1.4 Formulacion de Problemas Copy

INSTITUTO TECNOLÓGICO TUX TUXTLA TLA GUTIÉRREZ GUTIÉRREZ - EDUCACIÓ N A D ISTA ISTANCIA NCIA

1.4 Formulación de problemas lineales.

Para formular un problema de programación lineal hay que tomar en cuenta los siguientes pasos: minimizar) el problema Objetivo: (Maximizar o minimizar) Restricciones: dinero, materia prima; mano de obra; máquinas y equipo, tiempo, espacio,

insumos, transportes. Que se puede maximizar en un problema de una compañía : Utilidades, producción,

valor presente, medios publicitarios, etc. Que se puede minimizar en un problema : costos, desperdicios, tiempo, etc. Requerimiento: especificaciones, contenido, demanda, contratos con clientes, etc. Estructura de un problema de programación lineal Enfoque directo:

1. Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. 2. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo. 3. Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables X1, X2, .., Xn que optimicen el valor de Z = f(X 1, X2, ..., Xn) sujeto a restricciones de la forma g(X1, X2, ..., X n) b. Donde X1, X2, ..., Xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática. Función objetivo: Que es lo que se quiere lograr 1


Variables de decisión: Que es lo que va ha decidir Restricciones: Que

es

lo que nos limita lograr

el objetivo

principal

de

la

organización.

Estructura matemática de un modelo de programación lineal Max o Min Z = C1X1 + C2X2 +....+ C nXn

Sujeto a:

a11X1 + a12X2+.....+ a 1nXn (≤, =, ≥) b1 a21X1 + a22X2+.....+ a 2nXn (≤, =, ≥) b2 am1X1 + am2X2+....+ a mnXn (≤, =, ≥) bm Xj ≥ 0; ∀ j

Forma simplificada de la estructura del modelo n

Max o Min Z = ∑ C j X j j =1

Sujeto a:

n

∑ aij X j (≤, =, ≥)

bi

para i = 1,2,.....,m

j =1

Xj ≥ 0; ∀ j Donde: XI,X2,….,Xn = Representa las variables de decisión a determinar del problema. CI,C2,….,Cn = Representa la contribución a la función objetivo por cada unidad de XI,X2,….,Xn aij = Son los coeficientes tecnológicos ( uso de recursos i por cada unidad de variable Xj). b1,b2,….,bm = Son los recursos o requerimientos del problema.

2


1.5 Formulación de problemas más comunes. Ejercicio 1.01

Un agricultor tiene 200 acres de tierra en los que puede plantar una combinación de las cosechas I y II. La cosecha I requiere de un día-hombre de trabajo y $10 de capital por cada acre plantado, mientras que la cosecha II requiere 4 días-hombre de trabajo y $20 de capital por cada acre plantado. La cosecha I produce $40 de entrada neta por acre y la II $60. el cultivador tiene $2200 de capital y $320 días-hombre disponibles cada año. ¿ Cuál es la estrategia óptima para su plantación de tal manera que se maximice la contribución al objetivo? Planteamiento del problema: Primeramente se deben definir que representan las variables de decisión. Sea: X1 = No de acres de tierra de la cosecha I. X2 = No de acres de tierra de la cosecha II.

Función objetivo: Max. Z = 40X1 + 60X2 Sujeto a: X1 + X2 ≤ 200 X1 + 4X2 ≤ 320 10X1 + 20X2 ≤ 2200 X1, X2 ≥ 0

Rest estricc ricciión de acres de tierra Rest estricc ricciión de díasas-homb ombre Restricción de capital

Ejercicio 1.02

Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamble y acabado. La tabla dada contiene toda la información necesaria. Modelo 1 2 3 4 Disponible

Moldeado Ensamble (h/unidad) (h/unidad)

Acabado (h/unidad)

3 2 4 3 48 horas

10 8 12 3 160 horas

5 3 6 4 96 horas 3

Compuesto de moldeado (h/unidad) 200 200 280 220 4800 gal

Utilidad ($/unidad) 160 124 212 170


Los pronósticos de venta indican que en promedio, no deben producirse por semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo es maximizar la contribución a las utilidades. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No botes de fibra de vidrio del modelo 1. X2 = No botes de fibra de vidrio del modelo 2. X3 = No botes de fibra de vidrio del modelo 3. X4 = No botes de fibra de vidrio del modelo 4. Max. Z= Sujeto a:

160X1 + 124X2

+ 212X3 + 170X4

3X1 5X1 10X1 200X1

+ 4X3 + 6X3 + 12X3 + 280X3

+ 2X2 + 3X2 + 8X2 + 200X2

+ 3X4 + 4X4 + 3X4 + 220X4 X4 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Restricción de: ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

48 96 160 4800 8

Moldeado Ensamble Acabado Compuesto

Ejercicio 1.03

Un inversionista tiene $10,000, con los cuales desea obtener la mayor ganancia posible. El planea invertir parte de su dinero en acciones, otra parte en bonos y el resto depositarlo en una cuenta de ahorros. El inversionista cree que puede ganar 8% en el dinero invertido en acciones y el 7% en el dinero invertido en bonos. En la cuenta de ahorro gana el 5%. Como las acciones representan una inversión de bastante riesgo, decide invertir en acciones no más de la mitad de lo que va invertir en bonos y no más de lo que va a depositar en ahorro. Además el inversionista ha decidido tener por lo menos $2000 en la cuenta de ahorros por cualquier emergencia que se pueda presentar. ¿Qué cantidad de dinero deberá invertir en acciones, que tanto en bonos y que tanto en cuenta de ahorros? Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de dinero a invertir en acciones. X2 = Cantidad de dinero a invertir en bonos. X3 = Cantidad de dinero a invertir en ahorros. Max. Z= Sujeto a:

0.08X1 + 0.07X2 + 0.05X3 X1 + X1 X1

X1, X2, X3 ≥ 0

4

X2 +

X3 = 10000 1/2X2 ≤ ≤ X3 X3 ≥ 2000


Ejercicio 1.04

Una empresa tiene tres tipos de maquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud: la de tipo 1 puede procesar 25 pzas/hr, la de tipo 2; 20 pzas/hr y la de tipo 3; 10 pzas/hr. El funcionamiento de la de tipo 1 cuesta $2/hr; la de tipo 2 $1.75/hr y la tipo 3 1.5/hr. Cada dia (8 horas) se deben procesar por lo menos 4500 piezas y hay disponibles 10 máquinas de la de tipo 1, 12 máquinas de la de tipo 2 y 20 máquinas de la de tipo 3. ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe utilizar para minimizar el costo total? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de máquinas del tipo 1 a utilizar. X2 = No. de máquinas del tipo 2 a utilizar. X3 = No. de máquinas del tipo 3 a utilizar. Debido a que el rendimiento de las máquinas está dado en piezas por hora y se requiere procesar 4500 en un turno de 8 horas, el rendimiento deberá convertirse a piezas por turno. Min. Z= 2X1 + 1.75X2 + 1.5X3 Sujeto a: 200X1 + 160X2 + 80X3 ≥ 4500 ≤ X1 10 ≤ X2 12 X3 ≤ 20 X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.05

Una mujer quiere elaborar un programa semanal de ejercicio, el cual incluirá trote, ciclismo y natación. A fin de variar el ejercicio, ella planea dedicar el ciclismo por lo menos el mismo tiempo que le dedicará al trote y la natación combinados. Además quiere nadar al menos 2 horas por semana, ya que es la actividad que mas le gusta. Si en el trote consume 600 calorías por hora, en el ciclismo 300 calorías por hora y en la natación consume 300 calorías por hora y si desea quemar en total al menos 3000 calorías semanales debido al ejercicio. ¿Cuántas horas deberá dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere alcanzar su objetivo en el menor tiempo posible? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de horas a dedicar al trote a la semana. X2 = No. de horas a dedicar al ciclismo a la semana. X3 = No. de horas a dedicar a la natación a la semana. Min. Z= Sujeto a:

X1 +

X2 +

X3

600X1 + 300X2 + 300X3 X2 X3 X1, X2, X3 ≥ 0 5

≥ ≥ ≥

4500 X1 + X3 2


Ejercicio 1.06

Un avión de carga debe realizar su viaje hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tienes 3 bodegas: inferior, media y superior. Debido a limitaciones en el espacio de las bodegas, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo no debe llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Las utilidades por el transporte son de $8, $10 y $12 por tonelada de carga en la bodega inferior, intermedia y superior respectivamente. Plantear el problema de P.L. para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de toneladas a transportar en la bodega inferior. X2 = No. de toneladas a transportar en la bodega media. X3 = No. de toneladas a transportar en la bodega superior. Max. Z= Sujeto a:

8X1 + 10X2 + 12X3 X1 + X1

X2 + X2

X2 + X1, X2, X3 ≥ 0

X3 X3 X3

100 40 ≤ = 1/3X1 = 2/5X1 ≤ 60 ≤

Ejercicio 1.07

Un granjero desea determinar cual es la mejor selección de animales para su granja con el objeto de maximizar sus utilidades por la venta de los animales al final del verano. Puede elegir entre comprar borregos, reses o cabras. Cada borrego requiere un acre de pastura y $15 de alimentación. Un borrego cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses esos valores son 4 acres, $30, $40 y $100; y para las cabras los valores son 0.5 acres, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2500 para invertirlos en la compra y alimentación del rebaño. Por último el granjero no desea que más del 40% de sus animales sean cabras o que los borregos sean menos del 30%. Plantear este problema en forma de P.L. para maximizar las utilidades. Sea: X1 = No. de borregos a criar. X2 = No. de reses a criar. X3 = No. de cabras a criar. 6


Animal Borrego Res Cabra

Precio de venta $60 $100 $20

Costo Alimentación Compra $15 $25 $30 $40 $5 $10

Utilidad $20 $30 $5

Planteamiento del problema: Max. Z= Sujeto a:

20X1 + 30X2 + 5X3 X1 + 4X2 + 1/2X3 40X1 + 70X2 + 15X3 X3 X1 X1, X2, X3 ≥ 0

≤ ≤ ≤ ≥

300 2500 0.4(X1+X2+X3) 0.3(X1+X2+X3)

Ejercicio 1.08

Una compañía que produce frutas mezcladas enlatadas tiene en almacén 10000 kilos de peras. 12000 kilos de durazno y 8000 kilos de cerezas. La compañía produce 3 tipos de mezclas de frutas. Que vende en latas de un kg. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos y se vende en $3. La segunda combinación tiene cantidades iguales de cada fruta y se vende en $5. La tercera combinación tiene la mitad de duraznos y la mitad de cerezas y se vende en $7. ¿ Cuantas latas de cada combinación deberá producirse con objeto de maximizar la ganancia? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de latas de la combinación 1 a producir. X2 = No. de latas de la combinación 2 a producir. X3 = No. de latas de la combinación 3 a producir. Max. Z= Sujeto a:

3X1 + 5X2

+

7X3

≤ 10000 kg. de peras 1/2X1 + 1/3X2 1/2X1 + 1/3X2 + 1/2X3 ≤ 12000 kg. de duraznos + 1/3X2 + 1/2X3 ≤ 8000 kg. de cerezas X1, X2, X3 ≥ 0

7


Ejercicio 1.09

Un granjero cría cerdo para venta y desea determinar que cantidad de los distintos tipos de alimentos debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes nutritivos básicos contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos. Ingredientes Nutricionales Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costos Formule un problema.

Kilogramo de Maíz 90 30 10 42

Kilogramo de Grasa 20 80 20 36

Kilogramo de Alfalfa 40 60 60 30

Requerimiento mínima diaria. 200 180 150

modelo de programación lineal que minimice el costo total

para este

Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de kg. de maíz a proporcionar a cada cerdo. X2 = Cantidad de kg. de grasa a proporcionar a cada cerdo. X3 = Cantidad de kg. de alfalfa a proporcionar a cada cerdo. Min. Z= Sujeto a:

42X1 + 36X2 + 30X3 90X1 + 20X2 + 40X3 ≥ 200 kg. de carbohidratos 30X1 + 80X2 + 60X3 ≥ 180 kg. de proteínas 10X1 + 20X2 + 60X3 ≥ 150 kg. de vitaminas X1, X2, X3 ≥ 0

Ejercicio 1.10

Cierta compañía fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas normal y grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades, ensamblado, pintura y pruebas de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la tabla siguiente. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y $75 para una bomba grande. Existen disponibles por semana 4800 horas para ensamble, 1980 horas para pintura y 900 horas para pruebas. La experiencia de ventas señala que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 bombas grandes por semana. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que se debe fabricar semanalmente para maximizar sus utilidades.

8


Tabla de datos. Tipo de bomba Normal Grande

Tiempo de ensamble 3.6 horas 4.8 horas

Tiempo de pintura 1.6 horas 1.8 horas

Tiempo de pruebas 0.6 horas 0.6 horas

Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de bombas tipo normal a fabricar. X2 = Cantidad de bombas bombas tipo grande a fabricar. Max. Z= Sujeto a:

50X1 + 75X2 3.6X1 + 4.8X2 1.6X1 + 1.8X2 0.6X1 + 0.6X2 X1 X2 X1, X2 ≥ 0

≤ ≤ ≤ ≥ ≥

4800 1980 900 300 180

Ejercicio 1.11

Considere el problema de carga (problema de la mochila). Suponga que cinco artículos se van a cargar en el barco. El peso W i y el volumen V i por unidad de los diferentes artículos así como sus valores correspondientes Ri, están tabulados es seguida. Artículo i 1 2 3 4 5

Wi 5 8 3 2 7

Vi 1 8 6 5 4

Ri 4 7 6 5 4

El peso y volumen máximo de la carga están dados por W = 112 y V = 109, respectivamente. Se requiere determinar la carga más valiosa en unidades discretas de cada artículo. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Planteamiento del problema: Sea Xj = No de artículos j ( j = 1,2,3,4,5) a cargar en el barco Max. Z= Sujeto a:

4X1 + 7X2 + 6X3 + 5X4 + 4X5 5X1 + 8X2 + 3X3 + 2X4 + 7X5 X1 + 8X2 + 6X3 + 5X4 + 4X5 Xj ≥ 0; ∀ j 9

112 ≤ 109 ≤


Ejercicio 1.12

Una compañía tiene tres plantas que fabrican cierto producto que debe mandarse a tres centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 15 cargas al mes. El costo de transportar una carga de las plantas a los centros de distribución se encuentra en la tabla siguiente: Centro de distribución Planta

1

2

3

1 2 3

5 6 9

7 11 8

8 9 10

¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total de transporte? Planteamiento del problema: Sea: Xij = Cantidad de cargas a mandarse de la planta i ( i = 1, 2,3) al centro de distribución j ( j = 1,2,3). Min. S. a:

Z =

5X11

+ 7X12

+ 8X13

X11

+ X12

+ X13

+ 6X21

+11X22 + 9X23

X12

X21

+ X22

+ X23

12 Restricciones de = 17 capacidad X31 + X31

+ X22 X13

+8X32 +10X33

=

+ X21

X11

+ 9X31

+ X23 Xij ≥ 0; ∀ j

10

+ X32 + X32

+ X33

+ X33

=

11

≤ ≤

15 Restricciones de 15 demanda

≤

15


Ejercicio 1.13

Cierta compañía trabaja las 24 horas diarias y requiere el siguiente personal: Periodo 1 2 3 4 5 6

Hora Número mínimo 10 - 14 3 14 - 18 5 18 - 22 13 22 - 02 8 02 - 06 19 06 - 10 10

Cada trabajador labora 8 horas consecutivas por día (por ejemplo si entra a trabajar a las 10:00, sale de trabajar a las 18 horas). El objetivo es determinar el número más pequeño requerido para cumplir con los requerimientos anteriores. Planteamiento del problema: Sea Xj = No de trabajadores requeridos en el periodo j ( j = 1,2,3,4,5,6) Min. Z= Sujeto a:

X 1 + X2

+ X3

+ X4 + X5

+ X6

X1 + X2 X2 + X3 X3 + X4 X4 + X5 X5 + X6 X1 + X6 Xj ≥ 0; ∀ j

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

5 13 8 19 10 3

Ejercicio 1.14

Motores recreativos fabrica carritos para golf y vehículos para nieve en sus tres plantas. La planta A produce diariamente 40 carritos para golf y 35 para nieve; la planta B produce diariamente 65 carritos para golf y ninguno para nieve. La planta C produce diariamente 53 vehículos para nieve y ninguno para golf. Los costos diarios de operación de las planta A, B y C son $21000, $19000 y $18200 respectivamente. ¿Cuántos días incluyendo domingos y días de fiesta deberá operar cada planta durante el mes de septiembre, a fin de lograr una producción mínima de 1500 carritos de golf y 1100 vehículos para nieve, a un costo mínimo. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de días a trabajar en la planta A. X2 = No. de días a trabajar en la planta B. X3 = No. de días a trabajar en la planta C. 11


Min. Z= Sujeto a:

21000X 1 + 19000X2 + 18200X3 40X1 + 35X1 X1

65X2

1500 ≥ 1100 ≤ 30 30 ≤ ≤ 30 ≥

+

53X3

X2

X3 X1, X2, X3 ≥ 0

Ejercicio 1.15

El jefe del departamento de carnes de una tienda de autoservicio se encuentra la mañana del sábado con que dispone de una existencia de 200 lb. de bola, 800 lb. de solomillo y 150 lb. de carne de cerdo que se emplearán para preparar carne molida para hamburguesas, tortitas de carne para día de campo y albondigón. La demanda de cada tipo de carne siempre excede la existencia de la tienda. La carne para hamburguesas debe contener por lo menos 20% de bola molida y 50% de solomillo molido (por peso); las tortitas deben ser al menos 20% de molida de cerdo y 50% de solomillo molido; y la carne para albondigón al menos 10% de bola molida, 30% de molida de cerdo y 40% de solomillo molido. El resto de cada producto lo constituye un relleno barato, no de carne, del cual la tienda tiene una cantidad ilimitada. ¿Cuántas libras de cada producto deben prepararse, si el jefe del departamento desea minimizar la cantidad de carne que permanezca almacenada en la tienda después del domingo?

Productos Carne molida hamburguesas Tortitas de carne Albondigñon Disponible

Bola

Solomillo

0.20

0.50

0.10 200 lb

0.50 0.40 800 lb

p

Carne de Cerdo 0.20 0.30 150 lb

Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de lb de carne molida para hamburguesas. X2 = No. de lb de tortitas de carne para día de campo. X3 = No. de lb de albondigón Min. Z = (200 – 0.20X 1 – 0.10X3) + (800 – 0.50X1 – 0.50X2 – 0.40X3) + (150 – 0.20X2 – 0.30X3) 12


Sujeto a:

La función objetivo equivalente a:

0.20X1 + 0.10X3 0.50X1 + 0.50X2 + 0.40X3 + 0.20X2 + 0.30X3 X1, X2, X3 ≥ 0

≤ ≤ ≤

200 800 150

Min. Z = 1150 – 0.7X 1 – 0.7X2 – 0.8X3 Ejercicio 1.16

Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, 500 litros de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación. ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? % jugo de % jugo de % jugo de Litros de Costo $ naranja toronja arándano por litro Existencias Bebida A 40 40 200 1.50 Bebida B 5 10 20 400 0.75 Bebida C 100 100 2.00 Bebida D 100 50 1.75 Bebida E 800 0.25 Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad a emplear de bebida A. X2 = Cantidad a emplear de bebida B. X3 = Cantidad a emplear de bebida C. X4 = Cantidad a emplear de bebida D. X5 = Cantidad a emplear de bebida E. Min. Z = 1.5X1 + 0.75X2 + 2X3 + 1.75X4 + 0.25X5 Sujeto a: 0.4X1 + 0.05X2 + X3 ≥ 500(0.2) ≥ 500(0.1) 0.4X1 + 0.10X2 + X4 0.20X2 ≥ 500(0.05) X1 + X 2 + X3 + X4 + X5 = 500 ≤ X1 200 ≤ X2 400 X3 100 ≤ ≤ X4 50 X5 ≤ 800 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 13


Ejercicio 1.17

Un dietista está planeando el menú para la merienda a servirse en el comedor de una universidad. Se servirán tres platillos principales, teniendo cada uno diferente contenido nutricional. El dietista tiene interés en proporcionar por lo menos las necesidades mínimas de cada una de las 3 vitaminas en este alimento. En la tabla se resume el contenido de vitamina por onza de cada tipo de alimento, el costo por onza de cada alimento y los niveles diarios mínimos de las 3 vitaminas. Se seleccionar cualquier combinación de los 3 alimentos, siempre que la cantidad total a servir sea de por lo menos de 9 onzas. El problema es determinar el número de onzas de cada alimento que debe incluir en la comida a un costo total mínimo.

Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3 Necesidades de diaria mínima

vitamina

Vitamina 1

Vitamina 2

Vitamina 3

50 mg 30 mg 20 mg

20 mg 10 mg 30 mg

10 mg 50 mg 20 mg

290 mg

200 mg

210 mg

Costo por onza 10 15 12

Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de onzas del alimento 1 a emplear en la comida. X2 = No. de onzas del alimento alimento 2 a emplear en la comida. X3 = No. de onzas del alimento alimento 3 a emplear en la comida.

Min. Z = 1 0X 1 Sujeto a: 50X1 20X1 10X1 X1

+ 15X2

+ 12X3

+ 30X2 + 20X3 ≥ 290 + 10X2 + 30X3 ≥ 200 + 50X2 + 20X3 ≥ 210 + X2 + X3 ≥ 9 X1, X2, X3 ≥ 0

Ejercicio 1.18

Una firma elabora tres productos, los cuales se deben procesar en cuatro departamentos. En la tabla se indica el número de horas que requiere una unidad de cada producto en los diferentes departamentos y el número de libras que se requiere de materia prima. También se listan los costos de mano de obra y material por unidad, el precio de venta y las capacidades semanales de horas de trabajo y materia prima. Si el objetivo es maximizar la utilidad semanal total, formule el modelo de programación lineal para este problema. 14


Prod Produc uctto A Prod Produc ucto to B Prod Produc ucto to C Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3 Departamento 4 Libras de materia prima p/unidad Precio de venta Costo de mano de obra por unidad Costo de material por unidad

3.5

2 2

4 2

4 2 1 3

5.5

4

3.5

$50

$60

$65

$30

$32

$36

$11

$8

$7

6

Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de productos A a fabricar. X2 = No. de productos B a fabricar. X3 = No. de productos C a fabricar. Max. Z= Sujeto a:

9X 1

+ 20X2

+ 22X3

3.5X1 + 4X2 + 2X3 2X2 + 2X3 4X1 + X2 2X1 + 3X2 + 6X3 5.5X1 + 4X2 +3.5X3 X1, X2, X3 ≥ 0

15

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

120 100 80 150 250

Disp Disp.. semanal 120 horas 100 horas 80 horas 150 horas 250


Ejercicio 1.19

Problema de la ruta más corta. Se trata de encontrar el camino más corto de trasladarse de la ciudad 1 a la ciudad 6, de la siguiente figura. 18

5

3 21

19

23

1

6 32

22

2

24 19

4

Planteamiento del problema: Sea: Xij = Trasladarse de la ciudad i (i = 1,2,3,4,5) a la ciudad j (j = 2,3,4,5,6). Min. Z 21X13 +22X12 +18X35 +23X34 +32X25 +19X24 +19X56 +24X46 = S. a: X13 + X12 X13 - X35 - X34 X12 X25 X24 X35 + X25 X56 X34 + X24 X46 X56 + X46

Xij ≥ 0;

Restricción

= 1 Nodo 1 = 0 Nodo 3 = 0 Nodo 2 = 0 Nodo 5 = 0 Nodo 4 = 1 Nodo 6

∀i, ∀ j

Ejercicio 1.20

Tom's produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y en Nuevo México. Tom's fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y Mexico City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La Mexico City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el periodo de producción actual, Torn's puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate; el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56, respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom's compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa 16


producido. El contrato de Tom's con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de Mexico City Salsa. Desarrolle un modelo de programación lineal que Ic permita a Torn's determinar la mezcla de salsas que maximice la contribución total a la utilidad. Resumen de la información: Western Foods 50%

México City

Tomates 70% enteros Salsa de tomate 30% 10% Pasta de tomate 20% 20% Ingresos 1.64 1.93 ($/tarro) Peso del tarro = 10 onzas Costo de especias = $0.1/recipiente Tarro de vidrio = $0.02/tarro Costo de etiquetado y llenado = $0.03/tarro

Disponible

$/lb

280 lb

0.96

130 lb 100 lb

0.64 0.56

Cálculo de la utilidad: Western = 1.64 – 0.1 – 0.02 – 0.03 – 5 (0.06) – 3 (0.04) – 2 (0.035) = 1.00 México City = 1.93 – 0.1 – 0.02 – 0.03 – 7 (0.06) – 1 (0.04) – 2 (0.035) = 1.25 Una libra es equivalente a 16 onzas. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de tarros de salsa Western Foods. X2 = No. de tarros de salsa México City. Max. Z= Sujeto a:

X1 + 1.25X2 5X1 + 7X2 ≤ 4480 3X1 + X2 ≤ 2080 2X1 + 2X2 ≤ 1600 X1, X2 ≥ 0

17


Ejercicio 1.21

El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1,800 páginas de manuscrito que deben ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles: Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene 10 días disponibles y Sue 12 días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing ha desarrollado un índice utilizado para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6. Además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado; Sue cobra 2 dólares por página. Si se ha asignado un presupuesto de $4800 para la revisión. ¿Cuántas páginas deberán ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de páginas a ser revisadas por Erhan. X2 = No. de páginas a ser revisadas por Sue Max. Z= Sujeto a:

9X 1

+ 6X2

X1 + X2 = 1800 3X1 + 2X2 ≤ 4800 ≤ 1/100X1 10 1/150X2 ≤ 12 X1, X2 ≥ 0 Ejercicio 1.22

La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando queso chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el noreste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8100 libras de queso chedar suave a $1.20 por libra y hasta 3000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vende a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20, ¿cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular y de Zesty? Proporción Suave Extrafuerte Mezcla regular 80% 20% Mezcla Zesty 60% 40% Pesos por libra $1.2 $1.4 Pesos por $0.075 $0.0875 onza 18

Contenido (onzas) Suave Extrafuerte 9.6 2.4 7.2 4.8


Cálculo de la utilidad: Suave = 1.95 – 9.6 * 0.075 – 2.4 * 0.0875 = 1.02 Extrafuerte = 2.2 – 7.2 * 0.075 – 4.8 * 0.0875 = 1.24 Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de recipientes de mezcla regular a producir. X2 = No. de recipientes de mezcla zesty a producir. .Max. Z = 1.02X1 + 1.24X2 Sujeto a: 9.6X1 + 7.2X2 ≤ 128000 2.4X1 + 4.8X2 ≤ 48000 X1, X2 ≥ 0 Ejercicio 1.23

National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por $200,000 y deben ser tomados en consideración para nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen: Datos financieros Precio por acción Tasa anual de rendimiento Medida de riesgo por peso invertido

A $100 0.12 0.10

Acción B C $50 $80 0.08 0.06 0.07 0.05

D $40 0.10 0.08

La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en función a su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción para las inversiones. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos de 9% y Ninguno de los valores puede representar más de 50% de la inversión total en pesos. a) Utilice programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo. b) Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión. ¿cuál sería la cartera de inversiones? 19


Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de acciones A a comprar. X2 = No. de acciones B a comprar. X3 = No. de acciones C a comprar. X4 = No. de acciones D a comprar. a) Min. Z= Sujeto a:

10X1 + 3.5X2 + 4X3

+ 3.2X4

100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 12X1 + 4X2 + 4.8X3 + 4X4 100X1 50X2 80X3 40X4 X1, X2, X3,X4 ≥ 0

≤

≥ ≤ ≤ ≤ ≤

200000 18000 100000 100000 100000 100000

≤ ≤ ≤ ≤

200000 100000 100000 100000 100000

b) Max. Z= Sujeto a:

12X1 + 4X2 + 4.8X3 +

4X4

100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 100X1 50X2 80X3 40X4 X1, X2, X3,X4 ≥ 0

≤

Ejercicio 1.24

La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapas y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo volumen máximo de venta y la empresa quizás no tenga suficiente capacidad de producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por unidad son como sigue: Tiempo de producción (horas) Tiempo disponible Departamento Base Cartucho Manija (horas) A 0.03 0.02 0.05 400 B 0.04 0.02 0.04 400 C 0.02 0.03 0.01 400 20


Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos. Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y los costos por mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, com pra, son como sigue: Comp Compone onent nte e Base Cartucho Manija

Costo de Manu Manufa fact ctur ura a Adqu Adquis isic ició ión n $0.75 $0.95 $0.45 $0.55 $1.15 $1.40

Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo. De cada componente, ¿cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuántas deberán ser adquiridas? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de Base a fabricar. X2 = No. de Cartucho a fabricar. X3 = No. de Manija a fabricar. X4 = No. de Base a comprar. X5 = No. de Cartucho a comprar. X6 = No. de Manija a comprar. Min. Z = 0.75X1 Sujeto a: 0.03X1 0.04X1 0.02X1 X1

+ 0.4X2

+ 1.1X3

+ 0.02X2 + 0.05X3 + 0.02X2 + 0.04X3 + 0.03X2 + 0.01X3 X2

X3

21

+ 0.95X4 + 0.55X5 + 1.4X6 400 400 ≤ ≤ 400 = 5000 = 5000 X6 = 5000 ≤

X4

X5

X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0


Ejercicio 1.25

Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y la otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrarrígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200,000 palos normales y 75,000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ninguna de las plantas tiene capacidad suficiente, por sí misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San Diego puede producir hasta un total de 120,000 palos y la de Tampa, hasta un total de I80,000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a continuación:

Palo normal Palo rígido

Costo de San diego $5.25 $5.45

Costo de Tampa $4.95 $5.70

Formule en modelo de programación lineal para determinar la manera en que GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de palos normal a producir en San Diego. X2 = No. de palos normal a producir en Tampa. X3 = No. de palos rígido a producir en San Diego. X4 = No. de palos rígido a producir en Tampa. Min. Z = 5.25X1 + 4.95X2 + 5.45X3 + 5.7X4 Sujeto a: X1 + X2 = 200000 X3 + X4 = 75000 X1 + X3 ≤ 120000 X2 X4 ≤ 180000 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

22


Ejercicio 1.26

La Westchester Chamber of Commerce periódicamente patrocina seminarios y programas de servicio público. Actualmente están en marcha planes promocionales para el programa de este año. Las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódicos. Las estimaciones de auditorio, costos y limitaciones de utilización máxima de medios son como se muestran: Restri Restricci cción ón Auditorio por anuncio Costo por anuncio Uso máximo de los medios

Televi Televisió sión n Radio Radio 100000 18000 $2000 $300 10 20

Periódi Periódico co 40000 $600 10

Para asegurar un uso balanceado de los medios de publicidad, los anuncios en radio no deben exceder 50% del número total de anuncios autorizados. Además, la televisión deberá representar por lo menos 10% del número total de anuncios autorizados. Si el presupuesto promocional está limitado a $18200, ¿cuántos mensajes comerciales deberán ser emitidos en cada medio para maximizar el contacto total con el auditorio? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de mensajes comerciales emitidos por televisión. X2 = No. de mensajes comerciales emitidos por radio. X3 = No. de mensajes mensajes comerciales emitidos por periódico. Max Z = 100000X1 + 18000X2 + 40000X3 Sujeto a: 2000X1 + 300X2 + 600X3 X2 X1 X1 X2 X3 X1, X2, X3 ≥ 0

23

≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≤

18200 0.5 (X1 + X 2 + X3) 0.1 (X1 + X 2 + X3) 20 10 10


Ejercicio 1.27

La unión de crédito de los empleados de State University está planeando la asignación de los fondos para el próximo año. La unión de crédito efectúa cuatro tipos de préstamos a sus miembros y además, para estabilizar el ingreso, invierte en valores libres de riesgo. Las diversas inversiones productoras de ingresos, junto con sus tasas de rendimiento anual son: Tipo de préstamo/inversión

Tasa de rendimiento anual (%)

Préstamo para automóvil 8 Préstamo para muebles 10 Otros préstamo con 11 garantía Préstamos quirografarios 12 Valores libres de riesgo 9 Durante el siguiente año la unión de crédito tendrá $2000000 disponibles para invertir. Las leyes estatales y las políticas de la unión de crédito imponen las siguientes restricciones en la composición de préstamos e inversiones. • Los valores libres de riesgo no pueden exceder el 30% de los fondos totales disponibles para inversión. • Los préstamos quirografarios no pueden exceder el 10% de los fondos invertidos en todos los préstamos (automotriz, inmobiliario, otros con garantía y quirografarios). • Los préstamos para mobiliario, más otros préstamos garantizados, no pueden exceder los préstamos automotrices. • Otros préstamos garantizados más los quirografarios no pueden exceder los fondos invertidos en valores libres de riesgo. ¿Cómo deberán asignarse los $2000000 para cada una de estas alternativas de préstamo y de inversión, a fin de maximizar el rendimiento total anual? Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de dinero a asignar a préstamos para automóvil. X2 = Cantidad de dinero a asignar a préstamos para muebles. X3 = Cantidad de dinero a asignar a otro préstamos con garantía. X4 = Cantidad de dinero dinero a asignar a préstamos quirografarios. X5 = Cantidad de dinero a asignar a valores libres de riesgo. Min. Z = 0.08X1 + 0.1X2 + 0.11X3 + 0.12X4 + 0.09X5 Sujeto a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 2000000 X5 ≤ 600000 ≤ X4 0.1 (X1+X2 +X3+X4) ≤ X2 + X3 X1 X3 + X4 X5 ≤ X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 24


Ejercicio 1.28

Hilltop Coffee fabrica un café mezclando tres tipos de café. El costo por libra y las libras disponibles de cada uno de los cafés son: Café Café 1 2 3

Cost Costo o por por libr libra a Libr Libras as disponibles $0.50 500 $0.70 600 $0.45 400

Se utilizaron pruebas de degustación entre los consumidores con los distintos cafés, a fin de obtener evaluaciones, en una escala del 0 al 100, y los valores más elevados indican un mejor resultado. Las normas de calidad del café mezclado requieren una evaluación del consumidor, por lo que se refiere a aroma, de por lo menos 75 y una evaluación del consumidor de por lo menos 80 por lo que se refiere a sabor. Las evaluaciones individuales de aroma y sabor para el café fabricado a partir de 100% de cada uno de los cafés, son las que siguen: Café Clasificación de Clasificación de aroma sabor 1 75 86 2 85 88 3 60 75 Suponga que los atributos de aroma y sabor de la mezcla de cafés son un promedio ponderado de los atributos de los utilizados en la mezcla. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo que cumple con los estándares de calidad y produzca 1000 libras de café mezclado? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de libras de café 1. X2 = No. de libras de café 2. X3 = No. de libras de café 3. Max Z= Sujeto a:

0.5X1 + X1 0.075X1 0.086X1 X1

0.7X 2 + 0.45X3 500 600 ≤ ≤ 400 ≥ 75 80 ≥ = 1000 ≤

X2

X3 + 0.085X2 + 0.060X3 + 0.088X2 + 0.075X3 + X2 + X3 X1, X2, X3 ≥ 0 25


La cuarta restricción es: La quinta restricción es:

75 X 1

+ 85 X 2 + 60 X 3 1000

86 X 1

+ 88 X 2 + 75 X 3 1000

≥ 75 ≥ 80

Ejercicio 1.29

G. Kunz and Sons fabrican dos productos que se utilizan en la industria de la maquinaria pesada. Ambos productos requieren operaciones de manufactura en dos departamentos. A continuación aparecen las cifras de los tiempos de producción (en horas) y de la contribución a la utilidad de ambos. Para el próximo periodo de producción, Kuntz tiene un total de 900 horas de mano de obra disponibles que se pueden asignar a cualquiera de los dos departamentos. Encuentre el plan de producción y la asignación de la mano de obra (horas asignadas a cada departamento) que maximice la contribución a la utilidad total. Producto

Utilidad por unidad

1 2

$25 $20

Horas de mano de obra Depto. A Depto. B 6 12 8 10

Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de productos 1 a fabricar. X2 = No. de productos 2 a fabricar. Max Z= Sujeto a:

25X1 + 20X2 6X1 + 8X2 12X1 + 10X2

A B ≤ A + B = 900 X1, X2 ≥ 0 ≤

Ejercicio 1.30

El gerente de producción de Classic Boat Corporation debe determinar cuántas unidades del modelo Classic 21 debe producir durante los siguientes 4 trimestres. La empresa tiene un inventario inicial de 100 barcos Classic 21 y para los cuatro trimestres la demanda es de 2000 unidades en el trimestre 1, 4000 en el trimestre 2, 3000 en el trimestre 3 y 1500 en el trimestre 4. La empresa tiene un límite de capacidad de producción en cada trimestre. Esto es posible producir hasta 4000 unidades en el trimestre 1, 3000 en el trimestre 2, 2000 en el trimestre 3 y 4,000 en el trimestre 4. Cada barco que se quede en inventario en los trimestres 1 y 2 incurre en un costo de mantenimiento de inventarios de 26


25 dólares por unidad; el costo de mantenimiento correspondiente a los trimestres 3 y 4 es de 30 dólares por unidad. Los costos de producción del primer trimestre son de 1000 dólares por unidad; se espera que estos costos aumenten en 10% por trimestre, en razón a incrementos en costo de mano de obra y de materiales. La administración ha indicado que el inventario final del trimestre 4 debe ser por lo menos de 500 barcos. Formule un modelo de programación lineal que pueda ser utilizado para determinar un programa de producción que minimice el costo total de cumplir con la demanda de cada uno de los trimestres, sujeto a la capacidad de producción de cada trimestre y también al inventario final requerido del trimestre 4. Planteamiento del problema: Sea: X j = No. de unidades a producir en el trimestre j (j = 1,2,3,4). I j j = No. de unidades a mantener en el inventario j (j = 1,2,3,4). Restricciones de producción e inventario: Ecuación general de producción e inventario: I j = I j-1 j-1 + X j - D j Donde: I j j = Inventario final en el periodo j. X j = Producción en el periodo j. D j = Demanda en el periodo j. Restricciones para cada trimestre j (j = 1, 2, 3,4). I1 = 100 + X 1 - 2000 I2 = I1 + X2 - 4000 I3 = I2 + X3 - 3000 I4 = I3 + X4 - 1500 Agregando todas las restricciones, el programa lineal queda de la siguiente manera: Min. Z = 1000X1 +1100X2 + 1210X3 + 1331X4 + 25I1 + 25I2 S. a: X1 X2 X3 X4 X1 - I1 X2 + I 1 - I2 X3 + I2 X4

X j ≥ 0 y I j j ≥ 0

27

+30I3 +30I4 ≤ ≤ ≤ ≤

+

I3 I3 -

I4 I4

= = = = ≥

4000 3000 2000 4000 1900 4000 3000 1500 500


Ejercicio 1.31

Seastrand Oil Company produce gasolinas de dos grados, normal y de alto octanaje. Ambas gasolinas se producen mezclando dos tipos de petróleo crudo. Aunque ambos tipos de petróleo crudo contienen los dos ingredientes principales necesarios para la producción de ambas gasolinas, su porcentaje en cada tipo de petróleo crudo es distinto, al igual que el costo por galón. Los porcentajes de ingredientes A y B en cada tipo de petróleo crudo y el costo por galón, son los que se muestran: Petróleo Cost Costo o Ingr Ingred edie ient nte e Ingrediente crudo A B 1 $10 20% 60% 2 $15 50% 30% Cada galón de gasolina normal debe contener por lo menos 40% del ingrediente A, en tanto que cada galón de gasolina de alto octanaje puede contener como máximo 50% del ingrediente B. La demanda diaria de gasolina normal y de alto octanaje es de 800000 y 500000 galones respectivamente. ¿Cuántos galones de cada tipo de petróleo crudo se deberán utilizar en las dos gasolinas para satisfacer la de.nanda diaria a un costo mínimo? Planteamiento del problema: Sea: XN1 = No. de galones de gasolina normal con crudo 1. XN2 = No. de galones de gasolina normal con crudo 2. X A1 = No. de galones de gasolina alto octanaje con crudo 1. X A2 = No. de galones de gasolina alto octanaje con crudo 2. Min. Z= Sujeto a:

10XN1 + 15XN2 + 10X A1 + 15X A2 XN1 +

XN2

X A1 +

0.2XN1 +0.5XN2

X A2

= = ≥

0.6X A1 + 0.3X A2 XN1, XN2, X A1, X A2 ≥ 0

≤

800000 500000 0.4 (XN1 + XN2) 0.5 (X A1 + X A2)

Ejercicio 1.32

Ferguson Paper Company produce rollos de papel para uso en máquinas sumadoras, calculadoras de escritorio y cajas registradoras. Los rollos que tienen una longitud de 200 pies, se producen en anchos de 1.5, 2.5 y 3.5 pulgadas. El proceso de producción entrega únicamente rollos de 200 pies con un ancho de 10 pulgadas. La empresa debe por lo tanto cortar los rollos al tamaño final del producto deseado. Las 7 alternativas de corte y el volumen de desperdicio generado por cada una son como sigue: 28


Número de rollos 1.5 2.5 3.5 pulgadas pulgadas pulgadas 6 0 0 0 4 0 2 0 2 0 1 2 1 3 0 1 2 1 4 0 1

Alternativa de corte 1 2 3 4 5 6 7

Las necesidades mínimas para los 3 productos son: Ancho del rollo 1.5 2.5 Unidades 1000 2000

Desperdicio (pulgadas) 1 0 0 0.5 1 0 0.5

3.5 4000

a) Si la empresa desea minimizar el número de rollos de 10 pulgadas a fabricar, ¿cuántos rollos de 10 pulgadas se procesarán en cada alternativa de corte? b) Si la empresa desea minimizar el desperdicio generado, ¿cuántas unidades de 10 pulgadas deberán ser procesadas en cada alternativa de corte? Planteamiento del problema: Sea: X j = Cantidad de rollos a procesar por medio de la alternativa de corte j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6,7). a) Min. Z= Sujeto a:

X 1 + X 2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 6X1

+ 2X3

+ X5 + X6 + 4X7 + 4X2 + X4 + 3X5 +2X6 + 2X3 + 2X4 + X 6 + X7 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0

1000 ≥ 2000 ≥ 4000 ≥

b) Min. Z= Sujeto a:

X1 6X1

+0.5X4 + X5 + 2X3

+0.5X7

+ X5 + X6 + 4X7 + 4X2 + X4 + 3X5 +2X6 + 2X3 + 2X4 + X 6 + X7 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0

29

1000 ≥ 2000 ≥ 4000 ≥


Ejercicio 1.33

Frandec Company manufactura, ensambla y reconstruye equipo de manejo de materiales utilizado en almacenes y centros de distribución. Un producto que se conoce como Liftmaster, se ensarnbla a partir de 4 componentes: un bastidor, un motor, dos soportes y un cincho de metal. El programa de producción de Frandec requiere que el siguiente mes se fabriquen 5000 Liftmasters. Frandec adquiere los motores de un proveedor externo, pero los bastidores, soportes y cinchos pueden ser manufacturados por la empresa o adquiridos de un proveedor externo. Los costos de manufactura y adquisición por unidad aparecen a continuación: Componente Costo de manufactura Bastidor $38.00 Soporte $11.50 Cincho $6.50

Costo de adquisición $51.00 $15.00 $7.50

En la producción de estos componentes están involucrados tres departamentos. El tiempo (en minutos por unidad) necesario para procesar todos los componentes en cada uno de los departamentos así como la capacidad disponible (en horas) de cada uno de los tres departamentos, se muestra a continuación: Componente Bastidor Soporte Cincho Capacidad (hrs)

Corte 3.5 1.3 0.8 350

Departamento Fresado Formado 2.2 3.1 1.7 2.6 1.7 420 680

Formule y resuelva un modelo de programación lineal para esta aplicación de fabricar o comprar. ¿Cuántos de cada uno de los componentes deberán ser fabricados, y cuántos deberán ser adquiridos? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de bastidores a fabricar. X2 = No. de soportes a fabricar. X3 = No. de cinchos a fabricar. X4 = No. de bastidores a comprar. X5 = No. de soportes a comprar. X6 = No. de cinchos a comprar. 30


Min. Z = S. a:

38X1 + 11.5X2 + 6.5X3 + 51X4 + 15X5 + 7.5X6 3.5X1 + 1.3X 2 + 0.8X3 2.2X1 + 1.7X 2 3.1X1 + 2.6X 2 + 1.7X3 X1 + X4 X2 + X5 X3 + X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

≤ ≤ = = = ≤

X6

21000 25200 40800 5000 10000 5000

Ejercicio 1.34

Two-Rivers Oil Company, cerca de Pittsburgh, envía en camión la gasolina a sus distribuidores. La empresa ha firmado recientemente un contrato de suministro para distribuidores de gasolina en el sur de Ohio y tiene 600,000 dólares disponibles para gastar en la expansión necesaria de su flotilla de pipa para gasolina. Hay disponibles tres modelos de pipas para gasolina. Modelo de pipa Super Tanker Regular line Econo-Tanker

Capacidad Costo de (galones) Adquisición 5000 2500 1000

$67000 $55000 $46000

Costo mensual de operación $550 $425 $350

La empresa estima que la demanda mensual en la región será de 550,000 galones de gasolina. Debido a diferencias en tamaño y velocidad de las pipas, variará el número de entregas o viajes redondos posibles por mes para cada modelo de ellas. La capacidad de los viajes se estima en 15 para la Super Tanker, 20 para la Regular Line y 25 para la Econo-Tanker, por mes. Con base en la disponibilidad de mantenimiento y conductores, la empresa no desea agregar más de 15 nuevos vehículos a su flotilla. Además la empresa ha decidido adquirir por lo menos 3 de las nuevas Econo-Tanker para su uso en rutas de recorrido corto y baja demanda. Como una restricción final, la empresa no desea que más de la mitad de los nuevos modelos sean Super Tanker. Si la empresa desea satisfacer la demanda de gasolina con un gasto de operación mensual mínimo, ¿cuántos modelos de pipas deberá adquirir? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de pipas Super Tanker a comprar. X2 = No. de pipas Regular Line a comprar. X3 = No. de pipas Econo-Tanker a comprar.

31


Max Z= Sujeto a:

550X1 + 425X2 + 350X3 67X1 + 75X1 + X1 + X1

55X2 + 50X2 + X2 +

46X3 25X3 X3 X3

≤ ≥ ≤ ≥ ≤

X1, X2, X3 ≥ 0

32

600 550 15 3 0.5 (X1 + X2 + X3)


Problemas propuestos de la unidad I 01. La compañía X produce 4 distintos tipos de artículos con los siguientes requerimientos:

X1

X2

X3

X4

Cantidad disponible Materia prima Kg. 100 100 100 100 1500 % de capacidad primaria 7 5 3 2 100 % de capacidad secundaria 3 5 10 15 100 Contribución a las utilidades $60 $60 $90 $90 Así una unidad del producto X 1 que consume 100 kg. de materia prima, requiere 7% de la capacidad de fabrica primaria, 3% de la secundaria y contribuye en $60 a las utilidades. 02. En la producción de fertilizantes se combinan 3 sustancias químicas en diferentes

mezclas o grados y se venden en unidades de 100 libras. Suponga que las sustancias cuestan $20, $15 y $5 por libra, respectivamente. Todas las mezclas deben contener por lo menos 20 libras de la primera sustancia y en cada mezcla la cantidad de la tercera sustancia deberá ser no mayor que el contenido de la segunda. ¿Cuántas libras de cada sustancia química deberán ponerse en cada bolsa de 100 libras de fertilizante de modo que se minimice el costo de cada bolsa? 03. La compañía Duoply puede hacer tres productos; su beneficio es $10 por unidad por el

producto 1, $14 por unidad por el producto 2 y $15 por unidad por el producto 3. Cada uno de estos productos se manufactura usando 3 materias primas de acuerdo a los siguientes requerimientos. Material ( kg/unidad) 1 2 3 Producto 1 3 4 5 Producto 2 5 7 7 Producto 3 4 8 6 Kg. Kg. disp dispon oniibles bles 220 220 280 280 320 320 Determine la mezcla óptima de los productos que maximiza la contribución al objetivo. 04. Los tiempos de procesamiento de 3 productos en 3 departamentos, junto con las

capacidades departamentales y las contribuciones utilitarias. Encuentre la mezcla de productos que nos de la máxima utilidad. Productos Capacidad A B C Depa Depart rtam amen ento to 1 10 2 1 100 100 Depa Depart rtam amen ento to 2 3 13 4 150 150 Departamento 3 2 3 12 120 Cont Contri ribu buci ción ón a la util utilid idad ad 5 7 6 33


05 Un fabricante de muebles produce dos tipos de escritorios: estándar y ejecutivo. Estos

escritorios se venden a un mayorista de mobiliario de oficina; y para todo fin práctico existe un mercado ilimitado para cualquier mezcla de ellos; al menos dentro de la capacidad de producción del fabricante. Cada escritorio debe pasar por cuatro operaciones básicas: corte de la madera, ensamble de las piezas, preacatado y acabado final. Cada unidad producida del escritorio estándar requiere de 48 minutos de tiempo de corte, 2 horas de ensamble, 40 minutos de preacabado y 5 horas y 20 minutos de tiempo de acabado final. Cada unidad del escritorio ejecutivo requiere de 72 minutos de corte, 3 horas de ensamble, 2 horas de preacabado y 4 horas de tiempo de acabado final. La capacidad diaria para cada operación equivale a 16 horas de corte, 30 horas de ensamble, 16 horas de acabado y 64 horas de acabado final. El beneficio por unidad producida es de $40 para el escritorio estándar y $50 para el escritorio ejecutivo. Plantéese este problema como un programa lineal, maximizado el beneficio diario. 06 Un fabricante de alimento para pollos desea determinar la mezcla de menor costo para

una fórmula de altas proteínas que contiene 90g del nutriente A, 48g del nutriente B, 20g del nutriente C y 1.5g de vitamina X por cada kilogramo de alimento. Puede mezclar la fórmula empleando dos ingredientes y otro más de relleno. El ingrediente 1 contiene 100g del nutriente A, 80g del nutriente B, 40g del nutriente C y 10g de vitamina vitamina X y cuesta $40 por kilogramo. El ingrediente 2 contiene 200g de A, 150g de B, 20g de C, nada de vitamina X y cuesta $60 por kilogramo. Plantéese este problema como un programa lineal que minimice el costo por kilogramo de mezcla. 07 Una compañía produce tres tipos se productos químicos refinados: A, B y C. Es

necesario producir diariamente al menos 4 ton de A, 2 ton de B y 1 ton de C. Los productos de entrada son los compuestos X y Y. Cada tonelada de X proporciona ¼ ton de A, ¼ ton de B y 1/12 ton de C. Cada tonelada de Y rinde ½ ton de A, 1/10 ton de B y 1/12 ton de C. La tonelada del compuesto X cuesta $250 y del compuesto Y $400. El costo de procesamiento es de $250 por tonelada de X y $200 por tonelada de Y. Las cantidades producidas que excedan los requerimientos diarios no tienen valor, ya que el producto sufre cambios químicos si no se utiliza de inmediato. El problema consiste en determinar la mezcla con costo mínimo de entrada. 08 La Company ME, dispone de fondos ociosos por un total de $20000, disponibles para

inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean a largo plazo; no más del 40% se inviertan a corto plazo y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sea mayor de 3 a 1. Actualmente las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. Plantéese este problema como un programa lineal con el objetivo de maximizar el beneficio ponderado. 09. Una corporación de semiconductores produce un módulo específico de estado sólido,

el cual se suministra a cuatro diferentes fabricantes de televisores. El módulo puede producirse en cualquiera de las tres plantas de la corporación, aunque los costos varían debido a la diferente eficiencia de producción de cada una. Específicamente, cuesta $1.10 producir un módulo en la planta A, $0.95 en la planta B y $ 1.03 en la planta C. Las 34


capacidades mensuales de producción de las plantas son 7500, l0000 Y 8100 módulos, respectivamente. Las estimaciones de venta predicen una demanda mensual de 4200, 8300, 6300 y 2700 módulos, para los fabricantes de televisores 1, II, III y IV, respectivamente. Si los costos de envío para embarcar un módulo de una de las fábricas a un fabricante se muestran a continuación, encuéntrese una cédula de producción que cubra todas las necesidades a un costo mínimo total. A B C

I 0.11 0.12 0.14

II 0.13 0.16 0.13

III 0.09 0.10 0.12

IV 0.19 0.14 0.15

10. Una compañía manufacturera local produce 4 diferentes productos metálicos que

deben maquinarse pulirse y ensamblarse. Las necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Maquinado Pulido Ensamble Producto I 3 1 2 Producto II 2 1 1 Producto III 2 2 2 Producto IV 4 3 1 La compañía dispone semanalmente de 480 horas para el maquinado, 400 horas para pulido y 400 horas para ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8, respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos I, II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿Cuántas unidades de cada producto deberla fabricar semanalmente la compañía, a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total? 11.

Dorian auto fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más idóneos son hombres y mujeres de altos ingresos. Para llegar a estos grupos, dorian auto ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV, y decidió comprar comerciales de un mínimo en dos tipos de programas: programas de comedia y juegos de futbol americano. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y 2 millones de hombres también de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegos de futbol. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta $50000 y un comercial de un minuto en el juego de futbol cuesta $100000. A dorian le gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres de altos ingresos y 24 millones de hombres de altos ingresos vieran sus comerciales. Utilice la programación lineal para determinar como dorian puede alcanzar sus objetivos publicitarios al mínimo costo

35


12.

Mi dieta requiere que todos los alimentos que ingiera pertenezcan a uno de los cuatro "grupos básicos de alimentos" (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos: barra de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de chocolate cuesta $5, cada bola de helado de crema de chocolate cuesta $2, cada botella de bebida de cola cuesta $3 y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta $8. Todos los días debo ingerir i ngerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutricional por unidad de cada alimento se proporciona en la tabla siguiente. Plantee un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para cumplir con mis necesidades nutricionales al mínimo costo.

Calo Calorí rías as Choc Chocol olat ate e Azúcar (onzas) (onzas)

Grasa (onzas)

Barra de chocolate Helado de crema de chocolate (1 bola) Bebida de cola (1 botella) Pastel de queso con piña (1 rebanada) 13. Una oficina de correos requiere distintas cantidades de empleados de tiempo completo

en diferentes días de la semana. La cantidad de empleados de tiempo completo que se requiere cada día, se da en la tabla siguiente. Las reglas del sindicato establecen que cada empleado de tiempo completo debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Por ejemplo un empleado que trabaja de lunes a viernes, debe descansar sábado y domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus exigencias diarias solo por medio de empleados de tiempo completo. Plantee un programa de P.L. que la oficina de correos pueda utilizar para minimizar la cantidad de empleados de tiempo completo que tengan que ser contratados. Día 1 = lunes 2 = martes 3 = miércoles 4 = jueves 5 = viernes 6 = sábado 7 = domingo

No. de empleados de tiempo completo que se necesitan 17 13 15 19 14 16 11

36


14.

Un problema de producción. Wood Walter es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En ese taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A. B, C, con cada mesa, se quiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Wood podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Wood planea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule usted un modelo de programación lineal que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes.

Mode Modelo lo A B C C sin pintar Capacidad

Cort Corte e (hrs (hrs.) .) Mon Monta tajje (hrs (hrs.) .) 3 1 4 4

4 2 5 5

Pint Pintur ura a (hrs.) 5 5 4 0

150

200

300

Ganancia por mesa 25 20 50 30

15. Un departamento de nutrición prepara la comida de un hospital. Una comida consiste

en espagueti, pavo, papas, espinacas y pastel. Esta comida debe proporcionar 63000 mg. de proteínas, 10 mg. de hierro, 15 mg. de niacina, un mg. de tiamina y 50 mg. de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicada en la tabla siguiente:

Espagu eti Pavo Papas Espinas Pastel

Proteín as 5000 29300 5300 3000 4000

Nutriente (mg/100 gramos) Hierro Niacin Tiamin Vitamina C Gras a a a 1.1 1.4 0.18 5000 1.8 0.5 2.2 1.2

5.4 0.9 0.5 0.6

0.06 0.06 0.07 0.15

10 28 3

5000 7900 300 1430 0

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel. Determinar la composición de una comida que satisfaga los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.

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16. La firma ajax está desarrollando un nuevo aditivo para combustible de aviones. El

aditivo es una mezcla de 3 ingredientes: A, B y C. Para un desempeño adecuado la cantidad total de aditivo (cantidad de A + cantidad de B + cantidad de C) debe ser de cuando menos 10 onzas por galón de combustible. Sin embargo y debido a consideraciones de seguridad, la cantidad del aditivo no debe exceder de 15 onzas por galón de combustible. Por cada onza del ingrediente B se debe utilizar cuando menos una onza del ingrediente A. La cantidad del ingrediente C debe ser mayor o igual que la mitad de la cantidad del ingrediente A. Si el costo por onza de los ingredientes A, B y C es de $10, $30 y $90, respectivamente. Encontrar la mezcla de A, B y C que arroje el costo mínimo para cada galón de combustible de avión. Conda do de Cook, Illinois, tiene tres 17. La junta de Mejoramiento de caminos del Condado proyectos diferentes de construcción de caminos, que se aprobaron en la ultima reunión mensual. Ahora, la junta tiene el problema de determinar que contratistas llevarán a cabo los proyectos. Se buscaron cotizaciones para los proyectos entre los contratistas locales y tres de ellos presentaron las siguientes cotizaciones. Las cotizaciones presentadas por los respectivos contratistas se muestran en la siguiente tabla, en donde C1, C2 y C3 denotan a los contratistas y P1, P2 y P3 los proyectos. Las cantidades en las cotizaciones se expresan en decenas de millares de dólares. El problema consiste en determinar como asignar los proyectos proy ectos para minimizar los costos totales de todos ellos. C1 C2 C3

P1 28 45 56

P2 24 18 34

P3 28 29 35

18. Una compañía fabrica 2 clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad,

y el B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de $0.40 y $ 0.30., 0.30., cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 al día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios ( A y B combinados), el cinturón (A) requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone de 400 diarias. Se tienen únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B. Elabore un modelo de P.L. para Maximizar la Ganancia. 19. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquinas. Los tiempos de

manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas. Máquina 1 2

Producto 1 2 3

Tiempo por unidad (horas) Producto 2 Producto 3 3 4 2 1 38

Producto 4 2 2


El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquinas 1 y 2 es de $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 es $65, $70, $55 y $45. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Un cantinero de un bar dispone de los siguientes productos: Ginebra Bourbon Vermouth Escocés Vodka

120 onzas 108 onzas 60 onzas 72 onzas 48 onzas

20. Ofrece un menú más bien limitado de bebidas mezcladas, las cuales premezcla y

coloca en charolas. Luego deambula en la multitud para venderlas. Su menú de bar es: Escocés en las rocas

2 onzas de escocés 1.5 onzas de ginebra 0.25 onzas de vermouth 1.5 onzas de escocés 1.5 onzas de vodka 2 onzas de bourbon 2 onzas de bourbon 1 onza de vermouth 2 onzas de ginebra 1 onza de vodka 0.5 onzas de escocés

Martini Bomba atómica Nevado Coronel suriano Aplanadora

Cada bebida se vende a $2.50 y se pueden vender tantas de cada tipo como pueda premezclar. ¿Cuál debe ser su combinación de bebidas para esta noche? 21. Una compañía fabrica escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada tipo de

mueble requiere madera y dos tipos de trabajo especializado: acabado y carpintería. La cantidad que se necesita de cada recurso para fabricar cada tipo de mueble se da en la tabla siguiente:

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Recurso

Escritorio

Mesa

Silla

Madera Horas de acabado

8 pies 4 horas

6 pies 2 horas

Horas de carpintería

2 horas

1.5 horas

1 pie 1.5 horas 0.5 horas

Se disponen de 48 pies de madera, de 20 horas de acabado y de 8 horas de carpintería. Se vende un escritorio a $60, una mesa a $30 y una silla a $20. La compañía cree que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada, pero se pueden vender a los más 5 mesas. Se requiere maximizar el ingreso total porque se han comprado ya los recursos. 22. Una planta de procesamiento de metal recibe una orden para producir 10,000

carcazas. El contrato especifica un precio de $4.85 por carcaza. El ingeniero de diseño de productos propone 4 diseños alternativos para las carcazas; los que dan como resultado distintos tiempos de uso para las máquinas y costos de material. Los costos de material difieren debido a las distintas cantidades de desperdicio. Diseño de Tiempo de máquina (min) Costo de Productos producción Corte Formato Soldado Acabado material rechazados 1 0.4 0.7 1 0.5 $3.35 3% 2 0.8 1 0.4 0.3 $4.15 1% 3 0.35 0.6 1.2 0.75 $3.00 4% 4 0.7 0.8 0.6 0.55 $3.70 2% Costo/min $0.2 $0.3 $0.15 $0.1 El cliente desea recibir la entrega después de un mes de firmar el contrato. Con base en los compromisos actuales de producción, el gerente de producción pronostica que la planta tiene capacidades en exceso por 90 horas de tiempo de máquina cortadora; 140 horas de tiempo de máquina formadora, 154 horas de tiempo de soldado y 120 horas de tiempo de acabado. El problema del ingeniero de producción consiste en determinar qué diseños emplear para garantizar la entrega dentro del arreglo del contrato. 23. La señora B.M. Haddox, dietista del Hospital General es responsable de la planeación

y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La señora Haddox examina en estos momentos un caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir; sin embargo, se debe satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del nutriente B y 1500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia No. 1 contiene 100 unidades de nutriente A, 400 unidades de nutriente B y 200 unidades de nutriente C; cada onza de la fuente alimenticia No. 2 contiene 200 unidades de nutriente A, 250 unidades de nutriente B y 200 unidades de nutriente C. Ambas fuentes alimenticias son algo costosas (la fuente No. 1 cuesta $6 por libra y la fuente No. 2 cuesta $8 por libra). La señora Haddox desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. 40


24. La Pro-Shaft Company fabrica y vende 3 líneas de raquetas de tenis: A, B y C; A es

una raqueta estándar, B y C son raquetas profesionales. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5 horas. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8 y $8.5, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo de programación lineal. 25. Un fabricante de tamaño mediano para un sistema industrial de chocolates ha perdido

un cliente importante y la compañía ahora se enfrenta a la capacidad productiva excedente y la necesidad inmediata de hacer uso rentable de tal capacidad. La manufactura consiste en tres procesos fundamentales: preparación, elaboración e inspección. El empacado y la distribución se hacen conforme se necesita. La capacidad disponible de cada área se presenta de la siguiente forma. Proceso

Minutos requeridos de productos en el proceso Tiempo disponible en (Horas por Producto 1 Producto 2 Producto 3 semana) Preparación 5 5 4 100 Elaboración 45 35 30 320 Inspección 4 4 2 8 El potencial de venta y las utilidades para cada uno de los productos es: Productos P1 P2 P3

Ventas por semana 300 800 De hecho ilimitado

Utilidad de cada producto $ 5.00 $ 3.00 $ 2.00

La empresa quiere que le ayude usted, a elaborar un modelo para saber que productos debe elaborar y en que cantidad.

41

1.4 Formulacion de Problemas Copy

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