CÁLCULO INTEGRAL APLICADO EN ÁREAS DE GESTIÓN EMPRESARIAL INTRODUCCIÓN GENERAL En el actual documento se expondrán distintas aplicaciones del cálculo en las diversas áreas de Ing. en Gestión Empresarial, sabemos ahora que el cálculo integral tiene diversas aplicaciones no solo en el campo de las matemáticas. Después de analizar se puede deducir la importancia del el cálculo integral, para cualquier situación o problema, que implique poder ver los distintos actores ! las posibles derivadas que podemos extraer, ! descomponer a ondo el problema para llegar a una conclusión menos complicada a lo que era el problema original, poder analizar a ondo cada uno de los elementos, actores, o situaciones derivadas, para poder obtener causas, ! posibles consecuencias a de dichos problemas, esto inclu!e situaciones en la carrera de un IGE ! en este documento se presentaran varios escenarios en los cuales es necesaria la aplicación del cálculo integral para lograr obtener un resultado deseado.
CÁLCULO INTEGRAL APLICADO A PROBLEMAS DE ECONOMÍA UTILIDAD En la teor"a del comportamiento del consumidor se airma que éste escoge entre las posibilidades de que dispone, de manera que maximice la satisacción derivada del consumo o uso de los art"culos. Esto implica que el consumidor conoce las opciones ! es capaz de evaluarlas. #oda la inormación relevante respecto de la satisacción que un consumidor obtiene de las diversas cantidades de los art"culos está contenida en su unción de utilidad. $a unción de utilidad para una empresa se basa en parte en la teor"a sobre el consumidor, pero toma un sentido dierente en el cual lo que interesa es la cantidad monetaria que ganará al realizar una venta de los art"culos que produce ! el costo en el que incurre para producirlos. %ecordemos que la unción de utilidad de una empresa se determina como la dierencia entre ingresos ! costos &'x( ) I'x( * +'x(, Donde se espera que la empresa obtenga la ma!or ganancia posible. Es de esperarse que si las ventas de una empresa disminu!en, su ingreso también lo hará !, por lo tanto, la utilidad que espera obtener no será la deseada. De igual manera, la utilidad no será grande si los costos se incrementan. De lo anterior se desprende que para un individuo la utilidad estará en unción del nmero de bienes que puede adquirir con una cantidad de dinero, ! para la empresa, la utilidad estará en unción de la cuant"a de art"culos producidos que se demandan en el mercado. En ocasiones nos interesa no sólo conocer la utilidad total que produce un art"culo, o la ganancia que obtiene una empresa al vender cierta cantidad de art"culos, sino también determinar la utilidad marginal.
-or eemplo, para comprender la noción de utilidad marginal para un individuo 'o empresa(, supongamos que una persona pasa un gran periodo de tiempo sin consumir l"quidos !, por tanto, es de esperarse que tenga una gran necesidad de satisacer su sed/ al comenzar a tomar el primer vaso de agua la satisacción o utilidad que le proporciona es alta, pero a medida que va ingiriendo más agua la satisacción es cada vez menor. 0simismo, una empresa espera que su utilidad se incremente al vender una ma!or cantidad de art"culos, por lo que tiene que incrementar su producción, pero también debe considerarse que al aumentar su producción debe subir sus costos, !a que puede ser necesario, además de adquirir una ma!or cantidad de materia prima, contratar más personal o utilizar una ma!or cantidad de maquinaria ! equipo, cuestiones que si crecen demasiado llegarán a un punto donde los costos sobrepasen a los ingresos, provocando que las ganancias se conviertan en pérdidas. La utilidad para una empresa es la cantidad monetaria que espera ganar al efectuar una venta luego de descontar los costos de los artículos que produjo y vendió.
En términos matemáticos podemos decir que al integrar la unción de utilidad marginal obtenemos la utilidad total.
Ejemplo 1 &na empresa comercializa entre otros productos pan de caa ! un vino rancés. $a unción de utilidad marginal del pan está dada por 'x( ) 12 * 3x ! la utilidad marginal del vino está dada por g'x( ) 42 * x. Encontremos5 a( $a unción de utilidad total del pan. b( $a unción de utilidad total del vino. c( 6i el consumidor desea adquirir tres paquetes de pan ! tres de vino, cuál de los art"culos le producirá ma!or utilidad 'satisacción(.
CÁLCULO INTEGRAL APLICADO A PROBLEMAS DE PRODUCCIÓN CONCEPTOS INTRODUCTORIOS El excedente del productor es la cantidad monetaria que recibe como 7ganancia extra7 uera del gasto de producción, al vender su producto a un precio ma!or al !a disponible en el mercado. En otras palabras es el dinero que 7sobra7 ! dicho as", se obtiene como ganancia 'a parte del dinero que recompone gastos de producción o satisace otras necesidades(, a partir de un precio menor o ma!or al estimado para adquirir un producto. El excedente es la parte de la producción que sobra una vez cubiertas las necesidades básicas ! el consumo corriente. El excedente puede acumularse 'almacenarse(, si es convertido en moneda es posible su ahorro. +antidad sobrante o remanente de algo. En general, dierencia entre el valor de los bienes ! servicios producidos por una comunidad durante un determinado per"odo de tiempo ! el valor de la parte de esos bienes ! servicios necesarios para el sostenimiento 'reproducción( de sus habitantes. $a existencia de excedente es condición sine qua non para que el bienestar general de los ciudadanos de un pa"s o su nmero puedan aumentar. EXCEDENTE
unción de producción! Es la relación entre la cantidad máxima de producción E"cedente del productor! Dierencia
existente entre los precios a los cuales
los productores están dispuestos a vender sus productos ! los que reciben en realidad.
EJEMPLO 1
CÁLCULO INTEGRAL APLICADO A PROBLEMAS DE GANANCIA (CONTABILIDAD) INTRODUCCIÓN Es la utilidad, provecho o 8eneicio de orden económico obtenido por una Empresa en el curso de sus operaciones. $a palabra también sirve para designar, en un sentido más concreto, la dierencia entre el -recio al que se vende un -roducto ! el +osto del mismo. $a Ganancia es el obetivo básico de toda Empresa o irma que debe hacer uso, por lo tanto, de la combinación óptima de 9actores -roductivos para reducir sus +ostos lo más posible, atra!endo a la vez a los demandantes de los bienes o servicios que produce para vender éstos al ma!or -recio obtenible. Ganancia total 'G(5 por deinición la ganancia total es igual al ingreso total menos el costo total. G) I#:+#) -;<:+# %elación con el I= ! el +=5 para maximizar la ganancia, la empresa debe buscar el precio ! la cantidad de equilibrio, -; ! <; que le reporten el máximo beneicio, es decir la ma!or dierencia entre I# ! +#. Este precio ! cantidad de equilibrio son aquellos con los que el ingreso marginal es igual al costo marginal. I=)+= con una <; ! un -; de máximo beneicio.
EJEMPLO 1 $a unción de ganancia marginal está dada por G= ) >2?4q@?A2q. a( +alcular la ganancia total cuando la producción está en el intervalo '@/ 3(. b( %ealizar el inciso anterior gráicamente . a(
G# ) B GCq dq ;
CÁLCULO INTEGRAL APLICADO A PROBLEMAS DE INVENTARIOS INTRODUCCIÓN &n problema comn en las organizaciones es determinar cuánto se debe tener en existencia de un cierto art"culo. -ara el vendedor a menudeo, el problema puede reerirse a cuántas unidades de cada producto debe tener en existencia, !a que no vende grandes cantidades. -ara los productores, el problema puede implicar qué cantidad de cada materia prima debe tener en existencia a in de que si de pronto se incrementa la demanda de sus productos, éste sea capaz de cubrir las necesidades de los consumidores sin tener problemas de abastecimiento. Este problema se identiica con un área llamada, control de inventarios o administración de inventarios .
%especto a la pregunta de qué cantidad de inventario se debe tener a mano, puede haber costos asociados con el hecho de tener mu! poco o demasiado inventario. $a necesidad de los inventarios surge de las dierencias entre el tiempo ! la localización de la demanda ! el abastecimiento, por lo que se usan como amortiguador entre la oerta ! la demanda. $as pol"ticas de inventarios de materias primas, productos en proceso o art"culos terminados, deben tender a lograr un luo continuo entre unciones de producción ! distribución. En general, los problemas de inventario se relacionan con la respuesta de cuánto se debe ordenar 'o producir( ! con qué recuencia se debe reordenar 'o producir( a in de minimizar los costos de llevar el inventario, de producir u ordenar, de escasez o de altante.
EJEMPLO 1 &n distribuidor de pelotas de tenis se siente satisecho porque este deporte se convirtió en uno de los más populares del pa"s. &no de los principales problemas del distribuidor es abastecer la demanda de pelotas de tenis, las cuales compra periódicamente a un abricante de art"culos deportivos. El cambio en el costo de compra ! tener el inventario de pelotas está deinido por la unción5
En donde es el tamao de cada orden 'en docenas de pelotas de tenis( ! +C 'x( es el cambio en el costo anual del inventario. 6i la empresa determina que el costo de mantener el inventario es + ) @ 222 222, determinemos el monto al cual ascienden los costos de inventario si se ordenan A 222 docenas de pelotas.
#olución!
obtengamos el costo del inventario empleando las reglas de
integración.
EJEMPLO ! &n distribuidor de reacciones para automóvil tiene una alta demanda de esos productos por lo cual decide establecer una pol"tica de inventarios a in de no quedarse sin art"culos. 0l eectuar un estudio encontró que el cambio que tiene el costo de tener un inventario es +C 'x( ) 4 ln x, ! el costo de mantener el inventario
es de A3 222/ determinemos el costo por tener ! mantener en inventario 32 art"culos.
6olución5
CONCLUSIÓN A partir de esta investigación me pude percatar que el cálculo integral es muy útil en diversas áreas de las empresas, y si se sabe aplicar nos brinda una solución exacta y mejor comprensión de problemas. Fue interesante ver que es muy importante para un Ing. en Gestión mpresarial saber aplicar el cálculo, pues esto nos brinda una !erramienta más exacta para poner en práctica en el ámbito laboral.
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