UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR FISICA 1
DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LA CONSTANTE ELASTICA DE UN RESORTE
Profesor: Gustavo Gasaneo Alumnos: Juan Mayo, Kevin Vettori, Gaston Vilches Bahía Blanca, 12 de Octubre de 2015 1|Página FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Contenido 1.0: RESUMEN: .............................................. .................................................... ........................2 2.0: INTRODUCCION: ................................................................................................................3 2.1: Metodología de trabajo:............................................... .................................................3 2.1: Hipótesis: .......................................................................................................................3 2.2: Ecuaciones usadas para los valores estadísticos: ..................................................... .....3 3.0: MEDICIONES: .....................................................................................................................4 4.0: GUIA DE CÁLCULO: ............................................................................................................5 5.0: CÁLCULO Y RESULTADOS:................................................. ...............................................10 Período (T): .........................................................................................................................10 Frecuencia (f): .....................................................................................................................11 Frecuencia angular ( ): .....................................................................................................11 Linealización de la curva: ..................................................... ...............................................12 Constante de amortiguamiento (kv): .............................................................................. ...15 Constante elástica del resorte (ke):.............................................. ......................................16 6.0: CONCLUSIÓN: ..................................................................................................................17
1.0: RESUMEN: El objetivo del presente trabajo es el análisis de una oscilación mecánica amortiguada, tomando datos de una oscilación real y con estos calcular las constantes de elasticidad y de amortiguación. Para esto utilizamos un resorte colgado verticalmente con un cuerpo en el otro extremo, hacemos oscilar el mismo hasta que se detenga (visiblemente) debido al amortiguamiento y tomamos medidas de las aceleraciones producidas sobre el cuerpo. Para la medición de las aceleraciones, el cuerpo amarrado al resorte es un Smartphone y estas mediciones las hacemos con el acelerómetro del mismo. La aplicación encargada de esto toma la medida de aceleración en cada eje (X, Y, Z) cada un determinado tiempo. Estos valores quedan registrados en un archivo de texto el cual importamos a una hoja de cálculo de Microsoft Excel. Usamos este software como herramienta para obtención de valores que usamos en los cálculos para determinar las constantes ya mencionadas.
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2.0: INTRODUCCION: 2.1: Metodología de trabajo: Conociendo la naturaleza de las oscilaciones mecánicas, la estructura básica de trabajo planificada fue la siguiente: Hipótesis y planteo de ecuaciones ↓
Mediciones ↓
Cálculo ↓
Análisis de resultados y conclusión
2.1: Hipótesis: Para calcular la constante de elasticidad y la de amortiguamiento del resorte partimos de la hipótesis de que éste es ideal. Esto quiere decir que su masa es despreciable y la fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación a la cual esté sometido. También consideramos una fuerza de amortiguamiento que es directamente proporcional a la velocidad y que se opone al movimiento del cuerpo que oscila. Estas consideraciones las hacemos para simplificación de cálculos. Al adoptarlas los valores obtenidos no difieren de forma notoria a los reales, podemos decir que el error que introducen estas consideraciones a nuestro estudio del resorte es despreciable.
2.2: Ecuaciones usadas para los valores estadísticos: Habiendo obtenido un conjunto de n medidas xi realizadas directamente con su correspondiente instrumento de medición, calculamos el promedio de las mismas (también llamado valor más probable) y una cota o error donde teóricamente se encontrarían el 68% de las mediciones si n fuese un valor muy grande. Para esto usamos las siguientes ecuaciones: n
n
( x
x
i
i
x
i 1
n
1
est
x)
i 1
n 1
2
2
x
2
2
nom est apr
2
3
Donde x es el valor promedio de las medidas, est es el desvío estándar del conjunto de medidas, es el sigma nominal, apr es el sigma de apreciación y x es el error. nom
Con estos valores calculamos las mediciones indirectas con las siguientes ecuaciones: 3|Página FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Sea f f ( x1 , x2 ,..., xn ) una función que depende de n variables (las cuales serán medidas con sus respectivos errores), el valor promedio de f estará dado por:
f
f ( x1 , x2 ,..., xn ) (4)
Y el error de f estará dado por:
f f i 1 xi x , x ,.. ,x n
1
2
n
2
( xi ) 2 5
3.0: MEDICIONES: En esta sección se muestra el procedimiento llevado a cabo para la obtención de la medida de las aceleraciones. Como se explica brevemente en el resumen, colgamos un Smartphone a un resorte vertical el cual esta amarrado en el otro extremo a un punto fijo. Dejamos en reposo el cuerpo para conocer su posición de equilibrio y luego lo movemos de esta posición para que comience a oscilar. Previo al comienzo de la oscilación, en el Smartphone está abierta la aplicación Vibration Monitor, la cual toma registro de las aceleraciones en los 3 ejes de un sistema de referencia cartesiano. Comenzamos el movimiento oscilatorio y dado un determinado tiempo este se detiene debido a la amortiguación. El conjunto resorte-celular es el siguiente:
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Dado que los cálculos dependen de la masa, utilizamos una balanza para medir la masa del celular. La misma tiene una precisión de 0,01 gramos, el cual consideramos como el error nominal de medición. Para nuestro caso la masa es:
m
143, 27 0, 01 g
Los valores de aceleración registrados por la aplicación quedan guardados en un archivo, el cual copiamos a la PC e importamos en una hoja de cálculo de Excel. En l a misma realizamos un gráfico de aceleraciones/tiempo del cual extrajimos datos como lo son por ejemplos los máximos locales de aceleración alcanzados. La gráfica es la siguiente:
4.0: GUIA DE CÁLCULO: A continuación se muestra la guía de cálculo seguida para obtener todos los resultados. En ella se explican las ecuaciones usadas y el procedimiento llevado a cabo. Planteando la segunda ley de Newton para un sistema de resorte horizontal con una masa m en un extremo, amortiguado y sin otro rozamiento obtenemos: 5|Página FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
n
F m.a i 1
Fe Fv
Donde F e es la fuerza elástica y
F v es la
N m.g
m.a
fuerza que produce el amortiguamiento.
Si consideramos ahora que el resorte esta vertical, en su posición de reposo y se le da una posición inicial distinta de la de reposo obtenemos: Fe Fv
m.a
(En una posición de equilibrio vertical consideramos que el desplazamiento entre esta posición y la original compensa el peso. De esta forma el análisis de fuerzas es análogo a una oscilación horizontal donde se cancelan la normal y el peso en el eje vertical) ke . x y Fv kv . x (donde ke y kv son las constantes elástica y de Si definimos Fe amortiguamiento), en el eje vertical nos queda la siguiente ecuación diferencial:
k e .x
ke m
. x
kv . x
k v m
mx
.x x
0
0
Planteamos la siguiente solución a la ecuación:
x t
ae
.t
.
.sen .t
Donde:
2
2
0
,
k v 2m
,
0
k e m
Matemáticamente, es la frecuencia angular de oscilación. Teniendo las medidas de aceleraciones medimos el tiempo entre oscilaciones, llamado período ( ). Este es inversamente proporcional a la frecuencia ( f ), la cual es directamente proporcional a de la siguiente forma:
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1
f
6
2 . f 7
De la ecuación (5) para mediciones indirectas obtenemos: 2
f f . . f 2
f
2
8
f 9 2 .
Teniendo el valor de Dado que
x t
ae
.t
.
, obtenemos el valor de
de
.sen .t determina una curva de oscilación periódica donde la
amplitud de las oscilaciones está dadas por el término podemos definir una nueva curva las oscilaciones. Si a
X
la siguiente forma:
*
X
*
(t )
a.e
.t
ae
.t
.
(debido a que
. Esta intersecta a
sen .t
1
),
en los extremos de
x t
(t ) le aplicamos logaritmo miembro a miembro obtenemos:
*
Log X (t )
Log a.e
* Log X (t )
.t
Log a Log e
.t
Log a .t
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De esta forma linealizamos la función X * (t ) a.e . . Usando esto aproximamos la función lineal obtenida usando el método de cuadrados mínimos a partir de datos extraídos de las mediciones. Para esto seleccionamos algunos valores máximos de la curva obtenida por el acelerómetro y realizamos dicho método. Cabe aclarar que la linealización se la hacemos a la curva x t b.e .t .sen .t de aceleraciones, no de posiciones. De todos modos se t
obtiene el
de
la misma forma como pendiente de la recta. Log X * (t ) Log a .t
Donde B
Y
A B. X
, B
Para el método de cuadrados mínimos usamos las siguientes expresiones: n
n
n
i
A
n
X .Y X . X Y 2
i
i 1
i
i 1
i 1
n
X
n.
i
i 1
2
i
i1
X 1 n
2
i
(10)
i
i
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n
n
X Y X .Y
n. B
i
i
X
Yi
i 1
X n
11
2
2
i
i
i 1
i
i 1
n.
ei
i
i 1 n
Definimos
n
i 1
( A B. X i ) (diferencia entre valor real y valor aproximado por la recta) n
n
X . e 2
i
i 1
A
2
i
i 1
n
i 1
2
n
12
n 2 . X n. X i
2
i
i 1
n
e
n.
2
i
i 1
B
n
i 1
2
n
13
n 2 . X n. X i
2
i
i 1
Teniendo el valor de B con su respectivo error calculamos el valor de el valor de kv.
,
y con el calculamos
B 14
B 15
kv
kv
k v m
kv
2.m. 16
2
m,
k v 2 . m m,
2
2. . m
2
2
2
2 . 2
2.m . 17
Finalmente, el otro valor que calculamos es el k e. Para esto calculamos primero el 0
2
2
0 :
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0
0
,
2
2
2
0
0
2
2 . 2
.
0
Teniendo el valor de
,
2 .
2
2
0
2
2
0 2 .
2
2
.
2
2
2
2
2
2 .
2
. 2
2
2
.
2
2
19
calculamos el ke: ke
ke
k v m
ke
0
2
m. 0
2
20
k 2 . m v 0
2
2
m , 0
2
2
m , 0
2 . 0
2
2
. m 2.m. . 21 0
0
5.0: CÁLCULO Y RESULTADOS: A continuación se muestran los valores de medidas, valores y resultados obtenidos siguiendo el procedimiento mostrado en la guía de cálculo. En algunas ecuaciones no se muestran los valores reemplazados en las mismas, esto es debido a que son demasiados.
Período (T): Usando como herramienta el Excel, calculamos el promedio y el error del período entre oscilaciones usando las ecuaciones (1), (2) y (3):
10 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
n
i
i 1
0,917 seg
n n
(
)
i
i 1
est
2
2
0,0439 seg
n 1
2
2
2
0, 001 0, 0439 0, 0439seg 0, 04seg
nom est
Entonces:
0,92 0,04 seg
Frecuencia (f): Reemplazando en la ecuación (6) y (8) los valores de período obtenemos: f
f
2
1
1 0,92 seg
0,04 seg
0,92 seg
f
2
1
1, 08696seg
0, 04726seg
1
1
0, 05seg
1, 09 0,05 seg 1
Frecuencia angular ( ): Reemplazando en la ecuación (7) y (9):
2 . f 2 .1, 09seg
1
2 . f 2 .0, 05seg
1
1
6, 8487seg
1
0, 3142 seg
6,8 0,3 seg 1
11 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Linealización de la curva: Seleccionando algunos valores a lo largo de la curva de aceleraciones, y aplicando logaritmo a los valores de aceleraciones obtenemos la siguiente tabla: Tiempo 0 0,77 2,62 3,57 6,36 7,29 8,24 10,99 12,81 13,77 17,44 18,36 21,13 22,04 25,73 26,57 30,24 31,14 33,03 37,79
Y 5,743 4,354 3,678 3,455 2,57 2,375 2,178 2,014 1,823 1,547 1,362 1,29 0,935 0,953 0,723 0,646 0,582 0,532 0,45 0,223
Tiempo Log(Y) 0 0,759138816 0,77 0,638888425 2,62 0,565611725 3,57 0,538448052 6,36 0,409933123 7,29 0,375663614 8,24 0,338057875 10,99 0,304059466 12,81 0,260786669 13,77 0,189490314 17,44 0,134177108 18,36 0,11058971 21,13 -0,02918839 22,04 -0,0209071 25,73 -0,1408617 26,57 -0,18976748 30,24 -0,23507702 31,14 -0,27408837 33,03 -0,34678749 37,79 -0,65169514
Con los valores de esta tabla confeccionamos dos gráficos, uno con los valores de la izquierda (reales) y otro con los de la derecha (luego de aplicar el logaritmo):
12 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Reemplazando los valores de la tabla en las ecuaciones (10) y (11) obtenemos: n
n
n
i
A
n
X . Y X . X Y 2
i
i 1
i
i 1
i 1
n
X
n.
i 1
X 1 n
2
i
i
i 1
2
i
0,65828
i
i
13 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
n
n
X Y X .Y
n. B
n
i
i
i
i 1
i 1
n
X
n.
i
i 1
X n
2
0.031614
2
i
i 1
i
i 1
De esto concluimos que la recta que más se aproxima a los valores de la tabla es Y 0,65828 0,031614. X , entonces reemplazando en las ecuaciones (12) y (13):
n
n
X . e 2
i
A
2
i
i 1
i 1
2 n 2 . X n. X 1 1 2
n
8,67.105
n
i
i
i
i
n
e
n.
2
i
i 1
B
n
i 1
2
n
4,33.106
2 n 2 . X n. X i
i
i 1
Como resultado de la linealización obtenemos:
B 0,031614 0,000005
A 0, 65828 0, 00009
Si graficamos los valores a los que les aplicamos logaritmo y la curva
Y A B. X :
14 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Constante de amortiguamiento (kv): reemplazando en las ecuaciones (14) y (15) el valor de B obtenemos:
B
0, 031614
1
B 5.10
0,031614seg
6
seg 1
0,031614 0,000005 seg 1
Usando estos valores en las ecuaciones (16) y (17) obtenemos: k v
2.m.
kv
2.0,14327.0,031614
2
2. . m
2
2
0,009058676
2.m .
2
N .seg m
1, 30899.10
6
Entonces el coeficiente de amortiguamiento da como resultado:
k v
0, 009059 0, 000001
N .seg m
15 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
Constante elástica del resorte (ke): Para calcular el valor de k e primero calculamos el valor de y (19)
0
, usando los valores de
0
2
2
y
2
6,8
0
0
calculados
anteriormente en las ecuaciones (18)
2
0,031614
.
2
1
6,800073 seg
2
.
2
2
6,8.0,3
2
0, 031614.0, 000005 2
6,8 0,031614
2
2
1
0,299997 seg 0
Esto da como resultado:
0
6,8 0,3 seg 1
Usando este valor en las ecuaciones (20) y (21) obtenemos: ke
ke
k e
m. 0
0
2
2
2
2
2
0,14327.6, 8
6, 6248
2
N m
2
. m 2.m. . 0
6, 8 . 0, 00001 2.0,14327.6, 8 . 0, 3 2
2
2
0
2
2
0.584542
N m
Entonces el resultado final es:
k e
6, 6 0, 6
N m
16 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
6.0: CONCLUSIÓN: En cuanto al procedimiento concluimos que es relativamente largo calcular algo que parece simple como lo es la constante elástica de un resorte, aunque es algo que puede ser muy útil. También pudimos notar que el método de linealizar una curva para aplicar cuadrados mínimos facilitó el cálculo, ya que seguramente debe ser muy complejo encontrar una curva de tendencia de tipo exponencial. Para este caso en particular nos sorprendimos de la precisión del resultado de la constante de amortiguamiento, podríamos decir que el error es despreciable. En cuanto a la constante elástica no podemos decir lo mismo pero es un resultado con una precisión que creemos aceptable.
17 | P á g i n a FISICA 1 – LABORATORIO N° 5
