Introducción a los compensadores en sistemas dinámicos de control

Introducción a los compensadores en sistemas dinámicos de control.
Alarcón C. Martín Alfredo*. Bernal L. Oscar Fernando*. Meza L. Roberto*. Rodríguez R. Carlos Eduardo*.
* Instituto Tecnológico de Culiacán, Culiacán, SIN 80220 MEX (Tel: 6677131796; e-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected])

Resumen: En el presente artículo se muestra lo que es un compensador, su importancia en los sistemas de control y como afectan el comportamiento de la respuesta de la planta, así también se abordan los tipos de compensadores más utilizados y las técnicas de diseño de estos.
Palabras clave: Compensadores, Polos, Controladores, Bode, Lugar Geométrico de las Raíces.
Abstract: The following paper shows what a compensator is, their importance in the control systems and how they affect the behavior of the plant response, the most commonly used types of compensators are also addressed and the design techniques of these.
Keywords: Compensators, Poles, Controllers, Bode, Root Locus.

INTRODUCCIÓN.
Desde el comienzo de la revolución industrial, en el siglo XVIII, la eficiencia de la producción ha sido una necesidad cada vez más notable. Esta exige una producción mayor, productos de mejor calidad y, tal vez lo más importante, la disminución de los costos de producción. Estas mejoras en la producción traen consigo la necesidad de procesos más complejos en los cuales los operarios ya no son capaces de manipular debido a la exactitud y velocidad de estos. Es aquí donde la automatización y el control toman un papel fundamental.
Los sistemas de control son diseñados para mantener la estabilidad en un sistema, aunque en realidad es muy raro encontrar sistemas controlados con retroalimentación que proporcionen un comportamiento óptimo sin la necesidad de compensadores.
En este ensayo se abordaran los diferentes tipos de compensadores y sus técnicas de diseño.
OBJETIVOS
Explicar de una manera general el funcionamiento y la aplicación de los compensadores en los sistemas de control.
Conocer los tipos más comunes de compensadores.
Abordar las técnicas de diseño de compensadores más utilizadas y desarrollarlas.

MARCO TEÓRICO.
La compensación es el rediseño de un sistema con el fin de alterar el funcionamiento global, de manera que el sistema se comporte de la forma deseada. Los compensadores pueden ser dispositivos electrónicos, mecánicos, neumáticos, hidráulicos o una combinación de estos.
Debido a que la modificación de un controlador puede requerir la instalación de componentes que elevaran el costo del sistema, es necesario aplicar técnicas de compensación las cuales otorgan la estabilidad deseada del sistema y no representan un costo relativamente alto en comparación con la modificación del controlador.
2.1 TIPOS DE COMPENSADORES.
Entre los diversos tipos de compensadores, los más utilizados son los de adelanto, atraso, atraso adelanto y los de realimentación de velocidad (Tacómetros). En la realidad, el diseñador debe considerar que para la selección de un compensador ya sea hidráulico, neumático o electrónico es necesario tomar en cuenta la planta que se requiere controlar.
Debido a los intereses de este artículo, se analizarán los compensadores de atraso, adelanto y atraso adelanto.

2.1.1 COMPENSADOR DE ADELANTO.
Si después de haber modelado un sistema el solo ajuste de las ganancias no es suficiente para obtener el comportamiento deseado en estado transitorio, se puede utilizar un compensador de adelanto el cual produce un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión del estado estable. Sin embargo es importante observar que es posible que los ruidos de alta frecuencia sean acentuados por el uso de estos compensadores.
La función principal de los compensadores de adelanto es contrarrestar el atraso de fase presente en el sistema fijo dándole forma a la curva de respuesta en frecuencia para que el ángulo de adelanto sea suficiente para obtener el comportamiento deseado sin modificar el sistema a controlar.
2.1.2 COMPENSADOR DE ATRASO.
Un compensador de atraso funciona de manera inversa a como lo hace un compensador de adelanto. Como es de esperarse aumentara el tiempo de respuesta en estado transitorio sin embargo se obtendrá una precisión mayor en estado estable, además suprime los efectos de ruido en altas frecuencias.
El objetivo principal de utilizar un compensador de atraso es aumentar la ganancia en lazo cerrado, evitando modificar la respuesta transitoria de forma notable. A través de la atenuación en el rango de las frecuencias altas aportando con esto el margen de fase necesario al sistema para obtener este comportamiento.
Como el lector habrá notado, hay una relación muy estrecha entre los compensadores de atraso y adelanto. Esto se hace más notorio cuando se observa que el sistema electrónico de estos compensadores es exactamente el mismo en construcción cambiando únicamente las relaciones entre las resistencias y capacitores que lleva cada amplificador operacional. La figura 1 ilustra más claramente esta situación.

Figura 1. Circuito de compensador de atraso o de adelanto.

2.1.3 COMPENSADORES DE ADELANTO-ATRASO.
Hasta este punto se han analizado las ventajas y desventajas de los compensadores de adelanto y de atraso por separado. Habrá ocasiones en las que se desee obtener ambas ventajas, por lo tanto se podría pensar en utilizar ambos compensadores, sim embargo esto elevaría el costo del control del sistema, por este motivo se ha diseñado el compensador de adelanto atraso que combina ambos sistemas y obtiene sus ventajas.
En ambos casos anteriores se sabe que, por separado, cada sistema aumenta en 1 grado el orden del sistema. Como este compensador posee dos polos y dos ceros elevará 2 grados al orden del sistema a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. Como puede esperarse al elevar el grado del sistema también se vuelve más complejo su control en estado transitorio, es por esto que es necesario aplicar técnicas de diseño adecuadas para disminuir esta complejidad.
La figura 2 ilustra la construcción electrónica de un compensador de atraso-adelanto.


Figura 2.- Compensador electrónico de atraso-adelanto.

2.2 TÉCNICAS DE DISEÑO.
Una de las técnicas utilizadas en el diseño de compensadores se basa en las características de la respuesta a la frecuencia. Para esta técnica se considerara las especificaciones de diseño y serán comparadas con las especificaciones del sistema original. Se tomaran las especificaciones dadas en tiempo (Sobrepasos y tiempos), en frecuencia (Márgenes de ganancia y fase, pico de resonancia y ancho de banda) y características del sistema (Factor de amortiguamiento relativo y frecuencias). Para ilustrar mejor esta técnica se diseñara un compensador de adelanto de fase.
El diagrama de bloques del sistema compensado se muestra en la figura 3.


Figura 3.- Diagrama de bloques del sistema compensado.
Se comenzara con la función de transferencia del compensador de adelanto que se muestra en la Ec. 1.

Gs=K*Ts+1αTs+1 (1)
Como ya se estableció anteriormente, el combinar la FT del compensador con la de la planta no modifica el error en estado estable, por esto las condiciones a cambiar serán las que se relacionan directamente con el estado transitorio.
Es posible eliminar el error en estado estable aumentando o disminuyendo la ganancia del sistema, para esto se utilizara la constante de error estable correspondiente (Kp, Kv, Ka) dependiendo del tipo de sistema.
Después de modificar las ganancias del sistema y teniendo las características en dominio de la frecuencia, se construirán los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada (Ec.2).
G1jω=KG(jω) (2)
Se calculara el ángulo de adelanto de fase necesario para cumplir con la especificación.
mjωm= mdiseño- m1 (3)
Después de eso se determinara el valor de atenuación α usando la ecuación 4.
Sen m=1-α1+α (4)
Para calcular la ganancia que será atenuada se utilizara la ecuación 5.
G1jω=-20log1α (5)
En el diagrama de Bode obtenido mediante la Ec.2, se localiza dicha ganancia y se ubica la frecuencia a la cual se produce. Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia (ωm). Con esta frecuencia se podrá definir el valor de las singularidades del compensador.
Se determina la posición del cero y del polo del compensador.
ωm=1αT (6)
ωz=1T=ωmα (7)
ωp=1αT=ωmα (8)
Después se ajusta la ganancia del compensador con la Ec.9
Kcα=K (9)
Para armar la FT del compensador se utilizara la Ec.1 y se tiene que verificar que el sistema compensado cumple las especificaciones, para después calcular los valores de las resistencias y los capacitancias del circuito de adelanto.
La Ec. 10 muestra la FT del compensador de adelanto que se ha mostrado en la Figura 1 y se pueden calcular los valores de resistencias y capacitancias.
Gcs=R4 R2 R1C1S+1R3 R1 R2C2S+1 (10)
Otra técnica de diseño para compensadores se basa en el lugar geométrico de las raíces. Este método es muy útil cuando se establece en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.

CONCLUSIONES
Del presente artículo se puede concluir que los compensadores como herramienta de control son bastante útiles ya que la modificación de la planta en la mayoría de las ocasiones supone un costo mayor y por lo tanto es menos viable debido a que hay alternativas más económicas como las planteadas.
También se puede observar que el hecho de construir un compensador puede no ser suficiente para obtener los resultados deseados. Sin embargo acompañar alguna técnica de control (PID, por ejemplo) con compensadores ayuda a obtener respuestas deseadas con mayor facilidad.
Es trabajo del diseñador comprender y analizar cada método para elegir el más adecuado para su planta y poder optimizar el desempeño.
REFERENCIAS.
http://proton.ucting.udg.mx/~horacioh/Compensadores.htm
http://www4.ujaen.es/~agaspar/IC/Compensadores.pdf
http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/lead.lag.html#leadrl
http://www.youblisher.com/p/492405-Diseno-de-Compensadores/
Ingeniería de control moderna. Katsuhiko Ogata. 3ra edición.