Calculo de Volumen de Tanque Usando Integral Doble

CARRERA PROFESIONAL ING. CIVIL

CLASE: 1164 “CALCULO DEL VOLUMEN DE UN TANQUE DE FERMENTACION DE BEBIDAS DE LA EMPRESA AMBEV,

GRUPO: 4 DOCENTE:

APLICANDO INTEGRALES DOBLES”

ING. LUIS ZUÑIGA F.

INTEGRANTES Del Carpio Córdova, Herbert Flores Villalta, William Mauricio Vargas, Jacob Rojas Culqui, Leuder

Nota Trabajo

N ota de examen

Nota final

DEDICATORIA

El presente trabajo está dedicado a nuestros padres, y a nuestro profesor Luis Alfredo Alfr edo Zuñiga Fiestas, quien nos dio su apoyo incondicionalmente, a todos los compañeros del grupo quienes dedicaron tiempo y esfuerzo en aportar lo mejor de sí para el desarrollo de este proyecto.

DEDICATORIA

El presente trabajo está dedicado a nuestros padres, y a nuestro profesor Luis Alfredo Alfr edo Zuñiga Fiestas, quien nos dio su apoyo incondicionalmente, a todos los compañeros del grupo quienes dedicaron tiempo y esfuerzo en aportar lo mejor de sí para el desarrollo de este proyecto.

INDICE

1. RESUMEN…………………………………………………………………………………..1 2. INTRODUCCION...…………………………… INTRODUCCION...……………………………………………………… ……………………………………...…….2 …………...…….2 2.1. CONCEPTO DE TANQUE………………….…………………… TANQUE………………….………………………….……….........2 …….……….........2 2.1.1. RECIPIENTES ABIERTOS…….………… ABIERTOS…….…………………………………… …………………………………..3 ………..3 2.1.2. RECIPIENTES CERRADOS.….………………………………….................3 CERRADOS.….………………………………….................3 2.2. CRITERIOS DE DISEÑO………..….…………….………………… DISEÑO………..….…………….……………………………........5 …………........5 2.2.1. MATERIALES PARA RECIPIENTES A PRESION…………………………5 2.2.2. CLASES DE MATERIALES…………………………………….....................6 MATERIALES…………………………………….....................6 3. OBJETIVO.………………………………………………............................................ OBJETIVO.………………………………………………............................................ .....8 4. MARCO TEORICO.…………………………………………………………………………9 4. 1. CONCEPTO DEL PRODUCTO..........................................................................9 4. 2. DISEÑO............................................................................................................10 4. 3. FABRICACIÓN DE LOS TANQUES.................................................................11 4. 4. OBJETIVO DE LOS TANQUES DE FERMENTACION ………………………..11 4.4.1. PARÁMETROS DE DISEÑO..........................................................................11 4.4.2. FACTOR DE ENFRIAMIENTO................................................................12 4.5. VENTAJAS…………………………………… VENTAJAS……………………………………………………………… …………………………………..…..12 ………..…..12 5. MARCO MATEMATICO............................................................................................14 5.1. EL PARABOLOIDE……………………………… PARABOLOIDE………………………………………………………… ………………………………..…14 ……..…14 5.2. CONO TRUNCADO…………………… TRUNCADO……………………………………………… …………………………………………....15 ………………....15 5.3. INTEGRALES…….............................................................................................16 5.3.1. INTEGRALES DOBLES..................................................................................17 5.3.2. INTEGRALES TRIPLES.................................................................................20 6. COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES…….…………….…………………23 6.1. COORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS…………………………… CARTESIANAS………………………………..………………..23 …..………………..23 6.2. COORDENADAS COORDENADAS POLARES……..…………………………… POLARES……..……………………………………....………...23 ………....………...23 6.3. CONVERTIR DE COORD. CARTESIANAS A POLARES….……...……...…….24 6.4. CONVERTIR DE COORD. POLARES A CARTESIANAS……….………………24 CARTESIANAS……….………………24 7. SOLUCION DEL PROBLEMA.………..………………………… PROBLEMA.………..………………………………………...............26 ……………...............26 7.1. VOLUMEN DEL CILINDRO……....………………………………….....................27 CILINDRO……....………………………………….....................27 7.2. VOLUMEN DE LA ESFERA……….....…………..…...……………...…...............28 ESFERA……….....…………..…...……………...…...............28 7.3. VOLUMEN DEL CONO…………………………………………….……………….29 8. CONCLUSIONES…………………… CONCLUSIONES……………………………………………… …………………………………………….......... ………………….......... 33 9. ANEXOS (MODELO EN AUTOCAD 3D)………………………………………………..34 10. BIBLIOGRAFIA………………………………… BIBLIOGRAFIA………………………………………………………… ………………………………………...36 ………………...36

1. RESUMEN

La empresa Ambev se dedica a producir bebidas para el consumo masivo: cervezas y refrigerantes, cuenta con 02 plantas de producción en Perú: en Huachipa y en Sullana. En el 2003, se inicia la construcción de la fábrica en Perú, adquiere embotelladora Rivera, empiezan operaciones en Guatemala y en Ecuador, adquieren Cervecería Suramericana. Precisamente para la producción de sus productos es necesario la implementación de equipos que hagan posible las distintas necesidades del cliente para almacenar y/o depositar, hacer el reposo para la fermentación y enfriamiento de las bebidas en las cuales se necesite este tipo de proceso. Uno de estos equipos son los tanques t anques los cuales, en general, son recipientes que se utilizan en las l as plantas industriales o de procesos, algunos de estos tienen la finalidad de almacenar sustancias que se dirigen o convergen de algún proceso, este tipo de recipientes son llamados en general tanques. En el presente trabajo específicamente nos dedicaremos al uso de los tanques verticales para fermentación de cerveza, los cuales como se habló anteriormente, son equipos que facilitaran el depósito del insumo para la producción de esta, la cual se tendrá que mantener en estado de reposo para obtener las características conocidas en ellas. Hay que acotar que este equipo trabaja en un conjunto con otros tanques de las mismas dimensiones y características.

http://www.buenastareas.com/ensayos/Estudiante/64311376.html

Calculo 3 - Aplicación de Integral Doble

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2. INTRODUCCION 2.1. CONCEPTO DE TANQU E:

Los tanques, “son recipientes que se utilizan en las plantas industriales en procesos, de producción, algunos de estos tienen la finalidad de almacenar sustancias, tales como agua, bebidas, ácidos, etc. Este tipo de recipientes son llamados en general tanques. Los diferentes tipos de recipientes que existen, se clasifican de la siguiente manera: a) Por su uso los podemos dividir en recipientes de almacenamiento y en recipientes de procesos. b) Por su forma los recipientes a presión pueden ser cilíndricos o esféricos. Los primeros son horizontales o verticales, y pueden tener en algunos casos, chaquetas para incrementar o decrecer la temperatura de los fluidos según sea el caso. Los esféricos se utilizan generalmente como tanques de almacenamiento, y se recomiendan para almacenar grandes volúmenes a altas presiones. Puesto que la forma esférica es la forma natural que toman los cuerpos al ser sometidos a presión interna esta sería la forma más económica para almacenar fluidos a presión sin embargo en la fabricación de estos es mucho más cara a comparación de los recipientes cilíndricos. Los tipos más comunes de recipientes pueden ser clasificados de acuerdo a su geometría como:

2.1.1. Recipientes Abiertos. A) Tanques Abiertos.

2.1.2. Recipientes Cerrados. A) Tanques cilíndricos verticales, fondo plano. B) Recipientes cilíndricos horizontales y verticales con cabezas formadas. C) Recipientes esféricos. Indicaremos algunas de las generalidades en el uso de los tipos más comunes de recipientes:


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2.1.1. RECIPIENTES AB IERTOS:

Los recipientes abiertos son comúnmente utilizados como tanque igualador o de oscilación como tinas para dosificar operaciones donde los materiales pueden ser decantados como: desecadores, reactores químicos, depósitos, etc. Obviamente este tipo de recipiente es más que el recipiente cerrado de una misma capacidad y construcción. La decisión de que un recipiente abierto o cerrado es usado dependerá del fluido a ser manejado y de la operación. Estos recipientes son fabricados de acero, cartón, concreto, etc. Sin embargo en los procesos industriales son construidos de acero por su bajo costo inicial y fácil fabricación. 2.1.2. RECIPIENTES CERRA DOS:

Fluidos combustibles o tóxicos o gases finos deben ser almacenados en recipientes cerrados. Sustancias químicas peligrosas, tales como ácidos o sosa cáustica son menos peligrosas si son almacenadas en recipientes cerrados. A) TANQU ES CILINDRICOS DE FONDO PLA NO:

El diseño en el tanque cilíndrico vertical operando a la presión atmosférica, es el tanque cilíndrico con un techo cónico y un fondo plano descansando directamente en una cimentación compuesta de arena, grava o piedra triturada.

http://gongtongmachinery.es/product/3-1-2b.jpg


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B) RECIPIENTES CILINDRICOS HORIZONTAL ES Y VERTICALES CON CABEZAS FORMADAS:

Son usados cuando la presión de vapor del líquido manejado puede determinar un diseño más resistente. Varios códigos han sido desarrollados o por medio de los esfuerzos del API y el ASME para gobernar el diseño de tales recipientes. Una gran variedad de cabezas formadas son usadas para cerrar los extremos de los recipientes cilíndricos. Las cabezas formadas incluyen la semiesférica, elíptica, toriesférica, cabeza estándar común y toricoidal. Para propósitos especiales de placas planas son usadas para cerrar un r ecipiente abierto. Sin embargo las cabezas planas son raramente usadas en recipientes grandes.

http://tesis.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/6142/ANALICOMPSOPORT.pdf ?sequence=1 C) RECIPIENTES ESFERICOS:

El almacenamiento de grandes volúmenes bajo presiones altas, la f orma más común son los recipientes esféricos. Las capacidades y presiones utilizadas varían grandemente. Para los recipientes mayores el rango de capacidad es de 1000 hasta 25000 Psi (70.31 - 1757.75 Kg/cm²). Y de 10 hasta 200 Psi (0.7031 - 14.06 Kg/cm²) para los recipientes menores. Cuando una masa dada de gas esta almacenada bajo la presión es obvio que el volumen de almacenamiento requerido será inversamente proporcional a la presión de almacenamiento.


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En general cuando haya una masa dada, el recipiente esférico es más económico para grandes volúmenes y bajas presiones de operación. A presiones altas de operación de almacenamiento, el volumen de gas es reducido y por lo tanto en tipo de recipientes cilíndricos es más económico. 2.2. CRITERIOS DE DISEÑO: 2.2.1. MATERIA LES PA RA R ECIPIENTES A PRESION:

ESPECIFICACIONES DE LOS ACEROS Los aceros al carbón y de baja aleación son usualmente usados donde las condiciones de servicio lo permitan por los bajos costos y la gran utilidad de estos aceros. Los recipientes a presión pueden ser fabricados de placas de acero conociendo las especificaciones de SA-7, SA-113 C y SA-283 A, B, C, y D, con las siguientes consideraciones: 1. Los recipientes no contengan líquidos ó gases letales. 2. La temperatura de operación está entre -20 y 650°F. 3. El espesor de la placa no exceda de 5/8" 4. El acero sea manufacturado por horno eléctrico u horno abierto. 5. El material no sea usado para calderas. Uno de los aceros más usados en los propósitos generales en la construcción de recipientes a presión es el SA-283 C. Estos aceros tienen una buena ductilidad, fusión de soldadura y fácilmente maquinables. Este es también uno de los aceros más económicos apropiados para recipientes a presión; sin embargo, su uso es limitado a recipientes con espesores de placas que no excedan de 5/8" para recipientes con un gran espesor de cascarón y presión de operación moderadas el acero SA-285 C es muy usado. En el caso de presiones altas o diámetros largos de recipientes, un acero de alta resistencia puede ser usado como el acero SA-212 B es conveniente para semejantes


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aplicaciones y requiere un espesor de cascarón de solamente de 79% que el requerido por el SA-285 C. Este acero es también fácilmente fabricado pero es más caro que otros aceros. El acero SA-283 no puede ser usado en aplicaciones con temperaturas sobre 650°F; el SA-285 no puede ser usado en aplicaciones con temperaturas que excedan de 900°F, y el SA-212 tiene muchos esfuerzos permisibles bajos en las temperaturas más altas, por lo que el acero funciona para temperaturas entre 650 y 1000°F. El acero SA-204, el cual contiene 0.4 a 0.6% de molibdeno es satisfactorio y tiene buenas cualidades. Para temperaturas de servicio bajas (-50 a -150°F) un acero niquelado tal como un SA-203 puede ser usado. Los esfuerzos permisibles para estos aceros no están especificados por temperaturas bajas de -20°F. Normalmente el fabricante hace pruebas de impacto para determinar la aplicación del acero y fracturas a bajas temperaturas. En la etapa de diseño de recipientes a presión, la selección de los materiales de construcción es de relevante importancia, para lo cual necesitamos definir una secuencia lógica para la selección de estos. Así pues realizaremos un breve análisis de la filosofía a que sigue la ASME, para seleccionar sus materiales y por consiguiente para especificarlos como adecuados en la construcción de los recipientes a presión. 2.2.2. CLA SES DE MATERIAL ES:

El código ASME indica la forma de suministro de los materiales más utilizados, lo cual va implícita en su especificación. A continuación se dan algunos ejemplos de materiales, su especificación y forma de suministro. Debido a la existencia de diferentes materiales disponibles en el mercado, en ocasiones no resulta sencilla la tarea de seleccionar el material ya que deben considerarse varios aspectos como costos, disponibilidad de material, requerimientos de procesos y operación, facilidad de formato, etc. Así pues es necesario una explicación más amplia acerca del criterio de la selección de los materiales que pueden aplicarse a los recipientes como:


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A) ACEROS AL CARBON:

Es el más disponible y económico de los aceros, recomendables para la mayoría de los recipientes donde no existen altas presiones ni temperaturas. B) ACEROS DE BAJA ALEACION

Como su nombre lo indica, estos aceros contienen bajos porcentajes de elementos de aleación como níquel, cromo, etc. Y en general están fabricados para cumplir condiciones de uso específico. Son un poco más costosos que los aceros al carbón. Por otra parte no se considera que sean resistentes a la corrosión, pero tienen mejor comportamiento en resistencia mecánica para rangos más altos de temperaturas respecto a los aceros al carbón. En la tabla 1 se puede observar los aceros recomendados para los rangos de temperatura más usuales. C) ACEROS DE ALTA A LEACION

Comúnmente llamados aceros inoxidables. Su costo en general es mayor que para los dos anteriores. El contenido de elementos de aleación es mayor, lo que ocasiona que tengan alta resistencia a la corrosión. D) MATERIALES NO FERROSOS

El propósito de utilizar este tipo de materiales es con el f in de manejar sustancias con alto poder corrosivo para facilitar la limpieza en recipientes que procesan alimentos y proveen tenacidad en la entalla en servicios a baja temperatura.


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3. OBJ ETIVO:

Realizar el cálculo matemático de las áreas y volúmenes de cada componente que componen el tanque mencionado en el presente tr abajo. Para esto utilizaremos integrales dobles o triples para hallar las áreas y luego lo multiplicaremos por su longitud para hallar su volumen, obteniendo de esta manera la cantidad de material a utilizar y la capacidad de líquido que podrá contener.


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4. MARCO TEORICO 4. 1. CONCEPTO DEL PRODUC TO:

Estos tanques cuentan con bridas para conexión de tuberías para la entrada y salida tanto del refrigerante como del producto líquido una vez almacenado. Esta refrigeración se utiliza en el proceso de fermentación y maduración el cual es el paso más crítico en todo el proceso de producción de cerveza y también tiene el mayor impacto en las características del sabor del producto final. Durante la fermentación el azúcar se convierte en alcohol por acción de la levadura. Como durante la fermentación alcohólica se emite calor es necesario enfriar el mosto, de modo que se pueda mantener una temperatura de fermentación constante. Todos estos tanques se encuentran fabricadas en materiales que respetan el medio ambiente, sus ventajas y características principales son: •

Los equipos se encuentran fabricados de acuerdo con todas las normas y las últimas innovaciones en la industria alimentaria.

•

Fácil limpieza y mantenimiento gracias a la excelente manufactura y la accesibilidad (por la altura del recipiente).

•

Fácil uso de los controles electrónicos en el proceso de la refrigeración

•

Son dispositivos fáciles de usar y ecológicos.

•

Dispositivos fabricados para su uso a largo plazo (en términos de desarrollo sostenible y protección del medio ambiente).

•

Poseen un bajo consumo de energía y son eficientes.


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4. 2.DISEÑO: •

Tanques de fermentación y de maduración ubicados dentro de una nave o al aire libre.

•

Ejecución en acero fino (1.4301, 1.4307 y 1.4404) así como, según solicitud de diseño, en todos los aceros austeníticos o dúplex corrientes.

•

Aislamiento opcionalmente con polisocianurato (PIR), poliuretano (PUR) o lana mineral.

•

Revestimiento atornillado o remachado de chapa trapezoidal o lisa fabricada en acero fino o aluminio.

•

Ingeniería, producción y recepción se realizan según las normas internacionalmente reconocidas como, por ejemplo, entre otras PED 97/23/EC, ASME, RTN, ML.

•

Ejecución para presión atmosférica o sobrepresión

http://spanish.alibaba.com/supplier_wc4BAAKDuilOKgMV2Fh9ZOCYhGhc/allproducts.html


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4. 3.FABRICACIÓN DE LOS TANQUES: Los tanques de fermentación y de maduración son tanques sometidos a presión, tanques de agua y tanques pulmón. Las ejecuciones de hasta un diámetro de 7,5 m se fabrican en la misma planta, tanques de mayor tamaño se producen en el lugar de la obra del cliente 4. 4.OBJETIVO DE LOS TANQUES DE FERMENTA CION: 4.4.1 PARÁM ETROS DE DISEÑO:

El volumen bruto del tanque y diseño de la chaqueta de enfriamiento de la cerveza fresca son los factores decisivos durante la planificación del diseño de los tanques a fin de lograr una fermentación rápida y segura. La formación y eliminación de productos secundarios de la fermentación, una sedimentación rápida de la levadura y la siguiente fase de maduración tienen que considerarse durante el desarrollo del proceso de fermentación.

http://www.directoalpaladar.com/cultura-gastronomica/la-elaboracion-de-lacerveza-ii


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4.4.2. FACTOR DE ENFRIAMIENTO:

Las superficies de enfriamiento de los tanques están ejecutadas como PillowPlates de múltiple desvío. Esta circulación forzada del medio refrigerante proporciona un flujo eficiente dentro de las superficies de enfriamiento y con ello una alta transferencia de calor en la superficie de enfriamiento. Este rendimiento refrigerador mejorado permite un enfriamiento rápido y directo del contenido del tanque. El alto rendimiento de la bodega de fermentación está combinado con un bajo caudal del medio refrigerante debido al guiado forzado de los medios refrigerantes. Es posible utilizar para ello naturalmente todos los medios refrigerantes usuales.

http://www.krones.com/es/products/ingenieria-de-procesos/tanques-defermentacion-y-de-maduracion-cerveza.php


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4. 5. VENTAJ AS: 4.5.1. TÉCNICA CER VECERA LL AVE EN MA NO:

-Adquirir equipos para cervecerías es una cuestión de confianza, tienen que ser diseñados por empresas expertas en el rubro de tanques. -Almacenar grandes cantidades de líquido. 4.5.2. INTEGRA CIÓN DIRECTA DE LA S EXIGENCIA S DE LA INGENIERÍA DE PROCESOS :

Conocemos hasta el último detalle sus exigencias para los tanques de fermentación y de maduración. Aproveche estas experiencias durante la selección de los materiales, las geometrías y los conceptos de enfriamiento adecuados. 4.5.3. EL DISEÑO HIG IÉNICO E S UNA CUE STIÓN DE PR INCIPIOS :

Dado que una alta higiene resulta importante para unos procesos microbiológicamente sensibles, se dimensionan todos los conceptos de los tanques y todos los componentes instalados en los tanques según estos criterios. 4.5.4. CONDICIONES DE FAB RICACIÓN Y DE MONTA JE M ODERNOS:

Muchas fases automáticas de fabricación dentro de la fábrica propia significan dos cosas: Durante la fabricación su tanque nunca pasa a otras manos y su layout comprende solo las costuras de soldadura absolutamente necesarias. 4.5.5. BUENA CA LIDAD:

La precisión en la fabricación y el acabado de las superficies es visible. Lo que a simple vista no se diferencia.


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5. MARCO MATEMA TICO: 5.1. EL PARA BOL OIDE:

Un paraboloide elíptico es una cuadriga, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:

5.1.1. CARA CTERISTICAS: •

El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.

•

El origen de coordenadas es el vértice del paraboloide elíptico.

•

El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje z.

•

El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.

•

Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide son parábolas.

•

Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide elíptico son elipses.

•

El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y z ≥ 0.

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/paraboloides.html


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5.2. CONO TRUNCADO :

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases r1 y r2, la altura h, y la generatriz s, entre las cuales se cumple la relación del teorema:

http://www.geoka.net/poliedros/cono_truncado.html 5.2.1. A REAS:

El área lateral de un tronco de cono se puede hallar mediante la semisuma de los perímetros de las bases, por la generatriz:

5.2.3. VO LUMENES:

El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando el producto entre la altura del tronco y la media heroniana del área de las bases:


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5.3. INTEGRAL ES:

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

https://iguerrero.wordpress.com/category/topicos-de-calculo-d-e-i/page/3/

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Calculo 3 - Aplicación de Integral Doble

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5.3.1. INTEGRALES D OBL ES:

El teorema de Fubini nos muestra como poder calcular una integral doble cuando tenemos un rectángulo:

Veamos brevemente de donde sale este teorema. Supongamos que z = f ( x, y), ver la siguiente figura, es continua en cada ( x, y) ∈ Q.

http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT3/integrales_dobles_2.htm

Formemos la integral simple con respecto a x:

Dónde se mantiene fija y al realizar la integración. Naturalmente, el valor de la integral dependerá del valor utilizado para y o sea que podemos escribir

La función A(y) está definida para c £ y £ d y se puede demostrar que si f(x,y) es continua en Q entonces A(y) es continua en [c, d]. Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe


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Obsérvese que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de Integrales Iteradas. Nótese que en

Integramos primero con respecto a x (considerando y constante) y luego con respecto a y; en

Integramos utilizando un orden inverso. A) INTEGRAL ES DOBLES SOB RE RECINTOS ACOTADOS

Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica: 1A(x) = 1, si x ∈ A 0, si x ∈ A 2

Donde A ⊂ R

Si el conjunto A es acotado y veri fica que su frontera tiene medida nula, entonces la función característica es integrable sobre cualquier rectángulo R que contiene a A y, en este caso, existe:

Que se llama la medida o área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo R


A, se define:

⊃

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B) CALCULO DE AREAS:

Si se considera una función continua no negativa f(x,y) ≥ 0 definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble

Tiene un signi ficado geométrico claro, representa el volumen del solido formado por el recinto A como base, paredes laterales verticales y como super ficie superior la grafica de f(x,y). Este resultado permite que, en el caso de integrar la función constante 1 sobre un recinto medible A, se obtenga el área de dicho recinto (en realidad, se obtiene el volumen de un prisma recto de base el recinto A y altura 1 que equivale numéricamente al área de A. Es decir:

http://cyt-ar.com.ar/cytar/index.php/Ense%C3%B1anza_del_concepto_de_%C3%A1rea


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5.3.2. INTEGRAL ES TRIPLES:

Las integrales triples no tienen ya mayor di ficultad salvo la añadida por una dimensión más. Los rectángulos anteriores se substituyen ahora por rectángulos tridimensionales, o sea, cajas

. Una

partición P de R es ahora

siendo P1, P2 y P3 particiones

de los intervalos [a,b], [c,d] y [p,q], con respectivamente. Si P1 tiene n +1 puntos, P1 tiene m +1 puntos y P3 tiene r +1 puntos, la partición divide al rectángulo R en

subrectángulos ; cada uno de los cuales tiene

volumen Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una función real acotada f definida en R, se de fine la suma de Riemann correspondiente a la partición de P de R como:

Dada la función acotada las sumas de Riemann cuando

se define la integral triple como el l ımite de tiende a 0:

Sea f una función integrable sobre un rectángulo

. Si

existe cualquier integral iterada, es igual a la integral triple


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http://analisisfigempa.wikispaces.com/Integrales+Multiple?showComments=1

A) INTEGRACION SOB RE RECINTOS ACOTADOS

Al igual que sucedía en el caso de integrales dobles, la integral triple sobre recintos acotados se hace extendiendo la integral a un rectángulo y utilizando la función característica:

Siendo R un rectángulo que contiene a Ω


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Para el cálculo de la integral, el procedimiento ahora consiste en expresar el recinto en alguna de las formas siguientes: Siendo

funciones continúas.

Siendo

funciones continúas.

Siendo

funciones continúas. 2

A continuación el recinto D ⊂ R se expresa como de tipo I o de tipo II, dando lugar a la integral iterada correspondiente. Por ejemplo, en el primer caso, si D es de Tipo II en el plano XOY, se tendrá: y, por tanto :


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6. COORDENADAS CARTESIANA S Y POLARES: 6.1. COORDENADAS CARTESIANA S:

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polarescartesianas.html

6.2. COORDENADAS POLARES:

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polarescartesianas.html


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6.3. CONVERTIR DE COORD. CAR TESIANAS A POLA RES :

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares? Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = 122 + 52 r = √ (122 + 52) r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / 12 θ = arctan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son: r = √ (x2 + y2) θ = arctan( y / x ) 6.4. CONVERTIR DE COORD. POLARES A C ARTESIANA S:

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo: Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?


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Usamos la función coseno para x:

cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:

x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos la función seno para y:

sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:

y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son: x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )


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7. SOLUCION DEL PROBLEMA :

Se requiere hallar el volumen para conocer la capacidad del tanque de almacenamiento de las sgtes. dimensiones:


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7.1. VOLUMEN DEL C ILINDRO:

Ecuación de la circunferencia:


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7.2. VOLUM EN DE LA ESFERA :

Ecuación de la circunferencia: Para :

;

Convirtiendo a Coordenadas Polares:


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7.3. VOLUM EN DEL CONO:

Ecuación del Cono Circular:


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VOLUMEN TOTAL DEL TANQUE:


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8. CONCLUSIONES:

Se halló el volumen total del tanque de fermentación, aplicando la doble integral y las ecuaciones de la esfera, cilindro y cono trunco, dando como resultado 170,21m3. El volumen adquirido es el indicado para las dimensiones del tanque que fabricaremos debido a que dicho volumen es el total del líquido (cerveza), que va a contener el equipo para su fermentación. Dependiendo del volumen de líquido que se quiera almacenar, se obtendrán las medidas del tanque a fabricar, los cuales pueden variar según los requerimientos del cliente.


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9. ANEXOS (MODELO EN A UTOCAD 3D):


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10. BIBLIOGRAFIA :

Cisneros, G. Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones. UC Facultad de Ingeniería: Departamento de Matemática. Villena, M. Integración Múltiple.


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Calculo de Volumen de Tanque Usando Integral Doble

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