VIBRACIONES MECANICAS CONCEPTOS DE LA UNIDAD 1 “CINEMATICA DE LA VIBRACION.”
JOSUE DAVID FLORES DOROTEO NO DE CONTROL: 14CS0073 INGENIERIA MECANICA
CONCEPTO DE GRADOS DE LIBERTAD. El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de números reales que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura. En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2·GL. -
Grado de libertad (gdl ). Número de coordenadas independientes que describen el movimiento. Periodo (T ). Tiempo necesario para que el sistema realice un ciclo completo del movimiento. Frecuencia (f ). Número de ciclos desarrollados en la unidad de tiempo. Elongación ( x ). Desplazamiento del sistema respecto de la posición de equilibrio inicial. Amplitud ( xm). Desplazamiento máximo del sistema respecto de la posición de equilibrio inicial.
Grados de libertad en mecanismos planos
Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar só lo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach: Donde: m,, movilidad.
, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc...) de un mecanismo. , número de uniones de 1 grado de libertad. , número de uniones de 2 grados de libertad.
MOVIMIENTO ARMÓNICO Y SU REPRESENTACIÓN. Cinemática del m.a.s. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila alrededor de la posición de
equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Una partícula tiene un MAS si su desplazamiento x respecto el origen es,
x A cos t 0
Como el coseno varía entre +1 y –1, x toma valores entre A y -A
A t 0 0
P 2
1 P
2 P 2
Amplitud (máximo desplazamiento) Ángulo de fase o fase Fase inicial (fase cuando t =0) Periodo (intervalo de tiempo para el ue el valor de x se re ite Frecuencia (se mide en hertz ) Frecuencia angular
La velocidad v de una partícula que tiene un MA S es, v
dx dt
Asen t 0
Varía periódicamente entre los valores
Ay- A
La aceleración a de una partícula que tiene un MA S es, a
dv dt
2
2
Acos t 0 x
Varía periódicamente entre los valores
2A
y-
2A.
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Representación del desplazamiento en función del tiempo
La ecuación viene siendo
2
F
kx
ma
2
md x
dt
2
md x
dt
2
2
kx
d x
kx
dt
m
2
kx
m
d x
dt
2
0
y la solución viene siendo
x(t )
A
k m 2
cos( t ) Donde
N kgm m s k m kg kgm
2
1 hertz s 2
USO DE FASORES PARA LA SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MOVIMIENTO ARMÓNICO . El desplazamiento de una partícula que se mueve con un MAS se puede considerar como la c omponente X de un vector de longitud OP’= A; este vector rota en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de O con velocidad angular y en cada instante forma un ángulo (t+ ) con el eje X .
x OP A cos t 0
v Asen t A cos t 0 2 2
2
a A cos t A cos t 0
Una sinusoide u onda seno está definida como una función de la forma (la razón de utilizar una onda coseno en lugar de un seno será entendida posteriormente) y = Acos(ωt + φ) ó x = Asen(ωt + φ) x = Ae(iwt) = A1i Sen( ωt + φ )+ A2 cos( ωt + φ )
Donde y es la cantidad que varía con el tiempo φ es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la
función. ω es la frecuencia angular dada por ω = 2πf donde f es la frecuencia. t es el tiempo.
Esto puede ser expresado como
Donde
i es la unidad imaginaria
. da la parte real del número complejo "z".
De forma equivalente, según la fórmula de Euler, Sen
i x r
r i
Sen
Cos
r
r
Cos
Y, la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:
de forma que
Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:
Transformada fasorial
La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma compleja a forma trigonométrica:
Donde la notación se lee como "transformada fasorial de X" La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia. Transformada fasorial inversa
La transformada fasorial inversa del tiempo.
permite volver del dominio fasorial al dominio
A ri tmética fasoria
Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar Aei φ simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana (rectangular) a + ib simplifica las sumas y restas. S uma x1 x2
A e
( iw1t )
A e
( iw2t )
si w1 = w2
x1 x2 A1 e x1 x2 ( A1
( iw1t )
A2
A2
e
( iw2t )
) e (iwt )
En la Resta se recambia el signo más por el menos Multiplic ación x1 x2 ( A 1 A 2)e
Di vis ión i ( w1
w2
)t
x1
x2
A 1
(
A 2
)ei
( w1
w2 ) t
SERIE DE FOURIER APLICADA AL MOVIMIENTO ARMÓNICO . En relación con la descripción del movimiento armónico compuesto, el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda oscilación de período T puede considerars e un movimiento armónico compuesto formado por una serie finita o infinita de sumandos de movimientos armónicos simples, cuyas frecuencias sucesivas son:
En esta descripción, los primeros términos de la serie, con frecuencias más bajas, son mucho más intensos que los de frecuencias altas y tienen mayor importancia en la descripción real del movimiento oscilatorio.
Ilustración gráfica de las series de Fourier para oscilaciones periódicas. Como puede verse, el movimiento real de la segunda gráfica puede reproducirse con bastante exactitud mediante una suma de un número limitado de armónicos simples.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. Las series de Fourier tienen la forma:
Donde función
y
se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
Tal serie es muy útil en el análisis de las vibraciones, para el tratamiento de las funciones periódicas que no son armónicas; es decir, no pueden ser descritas por una función senoidal única. Cuando la serie de Fourier se aplica a resolver problemas de vibración, el parámetro x se sustituye por un parámetro del tiempo que puede expresarse sin dimensiones como wt donde w es la frecuencia asociada con el periodo fundamental. T
T
T
1 n n a 0 f (t ) dt , an f (t ) cos t dt , bn f (t ) sin t dt T T T T T T T T 1
1
DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN LA MAQUINARIA ROTATORIA A PARTIR DEL REGISTRO DE LA VIBRACIÓN . El análisis de vibraciones se emplea para determinar la condición del equipo rotatorio, identificando los problemas en su etapa incipiente antes de que causen fallas graves y par os no programados. Estos problemas pueden ser: rodamientos deteriorados o defectuosos, soltura mecánica, desalineamiento, desbalance, problemas eléctricos en el equipo motriz, etc. Se conoce por Programa de Mantenimiento Predictivo aquel que contempla de modo eficaz de 3 etapas imprescindibles 1. Detección Constituye el primer paso dentro del PMP y se basa en el seguimiento de uno o varios parámetros seleccionados adecuadamente, de acuerdo a su sensibilidad ante los cambios en la condición de la maquina analizada. 2. Identificación Una vez el problema ha sido detectado, es proceder a la determinación de la causa de este es decir, identificar que elemento o elementos de la maquina es el o los causantes del incremento en los niveles de vibraciones, con respecto a las referencias que se reflejaban en una condición mecánica normal de la maquinaria. 3. Corrección Por supuesto, conocer la causa del problema y por consiguiente la ubicación de este, permite organizar y ejecutar de modo eficiente y eficaz los trabajos de eliminación del problema y de su propia causa
Formas de observación de las vibraciones Incluso en una maquina bien diseñada, solo es posible reducir, mas que eliminar, las fuerzas dinámicas causantes del choque y de la vibración. Entonces, aun las fuerzas de excitación relativamente pequeñas pueden producir respuestas inconvenientemente extensas en caso de existir resonancia, o una aproximación a ella, en un sistema con ligera amortiguación. Se dispone de ciertas técnicas para controlar la respuesta: 1) el control conveniente de las frecuencias naturales para prevenir la resonancia con la excitación. 2) la aplicación de amortiguamiento o de medios disipadores de energía para prevenir la respuesta excesiva, incluso en la resonancia. 3) el empleo de aisladores para reducir la transmisión de las fuerzas de excitación de una a otra parte de la máquina. 4) la añadidura de un neutralizador de masa auxiliar para reducir la respuesta. Una maquina o elemento de maquina puede experimentar una vibración excesiva si sobre ella actúa una fuerza vibratoria cuya frecuencia de vibración casi coincida con una frecuencia natural de la maquina o del elemento de máquina. En algunos casos, la vibración puede reducirse cambiando la frecuencia natural o la frecuencia de operación, para eliminar la condición de resonancia, o bien añadiendo amortiguación al elemento para disminuir su respuesta a la resonancia. En otros casos, la vibración no puede reducirse por tales medios, pero si la aplicación de un neutralizador de vibraciones que consiste en una masa auxiliar acoplada al sistema vibratorio, generalmente por medio de resortes y amortiguadores. En el análisis de los neutralizadores de masa auxiliar, es conveniente representar al elemento de maquina cuya vibración se va a reducir, como un sistema de un grado de libertad.
BIBLIOGRAFIA Vibraciones Mecánicas, 5ta Edicion, Singiresu S. Rao