Integracion Numérica: Objetivo de la Exposición

INTEGRACION NUMÉRICA Objetivo de la Exposición : Hacer una investigación detallada y precisa de los métodos utilizados para la resolución de ejercicios de diferenciación e integración numérica (integrales), que por los métodos analíticos no suelen tener resultado.

Autores: Wilson Olmedo Richard Tuapanta Edwin Machado Liseth Andrade Angel Mungabusi

Métodos Numéricos Exposición Nº 4

Integración Numérica

1. INTRODUCCIÓN

Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana. Se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración con segmentos desiguales, fórmulas de integración abierta, integrales múltiples.

2. OBJETIVO Hacer una investigación detallada y precisa de los métodos utilizados para la resolución de ejercicios de diferenciación e integración numérica (integrales), que por los métodos analíticos no suelen tener resultado.

3. MARCO TEÓRICO 3.1. INTEGRACIÓN NUMÉRICA En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral def inida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y (b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Razones para la integración numérica Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso

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existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

3.2. LA REGLA DEL TRAPECIO La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

Se puede apreciar que el error que se llega a cometer con esta forma de aplicación puede ser significativo. Una mejor aproximación se obtiene dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y aplicando en cada uno de ellos la regla trapecial. A este procedimiento se lo conoce como Regla Trapecial Compuesta.

Es un forma de aproximar los trapecios utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral Definida

Representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno

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De ancho

. Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde

y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

3.3. REGLAS DE SIMPSON

Regla de Simpson:

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación m ás fina, otra forma de obtener una estimación más precisa de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si se toma el punto medio del intervalo de integración [a;b], los tres puntos se pueden unir con una parábola. La fórmula que resulta de tomar la integral bajo ese polinomio se conoce como regla de Simpson. Es decir, la regla de Simpson se obtiene cuando el polinomio de aproximación es de segundo grado. En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

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La regla de Simpson tiene dos casos:

Regla de Simpson 1/3 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación:

Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2(x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

Regla de Simpson 3/8 De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;

Para

obtener:

En donde h=(b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton- Cotes.

3.4. INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES

Hasta aquí, todas las fórmulas de integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales. Por ejemplo, los datos obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. En tales casos, un método consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento

y

sumar

los

resultados:

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Donde hi = el ancho del segmento i. Observe que éste fue el mismo procedimiento que se utilizó en la regla del trapecio de aplicación múltiple. La única diferencia con el caso anterior es que las h son constantes y se podía simplificar la expresión. Aunque esta simplificación no puede aplicarse a la ecuación, es posible trabajarla, como se verá en el siguiente ejemplo.

Dada la siguiente tabla: f(x)=0.2+25x+200x2+675x3-900x4+400x5). El valor exacto de la integral es 1.640533. Recuerden que la función es para usarla como referencia. Normalmente en estos casos, solo nos dan la tabla de datos.

x

Xo X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

F(x)

0,00 0,12 0,22 0,32 0,36 0,40 0,44 0,54 0,64 0,70 0,80

0,200000 1,309729 1,305241 1,743393 2,074903 2,456000 2,842985 3,507297 3,181929 2,363000 0,232000

F(Xo) F(X1) F(X2) F(X3) F(X4) F(X5) F(X6) F(X7) F(X8) F(X9) F(X10)

Yo Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10

Determine el valor de la integral. Para ello usamos la ecuación dada.

h1 f(xo) + f(x1) 2

=

(0.12)

(0.200000 + 1.309729) = 0.090584 2

f(x1) + f(x2) 2

=

(0.10)

(1.309729 + 1.305241) = 0.130749 2

h2

h3

f(x2) + f(x3) 2

=

(0.10)

(1.305241 + 1.743393) = 0.152432 2

h4

f(x3) + f(x4) 2

=

(0.04)

(1.743393 + 2.074903) = 0.076366 2

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h5

f(x4) + f(x5) 2


=

(0.04)

(2.074903 + 2.456000) = 0.090618 2

h6

f(x5) + f(x6) 2

=

(0.04)

(2.456000 + 2.842985) = 0.105980 2

h7

f(x6) + f(x7) 2

=

(0.10)

(2.842985 + 3.507297) = 0.317514 2

h8

f(x7) + f(x8) 2

=

(0.10)

(3.507297 + 3.181929) = 0.334461 2

h9

f(x8) + f(x9) 2

=

(0.06)

(3.181929 + 2.363000) = 0.166348 2

h10

f(x9) + f(x10) = 2

(0.10)

(2.363000 + 0.232000) = 0.129750 2

I = 0.090584 + 0.130749 + 0.152432 + 0.076366 + 0.090618 + 0.105980 + 0.317514 + 0.334461 + 0.166348 + 0.129750 I=

1.594801

Que representa un error relativo porcentual absoluto de 2.8%. Ahora bien, si observamos nuevamente la tabla vemos que la distancia de X1 a X2 es igual que de X2 a X3 (h = 0.10). Tenemos 3 puntos y 2 segmentos de igual anchura de modo que en ese subconjunto de datos podemos usar regla de simpson 1/3. También se puede observar que la distancia de X3 a X4 es igual de X4 a X5 y es la misma de X5 a X6 (h = 0.04). Tenemos 4 puntos y 3 segmentos de igual anchura de modo que en ese subconjunto de datos podemos usar regla de simpson 3/8. De igual manera, vemos que la distancia de X6 a X7 es igual que de X7 a X8 (h = 0.10). Tenemos 3 puntos y 2 segmentos de igual anchura de modo que en ese subconjunto de datos podemos usar regla de simpson 1/3.

El primer segmento (que va de Xo a X1) lo evaluamos con regla del Trapecio. Página 7 de 10



ISEGMENTO 1 = [(0.12 – 0.00) / (2*1)] (0.2 + 1.309729) I SEGMENTO 1 = [ 0.12 / 2] (0.2 + 1.309729) = 0.0905837 Los segmentos 2 y 3 (que van de X1 a X2 y de X2 a X3). Con Simpson 1/3. ISEGMENTOS 2-3 = ( 0.10 / 3) ( 1.309729 + (4*1.305241) + 1.743393 ) ISEGMENTOS 2-3 = ( 0.10 / 3) ( 8.2740877 ) = 0.2758029 Los segmentos 4, 5 y 6 (que van de X3 a X4, de X4 a X5 y de X5 a X6). Con Simpson 3/8.

ISEGMENTOS 4-6 = ( 3 (0.04) / 8) ( 1.743393 + (4*2.074903) + (4*2.456000) + 2.842985 )

ISEGMENTOS 4-6 = ( 3 (0.04) / 8) ( 18.1790874 ) = 0.2726863 Los segmentos 7 y 8 (que van de X6 a X7 y de X7 a X8). Con Simpson 1/3. ISEGMENTOS 7-8 = ( 0.10 / 3) ( 2.842985 + (4*3.507297) + 3.181929 )

ISEGMENTOS 7-8 = ( 0.10 / 3) ( 20.0541018 ) = 0.6684701 Los segmentos 9 y 10, se evalúan cada uno con la regla del Trapecio: ISEGMENTO 9 = [(0.70 – 0.64) / (2*1)] (2.363000 + 3.181929) ISEGMENTO 9 = [ 0.06 / 2 ] (2.363000 + 3.181929) = 0.1663478 ISEGMENTO 10 = [(0.80 – 0.70) / (2*1)] (0.232000 + 2.363000) ISEGMENTO 10 = [ 0.10 / 2 ] (0.232000 + 2.363000) = 0.1297 Sumamos los valores obtenidos (los resaltados en amarillo) y tenemos que la integral aproximada es de 1.603641 . Esto representa un error relativo porcentual absoluto de 2.2%.

3.5. FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN ABIERTA Recuerde que las fórmulas de integración abierta tienen límites que se extienden más allá del intervalo de los datos. Las fórmulas se han expresado en la forma de la ecuación de manera que los factores de ponderación sean evidentes. Como en el caso de las versiones cerradas, pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo orden de error. Las fórmulas para segmentos pares y puntos impares son generalmente los métodos de preferencia, ya que requieren menos puntos para alcanzar la misma precisión que las fórmulas de segmentos impares y puntos pares. Las fórmulas abiertas no se utilizan con frecuencia para la integración definida. No obstante tienen utilidad para analizar integrales impropias. Fórmula abierta de Newton-Cotes (N = 1) Se obtienen al extender La integración hasta un intervalo a la izquierda del primer dato y un intervalo a la derecha del último dato como vemos en la figura. Dichas formulas se escriben como: Donde h = (b - a)/(N + 2). Las constantes a y w se listan en la tabla, en donde W0 y WN + 2 se igualan a cero debido a que corresponden a los extremos del dominio. Puesto que W0 y WN + 2 se anulan, fo y f N + 2 son datos ficticios, que en realidad no son necesarios. Si comparamos una fórmula abierta con una cerrada utilizando el mismo número N de datos, el error de La fórmula abierta es significativamente mayor que el de la fórmula cerrada. Por otro

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lado, se pueden utilizar las formulas abiertas cuando no se dispone de los valores de la función en los límites de integración. En ambas tablas se observa que los valores de w para N grande también son grandes Y cambian de signo. La resta de números grandes puede provocar errores de redondeo. Por esta razón, no son recomendables las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior. Esta tendencia en el siguiente ejemplo:

4.

CONCLUSIONES









Como se mostró existen diferentes fórmulas y métodos para la realización de integración numérica, también existen diversos procedimientos pero la buena resolución de un problema de integración se deberá del uso correcto y la buena identificación del tipo de método a utilizar. La integración con métodos numéricos es una herramienta útil cuando se trata de integrar una función muy complicada o datos tabulados. Con el método de Simpson se puede aproximar una integral compleja a la integral de un polinomio. La regla de Simpson utiliza un polinomio interpolante el cual es de grado menor o igual a n, y que pasa por n puntos.

5. BIBLIOGRAFÍA 











http://books.google.com.ec/books?id=wXP3VzSaHIC&pg=PR10&lpg=PR10&dq=ejercicios+de+integrales+multiples+metodo s+numericos&source=bl&ots=j9Q4qB4TWW&sig=8yD8pODw1iNwCo_8XOl OTAkQQg4&hl=es&sa=X&ei=CWDGUdqQDYyA9QTmoFQ&ved=0CDIQ6AEwAg#v=onepage&q=ejercicios%20de%20integrales% 20multiples%20metodos%20numericos&f=false http://webs.uvigo.es/ecuacionesdiferenciales/Tema1.pdf http://metodosnumericosisc.wikispaces.com/UNIDAD+4.+Diferenciaci%C3%B3n+e+integraci%C3%B3n+num%C3%A9ricas. http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica http://profe-alexz.blogspot.com/2011/01/apuntes-de-integrales-dobles-ytriples.html http://www2.dis.ulpgc.es/~lalvarez/teaching/mn/2012MnTransparenciasTem a5_DiferenciacionIntegracionNumerica.pdf

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