INTRODUCCION El principal propósito de este capítulo es presentarle al lector la necesidad del control automático de procesos y motivarlo al estudio de ellos. El control automático de un proceso está relacionado con el mantenimiento de las variables de éste: temperaturas, presiones, flujos, composiciones, etc. a un cierto valor deseado de operación. Como podremos ver en las páginas siguientes, los procesos son dinámicos por naturaleza. Los cambios en el proceso y su entorno están siempre ocurriendo, y si las acciones no son tomadas, las variables importantes del proceso (aquellas relacionadas con la seguridad, calidad del producto, y velocidad de producción) no alcanzarán las condiciones de diseño
1.1. 1.1. SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESOS
Una
clase
especial
de
sistemas
de
control
está
compuesta
de
aquellos
que
usan
retroalimentación. Esta clase se caracteriza por el hecho de que la variable controlada (sea temperatura, velocidad o presión) se mide por un sensor y la información se retroalimenta para influir en la variable controlada.
El principio se ilustra fácilmente con un sistema muy común, la caldera de una casa controlada por un termostato. Una descripción de los componentes aparece en el dibujo de la figura 1.1. A dich di ch a desc de sc ripc ri pc ión ió n po dem de m os llam ll am arla ar la diagrama de bloques de los compo nentes . Este identifica los principales componentes como bloques en el sistema, omitiendo detalles y mostrando la dilección principal de la información y flujo de energía desde un componente a otro.
Figura l.l. Diagrama de bloques de un sistema de control de temperatura de una sala
Podemos analizar cualitativamente y de una manera muy sencilla este sistema. Supóngase que inicialmente la temperatura de la casa donde está ubicado el termostato y la del ambiente externo están muy por debajo del valor deseado, cuando el sistema entra en funcionamiento. El termostato estará en activo, transmitiendo energía a la válvula de gas de la caldera, que se abrirá haciendo que se encienda la caldera, que funcione el ventilador y que entre calor en la casa. Si la caldera está bien diseñada para el caso, la cantidad de calor que entra será mucho mayor que las pérdidas de calor Q sa l
y la temperatura aumentará gradualmente hasta que
exceda el punto de operación del termostato. En ese momento el termostato se desactivará y se apagará la caldera. La temperatura de la sala entonc es tenderá a tomar el valor
del
ambiente externo. Cuando adquiera un valor por debajo del punto de operación del termostato, éste se activará de nuevo y así el ciclo se repite. A fu i de que qu e el lec to r teng te ng a una un a idea id ea m ás cl ar a de lo que qu e se pret pr eten en de ex plic pl icar ar , no s per mi tim os considerar el siguiente intercambiador de calor, mostrado en la Figura 1.2. En éste, un flujo es calentado por medio de vapor saturado.
2
El propósito de esta unidad es calentar el fluido de proceso desde una temperatura de ingreso T i (t ) , hasta una cierta temperatura deseada de salida, T(t). Como se mencionó, el medio de calentamiento es vapor saturado. La energía ganada por el fluido de proceso es igual que la entregada por el vapor, de manera que no existen pérdidas de calor hacia los alrededores, es decir, el intercambiador está perfectamente aislado. En este caso el calor entregado es el calor latente de condensación del vapor
Figura 1.2 Intercambiador de calor
En este proceso hay muchas variables que pueden cambiar, tales como: el caudal del fluido q(t), la temperatura de ingreso del flujo T i (t ) , la temperatura del ambiente, etc. Estos cambios se dan causando una desviación de la temperatura de salida respecto de su valor deseado Si esto ocurre, alguna acción debe ser tomada para corregir esta desviación. Esto es, e l o b j e t i v o
e s c o n t r o l a r l a t e m p e r a t u r a d e s a l i d a d e l p r o c e s o p a r a m a n t e n e r s u v a l o r d e s e ad o .
Una manera de lograr este objetivo es la medición de la temperatura T(t), luego la comparación de ésta con el valor deseado, y luego, basándose en esa comparación, decidir qué hacer para corregir esta desviación. El flujo de vapor puede ser usado para corregir esta desviación. Esto es, si la temperatura está por encima del valor deseado, la válvula de vapor debe ser cerrada a fin de cortar el flujo de vapor (energía) hacia el intercambiador de calor. Si la temperatura está por debajo del valor deseado, la válvula de vapor debe ser abierta algo más a fin de incrementar el flujo de vapor (energía) hacia el intercambiador. Todo esto puede ser hecho manualmente por el operador, y el procedimiento es confiable, no podría presentar problemas. Sin embargo, en muchas plantas hay cientos de variables que deben ser mantenidas a ciertos valores deseados, por lo que la corrección requerida de un inmenso número
de
operadores
Consecuentemente,
nosotros
podríamos
equipar
este
control
automáticamente. Esto es, nosotros queremos tener instrumentos que controlen las variables sin que se requiera intervención del operador. Esto es lo que entendemos por
control
autom ático de un p roc eso. Para lograr este objetivo debe ser diseñado e implementado un sistema de contro l. Un posible sistema de control y sus componentes básicos se muestran en la Figura 1.3. La primera cosa a hacer es medir la temperatura de salida del flujo del proceso. Esto es hecho por un s e n s o r (termocupla, dispositivo de temperatura por resistencia, sistema de termómetros por llenado, termistores, etc.). Este sensor está conectado físicamente a un transmisor, el cual toma la salida del sensor y lo convierte en una señal lo suficientemente fuerte para ser transmitida a un controlador.
El controlador recibe entonces la señal, la cual está relacionada a la temperatura, y la compara con el valor deseado. Dependiendo de esta comparación, el controlador decide qué hacer para mantener la temperatura a su valor deseado. Basado en esta decisión, el controlador envía otra señal al elemento final de contro l o actuador, el cual manipula el flujo de vapor.
Figura 1.3. Sistema de control de un intercambiador de calor
El párrafo precedente presenta los cuatro componentes básicos de todo sistema de control. Ellos son:
1.
Sensor, llamado también a menudo elemento primario.
2.
Transmisor, llamado también elemento secundario.
3.
Controlador, el cerebro del sistema de control.
4.
Elemento final de control o actuador, a menudo una válvula, pero no siempre. Otros actuadores comunes son bombas de velocidad variable, y motores eléctricos.
La importancia de estos componentes es que ellos realizan las tres operaciones básicas que
deben estar presentes en l o d o sistema de control. Estas operaciones son:
1.
Medición (M): la medición de la variable a ser controlada es usualmente hecha por la
combinación de sensor y transmisor
2.
Decis ión (D): Basado en la medición, el controlador debe decidir qué hacer para mantener
la variable en su valor deseado
3.
A c c ión ( A ) : Como resultado de la decisión del controlador, el sistema debe tomar una acción. Esta es finalmente realizada el actuador.
Como se mencionó, estas tres operaciones, M, I y A deben estar presentes en todo sistema de control. El ingeniero diseñador de un sistema de control debe estar seguro que la acción tomada afecte la variable a ser controlada, esto es, que la acción tomada afecte el valor medido. De otro modo, el sistema es no controlable y probablemente dañará al sistema.
4
1 . 2 . R ESEÑA H I S T O R I C A Desde la antigüedad se han utilizado mecanismos de control retroalimentados. Precisamente, Mayr, en 1970 escribe una interesante historia sobre ellos. Describe alguno de los primeros ejemplos, tales como el control de la tasa de flujo para regular un reloj de agua y el control del nivel de líquido en una lámpara de aceite y en un recipiente de vino, que se mantiene lleno a pesar de las muchas tazas que se sacan.
Un caso más moderno de retroalimentación descrito por Mayrs es el control de temperatura de un homo para calentar una incubadora, sistema que fue diseñado por Drebbel hacia 1620.
Sin embargo, el problema del control de la velocidad de rotación de un eje fue importante en las crónicas del control automático. El dispositivo del péndulo cónico o regulador de bola flotante fue una solución prometedora que adquirió especial trascendencia cuando se adaptó a la máquina de vapor en los laboratorios de James Watt, alrededor de 1788. Fuller (1976) investigó los inicios de la teoría de control, desde 1673 a partir de los estudios de Huygens a Maxwell en 1868. Fuller da especial crédito a las contribuciones de G.B. Airy, al cual atribuye la primera exposición de la inestabilidad en un sistema de control, el análisis de un sistema a través de ecuaciones diferenciales y por lo tanto, los comienzos del estudio de la dinámica del control con retroalimentación. En 1877 E.J. Routh gana el Premio Adams por su criterio de estabilidad sobre la base del análisis de la ecuación característica. Después de la publicación del trabajo de Routh, el matemático ruso A. M. Lyapunov comenzó a estudiar la cuestión de la estabilidad del movimiento; en 1892 utilizó las ecuaciones no lineales del movimiento e incluyó resultados equivalentes al análisis de Routh. Su trabajo fue fundamental, pero no se introdujo en la literatura de control hasta 1958. En 1932, H. Nyquist publicó un artículo describiendo cómo determinar la estabilidad desde un dibujo gráfico de la respuesta de frecuencia del lazo. A partir de esta teoría se desarrolló una extensa metodología de diseño de amplificadores retroalimentados Durante la década de los años 1950 varios autores, incluyendo Bellman y Kalman en los Estados Unidos y Pontryagin en la U.R.S.S., comenzaron nuevamente a considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como un modelo para los sistemas de control. Muchos de estos trabajos fueron estimulados por el nuevo campo de control de satélites artificiales terrestres (donde las EDO son una forma natural de escribir el modelo) y apoyado por computadoras digitales, que podían usarse para realizar cálculos impensables diez años antes.
1 . 3 . T ÉR MIN OS I M P O R T A N T E S
Y
O BJ ET IVO S D E U N
SIST EM A A U T O M A T I C O D E
CONTROL
A este punt o es necesa ri o defi nir algu nos té rm inos usados en el camp o de l co nt ro l au tomá tico de procesos. Estos son los siguientes:
Variable contro lada, Esta es la variable que debe ser mantenida o controlada a algún valor deseado En el ejemplo mostrado antes en la Fig 1.3, la temperatura de salida del proceso T(t) es la variable controlada
Setpoint. Es el valor deseado o valor de referencia al cual se quiere mantener la variable controlada
Variable manipulada. Es la variable usada para mantener la variable controlada a su setpoint. En el ejemplo, el flujo de vapor es la variable manipulada.
D i s t u r b i o Es alguna variable que puede causar una desviación de la variable controlada de su valor de referencia. En la mayoría de los procesos hay varios diferentes disturbios. Refiriéndonos al intercambiador de calor de la Fig. 1.3, posibles disturbios son la temperatura de ingreso del proceso T i (t), el flujo del proceso q(t), la calidad de la energía del
vapor,
las
condiciones
ambientales,
la
composición
del
fluido
del
proceso,
obstrucciones, etc. Lo que es importante entender es que en los procesos industriales, muy a menudo a causa de estos disturbios son necesarios los sistemas automáticos de control. Podríamos decir que los disturbios son una de las razones de que existan los SAC.
Lazo abierto Se refiere a la condición en que el controlador se desconecta del proceso. Esto es, el controlador no está tomando la decisión de cómo mantener la variable controlada en su setpoint. Estos lazos abiertos de control existen cuando la acción (A) tomada por el controlador no afecta la medida (M)
Lazo cerrado de control Se refiere a la condición en la cual el controlador está conectado al proceso ejecutando su tarea de comparación y determinación de la acción correctiva.
Definidos ya estos términos, el objetivo de un sistema automático de control puede ser expresado de la siguiente manera:
El objetivo d e un s istema autom ático d e contro l es us ar la variable manipulada para mantener la variable controlada en su setpoint a pesar de los dis turbios . Es decir, la variable controlada debe seguir a su setpoint en el menor tiempo y el menor retraso posible.
Un claro ejemplo se muestra en la Fig 1.4. En este, la variable controlada es la velocidad angular del motor. Suponiendo que esta velocidad cayó debido al acoplamiento imprevisto de una nueva carga al eje del motor. El controlador ya recibió la señal del transmisor, comparó y verificó la existencia de error. Su decisión inmediata a fin de corregir esta diferencia, fue emitir una señal tipo escalón ( Δu). La respuesta del motor es entonces un aumento de su velocidad hasta llegar a su valor de referencia.
Durante el tiempo de transición el comportamiento de la respuesta puede ser de dos maneras: la variable controlada adquiere su valor de referencia luego de ciertas oscilaciones como se muestra en la curva en línea continua de la Figura 1.4.b, o la salida sufre el cambio sin oscilaciones, sino de una manera suave como se muestra en la curva a trazos. El controlador define la cantidad de energía que se consume
6
Figura 1.4 Control de la velocidad de un motor eléctrico
1.4.
A UT OM AT I Z A C I ÓN Y SIST EMA A U T O M Á T I C O D E CO NTR OL
Es importante hacer la distinción entre dos tipos de sistemas de uso muy común en la industria: automatización y sistema automático de control. El sistema automatizado es secuencial, es decir, no mide, no compara, sólo actúa siguiendo unos pasos ya definidos. Un ejemplo claro es un sistema que pone etiquetas a las botellas, allí no hay ningún parámetro de control. Un sistema automático de control en cambio no solo actúa, sino que mide y compara la variable que está controlando a fin de su actuación esté orientada a que el valor de la variable medida siga al valor de referencia o setpoint
1.5. R E G U L A C I ÓN Y S E R V O C O N T R O L En algunos procesos, la variable controlada se desvía de su valor constante de referencia debido a disturbios. El c o n t r o l r e g u l a d o r hace referencia a estos sistemas diseñados para compensar estos disturbios. En algunos casos, las variaciones externas más importantes se dan en el setpoint mismo. Es decir, el setpoint puede cambiar en función del tiempo (típico de los procesos por lotes), y por lo tanto la variable controlada debe seguir al setpoint. El s e r v o c o n t r o l se refiere a sistemas de control diseñados para este propósito. El término servocontrol es usado frecuentemente en el control de motores de c.c. y c.a. El control regulador es más común que el servocontrol en los procesos industriales. Sin embargo el planteamiento básico de diseño es esencialmente el mismo para ambos
1 . 6. T R A D E - O F F Y T R A C K I N G
Estos términos están relacionados con los sistemas de control en los que el setpoint sufre variaciones, es decir, en los servocontroles. Como podremos ver en el ejemplo de la figura 1.6, el setpoint también se comporta como un disturbio si es que cambia en el tiempo, la
variación del setpoint representa un disturbio inherente. Como todo disturbio, influye sobre la dinámica de la planta, más específicamente, sobre la dinámica de la variable controlada, se debe procurar que esta influencia se encuentre dentro de ciertos límites permitidos por el proceso. El término Trade-off
hace referencia al compromiso que debe existir entre el control
retroalimentado de las variables controladas y el control de la influencia que suponen los disturbios sobre dichas variables, El mejoramiento de uno implica un empeoramiento del otro y viceversa. El control retroalimentado se ejerce mediante la medición de las variables controladas. Los disturbios externos que existen sobre todo proceso, también pueden ser medidos de manera que se pueda desarrollar un algoritmo de control que prevea y compense su influencia sobre el proceso. Ambos mecanismos, el control retroalimentado (mediante la medición de la variable controlada) y la compensación del disturbio (mediante la medición de éste), deben funcionar en un compromiso en cuanto a su influencia mutua El término Tracking: hace referencia al rastreo o seguimiento que hace la variable controlada al setpoint. En l o s s e r v o m e c a n is m o s , procesos controlados por un servocontrol, la variable controlada debe siempre mantenerse en su setpoint a pesar de que éste varíe, es decir, la variable controlada debe seguir o debe rastrear al setpoint. Un ejemplo claro de lo que se quiere explicar se da en el control de los paneles solares, estos, a lo largo del día deben siempre mantenerse en dirección perpendicular a los rayos solares. El setpoint es entonces esta dirección, que cambia durante el día. La variable controlada es la orientación propia del panel o bien, el ángulo de rotación del eje que hace girar al panel. Esta variable controlada, minuto a minuto cambia según cambie la posición del sol.
8
1.7.
S E Ñ A L E S D E T R A N S M I S I ÓN
Le aconsejamos al lector prestar especial atención sobre los siguientes términos y símbolos relacionados con la comunicación entre instrumentos en un sistema de control. En los procesos industriales de hoy en día encontramos tres principales tipos de señales: La
s eñ al
ne um áti ca, o aire comprimido cuya presión normalmente varía entre los 3 y 15 psig. Muy pocas veces las señales de 0 a 30 psig o 3 a 27 psig son usadas. La representación usual para estas señales neumáticas es la siguiente: -----------La s eñ al el é c tri c a o electrónica cuyo rango varía normalmente entre
4 y 20 mA. Muy
pocas veces 10 a 50 mA, I a 5 V o 0 a 10 V son usadas La representación usual pata estas señ al es es --------------- . Id tercer tipo de señal, que está llegando a ser común es la señ al, d igi tal o di sc reta (ceros y unos). Id uso de sistemas de control basados en computadoras, minicomputadoras o microprocesadores está forzando al incremento de este tipo de señal El t r a n s d u c t o r precisamente realiza el cambio de un tipo de señal a otra Por ejemplo, podría existir la necesidad de cambiar de una señal eléctrica (mA) a una neumática (psig). Esto es hecho mediante el uso de un transductor de corriente a presión neumática (l/P) Esto es mostrado en la Figura 1.5. l a entrada puede ser de 4 a 20 mA y la salida de 3 a 15 psig. Hay muchos otros tipos de transductores: voltaje a presión neumática (E/P), presión neumática a voltaje (P/E), etc.
Figura 1 .5 Transductor l/P
1.8
ESTRATEGIAS DE CONTROL
F eed b ac k C o n t r o l El feedback control o control retroalimentado, llamado también control a lazo cerrado es representado por el esquema de control de la Figuras 1.1 y 1 . 3. La ventaja del control retroalimentado es que es una técnica muy simple que compensa todos los disturbios. El control retroalimentado no se preocupa de saber qué disturbio entra al proceso, el sólo se preocupa de mantener la variable controlada a su valor de referencia, compensando de esta manera cualquier tipo de disturbio. La desventaja del control retroalimentado es que puede compensar para un disturbio sólo después que la variable controlada se ha desviado de su setpoint. Es decir, el disturbio debe propagarse sobre el proceso entero antes de que el control retroalimentado lo compense. El trabajo de un ingeniero es diseñar el esquema de control que mantendrá la variable controlada en su setpoint y además debe sintonizar el controlador de manera que el error de operación sea mínimo. Para ello debe tener un conocimiento de la "personalidad" del proceso de manera que el controlador se adapte, se sintonice a esa personalidad.
Feedforw ard Contro l El
control retroalimentado es una estrategia en algunos procesos industriales. Sin embargo
en algunos casos éste tipo de control no provee el funcionamiento requerido. Estos procesos requieren entonces del diseño de otro tipo de control. Uno de estos es el control feedforward. El objetivo del control feedforward es medir los disturbios y compensarlos antes que la variable controlada se desvíe de su setpoint.
Si se aplica correctamente, la variable
controlada no se desvía de su setpoint. Un ejemplo concreto de control feedforward es el intercambiador de calor mostrado en la figura 1.6. Suponiendo que en éste los disturbios son la temperatura de entrada
T 1 (1) y el flujo
del proceso q(t), el control feedforward debe medir estos dos disturbios y luego tomar una decisión de cómo manipular el flujo de vapor para compensar estos disturbios. La figura 1.6 muestra esta estrategia de control. El control feedforward del ejemplo anterior sólo compensa dos disturbios, sin embargo, como ya hemos visto existen muchos disturbios distintos Si alguno de ellos entra al proceso, esta estrategia de control no lo compénsara y el resultado será una desviación permanente de la variable
controlada
respecto
al
setpoint
Se
requerirá
entonces
añadir
un
control
retroalimentado al Feedforward ya existente.
Figura 1.6 Sistema de control retroalimentado de un Intercambiador de calor.
C O N T R O L I N D I R E C T A
El control indirecto se aplica en aquellos casos en que la medición de la variable que se quiere controlar es difícil o imposible. El sistema automático de control entonces deberá ejercer un control indirecto sobre dicha variable por medio de un control directo sobre otra variable correlacionada con la primera. Para cada sistema hay que definir cuál es, y cuáles son sus elementos y cuál es la relación o interrelación entre ellos.
10
La Fig. 1.7 muestra el esquema básico y completo de un sistema automático de control. Se solerá llamar u a la variable de control (emitida por el controlador) y e a la variable de error, y a la variable controlada e y re f al setpoint de dicha variable.
Figura 1.7 Diagrama de bloques básico de un sist ema automático de control
La señal de error antes mencionada está dada por la diferencia entre el valor de referencia o setpoint y el valor real medido de la variable controlada.
e= y r ef - y= error El controlador, según la estrategia de control que utilice, que esta diferencia sea la más próxima a cero, es decir, que a través del tiempo, la variable controlada sea lo más cercana posible a su referencia, sino igual. La figura 1 8
es un esquema simplificado de un SAC en donde se especifica que el
controlador funciona en base a una estrategia de control que define su arquitectura interna. Fig. 1.8
Esquema básico de un SAC
11
1.9 RESUMEN En este capítulo ha sido discutida la necesidad del control automático de un proceso. Los procesos industriales no son estáticos sino dinámicos y están cambiando continuamente debido a muchos tipos de disturbios. Esta es principalmente la razón de la naturaleza dinámica que necesita que un sistema de control continua y automáticamente vigile las variables que deben ser controladas La existencia de innumerables variables a controlar supone que el control manual no es suficiente, se requiere de un control automático del proceso. Hemos discutido también la diferencia entre un sistema automatizado y un sistema automático de control, el primero solo realiza de una manera autónoma y según una programación previa, unos pasos predefinidos. Puede ser implementada con lógica cableada, lógica digital, etc. Y pueden ser de diversos tipos: secue nciales, SA C , visión automatizada. Los principios de trabajo de un sistema automático de control puede ser resumido con las tres siguientes letras: M, D y A. M se refiere a la medición de las variables del proceso,
D
se
refiere a la decisión a ser tomada en base a la medición de las variables del proceso, finalmente A se refiere a la acción a ser tomada en base a la decisión. Un sencillo diagrama de las operaciones básicas que realiza un sistema de control se muestra a continuación en la fig. 1.9:
Fig.1.9 Operaciones básicas de un SAC
Cuando estas operaciones las realiza un mecanismo se llama
sistema automático de
control. Los componentes básicos de un sistema de control de un proceso fueron
también
presentados: sensor, transmisor, controlador y elemento final de control o actuador. Los tipos más comunes de señales neumática, eléctrica o electrónica y digital, fueron presentados junto con el propósito de los transductores. La presencia de los sensores o elementos de medición es imprescindible en automático de control,
un sistema
si no existe elemento de medición, no existe un sistema
automático de control. Finalmente, introducimos un último esquema un sistema automático de control, tal como se muestra en la siguiente Fig. 1 . 1 0
12
Fig. 1.2 Diagrama de un sistema de control de la temperatura del agua de un tanque. En el curso de SAC daremos especial énfasis al estudio del controlador, elemento encargado básicamente de realizar la función decidir, o en muchos casos comparar y decidir. Esperamos que Ud. se entusiasme para estudiar los sistemas automáticos de control. Estos son dinámicos, cambiantes y son un área de los procesos de ingeniería que vale la pena.
CAPÍTULO II D E S C R IP C IÓN M A T E M ÁT I C A D E U N S I S T E M A
Una de las tareas más importantes en el análisis y diseño de sistemas de control es la modelización de los sistemas. Antes de cualquier consideración de estrategias de control, el ingeniero de control debe haber realizado un estudio completo y detallado del proceso a controlar, debe haber obtenido el modelo matemático de dicho proceso. Esta modelización es a veces difícil y lenta, sobre todo para sistemas complejos, pero es la única que representará al proceso en la simulación de un sistema de control y en la verificación experimental. En general, dado un proceso a controlar, el set de variables que identifican las características dinámicas del proceso debe ser primero definido. Como ejemplo, consideremos un motor utilizado para propósitos de control. Nosotros podemos identificar el voltaje aplicado, la corriente en los arrollamientos de armadura, el torque desarrollado en el eje del motor, y el desplazamiento y la velocidad angular del rotor como las variables del sistema. Estas variables están interrelacionadas mediante leyes físicas establecidas, a partir de las c uales se obtendrá el modelo matemático requerido. El modelo matemático de un sistema es un emulador, descriptor o simulador del mismo. No interesa si el sistema está mal o bien, el modelo simplemente emula. El tener un descriptor de un sistema permite: emular el comportamiento de un sistema (simulación) con lo que se puede prever posibles accidentes, ahorrar en cuanto a tiempo y a economía en aquellos procesos muy lentos (termoquímicos, térmicos) ya que no se tiene que parar la planta, y diseñar un sistema de control sobre la base de este modelo. Pero, frente a un proceso existente y que se quiere controlar, ¿Cómo conseguimos su descriptor? ¿Cómo podemos obtener su modelo matemático? L a
modelización de procesos industriales usualmente empiezan con un balance sobre la
conservación de las cantidades de masa o energía. Este balance puede ser escrito como:
Cantidad de
Cantidad de
Cantidad de
Masa/ energía que entra
masa/ energía que sale
Masa/ energía que se
al proceso
del proceso
acumula en el proceso
Como nosotros podemos imaginar, con estos balances y todas las otras ecuaciones auxiliares, nosotros podemos analizar casi todas las áreas de la ingeniería, ya sea termodinámica, transferencia de calor, flujos de fluidos, transferencia de masa, etc. Esto hace la modelización de los procesos industriales más interesante y cambiante.
2.1
S IS T E M A
Daremos una definición abstracta de sistema a fin de encerrar en ella el gran número de sistemas particulares existentes, pero que poseen la característica común dada por ésta definición. Sistema es un contorno qué encierra varios entes, puede ser un proceso entero o sólo parte de éste. Sin embargo, todo sistema tiene señales de entrada y señales de salida, o bien, expresado de otra manera semejante, todo sistema posee entradas y salidas (Figura 2.1)
14
Figura 2.1 Diagrama de entradas y salidas de un sistema
Entradas (Inputs)
Son variables independientes de un sistema que influyen sobre éste. Ejemplos claros de entradas son los siguientes: la temperatura ambiente que influye sobre un proceso de calefacción, la señal que un motor controlado recibe de un actuador, la variable independiente x de la que es función la variable dependiente, etc. A las entr adas inde pend ient es qu e infl uye n so br e un sist em a automá t ic o de co nt ro l de ma ne ra no deseada se les llama disturbios o perturbaciones Como ya se explicó en el primer capítulo, estos disturbios no son deseadas debido a que desvían la variable controlada de su setpoint.
Salidas (Outputs)
Son las variables dependientes de un sistema, es decir, aquellas que se ven influidas por las entradas. En un sistema automático de control, las salidas son las respuestas de éste, es decir, las variables que se van a controlar. Podemos considerar como ejemplos de salidas de un sistema la velocidad de rotación de un motor de corriente continua, el ángulo de giro de una viga que pivota sobre uno de sus puntos, el nivel de agua en un tanque de almacenamiento, la variable dependiente y , etc.
S is t em a s S I S O y s is t em a s M I M O
En los sistemas automáticos de control complejos, existe un gran número de entradas (muchos disturbios, varios setpoint), asimismo, generalmente se desea controlar un buen número de variables de salida, es decir, puede existir más de una variable controlada. Según lo dicho en el párrafo anterior, los SAC se pueden clasificar de la siguiente manera:
Sistema SISO (Single Input -Single Output): Aque l sist em a que ti en e un a sola entr ada y una sola salida.
S is t em a M I M O ( M ú l t i p l e I n p u t - M úl t ip l e O u t p u t): Aquel sist em a qu e pose e má s de un a entrada y más de una salida
2. 2
F O R M A S D E MO DEL IZA R U N S I S T E M A
Existen dos grandes maneras de modelizar un sistema.
Mod elizac ión matem átic a Este tipo de modelización hace uso de las ecuaciones matemáticas que describen la dinámica de un sistema. Estas ecuaciones provienen de las leyes físicas que interrelacionan las variables de un sistema. Estos pueden ser sistemas mecánicos, térmicos, eléctricos, electromecánicos, etc. Para cada uno de ellos se puede aplicar el proceso de modelación matemática.
Veamos los siguientes ejemplos básicos:
Sistema masa-resorte:
Ecuación matemática: F = k x
F u er za e n u n r es o r t e (válida para la zona lineal de
deformación elástica).
Sistema fuente-condensado r
Ecuación matemática: V c = — ∫
Voltaje en un condensador.
Sistema no lineal
E c u a c i ó n m a t e m á t i c a :
Dependiendo de las condiciones de operación del sistema, con relación al modelo, el sistema de ecuaciones puede ser lineal o no lineal, variante en el tiempo o invariante en el tiempo. Las leyes físicas que gobiernan los principios de operación de los sistemas en la vida real pueden ser a menudo complejas, y la caracterización realística de estos sistemas puede a menudo requerir ecuaciones no lineales o variantes en el tiempo que son muy difíciles de resolver. Por razones prácticas, con el objeto de establecer una clase de herramientas aplicables para el análisis y diseño de sistemas de control, podemos hacer aproximaciones de estos sistemas físicos donde sea posible, de modo que puedan ser estudiados usando la teoría de los sistemas lineales. Existen dos razones que justifican la aproximación a sistemas lineales. Uno es que el sistema es básicamente lineal, o el sistema es operado en la región lineal de manera que las condiciones de linealidad son completamente satisfechas. El segundo es que el sistema es básicamente no lineal opera en una región no lineal, pero a fin de aplicar las herramientas de análisis y diseño lineales, podemos linealizar el sistema sobre un punto de operación nominal. Debe quedar claro que el análisis es aplicable sólo para el rango de las variables en el que la linealización es válida. Es importante anotar que la ingeniería de control moderna da especial énfasis sobre la modelización matemática de un sistema de modo que los problemas de análisis y diseño puedan ser adaptables para soluciones por computadora.
Mod elizaci ón em píric a Esta técnica de modelización no emplea las matemáticas como medio de obtención del modelo matemático de un sistema, emplea por el contrario, datos experimentales. Hay varias razones para
querer
obtener
un
modelo
de
un
sistema
dinámico
para
controlarse
con
datos experimentales. En primer lugar, el mejor de los modelos teóricos construido a partir, de ecuaciones de leyes físicas es sólo una aproximación de la realidad. Algunas veces, como en el caso de una nave espacial esencialmente rígida, el modelo teórico es muy bueno. Y algunas veces, como en el caso de varios procesos químicos como la fabricación de papel o trabajos con metal, la teoría es muy aproximada. En todo caso, antes de que esté hecho el control final, es importante y prudente verificar el modelo teórico con datos experimentales. En los casos en donde el modelo teórico es muy complicado o la ciencia del proceso se entiende pobremente, la única información confiable sobre la cual basar el diseño de control son los datos experimentales. El descriptor o modelo matemático se genera sobre la base del análisis de los datos experimentales de variables de entrada y de salida del proceso. Estos datos experimentales son de cuatro tipos: transitorios, como los que resultan de aplicar una señal tipo impulso o escalón al proceso; s i n u s o i d a l en estado estacionario de varias frecuencias; esto cásti co s en estado estacionario que podrían venir de una señal derivada de fluctuaciones aleatorias d e electrones (ruido térmico) o desde alguna otra fuente natural en el proceso mismo; y
ruido
pseudoaleatorio como el que puede generarse en un computador digital.
Figura 2.2 Descriptor empírico de un sistema
No interesa qué hay dentro del sistema, interesa saber cómo reaccionará el sistema frente a una determinada entrada, ya sea ésta exponencial, escalón, impulso, etc.
Existen varias técnicas empíricas de modelización, tales como las siguientes:
•
Identificación
Que almacena los datos obtenidos y nos da el modelo, el cual es estático, es decir, no cambia frente a variaciones del entorno o del sistema mismo.
•
Redes neuronales
Esta técnica permite obtener el modelo de una manera semejante a la anterior, pero con la diferencia de que ya no es estático, sino que se adapta a las variaciones que pueda sufrir el sistema. Es decir, la red neuronal aprende y puede mejorar el modelo. Se justifica la aplicación de esta técnica de modelización en aquellos sistemas que están expuestos a cambios en línea, como ocurre cuando el ambiente del sistema cambia; por ejemplo, un cambio de altura de un avión, una composición diferente de fibra a una máquina papelera, etc. Las nuevas condiciones exigen tener un modelo cambiante sobre la base de los datos
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experimentales. La red neuronal no da una descripción matemática del sistema, sino da las neuronas artificiales que emulan al sistema. La red neuronal, sin embargo, tiene la desventaja de requerir muchos experimentos.
2.3
E CU A C IO NE S D I F E R E N C I A L ES
Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
Gran cantidad de sistemas y fenómenos de ingeniería son más convenientemente formuladas en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones generalmente envuelven derivadas e integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente.
En general, la ecuación diferencial de u n sistema de orden enésimo se escribe como sigue:
……..(2.1)
Esta ecuación diferencial es también conocida como ecuación diferencial lineal ordinaria si los coeficientes a 0, a 1 ,….,
an no
son función de y(t), y tanto y(t) como sus deriivadas son todos de primer
orden. Veamos el siguiente ejemplo: Se desea saber cuál es la ecuación diferencial que en el circuito R-C mostrado en la Figura
2.3, relaciona la entrada U in con la salida U o u t .
Figura 2.3 Sistema eléctrico: Circuito R-C
Ap licamo s la ec uaci ón de mall a:
……. (2.2)
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No se deja en función de i pues éste es sólo un parámetro interno.
Propiedades de un sis tema lineal
Un sistema es lineal si es que cumple con las siguientes propiedades:
Proporcionalidad: Un sistema que frente a una entrada x1 responde con una salida y1, será lineal si es que se cumple que para una entrada ax1 le corresponde una salida ay1.a y B son constantes.
Superposición:
Un sistema que frente a una entrada x1 responde con una salida y1 y frente a una entrada x 2 responde con una salida y2, será lineal si es que se cumple que para una entrada
X1+X2
responde con una salida y1+y2
Resumiendo ambas propiedades podemos decir que un sistema es lineal si es que cumple con lo siguiente:
Que para una entrada ax1+ bx2 el sistema responde con una salida a y 1 + b y 2 .
Ecuaciones diferenciales no lin eales
Muchos sistemas físicos son no lineales y son descritos por ecuaciones diferenciales no lineales. Por ejemplo, la ecuación diferencial que describe el movimiento de un péndulo mostrado en la Figura 2.4 es
Figura 2.4 Un péndulo simple
