INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS PRÁCTICOS DE DESARROLLO EN AULA
1. Una universidad debe movilizar a 500 estudiantes a un centro tecnológico. Para ello han convenido contratar a una empresa de transporte que tiene 02 tipos de buses, 10 buses grandes, de grandes, de 40 pasajeros cada uno, a un costo de $600 el viaje. Y 8 buses medianos, medianos, de 30 pasajeros cada uno, a un costo de $500 el viaje. Representar el problema a través de un modelo matemático, sabiendo que se busca realizar el traslado de las personas al menor costo posible. 2. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones C1 y camiones C2, y quiere transportar 100 toneladas de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1, con capacidad para 15 toneladas y con un costo de s/. 400 por viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5 toneladas y con un costo de s/. 300 por viaje. ¿Cuál es el número posible de camiones que debe usar para que el coste sea mínimo? 3. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte el transporte de 3.000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada
tipo han de utilizar para que el costo total sea mínimo? 4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. Para atender su demanda interna, la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?. mínimo?. 5. Un vuelo ligero a Trujillo ofrece plazas para fumadores al precio de $100, y a no fumadores a precio de $60. Al no fumador le permiten llevar hasta 50kg de equipaje. Y al fumador le permiten solo 20 kg. Si el vuelo cuenta con 90 asientos y admite una carga máxima de 3,000 kg. ¿Cuál debería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio de sus unidades?
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6. Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 kilogramos de comida todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya en las siguientes composiciones: Alimento Calcio
Maíz Harina de Soya
0.01 0.02
Kilos por kilogramos de Alimento Proteínas Fibra
0.09 0.60
0.02 0.06
Costo $/kg
200 600
Los requerimientos diarios de alimento de los cerdos son: (i) Cuando menos 1% de calcio. (ii) Por lo menos 30% de proteína. (iii) Mínimo 5% de fibra. Determine el modelo matemático para la mezcla de alimentos que cumpla con los requerimientos de alimentación al menor costo por día. 7. Miguel Fernandez es el administrador de un centro de atención cliente que opera desde las 8:00 a.m. hasta la medianoche. Miguel ha realizado un estudio del uso del centro de atención cliente en los diferentes horarios del día y estimo la siguiente necesidad de asesores. Horario 08:00 – 12:00 12:00 – 16:00 16:00 – 20:00 20:00 – 24:00 # Mínimo de Asesores 04 08 10 06 Necesarios El administrador tiene la opción de contratar asesores a tiempo completo y/o a tiempo parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8 am – 4 pm), vespertino (12 m – 8 pm) y nocturno (4 pm – 12 pm). Estos asesores ganan 12 $/hora. Los asesores a tiempo parcial pueden trabajar en cualquiera de los cuatro horario enumerados en la tabla anterior y ganan 14 $/ hora. Un requisito adicional es que en cualquier horario exista por lo menos 1 asesor a tiempo completo. Determine el modelo matemático para la distribución del personal que cumpla con las necesidades e atención al menor costo posible. 8. El Royal Suites Hotel opera los 7 días de la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar 6 horas diarias en 5 días de la semana y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el mismo salario. El hotel requiere como mínimo las siguientes horas de servicio: Lunes: 150 horas; Martes: 200 hrs; Miércoles: 400 hrs; Jueves: 300 hrs; Viernes: 700 hrs; Sábado: 800 hrs y Domingo: 300 hrs. Determine el modelo matemático para la distribución del personal que cumpla con las necesidades de atención con la menor cantidad de colaboradores. Investigación de Operaciones - Michael Zelada García
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9. En un almacén de madera se ofrece láminas de 10 metros, las cuales pueden ser cortadas en tramos de 3 metros, 4 metros y 5 metros dependiendo de las exigencias de los clientes. La lámina de madera de 10 metros puede ser cortada en 6 patrones diferentes tal y como se muestra en la tabla siguiente:
El administrador ha recibido la orden de un cliente por: 50 láminas de 3 mts; 80 de 4 mts y 40 de 5 mts. La pregunta sería: ¿Cuantas láminas de 10 metros se necesitarán cortar y bajo cuál patrón a fin de atender la orden al menor desperdicio posible desperdicio? 10. Una marquetería debe enmarcar 175 cuadros de 119 x 96 cm. En el mercado puede encontrarse varillas de moldura con longitud de 300 cm. ¿Cómo deben cortarse las varillas para obtener los marcos requeridos, con la menor merma posible? ¿Cuántas opciones de corte tiene? 11. Una imprenta dispone de 1800 pilas de cartulina de 13 pulgadas de largo debe atender un pedido que le exige cortes de tal manera que disponga al menos de 1000 tiras de 7pulgadas y 2000 tiras de 5 pulgadas, cada tira se puede cortar de 2 formas. 11.1 Forma de corte 1: Se cortan dos tramos de 5 pulgadas y un desperdicio de 3 pulgadas. 11.2 Forma de corte 2: Se corta un tramo de 7 pulgadas, uno de 5 pulg y un desperdicio de 1 pulgada. Cuantas tiras de 13 pulgadas se deben cortar en la forma 1 y 2 de tal manera que se minimice el desperdicio. 12. Una papelera recibe un pedido para proveer 03 tipos de BANDAS: de 30; 45 y 56 pulgadas de ancho en la cantidad de 500; 300 y 100 unidades respectivamente. En el almacén solo se tiene ROLLOS de 108 pulgadas de ancho. Si la papelera desea atender el pedido, deberá someter a corte longitudinal los rollos existentes, generándose un desperdicio (merma). En la tabla adjunta se presentan las 5 alternativas posibles de corte. Como es un pedido atípico, considere que todo lo cortado en exceso al perdido, también será un desperdicio. Formule un modelo matemático que nos permita obtener el pedido con el menor desperdicio posible. (En las variables de decisión recuerde incluir los ex cesos de corte) Ancho de la BANDA (pulg) Tipo de Corte Desperdicio 30 45 56 1 3 18 2 2 1 3 3 1 1 22 4 2 18 5 1 1 7 Investigación de Operaciones - Michael Zelada García
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13. La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigación de mercado y ha sido contratada por un cliente para realizar 1,000 entrevistas puerta a puerta a hogares con niños como a hogares sin ellos. Además, se acordó que seria necesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, con objeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogares. Específicamente, el contrato de este cliente exigía a la MSI realizar mínimo 1000 entrevistas con los siguientes lineamientos: 13.1 Se entrevistarían cuando menos 400 hogares con niños. 13.2 Se entrevistarían cuando menos 400 hogares sin niños. 13.3 El numeró total de hogares entrevistados durante la noche seria cuando menos igual al número de hogares entrevistados durante el día. 13.4 Cuándo menos el 40% de las entrevistas para hogares con niños se realizarían durante la noche. 13.5 Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños se realizarían durante la noche. El costo de las entrevistas varía según su tipo y se representan en el cuadro adjunto. ¿Cuál es el plan de entrevistas, por hogar y por turno, que satisface los requerimientos contractuales a un costo total menor para las entrevistas? 14. Supongamos, por ejemplo, que trabajamos para una cadena nacional de bingos, el director de la cual nos otorga un presupuesto de 8.000 € por semana para
publicidad. Este dinero debe dedicarse a publicar anuncios en cuatro tipos de medios de difusión: TV, periódicos, y dos emisoras de radio. Nuestro objetivo final no será otro que el de conseguir la mayor audiencia posible. En el cuadro siguiente se recoge información referente a la audiencia esperada por anuncio, el coste del mismo, y el nº máximo de anuncios que es posible insertar en cada medio por semana:
Además, los acuerdos contractuales de nuestra empresa requieren la contratación al menos 5 anuncios de radio por semana, aunque la dirección insiste en no dedicar a este medio más de 1.800 € por semana.
Plantear el problema de tal manera que nos genere la mayor audiencia al menor costo.
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15. Una empresa española ha sido contratada para realizar una encuesta y así conocer la opinión de sus habitantes acerca del problema: “inmigración”. A fin de que la misma sea significativa desde un punto de vista estadístico, exigiremos que ésta deba cumplir los siguientes requisitos: 15.1 15.2
Entrevistar al menos un total de 2,300 familias. De las familias entrevistadas, al menos 1,000 deben cumplir que su cabeza de familia no supere los 30 años de edad. 15.3 Al menos 600 de las familias entrevistadas tendrán un cabeza de familia con edad comprendida entre los 31 y los 50 años. 15.4 El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevada tasa de inmigración no debe ser inferior a un 15% del total. 15.5 Finalmente, no más de un 20% de los entrevistados mayores de 50 años pertenecerán a zonas con alta tasa de inmigración. Además, todas las encuestas deberán realizarse en persona. A continuación indicamos el coste estimado de cada encuesta según la edad del encuestado y si procede o no de una zona con una alta tasa de inmigración:
Obviamente, nuestro objetivo será cumplir todos los requisitos anteriores al m enor costo posible. 16. Considérese el caso de la firma Welte Mutual Funds, Inc., ubicada en la ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora está en busca de otras oportunidades de inversión para esos fondos. Considerando las inversiones de la Welte en esos momentos, el principal analista financiero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevas inversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos gubernamentales. Específicamente, el analista ha identificado cinco oportunidades de inversión y proyectado sus tasas anuales de rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las que se muestran en la Tabla siguiente La dirección de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientos sobre la inversión: 16.1
16.2
16.3
Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de 50% de la inversión nueva total. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversión con altos rendimientos pero también altos riesgos, no puede ser más de 60% del total de las inversiones en la industria petrolera.
¿Qué recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar los rendimientos proyectados, sujeto a las restricciones presupuestales y administrativas que se han impuesto, puede contestarse esta pregunta planteando un modelo de programación lineal para el problema. La solución para este modelo de programación lineal ofrecerá, entonces, recomendaciones sobre inversión para los administradores de la Welte Mutual Funds. Investigación de Operaciones - Michael Zelada García
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17. Una fábrica tiene dos máquinas (I y II). La fábrica puede elegir producir el producto A o el producto B o ambos. Los dos productos requieren tratamiento en ambas máquinas (sin importar el orden). Los datos son los siguientes:
La máquina I cuesta $ 2 el minuto y la máquina II $ 1 el minuto. Suponemos que los costos de funcionamiento de las máquinas son independientes de cuánto tiempo están en funcionamiento. No es muy realista, pero dado que los costos son tan bajos el error es despreciable. Determinar el proceso de producción por minuto que maximiza la ganancia / unidad de tiempo. 18. Usted ha decidido invertir $6.000 en un negocio. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar tiempo (horas) y dinero (dólares) Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5.000 y 400 horas, y su ganancia estimada sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo amigo son invertir $4.000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4.500. La otra opción es que sea un socio parcial, es decir que podrá elegir tener una fracción de participación. Sí elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación. 19. Una compañía tiene tres tipos de máquinas procesadoras (1, 2 y 3), cada una con diferente velocidad y exactitud. La máquina tipo 1 puede procesar 20 piezas/hora con una precisión de 99%, el tipo 2, 15 piezas/hora, con una precisión de 95%; y el tipo 3, 10 piezas/hora con una precisión de 100%. El funcionamiento del tipo 1, cuesta 2.00 s/hora, la del tipo 2, cuesta 1.754 s/hora y la del tipo 3, cuesta 1.50 s/hora. Cada día (8horas) deben procesarse por lo menos 3500 piezas y hay 8 máquinas tipo 1, 10 máquinas tipo 2 y 20 máquinas tipo 3. Cada er ror cuesta s/. 1.00 a la compañía. ¿Cuántas máquinas de cada tipo deben utilizarse para minimizar el costo?
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