SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE: 1. 2. 3. 4. 5.
FORMULACI FORMUL ACIÓN ÓN DE PROBLE PROBLEMA MAS S SOLUCIÓN SOLU CIÓN POR POR EL MÉT MÉTODO ODO GRÁFIC GRÁFICO O SOLUCIÓN SOLU CIÓN POR POR EL MÉT MÉTODO ODO SIMPLE SIMPLEX X ANÁLIS ANÁ LISIS IS DE SENSI SENSIBIL BILIDA IDAD D ANÁL AN ÁLIS ISIS IS DU DUAL AL
PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: Min y1+2y2 St y1+4y2<=21 2y1+y2>=7 y1+1!"y2<=21 #2y1+$y2>=% y1&y2>=% a' ()tenga ()tenga la solución solución óptima óptima por por el m*todo m*todo gráico! gráico! Muestre Muestre el gráico gráico respecti respecti,o! ,o! )' Muestr Muestre e el modelo modelo matem matemáti ático co Dual Dual respect respecti, i,o! o!
2. Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: M-. / = 201 + 02 S 01+ 02<= 01#02<=2 201+ 02>=11 01&02>=% Se pide: 3De sus respuestas con sólo 2 deciales' a)
a solución óptima por el m*todo gráico! Muestre el gráico respecti,o!
b)
5l 6recio dual de los 8S agotados!
c)
5l 9nálisis de sensi)ilidad de los 8S1 y 8S2!
d)
5l 9nálisis de sensi)ilidad de los coeicientes de la unción o)eti,o!
e)
;ómo aectara a la unción o)eti,o el aumento de unidades de 8S2!
f)
a solución por el m*todo simple? generali@ado! Muestre solamente la ta)la inicial y la primera iteración!
!.# a empresa 000 produce 2 artculos: cu)iertas de carro y tolderas! 6ara la pró?ima semana dispone de los siguientes suministros: 4%% Aoras#Aom)re 12%% mts2 de lino 27%% mts2 de lona $%% Aoras#máBuina a utilidad de las cu)iertas de carro es de 1"% soles y de las tolderas "%% soles!
1
6ara producir una cu)ierta de carro se reBuiere 1 Aora#Aom)re& $ mts2 de lino y 1 Aora#máBuina& y para producir una toldera se reBuiere 2 Aoras#Aom)re& 1 mts 2 de lona y 1!" Aoras#máBuina! 5?iste una demanda mnima de 14% tolderas! 6ara o)tener sus respuestas tra)ae con todos los datos redondeados a decimales! 1' Deina Deina las las ,aria) ,aria)les les de deci decisió sión n del pro)le pro)lema! ma! 0i: .ro de unidades a producir del producto i ∀i=1&2 2' Cormula Cormularr la unci unción ón o)et o)eti,o i,o del del pro)l pro)lema ema!! Ma? 1"%?1+"%%?2 ' Cormular Cormular las las restriccione restriccioness estruct estructurales urales del sistema! sistema! ?1+2?2<=4%% Ars! Aom)re $?1<=12%% mts2 de lino 1?2<=27%% mts2 de lona ?1+1!"?2<=$%% Ars! máBuina ?2>=14% 0i>=%& ∀i=1&2 4' ()tenga ()tenga la soluc solución ión por por el m*todo m*todo grái gráico! co!
"' Determi Determine ne el plan de producc producción ión Bue Bue Aaga má?ima má?ima la utilida utilidad d de la empresa! empresa! ;uál ;uál es la utilidad má?ima 6lan de producción: 01=1%% cu)iertas de carro 02= 1"% tolderas -ngreso má?imo: S! E% %%% 6ara responder las siguientes preguntas puede Fd! Ftili@ar la salida de la igura 1 del SotGare indo o la salida de la igura 2 del sotGare H inIs) mostradas a)ao! $' Determi Determine ne la cantid cantidad ad total total de de mts mts2 de lino utili@ados! $J1%%=$%% mts2 de lino 7' ;5?ist ;5?iste e Aoras#m Aoras#máBu áBuina ina ocios ociosas as ;uánt ;uántas as Si& 27" Ars! máBuina ' ;uántas ;uántas Aoras#Aom)r Aoras#Aom)re e se utili@ utili@aron aron en la producció producción n de las las tolderas tolderas 2J1"%=%% Ars! Aom)re E' uántas uántas Aoras#máBui Aoras#máBuina na se utili@aro utili@aron n en la producci producción ón de las las cu)iertas cu)iertas de carro 1J1%%=1%% Ars! máBuina
2
1%' ;uánto estara Fd! dispuesto a pagar como má?imo por 1 mt2 de lona adicional S! 11!111 11' ;uánto pagara Fd! omo má?imo por una Aora#máBuina e?tra S! % 12' ;Dentro de Bu* rango de ,aria)ilidad es ,álido el precio dual de una Aora#Aom)re K%%& "%%L 1' Determine el rango de ,aria)ilidad de la utilidad unitaria de una toldera& dentro del cual el 6lan de producción actual no ,ara! K%%& ininitoL 14' ()tenga la solución del modelo matemático anterior utili@ando el algoritmo S-M650 y compare las respuestas de las preguntas "'& 1%' y 11'! 99 C-.9 D5 S-M650
as respuestas son las mismas! 1"' onstruya el modelo matemático dual respecti,o! Min 4%%y1+12%%y2+27%%y+$%%y4#14%y" St y1+$y2+y4>=1"% 2y1+1y+1!"y4#y">="%% Ni>=%& ∀i=1&2&&4&" 1$' Deina las ,aria)les del pro)lema dual! Ni: 6recio por cada unidad del recurso 8Si ∀i=1:Ars!
Aom)re& 2: mts2 de lino& : mts2 de lona& 4: Ars! máBuina& ": demanda de ?2
17' Muestre la solución óptima respecti,a del modelo dual 3,alor de la unción o)eti,o y de las ,aria)les de decisión'! /= S! E% %%% y1=S! 1"% y=S! 11!111 Ingreso del modelo al Lindo:
3
Figura 1: Salida del Software LINDO
Ingreso del modelo al WinQsb:
Figura 2: Salida del Software WinQsb
4
"!# on los siguientes datos: Producto A $ 1% 1% 4 % O" O"
Recurso 1 2 ontri)uciónunidad
Recurso disponi#le 2%% $4 72
5ncu*ntrese la solución óptima mediante el m*todo simple?! Muestre las iteraciones!
%.& a empresa 9 S!9! tiene un presupuesto para gastar de Aasta O1"%% en pu)licidad local la pró?ima semana! 5l o)eto glo)al de la empresa es alcan@ar la má?ima audiencia de potenciales clientes! 9s mismo Buiere llegar Aasta E%%% niPos y 1%%% a)uelos por lo menos! Se dispone de medios de pu)licidadQ sus costos y la audiencia Bue tienen se dan en la ta)la siguiente: # osto por anuncio 3O' # 9udiencia otal 3personasanuncio' # .iPosanuncio # 9)uelosanuncio
Periódico 2%% 1%%% 1%%% 2%%
Radio 1%%
'.(. "%%
1"%%% "%%%% 1%%% %%% 1%% "%%
Sea: 01& 02 y 0: nRmero de anuncios en 6eriódico& adio y por semana& respecti,amente! a' Cormule el modelo matemático de programación lineal! 3plantee las restricciones en el siguiente orden: presupuesto de gasto& restricción de niPos y restricción de a)uelos' Ftili@ando la salida del SotGare HinIS para su solución& responda las siguientes inBuietudes: )' uál es la me@cla óptima de pu)licidad N a cuánta audiencia se llegara! c' 9 cuantos a)uelos se llegara con el periódico! d' 5n cuanto aumentara la audiencia con 1 dólar adicional en el presupuesto e' 5n cuánto tendra Bue aumentar la audiencia total de la ele,isión para Bue se Aaga renta)le su consideración en la me@cla óptima de pu)licidad! '
Muestre el modelo matemático Dual respecti,o!
g' Muestre la solución óptima del modelo dual 3,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o' A' -nterprete las ,aria)les y1 del pro)lema dual!
a) Modelo Matemático: Ma? 1%%%01+1"%%%02+"%%%%0 St 2%%01+1%%02+"%%0<=1"%% presupuesto 1%%%01+1%%%02+%%%0>=E%%% niPos 2%%01+1%%02+"%%0>=1%%% a)uelos Salida del SotGare HinIs):
5
)' uál es la me@cla óptima de pu)licidad N a cuánta audiencia se llegara! $ anuncios en periódico y en radio! 9udiencia total= 21%%% audientes! c' 9 cuantos a)uelos se llegara con el periódico! 2%%3$' = 12%% a)uelos d' 5n cuanto aumentara la audiencia con 1 dólar adicional en el presupuesto 5n 1$% audientes! e' 5n cuánto tendra Bue aumentar la audiencia total de la ele,isión para Bue se Aaga renta)le su consideración en la me@cla óptima de pu)licidad! 5n 27%%% audientes! ' Muestre el modelo matemático Dual respecti,o! Min 1"%%N1+E%%%N2+1%%%N St 2%%N1#1%%%N2#2%%N>=1%%% 1%%N1#1%%%N2#1%%N>=1"%%% "%%N1#%%N2#"%%N>="%%%% g' Muestre la solución óptima del modelo dual 3,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o' N1= 1$% N2= 1 N= % H=21%%% A' -nterprete las ,aria)les y1 del pro)lema dual! N1= ,alor en nRmero de audientes por dólar de presupuesto!
*.& 6ara el modelo matemático siguiente& el cual representa un pro)lema de minimi@ación de costos: M-. 401+"02 St "01+202>=12% #01+02<=2% 01<=% 02>=% 01&02>=% Sepide: a' a solución óptima aplicando el m*todo gráico! )' 5l estado de los 8S
6
c' 5l 6recio Dual de los 8S agotados! S(F-T. a' Uráico respecti,o!
6unto 6o 61 62 6 64
01 12 % % % %
02 % $% 7$!7 $!7 %
/ 1E %% !" ""!" 27%
Min
Solución óptima: 01=12 02=% /=1E )' 5stado de los 8S 8S 1 2 4
Disponi)le 12% 2% % %
Ftili@ado 12% 7 12 %
8olgura o 5?cedente % 1"2 1 %
c' 6recio Dual de los 8S agotados:
PD de R+,1"01+202=121 02=% esol,iendo: 01= 12!2 02=% /V= 1E! 6D38S1'=1E W 1E! = #%! PD de R+,""01+202=12% 02=1
7
agotado Aolgura Aolgura agotado
esol,iendo: 01= 11!$ 02=1 /V= 2%1!4 6D38S4'=E #2%1!4 = #!4 Salida del HinIs):
d' 9nálisis de Sensi)ilidad
Anlisis de ,ensi#ilidad de R+,1Ma? 643%&%': "3%'+23%'=21% Min 673%&%': "3%'+23%'=$% $%<=8S1=12%<=21%
Anlisis de ,ensi#ilidad de R+,2Ma? M Min 6%312&%': #312'+3%'=7 7<=8S2=2%<=M
Anlisis de ,ensi#ilidad de R+,!Ma? M Min 6%312&%': 12 12<=8S=%<=M
Anlisis de ,ensi#ilidad de R+,"Ma? 613%&$%': $% Min 6"324&%': % %<=8S4=%<=
%$Anlisis de ,ensi#ilidad de C1& entonces 2=" 63@'=4"=%!
8
631'="2=2!" 634'=%1=% 634'<=63@'<=631' %<=1"<=2!" %<=1<=12!"
Anlisis de ,ensi#ilidad de C2- entonces 1=4 %<=42<=2!" 1!$<=1<=M
/.& Fna 5mpresa produce tres tipos de productos: 9& y ! as Aoras Aom)re reBueridas son 81 y 82 en los departamentos 1 y 2 respecti,amente para el producto 9! Fna unidad de reBuiere de 8 y 81 Aoras en los departamentos 2 y respecti,amente y un producto reBuiere de 8& 82 y 81 Aoras en los departamentos 1& 2 y respecti,amente! 5l ornal por Aoras es XYZ en cualBuier departamento! Se desea a)ricar Aasta un má?imo de C unidades para los tres productosQ un má?imo de C1 unidades entre los productos 9 y y un mnimo de C2 unidades de ! Si los productos 9& y se ,ende a 1& 2 y cada unidad respecti,amente y la disponi)ilidad de Aoras son 89& 8 y 8 para los departamentos 1& 2 y respecti,amente! Cormule un Modelo de 6rogramación ineal para este pro)lema! ,OL0CIÓNeBuerimiento de Aoras 9 D6( 1 81 8 D6( 2 82 8 82 D6( 81 81
Disponi)ilidad 89 8 8
aria)les: 0i: .Rmero de unidades a producir del producto i ∀i=9&
&
Ma? 109+20+0#Y38109+80+8209+80+820+810+810' St 09+0+0<=C producción má?ima de los tres productos 09+0<=C1 producción má?ima entre los productos 9 y 0>=C2 producción mnima del producto 8109+80<=89 8oras disponi)les en el D6( 1 8209+80+820<=8 8oras disponi)les en el D6( 2 810+810<=8 8oras disponi)les en el D6( 0i>=%
.& Fna 5mpresa manuacturera produce semanalmente tres modelos 3erde& 9@ul y osado' de un cierto producto! 6ara ello usa dos tipos de materiales 3(ni? y 6laBu*' de los cuales Aay disponi)les 4%%% y $%%% unidades& respecti,amente! os reBuerimientos de materiales por unidad de los modelos son dados a continuación: eBuerimiento por unidad del modelo Materiales erde 9@ul osado (ni? 2 " 6laBu* 4 2 7 5l tiempo de uer@a la)oral Bue e?ige cada unidad del modelo erde es una Aora#Aom)re Bue es el do)le de lo Bue e?ige cada unidad del modelo 9@ul y 1% ,eces lo Bue e?ige el modelo osado!
9
a uer@a la)oral de la actora dispone de 7%% Aoras#Aom)re! 5l estudio de mercado indica Bue la demanda mnima de los tres modelos es de 2%%& 2%% y 1"% unidades& respecti,amente! as utilidades por unidad de los modelos erde& 9@ul y osado son %& 2% y "% soles! Salida del sotGare HinIs):
Ftili@ando la salida del sotGare HinIs)& resuel,a las siguientes inBuietudes: a' Deina las ,aria)les de decisión del pro)lema! )' Muestre el modelo matemático de programación ineal respecti,o! 3considere el siguiente orden para las restricciones: (ni?& 6laBu*& 8oras#8om)re& demanda de ,erde& demanda de a@ul y demanda de rosado'! c' Determine la utilidad má?ima de la empresa! ;Iu* cantidad se produce de cada modelo d' ;uánto de (ni? se utili@a en la producción del modelo 9@ul& e' ;Iu* cantidad de 6laBu* se emplea en la producción del modelo osado! '
;uánto de)e pagar como má?imo para aumentar las e?istencias de (ni? en 1 unidad
g' ;uánto de)e de in,ertir como má?imo para contratar 2%% Aoras e?tras de tra)ao A' Muestre el modelo matemático Dual respecti,o! i'
Muestre la solución óptima del modelo dual 3,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o'
'
-nterprete la ,aria)le N1&N2 y N del pro)lema dual!
,OL0CIÓNa' Deina las ,aria)les de decisión del pro)lema! 0i: .ro de unidades a producir semanalmente del producto i ∀i=1&2&
)' Muestre el modelo matemático de programación ineal respecti,o! 3considere el siguiente oreden para las restricciones: (ni?& 6laBu*& 8oras#8om)re& demanda de ,erde& demanda de a@ul y demanda de rosado'! Ma? %01+2%02+"%0 S 201+02+"0[4%%% 401+202+70[$%%%
10
01+%!"02+%!0[7%% 01\2%% 02\2%% 0\1"% 0i\% c' Determine la utilidad má?ima de la empresa! ;Iu* cantidad se produce de cada modelo Ftilidad Má?ima: S! 42"%% 6roducción: 01= 4"% unidades del modelo erde 02=2%% unidades del modelo 9@ul 0="%% unidades del modelo osado d' ;uánto de (ni? se utili@a en la producción del modelo 9@ul& J2%%= $%% unidades e' ;Iu* cantidad de 6laBu* se emplea en la producción del modelo osado! 7J"%%="%% unidades '
;uánto de)e pagar como má?imo para aumentar las e?istencias de (ni? en 1 unidad E!12 soles
g' ;uánto de)e de in,ertir como má?imo para contratar 2%% Aoras e?tras de tra)ao 11!$$J2%%=2272!72 soles A' Muestre el modelo matemático Dual respecti,o! Min 4%%%N1+$%%%N2+7%%N#2%%N4#2%%N"#1"%N S 2N1+4N2+N#N4\% N1+2N2+%!"N#N"\2% "N1+7N2+%!N#N$\"% Ni\% ∀i=1&2&&4&"&$ i'
Muestre la solución óptima del modelo dual 3,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o' N1=E!12 N2=% N=11!$$ N4=% N"=1!$$4 N$=% H=42"%%
'
-nterprete la ,aria)le N1&N2 y N del pro)lema dual! N1: precio por unidad de (ni? N1: precio por unidad de 6laBu* N1: precio por Aora#Aom)re
11
.& Fn mue)lero dispone de dos dierentes tipos de maderaQ tiene 1"%% pies ta)la del tipo 9 y 1%%% del tipo & tam)i*n dispone de %% Aoras#Aom)re para eectuar el tra)ao! a demanda Bue Aa estimado es la siguiente: cuando menos 4% mesas& 1% sillas& % escritorios y no más de 1% li)reros! as cantidades de madera 9y & y las Aoras#Aom)re Bue reBuiere la ela)oración de cada unidad de artculo& están indicadas en el siguiente cuadro:
Art3culo Mesa Silla 5scritorio i)rero Disponi)ilidad semanal
Madera A $ " 2 1 E 4 12 1 1"%% 1%%%
+oras Deanda 0tilidades +o#re Estiada por unidad no menos de 4% O 12 2 no menos de 1% " " no menos de % 1" 1% no más de 1% 1% %%
Cormule un Modelo Matemático de 6rogramación ineal para sa)er Bu* cantidad de)e a)ricar el mue)lero de cada artculo& de manera Bue las utilidades sean las má?imas
,olución aria)les de decisión: 01: .Rmero de mesas a producir semanalmente 02: .Rmero de Sillas a producir semanalmente 0: .Rmero de 5scritorios a producir semanalmente 04: .Rmero de i)reros a producir semanalmente Modelo matemático: Ma? 1201+"02+1"0+1%04 S "01+02+E0+1204<=1"%% pies ta)la de Madera 9 201+02+40+04<=1%%% pies ta)la de Madera 01+202+"0+1%04<=%% Aoras Aom)re 01>=4% 02>=1% 0>=% 04<=1% 01& 02& 0& 04>=%
14.& Dado el siguiente modelo matemático de programación lineal: M-. / = 201 + 02 S 01#02<=2 201+ 02>=11 01+ 02<= 01&02>=% a' Muestre la gráica respecti,a y la ta)la de e,aluación de los puntos intersección de la región acti)le! Uráica respecti,a
12
a)la: 6unto ?1 61 62 $&" 6 "
?2 / " 21 1&" 1/5% 1 1! Min
)' -ndiBue el ,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o! 01=" 02=1 /=1 c' Determine el 6recio Dual del 8S2 6unto óptimo 6 31]2' 1: 01#?2=2 2: 2?1+?2=11+1 2J1#2: #7?2=# ⇒ 02=1!14 5n 1: 01#31!14'=2 ⇒ 01= "!42 /V = 23"!42'+31!14' = 14!2$ ⇒ 6D38S2'= 1#14!2$= &1.2*
11.& Fna 5mpresa industrial produce " modelos de eclados cada uno de los cuales es tratado en los departamentos de ensam)lado y aca)ado! 5l nRmero de Aoras Aom)re de mano de o)ra necesaria& por teclado en cada departamento es: 5nsam)lado 9ca)ado
Modelo1 Modelo2 Modelo Modelo4 Modelo" 2 " 7 E 7 4 1 $ "
Se dispone de 1%%%% Aoras Aom)re en el departamento de ensam)lado y de "%%% en el de aca)ado la pró?ima semana! as utilidades en dólares para cada modelo de teclado son: $& & "& 4 y " respecti,amente para los teclados 1& 2& & 4 y "! 5?isten restricciones de producir por lo menos 1%% unidades del modelo & a lo más 1"% unidades del modelo 4 y a lo más 2"% unidades del modelo "! a producción de los modelos 1 y 2 es irrestricta! a' Deina las ,aria)les de decisión del pro)lema! 0i: .ro de unidades a producir semanalmente del modelo i ∀i=1&2&&4&"
)' Muestre el modelo matemático respecti,o! Ma? $01+02+"0+404+"0" S 201+"02+70+E04+70"<=1%%%%
13
01+402+10+$04+"0"<="%%% 0>=1%% 04<=1"% 0"<=2"% 0i>=% c' Muestre el modelo Dual! Modelo 6rimal: Ma? $01+02+"0+404+"0" S 201+"02+70+E04+70"<=1%%%% 01+402+10+$04+"0"<="%%% #0 <=#1%% 04 <=1"% 0"<=2"% 0i>=% Modelo Dual: Min 1%%%%N1+"%%%N2#1%%N+1"%N4+2"%N" S 2N1 +N2 >=$ "N1 +4N2 >= 7N1 +1N2 #N >=" EN1 +$N2 +N4 >=4 7N1 +"N2 +N" >=" Ni>=% d' Deina las ,aria)les del modelo Dual! N1: 6recio por Aora de ensam)lado N2: 6recio por Aora de 9ca)ado N: 6recio por unidad de demanda del modelo N4: 6recio por unidad de demanda del modelo 4 N": 6recio por unidad de demanda del modelo "
12.& 6ara el modelo matemático siguiente& el cual representa un pro)lema de producción: M90 /= 01+202 utilidad en soles S 01+02<=% Aoras#Aom)re 201+02<=1%% Aoras#máBuina 01 >=4% demanda del producto 1 01&02>=% Se pide: a' a solución óptima mediante el 6todo 7r8ico! Muestre el gráico respecti,o& el ,alor de las ,aria)les de decisión y ,alor de la unción o)eti,o! )' a solución óptima mediante el 6todo siple9! Muestre la iteración en indiBue en ella el ,alor de las ,aria)les de decisión y el ,alor de la unción o)eti,o!
,OL0CIÓNa' Solución Uráica:
14
a) La solución óptima es: X140 unidades X220 unidades ! "#$ 160
)' Solución M*todo simple?: 6rimera iteración:
-teración Cinal 3solución óptima':
1!.& Fna compaPa está considerando siete grandes in,ersiones de capital! ada in,ersión se puede Aacer sólo una ,e@! 5stas in,ersiones diieren en la ganancia estimada a largo pla@o 3,alor presente neto' Bue generarán& as como la cantidad de capital reBuerido& como se muestra en la siguiente ta)la 3en millones de dólares':
Uanancia estimada apital reBuerido
1 17 4
(portunidad de in,ersión 2 ! " % * 1% 1" 1E 7 1 2 4 4 17 2
/ E 2
Se dispone de O1%% millones de dólares como capital total para estas in,ersiones! as oportunidades de in,ersión 1 y 2 son mutuamente e?cluyentes& lo mismo Bue y 4! Más aRn& la oportunidad no se podrá apro,ecAar a menos Bue se in,ierta en una de las dos primeras oportunidades! 5l o)eti,o es elegir la com)inación de in,ersiones de capital Bue ma?imice la ganancia estimada a largo pla@o 3,alor presente neto'! Cormule un modelo de programación )inara para este pro)lema!
,olución 0i=1 si el proyecto i es aceptado& =% en caso contrario ∀i=1&2&&4&"&$&7 Ma? 17?1+1%?2+1"?+1E?4+7?"+1?$+E?7 St 4?1+2?2+4?+4?4+17?"+2?$+2?7<=1%%
15
?1+?2<=1 ?+?4<=1 ?#?1<=% ?#?2<=% end 0i∈^%&1_
1".& 6ara el modelo matemático siguiente& el cual representa un pro)lema de minimi@ación de costos: M-. / = 401 + 02 S 01+02>=1" 201+ 02>=1% 01+ 02>= 01&02>=% Se pide: a' 5l gráico respecti,o y la solución óptima 3,alor de las ,aria)les de decisión y ,alor de la unción o)eti,o'
/=2$ 01=2 02=$ )' 5l precio dual de los 8S! 6D1=% 6D2=#1 6D=#2 c' 9pliBue el m*todo simple? y o)tenga la iteración inal 3óptima'
1%.# Fna á)rica produce 4 productos: 9& & y D! ada unidad del producto 9 reBuiere de dos Aoras de maBuinado& una Aora de montae y ,ale O1% en el in,entario en proceso! ada unidad del producto reBuiere de una Aora de maBuinado& tres Aoras de montae y ,ale O" en el in,entario en proceso! ada unidad de necesita de 2 ` Aoras de maBuinado& 2 ` Aoras de montae y ,ale
16
O2 en el in,entario en proceso! Cinalmente& cada unidad del producto D reBuiere de cinco Aoras de maBuinado& no necesita tiempo de montae y ,ale O12 en el in,entario en proceso! a á)rica dispone de 12%% Aoras de maBuinado y 1$%% Aoras de montae! 9demás& no puede disponer de más de O1%%%% en el in,entario en proceso! ada unidad del producto 9 tiene una utilidad de O4%Q cada unidad de & de O1%Q cada unidad de & de O$& y cada unidad de D& de O2! .o pueden ,enderse más de 2%% unidades de 9Q no más de 1$% de & y pueden ,enderse cualBuier cantidad de los productos y D! Sin em)argo& para cumplir con un contrato& de)en producirse y ,enderse por lo menos 1%% unidades del producto D! 5l o)eti,o de la á)rica es ma?imi@ar la utilidad resultante de la ,enta de los cuatro productos! esponder las siguientes preguntas utili@ando la salida del SotGare -.D( 3er ig! 1' Fig. 1
a)
Muestre el modelo matemático respecti,o y deina sus respecti,as ,aria)les de decisión! M90 4%09+1%0+$0+20D S 209+0+2!"0+"0D<=12%% 09+0+2!"0<=1$%% 1%09+"0+20+120D<=1%%%% 09<=2%% 0<=1$% 0D>=1%% 0i>=% aria)le de decisión: 0i: .ro de unidades a producir del producto i ∀i=9&&&D
b)
;uál es el plan de producción óptimo 6lan de 6roducción: 2%% unidades del producto 9 12% unidades del producto 1%% unidades del producto D 17
c)
;uál es la utilidad o)tenida por la producción del producto tipo 9 2%%J4%=O %%%
d)
;uántas Aoras de montae consume la producción del producto tipo D .inguna
e)
;uánto estara Fd! Dispuesto a pagar por una Aora e?tra de maBuinado 8asta 14!4 dólares
f)
8asta cuántas Aoras e?tras aumentara Fd! 8asta en 11%% Aoras!
%)
;5n cuánto de)e meorar la utilidad unitaria del producto para Bue ustiiBue su producción 5n una cantidad mayor a 4!4 dólares
&)
;Iu* sucedera con el plan de producción óptimo si la utilidad unitaria del producto disminuye en O1" 5l plan de producción cam)ia
i)
-ndiBue cuál es el capital ocioso de la empresa! 5l capital ocioso es O $"
%$ ')
Fn nue,o producto& el producto 5& está en consideración! eBuiere de " Aoras de maBuinado y Aoras de montae! a utilidad por unidad es de O% ;De)e producirse alguna unidad del producto 5! osto de oportunidad= 14!4J" + %J = O7%>O%& por lo tanto no de)e producirse
()
()tenga el modelo dual& deina sus ,aria)les de decisión y muestre su solución óptima Modelo matemático: M-. 12%%N1+1$%%N2+1%%%%N+2%%N4+1$%N"#1%%N$ S 2N1+N2+1%N4+N">=4% N1+N2+"N>=1% 2!"N1+2!"N2+2N+N">=$ "N1+12N#N$>=2 Ni>=% ∀i=1&2&&4&"&$ aria)les de decisión: N1: 6recio por Aora de maBuinado N2: 6recio por Aora de montae N: 6recio por una unidad de in,entario en proceso N4: 6recio por unidad de demanda del producto 9 N": 6recio por unidad de demanda del producto N$: 6recio por unidad de demanda del producto D Solución óptima: N1=14!4 N2=% N=% N4=11!2 N"=% N$=4E H=O 14$2%
1*.& 6ara el modelo matemático siguiente& el cual representa un pro)lema de producción:
18
M90 /= 01+202+"0 ganancia en soles S 01+02+0<=4% Aoras#Aom)re 01+20<=4$% Aoras#máBuina 01+402<=42% g! de Materia 6rima 01&02&0>=% 9plicando el m*todo Simple?& o)tenga su solución y responda las siguientes inBuietudes 3sus respuestas alcan@arlas con 2 decimales': a' 5l plan de producción óptimo! a ganancia má?ima!
6lan de producción óptimo: 4 unidades de :1 14% unidades de :2 2!4 unidades de :! Ganancia 9ia ; 1!*4 soles )' os precios duales de cada 8S 6D38S1'=% 6D38S2'=2!" 6D38S'=%!" c' a Aolgura o e?cedente de cada 8S 8olgura de 8S1=E" Aoras Aom)re 8olgura de 8S2=% Aoras máBuina 8olgura de 8S=% g! De materia prima d' ;uánto estara Fd! dispuesto a pagar como má?imo por una Aora#Aom)re e?tra& ;6or una Aora#máBuina e?tra& ;6or un g! adicional de Materia 6rima 6or una Aora Aom)re e?tra = % soles 6or una Aora máBuina e?tra = 2!" soles
19
6or un bg! adicional de materia prima = %!" soles
1/.& Fna empresa produce 4 productos 31&2&&4' en dos departamentos 39&'! 5l producto 1 pasa por 9& a ra@ón de 1& 12 unidadAora respecti,amente& el 2 pasa por 9&&9 a ra@ón de 1&1&12 unidadAora respecti,amente& el pasa por a ra@ón de 12 unidadAora y el 4 pasa por 9 a ra@ón de 1 unidadAora! Si las utilidades de los productos son de O%& O2%& O4" y O1" y las disponi)ilidades de Aoras en los departamentos son de %% y 2%% Aoras respecti,amente& determinar: a' a solución óptima )' os ,alores marginales y costos reducidos c' Si tu,iera Bue producir " unidades de un producto Bue no produce& ;cuál eligira y cuál sera su nue,a utilidad d' a solución óptima del dual
1.& Fn a)ricante de tele,isores a)rica cuatro modelos: 9& & & y D& 9 y son modelos )lanco y negro y y D son modelos a colores! ada tele,isor reBuiere un cinescopio& as mismo reBuiere tiempo para montae y prue)as! 5n la ta)la 1 se indican los reBuisitos de montae y prue)as para cada modelo& as como la cantidad de tiempo disponi)le para cada operación! 9demás& por causa de una Auelga& Aay una escase@ de cinescopios y el pro,eedor indica Bue no podrá proporcionar más de 1% cinescopios el pró?imo mes y& de *stos& como má?imo 1%% podrán ser de color! a demanda má?ima del modelo es de 12% unidades y se reBuiere como mnimo 1% unidades del modelo 9! 'a#la 1
Modelo otal 9 D disponi)le iempo de montae 3Aoras' 1% 12 1" 2%%% iempo de prue)as 3Aoras' 2 2 4 " 1%%% eneicio marginal 3dólares' 4% $% 7% 1%% Ftili@ando la salida del sotGare 6(MIM mostrada anteriormente& responda las siguientes inBuietudes en su Aoa de respuestas: a' uál es el programa de producción óptimo para el a)ricante de tele,isores ;uál es el )eneicio má?imo )' ;uánto pagara como má?imo por una Aora adicional de tiempo de montae! ;5n Bu* inter,alo es ,álido este ,alor! c' Suponga Bue se pueden o)tener 1%% Aoras adicionales de tiempo de montae a un costo de cuatro dólares por Aora ;De)e Aacerse ;uál sera el incremento neto en los )eneicios! d' Suponga Bue se instituye un cam)io de precio Bue modiica el )eneicio marginal del modelo & de 7% a % dólares! ;am)iara esto el plan óptimo de la producción! e' ;5n cuánto incrementara el )eneicio marginal óptimo si se adiciona " Aoras de prue)as '
Suponga Bue el precio del modelo cam)ia de 7% a E% dólares! 5n este caso! ;ariara el plan de producción!
g' ;uántas Aoras de prue)as se utili@a en la producción del modelo A' ;Iu* pasara con el )eneicio marginal óptimo si se e?ige producir al menor 11 unidades del modelo 9! i'
;uántas Aoras de montae se utili@a en la producción del modelo 9
'
;Si tendra Bue elegir entre incrementar las Aoras de montae o cinescopios a color& Bu* decidira ;6or Bu*
b' ;5n cuánto incrementara la unción o)eti,o si se adiciona 2% Aoras de montae l'
;uánto tendra Bue cam)iar el )eneicio marginal del modelo para Bue ustiiBue su producción!
m' 5n la pregunta anterior& ;uál sera el nue,o )eneicio óptimo del pro)lema n' ()tenga el modelo dual 3escr)alo en su Aoa de respuesta'!
20
o' ;uál sera la solución óptima del modelo dual 3indiBue sólo el ,alor de las ,aria)les y el ,alor de /'! p' ;Iu* representa cada ,aria)le del modelo dual! B' 5n el Modelo primal& suponga Bue se e?ige producir al menos " unidades del modelo & ;uál sera el nue,o )eneicio marginal óptimo r'
Sin tomar en cuenta la pregunta anterior& la gerencia Buiere introducir un nue,o modelo a color 3modelo 5'! 5l modelo 5 sólo reBuerira 1% Aoras de montae y Aoras de prue)as! 5l )eneicio marginal del modelo sera de 7% dólares! ;D*)e producirse el nue,o modelo& ;6or Bu*
s' ;uál sera el nue,o plan de producción si se considera producir el modelo 5 t'
omando en cuenta el modelo primal inicial& Bu* pasara con el )eneicio marginal óptimo si el modelo 9 sólo reBuiere de 4 Aoras de montae
1.& XYZ S!9! Buiere gastar O 1"%% en pu)licidad local! 5l o)eto glo)al es alcan@ar la má?ima audiencia posi)le al mismo tiempo Bue llegar Aasta E%%% niPos y 1%%% a)uelos por lo menos! Se dispone de mediosQ sus costos y la audiencia Bue tienen se dan en la ta)la siguiente: (S( 6( 9.F.-( 3O' 9FD-5.-9(9 .-(S 9F5(S
65-(D-( 2%% 1%%% 1%%% 2%%
9D-( 1%% 1"%%% 1%%% 1%%
!! "%% "%%%% %%% "%%
Ftili@ando la salida del sotGare 6(MIM mostrada anteriormente& responda las siguientes inBuietudes en su Aoa de respuestas: a' uál es la me@cla óptima de pu)licidad N a cuánta audiencia se llegara! )' 5n cuanto aumentara la audiencia total con 1 dólar adicional en el presupuesto 6or Bue uál es el rango para Bue este ,alor marginal sea ,álido c' XYZ está preocupado& ya Bue la audiencia total de la adio sólo es apro?imada! So)re Bu* rango de audiencia total permanecerá la adio en la solución d' ;5n cuánto incrementara la audiencia total si se adiciona "%% dólares de capital para pu)licidad e' Si la audiencia total del 6eriódico )aara en 1%%%& cuál sera la nue,a solución óptima para XYZ! 6or Bue '
Suponga Bue la audiencia a la Bue llega la radio aumenta en 7%%! ;am)iara esto la solución óptima!
g' ;9 Bu* audiencia total se llega con la radio A' ;Iu* pasara con la audiencia total si se e?ige llegar a por lo menos a E%%1 niPos! 6or Bu*! i'
;9 cuántos a)uelos en total se llega!
'
;9 cuántos a)uelos se llega solamente con el periódico!
b' ;5n cuánto incrementara la audiencia total si se adiciona 2%%% dólares de capital para pu)licidad l'
5n cuánto tendra Bue aumentar la audiencia total de la ele,isión para Bue se Aaga renta)le su consideración en la me@cla óptima de pu)licidad! 6or Bue
m' 5n la pregunta anterior& ;uál sera la nue,a audiencia total a la Bue se llegara n' ()tenga el modelo dual 3escr)alo en su Aoa de respuesta'! o' ;uál sera la solución óptima del modelo dual 3indiBue sólo el ,alor de las ,aria)les y el ,alor de /'! p' ;Iu* representa cada ,aria)le del modelo dual!
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B' 5n el Modelo primal& suponga Bue se e?ige producir al menos " unidades del modelo & ;uál sera el nue,o )eneicio marginal óptimo r'
Sin tomar en cuenta la pregunta anterior& Fn cuarto medio& está en consideración! eBuiere "% dólares de presupuesto& llega a 2%%% niPos y a 4%% a)uelos! a audiencia total es de 4%%%%! De)e considerarse! 6or Bue
s' ;uál sera el nue,o ,alor de @ si se considera incluir el cuarto medio t'
omando en cuenta el modelo primal inicial& Bu* pasara con la audiencia total óptima si el costo por anuncio en es de O %% en ,e@ de O "%%
24.# Fna 5mpresa manuacturera produce semanalmente tres modelos 3erde& 9@ul y osado' de un cierto producto! 6ara ello usa dos tipos de materiales 3(ni? y 6laBu*' de los cuales Aay disponi)les 4%%% y $%%% unidades& respecti,amente! os reBuerimientos de materiales por unidad de los modelos son dados a continuación: eBuerimiento por unidad del modelo Materiales erde 9@ul osado (ni? 2 " 6laBu* 4 2 7 5l tiempo de uer@a la)oral Bue e?ige cada unidad del modelo erde es una Aora#Aom)re Bue es el do)le de lo Bue e?ige cada unidad del modelo 9@ul y 1% ,eces lo Bue e?ige el modelo osado! a uer@a la)oral de la actora dispone de 7%% Aoras#Aom)re! 5l estudio de mercado indica Bue la demanda mnima de los tres modelos es de 2%%& 2%% y 1"% unidades& respecti,amente! as utilidades por unidad de los modelos erde& 9@ul y osado son %& 2% y "% dólares! a' Muestre el modelo matemático de programación ineal respecti,o! )' Determine la utilidad má?ima de la empresa! ;Iu* cantidad se produce de cada modelo c' ;uánto de (ni? se utili@a en la producción del modelo 9@ul& en Bu* rango es ,álido este ,alor! d' a empresa desea aumentar sus ganancias a O44%%% adBuiriendo tiempo e?tra en su uer@a la)oral ;cuánto más de tiempo e?tra se necesita! e' ;Iu* cantidad de 6laBu* se emplea en la producción del modelo osado! '
;uál sera la nue,a utilidad de la empresa si se aumenta "%% unidades de (ni?! 5?pliBue!
g' Si usted pudiera o)tener cantidades adicionales de Rnicamente uno de los tres recursos ;cuál de ellos recomendara 5?pliBue! A' Iu* pasara con el plan de producción si la ganancia del modelo ,erde disminuye en "! i'
;uánto de)e pagar como má?imo para aumentar las e?istencias de (ni? en 1 unidad! 5?pliBue!
'
;uánto de)e de in,ertir como má?imo para contratar 2%% Aoras e?tras de tra)ao! 5?pliBue!
b' Si la demanda mnima del modelo a@ul aumenta en 2& ;Bu* pasara con la utilidad de la empresa! l' ;Iu* coeiciente o coeicientes de ganancia podran duplicarse& mientras se mantienen ios todos los demás coeicientes& sin Bue aecte el plan de producción óptimo 5?pliBue! m' Si se considera un nue,o producto Bue reBuiere unidades de (ni?& 2 unidades de 6laBu* y 2 Aoras#Aom)re y la utilidad por unidad es O "%& de)e producirse! n' -ndiBue e interprete las Aolguras y e?cedentes de los lados derecAos! o' ()tenga el modelo de 6 DF9 del pro)lema primal 3inicial'! p' Deina las ,aria)les de decisión del modelo dual! B' Muestre su solución óptima del modelo dual! r'
Muestre los ,alores duales del modelo dual!
22
21.& aucAos 6erR& a)rica tres productos de caucAo: 9irte? 3material esponoso'& 5?tende? 3material elástico' y esiste? 3material rgido'! os tres productos reBuieren los mismos tres polmeros Bumicos y una )ase! a cantidad de cada ingrediente usada por li)ra del producto inal se muestra en la ta)la:
6(DF( 9irte? 5?tende? esiste?
-ngrediente 3o@l) de producto' 6olmero 9 6olmero 6olmero 4 2 4 2 2 " "
ase " 2
aucAos 6erR& tiene el compromiso de producir al menos 12%% li)ras de 9irte?& "%% li)ras de 5?tende? y %% li)ras de esiste? para la pró?ima semana& pero la gerencia de la compaPa sa)e Bue puede ,ender más de cada uno de los tres productos! os in,entarios actuales de los ingredientes son "%% li)ras del polmero 9& 42" li)ras del polmero & $"% li)ras del polmero y 11%% li)ras de la ase! ada li)ra de 9irte? produce a la compaPa una ganancia de O7& cada li)ra de 5?tende? una ganancia de O$!" y cada li)ra de esiste? una ganancia de O$! Salida del SotGare 6(MIM:
a' Muestre el modelo matemático respecti,o! 0i: .ro de li)ras a producir del producto i ∀i=1&2&
Ma? 7?1+$!"?2+$? St 4?1+2?2+"?<=%%% 23
2?1+2?2+?<=$%% 4?1+?2+"?<=1%4%% "?1+?2+2?<=17$%% 01>=12%% 02>="%% 0>=%% 0i>=% 5n )ase a la salida del sotGare 6(MIM mostrada anteriormente& responda las siguientes inBuietudes: )' uánto de)e producir aucAos 6erR de cada producto! uánto le reportara de ganancia por la ,enta de *stos productos! 9irte?=12%% li)ras! 5?tende?="% li)ras! esiste?=%% li)ras! Uanancia=O 1"72" c' ;uánto pagara como má?imo por una on@a adicional del polmero 9! ;5n Bu* rango es ,álido este ,alor! Fna cantidad
% '
a compaPa desea aumentar sus ganancias a O1%%% adBuiriendo más cantidad del polmero 9 ;cuánto más del polmero 9 se necesita! 1%%%#1"72"= 227" 227"!2"= /44 on
g' Si la demanda de 9irte? aumenta en 2& ;Bu* pasara con la utilidad de la empresa! %!%2J12%%=24& está en el rango permitido 5ntonces la utilidad disinu=e en >1"" 324J$' A' Iu* pasara con el plan de producción si la ganancia de 5?tende? disminuye en 2%! %!2J$!"=1!& está en el rango permitido& 5.(.5S EL Plan de Producción NO (AR?A i'
Iu* pasara con la ganancia óptima de la empresa si el compromiso de producir %% li)ras cae en 1%! %!1J%%=%& está en el rango permitido& EN'ONCE, la GANANCIA A0MEN'A en >!4/.% 3%J1%!2"=%7!"'
'
;Iu* coeiciente o coeicientes de ganancia podran duplicarse& mientras se mantienen ios todos los demás coeicientes& sin Bue aecte el plan de producción óptimo 5?pliBue! 32 puntos' 9irte 1: 7J2=14& sale del rango& .o puede duplicarse 5?tende? 2: $!"J2=1& está dentro del rango& S- 6uede duplicarse! esiste? : $J2=12& está en el rango& S- 6uede duplicares
b' Iu* cantidad de polmero se utili@a en la empresa! $%%#1%%=%444 on
Si se considera un nue,o producto Bue reBuiere 2!2 on@as de polmero 9& on@as del polmero & 1 on@a del polmero y 2 on@as de ase y la utilidad por unidad es O 7!"& de)e producirse! 32 puntos'
24
2!2J!2"+J%+1J%+2J%=/.1%@/.%& entonces ,I DE$E PROD0CIR,E. m' De producirse el nue,o producto& cuál sera el nue,o plan de producción! 01=12%% 02="%% 0=%% 04=1! /=1"$!$ n' ()tenga el modelo de 6 DF9 del pro)lema primal! Min %%%N1+$%%N2+1%4%%N+17$%%N4#12%%N"#"%%N$#%%N7 St 4N1+2N2+4N+"N4#N">=7 2N1+2N2+N+N4#N$>=$!" "N1+N2+"N+2N4#N7>=$ Ni>=% o' Deina las ,aria)les de decisión del modelo dual! 32 puntos' N1: precioon@a de polmero 9 N2: precioon@a de polmero N: precioon@a de polmero N4: precioon@a de ase N": precioli)ra de demanda de 9irte? N$: precioli)ra de demanda de 5?tende? N7: precioli)ra de demanda de esiste? p' Muestre su solución óptima del modelo dual! N1=!2" N2=% N=% N4=% N"=$ N$=% N7=1%!2" /=1"727 B' Muestre los ,alores duales del modelo dual! alor dual 1=#12%% alor dual 2=#"% alor dual =#%%
25