RESUMEN: Como una forma más elaborada de trazar curvas continuas por puntos, podemos usar una variedad de métodos matemáticos para encontrar una función analítica que se ajuste a esos puntos. Con todo, las funciones generadas empíricamente para ajustarse a conjunto de observaciones son útiles. Es posible obtener gráficas y sus respectivas ecuaciones empíricas, partiendo únicamente de simples valores numéricos que se da a cualquier variable, las cuales se ubican en el eje “X” y el eje “Y” contenidos estos en el plano. En el caso de obtener como gráfica una recta, ésta se adecua a una ecuación lineal; lo cual nos hará posible la fácil obtención de valores numéricos que intersectándolos y uniendo dichos puntos obtenidos, en el plano, trataran de buscar correspondencia entre el sistema y el modelo dado. Los datos registrados en las tablas que veremos más adelante, nos permitirán encontrar las gráficas y las ecuaciones empíricas. Si los puntos de la gráfica tienen un comportamiento lineal, entonces debemos plantear como ecuación empírica la siguiente:
=+ Si los puntos de la gráfica tienen, otro comportamiento, debemos plantear una ecuación empírica de la forma de una potencia:
=
ECUACIONES EMPIRICAS
II. OBJETIVOS 1.1 Determinar la ecuación empírica del periodo de oscilación del resorte helicoidal. 1.2 Desarrollar métodos gráficos y analíticos para tener información del experimento en estudio. III. FUNDAMENTO TEORICO La Física es una ciencia experimental por excelencia y como tal en el estudio de un fenómeno físico, no se puede dejar de realizar mediciones. Generalmente, en el Laboratorio, al empezar el estudio de un fenómeno físico, se obtiene un conjunto de valores correspondientes a dos variables, una dependiente de la otra. Es dependencia entre variables se pueden expresar matemáticamente mediante una ecuación que toma el nombre de ecuación empírica. Variable. Es Variable. Es una cantidad a la cual se le puede asignar, durante un proceso de análisis, un número ilimitado de valores Constante. Constante. Es una cantidad que tiene un valor fijo durante un proceso de análisis. Se distinguen dos tipos de constantes: las absolutas y las arbitrarias; las absolutas tienen el mismo valor en todos los procesos (por ejemplo: π, e, 3), en tanto que las arbitrarias pueden tener un valor diferente a cada proceso particular. En Física se acostumbra llamar parámetros a estas últimas. Función. Cuando Función. Cuando dos variables x e y están relacionadas de forma tal que cada valor de x le corresponde uno de y, se dice que y es una función de x y se denota de la siguiente manera: Y = f(x) Dónde: y es la variable dependiente o dependiente o función, y x es la variable independiente. independiente. Durante un experimento a la variable independiente se le dan valores predeterminados y el valor de la variable dependiente es observado y medido subsecuentemente. Para deducir la correcta ecuación empírica es necesario obtener un buen gráfico de nuestros datos experimentales, por lo que debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Trazar en papel milimetrado dos ejes perpendiculares. perpendiculares. En el eje horizontal horizontal se anotan los valores de la variable independiente (x) y en el eje vertical los valores de la variable dependiente (y). 2. Elegir escalas apropiadas apropiadas en cada uno de los ejes, de acuerdo al rango rango de variación de los datos. En este aspecto es recomendable usar las escalas: 1:1; 1:2; 1:5. Es decir que, si el conjunto de valores de la variable x es: 1,4 kg; 2.8 kg; 3.6 kg; 4.0 kg; 5.8 kg debemos usar la escala 1:1. Esto significa que 1 kg del valor de la variable debe ser representada por 1 cm en el correspondiente eje sobre el milimetrado. En algunos casos es conveniente usar potencias de 10. Así, por ejemplo, si los valores de algunas de las variables son: 0,003; 0.015; 0.018; 0.025, podremos escribir: 3. Tratar en lo posible que el grafico ocupe la mayor mayor parte del papel milimetrado milimetrado y tenga una ubicación simétrica con respecto a los dos ejes. Se puede utilizar diferentes escalas en cada uno de los ejes.
4. Trazar una línea continua y nítida que pase por entre los puntos, de forma tal que estos queden uniformemente distribuidos a ambos lados de la línea. 5. Comparar la línea obtenida en cada una de las curvas tipo que se muestra en la figura 1,2 y 3 y por similitud asignar la ecuación empírica que le corresponde.
De las gráficas anteriores la relación lineal es la más importante porque es la más usada para deducir la ecuación empírica de un fenómeno en estudio. Por lo tanto, en la ecuación de la recta.
=+ Debemos reconocer las siguientes constantes importantes:
1
Pendiente: B, es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Es decir que : B = tan ϴ. Intercepto: A, es la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje vertical (y). Cuando la recta pasa por el origen, A = 0 y su ecuación proporcional:
=
(2)
Linealización de una Curva. La mayor información de un fenómeno se puede obtener, cuando los valores de sus variables pueden representarse mediante una línea recta. Por esta razón es conveniente convertir en una relación lineal la relación de variables de cualquier otra curva que obtengamos experimentalmente. Para ello se hace una transformación de variables en ambos miembros de la ecuación empírica obtenida. Este proceso obtenida. Este proceso se denomina Linealización de la Curva. Ejemplo: Si el grafico de los datos experimentales es una de las curvas de potencias que se muestran en la Figura 2, su ecuación empírica tendrá la forma
=
(3)
Donde k y n son constantes a determinar. a)
Esta ecuación puede ser linealizada tomando logaritmos a ambos miembros :
ln=ln+ln
(4)
y haciendo el siguiente cambio de codificación:
=ln;= ln;=ln;=
Y
La ecuación (3) se transforma en:
= A+B X
(5)
Que es la ecuación de una recta y consecuentemente el grafico de las nuevas variables Y vs X debe ser una línea recta. b) En el caso que se conociera el valor de la constante n de la ecuación (3) la forma de linealizar esta curva es haciendo el siguiente cambio de variable: Y
=
X =
=
B
Con lo cual la nueva ecuación en el de una recta del tipo:
Y= BX
(6)
Determinación de las Contantes. Método Grafico. Este método consiste en determinar directamente la pendiente y el intercepto a partir de la gráfica. Para hallar la pendiente de la recta se eligen dos (2) puntos de esta que no sean los puntos experimentales. Por ejemplo: y entonces el valor de la pendiente se obtiene usando la fórmula:
; ,
= −− = ∆∆
(7)
El valor del intercepto se lee en el punto de corte de la recta graficada o su prolongación con el eje de ordenadas. Métodos Analítico o Estadístico. Este método consiste en aplicar los métodos de los cuadrados mínimos para calcular las constantes A y B. Este método tiene la ventaja de minimizar los errores experimentales en la determinación de A y B, para ello usamos las siguientes fórmulas:
)∑−∑∑ (∑ = (∑)−∑ ∑ = ∑(∑−∑ )−∑
(8) (9)
La dispersión de los puntos en torno a la recta de regresión está caracterizada por las diferencias en la forma dada por:
=
-A
(10)
La desviación estándar de estas diferencias es:
= ∑− = ∑−− −
(11)
Y las incertidumbres en la pendiente y el intercepto son respectivamente:
∆= ∑()−∑
∆= ∑∑−∑
(12)
Para el caso de la ecuación del periodo T del péndulo simple tenemos:
=2
(13)
O bien
= √ /
(14)
Si en esta ecuación se reemplaza el coeficiente de L por constante K Y el exponente de L por la constante n, se tienen una expresión general, la cual se llama ecuación empíricas del periodo del péndulo simple:
=
(15)
Para linealizarla aplicamos logaritmos a ambos miembros de la ecuación 9 y tenemos:
ln=ln+ln Y haciendo el cambio de variables: ln=;ln=;ln=;= resulta la recta: 17 =+
(16)
La ecuación 15 (ecuación empírica del periodo del periodo del péndulo simple) quedara determinada cuando se obtengan los valores numéricos de k y n, estos parámetros se encuentran por cuadrados mínimos o graficando la recta y hallando el intercepto y la pendiente. Nótese que
k=antiln
IV.
METODOLOGÍA Y TÉCNICAS 1.- MATERIALES Y EQUIPOS:
2.-
01 Resorte (aprox. 10 cm de longitud). 01 soporte conteniendo de siete pesas de diferentes pesos. 01 Wincha. 01 Soporte universal. 01 Cronometro. Papel milimetrado. 01 Tuerca. 01 Balanza electrónica.
MONTAJE DEL EXPERIMENTO:
3.- PROCEDIMIENTO:
Mida la longitud inicial de referencia que podría ser la longitud original del resorte. Anote su medición en la Tabla N° 1.
Método Estático
=
Coloque la primera masa en el extremo libre del resorte y mida la deformación , que experimenta el resorte. El valor de la fuerza deformadora está dada por , donde la masa total será determinada con la balanza, luego anote sus medidas en la Tabla N° 2.
∆= =.
Añada sucesivamente masas al portapesas; anotando en cada vez la masa total y el valor de la elongación en la Tabla N° 2.
Método dinámico
Introducir en el portapesas una o más pesas y hacerlo oscilar (Figura 3c). Sugerencia: utilice la misma secuencia de pesas empleados en el método estatico. Ensaye mediciones del tiempo de 10 oscilaciones completas, asegurándose de que no exista dificultad en el conteo de las oscilaciones a causa de su rapidez. Si este
fuera el caso, añadir nuevas pesas al portapesas y ensaye nuevamente hasta encontrar las condiciones propicias para la medida del tiempo. Aumentar el contenido del portapesas con una pesa apropiada para variar el valor de la masa oscilante y en cada vez medir el tiempo de 10 oscilaciones. Anote sus datos en la Tabla N° 3.
V. RESULTADOS Y ANALISIS DE DATOS: DATOS EXPERIMENTALES: Tabla N° 1
L = 5,3
Longitud inicial del resorte
Tabla N° 2
Masa (g)
(cm)
(cm) ∆= (cm)
1
178,34
7,1
5,3
1,8
2
328,38
9,9
5,3
4,6
3
471,24
12,8
5,3
7,5
4
761,95
15,6
5,3
10,3
5
905,85
18,4
5,3
13,1
6
950,62
21,9
5,3
16,6
7
990,85
24,4
5,3
19,1
Tabla N° 3
1
178,34
0,471
0,442
0,497
0,466
0,447
0,4646
13,35
2
328,38
0,531
0,573
0,525
0,551
0,506
0,5372
18,12
3
471,24
0,629
0,605
0,630
0,644
0,625
0,6266
21,71
4
761,95
0,708
0,698
0,713
0,719
0,703
0,7082
27,60
5
905,85
0,808
0,790
0,798
0,805
0,806
0,8014
30,10
6
950,62
0,881
0,851
0,868
0,860
0,860
0,8640
32,42
7
990,85
0,924
0,942
0,931
0,997
0,950
0,9388
34,62
√
4.- PROCESAMIENTOS DE LOS DATOS: Tabla N° 4 N
Masa (kg)
Fuerza (N)
1 2 3 4 5 6 7
0,17834 0,32838 0,47124 0,76195 0,90585 0,95062 0,99085
1,741 3,205 4,599 7,437 8,841 10,258 11,700
Alargamiento (m)
0,018 0,046 0,075 0,103 0,131 0,166 0,191
Constante Elástica (N/m)
Kp (N/m)
96,72 69,67 61,32 72,20 67,49 61,79 61,26
70,06 70,06 70,06 70,06 70,06 70,06 70,06
Tabla N° 5 N
Masa (kg)
1 2 3 4 5 6 7
0,17834 0,32838 0,47124 0,76195 0,90585 0,95062 0,99085
Periodo (s) 0,4646 0,5372 0,6266 0,7082 0,8014 0,8640 0,9388
Raíz cuadrada de la masa 0.422 0,573 0,686 0,872 0,951 1,015 1,094
√
A.- ANÁLISIS GRÁFICO
Método estático: Gráfica
∆
Al ser una función lineal, la ecuación empírica es:
=+……… Hallaremos A (Intercepto) y B (Pendiente):
= = ∆ ∆∆ …………1 = ∆ ∆ = 93,5=5,5 ∆ = 0,1450,05=0,095 Reemplazando ∆ y ∆ en (1): = , ⁄ = , Reemplazando A y B en ( , se obtiene: =+ =,+,∆ Como la pendiente se expresa en ⁄, la magnitud física que representa la pendiente
es: Constante elástica.
Es una relación lineal, que se expresa mediante la ecuación de la recta:
=+
Calculo del módulo de rigidez del alambre:
=
Dónde:
=,
= ,
De esto tendríamos que:
= 57,80 /
=
Para hallar el módulo de rigidez del alambre (G), empleamos la fórmula:
= 4 Dónde:
: → = 0,021 : → = 0,0009 Despejando:
4 = 4×57,80×0,0009 = 0,021 = , /
B.-
ANALISIS ESTADISTICO O REGRESION LINEAL Método estático:
Tabla N° 6 CALCULO DE LOS VALORES PARA REEMPLAZAR EN LA FORMULA DE LOS MINIMOS CUADRADOS N 1 2 3 4 5 6 7
∆
∆
0,018 0,046 0,075 0,103 0,131 0,166 0,191 0,73
1,741 3,205 4,599 7,437 8,841 10,258 11,700 47,78
0,03145 0,14743 0,34493 0,76601 1,15817 1,70283 2,23470 6,39
∆ 0,32×10−− 2,12×10− 5,63×10 − 10,61×10− 17,16×10− 27,56×10− 36,48×10− 99,88×10
Para estimar los valores de la pendiente y el intercepto, se aplicara el método de los mínimos cuadrados, utilizando los datos de la Tabla N° 6:
∆ ∆ Ʃ∆ = ∆ ∆ −47,78 0,736,39 99,88×10 = 799,88×10−0,73² = . N ∆ = ∆ ∆ ∆² 6,39 0,7347,78 = 7799,88×10 − 0,73² = , ⁄ Ecuación Empírica:
=+ =,+,∆
Con estos resultados, calcule el módulo de rigidez del alambre.
Aplicando la siguiente ecuación, hallaremos la constante elástica del resorte(k), para luego hallar el módulo de rigidez del alambre:
= Dónde:
=,
= ,
=
De esto tendríamos que:
= , ⁄ Para hallar el módulo de rigidez del alambre (G), empleamos la fórmula:
Dónde:
= 4
: → = 0,021 : → = 0,0009 Despejando:
4 = 4×59,24×0,0009 = 0,021 = ./
A.- ANÁLISIS GRÁFICO
Método Dinámico: Gráfica
.
Deduciendo la ecuación empírica: Del grafico obtenemos la pendiente (B) y el intercepto (B):
= , = ∆∆ ………………..1 ∆ = 0,4 ∆ = 0,95 Reemplazando ∆ y ∆ en (1): =, /
La ecuación empírica seria:
= ↓ = ……….. Aplicando logaritmo natural a ambos miembros:
= + De donde:
= , = =0,13 =0,42 = 0,13 =0,88 Reemplazando en , nuestra ecuación empírica seria: =,,
B.-
ANALISIS ESTADISTICO O REGRESION LINEAL
Método Dinámico: Tabla N° 7 CALCULO DE LOS VALORES PARA REEMPLAZAR EN LA FORMULA DE LOS MINIMOS CUADRADOS
N 1 2 3 4 5 6 7
0,4646 0,5372 0,6266 0,7082 0,8014 0,8640 0,9388
0,17834 0,32838 0,47124 0,76195 0,90585 0,95062 0,99085
0,77 0,62 0,47 0,34 0,22 0,15 0,06 2,63
1,72 1,11 0,75 0,27 0,15 0,21 0,10 4,31
. 1.32 2,96 0,69 1,23 0,35 0,56 0,09 0,07 0,02 0,01 0,03 0,04 0,01 0,01 2,51 4,88
Para estimar los valores de la pendiente y el intercepto, se aplicara el método de los mínimos cuadrados, utilizando los datos de la Tabla N° 6:
. Ʃ = 63 4,312,51 = 4,8872, 4,88 4,31
= , = (.2 ) ²
514,312,63 = 72,74, 884,31 = , /
Nuestra ecuación lineal es:
ln = ln + =+ =0,13+0,4
Dado que:
= ; = ; = ; = = 0,13 = 0,4 = 0,13 =0,88
Como la ecuación de la curva es:
= Entonces nuestra ecuación empírica es:
=,,
A.- ANÁLISIS GRÁFICO
Método Dinámico: Gráfica
. √
Al ser una función lineal, la ecuación empírica seria:
=+………… Encontraremos la pendiente (B) y el intercepto (A), de acuerdo al gráfico:
= = ∆ ∆∆ …………1 = ∆ ∆ = 0,970,5 = 0,47 ∆ = 1,20,49=0,71 Reemplazando ∆ y ∆ en (1): = , / = , Reemplazando A y B en ( , se obtiene: =+ =,+,√
Se sabe que:
= √ 2 /
Aplicando logaritmo natural a ambos miembros:
= (⁄) = + 12 ↓ =+
= √ 2
………………………(Ecuación
Dónde:
=
5)
Despejando, hallaríamos la constante elástica del resorte:
= 2 = 0,16 √ √ = 0,285 4 = 0,85 = , /
Para hallar el módulo de rigidez del alambre (G), empleamos la fórmula:
Dónde:
= 4
: → = 0,021 : → = 0,0009 Despejando:
4 = 4×54,64 ×0,0009 = 0,021 = , /
B.-
ANALISIS ESTADISTICO O REGRESION LINEAL
Método Dinámico: Tabla N° 8 CALCULO DE LOS VALORES PARA REEMPLAZAR EN LA FORMULA DE LOS MINIMOS CUADRADOS N 1 2 3 4 5 6 7
Ʃ
√
√ .
0,4646 0,5372 0,6266 0,7082 0,8014 0,8640 0,9388 4,9408
0.422 0,573 0,686 0,872 0,951 1,015 1,094 5,613
0,1961 0,3078 0,4298 0,6176 0,7621 0,8770 1.0270 4.2174
√
0,17834 0,32838 0,47124 0,76195 0,90585 1,05107 1,19878 4,89561
Con los datos de la tabla Nº 7, hallamos el intercepto (A) y la pendiente (B), aplicando el método de los mínimos cuadrados:
Ʃ = = ; = √ . Ʃ √ = √ 408 5,6134,2174 = 4,8956174,4,899561 5,613 = .
= ² √ . ) = ( √ ² 21745,6134,9408 = 74.74, 89561 5,613 =0,65 /
T vs. √ . =+ =,+,√
Ecuación empírica
Calcule la constante elástica del resorte y el módulo de rigidez del alambre.
Para encontrar (constante elástica del resorte), empleamos los datos de la Tabla N° 7, en la siguiente formula:
=2 4 = 4 = Dónde:
= ° 5 = ° 5 0,699 4 = 0,706 = , / Para calcular G (módulo de rigidez), aplicamos la fórmula:
Dónde:
= 4
: → = 0,021 : → = 0,0009 Despejando:
4 = 4×55,36×0,0009 = 0,021 = , /
VI. CONCLUSIONES
Concluimos que una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de las leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas leyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico obligando a recurrir al uso de ecuaciones empíricas para su comprensión.
A partir del desarrollo de los métodos gráfico y estadístico, se llegó a la conclusión que estos métodos son complementarios, porque si representamos la ecuación estadísticamente a simple vista no podemos hallar el intercepto y la pendiente de esta, pero al representarlo gráficamente lo podemos visualizar de una manera más simple y podemos hallar con más facilidad la pendiente y el intercepto. Por eso es que uno depende del otro.
=+
VII. RECOMENDACIONES
Tomar una cantidad mayor de datos, para que el ajuste de las gráficas sean más precisas.
Realizar correctamente la determinación de la fórmula empírica, para ello es necesario tener mucho cuidado en la pesada de ciertas pesas y al colocarlas en el resorte (debería ser despacio para no malogra el resorte).
VIII. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:
FISICA PARA CIENCIA E INGENIERIA, Mc. Kelvey. Editorial Karla. 1986.
FÍSICA
UNIVERSITARIA, Sears – Zemansky – Young, Fondo Educ. Interamericano
1996
FÍSICA RE-CREATIVA- S. Gil y E. Rodríguez- Teoría de errores. Publicado en: http://www.fisicarecreativa.com/guias/capitulo1.pdf
FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terrel.
