Algoritmo para extração de raiz quadrada de um número N (um artigo original e inédito por Elcioschin)
Suponhamos que se queira extrair a raiz quadrada de um número N, por exemplo, de três algarismos (N = abc), cujo resultado seja um número de dois al garismos (xy).
Desprezando temos:
em relação a
e
em relação a
Estes resultados explicam a 1ª e 2ª regras do algoritmo: 1ª regra – Separe os dois dois algarismos do lado direito do número abc, isto é separe a de bc, obtendo a-bc. 2ª regra – Calcule um número inteiro x (de apenas um algarismo), tal que Obtido o valor de x, temos:
O resultado acima explica a 3ª regra do algoritmo:
3ª regra – Subtraia x² de a e acrescente bc, obtendo-se o número Desprezando-se y² em relação a
, podemos escrever:
O resultado acima explica a 4ª regra do algoritmo:
4ª regra – Divida resultado.
por
, obtendo-se y, que é a parte inteira do
Em seguida deve-se retornar com o valor desprezado y², que é a 5ª regra: 5ª regra – Calcule o valor . Se este valor for exatamente igual a número xy será a raiz quadrada exata do número N = abc.
Se este valor for superior a
,o
, isto significa que foi introduzido
um erro muito grande ao desprezar ou ao desprezar . Neste caso, devese reduzir de uma unidade o valor de y e novamente aplicar a 5ª regra, até que se obtenha
.
Se este valor for inferior a , isto significa que o número y é a raiz aproximada por falta, do número N = abc. Caso se deseje, por exemplo, o resultado da raiz com uma casa decimal, deve-se continuar, a partir da 3ª regra, subtraindo-se
de
, acrescentando-se 00, obtendo-se
d00 onde d é a diferença, substituindo-se então, na 4ª e 5ª regras por d00, substituindo x por xy e y por z.. z .. Exemplo: Extrair a raiz quadrada de 208 com 1 casa decimal
Logo, como acrescentamos apenas 1 par 00 obtivemos a raiz quadrada com apenas 1 casa decimal Caso se queira mais casas decimais, basta acrescentar 00 depois de 64 obtendo-se 6400 e repetindo-se o processo. Para raízes de maior grau, ver próxima folha.
Algoritmo para extração da raiz enésima de um número N 1) Colocar o número N debaixo do radical 2) Dividir o número N em X grupos de n algarismos a contar da direita para a esquerda. Sejam (da esquerda para a direita) estes grupos. Cada grupo contém n algarismos, com exceção do grupo , que pode ter de 1 a n algarismos. algarismos. Se o número N for for decimal, a parte à direita da vírgula vírgula deve ter grupos completos de n algarismos; caso contrário deve-se completar com zeros. 3) Calcula-se o maior número , tal que 4) Coloca-se
no resultado, obtendo-se
5) Coloca-se debaixo de e subtrai-se, obtendo-se o resto sempre números de zero a n algarismos) 6) AbaixaAbaixa-se se o próxim próximo o grupo grupo de algari algarismo smoss (
7) Divide-se da divisão.
por
8) Calcula-se o número
9) Se obtenha
), obtend obtendo-s o-see o número número
, encontrando-se o número
.
, parte inteira
:
deve-se fazer
, repetindo-se o item 8 até que se
10) Coloca-se
no resultado, obtendo-se o número
11) Coloca-se
debaixo de
.
(os restos serão .
e subtrai-se, obtendo-se resto
12) Prossegue-se do mesmo modo, a partir do item 6, aumentando-se sucessivamente os índices de N, R, A, B, S, com exceção do item 10, no qual o termo deve ser substituído por , etc. 13) Quando tiver sido abaixado o último grupo Nx termina o processo. Caso se deseje uma aproximação maior, com certo número de casas decimais, basta acrescentar novos grupos de n algarismos iguais a zero e repetir o processo do item 6 em diante. Exemplo: Extrair a raiz cúbica de 51 064 811 (n = 3, x = 3)
