El uso tradicional de las plantas medicinales ha acompañado a la humanidad a lo largo de toda su existencia sobre la Tierra. Ha sido esta sabiduría originaria, transmitida de generación en g…Descripción completa
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Leonidas Espinoza Cáceres-Irma A. Bautista Carrasco Física one LABORATORIO N° 01 TEORIA DE ERRORES PARA MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS
n
δx ❑ ∑ = 2
i
i
1
1. OBJETIVO: •
Conocer algunos instrumentos de medición directa.
•
Aplicar la teoría de errores para mediciones directas e indirectas
2. MATERIALES: •
Vernier o calibrador.
•
Tornillo Tornillo micrométrico o micrómetro.
•
Balanza
•
Probeta graduada.
•
Lentejas.
•
Resorte.
•
Cuerpo cilíndrico.
3. FUNDAMENTO TEÓRICO. na na magn magnit itud ud !ísic !ísicaa repr represe esent ntaa todo todo a"ue a"uell llo o "ue "ue se pued puedee medi medir. r. #jem #jempl plos os de magn magnit itud udes es son son la long longit itud ud$$ la masa$ masa$ el tiem tiempo po$$ la tempe temperat ratur ura$ a$ la pote potenci ncia$ a$ la %eloci %elocidad dad$$ etc. Para medir un objeto objeto o cuerpo cuerpo$$ tenemo tenemoss "ue usar
instrumentos de
simismo o es neces necesari ario o de!i de!ini nirr unidades de medición & un método de medición . Asimism
medición. Por ejemplo$ si deseamos medir el largo de una mesa$ el instrumento de medición medición ser' un !le(ómetro o )inc*a. )inc*a. +i *emos *emos elegido elegido el +istema +istema ,nternaciona ,nternacionall de nidades -+,$ la unidad ser' el metro & el instrumento de medición deber' estar calibrada en esa unidad -o subm/ltiplos. #n ciencias e ingeniería$ el concepto de
error tiene un signi!icado di!erente del uso
*abi *abitu tual. al. #s usua usuall el empl empleo eo del del térm términ ino o error error como como an'lo an'logo go o e"ui e"ui%a %ale lente nte a e"ui%ocación. #n ciencia e ingeniería$ el error$ como %eremos en lo "ue sigue$ est' m's bien asociado al concepto de
determinación n del resultado resultado de incertidumbre en la determinació 0
Leonidas Espinoza Cáceres-Irma A. Bautista Carrasco Física one una medición. 1's precisamente$ lo "ue procuramos en toda medición es conocer las cotas -o límites probabilísticos probabilísticos de estas incertidumb incertidumbres. res. 2r'!icamente$ 2r'!icamente$ buscamos establecer un inter%alo$ x´ −∆ x≤ x ≤ x´ + ∆ x Como indica la !igura$ donde con cierta probabilidad$ podamos decir "ue se encuentra el
mejor valor de la magnitud x. #ste mejor %alor$ denotado por x´ -%alor medioes
el m's representati%o de nuestra medición & al semianc*o3 x lo denominamos el error absoluto de la medición.
•
Medida Directa4 #s el %alor "ue resulta de poner en contacto directo el instrumento de medición con el objeto a medir. #stas #stas medidas medidas ser'n denotadas denotadas por x1$ x2 , ,
x3 ,...., ,....,
xn-estas medidas *an de representar a las %ariables independientes. •
Valor Medio o Promedio de n medidas : Repr Represe esent ntaa la medi mediaa aritm aritméti ética ca de n mediciones$ es decir$ es el cociente de la suma de las n mediciones & el numero numero de medicio mediciones nes realizad realizadas$ as$ represe representa nta el %alor %alor represe representa ntati% ti%o o de la obser% obser%ació ación n de
n
medidas$ es decir4
x 1 + x 2+ …+ x n x´ = n 5 "ue es lo mismo$
∑ x
i
x´ = •
i
n
Desviación de una medida4 Representa la di!erencia de un %alor e(perimental de su %alor promedio$ es una cantidad positi%a4
δ x 1=| x 1− x´ | δ x 2=| x 2− x´ | 66.
δ x i=| x i− x´| 7
Leonidas Espinoza Cáceres-Irma A. Bautista Carrasco Física one una medición. 1's precisamente$ lo "ue procuramos en toda medición es conocer las cotas -o límites probabilísticos probabilísticos de estas incertidumb incertidumbres. res. 2r'!icamente$ 2r'!icamente$ buscamos establecer un inter%alo$ x´ −∆ x≤ x ≤ x´ + ∆ x Como indica la !igura$ donde con cierta probabilidad$ podamos decir "ue se encuentra el
mejor valor de la magnitud x. #ste mejor %alor$ denotado por x´ -%alor medioes
el m's representati%o de nuestra medición & al semianc*o3 x lo denominamos el error absoluto de la medición.
•
Medida Directa4 #s el %alor "ue resulta de poner en contacto directo el instrumento de medición con el objeto a medir. #stas #stas medidas medidas ser'n denotadas denotadas por x1$ x2 , ,
x3 ,...., ,....,
xn-estas medidas *an de representar a las %ariables independientes. •
Valor Medio o Promedio de n medidas : Repr Represe esent ntaa la medi mediaa aritm aritméti ética ca de n mediciones$ es decir$ es el cociente de la suma de las n mediciones & el numero numero de medicio mediciones nes realizad realizadas$ as$ represe representa nta el %alor %alor represe representa ntati% ti%o o de la obser% obser%ació ación n de
n
medidas$ es decir4
x 1 + x 2+ …+ x n x´ = n 5 "ue es lo mismo$
∑ x
i
x´ = •
i
n
Desviación de una medida4 Representa la di!erencia de un %alor e(perimental de su %alor promedio$ es una cantidad positi%a4
δ x 1=| x 1− x´ | δ x 2=| x 2− x´ | 66.
δ x i=| x i− x´| 7
Leonidas Espinoza Cáceres-Irma A. Bautista Carrasco Física one 66.
δ x n=| x n − x´ | 2eométricamente podemos interpretarla$ como la distancia de cada %alor e(perimental de su %alor promedio.
x
xi •
Determinación del Error absoluto de medidas directas: Para su determinación$ *acemos empleo de la des%iación est'ndar media o des%iación típica promedio estadístico$ esto es4
E A =
•
√
n
δx ∑ = i
2
1
n ( n− 1 )
=
√
n
( x − x´ ) ∑ =
2
i
i
1
n ( n−1 )
Determinación del del error relativo de mediciones directas: directas: +e determina mediante el cociente del error absoluto & el %alor promedio de dic*a medición$ es decir4
E A Er = x´ Aclaremos "ue el error relati%o es una cantidad adimensional &menor a la unidad. •
Determinación del del error porcentual: porcentual: Repr Represe esent ntaa el error error rela relati% ti%o$ o$ multi multipl plic icad adaa por por 088 088 para para ser e(pr e(presa esada da en porcentaje$ es decir4
E = Er × 100
Medidas Indirectas4 #stas medidas son escritas en términos de las medidas directas$ esto "uiere decir "ue son !unciones de las medidas directas$ son denotadas por consiguiente mediante4 $ x2 ,x G=f - x x1 x ,x3 ,....,x ,....,xn 9onde$ x1 x $x2 ,x ,x3 ,....,x ,....,xnson las medidas directas. :
Leonidas Espinoza Cáceres-Irma A. Bautista Carrasco Física one Por ejemplo el %olumen de un paralelepípedo es una medición indirecta$ e(presada por
$ anc*o-a! & altura-! sonmediciones directas$ por V= l.a., donde el largo- l $
consiguiente V=f"l,a,!. •
#eterminación del error absoluto absoluto $ relativo de medidas indirectas indirectas. #n %ista "ue las medidas indirectas son escritas como !unciones de medidas directas$ entonces estas toman di!erentes !ormas matem'ticas$ es decir pueden ser e(presadas como sumas$ di!erencias$ di!erencias$ productos$ productos$ cocientes$ cocientes$ potencias$ potencias$ etc.$ de medidas medidas directas$ directas$ en tal tal senti sentido do para para dete determi rmina narr los los corre corresp spon ondi dien entes tes error errores es$$ cons consid idere eremo moss lo siguiente4 Como las medidas indirectas est'n dadas por$
G=f - x x1; x x2%x3%....%xn$ para encontrar el
error absoluto di!erenciemos en !orma total la !unción 2.
dG=
∂ f ∂ f ∂ f d x1 + d x 2+ … + d xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
Colocando las di!erenciales totales en términos de las des%iaciones$ se tiene4
δG =
∂ f ∂ f ∂ f δ x1+ δ x 2 + …+ δx ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn n
Como$ Como$ preten pretendem demos os "ue las des%ia des%iacio ciones nes sean lo mínimo mínimo posib posible$ le$ ele%emo ele%emoss al cuadrado la ecuación anterior4
(
∂ f ∂ f ∂ f δG = δ x1 + δ x 2+ … + δx ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn n 2
)
2
+in pérdida de generalidad$ consideremos el desarrollo anterior *asta el segundo sumando4
(
∂ f ∂ f δG = δ x1 + δ x2 ∂ x1 ∂ x2 2
(
)( 2
)
2
) ( )( ) 2
∂ f ∂ f ∂ f δG = δ x1 + δ x 2 +2 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x1 2
∂ f δ x 1δ x 2 ∂ x2
#l tercer sumando del segundo miembro$ se puede despreciar$ en %ista "ue resulta una cantidad pe"ue
=