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Calculo Integral "Ejercicios de Retos“ tan(x) (x) dx Metodos de Solución "Cambio de Varible,Fracciones Parciales e Integración Directa“ Efectuamos el primer Cambio de Variable teniendo en cuenta la siguiente Identidad Trigonométrica Pitagorica 1+tan x = sesec(x) 2udu u = tan x → 2udu = sec x dx → dx = sec2udu → d x = (x) 1 + u 2udu 2u tan(x) dxdx = u 1 + u = 1 + u du → Aplicamos Aplicamos Fracciones Fracciones Parciales Parciales Factorizamos el denominador de la fracción completando el trinomio cuadrado perfecto Sumamos y restamos respectivamente 2u a la expr expresesióiónn 1 + u u + 2u − 2u +1 → u + 2u + 1 − 2u2u → u + 1 − 2u "Factorizamos la Diferencia de Cuadrados“ b + b b "F la G al Dif ci d C drad drad "
2u 2u 1+ u du = u + 2u+ 1 u − 2u+1 du → Fracciones parciales Caso III 2u Au+B + Cu+D = u + 2u+1 u − 2u+ 1 u + 2u+ 1 u − 2u+1 − 2u+1 + Cu+D u + 2u+1 2u Au+Bu A = C → A = C = → B B u + 2u+1 u − 2u+1 u + 2u+1 u − 2u+ 1 2u = Au3 − 2Au +Au+Bu − 2Bu+B+Cu3 + 2Cu +Cu+Du + 2Du +D Agrupamos terminos por el grado de la potencia e igualamos termino a termino en la igualdad A+C=0 − 2A + B+ 2C+D = 2 A − 2B +C+ 2D = 0 B+D=0 Tomamos los coeficientes de cada varible y organizamos una matriz 4x4 y resolvemos haciendo uso de un programa 1 0 1 0 A 0 −2 1 2 1 B = 2 1 21 2 C 0
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones los valores obtenidos para las variables fueron los siguientes A = − 22 ; B= 0 ; C = 22 ; D = 0 Dichos valores seran sustituidos en la descomposicion en fracciones parciales anteriormente realizada 2u Cu+D du u + 2u+ 1 u − 2u +1 du = u +Au+B du + 2u+ 1 u − 2u + 1 − 2 u+(0) 2 u+(0) 2u u + 2u+ 1 u − 2u + 1 du = u2+ 2u+ 1 du + u2− 2u + 1 du 2u u + 2u + 1 u − 2u+ 1 du = −2 2 u + u2u+ 1 du + 22 u − u2u+ 1 du Completamos el trinomio cuadrado perfecto para cada integral por seperado u + 2u+ 1 → Completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto para la primera integral Tomamos el coeficiente del termino lineal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado es decir ∶
Retomando lo anterior procedemos a sumar y restar respectivamente 12 a → u + 2u+ 1 1 1 1 1 1 1 u + 2u+ 2 − 2 +1 → u + 2u + 2 + 2 → u + 2 + 2 u + 2u+ 1 → Completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto para la segunda integral Tomamos el coeficiente del termino lineal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado es decir ∶ 2 = 2 = 1 → Sumamos y restamos respectivamente dicho termino a la expresión incial 2 4 2 Retomando lo anterior procedemos a sumar y restar respectivamente 12 a → u − 2u+ 1 1 1 1 1 1 1 u − 2u+ 2 − 2 +1 → u − 2u + 2 + 2 → u − 2 + 2 Una vez realizado el procedimiento de completación de un trinomio cuadrado perfecto para cada integral Sustituimos dichas expresiones en las integrales a calcular. 2 2 2 2
Para las integrales a calcular efectuamos principalmente un cambio de variable para cada una de ellas I = −2 2 1u 1 du → Aplicamos un cambio de variable haciendo uso de la variable nueva (t) u+ 2 +2 t = u + 12 → u = t − 12 → du = dt I = 22
u du → Aplicamos un cambio de variable haciendo uso de la variable nueva (p) 1 1 u− 2 + 2 p = u − 12 → u = p + 12 → du = dp Evaluamos el cambio de variable para la integral I y organizamos las expresiones
I = −2 2
u
1 t − du = −2 2 12 dt = −2 2 t 1 dt + −2 2 −1 dt 1
Evaluamos el cambio de variable para la integral I y organizamos las expresiones 1 p+ I = 22 1u 1 du = 22 12 dp = 22 p 1 dp + 22 12 dp 1 p +2 p +2 p +2 u− 2 + 2 Ahora procedemos a integrar de forma separada cada una de las integrales resultantes en los cambios de variable Integrales resultantes de I y su correspondinte cambio de variable − 2 t dt → Multiplicamos la expresión por 2 → − 2 1 2t dt 2 t + 12 2 2 2 t + 12 Recodemos la siguiente formula de Integración Directa → f´(x) f(x) dx = ln f(x) + C − 2 1 2t dt = − 2 2t dt → f x = t + 1 f´ x = 2t → − 2 2t dt = − 2 ln t + 1 +C 2 2 t + 12 4 t + 12 2 4 t + 12 4 2 − 2 −1 dt = 1 dt → Aplicamos la siguiente fomula de integración directa 2 2 t + 12 2 t + 12
Para la integral → 12 dt 1 a = 12 ; y=t ; 1a = 2 t +2 1 dt = 1 2 arctan t +C → 1 dt = 2 arctan 2 t +C 1 2 t + 12 2 2 t + 12 2 2 Integrales resultantes de I y su correspondinte cambio de variable 2 p dp → Multiplicamos la expresión por 2 → 2 1 2p dp 2 p + 12 2 2 2 p + 12 Recodemos la siguiente formula de Integración Directa → f´(x) f(x) dx = ln f(x) + C 2 1 2p dp = 2 2p dp → f x = p + 1 f´ x = 2p → 2 2p dp = 2 ln p + 1 +C 2 2 p + 12 4 p + 12 2 4 p + 12 4 2 2 1 dp = 1 dp → Aplicamos la siguiente fomula de integración directa 2 2 p + 12 2 p + 12
Para la integral → 12 dp 1 a = 12 ; y=p ; 1a = 2 p +2 1 dp = 1 2 arctan p +C → 1 dp = 2 arctan 2 p +C 1 2 p + 12 2 2 p + 12 2 2 Una vez vez solucionadas las integrales resultantes ,retomamos la solución del ejercicio inicial,pero antes regresamos en los cambios de variable realizados para obtener las soluciones a dichas integrales . Soluciones a las integrales I ; I → t = u + 12 ; p = u − 12 1 − 2 1 → 4 ln u+ 2 + 2 +C 1 dt = 2 arctan 2 t +C → 2 arctan 2 u + 1 + C = 2 arctan 2u+1 +C 2 t + 12 2 2 2 2 2 2p dp = 2 ln p + 1 +C → 2 ln u− 1 + 1 +C 4 p + 12 4 2 4 2 2