Aula25
IntegraisTriplasemCoordenadasEsféricas
Coordenadas Coordenada s Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.
Coordenadas Coordenada s Esféricas
Coordenadas Coordenada s Esféricas O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.
Exemplo ρ
=
c
,
uma esfera
Exemplo θ
=
c
,
um semiplano
Exemplo
φ
=
, um semicone
c
Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares z
=
ρ cos φ
r
=
ρ sen φ
x
=
r cos θ
y
=
r sen θ
Conversão Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações x
=
ρ sen φ cosθ
y
=
ρ sen φ sen θ
z
=
ρ cos φ
Para converter de coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação
Exemplo 1 O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares. Solução:
Exemplo 1 x
y
z
=
=
=
ρ sen φ cosθ
ρ sen φ senθ
ρ cos φ
=
=
=
2 cos
2 sen
π
cos
3
2 sen
π
4
sen
π
3
π 3
=
π
1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 2
Logo, o ponto Coordenadas retangulares é
4 =
=
=
⎛ 2⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2⎜ ⎜
3 2 3 2
⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎜⎝
1
em
⎞ ⎟ 2 ⎠
1
=
⎞ ⎟ 2 ⎠
1
=
3 2 3 2
Exemplo 2 O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.
Exemplo 2 Da equação temos
logo ⇒
Exemplo 2 cos θ
x =
ρ sen φ
Obs: θ ≠
3π 2
=
0
, pois
⇒
y
=
θ
=
π 2
2 3 > 0.
Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são
Integrais Triplas em coordenadas coordenada s esféricas Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica E
=
{( ρ ,θ ,φ ) | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β , c ≤ φ ≤ d }
onde a ≥ 0, β − α ≤ 2π e d − c ≤ π
Integrais Triplas em coordenadas coordenada s esféricas ρi sen φk Δθ
r i
=
ρi sen φ k r Δθ
=
ρ
sen se n
φ
Δθ
Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas ∫∫∫ f ( x, y, z) dV E d
=
onde
=
b
α
a
∫ ∫ ∫ c
E
β
E
f ( ρ sen φ cos θ , ρ sen φ sen θ , ρ cos φ )ρ 2 sen φ dρ dθ dφ
é um cunha esférica dada por
{( ρ ,θ ,φ ) | a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β , c ≤ φ ≤ d }
Extensão da fórmula A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como
Exemplo 3 Calcule
∫∫∫
B
e
( x
2
+
y
2
+
2
z
3/2 3/ 2
)
dV ,
onde
B é a bola unitária:
B = {( x, y, z ) | x
2
+
y
2
+
2
z
}
≤1
Exemplo 3 Solução: como a fronteira de B é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas:
Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois
Exemplo 3
∫∫∫
B
π
=
e
( x
2
+
2π
y
2
+
1
2
z
)
dV
∫ ∫ ∫ e ∫ sen φ dφ ∫ 0
0
3/2 3/ 2
( ρ ) 2
2
ρ sen φ dρ dθ dφ
0
π
=
3/2 3/ 2
0
2π
0
dθ
1
∫ ρ 0
2 ρ 3
e dρ
1
⎡ 1 ρ ⎤ e = [ − cos φ ] ( 2π ) 0 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 0 π
3
=
4 3
π (e − 1)
Exemplo 3 Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria
Exemplo 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).
Exemplo 4
Exemplo 4
Solução Note que a esfera passa pela origem e tem centro em
⎛ 0, 0, 1 ⎞ . ⎜ ⎟ 2
Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como ou
Solução A equação do cone pode ser escrita como ρ cosφ
=
Isto dá
ρ
2
sen
sen
φ
2
=
2
φ cos θ cos
+
ρ
2
sen
2
2
φ sen θ
=
ρ sen φ .
φ ou
Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é
Solução
Solução V (E)
=
∫∫∫ dV
E
2π
=
∫
2π
0
=
cos φ
∫ ∫ ∫ 0
=
π /4
2π 3
0
d θ
0
∫
π / 4
∫ 0
π / 4
0
ρ 2 sen φ dρ dφ dθ cos φ
⎡ ρ ⎤ sen φ ⎢ dφ ⎥ ⎣ 3 ⎦0 3
2π ⎡ cos φ ⎤ 4
3
sen φ cos φ dφ
=
− ⎢ 3 ⎣
4
π / 4
⎥ ⎦0
