Índices de Miller
Coordenadas de un Sistema Cúbico Centrado en el Cuerpo (I)
Direcciones cristalográficas cristalográfi áficas cas en el Sistema Sistema Siste ma Cúbico Cúbico Dibuja un vector Dibuja vector que represente la que la dir dirección ire ecció ión n que pase pase por por el origen origen (0, (0 0,,0 0 0,,0 ,0 0)) de de los ejes ejes xyz.. xyz
[111]
2.. Determina las 2 las proyecciones proyecciones d del el vector en los ejes vector ejes xyz.. xyz 3.. 3 Multiplica o div divide iviide por el el factor común para obtener los tres obtener tres valores valores enteros enteros mínimos.. mínimos 4.. E 4 Enc En nciie ier erra ra llo los os tres tres entreros en entreros en parén parén-tesis cuadrados tesis cuadr cu adrado ados s [ ]. ]. ej.. [uvw ej uvw]]
[120] [110]
Direcciones cristalográficas cristalográfi áficas cas en el Sistema Sistema Siste ma Cúbico Cúbico
Procedimient o
de Cabeza y Cola
1.Enc ncuentra ncue uent ntra ra
lla las as coordenadas de los punt punt os eenn la ccaabeeza za y la cola. 2.Re esta sta los val valorres es de llas as coorrdenadas dena naddas de llaa cola a la cabeza. 3.Eli limina limi mina na fr frac fracci acci ciones. 4.Enc ncierra ncie ierr rraa eenn [ ]].. Dirección A Punto de la cabeza cabeza punto de la cola (1, 1,1/3)(0,0,2/3)= 1, 1, -1/3 Multiplica por por 3 para obtener los enteros más pequeños: pequeños: 3, 3, -1 .
A = [33]
Procedimient o
de Cabeza y Cola
Dirección B Punto de la cabeza cabeza punto de la la cola (0, 1, 1, 1/2) (2/3,1 (2/3,1,1)=-2 ,1)=-2/3, /3, 0, -1/2 -1/2 Multiplica por 6 para obtener los enteros más pequeños: _ _ -4, 0, -3 .
B
= [403]
C = [???] C = [3 6 1]
D = [???] D = [1 1 1]
Direcciones cristalográficas ráficas en el Sistema Cúbico
[001] [101]
[011] Familia de Direcciones [010]
[1D10] [100]
[110]
[111]
Familia de direcciones Índice
Ejemplos
Número de direcciónes por familia, celda cúbica
<100>
[1,0,0]
[0,1,0]
6
<110>
[0,1,1]
[1,1,0]
12
<111>
[1,1,1]
[1,1,1]
8
< 100
> | [100], [010], [001], [010], [001], [100]
< 110
| [110], [011], [101], [110], [011], [101]
[110], [011], [101], [110], [011], [101]
111 >
|
[111], [11 1 ], [1 1 1], [ 1 11], [ 1 1 1 ], [ 1 1 1], [ 1 1 1 ], [1 1 1 ]
Caras cristalinas
Formas comunes relacionadas con la geometría del
cristal
s minerales isométricos son cubos Los hexagonales tienen f orma de hexágono Ley de Steno Los ángulos entre caras equivalentes del cristal de un mismo mineral son iguales siempre. Ley de ángulos interfaciales. Lo
ey de Haüy
L
s planos intersectan los e jes en múltiplos de las distancias de la celda unitaria. Ley de Racionalidad de los índices. Lo
ey de Bravais
L
as caras comunes de un cristal son paralelas a los planos de la red que tienen mayores densidades de n odo. L
Caras paralelas a celda
unitaria, que tiene may or densidad de nodos
Cristal Monoclínico Cara T, densidad
intermedi interm ediaa menos común y pronunciada
Q ba ja densidad, cara más rara
Índices de Weiss
Notación para la intercepción de las caras en los e jes cristalográficos
1/2 representa la intercepción a 1/4 representa la intercepción b 1/2 representa la intercepción c
Z
Intercept os 1/2, 1/4, 1/2 1/2
1/4 Y
1/2
(1 2 1)
(0,0,1)
Índices de Weiss (0,3,0)
(2,0,0)
231 Intercept os 1
Intercept os 1 1
g
g
Intercept os 1 1 1
g
Índices de Miller para Planos Cristalográficos 1.Encon ntrar trar los
intercept os del del pplan lano con los e jes x,y,z. Si Si el el plano pasa pasa por el origeen, n, ccam ambiiar ar eell origen o dibu jaarr un plan plano paralelo en en un una una ce celd celda lda ad adya adyacente yace cente nte. 2.Tom mar ar eell recíproco de los intercept os. 3.Quitar Qui uittar la lass ffracci raccciones. ra 4.Enc ncerrar nce err rraar een n pa paré rént ntes esis is (h (h,k (h,k,l) ,k,l,l)).
,-1,1/2
(0 1 2)
Índices de Miller para Planos Cristalográficos
a cara t se extiende hasta interceptar los e jes cristalográficos L
Celda unit aria aria
Intercept os: a = 12 b = 12 c=6 Recíprocos: a = 1/12 b = 1/12 c = 1/6
Índices de Miller para cara t (112)
Índices de Miller para Planos Cristalográficos Origen para A Origen para B
Origen para A
A = (I0)
B
= (I22)
A = (2I)
B
= (02)
Índices de Miller para Planos Cristalográficos
( 1 0 0)
(1 1 0)
(1 1 1)
Índices de Miller para Planos Cristalográficos Tetraedro inscrit o en un cubo con planos que corresponden a la familia {111}
8 planos de la familia {111}
f ormando un octaedro regular
s Planos Cristalográficos paralelos son equivalentes
Lo
Índices de Miller para Planos Cristalográficos
Es fácil visualizar
dónde esta una cara, dados los índices de Miller, o derivar ést os a partir de las caras.
Índices de Miller-Bravais para cristales Hexa gonales a3
Se utiliza una notación de 4 índices
a2
a1
(h k i l) i = (h + k)
Intercept os 1 1 - ½ Plano (1 1D2 0)
g
Índices de Miller-Bravais para cristales Hexa gonales a3
(h k i l) i = (h + k)
a2
a1 Intercept os 1 -1 Plano (1D 1 0 0 )
g g
Intercept os 1 -1 Plano (0 1D1 0) g
g
Índices de Miller-Bravais para cristales Hexa gonales a3
a2
Intercept os 1 -2 -2 Plano (2D1D1 0 )
g
a1
Intercept os 1 1 - ½ Plano (1 1D2 0)
g
Intercept os 1 1 - ½ 1 Plano (1 1D2 1)
Intercept os 1 11 Plano (1 0D1 1) g
Índices de Miller-Bravais para cristales Hexa gonales
_
(1211)
Referencias
A. A. Raaturi, turi, IInf nf ormation Techn Technologyy,, U University niversity off tthe he
Scie Sc Sciences ienc ncees in Philadelphia Alonso A Azzcárate cárate , Cristalografía raf ía Morf ológic ica, a, Un Univ Universidad iver ersi sida dadd J. A de Castilla, La M Mancha ancha. Alpay, Crrystal ystal Structures & Propperties, erties, SSch chool of P. A Engineering, Un Univ University iver ersi sity ty of Connecticut . Crystal Fa Mineralogy Home Page, aces ces and M Mill Mi illle ler In Indi Indices, dice ces, s, Dept . off Geologic ical al Sc Scie Scienc Sci ienc ences, nces es,, University Unive Uni versi rsity ty of Florida. Z. K h han, an, an, The Structure Structure of Crrystalline ystalline Sollids, ids, M Mechanical echani niccal Z. Engineering Department, K in ing Faahd hd U University niversity of Petrolleum eum & Minerals Minerals.
