Guías de Ejercicios 1. Guía de ejercicios Nº1. Unidad II: I I: Programación Lineal. Problema 1 La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado l imitado tanto por la cantidad de tierra cultivable cul tivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes:
Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla:
Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrará la misma fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que encara la OTCC es plantear cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a cargo de la OTCC.
1
Problema 2 La Refinería OIL produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos de gasolina son preparados con materia prima de petróleo los cuales pueden ser petróleo nacional refinado y petróleo importado refinado. Los tipos de gasolina deben cumplir con las siguientes especificaciones:
Las características del inventario de petróleos refinados que posee OIL S.A. son las siguientes:
Formule un modelo de programación lineal que permita saber las cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar OIL S.A. en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal.
Problema 3. Solución gráfica. Supongamos una empresa que puede producir sillas y mesas, las que llamaremos: Xs: nº de sillas. Xm: nº de mesas. Para esto, disponemos de 2 insumos, madera y mano de obra, en las siguientes cantidades: 450 Unid de madera y 400 hh. Para fabricar una silla, necesitamos 15 unid de madera y 10 hh. Para hacer una mesa 15 unid de madera y 20 hh. La ganancia unitaria es 45 por silla y 80 por mesa. ¿Cuánto producimos de cada producto?
2
2. Guía de ejercicios Nº2. Unidad III: I II: Simplex. Ejemplo: min − 2 x1
− x 2
s.a x1
+ x 2 ≤ 10
2 x1
+ x 2 ≤ 12
x1 , x 2
≥
0
Su forma estándar sería:
min − 2 x1
− x 2 +
0 x3
+
Su forma matricial:
x1 x 2 min (− 2 , 1, 0 , 0 ) ⋅ x 3 x 4
0 x 4
s.a x1
+ x 2 + x 3 = 10
2 x1
s.a
x1 1 1 1 0 x 2 10 2 1 0 1 ⋅ x = 12 3 x 4
+ x 2 + x 4 = 12
x1 , x 2 , x3 , x 4
≥
0
Algoritmo simplex fase 2 es porque asume conocido el punto de partida.
Iteraciones: Iteración 0: Si parto de x1 x R x B
=
x2 = 0
=
1 0 0 1
{ x1 , x 2 } = { x 3 , x 4 } =
B
=
1 0 0 1
⇒ B
R
=
1 1 2 1
⇒ R = B
−1
−1
⋅ R =
1 0 1 1 1 1 0 1 ⋅ 2 1 = 2 1 3
b
= B
−1
⋅b =
1 0 10 10 0 1 ⋅ 12 = 12
Por lo tanto, esta solución es factible. •
Criterio de optimalidad:
c1 − 2 0 1 1 − 2 = − ⋅ − 1 0 2 1 = − 1 c 2 Esto nos dice, que no estamos en el óptimo, ya que los costos reducidos de las variables que probamos como no básicas están dando negativos, por lo que ingresando al menos una de estas variables nos podemos desplazar en alguna dirección que mejora mi función objetivo, ya que reduciríamos los costos. •
Criterio de entrada:
min{− 2,−1} = −2 c j < 0
Entra x1 , porque esta es la variable asociada al c1 . •
Criterio de salida: Se que del resultado de B
−1
⋅ R ,
la primera columna está asociada a x1 y
me integra el vector b.
10 12 min , = {10,6} = 6 1 2 ai 1 > 0 1 Por lo tanto, sale x 4 porque el 6 es el menor y este número esta asociado al segundo componente de los x B .
Aplicando el cambio de variables, nos queda:
x R x B
{ x 4 , x 2 } = { x 3 , x1 } =
Iteración 1: 1
La primera coordenada esta asociada X 3 y la segunda a X 4.
4
1 = 0
− 2
1 1 B = 0 2
⇒ B
0 1 R = 1 1
1 ⇒ R = B ⋅ R = 0
1 b = B ⋅ b = 0 −1
−1
1
1 2
−1
0 1 − 12 ⋅ = 1 1 1 1 2 2
1
− 2
− 2 1
1 2
− 2
10 6 0 ⋅ 12 = 4 ≥ 0 1 2
1
Por lo tanto, esta solución es factible. •
Criterio de optimalidad:
c4 0 0 − 12 = − ⋅ 1 c2 − 1 − 2 2
− 2
0 − 1 1 = − 1 − − 1 = 0 ≥ 0 1 2 1
Como vemos, ahora si estamos en el óptimo, ya que los costos reducidos de las variables no básicas son positivos.
5
Problema 1 Para un problema de planificación de producción un a empresa ha planteado el siguiente modelo:
Donde:
La función objetivo mide la utilidad neta obtenida por la empresa en la venta de los artículos 1, 2 y 3. Las restricciones se refieren a las disponibilidades de recursos para la producción. Sean X4 y X5 las variables de holgura para las respectivas restricciones funcionales. Después de las sucesivas iteraciones, en el óptimo se sabe que la empresa decide no fabricar el artículo 1 y que agota completamente los recursos disponibles para la fabricación. Además, en el óptimo se s abe que: CB = (C3,C2) =( 2,1) Con la información anterior, se pide:
1. Determinar cuántas unidades de cada artículo se producen y el monto del beneficio total obtenido por la empresa (optativo). 2. Resuelva el problema por el método Simplex y verifique que la solución óptima indicada está correcta.
3. Indique los valores de los costos reducidos asociados a cada variable, de una interpretación de los mismos.
Problema 2 Verificar optimalidad e identificar particularidad del siguiente problema mediante los criterios del método simplex.
6
ma x x1
+ x 2
s.a − x1 + x 2 ≤ − x1 +
2 x 2
xi
0
≥
2
≤
6
7
3. Guía de Ejercicios Nº3.Unidad IV: Dualidad. Problema 1
8
9
4. Guía de ejercicios Nº4 Contenidos.
/ Pauta incluida. Unidades I-V: Resumen de
Problema 1 Comente acerca de la veracidad o falsedad de las siguientes aseveraciones:
1. Si un problema de programación lineal es infactible su dual es necesariamente no acotado. 2. Si conozco la solución óptima de un PPL, tengo inmediatamente el valor de la función objetivo óptima del problema dual asociado sin necesidad de utilizar el teorema de holgura complementaria.
3. Si conozco los precios sombra de un problema de programación lineal puedo reconstruir directamente la solución (primal) de este problema.
4. El precio sombra de toda restricción inactiva es cero. 5. Hacer análisis de sensibilidad corresponde a utilizar la información dada por la resolución de un PPL para ver cómo sería la nueva solución si varía alguno de los parámetros del problema.
SOLUCION Problema 1 1. Falso, ya que el problema dual puede ser infactible. 2. Verdadero, porque se tendrá que el valor de la función objetivo dual óptima coincidirá con el valor de la función objetivo primal óptima. 3. Verdadero, pues el vector de precios sombras es el vector de variables duales óptimas. Luego, puedo aplicar el teorema de holgura complementaria para recuperar la solución primal. 4. Verdadero. Basta aplicar el teorema de holgura complementaria. Otra forma de verlo es a través de un problema de producción (combinación de productos): Al aumentar marginalmente la disponibilidad de un recurso sobre el cual tenemos holguras, no nos aporta ningún aumento de los beneficios. 5. Falso. Eso correspondería a análisis post optimal. Análisis de sensibilidad estudia las condiciones que deben darse sobre los parámetros para que la solución siga siendo óptima.
10
Problema 2 Una granja utiliza dos preparados alimenticios (P1 y P2) para la cría del ganado. El costo pro kilogramo de esos dos preparados es de 2 unidades monetarias y 3 unidades monetarias respectivamente. Por otra parte, los aportes vitamínicos de cada kilo de los preparados se expresan en la siguiente tabla: Kg P1
Kg P2
Unidades de Vitamina A
5
3
Unidades de Vitamina B
1,5
3
Unidades de Vitamina C
1
1,5
Los expertos en nutrición animal recomiendan que cada animal reciba al menos las siguientes unidades diarias de cada una de las vitaminas: Unidades diarias de Vitamina A
27
Unidades diarias de Vitamina B
15
Unidades diarias de Vitamina C
9
El objetivo de los responsables de la granja es decidir las cantidades diarias de cada uno de los dos preparados que deben suministrarse a cada animal, de forma que, por un lado se cumplan las recomendaciones de los dietistas, y por otro se minimicen los costos de alimentación del ganado.
i. ii.
Plantee el PPL que permita a los responsables de la granja cumplir con su objetivo. Plantee el problema dual asociado, explicando cada uno de sus componentes en relación al problema primal.
SOLUCION Problema 2 El Planteamiento del modelo es: x1, x2 representan las cantidades diarias, en kilos, suministradas a cada animal de los preparados P 1, P2 respectivamente.
Min Z= 2x1+3x2 (costos en unidades monetarias por animal y día) s.a. 5x1+3x2 ≥ 27 (mínima cantidad unidades de vitamina A) 1,5x1+3x2 ≥ 15 (mínima cantidad unidades de vitamina B) 1x1+1,5x2 ≥ 9 (mínima cantidad unidades de vitamina C) x1 , x2 ≥ 0 Luego el mínimo se alcanza en: 11
x1 = 3 ( 3 kg. del preparado P 1) x2 = 4 ( 4 kg. del preparado P 2) Z = 18 (18 unidades monetarias por animal y día)
12
EL DUAL SERÁ: Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado, que desea suministrar a la granja del ejemplo anterior tres tipos de pastillas vitamínicas. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2. Sean y1, y 2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que además resulten atractivo para los responsables de la granja.
a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 ≤ 2. b) Cada kilogramo del preparado P 2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 3y 1+3y2+1,5y3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 ≤ 3. c) Por supuesto, los precios de las pastillas vitamínicas deben ser positivos, por tanto se tienen además las condiciones de no negatividad de y1, y2 y y3. Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarán justamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del ganado de cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían 27 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de Z = 27y 1+15y2+9y3 por animal y día. Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programa lineal: Máx Z=27y1+15y2+9y3 s.a. 5y1+1,5y2+1y3 ≤ 2 3y1+3y2+1,5y3 ≤ 3 y1, y2, y3 ≥ 0 La solución de dicho problema se alcanza cuando: y1= 0 y2= 0 y y3= 2 Z = 18 Observemos como dos de los precios han resultado ser nulos. Esto significa que la granja con los preparados P1 y P2 solo debe preocuparse de aportar al ganado las unidades necesarias de vitamina C, ya que con ello conseguirían también los aportes necesarios de vitamina A y B. Es la razón por la cual la granja no necesita comprar unidades adicionales de vitamina A y B. Además aumentarle una unidad más al mínimo de la vitamina C en el requerimiento alimenticio representa un aumento marginal de 2 unidades monetarias en l a función objetivo del primal. 13
Problema 3 Considere el clásico problema de combinación de productos sujeto a restricciones de disponibilidad de recursos: Max z = x1 + 3x2 s.a x1 + 4x2 ≤ 100 x1 + 2x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 50 x1, x2 ≥ 0
1. Realice un análisis de sensibilidad para el vector del lado derecho de las restricciones. 2. Realice un análisis de sensibilidad para el vector de coeficientes de la función objetivo. 3. Suponga que se evalúa la posibilidad de fabricar un nuevo producto x nuevo de modo que el problema queda descrito como: Max z = x1 + 3x2 + xnuevo s.a x1 + 4x2 + 5xnuevo ≤ 100 x1 + 2x2 + 3xnuevo ≤ 60 x1 + x2 + 2xnuevo ≤ 50 x1, x2, xnuevo ≥ 0 ¿Sigue siendo óptima la solución anteriormente planteada? Hint: En el óptimo, la base está formada por las variables x 1, x 2 y x 5, en donde se han asignado las variables x3, x4 y x5 como holgura de las restricciones según el orden enunciado.
14
SOLUCION Problema 3
15
16
17
Problema 4 La gerencia de un Parque de Diversiones está planeando la organización de sus nuevas 50 Ha. De parque en tres sectores: Cabalgatas, Plaza de Comidas y Shopping. Cada Ha. Empleada para las cabalgatas genera una tasa de ganancia de $150/hora; cada Ha empleada para plazas de comidas genera una tasa de ganancia de $200/hora. La zona comercial destinada para shopping genera $300/hora. Existen restricciones sobre cómo debe ser organizado el espacio disponible: El espacio total a ser organizado es de 50 Ha. El sector destinado para shopping no puede ser superior a 10 Ha. No más de 200 personas pueden trabajar en el parque. Se requiere al menos 3 personas en el sector de cabalgatas, 6 empleados por Ha en el sector alimentación, y 5 empleados por Ha en el sector de shopping. La reglamentación municipal exige que al menos deben haber 1000 árboles en el área. Una Ha. en el sector alimentación tiene 30 árboles; una Ha. en el sector de cabalgatas tiene 20 árboles; mientras que el sector comercial destinado para shopping no dispone de árboles.
Se pide
I. Formular el PPL correspondiente a la organización de las 50 Ha. de parque, que permita maximizar la ganancia de la empresa.
SOLUCION Problema 4 Formular el PPL correspondiente a la organización de las 50 HA de parque, que permita maximizar la ganancia de la empresa. Max Z = 150x 1 + 200x2 + 300x3 s.a x1 + x2 + x3 ≤ 50 x3 ≤ 10 3x1 + 6x2 + 5x3 ≤ 200 20x1 + 30x2 ≥ 1000 x1, x2, x3 ≥ 0
18
5. Guía de Ejercicios Nº5 / Pauta incluida. Unidad VI: Redes. Problema 1.
19
Desarrollo Problema 1.
20
21
Problema 2.
22
Desarrollo Pregunta 2.
23
24
25
26
Pregunta 3. (Pauta incluida)
27
Pregunta 4. (Pauta incluida)
28
29
Pregunta 5.
30
Desarrollo Pregunta 5.
31
Pregunta 6. Una compañía dispone de tres fábricas para elaborar cuatro productos: A, B, C y D. La oferta de las tres fabricas son de 900, 1200 y 700 unidades respectivamente sin importar que producto se fabrique. Las demanda del producto A es de 500 unidades, la del producto B es de 700, mientras que la demanda de los productos C y D es igual a 900. La fabrica 3 no puede elaborar el producto B. Existe una penalización por demanda insatisfecha, la cual es para cada producto igual a un 25% de su menor costo, pero el producto B debe satisfacer toda su demanda. Los costos se entregan en la siguiente tabla:
Fabrica
A
B
C
D
1
4
3
2
3
2
5
4
4
2
3
4
5
4
Se le pide encontrar el plan de distribución óptimo para la compañía.
32
Desarrollo Pregunta 6. Tabla de Transporte
A
B
C
D
Planta 1
4
3
2
3
900
Planta 2
5
4
4
2
1200
Planta 3
4
M
5
4
700
Dummy
1
M
0,5
0,5
200
500
700
900
900
Solución Básica Factible: Método del Costo Mínimo (asignar la mayor cantidad de productos al casillero que presente el menor costo unitario.
A
Planta 1
B
4
C
3
(1) Planta 2
5
(2) Planta 3
4
D
2
3
900
0
4
2
300 4
M
900
1200
900 5
4
700
33
(3)
300
400
Dummy
1
M
0,5
0,5
(4)
200 700
900
900
500
200
Variables Básicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,B), X(4,A) Número de Variables Básicas: 7 (número de filas – número de columnas = 7)
Costo Total = 700M + 6200
-
Costos reducidos variables básicas
CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,B) = 0; M = U3 + VB CR(4,A) = 0; 1 = U4 + VA
Hacemos U1 = 0 y nos queda
U2 = -1 U3 = M - 5 U4 = M - 8 VA = 9 - M 34
VB = 5 VC = 2 VD = 3 -
Costos Reducidos Variables no básicas
CR(1,A); 4 – (0 + 9 – M) = M - 5 CR(1,B); 3 – (0 + 5) = -2 < 0 CR(2,A); 5 – (-1 + 9 – M) = M -4 CR(2,C); 4 – (-1 + 2) = 3 CR(3,C); 5 – (M - 5 + 2) = - M + 8 < 0 CR(3,D); 4 – ( M – 5 + 3) = - M + 6 < 0 CR(4,B); M – (M – 8 + 5) = 3 CR(4,C); 0,5 – (M – 8 +2) = - M + 6,5 < 0 CR(4,D); 0,5 – (M – 8 + 3) = - M + 5,5 < 0
Entra a la base X(4,D)
La nueva tabla nos queda:
A
Planta 1
Planta 2
B
4
5
C
3
4
D
2
3
900
0
4
2
500 Planta 3
4
M
900
1200
700 5
4
700
35
Dummy
500
200
1
M
0,5
0,5
200
200 500
700
900
900
Variables Básicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,B), X(4,D) Número de Variables Básicas: 7 (número de filas – número de columnas = 7)
Costo Total = 700M + 6100
-
Costos reducidos variables básicas
CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,B) = 0; M = U3 + VB CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD
Hacemos VD = 0 y nos queda
U1 = 3 U2 = 2 U3 = M - 2 U4 = 0,5 VA = - M + 6 36
VB = 2 VC = - 1
-
Costos Reducidos Variables no básicas
CR(1,A); 4 – (3 – M + 6) = M - 5 CR(1,B); 3 – (3 + 2) = -2 < 0 CR(2,A); 5 – (2 – M + 6) = M - 3 CR(2,C); 4 – (2 - 1) = 3 CR(3,C); 5 – (M – 2 - 1) = - M + 8 CR(3,D); 4 – (M – 2 + 0) = - M + 6 CR(4,B); M – (0,5 - 2) = M + 1,5 CR(4,C); 0,5 – (0,5 - 1) = 1 CR(4,A); 0,5 – (0,5 – M + 6) = M + 6
Entra a la base X(3,D)
A
Planta 1
Planta 2
B
4
5
C
3
4
D
2
3
900
0
4
2
700 Planta 3
4
M
1
1200
500 5
500 Dummy
900
4
700
200 M
0,5
0,5
200
37
200 500
700
900
900
Variables Básicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,D) Número de Variables Básicas: 7 (número de filas – número de columnas = 7)
Costo Total = 8500
-
Costos reducidos variables básicas
CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD
Hacemos VD = 0 y nos queda
U1 = 3 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 0,5 38
VA = 0 VB = 2 VC = -1
-
Costos Reducidos Variables no básicas
CR(1,A); 4 – (3 + 0) = 1 CR(1,B); 3 – (3 + 2) = - 2 CR(2,A); 5 – (2 + 0) = 3 CR(2,C); 4 – (2 - 1) = 3 CR(3,C); 5 – (4 - 1) = 2 CR(3,B); M – (4 + 2) = M - 6 CR(4,B); M – (0,5 + 2) = M – 2,5 CR(4,C); 0,5 – (0,5 - 1) = 1 CR(4,A); 0,5 – (0,5 + 0) = 0
Entra a la base X(1,B)
A
Planta 1
Planta 2
B
4
5
C
D
3
2
0
900
4
4
700 Planta 3
4 500
M
3
900
2
1200
500 5
4
700
200
39
Dummy
1
M
0,5
0,5
200
200 500
700
900
900
Variables Básicas: X(1,C), X(1,B), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,D) Número de Variables Básicas: 7 (número de filas – número de columnas = 7)
Costo Total = 8500
-
Costos reducidos variables básicas
CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,B) = 0: 3 = U1 + VB CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD
Hacemos VD = 0 y nos queda
U1 = 1 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 0,5 VA = 0 40
VB = 2 VC = 1
-
Costos Reducidos Variables no básicas
CR(1,A); 4 – (1 + 0) = 3 CR(1,D); 3 – (1 + 0) = 2 CR(2,A); 5 – (2 + 0) = 3 CR(2,C); 4 – (2 + 1) = 1 CR(3,C); 5 – (4 + 1) = 0 CR(3,B); M – (4 + 2) = M - 6 CR(4,B); M – (0,5 + 2) = M – 2,5 CR(4,C); 0,5 – (0,5 + 1) = -1 CR(4,A); 0,5 – (0,5 + 0) = 0
Entra a la base X(4,C)
A
Planta 1
Planta 2
B
4
5
C
D
3
2
200
700
4
4
500
3
900
2
1200
700
41
Planta 3
4
M
5
500 Dummy
1
4
700
200 M
0,5
0,5
200
200 500
700
900
900
Variables Básicas: X(1,C), X(1,B), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,C) Número de Variables Básicas: 7 (número de filas – número de columnas = 7)
Costo Total = 8300
-
Costos reducidos variables básicas
CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,B) = 0: 3 = U1 + VB CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,C) = 0; 0,5 = U4 + VC
Hacemos VD = 0 y nos queda
U1 = 1 U2 = 2 42
U3 = 4 U4 = - 0,5 VA = 0 VB = 2 VC = 1
-
Costos Reducidos Variables no básicas
CR(1,A); 4 – (1 + 0) = 3 CR(1,D); 3 – (1 + 0) = 2 CR(2,A); 5 – (2 + 0) = 3 CR(2,C); 4 – (2 + 1) = 1 CR(3,C); 5 – (4 +1) = 0 CR(3,B); M – (4 + 2) = M - 6 CR(4,B); M – (-0,5 + 2) = M - ,15 CR(4,D); 0,5 – (-0,5 + 0) = 1 CR(4,A); 0,5 – (-0,5 + 0) = 1
Dado que todos los costos reducidos son positivos son mayores o iguales que cero, la solución propuesta es óptima, pero no única (CR = 0).
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Pregunta 7
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Desarrollo Pregunta 7. Iteración 1 T = {1}
V = {2,3,4,5,6,7}
π 1
=∞
π 4
=∞
π 2
=
4
π 5
=∞
π 3
=
3
π 6
=∞
π 7
=∞
Iteración 2 T = {1,3}
V = {2,4,5,6,7}
π 2
=
4
π 4
=
min (3 + 3, ∞ ) = 6
π 5
=∞
π 6
=
π 7
=∞
min (3 + 5, ∞ ) = 8
Iteración 3 T = {1,2,3}
V = {4,5,6,7}
π 4
=
min (4 + 1,6) = 5
π 5
=
min (4 + 4, ∞ ) = 8
π 6
=∞
π 7
=∞
Iteración 4 T = {1,2,3,4}
V = {5,6,7}
π 5
=
min(5 + 3,8) = 8
π 6
=
min(5 + 2,8) = 7
π 7
= ∞
Iteración 5 T = {1,2,3,4,6}
V = {5,7}
π 5
=
min(5+,8) = 5
π 5
=
8
π 7
=
min(7 + 2, ∞ ) = 9
teración 6 T = {1,2,3,4,5,6} π 7
=
V = {7}
min(8 + 2,9) = 9
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Pautas Guías de Ejercicios 1. Pauta Guía de Ejercicios Nº1. Unidad II: Programación Lineal. Problema 1. 1. Variables de decisión:
2. Planteamiento de restricciones: a) Restricción de tierra disponible por parcela.
b) Restricción disponibilidad de agua por parcela
c) Restricción de cuota máxima de cultivo por especie
d) Restricción de misma proporción de tierra cultivable
e) Restricción de no negatividad
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3. Planteamiento de la Función Objetivo:
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Problema 2. 1. Variables de decisión:
2. Planteamiento de Restricciones: a) Restricción de Demanda (Máximo)
b) Restricción de Demanda (Mínimo)
c) Restricción de Disponibilidad de Suministros
d) Restricción de Especificaciones de la Mezcla
e) Restricción de no negatividad
3. Planteamiento de la Función Objetivo: Se producirá una cantidad X1 + X2 de gasolina regular y generara un ingreso de 12(X1 + X2), se producirá una cantidad X3 + X4 de extra y generara un ingreso de 14(X3 + X4). Se usara una cantidad X1 + X3 de petróleo nacional, a un costo de 8(X1 + X3); se usara una cantidad X2 + X4 de importado, a un costo de 15(X1 + X3). La ganancia total, z , es el ingreso menos el costo:
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Problema 3 Max Z = 45 x s
+ 80 x m
s.a
15 x s
+ 15 x m ≤
450
10 x s
+
20 x m
400
x s
≥
0
x m
≥
0
≤
.
Al resolver las ecuaciones, tenemos que la solución gráfica queda de la siguiente forma.
R 1 : (0,30 ) , (30,0 ) R 2 : (0,20 ) , (40,0)
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2. Pauta Guía de Ejercicios Nº3. Unidad IV: Dualidad. Problema 1.
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Problema 2.
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Problema 3
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