1
Arichavala Mauricio 1, Caisaguano Stalin (, *e9n Pa+lo ), Pi-a .aniel , 0enem&agua *uis /, 3aldez *uis 2
.ise-o construcci9n construcci9n de un ro+ot ro+ot +alancín! +alancín!
I!
Resumen — En el presente documento se encuentra el desa desarr rrol ollo lo del del proy proyec ecto to de teor teoría ía de cont contro roll (Dis (Diseñ eño o y construcción de un robot balancín) en el cual desarrollaremos todas nuestras capacidades de diseñar, crear y programar.
El proyecto consiste en la fabricación de un robot de dos ruedas que consiga mantener el equilibrio por sí mismo con ayuda de un acelerómetro y un giroscopio, además de un filtrado digital de la señal y un control !D y que pueda ser controlado controlado mediante mediante arduino. ara el desarrollo de este proyecto se debe tener conceptos básicos de teoría teoría de control y de programación, tambi"n tambi"n requiere de ciertos materiales que deben ser asequibles en el medio para la construcción del robot balancín.
Palabras claves —
#obot balancín, $rduino, $rduino, p"ndulo in%ertido.
I4056.UCCI74
8o en día el avance tecnol9gico crece a &asos agigantados &or lo :ue im&ulsa a estudiantes como nosotros a desarrollar nuevos &roectos +asados en la investigaci9n la destreza, lo cual es la clave &rinci&al &ara un me;or a&rendiza;e! l &roecto desarrollado en este documento es de gran auda, &or:ue englo+a casi toda la materia de teoría de control, tam+ién tam+ién tiene mucha relaci9n relaci9n con otros &roectos &roectos como el &rinci&io +ásico +ásico de un &éndulo invertido! invertido! s un &roecto no mu sencillo en el cual desarrollaremos todas nuestras ca&acidades ca&acidades de dise-ar, dise-ar, crear &rogramar &rogramar,, además dis&onemos de los com&onentes necesarios &ara la construcci9n del ro+ot +alancín! II! P5I4CIPI6 . 4
Abstract — !n t&is document is t&e de%elopment of t&e control t&eory pro'ect (Design and construction of a rocing robot) in &ic& e ill de%elop all our capacities to design, create and program.
*&e pro'ect consists of t&e manufacture of a to+&eel robot t&at can can main mainta tain in t&e t&e bala balanc ncee by itse itself lf it& it& t&e t&e aid aid of an accelerometer and a gyroscope, in addition to digital filtering of t&e signal and a !D control and t&at can be controlled by means of arduino.
=ásicamente el &rinci&io de ?uncionamiento del ro+ot +alancín es luchar &or mantenerse en vertical evitando caerse &ara lo cual se utiliza un sensor de variaci9n del ángulo de giro, cuando el sensor detecta una variaci9n en el ángulo ideal, la cual es el ángulo e@acto &ara :ue el ro+ot se mantenga en vertic vertical, al, los motore motoress reacci reacciona onann movién moviéndos dosee hacia hacia esa direcci9n evitando la caída "el &rinci&io +ásico de un &éndulo inver invertid tido', o', &ara &ara lograr lograrlo lo se im&lem im&lement entará ará un con contro troll PI. "Pro&orcional Integral .erivativo' :ue determinara la salida PM de los motores!
or t&e de%elopment of t&is pro'ect s&ould &a%e basic concepts of control t&eory and programming, also requires certain materials t&at must be affordable in t&e medium for t&e construction of t&e rocer robot.
Index Terms Terms —
-alancing #obot, $rduino, in%ert pendulum.
1 Arichavala Mauricio, estudiante de Ingeniería Mecánica Automotriz, Univ Univer ersi sida dadd Poli Polité técn cnic icaa Sale Salesi sian ana, a, Cuen Cuenca, ca, cua cuado dor! r! "e#m "e#mai ail$ l$ aarichavala%est!u&s!edu!ec''( Caisaguano aarichavala%est!u&s!edu!ec Caisaguano Stalin, estudiante estudiante de Ingenierí Ingenieríaa Mecánica Automotriz, Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, cuador! "e#mail$ scaisaguano%est!u&s!edu!ec scaisaguano%est!u&s!edu!ec'' ) *eon Pa+lo, estudiante de Ingeniería Mecánica Automotriz, Automotriz, Universidad Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, cuador! "e#mail$ &leon+%est!u&s! "e#mail$ &leon+%est!u&s!edu!ec edu!ec'' Pi-a .aniel, estudiante de Ingeniería Mecánica Automotriz, Automotriz, Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, cuador! "e#mail$ c&inaoa%est!u&s!edu!ec c&inaoa%est!u&s!edu!ec'' / 0enem& 0enem&aguat aguat *uis, *uis, estudiante estudiante de Ingeniería Ingeniería Mecánica Mecánica Automot Automotriz, riz, Univ Univer ersi sida dadd Poli Polité técn cnic icaa Sale Salesi sian ana, a, Cuen Cuenca, ca, cua cuado dor! r! "e#m "e#mai ail$ l$ ttemem&agua%est!u&s!edu!ec'' ttemem&agua%est!u&s!edu!ec 2 3aldez 3aldez *uis, estudiante de Ingeniería Mecánica Automotriz, Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca, cuador! "e#mail$ lvaldez&%est!u&s!edu!ec lvaldez&%est!u&s!edu!ec''
igura . sta+ilidad del sistema! uente: B1
( A. Esquema funcional del robot balancín.
*as consideraciones :ue se de+e tener &revio al dise-o construcci9n del ro+ot +alancín son los siguientes! *a estructura no de+e ser demasiado alto lo me;or es :ue el diámetro de sus ruedas sea 1F) de la altura del ro+ot! *as +aterías de+en :uedar en la &arte de a+a;o! l material a usarse de+e ser lo más ligero resistente &osi+le! 0oda la estructura de+e ser simétrica, es decir los &esos de+en estar mu +ien re&artidas &ara :ue no a?ecte en el centro de gravedad del ro+ot! •
• •
•
igura /. .iagrama de +lo:ues del sistema de control del ro+ot +alancín! uente0 Autor!
Como se a&recia en la
C. Modelado del robot balancín en software CAD.
B. Componentes y consideraciones necesarios para la construcción del robot balancín.
igura 4. Modelado del ro+ot +alancín en so?tare CA.! uente0
Autor!
igura 3. Com&onentes necesarios &ara la construcci9n del ro+ot +alancín! uente0 B(!
*a mecánica de un ro+ot de este ti&o no es mu com&licada re:uiere de los siguientes com&onentes ?ísicos$ 1 chasis, "de cual:uier material ligero' ( motores dc con reducci9n "1$/D o a&ro@imado' 1 micro controlador"Un Arduino MEA' 1 Eirosco&ioFaceler9metro "usaremos el MPU2D/D', 1 controlador de motores"*(GHn', ( =aterías • • • • • •
III! .ISJ6 . SIS0MA . C64056* .* 56=60 =A*A4C>4 ! Para dise-ar un control adecuado se re:uiere contar con un modelo matemático &reciso del mismo, esto con el ?in de descri+ir la dinámica del sistema! n esta secci9n se analizará el modelo en es&acio de estados donde se introducirá la dinámica tanto del cuer&o del ro+ot como de las ruedas los motores de .C! A continuaci9n, se muestra el diagrama de un motor de .C! Con una carga a&licada, en este caso es el tor:ue necesario &ara mantener el &éndulo en e:uili+rio! Con la ?inalidad de relacionar el volta;e de entrada &ara controlar el &éndulo!
) Sustituendo en "2' "L' &m ω
igura 50 .iagrama es:uemático de un motor de .C! uente0 B)!
.e acuerdo con la le de Kirchho?? de volta;e se tiene :ue$ Va
= L ×di +a ×i +em dt
=
"m ×Va # m ×a
−
"m × "e ω× m # m ×a
−
τ a
# m
BH
*a ecuaci9n "H' descri+e la dinámica com&leta del motor! Ahora se &rocede a o+tener el modelo dinámico de las ruedas en la ?igura "2' se &resenta un diagrama de cuer&o li+re de las ruedas! Ca+e mencionar :ue de+ido a la simetría del ro+ot se hace la su&osici9n :ue las ?uerzas :ue actan so+re am+as ruedas son las mismas!
B1
.onde V a ! i! L! a son el volta;e a&licado, la corriente en armadura, la inductancia la resistencia, res&ectivamente! *a ?uerza contraelectromotriz está de?inida &or$ em
= " e ×ω m
B( ω
m es la .onde " e es la constante contraelectromotriz velocidad angular del motor! Si se des&recia la inductancia$
i=
Va − em
igura 60 .iagrama de cuer&o li+re de una de las ruedas!
a
Por otra &arte, tenemos :ue$
A&licando la segunda le de 4eton so+re las ruedas se tiene$
τ m
= "m ×i
B
" τ .onde m es el &ar a&licado &or el motor, m es la constante de tor:ue! Si se a&lica la segunda le de 4eton so+re el e;e del motor, des&reciando la ?ricci9n,
∑ M = .onde
− ta = # m ×ω &m
τm
es el &ar de ?uerza :ue será el :ue ha+rá de vencer # &ara mantener el &éndulo en e:uili+rio, m es el momento de inercia del e;e del motor! Sustituendo las ecuaciones "(' "' en ")' "/'!
i=
Va − " e ×ω m
=
a "m ×i # m
M ×& $&= f
& # ×θ&
BG
=τ m − f ×r
B1D
&, τ # , θ& .onde m f son el momento de inercia de la rueda, la aceleraci9n angular de la rueda, el &ar del motor la reacci9n de ?ricci9n, res&ectivamente, N r O es el radio de la rueda! 5ecordando las ecuaciones del modelo del motor sustituéndolas en "1(' resulta$
B2
& # ×θ&
−τ a BL
−$
M , & $& , f $ .onde son la masa de la rueda, la aceleraci9n lineal, la reacci9n de ?ricci9n contra el suelo la reacci9n de la rueda so+re el &éndulo, res&ectivamente, ahora se analizan las ?uerzas de rotaci9n$
B/
t a
&m ω
uente0 B)!
B)
.onde
θ
"
=− m
×"e
a
" V ×a
×θ & + m
a
− f
es el ángulo de la rueda! .es&e;ando
r f
B11 de "11'!
f
=−
"m ×"e a ×r
×a "m V
×θ & +
a × r
& & # ×θ
−
r
B1(
Sustituendo "1(' en "G',
" ×" & θ M ×& $&= − m e × a ×r
×a "m V
+
a × r
& & # ×θ
−
r
−$ B1)
Para e@&resar el des&lazamiento angular lineal se utiliza la ecuaci9n$
θ
=
& θ
$ r
=
B1
$
r & & & = $ θ r
B1/
igura 70 .iagrama de cuer&o li+re del
&éndulo!
uente0 B)!
Usando de nuevo la segunda *e de 4eton se o+tiene la ecuaci9n de las ?uerzas en " ' &ara el &éndulo
∑ %
B12
$
= M p ×$
B(D
Sustituendo "1/' "12' en "1)' se o+tiene$
" ×" " V × M ×& $&= − m (e ×$& + m a a ×r a × r
.onde es la masa del &éndulo $ es la aceleraci9n lineal del &éndulo en su centro de gravedad so+re el e;e !
# ×& $& − ( −$ r
B1L
M p ×& $&=( ×$
5eagru&ando términos se tiene$
×a "m ×"e "m V M + # ×& r (÷ $& = − ×r ( ×$& + ×r −$ a a
.es&e;ando B1H
Su&oniendo :ue se trata de dos ruedas iguales :ue am+as reci+en la misma carga, además de :ue los actuadores son de las mismas características, se multi&lica "1H' &or un ?actor de dos$ × # " ×" " V $& = (− ×m e( $&× (+ m× a ( −$ ( × M + (÷ ×& r a ×r a ×r B1G *a ecuaci9n "1G' descri+e la dinámica del motor! Ahora se usará un diagrama de cuer&o li+re del &éndulo de la ?igura "L' &ara descri+ir su dinámica!
( × $
−M p l×θ&&×p cos" × θp '
( × $
M+p l θ& ×p ( ×sen"×θ p '
B(1
de "(1'
& =M p ×& ×p cos" × θp' $& −M p l×θ&
×p ( ×sen"θ×p ' M+p l θ&
B((
Ahora se calculan las ?uerzas en el e;e !
∑ %
y
cos"θ p ' = M p ×& $&×
M p ×& $&× cos"θ p '
=( ×$ cos" × θp' & − M p × & ×sen"θ p ' −M p l ×θ & ×p
B()
× (+ 5 × y sen"θ p ' B(
*a suma de los momentos alrededor del centro de masa es$
∑ M
o
= l p ×θ &&p
−( × $ ×l cos" × θ p ' (− ×y l sen × ×"θ p '
B(/
( τ−m
×l p θ& =&p
B(2
Si se sustitue ")' en "' se tiene :ue$
τm
=−
"m ×"e a
'm V ×a
×ω m +
a
B(L
/ Sustituendo
τ m
& &= φ
de "(L' en "(2' se o+tiene$
& l p ×θ& p
= −( ×$ l×cos" × θp' " ×" " +( × m e $×& −( ×m V a× a ×r a
Multi&licando "(' &or
(−y× l sen × "×θ p '
M p ×l # p + M p ×l a ×" # p
B(H (
$&&=
l se tiene$
a ×r "×# p
+M p ×l ( '
M p ×& × l #p
+M p l ×(
B(G
− M p × × cos" × θ p ' l=p ×p " m
+( ×
a
(−
×Va +M p &× l ×sen×"θ p '
"m ×" e
×
a ×r
B)(
(
Sustituendo "(G' en "(H' & & θ
×φ
(
(
& $&l
$×
# × ( M× (+ × M +p ÷ r M p ×l " e ( ×" m × − × $& + ×& φ # # a ×r × ( M× (+ × M+p÷ M ÷p+ ( M× (+ × r r
− y ×l sen×"θ ×p ' ( 5
+ M p × & ×l sen × "θ p ' M − p l (× θ &&p×
+
M + p l (×'
×"m V ×a
a ×r
− M p ×& × θ p ' =(− ×$ l ×cos"×θ p ' $&× l cos"
"m ×" e
× $&&+( ×
' m ×V a
−( ×
−
(
(
B))
( & θ & p M−p l ×
(&= A ×(
B)D
Si se sustitue "(1' en "1G', :ueda$
.onde
+B ) ×
C UP3a ( = B@ @&φ φ &
β = ( × M
" ×" " × V # ( × M + (÷ ×& $& = (− ×m e( $&× (+ m× a M−p & $ r a ×r a ×r − M p ×l θ×&&p cos" × θp' M + p l ×θ&p×( sen×"θ p '
α B)1
*as ecuaciones ")D' ")1' descri+en la dinámica com&leta del sistema carro &éndulo! Como se &uede o+servar estas ecuaciones son no lineales, &ara este tra+a;o se linealizarán las ecuaciones alrededor de un &unto de o&eraci9n, el cual es el &unto de e:uili+rio del &éndulo, esto con el ?in de utilizar un control lineal :ue cum&lirá con &osicionar el &éndulo en con?iguraci9n vertical hacia arri+a!
θ = π − φ Se asume :ue p , donde φ es un ángulo mu &e:ue-o! Por lo tanto, se tiene :ue$ (
d θ & p ÷ =D cos"θ p ' ≈ −1 sen"θ p ' ≈ −φ dt ÷ *as ecuaciones linealizadas resultan de escri+ir ")D' ")1' en ?orma de es&acio de estados,
#
+( × ( +M p r
= # p ×β +( ×M p l ×( M ×
#
+÷
r (
1 D $& ( ×"m ×"e "M p l×r × # p− M−p l ( '× $&& D a ×r ( × α = φ& D D && − p l '× ( ×"m ×"e " β r× M φ D ( a ×r × α D ( × ×" + ×( − × '× "m # p M p l M p l r a ×r × α + V a D ( ×" ×"M l× r− β × ' m p a ×r × α
D
D
M p & l× × $ D $& α (
(
& ×l β × × φ & D α D
Mp
Masa de la rueda " M '$ D!D BQg 5adio de la rueda "r '$ ))@1D#) Bm #/ Inercia de la rueda " # *+ r 1!L( @1D BQg!m #2 Inercia del &éndulo " # p *+ H!HL@1D Bm *ongitud del &éndulo "l '$ D!11/ Bm Masa del &éndulo " M p *+D!2 BQg Constante de tor:ue "" m'$ HDD Bg?!cmD!DLH B4!m
1 φ
2 5esistencia " a'$ !/ ohmios Constante contraelectromotriz " " e'$ D!(2/11) B3sFrad Eravedad$ G!H1 BmFs ( 5em&lazando los valores se o+tiene la dinámica del sistema en ?orma de es&acio de estados mediante la ?9rmula$ $&"t ' = A ×$"t '
+B ×u "t ' y "t ' = C ×$"t ' +D × u "t '
$& $&& = φ& φ&&
D
1
D
−/)!L1
D
D
D
−,(D!,,
D D ,D D 1 ,)(!,, D D
$ $& + φ φ &
D 2!2H2, D /(!))
igura 80 5es&uesta del sistema a&licando los &arámetros PI.! uente0 Autor!
V a
Como se &uede o+servar en la ?igura "G' las constantes K&, Ki Kd de manera digital son e@cesivamente grandes &or lo tanto se hizo un PI. anal9gico &ara variar las ganancias!
Para hallar la ?unci9n de trans?erencia del sistema ro+ot +alancín mediante el so?tare matemático MA0*A= es necesario la matriz A "matriz de estado', = "matriz de entrada', C "matriz de salida' . "matriz de trasmisi9n directa'!
1 D D −/)!L1 A = D D D −,(D!,,
D ,D D ,)(!,,
D
D
1 D
D 2!2H2 B = D /(!))
igura 90 Parámetros de control PI.! uente0 Autor!
Además, se determin9 el lugar geométrico de raíces del sistema en lazo a+ierto utilizado el comando rlocus en MA0*A=!
C = [ D D 1 D ] D = [ D ] 6+teniendo la siguiente ?unci9n de trans?erencia del sistema$ ," s'
= ht? =
/(!)) s, R (H1D s) # ((22D s( # ))/1DD1s R )L/, s2 R 1DL!, s/ R (D(D s, # /G(LDs) # /D1,DDs( R /!/,)@1D2 s R ,!1DL@1DL
#V. -#M)LAC#/ DEL -#-0EMA DE C1/01L DEL 1B10 BALA/C2/ . *a ?unci9n de trans?erencia es esencial &ara determinar algunos &arámetros como &or e;em&lo los valores del controlador PI.! Para determinar los valores del controlador PI. se utiliza el comando pidtool34tf* en Matla+!
igura :0 *ugar geométrico de raíces del a+ierto! uente0 Autor!
sistema en lazo
3! A4*ISIS . *6S 5SU*0A.6S 6=04I.6S!
L l centro de gravedad de la estructura del ro+ot +alancín es im&rescindi+le en este &roecto, a :ue de eso de&ende la correcta esta+ilidad del ro+ot con;untamente con el sistema de control! *os materiales de construcci9n del ro+ot +alancín de+en ser +revemente ligeros &ara :ue el sistema de control &ueda controlar con ?acilidad! s im&ortante contar con modelo matemático &reciso &ara &oder dise-ar el sistema de control, a :ue nos auda a descri+ir de me;or manera la dinámica del sistema! Para el dise-o del sistema de control es im&ortante tener claro el &rinci&io de ?uncionamiento del &éndulo invertido a :ue este &roecto se +asa en la ?uncionalidad de este sistema!
3I! C64C*USI64S
3II!5<54CIAS *inQs B1
htt&$FFel@edelectronics!+logs&ot!comF(D12FD(Fro+ot# +alancin#tutorial!html B( htt&$FF!+digital!unal!edu!coF(21F1F(HD12/!(DDG!&d ? B)
Para el desarrollo de este &roecto es im&ortante tener conocimientos +ásicos en cuanto al dise-o construcci9n &rogramaci9n de sistema de control del ro+ot +alancín! Para el dise-o del ro+ot +alancín es im&ortante tomar en cuenta las consideraciones de construcci9n como el material del chasis, las dimensiones so+re todo el centro de gravedad de la estructura de+e estar +ien re&artida! s im&ortante contar con +uenos com&onentes &ara el sistema de control como &or e;em&lo un arduino en
+uen estado, elementos electr9nicos válidos, +aterías con la carga su?iciente, etc! .e esta manera el &rocesamiento del sistema de control será más e?icaz! n este &roecto es im&ortante desarrollar los cálculos correctos &ara &oder o+tener un modelo matemático :ue sea 9&timo &ara el sistema de control!
htt&s$FFes!scri+d!comFdocumentF)((/1DGG)FModelo# 5o+ot#=alancin
Libros B1 TSistemas de Control ModernoT de 5ichard C! .or? 5o+ert 8! =isho&, .écima dici9n B( Sistema de Control Automático =en;amin C! Kuo Lma dici9n!
