Abstract
En la presente pr´ practica a´ ctica experimental, se pretende estudiar la fuerza que ejerce un campo magn etico e´ tico al interior de un solenoide por el que circula una corriente, en una balanza de corrientes, con el objetivo de determinar la constante de permeabilidad del espacio y la densidad de espiras en nuestro solenoide, encon´ trando que estos datos son 4π 4πx10−7 N / A2 y 92x5 donde 92 es el n umero de espiras y 5 es la cantidad de capas de nuestro solenoide, con un error relativo de tales y pascuales.
donde n es la densidad de espiras por unidad de longiud e I es la corriente que atraviesa dicha espira. Su direcci´on on va en la direcci´on on del producto vectorial ´ (1) que se exhibio en la ecuacion Ahora si consideramos un segmento recto de conductor de longitud l longitud l por por el que atraviesa una corriente I y que que se encu encuen entr traa bajo bajo un camp campo o ma magn gn´etico e´ tico externo externo → − B , se puede mostrar que la fuerza ejercida sobre el segmento del conductor es:
Introducci´on
La ley de Biot-Savart indica el campo magn´etico etico creado por corrient corrientes es estacionarias. estacionarias. Es decir corricorrientes que no varian su magnitud con el tiempo. En el caso de corrientes que circulan por circuitos cerrados, la contribucion o´ n de un elemento infinitesimal de longi− →
tud d l del circuito recorrido por una corriente I , I , crea
− − →
´ elemental de campo magn´ una contribucion magnetico e´ tico dB en el punto situado en la posici on o´ n que apunta el vec-
→ −
− →
− − →
= I F =
tor unitario U r r a una distancia R respecto a d l que ´ a la corriente, esta dado por: apunta en direcci on − →
(3)
B
Tambien se podria ver esta fuerza, conocida como la fuerza de Lorentz, como la siguiente integral:
− − →
µ0 I d l × U r dB = 4πR 2 − − →
→ − ×
(1)
→ −
L
F =
7
La constante µ constante µ 0 = 4π 4 π × 10 es conocida como la ´ permeabilidad magn´ magnetica etica del vacio. Un solenoide es cualquier dispositivo f´ısico ısico capaz capa z de crear un campo magn´ magnetico e´ tico sumamente uniforme e intenso en su interior, y muy d ebil e´ bil en el exterior. Un ´ ejemplo teorico es el de una bobina de hilo conductor aislado y enrollado helicoidalmente, de longitud indeterm determina inada. da. En ese caso ideal el campo magn´etico etico ser´ ser´ıa ıa uniforme en su interior y, como consecuencia, afuera ser´ıa ıa nulo. El campo magn etico e´ tico del solenoide iria como se muestra en la figura 1 −
− →
I · dl
→ − ×
B
(4)
0
Luego, la fuerza producida por el campo magn´ magnetico e´ tico al interior de un solenoide sobre un conductor es: → −
F =
L
0
− →
I b · dl µ0 nI s
(5)
Donde I Donde I b es la corriente que circula por el conductor e I s la que circula por el solenoide. ´ El solenoide es conectado de tal manera que seg un ´ del las las ecua ecuaci cion ones es (1) (1) y (2), (2), la dire direcc cciion del camp campo o magn´etico es pararela al diferencial de longitud en los extremos mas a´ s largos de la balanza de corrientes, haciendo que la fuerza en esos puntos sea nula haciendo ´ que la unica fuerza que ejerce el campo magn´ magnetico e´ tico so´ de ´ bre la espira es en la regi on de ´esta esta en que la corriente no es paralela a las l´ l´ıneas ıneas de campo magn´ magnetico; e´ tico; es en el lado mas a´ s corto de la balanza balanza de corriente corrientes. s. Por Por lo tanto, tanto, la ecuaci´on on (5) queda:
F = = Lµ 0 nI b I s (6) Figura 1 que muestr stra las lineas del campo magn´ magnetico(lineas e´ tico(lineas azules) Fuerza Fuerza cuya cuya direcci´ direcci´on on como se dijo dijo anteri anteriorm orment ente, e, ´ est´ esta´ de acuerdo al producto vectorial de la ecuaci on Se estu estudi diar araa el camp campo o magn magnetico e´ tico del soleno solenoide ide que (3), es decir, hacia abajo, por lo que la balanza conest´ esta´ conformado por muchas vueltas de alambre conformad formadaa por la espira espira presen presentar tar´a´ un desn desniv ivel el ininductor y sobre el que se hace pasar una corriente para clin´ clinandose a´ ndose hacia la parte que se encuentra al interior generar un campo magn´ magnetico. e´ tico. del solenoide. Si las vueltas est´an a n muy pr´oximas, oximas, esta configuAjuste por minimos cuadrados ´ puede generar un campo magn etico racion e´ tico razonableSea ( x1 , y1 ) , (x2 , y2 ),...,(xn , yn ) una sucesi´on on de memente uniforme en todo el volumen delimitado por el didas tomadas tomadas en un experimento. experimento. Supongamos Supongamos que solenoide, excepto cerca de los extremos. Cada una de existe una funci on o´ n lineal que aproxima esa sucesi on n on ´ n las las vuel vuelta tass se puede puede cons consid ider erar ar como como una una espi espira ra circ circuu´ line medidas. medidas. Esta funci´ funcion lineal al esta estara ra dete determ rmin inad adaa en su lar, lar, y el campo magn´etico etico neto es la suma vectorial de forma explicita por una pendiente m y un intercepto los campos debidos debidos a todas las espiras. La magnitud magnitud e´ todo de m´ m ´ınimos ınimos cuadrados tenemos que b. En el metodo del campo magn´etico etico en el solenoide est´a dada por: estos valores estaran determinados por la siguientes (2) relaciones: B = µ0 nI 1
n
n
i =1 n
m =
n
i =1
n
b =
i =1
xi2
n
n
xi yi − xi2 −
n
i =1 n
i =1
i =1 n
i =1
n
yi −
xi2 −
xi
i =1 n
i =1
i =1 n
i =1
xi
xi
n
xi
yi (7)
Resultados
xi
n
i =1 n
i =1
Figura 2 donde se muestra la disposicion ´ general de los objetos haciendo enfasis en los dos circuitos que debe tener el montaje.
Corriente (A) 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0
xi yi (8)
xi
Y los respectivos errores de estos datos son: e (m) =
nx2 (n, m)
n
n
i =1
xi2 −
n
i =1
xi
x2 (n, m)
e (b ) =
n
donde
n
i =1
xi2 −
n
i =1
xi
n
i =1
n
i =1 n
i =1
(9)
Fuerza (N) 2, 20x10−4 2, 94x10−4 3, 67x10−4 5, 51x10−4 6, 61x10−4 8, 30x10−4 1, 02x10−3 1, 17x10−3
Tabla No 1 que corresponde a los valores medidos de la fuerza con respecto a la corriente que atravesa la balanza de corrientes.
xi (n − 2)
xi2
(10)
xi (n − 2)
n
2
x (n, m) =
(b + mxi − yi )2
i =1
Procedimiento experimental
´ que hay enGr´afica No 1 donde se muestra la relaci on tre la fuerza ejercida por el peso de los hilos y la corriente que pasa por la balanza.
Materiales y equipo
• Solenoide
Corriente (A) 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5
• Balanza de corriente (Placa con coductor) • 2 fuentes DC de 2 A y 5 A • 2 amper´ımetros • 2 reostatos
Fuerza (N) 1, 47x10−4 2, 20x10−4 3, 67x10−4 4, 04x10−4 5, 51x10−4 6, 98x10−4 8, 08x10−4
En la figura 2 se muestra la disposici´on general del experimento. El arreglo est a´ compuesto por el solenoide Tabla No 2 que corresponde a los valores medidos de y la balanza que contiene el conductor. La balanza la fuerza con respecto a la corriente que atravesa el est´a soportada sobre sendos ganchos a cada lado de la solenoide. placa de tal forma que el conductor quede recto en el centro del solenoide, perpendicular al camo magenpetico del solenoide cuyas lineas de campo est a´ n orientadas paralelas al eje del solenoide.
2
Gr´afica No 2 donde se muestra la relaci o´ n que hay entre la fuerza ejercida por el peso de los hilos y la corriente que pasa por el solenoide.
El promedio de estos valores ser a´ : 6.044x10−3
Analisis de Resultados
Calculando el error relativo se puede ver que no es una aproximaci´on tan buena del producto µ0 n puesto que el error relativo es del orden de c a´ si el 50%
De las gra´ ficas No 1 y No 2 podemos constatar que es posible establecer una relaci´on lineal (directamente proporcional) entre la fuerza ejercida por el campo magn´etico generado por el solenoide y la corriente.Se realiza un ajuste por el me´ todo de m´ınimos cuadrados, cuyo porcentaje de confiabilidad es de 97% lo cual indica que es bastante bueno. De los resultados podemos ver lo siguiente que las pendientes de la rectas tanto de la gr´afica 1(corriente ´ que pasa por la balanza I b ) como de la gra´ fica 2 (corriente que pasa por el solenoide I s ) son parecidas y estas van a estar determinada por la siguientes f ´ormulas ´ teoricas: M 1 = Lµ 0 nI s
M 2 = Lµ 0 nI b
(17)
Erel =
xteorico − xreal = 46, 3% xteorico
(18)
´ se tomase los valores obtenidos en Sin embargo si solo la relaci´on de la corriente de la balanza tendriamos que el error relativo disminuye al 10%. Una posible causa de esto es que el valor de las pendientes de las relaciones son peque˜nos y muy parecidos haciendo que cambios abruptos en el denominador, al cambiar la corriente de 1, 5 A a 2,5 A cambie bastante la config´ de los resultados uracion Puesto que se tienen los valores tanto de la longitud del solenoide, un valor fijo tanto en I b como en (11) ´ I s y averiguando en la literatura el valor te orico de n = 460 es posible determinar el valor de µ0 .
(12)
µ0 =
B LnI 2
(19)
donde M 1 y M 2 son las pendientes de las gr´aficas, L es el ancho del solenoide, µ0 es la permeabilidad magn´etica del vacio, I b es la corriente que atraviesa (20) µ0 = 1,3797x10−6 la balanza. (1) se refiere a la pendiente de la gr´afica donde varia la corriente de la balanza y (2) se refiere a Que comparado con el valor dado por la teoria la corriente que varia en el solenoide. µ0 = 1,2566x10−6 tenemos que Despu´es de ajustar los datos, se ha encontrado que tanto M 1 como M 2 tienen el valor de 0, 00034N x −x Para determinar la incertidumbre procedemos con Ere l = teorico real = 9, 8% (21) xteorico la relaci´on (tales) mencionada en el marco te´orico. ´ Luego las relaciones lineales de los datos quedaran de Sin embargo si realizamos este mismo procedla siguiente manera para las tablas 1 y 2 respectivaimiento con la corriente fija de 1,5 A tendremos que mente: µ0 = 2,2995x10−6
(22)
y = (0,00034 ± 0,00000577)x + (0,00022 ± 0,0000105) (13) Se presentara´ un error relativo muy grande. Es posible que esto se deba a que la pendiente de las dos Y: gr´aficas son parecidas y un cambio grande en el denominador genera un cambio grande e el resultado. y = (0,00034 ± 0,00000577)x + (0,0000157 ± 0,00000) (14) Un supuesto error relativo para este valor es: Es posible determinar el valor del producto de −x x µ0 n y compararlo con el dado por la teoria ( µ0 n = (23) Erel = teorico real = 85, 5% xteorico 4,1289x10−3 ). Por ejemplo un promedio de los resultados ofrecidos por despejar en las ecuaciones tanto Conclusiones. de la corriente que pasa por la balanza, como de la corriente que pasa por el solenoide: 1 Cuando se aumenta la corriente que circula por el solenoide, se aumenta la magnitud del campo magn´etico generado haciendo que la fuerza que B −3 e´ ste ejerce sobre la espira tambi e´ n crezca, y al µ0 n = = 4.533x10 (15) LI s aumentar la corriente que circula por la espira, aumenta la fuerza que experimenta debido al Y para la pendiente de la gr´afica 2 tenemos que: campo magn´etico. µ0 n =
B = 7.555x10−3 LI b
2 La fuerza ejercida sobre la espira es cero cuando no hay corriente sobre la espira o sobre el solenoide.
(16) 3
3 Un solenoide con una mayor densidad lineal de espiras genera un campo magn´etico mayor puesto que la densidad lineal n y el campo son directamente proporcionales.
magn´etico.
´ de alguna de las corrientes in5 Invertir la direcci on vierte la direcci on ´ de la fuerza generada por el 4 Cuanto ma´ s ancha sea la espira, mayor ser´a campo magn´etico, pero invertir la direcci o´ n de la fuerza que experimenta debido al campo ambas, no influye en la direcci o´ n de la fuerza.
4
