GUÍA PRÁCTICA 01: FORMULACIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL I.
OBJETIVO El objetivo de esta práctica es introducir al alumno en la formulación de modelos de optimización lineal y en la utilización de la aplicación Microsoft Excel, para resolver problemas de programación lineal. lineal .
II.
INFORMACIÓN BÁSICA FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Variables
Para nuestros fines, un primer paso en la formulación de modelos será el reconocimiento de las variables, es decir aquellos elementos del problema de los cuales el formulador tiene que decidir algo ejemplo: cantidad a producir, cantidades a vender, etc.
Restricciones
Un segundo paso en la formulación de modelos será el reconocimiento de las restricciones. En el contexto de la construcción de modelos, las limitaciones o restricciones impuestas sobre las decisiones permisibles tiene especial importancia. Las restricciones se presentan generalmente en dos formas: limitaciones y requerimientos. Las restricciones pueden subdividirse aún más para reflejar las limitaciones y requerimientos físicos, las limitaciones y requerimientos económicos, y las limitaciones y requerimientos de política operativa.
Función Objetivo
Todos los modelos de PL tienen tres características en común. La primera, es la existencia de las variables de decisión, segundo las restricciones. La tercera es que en cada modelo de PL hay una sola medida de desempeño por maximizar o minimizar, la medida de desempeño por optimizar se llama función Objetivo. La Programación Lineal proporciona un ejemplo de lo que se conoce de una manera más general como modelo de Toma de Decisiones con restricciones, también llamado modelo de optimización con restricciones. Una descripción de dicho modelo es: Un modelo de optimización restringido representa el problema de la asignación de recursos escasos de modo tal que se optimice un objetivo de interés. Aunque existen otros tipos distintos y más generales de modelos de toma de decisiones con restricciones, no deja de ser cierto que, en muchas aplicaciones, la programación lineal es la más útil. III.
MATERIALES Y EQUIPOS 01 estación de trabajo con Windows XP y Microsoft Excel 2007
IV.
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA: Página 1 de 26
PROTAC INC. PROTAC INC. Produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea de excavación (E-9), como la mayor de toda la línea de equipo para silvicultura (F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC ha considerado que durante ese periodo será posible vender todas la E-9 y F-9 que sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricarse si la dirección de PROTAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias (es decir; el margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables?).
Los datos de PROTAC La toma de decisiones requiere la consideración de los siguientes factores importantes: 1. El margen de contribución unitaria de PROTAC es de $ 5000 por cada E-9 y $ 4000 por cada F-9. 2. Cada producto pasa por las operaciones de maquilado, maquilado, tanto en el departamento A como en el B. 3. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponible de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere de 10 horas de maquilado en el departamento A y 20 horas en el B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B. estos datos aparecen resumidos en la siguiente tabla: DATOS DE TORNEADO DE PROTAC DEPARTAMENTO HORAS POR E-9 POR F-9 TOTAL Disponible A 10 15 150 B 20 10 160 4. Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10% inferior a una medida convenida en 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinadas a las pruebas no pueden ser menores que 135. Esta información se resume en la siguiente tabla: DATOS DE PRUEBA DE PROTAC POR E-9 POR F-9 TOTAL Disponible Horas de Prueba 30 10 135 5. Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política operativa que: deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas. 6. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad. A partir de esas consideraciones, el problema de la gerencia es decidir cuántas E-9 y F-9 fabricará el próximo mes. En términos de modelos, la gerencia intenta determinar la mezcla de productos óptima, óptima, también llamada como plan de producción óptimo. Procederemos ahora a mostrar la manera de expresar este problema como un modelo de optimización y particularmente como programa lineal. Para ello, tendremos que identificar las restricciones y la función objetivo. Restricciones Página 2 de 26
Hemos indicado que en cada departamento es limitado el tiempo disponible para las operaciones de maquilado durante la fabricación de las E-9 y F-9. Por ejemplo, para el periodo considerado no hay más que 150 horas disponibles en el departamento A, esta disponibilidad limitada de horas es una restricción. Para formular de manera concisa tal restricción, comencemos por determinar las horas que se invertirán en el departamento A, recuerde que las E-9 como las F-9 deben tornearse en dicho departamento, sabemos que cada E-9 requiere de 10 horas de maquilado y cada F-9 empleará 15. Por tanto, para cualquier plan de producción: 10 x (número de E-9 producidas) + 15 x (número de F-9 producidas) = Total de horas en el departamento A. esto puede expresarse mejor si introducimos una notación sencilla: Sea:
Entonces la expresión del total de horas usadas en el departamento A se convierte en: Esto expresa la restricción para el departamento A, el símbolo significa menor o igual que y a la condición
3.1 se le llama restricción de desigualdad. El número 150 se conoce como lado derecho (LD) de la desigualdad. Resulta claro que el lado izquierdo (LI) de la desigualdad depende de los valore desconocidos do incógnitas y y recibe el nombre de función de restricción. La desigualdad 3.1 es una forma simbólica y concisa de expresar la restricción por la cual la cantidad total de horas empleadas por el departamento A para producir unidades de E-9 y unidades de F-9 no deberá sobrepasar las 150 horas disponibles. También observamos que por cada E-9 producida se utilizan 20 horas y por cada F-9 producidas se emplearán 10 horas de torneado en el departamento B, en el cual hay 160 horas disponibles, se deberá cumplir que:
Las desigualdades 3.1 y 3.2 representan dos de las restricciones del problema actual. ¿Existen otras?. El estudio previo de las consideraciones principales nos muestra que existe también un acuerdo con el sindicato que debe ser respetado (deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas), el cual queda expresado de la siguiente manera:
Otra restricción indica que debe producirse cuando menos una F-9 por cada TRES E-9. Esta situación se expresa con símbolos de la forma:
Dado que ambos lados de la desigualdad contiene variables, esta expresión deberá ser reescrita de manera que en LI queden las variables y en el LD los valores constante, la expresión quedará entonces de la siguiente forma:
La sexta de las condiciones principales establece que es preciso producir cuando menos cinco unidades el próximo mes, en cualquier combinación. Esta restricción se expresa sencillamente como:
Hasta ahora hemos especificado en forma simbólica y precisa 5 restricciones de desigualdad asociadas al problema de producción de PROTAC. Puesto que no tiene sentido producir una cantidad negativa de equipos. Tendremos que incluir una condición adicional:
Las condiciones 3.6 en la cual se requieren que ambas incógnitas sean no negativas, se llaman condiciones de no negatividad. Es importante tener presente que el termino de no negativo no es equivalente al término positivo. La diferencia es que no negativo permite que el valor sea cero, mientras que positivo prohíbe el uso de dicho valor. Página 3 de 26
La función objetivo De todas las decisiones permitidas o factibles ¿cuál deberá aplicarse? Como dijimos anteriormente, cada modelo de PL tiene un objetivo específico, además de restricciones. La dirección de PROTAC se propone maximizar las ganancias del próximo mes; por lo cual éstas son el objetivo. Resulta claro que las ganancias de PROTAC provienen de dos fuentes: 1. Una contribución a las ganancias proviene de la venta de equipos E-9 2. Otra contribución a las ganancias proviene de la venta de equipos F-9 En nuestro estudio previo de los principales factores por considerar, indicamos que el margen de contribución unitaria de PROTAC es de $ 5000 por cada E-9 y $ 4000 por cada F-9, por lo tanto nuestra función objetivo queda expresada por:
Nótese que en general, cuando solamente se dan (o solo se dispone) los datos de ingresos, lo único que se puede hacer es maximizar los ingresos sujetándose a las restricciones. Si sólo se cuenta con la información referente a los costos, entonces todo lo que puede hacerse es minimizar el costo de producir una mezcla determinada de productos. Sin embargo, si se dispone de información sobre costos e ingresos, por lo general, es más conveniente maximizar la contribución de las ganancias, antes que el ingreso. Una solución óptima De la infinidad de decisiones que satisfacen todas las restricciones (es decir, de todas las factibles) aquella que aporta la mayor contribución total a las ganancias se llamará solución problema de PROTAC, o como se le conoce con frecuencia, solución óptima. Por tanto, buscamos una solución que permita maximizar la contribución total a las ganancias en relación con el conjunto de las decisiones factibles. Tal decisión se llama decisión óptima. Entonces, nuestro objetivo, en términos simbólicos, se expresa correctamente como: Sujeto a:
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Modelo de PROTAC en Excel En la siguiente figura se muestra los resultados del modelo de PROTAC en Excel:
En la figura se muestran los resultados para la producción de 6 E-9 y 5 F-9, Nótese como estas cifras de producción violan la restricción de capacidad del departamento B, pues requieren más horas que las disponibles en ese departamento durante el siguiente mes.
Aunque la mayoría de las entradas en Excel se explican por sí mismas, debe consultar las fórmulas para comprobar que se ha captado fielmente el modelo simbólico de PROTAC. Además preste atención a la distribución del modelo en Excel y a cómo se emplean los rótulos, coeficientes y variables de decisión y fíjese también en el cálculo de la “Holgura”.
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CRAWLER TREAD: Ejemplo de Integración Se desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de PROTAC: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de análisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos como A, B y C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá tener cuanto menos 5 libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por toneladas, se enumeran en la siguiente tabla: Requerimientos de elementos básicos Elemento Básico A B C
Requerimiento mínimo por tonelada de mezcla (Libras de cada elemento) 5 100 30
Composiciones obtenidas de cada mina Mina (libras por tonelada de cada elemento) Elemento Básico 1 2 3 A 10 3 8 B 90 150 75 C 45 25 20 Costo del mineral de cada mina Mina 1 2 3 4
4 2 175 37
Costo en Dólares por tonelada de mineral 800 400 600 500
Nótese que una tonelada de mineral procedente de la primera mina contiene 10 libras del elemento básico A, y esto satisface los mínimos requerimientos de este elemento de 5 libras por tonelada. En forma similar, la misma tonelada contiene 90 libras del elemento básico B y 45 libras del elemento básico C, por lo cual logra satisfacer el requerimiento del elemento básico C, pero no el del elemento básico B. De igual manera, se puede comprobar que una tonelada de la segunda mina no logra satisfacer los requerimientos de los elementos A y C. Una tonelada de la mina 3 no cumplirá con los requerimientos de B o C y una tonelada extraída de la mina 4 no satisfará el requerimiento de A. Sin embargo, podemos encontrar muchas mezclas diferentes que satisfagan los requerimientos mínimos de los tres elementos básicos. CREACIÓN DEL MODELO DE PL DE CRAWLER TREAD En virtud de que nos interesa encontrar una mezcla óptima de 1 tonelada, establecemos las variables de decisión en la siguiente forma:
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Ejemplo 01: Astro Y Cosmo (Un Problema De Mezcla De Productos) Una compañía fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción de Astro es de 70 aparatos de TV por día, la capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y 2 horas de trabajo diarias para cada trabajo Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diario para la producción de ambos tipos de aparatos en el departamento. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada aparato Astro y también para cada aparato Cosmo. Actualmente se puede asignar hasta un máximo de 90 horas de trabajo en el departamento B, para la producción de ambos modelos. La contribución da las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Esta información se presenta resumida en la siguiente tabla:
INFORMACIÓN SOBRE ASTRO Y COSMO Mano de obra por Televisor
Ganancias por Televisor
Cantidad
DPTO A
DPTO B
ASTRO
70
1
1
20
COSMO
50
2
1
10
120
90
Disponibilidad Total
Si la compañía sabe que podrá vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de producir. ¿Cuál
deberá ser el plan de producción por día( es decir, la producción diaria) para cada modelo. Escriba el modelo simbólico de PL, luego desarrolle el modelo de PL en una hoja de cálculo y optimícelo después con Solver. SOLUCION AL PROBLEMA DE ASTRO Y COSMO El modelo simbólico de PL de Astro y Cosmo está dado por:
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EJEMPLO 02: MEZCLA DE ALIMENTOS Una lata de 16 onzas de alimento para perro debe contener, cuando menos, las siguientes cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas: proteínas 3 onzas, carbohidratos 5 onzas y grasa 4 onzas. Es necesario mezclar distintas porciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida para perro, con el mínimo costo, que satisfaga este requerimiento. La siguiente tabla muestra el contenido y precio de 16 onzas de cada una de las diferentes mezclas de alimentos.
INFORMACIÓN SOBRE LA MEZCLA DE ALIMENTOS CONTENIDO Y PRECIO POR CADA 16 ONZAS DE ALIMENTO ALIMENTO
Proteínas (onzas)
Carbohidratos (onzas)
Grasas (onzas)
Precio ($)
1
3
7
5
4
2
5
4
6
6
3
2
2
6
3
4
3
8
2
2
Formule este problema como uno de PL, luego desarrolle el modelo de PL en una hoja de cálculo y optimícelo después con Solver.
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EJEMPLO 03: PROGRAMACIÓN DE LAS FUERZAS DE SEGURIDAD (UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN) Un administrador de personal debe programar las fuerzas de seguridad, de manera que satisfaga los requisitos de personal de guardia indicados en la siguiente tabla:
REQUERIMIENTOS DE PERSONAL DE GUARDIA DE SEGURIDAD Hora
Cantidad Mínima de Requerida de Oficiales
Medianoche – 4 a.m. 4 a.m. – 8 a.m.
5 7
8 a.m. – mediodía
15
Mediodía – 4 p.m.
7
4 p.m. – 8 p.m.
12
8 p.m. – Medianoche
9
El gerente de personal quiere determinar la cantidad de oficiales que deberán trabajar en cada turno, de manera que se logre minimizar el total de oficiales empleados, pero sin dejar de satisfacer los requerimientos correspondientes a los turnos de guardia.
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EJEMPLO 04: LONGER BOATS YATCH COMPANY (Una pequeña descripción acerca del análisis de punto de equilibrio restringido) Longer Boats Yatch Company produce tres modelos de lanchas de alto desempeño para competición. Estos tres modelos se llaman Sting, Ray y Breaker. La información acerca de ingresos y costos para el próximo periodo de planeación aparecen en la siguiente tabla: Información de Longer Boats Lancha Precio venta unitario Sting 10000 Ray 7500 Breaker 15000
Costo variable unitario 5000 3600 8000
Costo fijo 5000000 3000000 10000000
Como puede observar en esta información, el costo fijo de cada una de estas actividades es considerable. El costo fijo es un costo estático que se tiene que pagar, independientemente de la cantidad que se vaya a producir. Los elevados costos fijos incluyen el costo de modificaciones de los diseños, la reconstrucción de moldes y las pruebas de los yates en un estanque. En la siguiente figura se muestra el análisis del punto de equilibrio correspondiente al modelo Sting. $
Función Ingreso total Función Costo total
5000000 Cantidad Punto de equilibrio 1000
Número de Lanchas
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Vemos que si Longer produjera solamente unidades del modelo Sting, tendría que producir por lo menos 1000 lanchas para poder alcanzar el punto de equilibrio. Sin embargo, el problema de Longer Boats es más complicado. Por principio de cuentas para el siguiente periodo de planeación, la administración ya ha firmado contratos comprometiéndose a producir 700 Sting. Otro cliente ha solicitado 400 Breaker, solicitud que la administración quisiera cumplir. Los estudios de mercado de la empresa han convencido a los directivos de que se deben fabricar a lo sumo 300 Ray. La gerencia todavía está interesada en averiguar cuánto tendrá que vender para llegar al punto de equilibrio, pero ahora existen tres productos, además de compromisos previos o restricciones, que será preciso tomar en cuenta. Partiendo de los principios básicos, la gerencia ha observado que, para alcanzar el punto de equilibrio, deberá cumplirse la condición: Por el hecho de que la compañía es relativamente nueva y ahora está padeciendo los problemas de flujo de efectivo asociados a su rápido crecimiento, la administración desearía minimizar el flujo de salida de capital. Por necesidad, será menester incurrir en la totalidad de los costos fijos y, en consecuencia, la meta se convertirá en minimizar los costos variables totales. La meta de la gerencia es determinar el plan de producción que tenga el menor costo variable, que cumpla con las restricciones y produzca un ingreso total igual al costo total.
SOLUCIÓN EJEMPLO 04: LONGER BOATS YATCH COMPANY Para obtener una expresión del punto de equilibrio en términos de las cantidades de producción, se definen las siguientes variables de decisión:
La cantidad del punto de equilibrio es, entonces:
O bien,
El modelo que refleja la restricción de punto de equilibrio y los requerimientos y límites previamente establecidos para la demanda es el siguiente:
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V.
INFORME DE LABORATORIO 1. 2.
Presente el archivo de ingreso de datos. Presente sus conclusiones de lo aprendido en la práctica
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GUÍA PRÁCTICA 02: MÉTODO GRÁFICO APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL VI.
OBJETIVO Aplicar la Programación Lineal, específicamente mediante los métodos gráfico como alternativa para la solución de problemas y apoyo en la toma de decisiones.
VII.
INFORMACIÓN BÁSICA El método gráfico Este análisis gráfico nos permite intuir uno de los teoremas fundamentales de la Programación Lineal, llamado teorema del punto extremo para obtener la solución óptima de los problemas de Programación Lineal con dos variables de decisión. En forma sucinta, el algoritmo del método gráfico es el siguiente: 1. Dibujar un plano coordenado y asociar un eje a cada variable del modelo. 2. Representar en el plano las restricciones tecnológicas. 3. Identificar gráficamente el conjunto de soluciones factibles (región de factibilidad). 4. Representar en el plano la función objetivo. 5. Identificar gráficamente la solución óptima haciendo uso del cálculo algebraico para la solución de ecuaciones. Para aprender el uso del algoritmo se utilizara el programa GLP.
VIII.
MATERIALES Y EQUIPOS 01 estación de trabajo con Windows XP y GLP (Graphics Linear Program)
IX.
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA:
El método de resolución gráfica es una forma sencilla de resolver modelos de PL, con dos variables de decisión. Como el modelo de PROTACT de la práctica 01 tiene sólo dos variables de decisión E y F , podemos usar ese modelo para ilustrar el método gráfico con el uso del SOFTWARE GLP (Graphic Linear
Programming). EJEMPLO 01: EL MODELO DE PROTAC Sujeto a:
Graficación de las Restricciones Página 14 de 26
Nuestro primer objetivo consiste en mostrar la forma de presentar gráficamente todas las restricciones viables de este modelo. Ingresemos ahora las restricciones:
El efecto de agregar restricciones Al agregar más restricciones, el conjunto de decisiones permisible siempre se recorta o no resulta afectado. La adición de restricciones nunca expande el conjunto de decisiones permitidas.
La región factible Es el conjunto de todos los valores no negativos de las variables de decisión que satisfacen todas las restricciones en forma simultánea. También se le conoce como el conjunto restringido. En GLP para mostrar la región factible haga clic en el ícono
Gráfica de la función objetivo
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La obtención de una representación gráfica del conjunto restringido es el primer paso del procedimiento de resolución gráfica. Ahora queremos usar la representación gráfica para encontrar la solución óptima del modelo. Para ello ingresamos la función objetivo (PAYOFF = REDITOS).
Esta ecuación nos permite obtener la recta de la función objetivo. Nuestra siguiente tarea consiste en superponer varias rectas de ganancias arbitrarias. Por ejemplo empecemos haciendo que la función objetivo tenga REDITOS por 20000.
El GLP restringe la recta de Réditos al cuadrante no negativo porque sólo nos interesan los valores no negativos de las variables. En estas condiciones cualquier punto sobre la recta corresponde a un plan de negocios que rendirá una contribución de 20000 a las ganancias. Desde dentro del programa GPL, configure las opciones de escala
Búsqueda de la Solución Óptima Ahora que hemos visto como trazar el gráfico de la región factible y los contornos de la función objetivo, ya tenemos suficiente información para hallar la solución óptima del modelo PROTAC. Haciendo clic en el botón Maximizar encontramos la solución óptima al problema de PROTAC
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Solución óptima = 50500 X1 = 4.5 X2 = 7
Este es el valor del contorno de ganancia máxima que aparece y que se conoce como el valor objetivo óptimo o simplemente, a veces, el valor óptimo. (Compare el valor óptimo obtenido con Excel deberá ser exactamente el mismo).
Restricciones Activas e Inactivas
Si en condiciones de optimalidad, el lado izquierdo de la restricción es igual al lado derecho, se dice que dicha restricción es activa u obligatoria. Así una restricción de igualdad, es siempre una restricción activa. Una restricción de desigualdad puede ser activa o no. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. Es una restricción de desigualdad del tipo , la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho(cantidad sobrante) suele llamarse excedente. En una restricción del tipo la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho (cantidad no usada) se llama holgura. En condiciones de optimalidad, todas las restricciones de desigualdad incluidas en un modelo tienen una holgura o excedente y para lo referente a las decisiones factibles dicho valor es siempre no negativo.
Interpretaciones Gráficas de Restricciones Activas e Inactivas Las restricciones activas e inactivas son fáciles de detectar durante la aplicación del método de resolución gráfica. De hecho, este es el propósito del método gráfico porque, como hemos visto, una vez que las restricciones activas has sido identificadas se pueden resolver ecuaciones simultáneas para encontrar la solución óptima. Sin embargo es necesaria calcularlas algebraicamente.
Geométricamente, una restricción es activa cuando pasa por la solución óptima. Geométricamente, una restricción es inactiva cuando no pasa por la solución óptima.
Puntos externos y solución óptima Página 17 de 26
Como hemos visto, la solución del modelo de PROTAC se localiza en un vértice de la región factible, es decir; en el vértice donde está la intersección de las restricciones activas. Según la terminología los vértices de la región factible se denominan puntos externos.
Una nueva función Objetivo Para entender la importancia de los puntos extremos, tomemos una nueva función objetivo lineal diferente, con el mismo conjunto de restricciones y resolvamos de nuevo el modelo. Por ejemplo supongamos que los precios ahora 5000 y 10000, resolviendo tendremos.
Notamos un deslizamiento de la cota superior de la nueva línea de ganancias, se aprecia además que esta solución óptima ahora se ha trasladado a un nuevo vértice (punto externo). Por tanto, como conclusión podemos decir: “Si existe una solución óptima en un modelo de PL, siempre hay cuando menos una solución óptima en un vértice”.
EL MÉTODO GRÁFICO APLICADO A UN MODELO DE MININIMAZACIÓN La dirección descendente Como dijimos existen problemas en donde se presentan modelos de costos en los cuales lo que se busca es minimizar estos costos, por lo tanto nos encontramos en un modelo de minimización. El método aplicado a un modelo Min es muy similar, con la única diferencia de que la dirección de optimización de la función objetivo es ahora descendente en lugar de ser ascendente. En un modelo Min, los contornos de la región factible suele ser siempre rectas de costos. Nuestra meta es encontrar el vértice de la región factible localizado en el contorno de valor más bajo de la función objetivo que tenga todavía una intersección con la región factible. A manera de ejemplo, apliquemos el Página 18 de 26
método gráfico al siguiente modelo de minimización simple con dos variables de decisión que llamaremos y : Sa.
Superpondremos primero el contorno, para luego determinar el valor óptimo de la función objetivo:
Se aprecia que existen 4 vértices (puntos externos) en la región factible, sabemos además que en uno de ellos se encuentra la solución óptima, busquemos ahora la solución óptima, haciendo clic en el botón Puesto que nuestro modelo es de minimización:
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Notamos que la solución óptima se encuentra en el vértice más bajo (0,2) y además nos da un valor para la función objetivo de 4, es decir, el costo mínimo del modelo.
MODELOS NO ACOTADOS Y NO FACTIBLES Hasta aquí hemos desarrollado una representación geométrica de modelos de PL con dos variables de decisión. Esta representación nos ha servido de base para resolver esos modelos y ha ilustrado también una conclusión importante: Si existe una solución óptima esta pasa por uno de los vértices de la región factible. En esta sección usaremos la representación geométrica para ver cómo puede ocurrir que el modelo de PL no tenga una solución factible. 1. MODELOS NO ACOTADOS Supongamos que tenemos el siguiente modelo de PL:
Sujeto a:
Esto nos da la siguiente gráfica: Página 20 de 26
Notamos en el análisis gráfico de este nuevo modelo que el conjunto solución se extiende indefinidamente hacia el noroeste, y es posible deslizar arbitrariamente la recta de ganancias en esta dirección. Al hacer clic en la herramienta AutoMax, se obtiene el mensaje “ ! Restricciones no Acotadas! ”, que aparece en inglés:
Los modelos de este tipo son patológicos, pueden surgir cuando no se incluye en el modelo una o varias restricciones importantes, o tal vez a causa de errores al introducir los datos de un modelo en GLP o en la Página 21 de 26
Hoja Electrónica para su optimización con Solver. En el mundo real, nadie ha descubierto aún la forma de obtener ganancias infinitas y puede estar seguro de que si un modelo ha sido formulado e introducido correctamente, siempre será acotado. 2. MODELOS NO FACTIBLES Existe otro tipo de patología con el cual debemos ser precavidos en la PL. Se le conoce como no factibilidad (infactibilidad) o en forma alternativa, inconsistencia. Este término se refiere a un modelo que tiene un conjunto restringido vacío; es decir, que en él no hay una combinación de valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las restricciones. Un ejemplo de éste tipo de modelos se presenta a continuación:
Sujeto a:
El conjunto restringido se presenta en la siguiente gráfica:
Al querer darle solución GLP nos mostrará el mensaje de Solución no Factible (en inglés)
Por tanto, todo programa lineal corresponde a alguna de las tres siguientes categorías, en las que no puede haber superposiciones: 1. El modelo tiene una solución óptima Página 22 de 26
2. No existe solución óptima porque el modelo no está acotado 3. No existe solución óptima porque el modelo no es factible.
Ejemplo 02: La Compañía Reddy Mikks Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Inscripción en universidades locales, 2005
Materia Prima M1 Materia Prima M2 Utilidad por Tonelada (1000 dólares)
Toneladas de Materia Prima por tonelada de Pintura de Exteriores Pintura para Interiores 6 4 1 2 5 4
Disponibilidad Máxima diaria (toneladas) 24 6
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores en más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.
Solución El modelo completo para Reddy Mikks se escirbe como:
Sujeta a
Con estos datos ingresamos al software de programación lineal gráfica. 1. Cargar el programa GLP 2. Ingresar los datos como sigue: Se requieren etiquetas de la entrada para el eje X y eje de Y antes de que usted pueda revisar las restricciones. Usted puede teclear las etiquetas en la caja de la etiqueta:
¿Cómo entrar las restricciones? Usted ingresa las restricciones en las cajas de restricciones. GLP acepta hasta seis restricciones lineales.
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Las desigualdades estrictas () no se permite en las restricciones. Por ejemplo, 2.0X + 3.0Y <= 3.0 y 3.0X - 4.0Y >= -5.0 son válidos, pero 2.0X + 1.0Y <3.0 y 3.0X - 4.0Y> -5.0 son no válido. GLP muestra el uso optativo de etiquetas de la ecuación. El ejemplo: La labor: 6.0X + 4.0Y <= 24.0 Usted puede hacer clic el + / - los botones al lado de la restricción para incrementar o disminuir el valor en el lado correcto de inecuación. Si el Pago de la Vista preliminar se verifica, mientras haciendo clic el + / - los botones desplegarán el movimiento del pago óptimo por el cambio realizado. Usted puede teclear en la función objetivo en la del PAYOFF (pago):
caja
Las desigualdades no se permiten en la ecuación del Pago. Por ejemplo, 2.0X + 3.0Y = 3.0 son válidos, pero 2.0X + 3.0Y <= 3.0 o 2.0X + 3.0Y >= 3.0 son no válido. ¿Cómo mover etiqueta, línea de restricción y línea de la función objetivo (pago) con el ratón? Usted puede mover etiqueta, línea de restricción y línea de pago por el ratón. Simplemente mueva el cursor a la línea o etiquete usted quiere mover, y aprieta el botón izquierdo de ratón para seleccionarlo. Usted puede arrastrar la etiqueta seleccionada y puede linear a cualquier posición deseada. Usted puede cambiar la visualización con las cajas Xzoom y Y Zoom. Sus valores predefinidos son 6.
Usted puede lograr la proporción de la balanza también recomendada apretando el AutoZoom de la barra de herramientas. Usted puede controlar la precisión decimal de todos los valores. Simplemente revise el número decimal en la caja del número decimal. Usted puede hacer clic el + / - el botón para incrementar o disminuir el número de decimales. El número decimal afecta la solución de Auto Max/Min de la línea del pago óptima y despliegue de valores de la solución óptimos. 3.
¿Cómo lograr las decisiones óptimas? GLP le permite que encuentre las decisiones óptimas de un modelo de optimización lineal escogido rápidamente, es decir, un programa lineal. Usted debe entrar las restricciones y pago antes de que usted pueda calcular la decisión(s óptimo). Sólo haciendo clic AutoMax o AutoMin, GLP moverá la línea del Pago, calculará el pago óptimo y desplegará la decisión (s óptimo) en el área correcta de barra de estado al fondo de la pantalla. En la esquina inferior izquierda aparecerán los "Puntos de la esquina" óptimos alternativos que se informan las decisiones en la barra de estado si hay más de una solución óptima. Utilice el los botones
para mostrar el área sombreada de soluciones.
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Valor de la Función
Valores Ó timos
Ejercicios Determine gráficamente los valores óptimos para los siguientes problemas y realice la interpretación correspondiente: 1.
a) Use GLP para hallar la solución óptima y el VO b) Modifique la función objetivo a y encuentre la solución óptima. c) ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? Encuentre los valores de en cada punto externo
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2.
a) Use GLP para hallar la solución óptima y el VO b) Modifique la función objetivo a y encuentre la solución óptima. c) ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? Encuentre los valores de en cada punto externo X.
INFORME DE LABORATORIO 3. 4.
Presente el archivo de con los problemas resueltos y los propuestos Presente un sus conclusiones para cada uno de los problemas de la práctica
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