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INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO AL FLUJO EXTERIOR
Como primer paso para calcular la inductancia debida al flujo exterior a un conductor, deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la porción de flujo exterior comprendida entre D 1 y D2 del centro del conductor. Figura 1.19. Conductor y punto !1 y !" #$t#rior# a %&. En la figura 1.19, P 1 y P 2 son dos puntos a una distancia D1 y D2 del centro de un conductor conductor por el ue circula una corriente de ! amperios. Como las l"neas de flujo son c"rc c"rcul ulos os conc conc#n #ntr tric icos os al cond conduc ucto torr, todo todo el fluj flujoo comprendido comprendido entre P1 y P2 est$ dentro de la superficie superficie cil"ndrica conc#ntrica ue pasan por los puntos P1 y P2. En el elemento tubular, ue esta a x metros del centro del conductor, la intensidad de corriente de campo es % x. &a fmm. a lo largo de este elemento es'
(1.2)* &a intensidad del campo es
(1.2+* la intensidad de flujo en el elemento
(1.2-* El flujo en el elemento tubular de espesor dx es
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(1.2* &os enlaces de flujo d/ por metro son iguales, num#ricamente, al flujo , puesto ue el flujo exterior al conductor enla0a toda la corriente del conductor solo una e0. &os enlaces de flujo totales entre P1 y P2 se obtienen integrando d/ desde xD1 a xD2. De esta forma obtenemos'
(1.23* 4, para una permeabilidad relatia de 1,
(1.29* &a inductancia debida solamente al flujo comprendido por los puntos P1 y P2
(1.56* Corrientemente se emplea la reactancia inductia en lugar de la inductancia. &a reactancia inductia de un conductor.
(1.51*
(1.52*
(1.55* 2
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INDUCTANCIA DE UNA L'NEA (ONOF)*ICA
7e puede a8ora determinar la inductancia de una l"nea simple de dos conductores, compuestos de conductores cil"ndricos sólidos. En la figura 1.26 se muestra una l"nea ue tiene dos conductores de r 1 y r 2. n conductor es el circuito de retorno. En principio consideraremos solamente los enlaces de flujo del circuito producidos por la corriente del conductor 1. na l"nea de flujo, debida a la corriente del conductor 1, situada a una distancia mayor a D:r 2 del centro del conductor 1 no enla0a el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.em. en #l. &a fracción de la corriente total enla0ada por una l"nea de flujo exterior al conductor1 y a distancia menor a D ; r 2 es 1.6, por lo tanto es lógico suponer ue se puede usar D en lugar de D:r 2 o D;r 2, cuando D es muc8o mayor ue r 1 y r 2.
Figura 1."+ Conductor# d# radio di,#r#nt# y ca-po -agn%tico d#ido o&a-#nt# a &a corri#nt# d#& conductor1
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&a inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina usando la Ecuación (1.56*, sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores 1 y 2, y D1 por el radio r 1 del conductor 1.
Para el flujo exterior
(1.5)*
Para el flujo interior
(1.5+*
&a inductancia total del circuito, debido a la corriente del conductor 1 tan solo, es
(1.5-* &a expresión ue da la inductancia puede simplificarse sacando factores comunes de la Ecuación (1.5-* teniendo en cuenta ue de donde
(1.5*
(1.53* 4
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=plicando propiedades de los logaritmos llegamos a
(1.59* 7i sustituimos r 1> por
(1.)6* El radio r> es el de un conductor ficticio ue se supone sin flujo interno pero con la misma inductancia ue tiene el conductor real r 1
Como la corriente del conductor 2 a en dirección contraria a la ue circula por el conductor 1, los enlaces de flujo producidos por las corrientes en el conductor 2, considerado aislado, tiene la misma dirección ue los producidos por la corriente del conductor 1. El flujo restante de los dos conductores est$ determinado por la suma de las fmm de ambos conductores. 7in embargo para la permeabilidad constante pueden sumarse los enlaces de flujo de los dos conductores considerados aisladamente.
Por comparación con la Ecuación (1.)6*, la inductancia debida a la corriente del conductor 2
(1.)1* para todo el circuito
(1.)2* 5
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7i r 1>,r 2> r> la inductancia total se rebuce a'
(1.)5* INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN /RU!O
n caso m$s general ue el de la l"nea monof$sica, es el de un conductor en un grupo de ellos, en el ue la suma de las corrientes es igual a cero. El grupo de conductores se representan en la figura 1.21. &os conductores 1,2, 5,?.n son recorridos por los ectores !1, !2, !5,??, !n.
Figura 1."1 0ita d# una #ccin tran2#ra& d# un grupo d# conductor# #n 3u# &a u-a d# &a corri#nt# # c#ro. ! # un punto ano d# &o conductor#
&as distancias de estos conductores a un punto lejano P est$n indicados en la figura 2.21 por D1P, D2P, D5P,?..DnP. determinemos λ1P1 , en laces de flujos del conductor 1 debidos a la corriente !1, comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero excluyendo todo el flujo m$s all$ del punto P. Por las ecuaciones (1.22* y (1.29*
(1.))* 6
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(1.)+* &os enlaces de flujo λ1P2 con el conductor 1 debido a ! 2, pero excluyendo el flujo m$s all$ de P 1 es igual al flujo producido por ! 2 entre el punto P y el conductor 1. =s"'
(1.)-* &os enlaces de flujo λ1P con el conductor 1, debido a todos los conductores del grupo, pero excluyendo el flujo m$s all$ del punto P 1, es
(1.)*
Desarrollando los t#rminos logar"tmicos y reagrupando, se conierte en
(1.)3*
Como la suma de las corrientes es nula,
despejando ! n, tenemos 7
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(1.)9*
7ustituyendo en la Ecuación (1.)*, ! n por su alor dado en la Ecuación (1.)9* y agrupando los t#rminos logar"tmicos, tenemos'
(1. +6*
7uponiendo ue el punto P se aleja 8asta el infinito, de forma ue los t#rminos logar"tmicos de las relaciones de distancias desde P se 8agan infinitesimales, puesto ue dic8as relaciones tienden a la unidad, obtenemos
(1.+1*
=l 8acer este supuesto, se incluyen en la deducción todos los enlaces de flujo de conductor1. De esta forma la Ecuación (1.+1* nos da todos los enlaces de flujo del conductor1, en el grupo de conductores, cuando la suma de todas las corrientes es cero. 7i las corrientes son alternas, estas tienen ue ser corrientes instant$neas, o bien alores complejos, con lo ue se obtienen los alores eficaces de los enlaces de flujo en forma de n
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&os conductores tren0ados est$n comprendidos en la denominación general de conductores compuestos ue est$n formados por dos o m$s elementos o 8ilos en paralelo. 7e limitara el estudio al caso en el ue todos los 8ilos son id#nticos y comparten la corriente por igual. El m#todo por desarrollar indica una aproximación a problemas m$s complicados de conductores no 8omog#neos y a una repartición desigual de la corriente entre 8ilos. El m#todo es aplicable a la determinación de la inductancia de l"neas formadas por circuitos en paralelos, puesto ue dos conductores en paralelo pueden considerarse como 8ilos de un solo conductor compuesto.
Figura 1."" L5n#a -ono,6ica ,or-ada por do conductor# co-pu#to
&a figura1.22, representa una l"nea monof$sica formada por dos conductores. Para 8acer el caso general, cada conductor ue constituye una parte de la l"nea, se representa como un indefinido numero de conductores agrupados arbitrariamente. &as
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De
la
(1.+2*
cual,
obtenemos
(1.+5* Diidiendo la Ecuación (1.+5* por la corriente !Bn, encontramos ue la inductancia sobre el 8ilo a es,
(1.+)* =n$logamente, la inductancia del 8ilo b, es
(1.++* &a inductancia media de todos los 8ilos del conductor @, es
(1.+-* El conductor @ esta formado por n 8ilos en paralelo. 7i todos tienen la misma inductancia, la del conductor ser$ lBn la del 8ilo. En nuestro caso, todos los 8ilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los 8ilos, en paralelo, es lBn de la inductancia media. =s" la inductancia del conductor @, es
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(1.+* Poniendo la expresión logar"tmica de la inductancia de cada 8ilo en la Ecuación (1.+* y agrupando t#rminos, obtenemos
(1.+3* Donde r a>, r b> y r n> se 8an sustituido por D aa, D bb, D nm, respectiamente. ótese ue el numerador de la expresión logar"tmica es la ra"0 mn;#sima del producto de mn t#rminos o producto de las distancias de cada uno de los n 8ilos del conductor @ a cada uno de los m 8ilos del conductor . Para cada 8ilo del conductor @ 8ay m distancias a los 8ilos del conductor , y en total, existe n 8ilos en el conductor @. El conjunto de las m distancias de cada uno de los n 8ilos da el total de mn t#rminos. &a ra"0 mn;#sima del producto de las mndistancias se llama distancia media geom#trica entre el conductor @ y el . 7e representa por D. El denominador de la expresión logar"tmica de la Ecuación (1.)9* es la ra"0 n2 ;#sima de n2 t#rminos. %ay n 8ilos y por cada 8ilo 8ay un producto de n t#rminos, de r F de dic8o 8ilo por las distancias del mismo a cada uno de los restantes 8ilos del conductor @, lo ue 8ace el total de n2 t#rminos. = r a> se le llama la distancia del 8ilo a a si mismo, especialmente cuando se representa por D aa. Geniendo en cuenta esto, la expresión subradical del denominador puede decirse ue es el producto de las distancias de cada uno de los 8ilos a si mismo y a los restantes 8ilos. &a ra"0 n 2;#sima de esta expresión se le llama H del conductor @. &a ecuación 1.+3 en t#rminos de H y D da
(1.+9*
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(1.-6* &a inductancia del conductor se determina de forma an$loga, siendo la de la l"nea' DI*TANCIA (EDIA /EO(ETRICA 7 RADIO (EDIO /EO(ETRICO
7e dedujo la expresión para la inductancia de una l"nea de conductores compuestos. En la ecuación ue da la inductancia debida a la corriente en un conductor, existe un t#rmino logar"tmico cuyo numerador es el promedio geom#trico de las distancias entre los dos grupos, denominado D (distancia media geom#trica*. El denominador de dic8o t#rmino es el promedio geom#trico de las distancias entre conductores de un mismo grupo, llamado H (radio medio geom#trico*. El H de una superficie circular puede demostrarse ue es igual al radio del c"rculo multiplicado por I ;1B). Como el r >de la ecuación (1.)6* ue da la inductancia de un alambre de sección circular es el radio del alambre multiplicado por I ;1B), por lo tanto el H de un conductor es r>. El H de un conductor con n n
(1.61)
7e puede demostrar ue el H para los conductores tren0ados, siendo estos 8omog#neos es igual al radio de un 8ilo por una constante J
Figura 1."8 Do i&o id%ntico 12
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7i tenemos dos conductores circulares id#nticos de una misma fase de radio igual a H el H es igual a
(1.-2* Donde d11 y d22 son las distancias del centro del conductor a el mismo, es decir r>, por lo tanto, nos ueda
(1.-5*
(1.-)* =8ora si tenemos son 5 conductores id#nticos como en la figura 1.2) el H iene dado por'
(1.-+*
(1.--*
(1.-*
Figura 1.": Tr# conductor# id%ntico
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&os cables reales poseen conductores, calculando el H obtenemos &as distancias d 12 2HK d1) )H d15Ld1)2;d5)2 L ()H* 2;(2H*22HL5
(1.-3*
(1.-9*
(1.6*
Figura 1."; *i#t# conductor# id%ntico
7i se obseran las ecuaciones 1.-), 1.-, 1.6 se obsera ue el H de los conductores tren0ados es el radio de uno de los 8ilos multiplicado por una constante y si se sigue aumentando el n
(1.1* Donde r8 es el radio de un 8ilo del conductor 14
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Como el di$metro del conductor completo es proporcional al radio de un alambre para la geometr"a normal conductor se tiene (1.2* Donde rc es el radio del conductor LO* 0ALORE* DE < *E OBTIENEN DE LA TABLA 1.8
Numero de capas
N
de
hilos
del
K
conductor 1
1
0,389
2
7
0,363
3
19
0,371
4
37
0,378
5
61
0,381
Ta&a 1.8. 0a&or# d# =
&a inductancia de una l"nea formada por conductores de secciones irregulares puede encontrarse calculando los alores D y H. &a reactancia inductia debida a la corriente en cada conductor iene dada por la ecuación (1.-6* y la inductancia de la l"nea es la suma de la de ambos conductores. 7uponemos una densidad de corriente uniforme. El m#todo del H no se aplica exactamente a conductores no 8omog#neos como las =C7H, ni auellos casos en ue la densidad de la corriente no es 8omog#nea a lo largo del conductor.
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