Guatemala 7 de marzo de 2014
INTRODUCCIÓN Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas. Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma con A , B, C no todos nulos. Existen 6 superficies cuádricas básicas las cuales son: 1) Elipsoide 2) hiperboloide de una hoja 3) hiperboloide de dos hojas 4) cono elíptico 5) paraboloide elíptico 6) paraboloide hiperbólico (silla de montar) En esta investigación se estudiará la hiperboloide de una hoja. Un hiperboloide es una superficie creada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría. La rotación alrededor del eje conjugado produce un hiperboloide de una hoja, la rotación alrededor del eje transversal crea un hiperboloide de dos hojas. Mediante esta trabajo se tratará como construir un hiperboloide de una hoja y se podrán observar estructuras reales que han sido construidas en base a esta superficie cuádrica.
OBJETIVOS 1. 2. 3.
Identificar la ecuación y gráfica general de un hiperboloide de una hoja. Desarrollar un gráfico de un hiperboloide de una hoja a partir de sus trazas generales en un plano de coordenadas XY, YZ, ZX y XYZ. Representar por medio de una maqueta la superficie de un hiperboloide de una hoja.
MARCO TEÓRICO ¿Qué es un hiperboloide de una hoja? La Hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases: de una y de dos hojas En esta investigación se trabajará sobre un hiperboloide de una hoja; esta es la superficie que se engendra al deslizar un segmento inclinado sobre dos círculos horizontales y se expresa en un sistema de coordenadas cartesiano mediante la fórmula:
Los parámetros a, b, c son los semiejes del hiperboloide de una hoja. Al seccionar la figura por planos paralelos al XOY, las secciones son elipses semejantes. La elipse determinada por el plano XOY es la menor de todas las posibles y recibe el nombre de elipse de garganta. Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de una hoja es es:
¿Cómo se construye un hiperboloide de una hoja? Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación:
- El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto al origen de - El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los ejes de - El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos - Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide - El hiperboloide de una hoja se extiende infinitamente
coordenadas. coordenadas. coordenados. son hipérbolas.
La superficie del hiperboloide se puede generar mediante el giro de una hipérbola alrededor de su eje imaginario. Pero para ver mejor que se trata de una superficie reglada, también se puede generar haciendo girar una recta inclinada alrededor de un eje que no toca esta r ecta. Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma Hiperboloide de una hoja eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo Para identificar el hiperboloide de una hoja lo hacemos mediante las trazas con los planos coordenados: Son 2 hipérbolas y una elipse (la “cintura” del hiperboloide) Para graficar esta superficie cuádrica se utilizan tres elementos básicos
a) Identificar el eje del hiperboloide b) Encontrar las trazas con planos perpendiculares al eje del hiperboloide y graficar estas trazas en el espacio c) Unir estos cortes con hipérbolas (preferentemente las hipérbolas ubicadas en planos coordenados)
Ejemplos reales de estructuras con hiperboloides de una hoja
CORPORATION STREET BRIDGE
Este puente está ubicado en la ciudad de Manchester, Inglaterra. Se encuentra en la calle Corporation y une a Manchester Arndale y Marks & Spencer, ambos centros comerciales conocidos en la ciudad. Este puente fue construido en 1999, luego de un ataque de una bomba como muestra de un renacimiento. Fue construido por la fir ma de arquitectos Hodder + Partners.
TORRE DE KOBE La Torre de Kobe es uno de los atractivos turísticos más destacados de Japón, mide 108 metros y su diseño está inspirado en el tambor tradicional japonés, Okedo-daiko.
TORRE DE TELEVISIÓN DE CANTÓN Esta torre se encuentra en Cantón, China. Esta torre fue diseñada por los arquitectos Mark Hemel y Barbara Kuit. La torre fue completada el 29 de Septiembre de 2010. La Torre de televisión de Cantón como estructura hiperboloide girada corresponde a la patente el ingeniero Vladímir Shújov. En la cintura de la torre se encuentra "Paseo por el Cielo", una escalera al aire libre donde los visitantes pueden subir a la cima de la torre. Hay jardines al aire libre establecidos dentro de la estructura, y en la parte superior una gran plataforma de observación abierta de aire. En el interior se encuentran instalaciones de transmisión de televisión y radio, restaurantes, espacios para exposiciones, salas de conferencias, tiendas y salas de cine 4D.
TORRE DE SHUJOV COMO REFERENCIA La Torre de Shújov, es una estructura hiperboloide, también conocida como la torre Shábolovka, es un marco de acero aislado de 160 metros de alto torre hiperbólica en Moscú, que fue construida entre 1920 y 1922 como una torre de transmisión para la red de radiodifusión rusa. El arquitecto que diseñó esta torre es Vladímir Grigórievich Shújov, quien ha patentado muchas construcciones hiperbólicas. Esta construcción ha sido la base para todas las construcciones huperbólicas.
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA Anónimo (s. f.) Hiperboloide Fecha de Consulta (4/02/14) [En Red] Disponible en: http://www.ecured.cu/index.php/Hiperboloide#Fuentes Anónimo (s. f.) Hiperboloide Fecha de Consulta (4/02/14) [En Red] Disponible en: http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/hiperboloide.html
