorfismo de R2 en R2 , pero no es una isometr´ıa.

Ejemplos. 1. Sea f : (−π/2, π/2) → R, definida por f (x) = tg x. Esta función es biyectiva y continua, también su inversa en biyectiva y continua, luego es un homeomorfismo. 2. Sea f : R → (−1, 1), definida por f (x) =

x . 1 + |x|

Esta función es biyectiva, continua y la inversa es y f −1 (y) = . 1 − |y|


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4.4.

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) denotarán espacios métricos. 1. Sean f, g : X → R funciones uniformemente continuas. a) Demuestre que f ± g es uniformemente continua. b) ¿Será f g uniformemente continua?

c) Si, además f y g son acotadas en X, demuestre que f g es uniformemente continua. d ) Si f (x) 6= 0 para cada x ∈ X, ¿será

1 f

uniformemente continua?

e) Si ´ınf{|f (x)| | x ∈ X} > 0. Demuestre que

1 f

es uniformemente continua.

2. Sea f : X → R continua, X totalmente acotado. ¿Será f (X) totalmente acotado? Sug. Considere f (x) = 1/x para x ∈ (0, 1). Y si f es uniformemente continua? 3. Demuestre que la función identidad I : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d1 ) es continua (uniformemente continua), pero que la inversa de I no es continua. 4. Determine cuales de las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo (0, 1). 1 . 1−x 1 . b) f (x) = 2−x c) f (x) = sen x.

a) f (x) =

d ) f (x) = sen(1/x). 5. Demuestre que la función T : l2 → l1 definida como T ({xn }) = {yn }, donde xn yn = , es uniformemente continua. n 6. Sea {zn } un elemento de l∞ fijo. Demuestre que la función T : l1 → l1 definida como T ({xn }) = {yn }, donde yn = xn zn , es uniformemente continua. 7. Sea d : X × X → R una métrica en R. Demuestre que d es uniformemente continua en X × X. 8. Definamos las funciones d1 , d2, d∞ : X × Y → R como d1 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ),

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4.4. EJERCICIOS p d2 (x1 , y1 ), (x2 , y2) = (dX (x1 , x2 ))2 + (dY (y1 , y2))2 , d∞ (x1 , y1), (x2 , y2 ) = máx{dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )},

donde (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) pertenecen a X × Y . Demuestre que estas tres métricas son uniformemente equivalentes en X × Y . 9. Definamos las funciones PX : X × Y → X como PX (x, y) = x. A esta función se le llama la función proyección en X. De manera análoga se define la función proyección PY en Y . Demuestre que ambas funciones son continuas en X × Y , donde, en X × Y se considera cualquiera de las métricas d1 , d2, d∞ . 10. Demuestre que si la función f : X → Y es continua en X, entonces la gráfica de f , denotada por Gf , definida como Gf = {(x, f (x)) | x ∈ X} es un conjunto cerrado en X × Y . ¿Se cumplirá el rec´ıproco? 11. Sean A ⊂ X y f : X → Y . Definamos la función f A : A → Y como f A (x) = f (x). A esta función se le conoce como la restricción de f en A y a f se le llama una extensión de f A a X. Demuestre que si f es continua en X, entonces f A es continua en A. El rec´ıproco no se cumple, es decir, f A puede ser continua en A, pero f no ser continua en A. 12. Sea A ⊂ X. Definamos la función χA : X → R como χA (x) =

(

1, 0,

si x ∈ A, si x ∈ 6 A.

A esta función se le llama la función caracter´ıstica del conjunto A. Demuestre que: a) Si x ∈ int A, entonces χA es continua.

b) Si x ∈ ext A, entonces χA es continua.

c) Si x ∈ fr A, entonces χA no es continua. 13. Se dice que una función f : X → Y satisface una condición de Lipschitz, en X, si existe k > 0 tal que dY (f (x1 ), f (x2 )) ≤ kdX (x1 , x2 ), para x1 , x2 ∈ X. Demuestre que si f satisface una condición de Lipschitz, entonces f es uniformemente continua.

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14. Sea f : R → R diferenciable en R, tal que, existe k > 0, que cumple |f ′ (x)| ≤ k, para cada x ∈ R. Demuestre que f es uniformemente continua. 15.

a) Sea f : [1, ∞) → R, definida por f (x) = 1/x. Demuestre que f es uniformemente continua en [1, ∞). b) Sea f : [0, 1] → R, definida por f (x) = x2 . Demuestre que f es uniformemente continua en [0, 1].

c) Sea f : R → R, definida por f (x) = x2 . Demuestre que f no es uniformemente continua en R. 16.

a) Sea f : X → Y uniformemente continua. Demuestre que si {xn } es una sucesión de Cauchy en X, entonces la sucesión {f (xn )} es de Cauchy en Y . El rec´ıproco no siempre se cumple. Considere el inciso c) del ejercicio 15. b) Sea f : X → Y continua. ¿Es cierto que si {xn } es una sucesión de Cauchy en X, entonces {f (xn )} es una sucesión de Cauchy en Y ? ¿El rec´ıproco se cumple?

17. Sean f, g : X → Y funciones continuas en X, A ⊂ X, con A 6= ∅. Demuestre que si f (x) = g(x), para cada x ∈ A, entonces f (x) = g(x), para cada x ∈ A. 18. Sea A ⊂ X. Decimos que A es un subconjunto denso de X si, A = X.

Sean f, g : X → Y continuas, tales que f (x) = g(x), para cada x ∈ A, donde A es un conjunto denso de X. Demuestre que f (x) = g(x) para cada x ∈ X.

19. Sea (Y, dY ) un espacio métrico completo, A ⊂ X. Supongamos que f : A → Y es uniformemente continua. Demuestre que existe una u ´ nica función continua F : A → Y tal que F (x) = f (x) para cada x ∈ A. ¿Será F uniformemente continua en X? Si a f se le pide u ´ nicamente que sea continua en A, ¿se cumplirá el resultado? Si Y no es completo, ¿se cumplirá el resultado?

20. Sea f : X → Y continua. a) ¿Es cierto que si A es abierto en X, entonces f (A) es abierto en Y ? Sug. Considere una función constante. b) ¿Es cierto que si F es cerrado en X, entonces f (F ) es cerrado en Y ? Sug. Considere f (x) = 1/x en (0, ∞).

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4.4. EJERCICIOS

c) ¿Es cierto que si A es acotado en X, entonces f (A) es acotado en Y ?, ¿y si f es uniformemente continua? 21. Sea A ⊂ X y

d(x, A) = ´ınf{d(x, a) a ∈ A}.

Demuestre que g : X → R definida por g(x) = d(x, A) es continua en X. 22. Sean f : X → Y, g : Y → Z, continuas. Demuestre que la función g · f : X → Z, definida por (g · f )(x) = g(f (x)) es continua en X. Si f y g son uniformemente continuas, ¿será g · f uniformemente continua? 23. Sea f : X → R cualquier función continua y λ ∈ R Demuestre que a) El conjunto {x ∈ X f (x) < λ} es abierto en X. b) El conjunto {x ∈ X f (x) = λ} es cerrado en X. c) El conjunto {x ∈ X f (x) ≤ λ} es cerrado en X.

24. Sea f : X → Y una función. Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes. a) f es continua en X. b) Para todo B ⊂ Y, f −1 (int(B)) ⊂ int(f −1(B)).

c) Para todo B ⊂ Y, f −1 (B) ⊂ f −1 (B).

25. Sea f : X → Y una función. ¿Es verdad que si f es continua, entonces f (A′ ) ⊂ (f (A))′ , para cada A ⊂ X? ¿El rec´ıproco es válido? 26. Proporcione un ejemplo de una función continua f : X → Y , tal que no se cumpla: f (A) = f (A), para cada A ⊂ X. 27. Sean A y B dos subconjuntos no vac´ıos de X, tales que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Pruebe que existe un conjunto abierto U ⊃ A y un conjunto abierto V ⊃ B, tales que U ∩ V = ∅. Sug. considere la función f (x) = d(x, A) − d(x, B).

28. Sea X un espacio métrico y f y g dos funciones continuas de X a R. Pruebe que el conjunto F = {x ∈ X | f (x) = g(x)} es cerrado.

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29. Sean X, Y, Z espacios métricos, decimos que la función f : X × Y → Z es continua en cada variable, si para cada x ∈ X, la función fx : Y → Z, definida como fx (y) = f (x, y) es continua en Y , y para cada y ∈ Y , la función f y : X → Z, definida como f y (x) = f (x, y) es continua en X. Demuestre que a) Si f es continua en X × Y , entonces f es continua en cada variable.

b) El rec´ıproco no siempre se cumple: considere la función fo : R2 → R definida como   xy , si (x, y) 6= (0, 0), fo (x, y) = x2 + y 2  0, si (x, y) = (0, 0)

30. Use 23. para probar que los siguientes conjuntos son cerrados. a) {x ∈ R | x3 − x ≥ 0}.

b) {x ∈ R2 | x4 + y 4 = 1}.

31. Demuestre que la métrica en N, del ejercicio 23 del cap´ıtulo 2, definida por d(n, m) =

|n − m| nm

es equivalente a la métrica usual en N. 32. Encuentre una métrica para el intervalo (−1, 1) que sea equivalente a la métrica x . usual. Sug. Sea f : R → (−1, 1) tal que f (x) = 1 − |x| 33. Proporcione una isometr´ıa entre C[0, 1] y C[0, 2]. 34. Sea T : l∞ → l∞ definida como T ({x1 , x2 , x3 , . . .} = {0, x1 , x2 , . . .}. Demuestre que T es una isometr´ıa. 35. Demuestre que los espacios (C([0, 1], R), d∞ ) y (C([a, b], R), d∞ ) son isométricos.

4.4. EJERCICIOS

85

86


Cap´ıtulo 5 Espacios M´ etricos Completos. 5.1.

Espacios M´ etricos Completos.

Un resultado importante en R, es que toda sucesión de Cauchy es convergente, muchos resultados sobre sucesiones y funciones reales dependen de este hecho, sin embargo, este resultado no se cumple, en general, en un espacio métrico cualquiera, como veremos más adelante. Dada su importancia, consideramos necesario, el estudio de los espacios métricos que tienen esta propiedad. A dichos espacios se les conoce como espacios métricos completos. Definici´ on 5.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Diremos que X es un espacio métrico completo, si toda sucesión de Cauchy es convergente a un elemento de X. Ejemplos. 1. R con la métrica usual, es un espacio métrico completo: Sea {xn } es una sucesión de Cauchy, por lo tanto, es acotada, entonces, por el principio de Weirstrass (toda sucesión acotada de n´ umeros reales tiene una subsucesión convergente), existe una subsucesión {xnk } de {xn } convergente. Como {xn } es de Cauchy y tiene una subsucesión convergente, sabemos, entonces que la sucesión {xn } converge. 2. Rk con la métrica dp , p ≥ 1 es un espacio métrico completo. Recuerde que la convergencia en este espacio, es componente a componente, y use que R es completo. 3. X = (0, 1) no es un espacio métrico completo, con la métrica usual, recuerde que ya se probó que la sucesión {1/n} es una sucesión de Cauchy en X que no es convergente. 87

´ CAPÍTULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

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4. Consideremos el espacio X = C([−1, 1], R) con la métrica d1 definida como Z 1 d1 (f, g) = |f (x) − g(x)| dx . −1

Vamos a demostrar que este espacio, con esta métrica, no es completo. Para cada n ∈ N, sea fn : [−1, 1] → R   −1, fn (x) = nx,   1,

definida por si x ∈ [−1, −1/n], si x ∈ [−1/n, 1/n], si x ∈ [1/n, 1].

{fn } ∈ X es una sucesión de Cauchy, ya que, si m > n, n, m ∈ N, entonces Z 1 |fn (x) − fm (x)| dx = 1/n − 1/m. −1

También, haciendo cálculos, se puede ver que Z 1 |fn (x) − f (x)| dx = 1/n, −1

donde f : [−1, 1] → R está definida por ( −1, si x ∈ [−1, 0], f (x) = 1, si x ∈ (0, 1]. Supongamos que existe g ∈ X tal que la sucesión {fn } converge a g, de esto obtendremos una contradicción. Sea ǫ > 0, existe k ∈ N tal que Z 1 Z 1 |f (x) − fk (x)| dx < ǫ/2, y |g(x) − fk (x)| dx < ǫ/2. −1

Entonces Z 0≤

−1

1

−1

|f (x) − g(x)| dx ≤

Z

1 −1

|f (x) − fk (x)| dx +

< ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ,

Z

1

−1

|fk (x) − g(x)| dx

R1 por lo tanto, −1 |f (x) − g(x)| dx = 0 de esto, se concluye que f (x) = g(x) para cada x ∈ [−1, 1] − {0}. Esto es una contradicción.

´ 5.1. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

89

Proposici´ on 5.1. Sea X = B(A, R) con la métrica uniforme. X es un espacio métrico completo. Demostraci´ on: Sea {fn } una sucesión de Cauchy, demostraremos que existe f ∈ X, tal que {fn } converge a f en X. Como {fn } es una sucesión de Cauchy, y de la desigualdad |fn (x) − fm (x)| ≤ d∞ (fn , fm ), se sigue que, para cada x ∈ A, {fn (x)} es una sucesión de Cauchy de n´ umeros reales, como R es completo, existe un n´ umero real, denotado por f (x), tal que l´ım fn (x) = f (x). n→∞

Probaremos que {fn } converge uniformemente a f en A. Sea ǫ > 0, existe k ∈ N tal que d∞ (fn , fm ) < ǫ para n, m ≥ k. Sea n ≥ k y x ∈ A, entonces |fn (x) − fm (x)| ≤ d∞ (fn , fm ) < ǫ para m > k.

(5.1)

Tomando el l´ımite cuando m → ∞, en los extremos de (5.1), obtenemos que |fn (x) − f (x)| ≤ ǫ, por lo tanto, hemos demostrado que {fn } converge uniformemente a f . Sólo falta demostrar que f ∈ X. Tomemos ǫ = 1 y N ∈ N tal que |f (x) − fN (x)| < 1, para x ∈ A, de aqu´ı se sigue que |f (x)| < 1 + |fN (x)|, para x ∈ A. Por lo tanto, como la función fN ∈ X, entonces f ∈ X. ▲ En particular, l∞ es un espacio métrico completo con la métrica uniforme. Proposici´ on 5.2. Sea X = C([a, b], R). X con la métrica uniforme es un espacio métrico completo. Demostraci´ on: Sea {fn } una sucesión de Cauchy en X, como esta es una sucesión de Cauchy en B([a, b], R), por lo tanto existe f ∈ B([a, b], R) tal que {fn } converge a f en B([a, b], R). Como cada fn es continua en [a, b] y {fn } converge uniformemente a f se sabe que f ∈ C([a, b], R) y as´ı {fn } coverge a f en X. ▲ La siguiente proposición, nos garantiza la existencia de muchos espacios métricos completos, los cuales surgen como ciertos subespacios de un espacio métrico completo. Proposici´ on 5.3. Sea X un espacio métrico completo, Y un subespacio de X. Y es un espacio métrico completo, si y sólo si, Y es un subespacio cerrado de X.


90

Demostraci´ on: ⇒] Supongamos Y es un espacio métrico completo, como subespacio de X. Sea y ∈ Y . Entonces existe una sucesión {yn } de elementos de Y , que converge a y, por lo tanto, la sucesión {yn } es una sucesión de Cauchy en Y y como Y es completo, existe un elemento yo ∈ Y , tal que l´ımn→∞ yn = yo . De la unicidad del l´ımite, se sigue que y = yo y por lo tanto, y ∈ Y . ⇐] Supongamos que Y es un subespacio cerrado de X. Sea {yn } una sucesión de Cauchy en Y , por lo tanto, es sucesión de Cauchy en X. Como X es completo, existe y ∈ X tal que {yn } converge a y en X, de aqu´ı se concluye que y ∈ Y , como Y es cerrado, y ∈Y. ▲ El teorema siguiente, nos dice que un espacio métrico completo no tiene huecos, en el siguiente sentido: Teorema 5.1 (Teorema de Intersección de Cantor). Sea X un espacio métrico completo, y sea {Fn } una sucesi´ on decreciente de conjuntos cerrados no vac´ıos, tal que T l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0. Entonces F = ∞ F contiene exactamente un punto. n=1 n

Demostraci´ on: Sea {Fn } una sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vac´ıos, tal que l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0. Es claro que el conjunto F contiene a lo más un punto, ya que la sucesión {δ(Fn )} contiene a lo más un punto. Ahora probaremos que F 6= ∅. Tomemos un elemento xn ∈ Fn , n ∈ N. Entonces la sucesión {xn } es de Cauchy (esto se sigue del hecho de que la sucesión {Fn } es decreciente y los diámetros tienden a 0). Como X es completo, existe un elemento x ∈ X tal que {xn } converge a x. Demostraremos que T x∈ ∞ F . / Fk , como n=1 n Supongamos que no, esto significa que existe k ∈ N , tal que x ∈ C la sucesión {xn } converge a x y como Fk es abierto, existe N ∈ N tal que xn ∈ FkC para toda n ≥ N, si tomamos n > máx{k, N} entonces xn ∈ / Fn . Contradicción ▲ El rec´ıproco de este teorema, también es verdadero. Le dejamos la demostración al lector. Observaciones. 1. Es necesario que cada Fn sea cerrado, como lo muestra el siguiente ejemplo: En R con la métrica usual, sea Fn T = (0, 1/n]. Es claro que la sucesión {Fn } es decreciente, l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0, pero ∞ n=1 Fn = ∅.

2. También es necesario que l´ımn→∞ δ(Fn ) = 0

3. La completitud también es necesaria, tome Q.

´ 5.1. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS.

91

Uno de los teoremas más importantes del análisis es el teorema de Categor´ıa de Baire, que dice lo siguiente. Teorema 5.2 (Teorema de Categor´ıa de Baire.). Sea X un espacio métrico completo. La intersección de toda colección numerable de conjuntos abiertos densos es densa. Demostraci´ on: Sean T {Vn }n∈N una sucesión de conjuntos abiertos densos en X. Vamos a demostrar que ( n∈N Vn ) T= X. Sea p ∈ X y W un conjunto abierto tal que p ∈ W . Demostraremos que W ∩ n∈N Vn 6= ∅. Como V1 es denso y abierto, W ∩ V1 es un conjunto abierto no vac´ıo, por lo tanto podemos elegir x1 y 0 < r1 < 1 tal que B(x1 , r1 ) ⊂ W ∩ V1 .

(5.2)

Como V2 es un conjunto abierto denso, entonces V2 ∩ B(x1 , r1 ) es un conjunto abierto no vac´ıo, sean x2 y 0 < r2 < 1/2 tal que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ V2 ⊂ B(x1 , r1 ). De esta manera, podemos construir una sucesión de conjuntos cerrados {B(xn , rn )} tales que 1. 0 < rn < 1/n. 2. B(xn , rn ) ⊂ B(xn−1 , rn−1). 3. Además, B(xn , rn ) ⊂ Vn , para toda n ∈ N.

Por 1 y 2, la sucesión {B(xn , rn )} cumple con las hip´ otesis del teorema de Intersecci´ on T∞ T de Cantor, por lo tanto, existe x ∈ X tal que {x} = n=1 B(xn rn ).TPor 3, x ∈ n∈N Vn . Además por (5.2), x ∈ W . As´ı, hemos demostrado que x ∈ W ∩ n∈N Vn . ▲ Observaciones. 1. Si omitimos la hipótesis de que los conjuntos densos sean abiertos, el resultado no necesariamente se cumple, por ejemplo, en R con la métrica usual, tomemos los conjuntos densos Q e I (irracionales), es claro que no se tiene la conclusión del teorema, es decir,a hipótesis no se puede omitir. 2. Si omitimos la hipótesis de que sea una familia numerable, tampoco se cumple necesariamentela conclusión, en R con la métrica usual, la familia {R − {x} | x ∈ R}, de abiertos densos, no cumple con la conclusión del teorema. Tampoco se puede omitir que sea una familia numerable. 3. Sin embargo, la hipótesis de que el espacio métrico sea completo es suficiente, pero no necesario, es decir, existen espacios métrico no completos en donde toda intersección de una familia numerable de abiertos densos es densa (ver ejercicio 4).


92

5.2.

Completaci´ on de un Espacio M´ etrico.

Como hemos visto, con algunos ejemplos, no todo espacio métrico es completo. También nos hemos dado cuenta de la importancia que tienen los espacios métricos completos. Es por esto, que nos preguntamos si un espacio métrico no completo se podr´ıa completar en alg´ un sentido. La respuesta es s´ı. Antes de probar esta afirmación, precisaremos que entendemos por completar un espacio métrico. Definici´ on 5.2. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios métricos. Decimos que (Y, dY ) es una completación del espacio (X, dX ) si 1. (Y, dY ) es completo. 2. Existe una isometr´ıa φ : X → Y tal que φ(X) = Y . Observaciones. 1. Un espacio métrico puede tener a lo más una completación, salvo isometr´ıas, es decir, si (Y1 , dY1 ), (Y2 , dY2 ) son completaciones de (X, dX ), entonces (Y1 , dY1 ) es isométrico a (Y2, dY2 ). Dejamos la demostración al lector. Por esta observación, diremos la completación del espacio métrico X, en lugar de una completación de X. 2. Si Y es un espacio métrico completo y φ : X → Y es una isometr´ıa, entonces φ(X) es la completación de X. Dejamos la demostración al lector. Lema 5.1. Existe una isometr´ıa entre (X, dX ) y (B(X, R), d∞ ). Demostraci´ on: Antes de construir la isometr´ıa, observemos que si xo ∈ X, para cada a ∈ X, la función φa : X → R definida como φa (x) = d(x, a) − d(x, xo ) es una función acotada (esto se sigue de d(x, a) − d(x, xo ) ≤ d(a, xo )). Definamos φ : X → B(X, R), como φ(a) = φa . Veamos que φ es una isometr´ıa. Observemos que para cada a, b ∈ X d∞ (φa , φb ) = sup{|φa (x) − φb (x)| | x ∈ X} y para cada x ∈ X, se tiene que |φa (x) − φb (x)| = |d(x, a) − d(x, xo ) − d(x, b) + d(x, xo | = |d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b) (5.3)

93

5.3. EJERCICIOS luego d∞ (φa , φb ) ≤ d(a, b).

(5.4)

Como en x = a se tiene la igualdad en (5.3), entonces, se sigue la igualdad en (5.4), es decir, d(a, b) = d∞ (φ(a), φ(b)) = d∞ (φa , φb ). ▲ Teorema 5.3. Sea (X, dX ) un espacio métrico. Existe una completaci´ on de X. Demostraci´ on: Tomemos φ la isometr´ıa del lema anterior y por la observación 2. Y = φ(X). Este subespacio es completo en B(X, R) y es la completación de X. ▲ En el ejercicio 16. daremos el esquema para una demostración alternativa de este resultado. Este esquema es análogo al que se usa para la completación de Q.

5.3.

Ejercicios

1. Demuestre que el espacio c = {xn } | xn ∈ R, n ∈ N y l´ımn→∞ xn existe , con la métrica uniforme, es un espacio métrico completo. 2. Demuestre que el espacio co = {xn } ∈ c | l´ımn→∞ xn = 0 , con la métrica uniforme, es un espacio métrico completo. 3. Demuestre que el espacio coo = {xn } ∈ co | existe N ∈ N, tal que xn = 0, para toda n ≥ N , con la métrica uniforme, no es un espacio métrico completo.

4. Demuestre que N con la métrica d(n, m) =

|n − m| nm

del ejercicio 23 del cap´ıtulo 2, no es completo. Demuestre que en este espacio, la intersección numerable de conjuntos abiertos densos es densa (compare con el teorema de Categor´ıa de Baire). 5. Sea X unTespacio métrico. Demuestre que si O1 , O2 , . . . On son abiertos densos, entonces ni=1 Oi es abierto y denso. Compare con el teorema de Categor´ıa de Baire. 6. Demuestre que Q no es intersección numerable de conjuntos abiertos.

94

´ CAPÍTULO 5. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS. 7. Demuestre que no existe una función f : R → R continua en Q y discontinua en I, (I el conjunto de irracionales). 8. Sea X un espacio métrico completo. Use el teorema de Categor´ıa de Baire para demostrar que S a) Si X = ∞ n=1 An , donde An es un conjunto cerrado, para cada n ∈ N, entonces existe no ∈ N tal que int(Ano ) 6= ∅. S b) Si X = ∞ n=1 An , entonces existe no ∈ N tal que int(Ano ) 6= ∅.

9. Pruebe que si X es un espacio métrico no completo, entonces:

existe una función uniformemente continua de X → [0, ∞) tal que ´ınf{f (x) | x ∈ [0, ∞)} = 0. existe una función continua de X a R no acotada.

10. Sea (X, d) un espacio métrico. Si toda función continua de X a R es uniformemente continua, demuestre que X es completo. 11. Todo espacio métrico completo a lo más numerable tiene un punto aislado. 12. Demuestre, usando el teorema de Categor´ıa de Baire, que R es no numerable. 13. Resuelva los ejercicios 1. y 2. de las observaciones de la sección 5.2. 14. Sea (X, d) un espacio métrico. Sea A ⊂ X un conjunto denso, tal que toda sucesión de Cauchy en A converge en X. Demuestre que X es completo. 15. Extensión de funciones uniformemente continuas. Sea D un subconjunto denso de un espacio métrico X, Y un espacio métrico completo y f : D → Y una función uniformemente continua. Demuestre que existe una u ´ nica función continua F : X → Y , tal que F (x) = f (x) para toda x ∈ D; además F es uniformemente continua en X. 16. Otro método de completación de un espacio métrico. Sea X un espacio métrico. e = {{xn } | {xn } es una sucesión de Cauchy. } Definamos una relación en Sea X e X(∼) de la siguiente manera: {xn } ∼ {yn , si y sólo si, l´ımn→∞ d(xn , yn ) = 0. a) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia. e ∼= [{xn }] | {xn } es una sucesión de Cauchy. b) Sea X/

ˆ Definamos d([{x ımn→∞ d(xn , yn ). Demuestre que: n }], [{yn }]) = l´ l´ımn→∞ d(xn , yn ) existe. Este l´ımite no depende del representante que se elija.

5.3. EJERCICIOS

95

e ∼. dˆ es una métrica en X/ e ∼ definida como φ(x) = [{x}] es una isometr´ıa. La función φ : X → X/ φ(X) es un conjunto denso. ˆ es completo. Sugerencia. Use el problema 14. e ∼, d) (X/

96


Cap´ıtulo 6 Conjuntos Compactos. En R, los intervalos cerrados y acotados tienen la propiedad importante de que una función continua definida en un intervalo cerrado, es acotada, además, alcanza su máximo y su m´ınimo. También, sabemos que si el dominio de una función continua es un intervalo abierto, acotado o un intervalo cerrado y no acotado, ésta no es necesariamente acotada, y a´ un cuando sea acotada, no necesariamente alcanza su máximo y su m´ınimo. Esto nos dice que un intervalo cerrado y acotado debe tener una propiedad que es crucial en la demostración de este resultado y de otros. Por alg´ un tiempo se consideró que esta propiedad era que: todo subconjunto infinito de un intervalo cerrado y acotado, tiene un punto de acumulación. En un principio, esta propiedad recibió el nombre de compacidad. Actualmente se le conoce como la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Esta noción admite varias caracterizaciones equivalentes en R, como son las siguientes: Un subconjunto A en R tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. A es cerrado y acotado. Toda sucesión en A, tiene una subsucesión convergente. De toda cubierta abierta de A, se puede extraer una subcubierta finita. Estas equivalencias, también se cumplen en Rn . Los conceptos involucrados en estas equivalencias son fácilmente generalizables a un espacio métrico, de hecho, todas son equivalentes en un espacio métrico, excepto, la propiedad de ser cerrado y acotado. Sin embargo, cada una de estas propiedades recibe un nombre distinto. Consideramos que por cuestiones didácticas, iniciaremos estudiando la tercera afirmación. 97

98

6.1.

CAPÍTULO 6. CONJUNTOS COMPACTOS.

Conjuntos Secuencialmente Compactos.

Definici´ on 6.1. Sean (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X. Diremos que Y es secuencialmente compacto en X, si toda sucesi´ on en Y , contiene una subsucesión que converge a un elemento de Y . Observación. Es importante que en la definición digamos que la subsucesión converge a un elemento de Y , por ejemplo, en con la métrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es secuencialmente compacto, ya que la sucesión {1/n}, si bien converge a cero, éste no pertenece al intervalo abierto (0, 1). Teorema 6.1. Sean (X, d) un espacio métrico, Y un subconjunto cerrado de X y X secuencialmente compacto. Entonces, Y es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: Sea {yn } una sucesión en Y , como X es secuencialmente compacto, existe una subsucesión {ynk } y x ∈ X, tales que {ynk } converge a x, como Y es cerrado, esto implica que x ∈ Y . ▲ Teorema 6.2. Sean (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X. Si Y es secuencialmente compacto, entonces Y es cerrado. Demostraci´ on: Sea y ∈ Y , existe una sucesión {yn } de elementos de Y que converge a y. Como Y es secuencialmente compacto, existe {ynk } y yo ∈ Y tal que {ynk } converge a yo . Como el l´ımite es u ´ nico, entonces y = yo ∈ Y . Por lo tanto Y es cerrado. ▲ Teorema 6.3. Toda funci´ on continua de un espacio (X, d) secuencialmente compacto a R está acotada, es decir, existe M > 0, tal que |f (x)| ≤ M, para cada x ∈ X Demostraci´ on: Supongamos que existe f : X → R continua y no acotada. Entonces para cada n ∈ N, existe xn ∈ X tal que |f (xn )| > n.

(6.1)

Como X es secuencialmente compacto, existe una subsucesión {xnk } y x ∈ X tal que {xnk } converge a x. Por la continuidad de f , la sucesión {f (xnk )} converge a f (x), en particular, esto nos dice que {f (xnk )} es una subsucesión acotada, pero esto contradice (6.1). ▲

6.1. CONJUNTOS SECUENCIALMENTE COMPACTOS.

99

Teorema 6.4. Sean (X, d) un espacio métrico secuencialmente compacto y f : X → R continua. Entonces f alcanza su máximo y su m´ınimo, es decir, existen x1 y x2 tales que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ X. Demostraci´ on: Haremos la demostración para el caso del máximo. Para el m´ınimo, la demostración se hace de manera similar. Sea α = sup{f (x) x ∈ X}, α es un n´ umero real, ya que f es acotada. Para cada n ∈ N, existe xn ∈ X tal que α − 1/n ≤ f (xn ) ≤ α.

(6.2)

Como X es secuencialmente compacto, existen una subsucesión {xnk } y x2 ∈ X tal que {xnk } converge a x2 . Por la continuidad de f , {f (xnk )} converge a f (x2 ). De esto y de (6.2), se concluye que f (x2 ) = α. ▲ Con un argumento análogo, se demuestra que si f es continua en X y X es secuencialmente compacto, entonces f es uniformemente continua. La demostración se la dejamos al lector. Teorema 6.5. Si Y es un subconjunto de (X, d) secuencialmente compacto, entonces Y es un conjunto cerrado y acotado. Demostraci´ on: Ya demostramos que Y es cerrado. Para demostrar que Y es acotado, considere la función f : Y → R, definida por f (y) = d(y, yo),

yo es un punto fijo ,

y use el teorema 6.3. ▲ El rec´ıproco de este resultado, no siempre se cumple en espacios métricos, para ver esto, considere R con la métrica discreta, en este espacio, todos los subconjuntos de R son acotados y cerrados, pero, solamente los conjuntos finitos son secuencialmente compactos. Sin embargo en Rk con la métrica euclidiana, secuencialmente compacto es equivalente a cerrado y acotado. Los espacios secuencialmente compactos son totalmente acotados. Teorema 6.6. Sea (X, d) un espacio métrico. Si X es secuencialmente compacto, entonces es totalmente acotado.

100


Demostraci´ on: Sea ǫ > 0 y sea x1 ∈ X. Si B(x1 , ǫ) = X, entonces el teorema está demostrado. De otra manera, existe x2 ∈ X tal que x2 ∈ / B(x1 , ǫ). Si la unión B(x1 , ǫ) ∪ B(x2 , ǫ) = X, hemos terminado. Si no, repetimos el proceso y construimos una S o sucesión de bolas {B(xn , ǫ)}n∈N . Veamos que para alguna no ∈ N, X ⊂ ni=1 B(xi , ǫ), es decir, el proceso lo terminamos en un n´ umero finito de pasos. De no ser as´ı, obtenemos una sucesión de elementos distintos {xn } de X; como X es secuencialmente compacto, esta sucesión contiene una subsucesión convergente a un elemento x ∈ X, luego, para dicha ǫ existe N ∈ N tal que, si p, q ≥ N, d(xp , x) < ǫ/2 y d(xq , x) < ǫ/2, entonces d(xp , xq ) < ǫ, lo cual contradice la manera como elegimos los xn . Por lo tanto, para alguna no ∈ N, se tiene no [ X⊂ B(xi , ǫ). i=1

▲

Ahora veremos que el concepto de secuencialmente compacto se preserva bajo funciones continuas. Teorema 6.7. Sea (X, dX ) un espacio métrico secuencialmente compacto. Sean (Y, dY ) otro espacio métrico y f : X → Y una funci´ on continua. Entonces f (X) es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: Sea {yn } una sucesión en f (X), y sea {xn } en X tal que f (xn ) = yn para cada n ∈ N. Como X es sucesionalmente compacto, existe una subsucesión {xnk } y x ∈ X tal que {xnk } converge a x. Por la continuidad de f , la sucesión {f (xnk )} converge a f (x). As´ı, hemos demostrado que existe una subsucesión de la sucesión {yn } que converge a un elemento de f (X). Por lo tanto, f (X) es secuencialmente compacto. ▲

6.2.

Conjuntos que tienen la Propiedad de BolzanoWeierstrass (BW).

El concepto siguiente, en espacios métricos, (pero no en espacios topológicos), es equivalente al concepto de conjuntos secuencialmente compactos. Definici´ on 6.2. Sean (X, dx ) un espacio métrico y Y ⊂ X. Decimos que Y tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo subconjunto infinito A de Y tiene un punto de acumulación en Y . Teorema 6.8. Sea (X, dX ) un espacio métrico. Son equivalentes

6.3. CONJUNTOS COMPACTOS.

101

(a) X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). (b) X es secuencialmente compacto (SC). Demostraci´ on: ⇒] Sea {xn } una sucesión en X y sea A el rango de la sucesión {xn }, es decir, A = {xn n ∈ N}.

Caso 1. A es un conjunto finito. Luego, existe una subsucesión {xnk } de {xn } constante. y por lo tanto convergente. Caso 2. A es un conjunto infinito. Por la hipótesis, existe x ∈ X tal que x es punto de acumulación de A, luego, de igual forma como se construyó en el teorema 3.7, se construye una subsucesión de {xn } que converge a x. Por lo tanto, hemos demostrado que X es secuencialmente compacto. ⇐] Sea A ⊂ X un conjunto infinito. Existe una sucesión {xn } de elementos de A tal que, xn 6= xm , si n 6= m. Como X es secuencialmente compacto, entonces existe una subsucesión {xnk } y x ∈ X, tal que la subsucesión {xnk } converge a x. Como los elementos de la sucesión son distintos, x es un punto de acumulación de A. ▲ Con esta equivalencia de conceptos, podemos decir, que los resultados vistos en la sección anterior, son válidos para conjuntos que tengan la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

6.3.

Conjuntos Compactos.

El concepto de conjunto compacto, es equivalente, en espacios métricos, al concepto de conjunto secuencialmente compacto. Aunque menos intuitivo, su formulación, resulta u ´ til en la demostración de algunos resultados. Cabe mencionar, además, que en espacios topológicos, este concepto es más débil que el de secuencialmente compacto y la Propiedad de Bolzano-Weierstrass. El concepto de compacidad nos facilita el poder trabajar con otras nociones de compacidad. Antes de definir el concepto de conjunto compacto, introduciremos algunos conceptos que nos facilitarán la definición de Compacidad.


102

S Definici´ on 6.3. Sea A ⊂ X. Si A ⊂ α∈I Uα , con Uα conjunto abierto enSX; a la familia {Uα }α∈I se le llama cubierta abierta de A. Si I ′ ⊂ I es tal que A ⊂ α∈I ′ Uα , entonces decimos que la subfamilia {Uα }α∈I ′ es una subcubierta de A. Si, además I ′ es un conjunto finito, diremos que la subfamilia es una subcubierta finita de A. Definici´ on 6.4. sea (X, dX ) un espacio métrico X. Decimos que A ⊂ X es compacto, si toda cubierta abierta de A, tiene una subcubierta finita. Observaciones. Sea Y ⊂ X. A diferencia del caracter de abierto y cerrado de un conjunto, el cual es una propiedad relativa, es decir, un conjunto K puede ser abierto en Y , pero no serlo en X o viceversa, el caracter de compacidad es absoluto, esto es, si K es compacto en Y , entonces es compacto en X. Diremos que un conjunto A no es compacto, si existe una cubierta abierta de A de la cual no podemos extraer una subcubierta finita. Ejemplos. Conjuntos compactos y conjuntos no compactos. 1. Es claro que un subconjunto finito de un espacio métrico, es un conjunto compacto. 2. Un conjunto infinito con la métrica discreta, no es compacto.Considere la cubierta abierta {{x} x ∈ X}. En realidad, A ⊂ X es compacto, si y sólo si, es un conjunto finito.

3. Un intervalo abierto (a, b) en R, con la métrica usual, no es compacto. Considere la cubierta {(a + 1/n, b − 1/n)}. R con la métrica usual, tampoco es compacto. Considere la cubierta abierta {(−n, n)} con n ∈ N. 4. Sea A = {0} ∪ {1/n n ∈ N}. A es compacto en R con la métrica usual. Dada un cubrimiento abierto {Uα }α∈I , entonces, existe αo ∈ I tal que 0 ∈ Uαo . Como la sucesión {1/n} converge a 0, Uαo es abierto y 0 ∈ Uαo , existe k ∈ N tal que 1 ∈ Uαo , para cada n ≥ k. n Para cada i ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, sea Uαi tal que 1/i ∈ Uαi . Por lo tanto, A⊂

k−1 [

Uαi .

i=0

As´ı, hemos demostrado que A es compacto.

103


El siguiente ejemplo, es un resultado muy importante en R, en donde consideramos la métrica usual, por este hecho, lo enunciaremos como teorema. Teorema 6.9. Sean a < b elementos de R. Entonces, el intervalo cerrado [a, b] es compacto en R con la métrica usual. Demostraci´ on: Supongamos que [a, b] no es compacto, entonces existe una cubierta abierta de [a, b], {Uα }α∈I , la cual no admite una subcubierta finita del intervalo. Sea c el punto medio de [a, b], luego por la hipótesis, al menos uno de los subintervalos [a, c], [c, b] no admite una subcubierta finita, digamos [a, c]. Obsérvese que la longitud de este intervalo es 12 (b−a). Sea [a1 , b1 ] = [a, c]. Repitiendo el proceso anterior, contruyamos una sucesión de intervalos encajados {[an , bn ]}n∈N tal que cada [an , bn ] no admite una subcubierta finita y que tiene longitud bn − an =

b−a . 2n

Esta sucesión tiende a cero, cuando n tiende a ∞. Como R es completo, por el teorema 5.1, la intersección de la sucesión de intervalos {[an , bn ]}n∈N contiene exactamente un punto p. Sea Uβ el abierto de la cubierta que contiene a p, entonces existe ǫ > 0 tal que (p − ǫ, p + ǫ) ⊂ Uβ , luego para esta ǫ existe N ∈ N, tal que, para toda n ≥ N b−a <ǫ 2n

y

[an , bn ] ⊂ Uβ .

Este u ´ ltimo resultado, nos dice que a partir de N, dichos subintervalos [an , bn ] admiten una subcubierta finita, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, [a, b] es compacto. ▲ Un resultado sobre espacios secuencialmente compactos, que involucra cubiertas abiertas, el cual utilizaremos más adelante, es el siguiente: Lema 6.1. Sea (X, d) un espacio métrico secuencialmene compacto. Para toda cubierta abierta {Uα }α∈I de X, existe ǫ > 0, tal que para todo x ∈ X, se tiene que B(x, r) ⊂ Uα para alguna α ∈ I y para toda r ≤ ǫ. Demostraci´ on: Haremos la demostración por contradicción. Supongamos que existe una cubierta abierta de X, tal que, para toda ǫ > 0, existe xǫ ∈ X donde la bola B(xǫ , ǫ) no está contenida en ning´ un elemento de la cubierta. Construyamos una sucesión {xn } en X, de la siguiente manera: para cada n ∈ N, sea ǫ = 1/n, entonces existe xn ∈ X tal que B(xn , 1/n) no está contenida en ning´ un elemento de la cubierta. Por ser X secuencialmente compacto, esta sucesión contiene


104

una subsucesión {xnk } que converge a alg´ un x ∈ X. Como la cubierta de X es abierta, existen Uβ y B(x, r), r > 0 tales que B(x, r) ⊂ Uβ . Para esa r, existe N ∈ N tal que, 1/N < r/2 y para toda nk ≥ N, d(xnk , x) < r/2, entonces, si y ∈ B(xnk , 1/nk ), se tiene d(y, x) ≤ d(y, xnk ) + d(xnk , x) < 1/nk + r/2 ≤ r. Luego, y ∈ B(x, r), de aqu´ı que B(xnk , 1/nk ) ⊂ B(x, r) ⊂ Uβ , contrario a nuestra hipótesis. Por lo tanto, se cumple el teorema. ▲ Observación. A este n´ umero ǫ se le llama el n´ umero de Lebesgue de la cubierta abierta del espacio m´ etrico X. Los siguientes teoremas, cuya demostración incluiremos aqu´ı, en realidad son consecuencia de un resultado importante que veremos más adelante, pero vale la pena hacer las demostraciones, ya que nos familiarizarán con el concepto de compacidad. Dados dos elementos distintos x 6= y en cualquier espacio métrico X, siempre podemos encontrar dos bolas B(x, rx ) y B(y, ry ), tales que B(x, rx ) ∩ B(y, ry ) = ∅. Simplemente, tomamos r = rx = ry = 21 d(x, y). Cuando un espacio cumple con esta propiedad, decimos que es un espacio de Hausdorff. Esta propiedad de los espacios métricos, nos será de utilidad para probar que un conjunto compacto es cerrado. Teorema 6.10. Sea X un espacio métrico. Todo conjunto K ⊂ X compacto es cerrado y acotado. Demostraci´ on: Sea K ⊂ X compacto. Probaremos que K C es abierto. Sea x ∈ K C . Para cada y ∈ K, existe ry > 0, tal que B(y, ry ) ∩ B(x, ry ) = ∅. La familia {B(y, ry ) ∩ K} contituye una cubierta abierta de K, como K es compacto, existe una subcubierta finita para K, es decir, n [ K⊂ B(yi , ryi ) . i=1

Sea r = m´ın{ry1 , ry2 , . . . , ryn }. Entonces B(x, r) ∩ K = ∅, de aqu´ı que, x es un punto interior de K C y por lo tanto K es cerrado. Demostraremos ahora, que K está acotado. La familia {B(y, 1) ∩ K y ∈ K} es una cubierta abierta de K, luego, por la compacidad de K, existe una subcubierta finita, es decir, existen y1 , y2, . . . , yn elementos de K tales que K⊂

n [ B(yi , 1) .

i=1


105

Luego, K es un conjunto acotado. ▲ El rec´ıproco no es necesariamente cierto, por ejemplo, en cualquier espacio X infinito, que tenga la métrica discreta, la bola cerrada B[x, 1] = X es un conjunto cerrado y acotado, pero no es compacto. Sin embargo, si el espacio métrico es compacto, s´ı tenemos el siguiente resultado: Teorema 6.11. En un espacio métrico compacto X, todo conjunto cerrado es compacto. Demostraci´ on: Sean X compacto y K ⊂ X cerrado. Sea {G′α }α∈I una cubierta abierta de K con la métrica inducida, es decir, G′α = Gα ∩ K con Gα abierto en X. La familia {Gα } ∪ (X − K) es una cubierta abierta de X, como X es compacto, existe una subcubierta finita para X, digamos G1 , G2 , . . . , Gn , X −K, luego, G′1 , G′2 , . . . , G′n son una subcubierta finita para K, es decir, K es compacto. ▲ Observaci´ on. Sólo se necesitó que el conjunto fuese cerrado para asegurar la compacidad del mismo. Cuando las bolas cerradas en un espacio métrico son conjuntos compactos, el rec´ıproco del teorema 6.10 es cierto. Teorema 6.12. En un espacio métrico X, donde las bolas cerradas son compactas, todo conjunto cerrado y acotado K es compacto. Demostraci´ on: Sea K un conjunto cerrado y acotado. por ser K acotado, existe una bola cerrada B que contiene a K, como B es compacto y K cerrado, por el teorema 6.11 se concluye que K es compacto. ▲ Demostramos en el teorema 6.9 que un intervalo cerrado y acotado en R, con la métrica usual, es compacto. En realidad, un intervalo cerrado y acotado es una bola cerrada; entonces, como consecuencia del teorema 6.12, tenemos el siguiente resultado. Corolario 6.1. En R, con la métrica usual, un subconjunto A ⊂ R es cerrado y acotado, si y sólo si, es compacto. En Rn también se cumple este resultado, es decir, un subconjunto de Rn es compacto, si y sólo si, es cerrado y acotado. Esto no lo demostraremos. También recuérdese que en espacios métricos, esta equivalencia no es válida en general, sin embargo, tenemos las siguientes equivalencias de compacidad.


106

6.4.

Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios M´ etricos.

Teorema 6.13. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. Son equivalentes: (a) A es compacto. (b) A tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass (A es BW). (c) A es secuencialmente compacto (A es SC). Demostraci´ on: (a) ⇒ (b) Haremos la demostración por contradicción. Supongamos que A no es BW, entonces, existe un conjunto infinito T con T ⊂ A, tal que T no tiene puntos de acumulación en A, esto es, T ′ ∩ A = ∅. Construiremos una cubierta abierta para A de la siguiente manera: como para cada x ∈ A, x ∈ / T ′ , existe una vecindad abierta Vx de x, tal que (Vx ) ∩ T = ∅ ó (Vx ) ∩ T = {x}. La familia {Vx }x∈A es una cubierta abierta para A; por la compacidad de A, esta cubierta admite una subcubierta finita, esto es, existen x1 , x2 , . . . , xn elementos de A tales que n [ A⊂ Vx i , i=1

Sn

como T ⊂ A, se tiene que T ⊂ i=1 Vxi . Pero cada Vx contiene a lo más un sólo elemento de T , es decir, T tiene a lo más n elementos, hemos llegado a una contradicción. Luego, A es BW. (b) ⇔ (c) Se demostró en el teorema 6.8. (c) ⇒ (a) Sea {Uα }α∈I una cubierta abierta de X. por el lema 6.1, existe ǫ > 0, tal que para toda 0 < r ≤ ǫ y todo x ∈ X se tiene que B(x, r) ⊂ Uαx para alguna αx ∈ I. Por el teoremaS6.6, para esa ǫ, existe un conjunto finito de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tales que X ⊂ ni=1 B(xi , ǫ). pero cada B(xi , ǫ) ⊂ Uαxi , por lo tanto X⊂ De aqu´ı que {Uαxi

n [

Uαxi .

i=1

i = 1, 2, . . . , n} es una subcubierta finita para X.

▲

Cuando el espacio métrico es completo, se tienen otras caracterizaciones de la compacidad.

´ ENTRE LA COMPACIDAD Y LA COMPLETITUD. 6.5. RELACION

6.5.

107

Relaci´ on entre la Compacidad y la Completitud.

Teorema 6.14. Todo espacio métrico compacto es completo. Demostraci´ on: Sea {xn } una sucesión de Cauchy, como X es secuencialmente compacto, entonces existe una subsucesión convergente {xnk } de {xn }. Por el teorema 3.15, la sucesión {xn } es convergente en X. ▲ El rec´ıproco no siempre se cumple, pero si además de la completitud del espacio métrico, éste es totalmente acotado, entonces, se garantiza la compacidad. Teorema 6.15. Sea X un espacio métrico completo y totalmente acotado, entonces X es compacto. Demostraci´ on: Vamos a demostrar que X es secuencialmente compacto. Sea {xn } una sucesión en X, demostraremos que existe una subsucesión de Cauchy {xnk } de la sucesión {xn }, como X es completo, esto implicará que la subsucesión converge. Como X es totalmente acotado podemos cubrir al espacio X con un n´ umero finito de bolas de radio 1, al menos una de estas bolas, digamos B1 tiene elementos xn para un n´ umero infinito de valores de n. Sea J1 = {n ∈ N xn ∈ B1 }. Ahora cubramos a X con un n´ umero finito de bolas de radio 1/2, como J1 es infinito, al menos una de estas bolas, digamos B2 tiene elementos xn para un n´ umero infinito de ´ındices n ∈ J1 . Denotemos por J2 tal conjunto de ´ındices. Procediendo de esta manera, podemos construir una sucesión {Bi } de bolas de radio 1/i, y una sucesión {Ji } de subconjuntos de N tal que Ji = {n ∈ N xn ∈ Bi } Ji es un conjunto infinito, para cada i ∈ N. Ji+1 ⊂ Ji . Ahora, sea n1 ∈ J1 , escojamos n2 ∈ J2 , tal que n2 > n1 , (esto lo podemos hacer, porque J2 es infinito), enseguida, escojamos n3 ∈ J3 tal que n3 > n2 , (esto lo podemos hacer, porque J3 es infinito). De esta manera, podemos construir una sucesión {nk }, estrictamente creciente de n´ umeros naturales, que cumplen que nk ∈ Jk . Probaremos que la subsucesión {xnk } es una subsucesión de Cauchy. Sea ǫ > 0, tomemos ko ∈ N tal que 1/ko < ǫ, sean i, j > ko , entonces xni , xnj ∈ Bko , es decir, d(xni , xnj ) < 1/ko < ǫ. As´ı, hemos demostrado que la subsucesión {xnk } es una sucesión de Cauchy. ▲


108

6.6.

Funciones Continuas en Conjuntos Compactos.

Teorema 6.16. Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos, A ⊂ X compacto y f : X → Y una función continua en X, entonces, f (A) es compacto en Y . Demostraci´ o n: Sea {Uα α ∈ I} una cubierta abierta de f (A), entonces, la familia {f −1 (Uα α ∈ I} es una cubierta abierta de A. Como A es compacto, entonces existen α1 , . . . , αn , tales que n [ A⊂ f −1 (Uαi ), i=1

entonces

f (A) ⊂ f

n [

i=1

f

−1

(Uαi )

!

=

n [

i=1

De aqu´ı se concluye que f (A) es compacto.

f (f

−1

(Uαi )) ⊂

n [

Uαi .

i=1

▲ En el caso de que Y = R y dY la métrica usual, se tiene el siguiente teorema. Teorema 6.17. Sea f : X → R continua en X, con X compacto, entonces f es una función acotada y f alcanza su m´ aximo y su m´ınimo, es decir, existen xo y x1 tales que f (xo ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ), para cada x ∈ X. Demostraci´ on: Por el teorema 6.16, f (X) es un subconjunto compacto de R, por lo tanto, f (X) es acotado, lo cual indica que f es acotada. Como f (X) es un subconjunto no vac´ıo, acotado, tiene supremo e ´ınfimo; sea α = sup f (X) y β = ´ınf f (X). Como α y β ∈ f (X) y f (X) es cerrado, existen xo y x1 en X, tales que α = f (xo ) y β = f (x1 ). Entonces, se tiene que f (xo ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ),

para cada x ∈ X. ▲

Sabemos que existen funciones continuas biyectivas, cuya inversa no es continua. Pero si además, el dominio es compacto, entonces se garantiza que la función inversa es continua. Antes de demostrar este resultado, probaremos el siguiente lema. Lema 6.2. Sea f : X → Y continua en X y X compacto. Si K es cerrado en X, entonces f (K) es cerrado en Y . Demostraci´ on: Sea K cerrado en X, como X es compacto, entonces K es compacto. Como f es continua, f (K) es compacto en Y y por lo tanto f (K) es cerrado. ▲

6.7. EJERCICIOS

109

Teorema 6.18. Sea f : X → Y continua en X, biyectiva y X compacto, entonces f −1 : Y → X es continua en Y . Demostraci´ on: Sea K cerrado en X, como f es biyectiva, (f −1 )−1 (K) = f (K), por el lema anterior, f (K) es cerrado. ▲

6.7.

Ejercicios

1. Sea (X, d) espacio métrico y {xn } una sucesión en X que converge a x. Demuestre que K = {xn }n∈N ∪ {x} es un conjunto compacto. Si {xn } es una sucesión de Cauchy, ¿será K = {xn } un conjunto compacto? 2. Estudie la compacidad de los siguientes subconjuntos de R usando la definición de cubiertas. ( ) 1 1 1 a) 1, , 2, , 3, . . . , , n, . . . , donde n ∈ N. 2 3 n ( ) n+2 3 4 5 , , ,..., , . . . , donde n ∈ N. b) 2 3 4 n+1 ( ) 1 c) (−1)n + , n ≥ 1 . n d ) (a, b), [a, b), [a, ∞). 3. Estudie la compacidad de los siguientes subconjuntos en R2 . a) {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 = 1}. b) {(x, y) ∈ R2 y = x2 }. c) {(x, y) ∈ R2 (x2 + y 2 )(x2 + y 2 − 4x + 3) ≤ 0}. 4. Demuestre que:

a) La unión finita de compactos es compacta. b) La intersección finita de compactos es compacta. c) Proporciona un ejemplo de dos conjuntos no compactos, cuya unión y cuya intersección sean conjuntos compactos. 5. Sean A 6= ∅ y B compacto, subconjuntos de un espacio métrico X. Pruebe que d(A, B) = 0, si y sólo si, A ∩ B 6= ∅.


110

6. Sea A compacto, B abierto y A ⊂ B. Demuestre que existe un conjunto cerrado C tal que A ⊂ C ⊂ B. 7. Sea (X, d) un espacio métrico. Demuestre que. a) Todo conjunto K ⊂ X compacto, es cerrado.

b) Si X es compacto, entonces todo conjunto cerrado F ⊂ X, es compacto.

c) Si en X toda bola cerrada es compacta, entonces, todo conjunto cerrado y acotado es compacto.

8. Sea (X, d) un espacio métrico, F ⊂ X. Demuestre que A ⊂ F es compacto en (X, d), si y sólo si, es compacto en (F, dF ). 9. Sea (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X compacto. a) Sea x ∈ X. Demuestre que existe a ∈ A, tal que d(x, A) = d(x, a). ¿Será a u ´ nico? b) Sea B ⊂ X compacto. Demuestre que existen ao ∈ A, bo ∈ B, tales que d(A, B) = d(ao , bo ). 10. Sea (X, d) un espacio métrico. Se dice que un subconjunto A ⊂ X es denso en X, si A = X. Se dice que X es separable, si X es finito o contiene un subconjunto propio A denso y numerable. Demuestre que: a) R es separable. b) El espacio Rn con la métrica euclidiana es separable. c) B([0, 1], R) no es separable.

d ) l∞ no es separable.

e) Co con la métrica uniforme es separable. 11. Si X es un espacio métrico totalmente acotado, demuestre que X es separable. 12. Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Demuestre que X es separable. Sug. Considere para cada n ∈ N, Fn = {B(x, 1/n) x ∈ X}.

13. Sea X un espacio métrico tal que todo conjunto acotado y cerrado de X es compacto. Demuestre que X es completo.

14. Los intervalos [0, 1], (1/2, 1] y (1/(n + 1), 1/(n − 1)), n = 2, 3, . . . , constituyen una cubierta abierta del espacio métrico [0, 1]. Determine un n´ umero de Lebesgue para esta cubierta.

6.7. EJERCICIOS

111

15. Sea X un espacio métrico compacto, y f : X → R continua. Pruebe que si f (x) > 0 para cada x ∈ X, entonces existe m > 0, tal que f (x) > m para cada x ∈ X. ¿Es válido este resultado, si quitamos la hipótesis de que X sea compacto? 16. Sea (X, d) un espacio métrico, decimos que una colección F = {Aα }α∈I tiene la Propiedad de Intersecci´ on Finita si cada subcolección finita de F tiene intersección no vac´ıa, es decir, para cada n ∈ N y {α1 , . . . , αn } ⊂ I, se cumple que T n i=1 Aαi 6= ∅.

Demuestre que el espacio métrico X es compacto, si y sólo si, cada colección F = {Fα }α∈I de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección T finita, cumple que α∈I Fα 6= ∅. 17. Sea (X, d) un espacio métrico compacto y sean {Fi i ∈ N} una sucesión decreciente (Fn+1 ⊂ Fn ) de subconjuntos de X, cerrados no vac´ıos. Demuestre que T∞ ıo. i=1 Fi es un conjunto cerrado y no vac´

18. Sean d1 y d2 dos métricas equivalentes en X. Demuestre que un conjunto A es compacto en (X, d1 ), si y sólo si, es compacto en (X, d2 ). Si A es totalmente acotado, ¿se cumplirá un resultado análogo?

19. Sean d1 y d2 dos métricas semejantes en X. Demuestre que un conjunto A es totalmente acotado en (X, d1 ), si y sólo si, es totalmente acotado en (X, d2 ). 20. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X. a) ¿Existirá a ∈ A tal que d(x, A) = d(x, a)?

b) Si A es un conjunto cerrado, ¿es válido el inciso anterior?

c) La misma pregunta, en el caso de que A sea compacto. 21. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X un conjunto compacto. Demuestre que existen a1 y a2 elementos de A tales que δ(A) = d(a1 , a2 ).

112


Cap´ıtulo 7 Aplicaciones Contractivas. 7.1.

Contracciones.

Muchos resultados en matemáticas, tales como demostrar la existencia: de una solución de una ecuación diferencial, de una ecuación integral, de un sistema de ecuaciones, etc. se pueden plantear de esta manera: dado un operador T : X → Y , existe un x ∈ X tal que T (x) = x, es decir T tiene un punto fijo. Por este hecho, es importante determinar que condiciones debe cumplir un operador para que tenga un punto fijo. Existen varios teoremas sobre este problema; en este cap´ıtulo estudiaremos uno de los más usados, el Teorema del Punto Fijo de Banach. Este teorema no sólo nos demuestra la existencia y unicidad de un punto fijo, sino que además nos proporciona un método iterativo, por medio del cual, se construye una sucesión que converge al punto fijo y estimaciones para el error que se comete. Definici´ on 7.1. Sean (X, d) un espacio métrico y f : X → X una funci´ on. Decimos que f es una contracción, si existe 0 < α < 1, tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), para cada x, y ∈ X. A α se le llama la constante de contracción. Se sigue, inmediatamente de la definición, que una contracción es una función continua, de hecho, es uniformemente continua. Teorema 7.1 (Teorema del Punto Fijo de Banach). Sean (X, d) un espacio métrico completo y f : X → X una contracción. Entonces f tiene un u ńico punto fijo, es decir, existe un u ńico x ∈ X, tal que, f (x) = x. Demostraci´ on:

Como f es una contracción, existe 0 < α < 1, tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), para cada x, y ∈ X. 113

CAPÍTULO 7. APLICACIONES CONTRACTIVAS.

114

Primero probaremos que f tiene a lo más un punto fijo. Supongamos que existen x1 y x2 en X tales que f (x1 ) = x1 y f (x2 ) = x2 . Entonces d(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ≤ αd(x1 , x2 ).

Como α < 1, entonces d(x1 , x2 ) = 0, por lo tanto, x1 = x2 . Para demostrar que f tiene un punto fijo, consideremos la siguiente sucesión: sea xo ∈ X; sea x1 = f (xo ), x2 = f (x1 ) = f 2 (xo ), en general, sea xn = f (xn−1 ) = f n (xo ),

con n ∈ N.

Ahora, probaremos que {xn } es una sucesión de Cauchy. Obsérvese que d(x1 , x2 ) =d(f (xo ), f (x1 )) ≤ αd(xo , x1 ), d(x2 , x3 ) =d(f (x1 ), f (x2 )) ≤ αd(x1 , x2 ) ≤ α2 d(xo , x1 ), en general, tenemos que d(xn , xn+1 ) ≤ αn d(xo , x1 ), para n ∈ N. Sea n > m, entonces d(xn , xm ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) ≤ αm d(xo , x1 ) + αm+1 d(xo , x1 ) + · · · + αn−1 d(xo , x1 ) = αm d(xo , x1 )[1 + α + · · · + αn−1−m ] ∞ X 1 m ≤ α d(xo , x1 ) αn = αm d(xo , x1 ) . 1−α n=0 En conclusión, tenemos si n > m, entonces d(xn , xm ) ≤

αm d(xo , x1 ). 1−α

(7.1)

Como 0 < α < 1, entonces la sucesión {αm } converge a cero, de esto y 7.1, se concluye que le sucesión {xn } es una sucesión de Cauchy. Como X es completo, existe x ∈ X, tal que {xn } converge a x. A continuación, veamos que x es el punto fijo. Como {xn } converge a x y f es continua, entonces f (x) = l´ımn→∞ f (xn ) = l´ımn→∞ xn+1 = x. Por lo tanto, f (x) = x. Además, tomando el l´ımite cuando n tiende a infinito en 7.1 y usando la continuidad de la métrica, obtenemos que para cada m ∈ N d(xm , x) ≤

αm d(xo , x1 ). 1−α

115

7.1. CONTRACCIONES.

▲ En la demostración del teorema, se entiende que f n (x) = f · f n−1 (x). Obsérvese que la demostración del teorema, proporciona un método práctico para encontrar el punto fijo de la función, o lo que es lo mismo, la solución de la ecuación f (x) = x. Además, también 7.1 nos da una estimación para el error, cuando en lugar del punto fijo x, tomamos el elemento xm , este importante resultado, lo anotaremos como un corolario. Corolario 7.1. Bajo las condiciones y por la demostraci´ on del teorema anterior, para cada m ∈ N, αm d(xm , x) ≤ d(xo , x1 ), (a) 1−α llamada la estimación a priori, y la estimación a posteriori es d(xm , x) ≤

α d(xm , xm−1 ). 1−α

(b)

Demostraci´ on: La primera desigualdad es el resultado ya calculado. Para la segunda desigualdad, tomemos m = 1, yo = xo y y1 = x1 , aplicamos (a) y obtenemos d(y1 , x) ≤

α d(y1 , yo) 1−α

Tomemos ahora, yo = xm−1 , entonces y1 = T (yo ) = T (xm−1 ) = xm . Sustituyendo, se obtiene (b). ▲ La estimación aprori (a), nos permite determinar el n´ umero máximo de iteraciones requerido para alcanzar un nivel de precisión deseado conociendo los valores xo y T (xo ). La estimación a posteriori, nos permite determinar una estimación para el error que se comete al sustituir el punto fijo por xm+1 conociendo los valores xm y xm+1 . La experiencia muestra que como regla general, las estimaciones a posteriori son mejores que las estimaciones a priori. Si no pedimos que el espacio métrico sea completo, el teorema no necesariamente se cumple. No podemos substituir la hipótesis 0 < α < 1 por 0 < α ≤ 1 como veremos en los siguientes ejemplos. 1. Sean X = (0, 1) con la métrica usual, y f : X → X definida como f (x) = x/2. f es contracción, pero no tiene punto fijo. 2. Sea X = [1, ∞), f : X → X, definida como f (x) = x + 1/x. Es claro que X es completo y que f no tiene puntos fijos, as´ı es que, f no puede ser contracción, sin embargo si cumple que |f (x) − f (y)| < |x − y| para cada x, y ∈ X. Esto u ´ ltimo se demuestra usando el teorema del valor medio.


116

El siguiente teorema nos dice que basta que para alguna n ∈ N, f n sea contracción, para garantizar la existencia y unicidad de un punto fijo para f , en este sentido es una generalización del teorema del Punto Fijo de Banach. Teorema 7.2. Sea X un espacio métrico completo, sea f : X → X una función, tal que, para alguna n ∈ N, f n es una contracci´ on. Entonces f tiene un u ńico punto fijo. Demostraci´ on: La unicidad es inmediata, ya que, se sigue de que f n es contracción y de que un punto fijo de f es punto fijo de f n . Sea x el punto fijo de f n . Demostraremos que x es un punto fijo para f . d(f (x), x) = d(f n+1 (x), f n (x)) = d(f n (f (x)), f n (x)) ≤ αd(f (x), x) Como α < 1 , entonces d(f (x), x) = 0, lo cual implica que f (x) = x. ▲ Este resultado es importante ya que como veremos en algunos ejemplos, una función puede ser no contractiva, pero f n serlo para alguna n ∈ N, y en este caso, el resultado garantiza que f tiene un u ´ nico punto fijo. En algunos casos, la función f no es contractiva en todo el espacio, sino, sólo localmente alrededor de un punto. El siguiente resultado nos da condiciones para garantizar cuando una función contractiva localmente tiene un u ´ nico punto fijo. Teorema 7.3. Sean X un espacio métrico completo, xo ∈ X, r > 0 y f : X → X, tal que (a) Existe 0 < α < 1 que cumple d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y). (b) d(f (xo ), xo ) < (1 − α)r. Entonces f tiene un u ńico punto fijo en B(xo , r). Demostraci´ on: Como X es completo, B(xo , r) es completo. Por el teorema del punto fijo de Banach, bastará probar que f es contractiva en B(xo , r) y que f (B(xo , r)) ⊂ B(xo , r). Sean x, y ∈ B(xo , r), entonces existen dos sucesiones {xn } y {yn } en B(xo , r) tales que xn → x y yn → y, además, por hipótesis, d(f (xn ), f (yn )) ≤ d(xn , yn ), n ∈ N. De esta u ´ ltima desigualdad y por ser d y f continuas, se tiene que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),

117

7.1. CONTRACCIONES.

es decir, f es contractiva en B(xo , r). Ahora probaremos que f (B(xo , r)) ⊂ B(xo , r). Sea y ∈ f (B(xo , r)), existe x ∈ B(xo , r) tal que y = f (x). d(y, xo) = d(f (x), xo ) ≤ d(f (x), f (xo )) + d(f (xo ), xo ) < αd(x, xo ) + (1 − α) < r. Luego, y ∈ B(xo , r).

▲

Sean X, Y dos conjuntos y sea f : X ×Y → X una función. Para x ∈ X, denotaremos por fx a la función fx : Y → X definida por fx (y) = f (x, y). De manera similar, si y ∈ Y , denotaremos por f y a la función f y : X → X definida por f y (x) = f (x, y). Obsérvese que fx (y) = f (x, y) = f y (x). Teorema 7.4 (Dependencia continua de un parámetro). Sean X un espacio métrico completo y Y un espacio métrico cualquiera. Sea f : X × Y → X tal que (a) Para cada x ∈ X, fx : Y → X es continua. (b) Para cada y ∈ Y, f y : X → X es contractiva con constante de contracci´ on α, independiente de y. Entonces, la función g : Y → X definida por g(y) = xy , donde xy es el u ńico punto fijo de f y , es continua en Y . Demostraci´ on: Sea a ∈ Y y ǫ > 0. Por la continuidad de fxa en a existe δ > 0, tal que si d(y, a) < δ, entonces d(fxa (y), fxa (a)) < ǫ(1 − α) Sea y ∈ Y con d(y, a) < δ, entonces d(g(y), g(a)) = = ≤ = ≤ =

d(xy , xa ) d(f y (xy ), f a (xa )) d(f y (xy ), f y (xa )) + d(f y (xa ), f a (xa )) d(f y (xy ), f y (xa )) + d(fxa (y), fxa (a)) αd(xy , xa ) + ǫ(1 − α) αd(g(y), g(a)) + ǫ(1 − α).

Asociando el primer sumando de la derecha con el término de la izquierda y dividiendo entre 1 − α obtenemos d(g(y), g(a)) < ǫ. Por lo tanto g es continua en Y . ▲


118

7.2.

Aplicaciones.

1. Sea f [a, b] → [a, b] una función diferenciable, supongamos que existe 0 < α < 1 tal que |f ′ (x)| ≤ α, para cada x ∈ [a, b], entonces existe un u ´ nico x ∈ [a, b] tal que f (x) = x.

Demostraci´ on: Sean x, y ∈ [a, b]. Supongamos que x < y. Entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe z ∈ (x, y) tal que |f (y) − f (x)| = |f ′ (z)(y − x)| ≤ α|y − x| entonces f es contracción, por lo tanto, f tiene un u ´ nico punto fijo. ▲ 2. Aplicaciones a las Ecuaciones Integrales En los dos siguientes ejemplos, veremos como se usa el teorema del punto fijo Banach para demostrar la existencia y unicidad de dos tipos de ecuaciones integrales lineales, las ecuaciones integrales de Fredholm y las de Volterra de segunda especie. En los ejercicios se estudiará el caso no lineal. (a) Ecuaciones integrales lineales de Fredholm de segunda especie. Dada K : [a, b] × [a, b] → R, g : [a, b] → R, λ ∈ R, a la ecuación Z b x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) a

se le llama la ecuación integral lineal de Fredholm de segunda especie. Para la siguiente aplicación, necesitaremos el siguiente lema. Lema 7.1. Sean K : [a, b] × [a, b] → R, x : [a, b] → R continuas y λ ∈ R. Entonces la función z : [a, b] → R definida como Z b z(t) = λ K(t, s)z(s) ds a

es continua en [a, b]. Demostraci´ on: Sea to ∈ [a, b] y ǫ > 0. Como K es continua en el compacto [a, b] × [a, b], entonces es uniformemente continua, luego, existe δ = δ(ǫ) > 0 tal que si d2 ((t2 , s2 ) − (t1 , s1 )) < δ, entonces |K((t2 , s2 )) − K((t1 , s1 ))| <

ǫ . (d∞ (x, 0)|λ| + 1)(b − a)

(7.2)

119

7.2. APLICACIONES.

Sea t ∈ [a, b] tal que |t − to | < δ, entonces para cada s ∈ [a, b], d2 ((to , s), (t, s)) < δ, por (7.2), para cada s se cumple ǫ |K((to , s)) − K((t, s))| < . (7.3) (d∞ (x, 0)|λ| + 1)(b − a) Ahora, Z b Z b |z(t) − z(to )| = λ K(t, s)x(s) ds −λ K(to , s)x(s) ds a a Z b ≤ |λ|d∞(x, 0) |K(t, s) − K(to , s)| ds < ǫ a

La u ´ ltima desigualdad se obtiene de (7.3). Por lo tanto z es continua en to ∈ [a, b]. ▲

Teorema 7.5. Sean g : [a, b] → R y K : [a, b] × [a, b] → R continuas. Sea λ ∈ R. Entonces la ecuación integral Z b x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) (7.4) a

tiene una u ńica solución continua x : [a, b] → R para cada λ que cumple 1 , donde M es una cota de K en [a, b] × [a, b]. |λ| < M(b − a) Demostraci´ on: Definamos T : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d∞ ) como T (x) = y, donde y : [a, b] → R es la función definida por Z b y(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t). a

Observemos que por el lema 7.1 y por el hecho de que la suma de funciones continuas es continua , para cada x ∈ C([a, b], R), y ∈ C([a, b], R). Nótese también que una función continua x es solución de la ecuación integral (7.4), si y sólo si, x es un punto fijo de T , as´ı que con las condiciones dadas y por el hecho de que C([a, b], R, d∞ ) es completo, basta probar que T es contractiva. Sea y1 = T (x1 ) y y2 = T (x2 ). Sea t ∈ [a, b] Z b Z b |y1 (t) − y2 (t)| = λ K(t1 , s)x1 (s) ds −λ K(t2 , s)x2 (s) ds a a Z b ≤ |λ|M |x1 (s) − x2 (s)| ds < |λ|Md∞ (x1 , x2 )(b − a). a


120

Por lo tanto, d∞ (y1 , y2 ) = d∞ (T (x1 ), T (x2 )) ≤ |λ|M(b − a)d∞ (x1 , x2 ), luego T es contractiva, ya que por hipótesis |λ|M(b − a) < 1.

▲

(b) Ecuaciones Integrales lineales de Volterra de segunda especie. Dada K : [a, b] × [a, b] → R, g : [a, b] → R, λ ∈ R, a la ecuación Z t x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) a

se llama la ecuación integral lineal de Volterra de segunda especie. Nótese que la diferencia entre la ecuación de Fredholm y la de Volterra es que en esta u ´ ltima el l´ımite superior de integración es variable y es la variable t. Sin embargo, probaremos que con las mismas condiciones que en el teorema anterior, la ecuación lineal integral de Volterra de segunda especie tiene solución u ´ nica para cualquier valor de λ. Como en la demostración del teorema anterior, primero enunciaremos un lema cuya demostración dejamos como ejercicio. Lema 7.2. Sean K : [a, b] × [a, b] → R, x : [a, b] → R continuas y λ ∈ R. Entonces la función z : [a, b] → R definida como Z t z(t) = λ K(t, s)z(s) ds a

es continua en [a, b]. Teorema 7.6. Sean g : [a, b] → R y K : [a, b] × [a, b] → R continuas. Sea λ ∈ R. Entonces la ecuaci´ on integral Z t x(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t) (7.5) a

tiene una u ńica soluci´ on continua x : [a, b] → R. Demostraci´ on: Definamos T : (C([a, b], R), d∞ ) → (C([a, b], R), d∞ ) como T (x) = y, donde y : [a, b] → R es la función definida por Z t y(t) = λ K(t, s)x(s) ds +g(t). a

Observemos que por el lema 7.2 y por el hecho de que la suma de funciones continuas es continua , para cada x ∈ C([a, b], R), y ∈ C([a, b], R). Nótese también

121

7.2. APLICACIONES.

que una función continua x es solución de la ecuación integral (7.5), si y sólo si, x es un punto fijo de T , as´ı que con las condiciones dadas y por el hecho de que C([a, b], R, d∞ ) es completo, bastará probar que para alguna n, T n es contracción para cualquier valor de λ. Sea x1 , x2 ∈ C([a, b], R) y t ∈ [a, b]. Probaremos, por inducción, que para cada n∈N (t − a)n |(T n (x1 ))(t) − (T n (x2 ))(t)| ≤ |λ|n M n d∞ (x1 , x2 ). (7.6) n! donde M es una cota de K. Para n = 1: Z t |(T (x1 ))(t) − (T (x2 ))(t)| = |λ| K(t, s)(x1 (s) − x2 (s) ds n

n

a

≤ |λ|M(t − a)d∞ (x1 , x2 ).

Supongamos que se cumple el resultado (7.6) para n |(T n+1 (x1 ))(t) − (T n+1 (x2 ))(t)| = |(T (T n (x1 )))(t) − (T (T n (x2 )))(t)| Z t ≤ |λ|M |(T n (x1 ))(s) − (T n (x2 ))(s)| ds a Z t (s − a)n ≤ |λ|M |λ|n M n d∞ (x1 , x2 ) ds n! a Z t n+1 M n+1 = λ d∞ (x1 , x2 ) (s − a)n ds n! a n+1 M n+1 (t − a)n+1 d∞ (x1 , x2 ). = λ (n + 1)!

Por (7.6), y que a ≤ t ≤ b, entonces

d∞ (T n (x1 ), T n (x2 )) ≤

|λ|n M n (b − a)n d∞ (x1 , x2 ). n!

|λ|n M n (b − a)n = 0, entonces existe n ∈ N tal que n→∞ n!

Como l´ım

|λ|n M n (b − a)n < 1. n! por lo tanto, para esta n, T n es una contracción. ▲


122

3. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias. En este ejemplo usaremos el teorema del punto fijo de Banach para demostrar la existencia y unicidad de una solución local del problema con condiciones iniciales: x′ = f (t, x) x(to ) = xo ,

(7.7)

cuando f cumple con ciertas condiciones, de manera más precisa, demostraremos si f es continua en un rectángulo cerrado A y Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe L > 0 tal que, si (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ A, se cumple |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ L|x1 − x2 |, entonces existen r > 0 y una función x : [to − r, to + r] → R diferenciable, tal que Para cada t ∈ [to − r, to + r], el punto (t, x(t)) ∈ int(A).

Para cada t ∈ [to − r, to + r], se cumple x′ (t) = f (t, x(t)). La idea de la prueba consiste en construir una ecuación integral no lineal de Volterra de la segunda especie equivalente (7.7) y usar el teorema del punto fijo de Banach para demostrar la existencia y unicidad de una solución de esta ecuación integral. Lema 7.3. Sea f : A → R continua en el rect´ angulo cerrado A y (to , xo ) ∈ int(A). Sea I un intervalo cerrado y to ∈ I. La función x : I → R es solución de (7.7) en I, si y s´ olo si, x es soluci´ on de la ecuación integral Z t x(t) = xo + f (z, x(z)) dz . to

Demostraci´ on: ⇒] Dado que f es continua en A, x continua en I y la composición de continuas es continua, podemos calcular las integrales definidas de las funciones involucradas en (7.7), entonces se tiene que Z t Z t x(z) dz = f (z, x(z)) dz para cada t ∈ I. to

to

Por el segundo teorema fundamental del cálculo, concluimos que Z t x(t) = x(to ) + f (z, x(z)) dz para cada t ∈ [a, b]. to

⇐] Por hipótesis, x : I → R cumple que Z t x(t) = x(to ) + f (z, x(z)) dz . to

123

7.2. APLICACIONES.

Esto garantiza que la función x es continua en I y por lo que, el integrando es una función continua en I, luego, por el primer teorema fundamental del cálculo, la función x es diferenciable en I y cumple que x′ = f (t, x), x(to ) = xo . ▲ Teorema 7.7 (Teorema de Picard (existencia y unicidad)). Sea A un rect´ angulo cerrado en R2 , (to , xo ) ∈ int(A) y una funci´ on f : A → R tal que f es continua en A y Lipschitz en la segunda variable con constante de Lipschitz L > 0. Entonces, existe r > 0 y una u ńica función x : [to − r, to + r] → R que es soluci´ on de (7.7). Como (to , xo ) ∈ int(A), existe r1 > 0, tal que el conjunto

Demostraci´ on:

B = {(t, x) | |t − to | ≤ r1 , |x − xo | ≤ r1 } ⊂ A y en este conjunto, existe M > 0 tal que |f (t, x)| ≤ M para toda (t, x) ∈ B.

r1 Sea r = m´ın{ L1 , r1 , M }. Consideremos el conjunto

X = {x ∈ C([to − r, to + r], R) | |x(t) − xo | ≤ r1 , para cada t ∈ [to − r, to + r]}. X con la métrica uniforme d∞ es un subespacio cerrado de C∞ (([to − r, to + r], R), por lo tanto, X es completo. Definamos el operador T : X → X como T (x) = y donde Z t f (s, x(s)) ds,

y(t) = xo +

to

t ∈ [to − r, to + r]

y es una función continua y Z t |y(t)−xo| ≤ |f (s, x(s)) ds ≤ M|t−to | ≤ Mr = r1 to

para cada t ∈ [to −r, to +r],

es decir, y ∈ X.

T es una contracción. Esto se sigue de que si x1 , x2 ∈ X, y1 = T (x1 ), y2 = T (x2 ) y t ∈ [to − r, to + r] entonces |y1 (t) − y2 (t)| ≤

Z

t to

|f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))| ds Z t ≤L |x1 (s) − x2 (s)| ds ≤ Lrd∞ (x1 , x2 ), (Lr < 1) to


124

Por lo tanto, existe un u ´ nico x ∈ X tal que T (x) = x, es decir, Z t x(t) = xo + f (s, x(s)) ds, t ∈ [to − r, to + r] to

Por el lema 7.3, x es solución del problema con condiciones iniciales (7.7). ▲ La elección del n´ umero r fué para garantizar que la imagen T (x) sea un subconjunto de X y que T sea contracción.

7.3.

Ejercicios.

1. Demuestre que la función f : [0, π] → R definida por   sen x , si x 6= 0, f (x) = x  1, si x = 0. es una contracción.

2. Sea a ∈ [1, π/2]. Demuestre que la función f : [0, a] → R definida por f (x) = cos x es una contracción. 3. Sea f : [0, 1] definida por

1 f (x) = (x3 + x2 + 1) 7

Demuestre que: a) Img[0, 1] ⊂ [0, 1]. b) f es contracción.

4. Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen un u ´ nico punto fijo en el intervalo dado. a) x4 + 8x3 + 32x − 32 = 0, en [0, 1].

b) x4 + 2x3 + 2x2 + 3x − 4 = 0, en [0, 1]. c) x = cos x, en [0, π/2].

d ) x2 = sen x, en [0, π]. e) x3 + x2 + 1 = 0 en [0, 1].

125

7.3. EJERCICIOS.

5. Sea c el espacio de sucesiones reales convergentes con la métrica uniforme. Demuestre que las funciones xn+1 . n+1 b) T2 : c → c definida por T2 ({xn }) = {yn }, donde yn = 1 + 21 xn+1 + 31 xn+2 .

a) T1 : c → c definida por T1 ({xn }) = {yn }, donde yn = son contracciones.

6. Demuestre que la función T : (C([−1/2, 1/2], k, k∞)) → R, definida como Z t T (x) = y, donde y(t) = (u − x(u)) du 0

es una contracción. 7. Sea X un espacio métrico compacto y f : X → X una función que cumple la propiedad d(f (x), f (y)) < d(x, y), para x, y ∈ X, x 6= y. Demuestre que f tiene un u ´ nico punto fijo en X. Compare con el ejemplo 2. de la sección 7.1. Este resultado se conoce como teorema de Edelstein. 8. Demuestre, usando el teorema del punto fijo, la siguiente versión del teorema de la función impl´ıcita. Sea F : [a, b] × R → R tal que: F es continua en [a, b] × R, ∂F existe en [a, b] × R, ∂y

Existen α > 0 y β > 0 que cumplen α ≤

∂F ≤ β en [a, b] × R. ∂y

Demuestre que existe una u ´ nica función f ∈ C[a, b] tal que F (x, f (x)) = 0, para cada x ∈ [a, b].

126


Cap´ıtulo 8 Conexidad. 8.1.

Conjuntos Conexos

Definici´ on 8.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Diremos que X es un espacio métrico disconexo (no conexo), si existen U y V abiertos no vac´ıos, tales que X =U ∪V

y

U ∩ V = ∅.

Diremos que el espacio es conexo, si no es disconexo. A ⊂ X, diremos que A es un conjunto conexo en X, si como subespacio métrico es conexo. Observaciones. (a) As´ı como el concepto de compacidad es un concepto absoluto, la conexidad también lo es, es decir, que si B ⊂ A es conexo en A y A ⊂ X, entonces, B es conexo en X. Por esto, si un conjunto es conexo en alg´ un subespacio, simplemente diremos que es conexo. (b) Si X es conexo y X = U ∪ V , U y V abiertos no vac´ıos, entonces, U ∩ V 6= ∅. c) Si X es conexo, y X = U ∪V , con U y V abiertos ajenos, entonces U = ∅ ó V = ∅, como U ∩ V = ∅ entonces también se tiene que (U = ∅ y V = X) ó (U = X y V = ∅. (d) Si X = U ∪ V con U y V abiertos ajenos, entonces U y V también son cerrados, ya que X − U = V, X − V = U. Teorema 8.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Son equivalentes 1. X es conexo. 127

CAPÍTULO 8. CONEXIDAD.

128 2. Los u ńicos abiertos y cerrados de X son ∅ y X.

3. No existen F1 y F2 subconjuntos no vac´ıos, cerrados de X tales que X = F1 ∪ F2 ,

y

F1 ∩ F2 = ∅.

Demostraci´ on: 1. ⇒ 2. Por la contrarrec´ıproca: sea U ( X, U 6= ∅, abierto y cerrado. Entonces X = U ∪ U C , además U ∩ U C = ∅. Como U y U C son abiertos no vac´ıos, entonces X es disconexo. 2. ⇒ 1. También por la contrarrec´ıproca: supongamos que existen U y V abiertos no vac´ıos, tales que X =U ∪V y U ∩ V = ∅. Como V = X − U, entonces V es un conjunto cerrado. As´ı que hemos encontrado un conjunto diferente del vac´ıo y de X que es abierto y cerrado. 2. ⇔ 3: Se le deja al lector. ▲ La definición de conexidad de un subconjunto de X, está dada en términos de abiertos relativos. El siguiente teorema presenta la conexidad de un subconjunto en términos de abiertos en X. Teorema 8.2. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X, tal que A es no vac´ıo. Son equivalentes 1. A es un conjunto disconexo. 2. Existen U y V abiertos no vac´ıos en X tales que A ⊂ U ∪ V,

A ∩ U 6= ∅,

A ∩ V 6= ∅

y

A ∩ U ∩ V = ∅.

3. Existen U1 y V1 subconjuntos no vac´ıos en X, tales que A = U1 ∪ V1

y

U1 ∩ V1 = V1 ∩ U1 = ∅.

Demostraci´ on: 1. ⇒ 2. Como A es disconexo, existen U ′ y V ′ , no vac´ıos, abiertos relativos en A, tales que A = U ′ ∪ V ′ . Como U ′ y V ′ son abiertos relativos en A, entonces existen U y V abiertos en X tales que U ′ = U ∩ A,

V ′ = V ∩ A.

129

8.1. CONJUNTOS CONEXOS

Probaremos que U y V tienen las propiedades deseadas. Claramente U y V son abiertos en X, diferentes del vac´ıo. Como A = U ′ ∪ V ′ = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V ), entonces A ⊂ U ∪ V . Además, como U ′ ∩ V ′ = ∅, entonces A ∩ V ∩ U = ∅. 2. ⇒ 1. Tomemos U ′ = A∩U y V ′ = A∩V . Entonces U ′ y V ′ son abiertos relativos en A. Además, como A ⊂ U ∪ V , se sigue que U ′ y V ′ son conjunos no vac´ıos y A = U ′ ∪ V ′ , como A ∩ U ∩ V = ∅, entonces U ′ ∩ V ′ = ∅. 2. ⇒ 3. Tomemos U1 = A ∩ U y V1 = A ∩ V , estos conjuntos, por hipótesis, son no vac´ıos, claramente A = U1 ∪ V1 . Falta demostrar que U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅. Supongamos que existe x ∈ U1 ∩ V1 , entonces x ∈ A, x ∈ V1 y x ∈ U, entonces U ∩ V1 6= ∅, entonces A ∩ U ∩ V 6= ∅, lo cual es una contradicción. De manera análoga se demuestra que U1 ∩ V1 = ∅. 3. ⇒ 2. Tomemos U = (U1 )C y V = (V1 )C . Estos conjuntos son abiertos, como U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅ se concluye que U1 ⊂ V y V1 ⊂ U, por lo tanto A = U1 ∪ V1 ⊂ U ∪ V. Ahora, como U1 ⊂ A, U1 ⊂ V y U1 6= ∅, se sigue que A ∩ V 6= ∅. De manera análoga se prueba que A ∩ U 6= ∅. Sólo falta probar que A ∩ U ∩ V = ∅, esto se sigue de A ∩ U ∩ V = U1 ∪ V1 ∩ (U1 )C ∩ (V1 )C = ∅. ▲

Definici´ on 8.2. Dos subconjuntos U1 y V1 de un espacio métrico X est´ an separados si U1 ∩ V1 = U1 ∩ V1 = ∅. Si A = U1 ∪ V1 , tal que U1 y V1 son conjuntos no vac´ıos que están separados, diremos que la pareja U1 , V1 es una separación del conjunto A. Con esta terminolog´ıa, un conjunto A es disconexo, si A admite una separación, y conexo si no existe una separación de A. Ejemplos. 1. Todo conjunto unitario en cualquier espacio métrico, es conexo. 2. Todo conjunto con más de un punto, en un espacio métrico con la topolog´ıa discreta, es disconexo, es decir, los u ´ nicos conjuntos conexos en X con la métrica discreta son los conjuntos unitarios. 3. Q ⊂ R es disconexo, ya que Q = (Q ∩ (−∞,

√

√ 2)) ∪ (Q ∩ ( 2, ∞)).

130


4. Los u ´ nicos conjuntos conexos en Q con la topolog´ıa usual, son los conjuntos unitarios, ya que si A ⊂ Q tiene más de dos puntos, entonces A = (A ∩ (−∞, a)) ∪ (A ∩ (a, ∞)) donde a es cualquier n´ umero irracional, entre dos elementos distintos de A. 5. Sea Y = [−1, 0) ∪ (0, 1], entonces Y es disconexo, ya que los intervalos [−1, 0) y (0, 1] contituyen una separación de Y . 6. Si X = [−1, 1], los conjuntos [−1, 0] y (0, 1] no son una separación de X, ya que [−1, 0] ∩ (0, 1] 6= ∅. El siguiente teorema es una caracterización de los conjuntos conexos en la recta. Teorema 8.3. Si I es un intervalo en la recta, entonces I es un conjunto conexo. Demostraci´ on: Si I no fuese conexo, existir´ıan U y V conjuntos no vac´ıos y separados tales que I = U ∪ V . Sean x ∈ U y y ∈ V , supongamos que x < y. Como I es un intervalo, el intervalo cerrado [x, y] es subconjunto de I. Ahora, consideremos el conjunto A = [x, y] ∩ U. A 6= ∅ y acotado superiormente, por lo tanto, existe d ∈ R, tal que d = sup A, entonces x ≤ d ≤ y y, por lo tanto, d ∈ I. Como I = U ∪ V , entonces d ∈ U ó d ∈ V . Además, para cada ǫ > 0, el intervalo abierto (d − ǫ, d + ǫ) tiene puntos de U, ya que d − ǫ no es cota superior del conjunto A. También tiene puntos de V , ya que, entre d y d + ǫ no existen puntos de U, pero [d, d + ǫ] ∩ I 6= ∅. Esto nos indica que d ∈ U ∩ V ó d ∈ U ∩ V . Esto es una contradicción, as´ı que I es conexo. ▲ Teorema 8.4. Sea A un conjunto conexo en la recta, entonces, A es un conjunto unitario o un intervalo. Demostraci´ on: Supongamos que no es un conjunto unitario, ni un intervalo, entonces existen x, y ∈ A, digamos, x < y, tales que [x, y] * A, por lo tanto, existe z ∈ (x, y) y z ∈ / A. De aqu´ı se concluye que los conjuntos A ∩ (−∞, z) y A ∩ (z, ∞) son no vac´ıos, están separados y A = (A ∩ (−∞, z)) ∪ (A ∩ (z, ∞)). Por lo tanto, A no es conexo. ▲ Con los dos u ´ ltimos teoremas, hemos demostrado, que los u ´ nicos conexos no vac´ıos en la recta son los conjuntos unitarios y los intervalos. Los siguientes resultados, nos permiten construir conjuntos conexos a partir de conjuntos conexos dados. Antes de estudiarlos, pasaremos a demostrar un resultado de gran utilidad.

8.2. CONTINUIDAD EN CONJUNTOS CONEXOS.

131

Teorema 8.5. Sean A y B dos conjuntos separados, tales que Y ⊂ (A ∪ B) con Y conjunto conexo. Entonces, Y ⊂ A ó Y ⊂ B. Demostraci´ on: Supongamos que Y ∩ A 6= ∅ y Y ∩ B 6= ∅. Como Y = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B), estos conjuntos están separados y son no vac´ıos, entonces Y es no conexo. ▲ Es claro que la unión de conjuntos conexos, no necesariamente es conexa, sin embargo, si tienen un punto en com´ un, la unión s´ı es conexa. De manera más general α ∈ J} una familia de conjuntos Teorema 8.6. Sean X un espacio m´ e trico y {A α T S conexos, tal que α∈J Aα 6= ∅. Entonces α∈J Aα es conexo. S T Demostraci´ on: Sea Y = α∈J Aα y p ∈ α∈J Aα . Supongamos que no es conexo, entonces existen U y V conjuntos no vac´ıos separados, tales que Y = U ∪V . Supongamos que p ∈ U. Para cualquier α ∈ J, Aα ⊂ U ∪ V, Aα es conexo y p ∈ Aα , entonces, por el teorema 8.5 Aα ⊂ U, de aqu´ı se concluye que Y ⊂ U, por lo tanto, V = ∅. ▲ Teorema 8.7. Sea A un conjunto conexo en X. Si A ⊂ B ⊂ A, entonces B es conexo. Demostraci´ on: Supongamos que B no es conexo, es decir, existen U y V conjuntos no vac´ıos, separados, tales que B = U ∪ V . Como A ⊂ B, por el teorema 8.5, A ⊂ U ó A ⊂ V . Supongamos que A ⊂ U, entonces A ⊂ U , por lo tanto, B ⊂ U, entonces V = ∅, ya que, B ⊂ U , U ∩ V = ∅ y B = U ∪ V . ▲ Obsérvese que, en particular, si A es conexo, entonces A es conexo.

8.2.

Continuidad en Conjuntos Conexos.

Teorema 8.8. Sean (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos, y f : X → Y continua en X. Si A ⊂ X es conexo, entonces f (A) es conexo en Y . Demostraci´ on: Supongamos que f (A) no es conexo, es decir, existen U y V abiertos no vac´ıos en f (A), tales que f (A) = U ∪ V . Como f : A → f (A) es continua en A, f −1 (U) y f −1 (V ) son abiertos en A. Además, f −1 (U) y f −1 (V ) son conjuntos no vac´ıos, tales que A = f −1 (U) ∪ f −1 (V ). Por lo tanto, A no es conexo. ▲ A continuación, demostraremos una generalización del teorema del valor intermedio.


132

Teorema 8.9 (Teorema del Valor Intermedio). Sean X un espacio métrico conexo y f : X → R continua. Si a y b son dos puntos en X y r ∈ R tal que f (a) < r < f (b), entonces, existe x ∈ X, tal que f (x) = r Demostraci´ on: Supongamos que no existe x ∈ X tal que f (x) = r. Los conjuntos U = f (X) ∩ (−∞, r) y V = f (X) ∩ (r, ∞) son conjuntos no vac´ıos, ajenos y abiertos en f (X). Si no existiera x ∈ X, tal que f (x) = r, entonces también se cumplir´ıa que f (X) = (f (X) ∩ (−∞, r)) ∪ (f (X) ∩ (r, ∞)). De esto se concluye que f (X) no es conexo, lo cual contradice que la imagen continua de un conexo es conexa. ▲

8.3.

Componentes Conexas.

Cuando un espacio métrico es no conexo, nos gustar´ıa dividir al conjunto en el n´ umero m´ınimo de subconjuntos que fueran conexos, esto se hace de la siguiente manera: para cada x ∈ X, consideremos el conjunto Cx definido como [ Cx = {A ⊂ X A es conexo x ∈ A}. Cada Cx se llama una componente (componente conexa) de X, o la componente en X del punto x. Esta familia de subconjuntos es diferente del vac´ıo, ya que, al menos {x} es elemento de la familia. Las componentes conexas de X tienen las siguientes propiedades: Teorema 8.10. Sea X un espacio métrico. Entonces, 1. Para cada x ∈ X, Cx es el m´ aximo conexo en X que contiene al punto x. 2. Para cada x ∈ X, Cx es un conjunto cerrado. 3. Para cada x, y ∈ X, Cx = Cy ´ o Cx ∩ Cy = ∅ Demostraci´ on: Para la demostración de 1. por el teorema 8.6, Cx es conexo. De la definición de componente conexa, se sigue que si A es un conexo tal que x ∈ A, entonces A ⊂ Cx . Para 2. Como Cx es conexo, Cx es conexo, y como Cx es el máximo conexo que contiene a x, Cx = Cx .

8.4. ARCO–CONEXIDAD.

133

Para 3. Si Cx ∩ Cy = ∅ ya terminamos. Si Cx ∩ Cy 6= ∅, entonces Cx ∪ Cy es un conexo que contiene a Cx y a Cy . Por la maximalidad de estos conjuntos, se concluye que Cx = Cy . ▲ Por 8.10 3. la familia de componentes conexas distintas, nos proporciona una partición del espacio X y esto nos permite interpretar las componentes conexas como las clases de una relación de equivalencia, a saber, x ∼ y,

si existe A ⊂ X, conexo, tal que x, y ∈ A.

Observaciones. X es conexo, si y sólo si, X tiene una u ´ nica componente conexa. X es conexo, si y sólo si, para cada x, y ∈ X, existe un conexo A tal que x, y ∈ A Definici´ on 8.3. Un espacio métrico X se llama totalmente disconexo, si todas las componentes son conjuntos unitarios, es decir, los u ńicos conjuntos conexos son los conjuntos unitarios. Un conjunto es totalmente disconexo, si como espacio métrico, lo es. Ejemplos. Q con la métrica usual, es totalmente disconexo. El conjunto de los irracionales I es totalmente disconexo. Cualquier espacio métrico con la métrica discreta, es totalmente disconexo.

8.4.

Arco–conexidad.

Otro concepto de “conexidad”que resulta muy u ´ til en algunas áreas de las matemáticas y que es más fuerte que el concepto de conjunto conexo, es el concepto de espacio arco– conexo (conexo por arcos). De hecho, este concepto, fue la primera definición de conexidad que se dió. Antes de definir el concepto, daremos una definición. Definici´ on 8.4. Sea X un espacio métrico. Dados dos puntos x, y ∈ X, un arco en X, (un camino en X, una trayectoria en X) que une x con y es una funci´ on continua f : [a, b] → X, tal que f (a) = x y f (b) = y.


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Definici´ on 8.5. Un espacio métrico X se dice que es arco–conexo (conexo por arcos, conexo por caminos, conexo por trayectorias), si cada par de puntos de X se pueden unir por un arco en X, es decir, si para cada x, y ∈ X existe f : [a, b] → X continua, tal que f (a) = x y f (b) = y. A ⊂ X es arco–conexo, si como subespacio métrico es arco–conexo. Teorema 8.11. Todo espacio métrico arco–conexo es conexo. Demostraci´ on: Sea X un espacio métrico arco–conexo. Supongamos que no es conexo. Sea U y V abiertos no vac´ıos, ajenos, tales que X = U ∪ V , sea f : [a, b] → X una función continua en [a, b], entonces, como el intervalo [a, b] es conexo, el conjunto f ([a, b]) es un conjunto conexo en X, como U y V es una separación de X, entonces f ([a, b]) ⊂ U ó f ([a, b]) ⊂ V , esto nos dice que un punto de U y un punto de V no pueden ser unidos por medio de un arco en X. ▲ El rec´ıproco de este teorema, no siempre es válido y los contraejemplos son complicados, no daremos uno aqu´ı. Agregando hipótesis a la conexidad, podemos obtener espacios arco–conexos, por ejemplo, en Rn se cumple el siguiente resultado: Si A es un conjunto conexo y abierto, entonces es arco–conexo. Existen resultados similares a los de conexidad, para arco–conexidad, pero no los trataremos aqu´ı.

8.5.

Ejercicios

1. Estudie la conexidad de los siguientes subconjuntos en R2 . a) A1 = {(x, y) x, y ∈ Q}. b) A2 = {(x, y) x2 + y 2 = 1}. c) A3 = {(x, y) x(x − 1) = 0}. d ) A4 = .{(x, y) x2 − y 2 = 1}.

2. Proporcione un ejemplo que demuestre que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. 3. Sea (X, d) un espacio métrico y A, B ⊂ X tales que d(A, B) > 0. Demuestre que A y B son conjuntos separados. ¿El rec´ıproco es válido? 4. Sean A y B subconjuntos conexos de un espacio métrico, tales que A ∩ B 6= ∅. demuestre que A ∪ B es conexo.

8.5. EJERCICIOS

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5. Sea X un espacio métrico. a) Sean A y B conjuntos conexos, ¿es A ∩ B un conjunto conexo?

b) Sea {Ai }i∈N unaTsucesión decreciente (An+1 ⊂ An ) de conjuntos conexos. ¿Será cierto que i∈N Ai es conexa?

6.

c) Sea {Ai }i∈N una sucesión T decreciente (An+1 ⊂ An ) de conjuntos cerrados y conexos. ¿Será cierto que i∈N Ai es conexa?

a) Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos S conexos, tales que Ai ∩ Ai+1 6= ∅ para i = 1, 2, . . . n. Demuestre que ni=1 Ai es conexa. b) Sean {An }n∈N una familia numerable S de conjuntos conexos, tales que Ai ∩ Ai+1 6= ∅, i ∈ N. Demuestre que n∈N An es conexa.

7. Demuestre que los conjuntos A = {(x, y) 0 < x < 1, y = sen(1/x)}, B = A ∪ {(0, y) − 1 ≤ y ≤ 1} son conexos en R2 .

8. Sea X un espacio conexo y A ⊂ X subconjunto propio no vac´ıo. Demuestre que la fr(A) 6= ∅. En general, demuestre que si todo subconjunto propio de X tiene frontera no vac´ıa, entonces X es conexo. 9. Sea X un espacio métrico. Decimos que X es totalmente disconexo, si los u ´ nicos conjuntos conexos son los conjuntos unitarios. A ⊂ X es totalmente disconexo, si lo es como espacio métrico. a) Demuestre que todo subconjunto numerable de R es totalmente disconexo. b) El conjunto de los irracionales es totalmente disconexo. 10. Sean d1 ≈ d2 , es decir, d1 y d2 equivalentes. Entonces (X, d1 ) es conexo, si y sólo si, (X, d2 ) es conexo. 11. Sabemos que las componentes conexas de un espacio métrico son conjuntos cerrados. ¿Serán conjuntos abiertos?

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Bibliograf´ıa [1] Douglas S. Bridges, Foundations of Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag New York, Inc. 1998. [2] H. L. Royden, Real Analysis, 3a edition, Macmillan Publishing Company, 1988. [3] Ignacio L. Iribarren T. Topolog´ıa de Espacios Métricos, Limusa, Noriega Editores, 2008. [4] J. R. Giles, Introduction to the Analysis of Metric Spaces, 1a edition, Cambridge University Press, 1999. [5] James R. Munkres, Topolog´ıa, 2a edición, Prentice Hall. 2002. [6] James Dugundji, Topology, 2a edition, Allyn and Bacon, Inc. Boston. 1966. [7] José M. Amillo, Fernando de Arriaga, An´ alisis Matem´ atico con Aplicaciones a la a Computación, 1 edición, Editorial McGraw Hill, 1988. [8] José Manuel D´ıaz Moreno, Introducci´ on a la Topolog´ıa de los Espacios Métricos, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz. 1998. [9] N. L. Carothers, Real Analysis, 1a edition, Cambridge University Press, 2000. [10] Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, 2a edition, Addison Wesley Publishing Company, 1974. [11] Walter Rudin, Principios de Análisis Matem´ atico, 3a edición, Editorial McGrawHill, México, 1980.

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Introducción al Análisis de Espacios Métricos

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