Indices de Miller

3.5 INDICES DE MILLER Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina.

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l) Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número. Ejes y celdas unitarias: Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa saliendo del papel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la parte superior; en sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos

Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos, como planos. Dichas celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadas X, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está ubicado en la arista inferior izquierda posterior.

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Direcciones en la celda unitaria: Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior interior cristalino.

Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera: 1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas negativas). 2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos 3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión 4. Encerrar los números resultantes resultantes entre corchetes , sin comas, comas, si el resultado es es negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse situarse una barra o raya encima encima de dicho numero, o números. Ejemplo 3.5.1







Dirección A 1. Dos puntos son: 1,0,0 y 0,0,0 2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea tener como dirección y sentido (cabeza del vector) 1,0,0 – 0,0,0 = 1,0,0 3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4. [ 100 ] Dirección B Dos puntos son: 1,1,1 1,1,1 y 0,0,0

1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,1 2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 3. [ 111 ] Dirección C 1. Dos puntos son: 0,0,1 y ½,-1,0 2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 0,0,1 - ½,-1,0 = - ½,-1, 1 3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros. 4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,2 5. Como el resultado es negativo en las direcciones direcciones de los ejes X y Y, se sitúan con una barra en la parte superior los valores para dichos ejes. 6. Aspectos importantes en el análisis y creación de las direcciones direcciones en los los Índices Índices De Miller: 1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo, y con ello poseer la misma línea de acción acción pero diferente sentido. sentido. 2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido reducidos. 3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre paréntesis especiales <>. Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones direcciones de una familia.







Importancia de las direccione direccioness cristalográficas: Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir dichas orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso, deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica, para así almacenar de manera segura y duradera la información. En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas. Planos en la celda unitaria: Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o planos son en donde existe la mayor posibilidad posibilidad de que el elemento elemento sufra una dislocación. Como Como se mencionó anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor orientación en los planos de un material podrá existir un mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.

Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema







Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera: 1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas coordenadas).). 2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano cartesiano. 3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones. 4. si el reciproco es N /∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo. 5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de las direcciones direcciones de los Índices Índices de Miller. Ejemplo 3.5.8 Determine los índices de Miller de los planos A, B y C Plano A

1. 2. 3. 4.

x=1 y=1 z=1 1/x=1 , 1/y=1, 1/z=1 No existen fracciones que eliminar (111)







Plano B 1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre 1/∞ lo cual con su respectivo r espectivo limite tiende a ser cero (0) 2. X=1 , y= 2, z=∞ 3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0 4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0) 5. (210)

Plano C 1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen, ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndolo en dirección del eje Y positivo 2. Con el nuevo origen se tiene: x=∞, y=-1, z=∞ 3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0 4. No existen fracciones que eliminar

5. Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller:









3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves {} 4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano. Ejemplo 3.5.3 Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y construcción. Índices de Miller para celdas hexagonales Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices de Miller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. En este se usan ya cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.

El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado, aunque para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o el de cuatro ejes, siendo este último algo más tedioso. En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los cuales se asignara







I=-1/3(h + k) L=l

Ejemplo 3.5.6 Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C y D.

Plano A 1. a1=a2=a3=∞, c=1 2. 1/a1=1/a2=1 1/a1=1/a2=1/a3=0, /a3=0, 1/c=1







2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1 3. No hay fracciones que simplificar 4. Dirección C 1. Dos puntos: 0,0,1 y 1,0,0 2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se tiene: 0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1 3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir 4. Dirección D 1. Los puntos son: 0,1,0 0,1,0 y 1,0,0 1,0,0 2. La resta genera el el vector: vector: 0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0 3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4.

Comportamiento isotrópico y anisotrópico: A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas los materiales presentan comportamientos comportamientos y desempeños diversos diversos en sus propiedades







BIBLIOGRAFÍA Askeland, Donald R; Phule, Pracleep; Ciencia e Ingeniería de los Materiales; International Thomson Editores, cuarta edición, México, 2004. Smith, William F (Autor); Hashemi, Javad ( Colaborador); Cruells Cadevall, Montesrrat ( Revisor); Roca Vallmajor, Antoni ( Revisor); España, Mcgraw- Hill Interamericana S.A, C2004 

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3.6 PLANOS CRISTALINOS

Dirección en la celda A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas. Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían con la orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos los indices de las direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los enteros mas pequeños. Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda







Existen 3 ejes básicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. La unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes, a1, a2, a3 proporciona los indices h, k e i mientras el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l. Notación para planos Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes, a1, a2, a3 las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 =”, a2 =” a3 =” El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los indices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. Así, H =0 K=0 I = 0 y L=1. El plano basal es, por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) . BIBLIOGRAFÍA: http://html.rincondelvago.com/principios-funda http://html.rincondelvago.c om/principios-fundamentales-de-la-estruct mentales-de-la-estructurauracristalina-de-los-materiales.html http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cri http://www.esi2.us.es /IMM2/estructuras_cristalinas/planos.htm stalinas/planos.htmll 

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3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 111. PROTECCIÓNDESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE ÁTOMOS. INTRODUCCIÓN

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lineal) ; la combinación de estos dos densidad planar y lineal me dan a conocer la deformación del material, A la combinación de un plano de deslizamiento con una dirección, es a lo que se le denomina sistema de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por donde se produce la deformación de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos. Para poder determinar cuáles son sistemas existentes, primero tenemos que ver cuáles son los planos y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo, son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la fracción (1) atómica planar como: 

∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC: CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR: Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. Si un átomo pertenece totalmente a un área dada, tal como la del átomo localizado en el centro de una cara en una estructura FCC, notamos que la huella de la intersección del átomo sobre el plano













Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (100) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 78,5% y para BCC es igual a 58,9%. Como ya quedó dicho en la introducción, para calcular la densidad planar, el área del plano debe pasar por el centro del átomo, para poder tener en cuenta a éste como un átomo representativo, por eso, para calcular la densidad planar en una red cristalina BCC debemos garantizar que el plano no intercepte el átomo central. Aquello es posible saberlo haciendo proyección del área y del plano, utilizando geometría analítica. Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyección y se ha deducido que el átomo central no corta lo suficiente al área del plano como para tomarse como un átomo representativo, después de esto se pasa a hacer un cálculo de la densidad planar, sin tenerlo en cuenta. A continuación se mostrará el desarrollo de lo anteriormente mencionado:







Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (111) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 90,7% y para BCC es igual a 34%.

Indices de Miller

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