INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO
Las soluciones de una gran cantidad de probleas !ue aparecen en aplicaciones I ( t ) =
b
∫
f ( x, t ) dx a ate ate"ti "ticas cas## se presen presentan tan en $ora $ora de una una integr integral al del tipo % La &ariable t se se suele denoinar par"etro de la integral e I(t) integral dependiente de un par"etro%
Puede ocurrir !ue el integrando# f(x,t)# sea una $unci'n no acotada# o bien !ue el doinio de la integraci'n sea no acotado% Se trata entonces de una integral ipropia dependiente de un par"etro% En este caso# es necesario in&estigar pre&iaente la con&ergencia con&ergencia uni$ore de la integral%
(% INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO PARÁ METRO )% INTEGRALES IMPROPIAS I MPROPIAS DEPENDIENTES DEPE NDIENTES DE UN PARÁMETRO
(% INTEGRALES DEPEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO 1.1. 1.1.De Defi finic nició ión. n. Inte Integr gral al impr improp opia ia de prim primer era a espe especi cie e depe depend ndie ient nte e de parámetro.
Dados Dados el rect"ngu rect"ngulo lo R = { ( x, t ) : a ≤ x < b, c ≤ t ≤ d } * la $unc $unci' i'n n f ( x, t ) de$inida en b
+l# se supone !ue para cada &alor t ∈ [ c, d ] e,iste la integral de$inir la $unci'n
I ( t ) =
∫ f ( x, t ) dx # lo !ue perite a
b
∫ f ( x, t ) dx # con t ∈ [ c, d ] % a
Esta integral se denoina integral dependiente del par"etro t% NOTAS1)
Se pued puede e gene genera rali liza zarr la defi defini nici ción ón a inte integr gral ales es depe depend ndie ient ntes es de n n+1 → R de modo que para todo t = ( t 1 ,..., t n ) ⊂ A ⊂ R n parámetros. Sea f : R existe I ( t ) =
I ( t )
b
∫ a
f ( x, t 1 ,..., t n ) dx ≡
b
∫ f ( x, t ) dx. a
n se denomin denomina a integral integral dependi dependiente ente del parámetr parámetro o n-dimen n-dimension sional al t ∈ R o de
,..., t n ∈ R los parámetros t 1 ,..., .
Más generalmente, se puede definir I ( t ) =
b ( t )
∫
a ( t )
f ( x, t ) dx ≡
b ( t 1 ,t 2 ,...t n )
∫
a ( t 1 ,t 2 ,...t n )
f ( x, ( t 1 , t 2 ,...t n ) ) dx.
donde
n
a, b : A ⊂ R
→R
.
→R , con !am"i#n se puede definir la integral de una función f : D × [ c , d ]
)
∫ f ( x , t ) d x ,
D ⊂ R n ,
D
respecto del parámetro escalar t. Se de"e tener en
cuenta que, en este caso, se trata de una integral de $iemann en
n
R
.
1.2.Teorema. Continuidad de la integral dependiente de un parámetro.
Si f ( x, t ) es continua en R = [ a, b] × [ c, d ] # entonces la $unci'n continua en el inter&alo [ c, d ] %
I ( t ) =
b
∫ f ( x, t ) dx es a
1.3.Corolario. Paso al límite bajo el signo integral.
Si la $unci'n f ( x, t ) es continua en el rect"ngulo $ # entonces I ( t 0 ) =
b
∫ a
∫
b
f ( x, t 0 ) dx = lim f ( x, t ) dx = t →t 0 a
b
∫ lim f ( x, t )dx a t →t 0
siendo t 0 un &alor $i.o cual!uiera del inter&alo [ c, d ] % E/EMPLO-
lim
∫
2
t →0 1
( 2 x − 1) cos(tx 2 ) dx =
2
∫ lim( 2 x − 1) dx = 2 1 t →0
1..Deri!ación bajo el signo integral. Teorema de "eibni#.
∂ f ( x, t ) Si las $unciones f ( x, t ) * ∂t son continuas en el rect"ngulo b ∂ f ( x, t ) I ' ( t ) = dx a ∂t entonces para todo t ∈ [ c, d ] %
R = [ a, b] × [ c, d ] #
∫
NOTAS1)
Si t es c ó d, I%(t) se refiere a la deri&ada lateral correspondiente.
)
Si se conoce una función '(x,t) tal que
∂ F = f ( x, t ) ∂ x ,
entonces se puede
b
∫
I ( t ) = f ( x, t )dx = F ( b, t ) − F ( a, t ) a calcular ∂ F ( b, t ) ∂ F ( a, t ) − I ' ( t ) = ∂t ∂t .
tam"i#n
su
deri&ada
l teorema anterior permite calcular la deri&ada I%(t) sin el pre&io conocimiento de la primiti&a '(x,t).
1.$.Teorema de "eibni# generali#ado. 2 Se considera el recinto S = ( x, t ) ⊂ R / a ( t ) ≤ x ≤ b( t ), c ≤ t ≤ d } , donde a(t) * "(t) son $unciones deri&ables en el inter&alo [ c, d ] %
Sea
I ( t )
=
b ( t )
∫
a ( t )
f ( x, t )dx
donde f ( x, t ) * f t ( x, t ) son continuas en S# entonces
I ' ( t )
=
∂ f ( x, t ) dx + f ( b( t ) , t ) b' ( t ) − f ( a ( t ), t ) a' ( t ) a ( t ) ∂t b ( t )
∫
1.%.Teorema. Integración respecto al parámetro.
Si f(x,t) es continua en el rect"ngulo R = { ( x, t ) / a ≤ x ≤, c ≤ t ≤ d } , entonces la $unci'n
I ( t )
=
b
∫ f ( x, t ) dx es integrable en el inter&alo [ c, d ] * ade"s se &eri$ica !uea
b
∫ a
I ( t ) dt =
d
b f ( x, t ) dx dt = b d f ( x, t ) dt dx a a c %
∫ ∫ c
∫ ∫
1.&.'plicación al cálculo de integrales.
Los resultados (%0# (%1 * (%2 periten calcular el &alor de algunas integrales coplicadas% b
a3
Se desea calcular
b
∫
f ( x, t ) dx
# * se puede calcular "s $"cilente ∂ n g ( x, t ) = f ( x, t ) n ∂ t donde e,iste un n4ero natural n tal !ue % a
∫ g ( x, t ) dx a
b
∫
g ( x, t ) dx = I ( t ) Se calcula entonces a # * se deri&a esta igualdad n &eces 5aplicando el teorea de Leibni63# obteni+ndose la integral deseada%
NOTAS1) * &eces simplifica los cálculos introducir el parámetro t en los l+mites de la integral (&eáse eemplo resuelto ). )
b3
Se pueden calcular un gran nmero de integrales a partir de las 1 g ( x, t ) : sen tx, cos tx, x t , e tx , e ax sen tx, e ax cos tx, 2 . 2 x t + siguientes funciones
Integraci'n de$inidab
∫
Se desea calcular a ∂ f ( x, t ) g ( x, t ) = ∂t % siendo
f ( x, t ) dx
b
# * se puede calcular "s $"cilente
d
Se deterinan los &alores c * d tales !ue
∫ f ( x, t ) dx =∫ ∫ g ( x, u ) du dx =∫ ∫ g ( x, u ) dx du % b
b
d
d
b
a
a
c
c
a
NOTA c d podr+an depender de t. c3
Integraci'n inde$inida-
∫
g ( x, u ) du
c
= f ( x, t )
∫ g ( x, t ) dx # a
% Entonces
b
b
∫
∫
f ( x, t ) dx
g ( x, t ) dx Se desea calcular a * se puede calcular "s $"cilente a b ∂ f ( x, t ) g ( x, t ) = I ( t ) = f ( x, t ) dx ∂t % Aplicando el teorea de Leibni6 a a siendo se obtiene
∫
=
I ' ( t )
Entonces
I ( t )
∫
= α ( t ) dt + C
b
∫ g ( x, t ) dx = α( t ) % a
# pudi+ndose deterinar la constante 7 dando un b
&alor sencillo al par"etro t en d3
∫ f ( x, t ) dx = ∫ α( t )dt + C % a
Introducci'n de par"etros-
Para e&aluar una integral puede ser con&eniente la introducci'n de un par"etro * aplicar alguno de los resultados de (%8# (%0# (%1 ' (%2%
ejemplo resuelto(
( )=
J t
)ea
t
∫
log (1 + tx )
0
1 + x 2
dx
con
1 2
t ∈ ,
5 2
. )e pide(
a*
+studiar la deri!abilidad , calcular J ' ( t ) .
b*
-btener una epresión de J ( t ) en la /ue no apare#can integrales. t
c*
Calcular
log 1 1
0
tx 2
dx
x
.
SOLU7I9N a3
Puede
coprobar
x ∂ f ( x, t ) = 2 ∂t (1 + x )(1 + tx ) son ( x, t ) / 0 ≤ x ≤ t , 1 ≤ t ≤ 5 2 2 %
el
$unciones
lector
!ue
continuas
en
f ( x, t )
el
=
log(1 + tx ) 1 + x 2
*
con.unto
Por tanto e,iste J ' ( t ) &eri$ic"ndose# seg4n el teorea de Leibni6 generali6ado# !ue J ' ( t )
J ' ( t )
=
=
t
x
t
∫ (1 + tx) (1 + x ) dx + 2
0
x
∫ (1 + tx) (1 + x ) dx +
log(1 + t 2 ) 1 + t 2
.
log(1 + t 2 )
1 + t 0 reali6ando la integral por b3 Al ser descoposici'n en $racciones siples# cu*os c"lculos de.aos al lector# se obtiene0
2
2
J ' ( t )
=−
1 log(1 + t 2 )
(1 + t ) 2
2
+
t arctg t 1 + t 2
+
log(1 + t 2 )
(1 + t ) 2
t arctg t
=
+
1 + t 2
1 log(1 + t 2 )
(1 + t ) 2
2
7oo J ( 0 ) = 0 # se tiene !ue J ( t )
=
t
t u arctg u
0
0
∫ J ' ( u ) du = ∫ 1 + u
2
du +
1 2
t log
∫
t
1 1 J ( t ) = arctg u log(1 + u 2 ) − 2 0 2 J ( t )
=
1 2
1+ u2
0
Integrando por partes la priera integral# con 0
( + u 2 )du + 1
1+ u2
2
arctg t log(1 + t 2 )
u
dv =
t log 1
∫
(1 + u 2 du 1+ u2
%
du
# se obtiene
( + u 2 ) du
t log 1
∫ 0
1+ u2
# luego
%
Obs+r&ese !ue la integral pedida es J (1) # luego
c3
1 log
∫ 0
(1 + x )
1 + x
2
dx = J (1)
=
arctg 1 log 2 2
=
π 8
log 2
%
O:SER;A7I9N- /n m#todo usual para e&aluar integrales como la del apartado c) es construir una integral que dependa de un parámetro tal que la integral pedida corresponda a un &alor del parámetro. 0alculamos entonces la integral utilizando las t#cnicas descritas en este cap+tulo, deri&ación e integración respecto a un parámetro fundamentalmente, sustituendo posteriormente el &alor del parámetro correspondiente en la integral pedida.
I k
dx
5 t 0
1
Calcular
2
x
k
0 para 10 20 30..
Soluci'n copleta Introducios el par"etro t * resol&eos la integral dependiente de un par"etro para k = 1 I ( t )
=
∫
dx
5t
0
x 2
+ t 2
=
5t
∫ 0
dx
x 2 2 t 1 + t
=
1
x =5t
arctg x t x =0 t
7alculaos la deri&ada del integrando-
=
1 t
arctg 5
f ( x, t )
=
1 x 2
+ t 2
∂ f ( x, t ) − 2t = 2 ∂t ( x 2 + t 2 ) #
Deri&aos la integral dependiente del par"etro t directaente * deri&ando el resultado obtenido al calcular la integral5t ∂ f 5t − 2t 1 ( x, t ) dx + f ( 8t , t )·5 − f ( 0, t )·0 = I ' ( t ) = dx + 5 0 ∂t 0 26t 2 ( x 2 + t 2 ) 2
∫
I ' ( t )
∫
= −21 arctg 5 t
Obteneos la integral para k = 2 % Igualaos abas e,presiones para despe.ar posteriorente la integral5t − 2t −1 1 + = dx 5 arctg 5 2 2 0 2 2 2 t t 26 ( x + t )
∫
2
t
5t
∫ ( x 0
2
+ t 2 )
2
dx =
5 + arctg 5 ⇒ t 2 26 1
t
5t
∫ ( x 0
2
+ t 2 )
2
dx =
5 + 26 arctg 5
La integral !ue buscaos es esta isa pero con este &alor5t 5 + 26 arctg 5 dx = 0 52 2 ( x 2 + 1) 2
∫
52t 2
t = 1 #
luego sustituios
)% INTEGRALES IMPROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO La continuidad# deri&aci'n e integraci'n de las $unciones de$inidas ediante integrales# pueden e,tenderse al caso en !ue estas integrales sean ipropias% Es decir# a!uellas integrales de$inidas en inter&alos no acotados * las integrales de $unciones no acotadas% 2.1.Definición. Integral impropia de primera especie dependiente de parámetro. f ( x , t )
Sea
de$inida en el rect"ngulo in$inito R = { ( x, t ) : a ≤ x < ∞, c ≤ t ≤ d } * tal
!ue para cada t ∈ [ c, d ] la integral ipropia I ( t ) =
∞
∫ f ( x, t ) dx es con&ergente% Entonces a
∞
∫ f ( x ,t ) dx # con a
t ∈ [ c, d ] es la $unci'n de$inida por una integral ipropia de
priera especie dependiente de un par"etro% NOTAS1) )
l inter&alo [ c, d ] puede ser tam"i#n infinito. a integral impropia con&erge para un punto t ∈ [ c, d ] , si existe es finito el l+mite M
lim
∫ f ( x, t ) dx = I (t ) .
M →∞ a
2)
Se dice que la integral I (t ) con&erge a"solutamente en [ c, d ] , si con&erge la ∞
∫ f ( x, t ) dx .
integral a entonces con&erge. 3)
$ecu#rdese que si I (t ) con&erge a"solutamente
4e manera análoga se tra"aa con funciones definidas mediante integrales a
∫
impropias del tipo −∞
f ( x, t ) dx
∞
∫ f ( x, t ) dx .
ó −∞
2.2.Definición. Con!ergencia uniforme.
La integral ipropia para todo
I (t ) =
∞
∫ f ( x, t ) dx es uni$oreente con&ergente en [ c, d ] si a
ε > 0 e,iste M = M ( ε ) ≥ a tal !ue para todo b > M * todo t ∈ [ c, d ] es ∞
∫ f ( x, t ) dx < ε % b
NOTAS1)
l &alor M no de"e depender de t, sino que de"e ser &álido para cualquier
t ∈ [ c, d ] .
)
studiar la con&ergencia uniforme de una integral aplicando la definición puede ser mu complicado. 5or ello es especialmente til el siguiente resultado.
2.3.Teorema. Criterio de eierstrass.
Supongaos !ue f ( x, t ) est" de$inida en
R
=
[ a ∞ ) × [ c d ] # ,
,
!ue para cada
t ∈ [ c, d ] # f ( x ,t ) es integrable respecto a , en un inter&alo cual!uiera [ a, M ] # * !ue f ( x, t ) ≤ g ( x ) ade"s se tiene !ue para todo ( x, t ) ∈ R % Entonces# si la integral ∞
∫ a
g ( x ) dx
∞
f ( x , t ) dx ∫ es con&ergente# la integral es uni$oreente con&ergente% a
∞ − x
E/EMPLO-
∫ e
sentdx
a
para todo ( x, t ) ∈ [ 0, ∞ ) × R
con&erge uniformemente en R a que ∞ − x
∫ e a
dx
e -x sent ≤ e − x
es con&ergente.
NOTAS1)
l criterio de 6eierstrass proporciona una condición suficiente de la con&ergencia uniforme de las integrales impropias dependientes de un parámetro. 5ero esta condición no es necesaria.
)
a importancia de la con&ergencia uniforme de las integrales impropias dependientes de un parámetro es que permitirá o"tener resultados so"re la continuidad deri&a"ilidad de la función definida por la integral.
2..Propiedades de con!ergentes.
a3
Continuidad-
I (t ) =
las
Si
integrales
f ( x, t ) es
impropias
continua
∞
∫ f ( x, t ) dx con&erge uni$oreente en a
uniformemente
R *
en
la
[ c, d ] # entonces
integral I (t )
es
continua en [ c, d ] % b3
Integrabilidad-
I (t ) =
f ( x, t ) es
continua
en
R *
la
integral
∞
∫ f ( x, t ) dx con&erge uni$oreente en [ c, d ] # entonces a
d ∞ ∞ = ( ) f x , t dx dt f ( x, t ) dt dx. ∫ c ∫c ∫ a ∫ ∫ a c ∂ f ( x, t ) ∂t son continuas en Diferenciabilidad- Si f ( x, t ) * d
I (t )dt =
c3
Si
d
R , la integral ∞ ∂ f ( x, t ) ∞ I (t ) = dx I (t ) = f ( x, t ) dx a ∂t a con&erge para todo t * ade"s ∞ ∂ f ( x, t ) I ' (t ) = dx a , c d [ ] t ∂ con&erge uni$oreente en # entonces %
∫
∫
∫
2.$.Definición. Integral impropia de segunda especie.
Se denoina integral ipropia de segunda especie dependiente del par"etro t a una integral de la $ora
I (t ) =
b
∫ f ( x, t ) dx donde para cada t ∈ [ c, d ] # f es continua a
sal&o en un punto α ∈ [ a, b] * es in$inito alguno de los l<ites laterales de f ( x, t ) cuando x tiende a α % NOTAS1)
/sando la propiedad de aditi&idad respecto del inter&alo de integración, siempre se puede suponer que α es uno de los e,treos del inter&alo .
)
a teor+a correspondiente a las integrales impropias de segunda especie dependiente de un parámetro es análoga a la correspondiente a las de primera especie.
2)
I (t ) =
∞
∫
f ( x, t ) dx a a integral con f ( x, t ) continua sal&o en un punto α ∈ [ a, b] , donde es infinito alguno de los l+mites laterales se denomina impropia de tercera especie dependiente de un parámetro. 5ara tra"aar con este tipo de integrales, se usa la aditi&idad respecto del inter&alo de integración se descompone I (t ) en suma de integrales de 17 7 especie. a integral I (t )
será con&ergente si lo son todos los sumandos de la descomposición.
