UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
1
Practica Pr´ a´ ctica de Laboratorio N. 6 Circuitos transitorios de segundo orden. V´ıctor ıctor Israel Zhigue Tene.
[email protected] Universidad de Cuenca, Estudiante de Ingenier´ Ingenier´ıa ıa El´ Electrica e´ ctrica Laboratorio de Circuitos El´ectricos ectricos
Resumen—En el desarr desarroll ollo o de la prese presente nte practi practica ca se llevara a cabo la comprobaci on o´ n matematica a´ tica y experimental referent referentee a los circuito circuitoss transitori transitorios os de segundo segundo orden, orden, que previamente se la reviso en clases. Para el respectivo an´ analis a´ lisis is se usar usara a dos dos circ circui uito toss de prue prueba ba,, el prim primer ero o denominado: Circuito RLC en serie y el segundo : Circuito RLC general. general. Analizando Analizando especialment especialmentee los factores factores de ´ carga y descarga que act uan sobre sobre el circuit circuito o modelado modelado mediante mediante ecuaciones ecuaciones diferencial diferenciales es de segundo segundo orden orden que reflejan reflejan con total total exactitud exactitud su comportam comportamient iento o el ectrico. e´ ctrico. Realizando diversos ensayos de comportamiento bajo ciertas condiciones condiciones iniciales iniciales que se especificar especificaran an seg´un un cada caso. Palabras Palabras Claves: Claves: Transitori ransitorio, o, Estable, Estable, Capacitan Capacitancia, cia, Inductores, Conmutadores
I.
II-A.
Marco Marco Teorico ´
Circuitos Transitorios de Segundo Orden: El circuito transitorio de segundo orden se define como: Aquel que consta de uno o varios resistores y el equivalente valente dos elemento elementoss de almacenam almacenamient iento o de energ energ´ıa, ıa, circuito el cual puede ser modelado mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden [1]. Uno de los factores mas importantes para su an alisis a´ lisis es determinar las condiciones iniciales y finales de las variables inmersas en el circuito variables como: Voltaje en Capacitor, Corriente en Inductor, antes y despu es e´ s del evento de conmutaci on, o´ n, los circuitos RLC se representan de las siguiente formas: Circuito RLC en serie: Figura 1
´ I NTRODUCCION
En el estudio de circuitos el ectricos, e´ ctricos, resaltan de vital importancia los circuitos transitorios de segundo orden que se presen presentan tan como: como: Circui Circuito to RLC serie, serie, Circui Circuito to RLC parale paralelo lo y Circui Circuito to RLC genera general, l, los cuales cuales por sus principales caracter´ısticas ısticas poseen: Resistencia, Inductancia ductancia y Capacitan Capacitancia cia en combinaci combinaciones ones,, seg´ segun u´ n los requerimientos del circuito se presenten. Para este tipo de circui circuito toss hacemo hacemoss uso compl completo eto de las ecuaci ecuacione oness diferenciales de segundo orden con sus respectivas soluciones luciones.. Las cuales mediante mediante an alisis a´ lisis determina determinaran ran el comportamiento que siguen cada uno de los elementos que conforme conformen n en diagrama diagrama circuital. circuital. Dependie Dependiendo ndo de las condiciones iniciales que se otorgue para cada caso. Para finalmente obtener los oscilogramas de comportamiento miento en cargas cargas y descar descargas gas para para cada cada elemen elemento to que compone el circuito RLC. II.
II-B.
Figura Figura 1. Circuit Circuito o RLC en serie
Circuitos RLC en paralelo: Figura 2
C ONTENIDOS
Objetivos
Resolver Resolver circuitos circuitos el´ electr e´ ctric icos os RLC RLC en su regimen e´ gimen transitorio y permanente. Aplicar conocimientos de an´alisis alisis matem´atico atico para resolver las ecuaciones diferenciales caracter´ caracter´ısticas ısticas de estas redes y verificar los resultados experimentalmente.
Figura Figura 2. Circuit Circuito o RLC en paralel paralelo o
Circuito RLC general: Figura 3
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
2
s2 = −
R 2L
−
R 2L
2
−
1
(6)
LC
Que de una manera mas compacta se representa:
Figura 3. Circuito RLC general
Circuito RLC en serie sin fuente El circuito RLC se encuentra excitado por la energ´ıa previamente almacenada en el capacitor y el inductor, esta energia esta representada por la tensi o´ n inicial del capacitor V 0 y la corriente inicial del inductor I 0 por lo que en t = 0 tenemos: v (0) =
1 C
0
idt = V 0
s1 =
−α
+
s2 =
−α −
α2 − ω02
(7)
α2 − ω02
(8)
Dependiendo del tipo de soluciones que se obtenga y sus caracter´ısticas se determinan 3 casos que son: sobreamortiguado, cr´ıticamente amortiguado y subamortiguado la caracter´ıstica que determina a cada una de ellas es: Si α > ω0 , se obtiene el caso sobreamortiguado. Si α = ω 0 , se obtiene el caso cr´ıticamente amortiguado. Si α < ω0 , se obtiene el caso subamortiguado. Circuito RLC en paralelo sin fuentes
(1)
−∞
Figura 5. Circuito RLC en paralelo sin fuente Figura 4. Circuito RLC en serie sin fuente
Al aplicar LTK en la figura 4 obtenemos la ecuaci´on diferencial que lo describe:
1 di Ri + L + dt C
t
idt = 0
(2)
i(0) = I 0 =
−∞
Con la finalidad de eliminar la integral se procede a derivar con respecto a t, reordenando t´erminos obtenemos: 2
d i R di i + + =0 (3) 2 dt L dt LC Mediante procesos matem´aticos se obtiene la soluci o´ n para la ecuacio´ n diferencial 3 que describe el comportamiento de este tipo de circuitos. i = Ae st
(4)
En la cual A y s son constantes por determinar, la resoluci´on de la ecuacio´ n caracter´ıstica de la ecuacio´ n 3 nos da las soluciones que se resumen en: R s1 = − + 2L
Suponga para este caso que tenemos la corriente inicial del inductor I 0 y la tensi o´ n inicial del capacitor V 0 descritas por las siguiente ecuaciones:
R 2L
2
−
1 LC
(5)
1 L
0
v (t)dt
(9)
∞
v (0) = V 0
(10)
Al aplicar LTK al nodo superior de la figura 5 obtenemos la ecuaci´on diferencial que lo describe:
1 v + R L
t
−∞
dv vdt + C =0 dt
(11)
Para eliminar la integral derivamos respecto a t y dividimos para C obtenemos: d2 v 1 dv 1 v = 0 + + (12) 2 dt RC dt LC Las soluciones o ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica se representan como: s1,2 =
−
1 2RC
±
1
2RC
2
−
1 LC
(13)
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
De manera mas compacta se representa: s1,2 =
−α ±
α2 − ω02
(14)
Dependiendo del tipo de soluciones que se obtenga se determinan la clase de soluci o´ n que para este caso tenemos las condiciones: Si α > ω0 , se obtiene el caso sobreamortiguado. Si α = ω 0, se obtiene el caso cr´ıticamente amortiguado. Si α < ω0 , se obtiene el caso subamortiguado. Gr´aficamente los tres grados de amortiguamiento se los representa como:
3
Por observacio´ n se sabe que la presencia de la fuente cd no afecta al circuito RLC, la soluci o´ n de la ecuaci´on 15 posee dos componentes: respuesta transitoria v t (t) y una de estado estable v ss (t) por lo que la soluci o´ n completa esta dada por: v (t) = v t (t) + vss (t) Soluci´on que para los diferentes tipos de amortiguamiento se presenta como: Sobreamortiguado: v (t) = V s + A1 es t + A2es 1
2
t
Cr´ıticamente amortiguado: v (t) = V s + ( A1 + A2 t)e
αt
−
Subamortiguado: v (t) = V s + ( A1 cosωd t + A2 senωd t)e
αt
−
Gr´aficamente los tipos de amortiguamientos se representan:
Figura 6. Respuesta para grados de amortiguamiento
Respuesta escal´on de un circuito RLC en serie Para un circuito RLC en serie como lo muestra la figura 7
Figura 8. Respuestas para grados de amortiguamiento
Respuesta escalo´ n de un circuito RLC en paralelo
Figura 7. Circuito RLC serie
Al aplicar LTK en el circuito se obtiene: L
di + Ri + v = V s dt
Pero: i = C
(15)
dv dt
Figura 9. Circuito RLC en paralelo con corriente aplicada
Al sustituir i en la ecuaci´on 15 y reordenando se obtiene: d2 v R dv v V s + + = 2 dt L dt LC LC
(16)
Luego de procesos matem´aticos similares a los anteriormente aplicados se obtienen las respuesta para cada tipo de amortiguamiento que se expresan como:
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
III-B.
Sobreamortiguado: i(t) = I s + A1 es t + A2es 1
2
4
Practica RLC serie:
1. Arme en el protoboard el circuito de la Figura 10.
t
Cr´ıticamente amortiguado: i(t) = I s + ( A1 + A2 t)e
αt
−
Subamortiguado: i(t) = I s + ( A1 cosωd t + A2 senωd t)e
αt
−
III. III-A.
D ESARROLLO
Materiales y Equipos Utilizados
Figura 10. Red Resistor-Capacitor-Inductor(RLC) en serie
Materiales para la practica RLC serie: Resistencias: Adquirir una resistencia de 1k (R3) y un potencio´ metro (R1) cuyo valor est´e de acuerdo a sus c´alculos. Capacitores: Adquirir un capacitor de 100 uF. Inductores: Se utilizar´a el m´o dulo de carga inductiva del laboratorio (cada inductor: 13H (97Ω)/0.76A) Interruptores: Un dip – switch. Fuentes DC: Corriente continua variable 0 – 30V; corriente continua niveles fijos +5V,+/-12V y variable 2 – 20V (del laboratorio). Fusibles: Dimensionados de acuerdo a la corriente suministrada por la fuente. Cables de conexio´ n: Cables banana (del laboratorio) y cable multi-par Fusible: Dimensionado de acuerdo a la corriente total suministrada a la carga. Cables de conexi´on: Cable multi-par o similares. Materiales para la practica: RLC general: Resistencias: Adquirir R1 = 10k Ω, R2 = 470Ω. Dimensione la potencia de cada elemento de acuerdo a la corriente que soportar a´ n. Inductores: Se utilizar´a el m´o dulo de carga inductiva del laboratorio (cada inductor: 13H (97Ω)/0.76A). Capacitores: Adquirir un capacitor de 100 uF. Dimensione la tensi´on m´axima del dispositivo de acuerdo a sus c´alculos. Interruptores: Conmutador del laboratorio Fuentes DC: Corriente continua variable 0 – 30V; corriente continua niveles fijos +5V,+/-12V y variable 2 – 20V (del laboratorio). Fusibles: Dimensionado de acuerdo a la corriente suministrada por las fuente. Cables de conexi o´ n: Cables banana (del laboratorio) y cable multi-par.
2. En el circuito de la Figura 10 el interruptor S1 se encuentra cerrado inicialmente. En t = 0s, S1 se abre. Bajo esta condicio´ n de operacio´ n, determine los valores del resistor R1 para obtener los tres diferentes tipos de respuesta transitoria (tensi o´ n en terminales de C1) de una red RLC: Sobre Amortiguado. Cr´ıticamente amortiguado. Sub Amortiguado Para cada caso plantee las ecuaciones que describen la respuesta transitoria del circuito, y muestre en una tabla los siguientes par´ametros: Condiciones iniciales de la red RLC Coeficiente de amortiguamiento Frecuencia resonante S ob re am or ti gua do Condiciones iniciales de la red RLC Coeficiente de amortiguamiento Frecuencia resonante
S ub am or ti gu ado
V c = 6,33[V ] I l = 6,33[mA] α = 34 ,5[s− 1]
Cr iti ca me nte Amortiguado V c = 6,97[V ] I l = 6,97[mA] α = 27 ,74[s− 1]
ω0 = 27,74[rad ∗ s − 1]
ω0 = 27,74[rad ∗ s − 1]
ω0 = 27 ,74[rad ∗ s − 1]
V c = 8,95[V ] I l = 8,59[mA] α = 15 ,27[s− 1]
Tabla I VALORES O BTENIDOS
Determine la respuesta forzada y presente la correspondiente respuesta completa de la red RLC serie. Presente gr´aficos de la respuesta completa para cada caso. i(t)
v(t)
Sobre i(t) = 0,02976e−13,99t 0,02344e−55,01t v (t) = 12 897i(t) (100E 6) Amortiguado Criticamente i(t) = e−27,74t (0,963t + 0,0069) v (t) = 12 721i(t) (100E 6) Amortiguado Sub i(t) = e−22,96t (0,00751 cos(15,56t) + 0,055413 sen(15,56t)) v (t) = 12 597i(t) (100E 6) Amortiguado −
·
·
·
·
−
−
−
·
−
−
−
·
−
−
−
·
Tabla II R ESPUESTA C OMPLETA DEL C IRCUITO R LC
Valores tomados:
di dt di dt di dt
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
5
Corriente forzada:
I f = 0mA Voltaje Forzado:
V f = 12V 3. Ajuste el nivel de la fuente al valor especificado en el circuito de la Figura 10. Conecte los instrumentos de medida adecuados de acuerdo a los requerimientos de los numerales subsiguientes.
Figura 11. Circuito RLC serie con instrumentos de medicion
Figura 13. Oscilograma Criticamente Amortiguado
Subamortiguado, figura 14
Figura 14. Oscilograma SubAmortiguado
5. Obtenga conclusiones fundamentadas en sus resul4. Con C1 descargado y S1 cerrado. Para cada uno tado. de los tres casos, en t = 0s abra S1 y obtenga los oscilogramas correspondientes a: la tensi o´ n en terminales de C1 y la corriente que circula por R1. III-C. Practica Circuito RLC general: Mida el tiempo de estabilizaci o´ n y los niveles de 1. Armar el circuito de la Figura 15, utilizar un protensi´on y corriente de r´egimen permanente. toboard. Sobreamortiguado, figura 12
Figura 15. Red Resistor-Capacitor-Inductor(RLC) general
Figura 12. Oscilograma Sobreamortiguado
Criticamente Amortiguado, figura 13
2. Resuelva el circuito de la Figura 15, Considerando que inicialmente el interruptor J1 se encuentra en la posicio´ n mostrada. En t = 0s, J1 conmuta a la posici´on inferior. Bajo esta condici o´ n de operaci´on, plantee las ecuaciones que describen la respuesta
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
6
transitoria del circuito. Determine la respuesta forzada y presente la correspondiente respuesta completa de la red RLC general. Grafique la forma de onda de la respuesta completa del circuito. Ecuacion que describe el circuito:
0,0013
d2 V c dV c + 0,0085 + 0,99V = 0 2 dt dt
Respuesta Forzada: Figura 17. Oscilograma de Tension
Respuesta de descarga en tensi o´ n:
V forzada = 0V
Respuesta Completa:
V c (t) = e
,25
−3
(2,05·cos(27,40t)−7,40·sen(27,40t))
3. Ajuste el nivel de la fuente al valor especificado en el circuito de la Figura 2. Conecte los instrumentos de medida adecuados de acuerdo a los requerimientos de los numerales subsiguientes. Figura 18. Oscilograma descarga de Tension
5. Obtenga conclusiones fundamentadas en sus resultados. IV.
Figura 16. Circuito RLC general con instrumentos de medicion
4. Con C1 descargado y J1 en la posici´on mostrada. En t = 0s conmute J1 y obtenga los oscilogramas correspondientes a la tensi o´ n en terminales de C1. Mida el tiempo de estabilizaci´on y el nivel de tensi´o n de r´egimen permanente. La respuesta de tensi o´ n se muestra de la siguiente manera:
C ONCLUSIONES:
Se demostro´ que las soluciones a los circuitos RLC son definidas por ecuaciones diferenciales de segundo orden, las cuales guardan estrecha relaci o´ n entre matem´atico y practico. Se comprob´o que las ecuaciones diferenciales resuelven de manera mas sencilla los circuitos RLC siendo de vital importancia para el estudiante de Ing. El´ectrica su total dominio. Se comprob´o que los equipos de medici´on dan una gran idea del comportamiento del circuito y que son de gran ayuda para poder entender que sucede internamente en cada componente segu´ n ciertas condiciones iniciales o finales que se le otorgue. V.
R ECOMENDACIONES :
Manejar con cautela la sonda del osciloscopio, ya que es de fr´agil cuidado y por un descuido se puede da˜nar f a´ cilmente.
UNIVERSIDAD DE CUENCA, FACULTAD DE INGENIER´IA, 26 DE MAYO DE 2016
Colocar en la escala correcta para la obtenci´on de los oscilogramas caso contrario no se podr´a visualizar. Revisar la materia previamente de realizar la practica, debido a que son temas que conllevan conocimientos previos. Comprobar que el circuito este correctamente armado antes de encender las fuentes y conmutar el circuito, como medida de seguridad. R EFERENCIAS [1] C. K. Alexander and M. N. Sadiku, Fundamentos de circuitos el´ etricos. AMGH Editora, 2013.
7
