Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN CINVESTAV-Unidad Saltillo
Diseño de Reactores RCTA y Batch No Isotérmicos en Estado no Estacionario
Dr. Juan Carlos Fuentes A
Trabajo Presentado por: Elvin José Guzmán J.
11/28/2014
TABLA DE CONTENIDO I.
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 2
II.
METODOLOGÍA ................................................................................................................ 3 2.1
Balance de Masa ............................................................................................................. 3
2.2
Balance de Energía .........................................................................................................
4
2.3 El método de Euler .............................................................................................................. 5 2.4 Procedimiento empleado para determinar la solución aproximada de las concentraciones y temperatura en un RCTA ........................................................................ 6
III.
RESULTADOS.................................................................................................................... 8
3.1
Presentación de Gráficas para el Reactor RCTA con Chaqueta de Calentamiento.... 9
3.2
Presentación de Gráficas para el Reactor RCTA sin Chaqueta de Calentamiento. 9
3.3
Presentación de Gráficas para el Reactor Batch con Chaqueta de Calentamiento10
3.4
Presentación de Gráficas para el Reactor Batch sin Chaqueta de Calentamiento 11
IV. CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE VAN HEERDEN Y ESTIMACIÓN GRÁFICA DE LAS TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO ....................................................... 12 V. CONSTRUCCIÓN DEL RETRATO DE FASES PARA EL REACTOR RCTA CON SISTEMA DE CALENTAMIENTO ............................................................................................ 13 VI.
CONCLUSIONES ............................................................................................................. 14
VII. REFERENCIAS ................................................................................................................. 14
I. INTRODUCCIÓN Los ingenieros químicos no son gente dulce y amable, les gustan las a ltas temperaturas y las altas presiones. El presente trabajo, consistirá en realizar un estudio del comportamiento dinámico de un sistema conformado por un reactor químico continuo de tanque agitado (CSTR por sus siglas en ingles) y una reacción química exotérmica de primer orden. Se dice que un reactor continúo de tanque mezcla completa o de tanque perfectamente agitado (RCTA), consiste de un recipiente cilíndrico de volumen V con tuberías de entrada y de salida. Las tuberías de entrada proporcionan el reactante A a una cierta velocidad de flujo y la tubería de salida proporciona la mezcla que contiene cierta cantidad de reactante A que no se ha transformado y el producto B a otra velocidad de flujo. En la siguiente figura se muestra una representación esquemática de un RCTA
Fig. 1. Esquema representativo de un RCTA.
Desde el punto de vista dinámico de la reacción química, la concentración CA reaccionada del compuesto A se determina mediante la velocidad de reacción, la cual tomará diferentes valores numéricos dependiendo de la forma funcional como se defina o como se mida. En general, la velocidad de reacción es una función no lineal de la temperatura T del sistema (reacción química más el CSTR), usualmente expresada en unidades absolutas como grados Kelvin, y de la concentración CA. En estos términos, a la velocidad de reacción se le denomina: velocidad de consumo del reactante. Usualmente, tal función es no-negativa y en algunos casos puede variar directamente con el tiempo. En general, los reactores químicos no operan en condiciones isotérmicas debido al calor liberado o absorbido por reacción. Así, en los reactores tubulares aparecen perfiles de temperatura a lo largo del reactor, en los continuos agitados, la temperatura no es la misma que la de la alimentación o la de los alrededores y los reactores discontinuos presentan variación de la temperatura con el tiempo.
Además de ser difícil conseguir condiciones isotérmicas, muchas veces éstas no son deseables (puede ser conveniente trabajar en condiciones no isotérmicas para favorecer la selectividad o la conversión). En la práctica industrial, algunos reactores pueden llevar a cabo reacciones isotérmicas y otros proceden con cambios térmicos. Por esta razón es necesario para el modelado de un reactor genérico, la adición del balance de energía a las ecuaciones antes mencionadas. Resolviendo en simultáneo el balance de masa y el de energía se puede modelar un reactor isobárico no isotérmico.
II.
METODOLOGÍA
Para el diseño de los reactores no isotérmicos es necesario resolver simultáneamente las ecuaciones de balance de masa y energía. Las ecuaciones de balance de energía para los distintos tipos de reactores se deducen a partir del primer principio de la termodinámica. 2.1 Balance de Masa
Ahora, un balance de materia por unidad de tiempo sobre la cantidad de reactante A, medida en moles, en el RCTA viene dado por:
Este balance de materia nos proporciona la siguiente ecuación:
= ∗ ( ) -
*A*
Donde: Ci = Concentración a la entrada del reactor. X1 = Concentración del reactivo A en un instante t. X2 = Temperatura que presenta el reactor en un instante t. EA = Energía de activación. A= Factor de Frecuencia o pre-exponencial. R= constante de los gases ideales La ecuación diferencial anterior, describe la variación de la concentración del reactivo A con respecto al tiempo para un reactor RCTA. Para el caso de un Reactor RCTA sin chaqueta de calentamiento, la ecuación diferencial que describe la variación de la concentración con respecto al tiempo, es la siguiente:
= ∗ ( )- *A*
La siguiente ecuación diferencial describe la variación de la concentración con respecto al tiempo para un reactor Batch con chaqueta de calentamiento:
= -
*A*
En el caso de un reactor Batch sin chaqueta de calentamiento, la variación de la concentración con respecto al tiempo es descrita por la misma ecuación diferencial que para el reactor Batch con Chaqueta. Esta ecuación es la siguiente:
= -
*A*
2.2 Balance de Energía
El balance de energía viene dado por:
Este balance de energía nos proporciona la siguiente ecuación:
= ∗ ( 2 ) +
*A* ∗ 1 + ∗ ( 2 )
Donde: Ti = Temperatura de entrada al reactor. X1 = Concentración del reactivo A en un instante t. X2 =Temperatura que presenta el reactor en un instante t. EA = Energía de activación. A= Factor de Frecuencia o pre-exponencial. R= Constante de los gases ideales. Θ = F/V β = ΔHrxn / (ρ*C p) γ = (UAt)/ (ρ*C p*V)
Por otro lado, la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura con respecto al tiempo, para un reactor RCTA y sin chaqueta de calentamiento, es la siguiente: 2
= ∗ ( 2 ) +
*A* ∗ 1
Para cambio de la temperatura con respecto al tiempo para un reactor Batch con chaqueta de calentamiento, es descrito por medio de la siguiente ecuación diferencial:
=
*A* ∗ 1 + ∗ ( 2 )
Por otro lado, se observa que la variación de la temperatura con respecto al tiempo para un reactor Batch sin chaqueta de calentamiento, es descrito por medio de la siguiente ecuación diferencial:
=
*A* ∗ 1
Para simplificar el problema, se asumieron los siguientes datos como constantes: h
γ
A
Ti
EA/R
θ
Ci
β
0.1
1
72004899337
350
10000
1
1
200
Donde h, es igual al paso del tiempo empleado para la resolución de las ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones ser resuelven simultáneamente utilizando el Método de E uler . 2.3 El método de Euler
Este método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor, es decir; Nuevo valor = Valor anterior + pendiente*tamaño de paso
De esta manera, la fórmula anterior se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución. La siguiente figura (Figura 2), muestra el procedimiento aplicado con la ecuación.
Fig. 2. Predicción de un nuevo valor en la solución
El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi. f( xi,yi), es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi . Por tanto, tenemos que:
A esta última ecuación se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h. 2.4 Procedimiento empleado para determinar concentraciones y temperatura en un RCTA
la
solución
aproximada
de
las
A partir de las ecuaciones generales de balance de masa y energía:
= ∗ ( ) -
= ∗ ( 2 ) +
*A*
*A* ∗ 1 + ∗ ( 2 )
Y tomando en consideración las condiciones iniciales y algunos valores constantes previamente definidos (resumidos en la Tabla 1), se crea una tabla en Excel (Tabla 2). Tabla 1. Tabla de valores constantes y Condiciones de Frontera TABLA DE DATOS X1
h θ
Ci A EA/R
0.1 1 1 72004899337 10000
X2
h γ β
A Ti
0.5 1 200 72004899337 350
Tabla 2. Tabla de valores constantes y Condiciones de Frontera k f(Xk-1,Xk-2) f(Xk-1,Xk-2) X1 X2 t1
0
0
0.0000
0.0000
0.4
400.00
1 2 3 4 5 6
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.2000 0.2096 0.2207 0.2323 0.2434 0.2527
-20.0000 -21.9168 -23.9388 -25.8911 -27.5735 -28.7917
0.42
398.00
0.44
395.81
0.46
393.41
0.49
390.83
0.51
388.07
0.54
385.19
7 8 9 10
0.7 0.8 0.9 1
0.2592 0.2623 0.2615 0.2572
-29.3955 -29.3095 -28.5458 -27.1928
0.56
382.25
0.59
379.32
0.61
376.46
0.64
373.74
Las funciones: f (Xk-1,Xk-2)
Se determinan a partir de valores iniciales o anteriores a cada k. El tiempo para cada valor de k, se estima de acuerdo a la siguiente formula:
tk = to + k*h Y los valores de temperatura y concentración son estimados a partir de la siguiente ecuación: Xk = Xk-1 + f(Xk-1,Xk-2)*h Donde: Xk = puede ser la temperatura o la concentración en un instante dado por el paso (h). En la Tabla 1, se presentan los valores estimados de concentración (X1) y temperatura (X2) hasta un tiempo de 1 minuto.
III.
RESULTADOS
3.1 Presentación de Gráficas para el Reactor RCTA con Chaqueta de Calentamiento: 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 n ó0.7 c 0.65 a0.6 r t0.55 n0.5 e 0.45 c n0.4 o 0.35 C 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
Concentracion vs Tiempo 10, 0.963642977
RCTA Con Chaqueta y h = 0.5 RCTA Con Chaqueta y h = 0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5
Tiempo Fig. 3. Concentración vs Tiempo a un h = 0.1 y un h = 0.5
En esta figura (Figura 3), se puede apreciar que independientemente del paso empleado, se llega a tener la misma concentración a partir de un tiempo aproximado de 4 minutos. Pero también se puede apreciar que para un paso mayor (h=0.5), se alcanzan máximas conversiones de A y en un tiempo menor que utilizando un paso de h=0.1. 405.00 400.00
Temperatura vs Tiempo
395.00 390.00 385.00 380.00 375.00
RCTA con Chaqueta y h = 0.1
370.00 365.00 360.00
RCTA con Cha ueta
h = 0.5
355.00
10, 353.63
350.00 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5
Tiempo Fig. 4. Temperatura vs tiempo para un h = 0.1 y un h = 0.5
En la Figura 4, analizamos el comportamiento de la temperatura en el reactor como una función del tiempo. Esta figura, se puede apreciar que para un paso de 0.5, se alcanza la temperatura de convergencia en un tiempo menor que para un paso de 0.1. Es decir, el reactor tiende a estabilizarse en tiempo menor, cuando se introduce en la formula un paso de 0.5. 3.2 Presentación de Gráficas para el Reactor RCTA sin Chaqueta de Calentamiento:
Fig. 5. Concentración vs Tiempo para un h = 0.01
En esta figura (Figura 5), claramente podemos apreciar como inicialmente la concentración del reactivo disminuye lentamente, pero a partir de un tiempo t=3.5 s desciende rápidamente y se estabiliza en cero.
Fig. 6. Temperatura vs tiempo para un h = 0.01
En la Figura 6, se analiza el comportamiento de la temperatura del reactor, en este se observa que la temperatura empieza a aumentar poco a poco hasta un t=0.35s, que es cuando se observa que la temperatura aumenta rápidamente, para luego estabilizarse en casi 515ºC. 3.3 Presentación de Gráficas para el Reactor Batch con Chaqueta de Calentamiento:
Fig. 7. Concentración vs Tiempo para un de h = 0.1 y de h = 0.5
En la Figura 7, podemos observar que la variación de la concentración en el reactor cuando introducimos un paso de 0.5, el sistema tiende a ser inestable y oscila en un instante inicial. También es importante observar, que este reactor a este paso tarda mucho más tiempo en estabilizarse, que el reactor con un paso de 0.1.
Fig. 8. Temperatura vs tiempo para un h = 0.01 y un h = 0.5
Al analizar el comportamiento que tiene la temperatura en este tipo de reactores, se observa claramente, que la temperatura del sistema converge casi instantáneamente a 350ºC.
3.4 Presentación de Gráficas para el Reactor Batch sin Chaqueta de Calentamiento
Fig. 9. Concentración vs tiempo y con h = 0.01
En la Figura 9 podemos observar el comportamiento de la concentración en función del tiempo para este tipo de reactor, donde, la concentración en el reactor se estabiliza en un tiempo de de aproximadamente 3.5 s.
Fig. 10. Temperatura vs tiempo con un h = 0.01
En la Figura 10, se observa como la temperatura del reactor va aumentando de forma gradual hasta llegar a converger en una temperatura máxima de 480ºC aproximadamente.
IV.
CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE VAN HEERDEN Y ESTIMACIÓN GRÁFICA DE LAS TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO
Para la construcción del diagrama de Van Heerden se emplearon los datos que se presentan en la siguiente tabla: Tabla 3. Datos para el diagrama de Van Heerden γ h A Ti
0.1
1
72004899337
350
EA/R
θ
Ci
β
10000
1
1
200
A partir de estos datos, se grafica la función N (T), que se expresa de la siguiente manera: −
() = ∗ ∗ ∗
+
−
Y la función L (T), que se expresa así:
L() = ( + ) ∗ ( + ) ∗ Siendo esta última función, una función lineal, en cambio la función N(T), es una función exponencial. Las gráficas de estas funciones se muestran en la siguiente figura, al igual que las temperaturas de equilibrio estimadas.
,3 = 442
,2 = 400 , = 355
Fig. 11. Gráfica del Diagrama de Van Heerden
A partir del diagrama de Van Heerden, se pueden estimar las temperaturas en las cuales se cree que el sistema alcanza su estado estable.
V.
CONSTRUCCIÓN DEL RETRATO DE FASES PARA EL REACTOR RCTA CON SISTEMA DE CALENTAMIENTO
En general, los retratos de fases se construyen variando las condiciones iniciales al aplicar el método de Euler para las soluciones de las dos ecuaciones simultáneas de masa y energía. En la siguiente figura (Fig. 12), se presenta el gráfico obtenido para el retrato de fases para el reactor RCTA con sistema de calentamiento. 490.00
Retratos de Fases Para el Reactor RCTA No Isotérmico y en Estado No Estacionario
480.00 470.00 460.00 450.00
C=0.13: T=450
440.00
C=0.19:T=450
430.00
a420.00 r u410.00 t a r400.00 e p 390.00 m e380.00 T
,3 = 442
C=0.15:T=450 C=0.12:T=450 C=0.03: T=470 C=0.07:T=461 C=0.17:T=400
370.00
C=0.12:T=400
360.00
C=0.14:T=450
350.00
, = 355
340.00
C=0.1:T=360
330.00
C=0.15:T=400
320.00
C=0.13:T=370
310.00 -0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
Concentración Fig. 12. Retrato de Fases para el reactor RCTA con sistema de calentamiento y que opera en estado
no estacionario De la figura 12, podemos inferir que de las tres temperaturas de equilibrio determinadas a partir del Diagrama de Van Heerden donde se pensaba que el reactor podía alcanzar un estado estable, solamente dos realmente hacen posible que el reactor alcance un estado estable, estas son las temperaturas de 335 y 442 ºC respectivamente. En cambio la temperatura 400, hace que el sistema diverja y nunca alcance el estado estable deseado.
VI.
CONCLUSIONES
De las gráficas obtenidas, se puede concluir que: a) Para el reactor RCTA con sistema de calentamiento se logró alcanzar una conversión aproximada de 0.96, mientras la temperatura del reactor descendió de 440 a 353 ºC. b) El RCTA no está provisto de un sistema de calentamiento la conversión de más bien desciende de 0.4 hasta cero y la temperatura del sistema alcanza aproximadamente una temperatura de 515ºC. c) Cuando se dispone de un reactor por lotes y provisto con un sistema de calentamiento, la conversión en el reactor disminuye de 0.4 a 0 aproximadamente y la temperatura del sistema desciende hasta aproximadamente 350ºC. d) En el caso de los reactores por lotes sin sistema de calentamiento, la conversión de estos desciende hasta cero y la temperatura del reactor alcanza un máximo de 480 ºC. En suma, sobre la base de los resultados obtenidos, se concluye, que el reactor RCTA provisto de con sistema de calentamiento nos puede ofrecer los mejores rendimientos de conversión, ya que en este reactor se alcanza una conversión de A a B de 0.96 aproximadamente y la temperatura del sistema tiende a favorecer esta conversión. Por otro lado, a pesar de haberse logrado determinar tres temperaturas donde el sistema opera en estado estable, claramente se logró comprobar con la ayuda del diagrama de fases o retrato de fases, que solamente es aconsejable operar el reactor a la temperatura de 353 ºC en estado estable. Ello fortalece nuestro análisis anterior para el grado de conversión de A, ya que el sistema para el reactor RCTA con sistema de calentamiento tiende a evolucionar hacia esta temperatura. Finalmente, el diagrama de fase revela otro aspecto que merece especial atención, y es que el sistema logra evolucionar hacia un estado estable a concentraciones iniciales en el rango de 0.10.85, siempre y cuando la temperatura no supere los 400 ºC, que es su límite aparente de estabilidad. Por encima de esta temperatura y a concentraciones que van de 0.14 a 0.11, se logra estabilizar el sistema convergiendo a una temperatura de 442, pero con oscilaciones que no son tan deseable en la operación de un reactor.
VII.
REFERENCIAS
Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos. Recuperado el 26 de noviembre de 2014, de http://goo.gl/YvKBEB Páez, C (Noviembre de 2008). Análisis dinámico de un reactor continúo de tanque agitado. . Recuperado el 26 de noviembre de 2014, de http://goo.gl/NlaOV2