CAPITULO No.5 INDICES DE CAPACIDAD, METRICAS SEIS SIGMA Y ANALISIS DE TOLERANCIA I TOLERANCIA I 4.- Para el ejercicio 13 del capítulo 2, sobre el grosor de las láminas lá minas de asbesto, se tiene que las especificaciones son: EI = 4,2 mm, ES = 5,8 mm. Además de las mediciones hechas en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, con μ = 4,75 y σ = 0,45. Conteste:
a) Calcule el índice K e interprételo. Datos EI = 4,2 mm ES = 5,8 mm μ = 4,75 σ = 0,45 valor nominal(N)=5mm
K=μ
- N * 100 1(ES – EI) 2
K = 4.75 -
5 * 100 = - 31.25% 1(5.8 – 4.2) 2
Como su valor es negativo, esto la media es menor que el valor nominal, por lo tanto el proceso esta muy descentrado a la izquierda lo que puede contribuir significativamente a que la capacidad del proceso para cumplir especificaciones sea baja.
b) Obtenga los índices Cp y Cpk e interpretelos.
Cp = ES - EI 6σ
C pk = valor mas pequeño entre Cpi y Cps
Cp = 5.8 – 4.2 = 0.592593 6*0.45 Cpi = μ - EI 3σ
Cpi = 4.75 - 4.2 3*0.45
= 0.40
Como el Cp es menor a 0.67 quiere decir que pertenece A la clase 4, es decir el proceso no es adecuad para el trabajo y requiere modificaciones muy serias.
Cps = ES - μ 3σ
Cpk = minimo(0.40;0.77777) Cpk =0. 40
Cps = 5.8 - 4.75 = 0.77777 3*0.45
Con un Cpk de 0.40 el proceso tiene menor posibilidad de cumplir con las especificaciones.
c) Apoyándose en la tabla 5.2, estime el porcentaje de láminas que no cumplen con especificaciones: del lado inferior, el superior y ambos lados. Del lado inferior = 11,5% Del lado superior = 0,0159% De ambos lados = 7,1861% d) En resumen, ¿el proceso cumple con especificaciones? Argumente.
En resumen se puede argumentar que el proceso no cumple con especifiaciones, ya que su Cp es muy bajo , de clase cuatro y su Cpi por otra parte ni siquiera esta centrado, porque Cp es diferente a Cpk. 5. Los siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. E l objetivo es tener una viscosidad de 80 ± 10 cps.
84 85 86 81 78 82 79
81 84 85 82 83 84 81
77 82 79 81 83 83 82
PRODUCTOS LACTEOS 80 80 82 78 83 81 84 82 80 83 84 82 86 83 82 84 82 83 82 87 84 83 82 81 80 86 83 82 86 87 79 80 82 86 82 80 84 85 87 88 90
78 78 82 84 81 83
83 83 84 84 78 82
84 81 86 81 81 76
a) Construya una grafica de capacidad de este proceso (histogramas con tolerancias) y de una primera opinión sobre la capacidad. De acuerdo al histograma o grafico nos da a conocer que la distribución es normal y que los productos lácteos se encuentran controlados. 30
20
10
Desv. típ. = 2,62 Media = 82,5 N = 80,00
0 76,0
80,0 78,0
84,0 82,0
88,0 86,0
90,0
TABLA DE FRECUENCIAS
Válido s
76,00 77,00 78,00 79,00 80,00 81,00 82,00 83,00 84,00 85,00 86,00 87,00 88,00 90,00 Total
Frecuenci Porcentaj a e 1 1,3 1 1,3 5 6,3 3 3,8 6 7,5 10 12,5 16 20,0 12 15,0 12 15,0 3 3,8 6 7,5 3 3,8 1 1,3 1 1,3 80 100,0
Porcentaje Porcentaje válido acumulado 1,3 1,3 1,3 2,5 6,3 8,8 3,8 12,5 7,5 20,0 12,5 32,5 20,0 52,5 15,0 67,5 15,0 82,5 3,8 86,3 7,5 93,8 3,8 97,5 1,3 98,8 1,3 100,0 100,0
b) Calcule la media y la desviación estándar y tomando estos como parámetros poblacionales entre los índices Cp, Cpk, Cpm, K; e interprete con detalle. N
Válidos Perdidos
Media Mediana Moda Desv. típ. Varianza Asimetría Error típ. de asimetría Curtosis Error típ. de curtosis Rango Mínimo Máximo
80 0 82,4500 82,0000 82,00 2,62365 6,88354 ,097 ,269 ,311 ,532 14,00 76,00 90,00
Índices de funcionalid ad
CP(a) CpL(a) CpU(a) K CpK(a) CR(a) CpM(a,b)
1,486 1,850 1,122 ,245 1,122 ,673 1,003
Cp= 1.486; este valor es mayor que 1.33 por lo tanto es un proceso bueno adecuado. Cpk= 1.122; se tiene poca variación con el Cp, pero de acuerdo a las especificaciones de (1.25-1.45 que es un proceso satisfactorio), en nuestro caso esta por debajo por lo tanto es un problema por lo tanto la media esta próxima. Cpm=1.003; de acuerdo a especificaciones mayor a 1, el proceso cumple con las especificaciones. K= 0.245; de acuerdo a especificaciones (20% proceso aceptable), en nuestro caso esta por encima que quiere decir que el proceso esta descentrado a la derecha. c) Estime también con base a la tabla 5.2 el porcentaje fuera de especificaciones. Para Cp = 1.486 de la tabla (5.2) el porcentaje seria de 0.0007% de productos lácteos que produce fuera de la especificación que correspondería a (0.0007*100*100) = 7 productos lácteos malos por cada millón producido.
d) ¿Las estimaciones hechas en los dos incisos anteriores y las correspondientes estimaciones se deben ver con ciertas reservas? ¿Por que? Se debe tomar con suma cautela los datos o índices críticos como el valor de K para analizarlo y estudiarlo para que el proceso cumpla con las especificaciones.
6.- Para el ejercicio 15 del capítulo 2, estime los índices de capacidad Cp, Cpk y K e interprételos. Cps = ES - μ Datos Cp = ES - EI 3σ EI = 27.5 6σ ES = 28.5 valor nominal N = 28 gr. K=μ - N * 100 Cpi = μ - EI Media = 27.96705 3σ 1(ES – EI) σ = 0.159281 27.72 28.06 27.81 27.87
28.39 27.91 27.74 27.87
28.21 27.97 27.95 27.82
28.19 27.95 27.91 28.23
28.02 27.96 27.93 27.9
27.93 27.94 28.07 27.91
27.89 28.04 28.13 28.16
27.88 28.05 27.98 27.94
27.86 28.26 27.95 28.22 28.09 28.13 28.04 27.63 27.85 28.16
27.84 28.1 27.94 27.96 28.02 27.88 28.05 27.93 27.84 28.16
27.7 27.94 27.81 27.88 27.85 28.11 27.75 27.74 28.12 28.01
27.98 28.07 27.76 28.08 28.27 28.05 27.89 28.1 28.01 28.13
28.02 27.84 27.96 28.04 27.75 28.14 27.94 28.14 27.97 27.97
28 27.9 27.84 28.19 27.98 28.11 28.19 27.91 27.88 27.9
27.99 27.87 27.85 27.89 27.75 28.08 28.1 27.84 28 27.87
28.13 27.76 27.93 28.08 27.82 28.16 27.78 27.21 28.1 27.94
Cp = (28.5 – 27.5)/(6*0.159281) = 1.04636 K = 2*((27.96705 – 28)*100)/(28.5 – 27.5) = - 6.59% Cpi = (27.96705 - 27.5)/(3*0.159281) = 0.977413083 Cps = (28.5 - 27.96705)/(3*0.159281) = 1.115324489 Cpk = valor minimo(0.977;1.115) = 0.977 Como el Cp es menor a 1.33 se pude decir que el proceso esta parcialmente adecuado y requiere de un control estricto (pertenece a la clase dos),y como el K es mayor a 20% quiere decir que el proceso es muy descentrado lo que puede contribuir de manera significativa a que la capacidad sea baja para cumplir con las especificaciones y al ser negativo indica que esta muy descentrado a la izquierda. En el programa SPSS se obtiene lo siguiente:
ej15cap2 40
30
20
10 Desv. típ. = .16 Media = 27.97 N = 112.00
0 27.25
27.50 27.38
27.75 27.63
28.00 27.88
28.25 28.13
28.38
ej15cap2
Estadísticos ej15cap2 N
Válidos
112
Perdidos
3
Media
27.9671
Error típ. de la media
.01505
Mediana
27.9550
Moda
27.94
Desv. típ.
.15928
Varianza
.02537
Error típ. de asimetría
.228
Curtosis
3.619
Error típ. de curtosis
.453
Rango
1.18
Mínimo
27.21
Máximo
28.39
Gráfico de control: ejer.num.6 28.78467
28.37586 ejer.num.6 LCS = 28.4274
27.96705
Espec U = 28.5000 Promedio = 27.9671
27.55824
Espec L = 27.5000 27.14944
LCI = 27.5067 1
13 7
25 19
37 31
49 43
61 55
73 67
85 79
97 91
109
103
Nivel sigma: 3
Estadísticos del proceso ndices de funcionalidad
K
.066
Índices de rendimiento
PP
1.046
PpL
.977
PpU
1.115
PpK
.977
PR
.956
PpM(a)
1.025
Z-inferior Z-superior
2.932 3.346
Z-mín
2.932
Z-máx
3.346
% est. fuera de los LE
.2%
Se asume la distribución normal. LSL = 27.5 y USL = 28.5. a El valor de destino es 28.
8.- En el ejercicio 17 del capítulo 2, fijando a la meta como especificación superior y a la media como valor nominal, y estime el índice Cps e interprételo. Datos Datos ES = 6 horas μ = 5.365 σ = 1.618 Moda= 5.40 Mediana = 5.5000 Cps = ES - μ 3σ
5 4.1 5.5 3.2 7.7 4.5 4.7
5.3 3 7.9 3.9 3.9 6.5 6.3
7.1 5.7 2 5.9 5.8 4.1 6
7 6.7 5.4 3.6 5.9 7.5 3.1
5.5 6.8 2.9 4 1.7 6.8 4.8
4.4 4.7 5.3 2.3 3.2 4.3
5.4 7.1 7.4 8.9 6.8 5.9
6.6 3.2 5.1 5.8 7 3.1
7.1 5.7 6.9 5.8 5.4 8.3
Cps = (6-5.365)/(3*1.618)= 0.13082 Significa que cumple con especificaciones ya que esta por encima de cero, pero requiere control estadístico. En el programa SPSS se tiene:
4.2 4.1 7.5 6.4 5.6 5.4
EJ17CAP2 12
10
8
6
4
Desv. típ. = 1.62
2
Media = 5.36 N = 65.00
0 1.50
2.50
2.00
3.50
3.00
4.50
4.00
5.50
5.00
6.50
6.00
7.50
7.00
8.50
8.00
9.00
EJ17CAP2
9. Para el ejercicio 21 del capitulo 2, estime el Cpi e interprételo. REGLA EMPIRICA 99,70% X + 3S 31,26 LCS X - 3S 22,93 LCI Índices de funcionalid ad
CpL(a) 0,966
Si lo consideramos como Cpk este no cumple con las especificaciones ya que se encuentra por debajo de (1.25-1.45), por lo tanto es un proceso no satisfactorio.
10.- En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema que ésta tenga 45% de grasa, con una tolerancia de ±5. De acuerdo con los muestreos de los últimos meses se tiene media de 44,5 con una desviación estándar de 1,3. Haga un análisis de capacidad para ver si se cumple con la calidad exigida (Cp, Cpk, K, Cpm, límites reales) Datos Valor nominal(N)=45% de grasa ES = 50% de grasa EI = 40% de grasa μ = 44.5 σ = 1.3
Cpm = ES - EI 6
=√
σ2 + (μ -N)2
LRI= μ - 3σ LRS= μ + 3σ Cpi = μ - EI 3σ
K = 2*((44.5 – 45)*100)/(50-40) → K= -10% → Cp = 1.282051282 Cp = (50-40)/(6*1.3) Cpi =(44.5 - 40)/(3*1.3) → Cpi= 1.153846154 Cps=(50 – 44.5)/ )/(3*1.3) → Cpi= 1.41025641 Cpk=valor min(1.15;1.41) → Cpk= 1.153846154 =√ 1.32 + (44.5 -45)2 → = 1.392838828 Cpm= (50 - 40)/(6* 1.3929388) →Cpm = 1.196596931 LRI = 44.5 – 3*1.3 → LRI = 40.6% LRS = 44.5 + 3*1.3 → LRS = 48.4% Se espera que la caracteristica de calidad varie entre 40.6 y 48.4% con una media de 44.5, al comparar con las especificaciones se aprecia que los limites reales caen dentro de las mismas aunque la especificación inferior corre peligro ya que es muy proxima a la tolerada .se concluye que el proceso es capaz de cumplir con las mismas. El Cp nos muestra que el proceso esta parcialmente adecuado y requiere un control estricto y como el Cpk esta proximo a este se puede afirmar que la media del proceso esta muy cerca al punto medio de las especificaciones .Como el valor de K es menor al 20% se concidera el proceso aceptable y esta relativamente centrado a la izquierda.
14.- La especificación del peso de una preforma en un proceso de inyección de plástico es de 60±1 g. Para hacer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una muestra aleatoria de n = 40 piezas, resultando que X=59,88 y S=0,25. a) Estime con un intervalo de confianza al 95% los índices Cp, Cpk y Cpm e interprete cada uno de ellos Datos 59,8 < μ < 59,96 Valor nominal(N)= 60gr 0,20 < σ < 0,32 EI=59 1,04 < Cp < 1,67 ES=61 Cpi > 0,83 Muestra (n)= 40 Cps > 1,08 X= 59.88 Cpk = Cpi > 0,83 S= 0.25 Intev confianza=95% 0,88 < Cpm < 1,63
b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria? Debido a que por falta de datos no se realizó una estimación puntual, no se puede tener la seguridad de un proceso satisfactorio, pero se pudo concluir que con una confianza del 95% se cumplen con las tolerancias permitidas aunque el proceso se encuentra ligeramente descentrado a la izquierda en el peor de los casos. c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo? Porque de esta manera podemos estimar en el mejor y en el peor caso el estado del proceso 17. La longitud de una pieza metálica debe ser de 8 cm. (8000 µm) ± 40 µm (0.04cm). Para evaluar la capacidad del proceso se toma una muestra aleatoria sistemática de 50 piezas y las mediciones obtenidas se reportan como las micras que se desvían del valor nominal: LONGITUD (desviación en micras ) -10 -31 -16 -7 0 3 0 -21 8 -7 -2 -7 -14 -2 5 8 -2 -5 8 2 -45 -12 -5 12 -19 18 -10 -14 -5 -10 7 12 4 5 -2 5 -13 14 5 -9 -2 3 20 -4 -4 1 4 17 a) Dado que ahora, como están reportados los datos, las especificaciones son 0 ± 40, obtenga una grafica de capacidad y haga una evaluación de la capacidad del proceso. 10
8
6
4
2 Desv. típ. = 12,21 Media = -2,4 0
N = 48,00 - - 1 1 2 4 4 - 3 - 3 - 2 - 2 - 1 - 1 - 5 5 0 0 5 , 0 , 0 , 0 , 0 5 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 5 , 0 0 , 0 5 , 0 0 , 0 5 , 0 0 , 0
ej.17
b) Estime, con un intervalo de confianza del 95%, los índices Cp, Cpk, y Cpm, e interprete cada uno de ellos. Val. nominal(N) = ; EI = 40 ; ES = -40 ; Muestra(n) = 48 ; X = -2.44 ; S=12.21 ;Intev confianza =95% ; α = 0.05 ;
Índices de funcionali dad
CP(a) CpL(a) CpU(a) K CpK(a) CR(a)
1,180 1,109 1,252 ,061 1,109 ,847
CpM(a,b)
1,154
Intervalos de confianza:
Interpretación: El 0.035; 0.015; 0.326 son los errores de estimación y son iguales a la magnitud del intervalo de confianza. De esta manera con una confianza del 95% el verdadero valor del índice Cp está entre 1.215 y 1.145 (1.180±0.035); Cpk entre 1.124 y 1.094 (1.109±0.015); y el Cpm entre 1.48 y 0.828 (1.154±0.326); por lo tanto el proceso es adecuado porque se encuentra por encima de la unidad. En cuanto al Cpk bueno (1.124) y malo (1.094) y el Cpm bueno (1.48) y el malos (0.828). los resultados son pero para aun mas ladel incertidumbre el error de estimación, es necesario c) favorables ¿Hay seguridad de reducir que la capacidad proceso seay satisfactoria? medir mas piezas (incrementar el tamaño de laque muestra). De acuerdo a los datos obtenidos se dice el proceso es adecuado por lo tanto existe seguridad.
d) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo? Porque los datos obtenidos son de una muestra y no de una población y para que sea creíble este se lo realiza por intervalos.
18.- En el problema 24 del capítulo 2 se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) esté entre 2,5 y 3,0. Analizando los datos obtenidos: a) Calcule índices de capacidad de proceso, en especial el K, Cp y Cpk, e interprételos. Datos EI=2.5 ES=3.0 Muestra (n)= 115 X=2.5972 S= 0 .05503 Intev confianza=95% Mediana=2.6000 Valor nominal=2.75
2,61 2,69 2,61 2,57 2,73 2,60 2,61 2,64 2,50 2,56 2,56 2,61 2,53 2,57 2,60 2,64 2,63 2,67 2,67 2,51 2,56 2,53 2,68 2,69 2,60 2,64 2,64
Mediciones de Longitud 2,62 2,65 2,56 2,53 2,67 2,66 2,64 2,49 2,58 2,56 2,52 2,58 2,51 2,61 2,71 2,61 2,55 2,66 2,49 2,63 2,72 2,62 2,64 2,65 2,65 2,57 2,55 2,60 2,59 2,56 2,62 2,63 2,57 2,60 2,52 2,62 2,57 2,66 2,51 2,58 2,52 2,61 2,64 2,56 2,60 2,67 2,60 2,59 2,57 2,61 2,49 2,65 2,60 2,58 2,61 2,52 2,65 2,52 2,53 2,59 2,52 2,61 2,66 2,58 2,55 2,55 2,63 2,61 2,64 2,67 2,67 2,64 2,67 2,57 2,55 2,56 2,70 2,65 2,67 2,60 2,59
μ = 2,60 σ = 0,12 / 2,326 = 0,051
Cp = 0,5 / 6*0,051 = 1,634 Cps = 2,61 Cpi = 0,65 Cpk = Cpi = 0,65 K = - 60%
2,68 2,63 2,61 2,64 2,64 2,69 2,67 2,67 2,64 2,57 2,60 2,67 2,57 2,55 2,57 2,67 2,60 2,59 2,57 2,59 2,66 2,48 2,64 2,57 2,57 2,52 2,57
Media
Rango
2,62 2,64 2,59 2,57 2,64 2,62 2,62 2,64 2,58 2,58 2,60 2,60 2,57 2,57 2,59 2,63 2,58 2,62 2,60 2,55 2,60 2,54 2,64 2,65 2,59 2,61 2,61
0,12 0,16 0,15 0,12 0,22 0,14 0,23 0,05 0,15 0,04 0,07 0,15 0,15 0,09 0,08 0,08 0,14 0,09 0,15 0,08 0,14 0,10 0,07 0,12 0,12 0,18 0,10
2,60
0,12
b) Con la evidencia obtenida, ¿cuál es su opinión sobre la capacidad del proceso referido? El proceso esta descentrado a la izquierda en un 60%, aunque cumple con las especificaciones. 23. Supongamos que la longitud de un ensamble final, y esta dado por la siguiente combinación lineal de tres componentes individuales y = x1 + 3x2 + x3 . Para la longitud final se tiene una tolerancia de 180 ± 2.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuye normal con media y varianza conocida: x1 - N (39.8; 0.23), X2 - N (60.1; 0.59), x3 - N (79.9; 0.92). Todas las longitudes están dadas en milímetros. Las longitudes de las componentes pueden ser supuestas independientes, ya que son producidas en maquinas diferentes. Encuentre el porcentaje de ensambles finales que cumplen con especificaciones.
ES = 180 + 2.5 = 182.5
;
EI = 180-2.5 = 177.5
µy = 39.8 + 3*(60.1) + 79.9 = 300 σy = 0.23 + 3^2*(0.59) + 0.92 = 6.46
=
= Ф (2.5) - Ф (-2.5) = 0.994 - 0.006
= 0.988 = 98.8 % Rpta. Por lo tanto el 98.8 % de los productos ensamblados caerán dentro de los limites de especificación. De aquí que si no se esta satisfecho con este porcentaje habrá dos alternativas: o se amplían las especificaciones del ensamble final o se reduce la variación de las componentes.
24.- La longitud de un ensamble final, y, está dado por la siguiente combinación lineal de cuatro componentes individuales: y=x1 + 3x2 + x3 +x4. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 107 ±1,5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuye normal con med ia y varianza conocida: x1 ≈ N(19,8;0,15), x2≈N(10,;0,09), x3 ≈N(25,02;0,3) y x4 ≈N(32;0,23). Todas las longitudes están dadas en milímetros. Las longitudes de los
componentes pueden ser supuestos independientes, ya que son producidas en máquinas diferentes. Datos Valor nominal(N)=107 EI=105.5 ES=108. a) ¿Qué porcentaje de ensambles finales cumplen con especificaciones? μy = 19,8 + (3*10) + 25,02 + 32 =
106,82 σ2y = 0,15 + (9*0,09) + 0,3 + 0,23 =
1,49 P (105,5< y < 108,5) = (1,5/RAIZ 1,49) - (-1,5 / RAIZ 1,49) =0,8907 - 0,1093 = 0,7814 = 78,14%
b) Calcule el Cp y Cpk para el ensamble final e interprete. Cp = 3 / (6*1,22) = 0,409 Cpi = (106,82 - 105,5) / 3*1,22 = 0,36 Cps = 0,459 El proceso esta descentrado a la izquierda, además no cumple con especificaciones de tolerancia
c) En caso de que la capacidad sea inadecuada, ¿qué alternativas sugiere? Se sugiere que se mejore el centrado del proceso, además que se disminuya la variación del mismo.
