Guía No. 1 Medida Errores y Cifras Significativas

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR FACULTAD DE CIENCIAS CIENCIAS BÁSICAS Y EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LABORATORIOS DE FÍSICA “ MIGUEL ÁNGEL VARGAS Z .” .” GUÍA DE LABORATORIO No. 1 MECÁNICA: Medidas, Errores y Cifras Significativas INTRODUCCIÓN: En nuestra vida diaria todos, en mayor o menor mesura, nos hemos vistos obligados a realizar mediciones, y tal vez nos hemos familiarizado con ellas lo suficiente como para considerar que no necesitamos ser muy cuidadosos al tomar medidas por ejemplo de tiempo, de longitud, etc. Por lo que también es probable que no las hayamos realizado con el propósito de utilizarlas en un trabajo de carácter científico, lo cual aunque sencillo, requiere de mucho cuidado y de la aplicación de técnicas especificadas. En ciencias e ingeniería, el concepto de error tiene un significado diferente del uso habitual de este término. Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo a equivocación. En ciencia e ingeniería, el error, está más bien asociado al concepto concepto de incerteza en la dete determ rmin inac ació iónn del del resu result ltad adoo de una una medi medici ción ón.. Más Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas (o límites probabilísticos) de estas incertezas. Gráficamente, buscamos establecer un intervalo x como el de la siguiente figura, donde con cierta - ∆ x ≤ x ≤ + probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor es el más representativo de nuestra medición y al semiancho ∆ x lo denomi den ominam namos os la incert incertez ezaa o error error absoluto de la medición. x

x

x

x x − ∆ x x + ∆x En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el método de medición, el observador (u observadores) que realizan la medición. Asimismo, el mismo proceso de medición introduce errores o incertezas. Por ejemplo, cuando usamos un termómetro para medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye al termómetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medición es un valor modificado del original debido a la inevitable interacción que debimos realizar. Es claro que esta interacción podrá o no ser significativa: Si estamos midiendo la temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida al termómetro puede no ser significativa, pero sí lo será si el volumen en cuestión es de una pequeña fracción del mililitro.

Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos tienen una precisión finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre existe una variación mínima de la magnitud que apreciación nominal nominal del puede detectar. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracción del milímetro. 1. CONCEPTOS BÁSICOS

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





1.1 Errores en la Medida : Para el examen de un fenómeno o proceso es conveniente provocarlo de manera controlada, esto es realizar un experimento, y observarlo utilizando instrumentos de medición, que nos permiten traducir a números reales las distintas magnitudes físicas involucradas en la experiencia. Estos números satisfarían ciertas relaciones matemáticas que que pued pueden en esta estarr cont conten enid idas as en las las leye leyess físic físicas as.. Sin Sin emba embarg rgo, o, como como en todo todo procedimiento humano el montaje experimental y el proceso de medición no son perfectos lo que conduce a errores e incertidumbres en los valores de las magnitudes medidas, por tanto las leyes podrán parecer satisfechas sólo de forma aproximada. La estimació estimaciónn de estas estas deficienc deficiencias ias pued puedee llevarnos llevarnos a valorar valorar adecuad adecuadamen amente te nuestras nuestras experiencias y a determinar la validez de las leyes físicas subyacentes en lo observado. El error en la medida estará determinado por la discrepancia que existe entre el valor real y el observado de la magnitud considerada. Básicamente los errores son de tres tipos: de escala, aleatorios y sistemáticos.

Errores de Escala: Este tipo de error está determinado por la precisión del aparato de medida. Es entendible que con una simple regla cuya división mínima es un milímetro no es posible medir fracciones de esta cantidad con total certeza, sin embargo, casi siempre podemos asegurar con toda confianza que el valor de la longitud de un objeto medido con este instrumento estará entre dos múltiplos consecutivos de esta unidad. En ese caso el error en la medida no excederá la mínima división de la escala utilizada. Errores Aleatorios: En muchos experimentos cuando se tienen instrumentos de alta precisión, al realizar medidas consecutivas consecutivas de una cierta magnitud se pueden obtener valores diferentes de la medida debido a ciertos factores que, de manera sutil pero perceptible por nuestro instrumento, pueden afectar la medida en forma aleatoria. Por eso estos errores se denominan aleatorios. Un ejemplo de ello es cuando manualmente debemo deb emoss accio acciona narr un cronóm cronómetr etroo para para deter determin minar ar un interv intervalo alo de tiempo tiempo,, siendo siendo nuestro tiempo de reacción mayor que la incertidumbre de este instrumento. Para obtener una buena estimación de la medida, debemos realizar la medición varias veces con lo que obtenemos una región donde, con cierta confianza, podemos afirmar que allí se halla el valor real. Errores Sistemáticos: Con Contra traria riame mente nte a los aleato aleatorios rios exist existen en otros otros factor factores es que sistemáticamente producen error en la medida, puesto que dependen del sistema o montaje experimental, por esto ellos son llamados sistemáticos. Este es el caso de cuando se tienen instrumentos de medida descalibrados. También dentro de ese tipo de errores están incluidos los inducidos por los modelos teóricos cuando son usados para medidas indirectas. Por ejemplo, cuando queremos hallar la profundidad de un pozo midiendo el intervalo de tiempo que existe entre el momento en que se deja caer una piedra en su interior y, el instante en que se escucha el chasquido chasquido de la piedra al golpear el fondo, utilizando las ecuaciones de caída libre para el descenso de la piedra; en este caso caso no cons consid ider erar ar la fric fricci ción ón del del aire aire ni el reta retard rdoo del del soni sonido do prod produc ucee erro errore ress sistemáticos, que pueden despreciarse en caso de no requerirse mucha exactitud.





Debido a los errores, los valores obtenidos, como resultado de los procesos de medida, poseen incertidumbre. La utilización de instrumentos en buen estado, el manejo adecuado de los aparatos y la consideración de correcciones a los modelos ideales nos permite reducir los errores sistemáticos; sin embargo, no es posible deshacernos deshacernos totalmente de los errores aleatorios y de escala. Mientras más preciso es nuestro instrumento de medida mas significativos se vuelven los errores aleatorios. Debido a esta incertidumbre el resultado de una medida, en ciertas unidades, no puede ser un número número exacto, sino que debe ser un intervalo intervalo numérico; numérico; esto es, un rango de valores valores donde podemos afirmar con mucha confianza que allí se halla el valor de la medida. La incertidumbre o incerteza, como ya se dijo en la introducción, puede ser definida como el semiancho del mínimo intervalo donde podemos afirmar con relativa seguridad (más o menos con un 70% de confianza) que allí se encuentra el valor real de la medida. Al hacer varias medidas de una misma magnitud, bajo las mismas condiciones en general, distinguimos dos casos: o las medidas repetidas dan valores iguales, o valores diferentes. En el primer caso se dominan errores de escala, entonces la incertidumbre correspon corresponderá derá a una fracción fracción (1, 2/3 ó 1/2) de la división división mínima del instrumen instrumento to de medi medida da.. En el segu segund ndoo caso caso domi domina nann los los erro errore ress alea aleato tori rios os y la ince incert rtid idum umbr bree corresponderá a la desviación cuadrática media (desviación estándar) de las medidas. Para un conjunto de valores x 1; x 2;…; xn arrojados por medidas repetidas de una misma magnitud la desviación estándar está definida como: ∆ X =

1

n

∑ ( X n

− X ) ; Donde 2

i

X

es el promedio de las medidas,

i =1

X

=

1

n

∑ X

n i =1

i

Las incertidumbres deben ser expresadas en forma explícita en nuestro reporte de la medición. Expresaremos el resultado de una medida (m) por el valor medio ( m ) más o menos menos la incertidumbre incertidumbre ( ∆ ): m = m ± ∆ . Esto quiere decir que la medida real se halla con alta probabilidad en el intervalo ( m - ∆ , m + ∆ ). A la razón ∆ /m la llamar llamaremo emoss incert incertidu idumbr mbree relati relativa, va, esta esta se pue puede de escri escribir bir en forma forma porcentual como ∆ / m X 100%. m

m

m

m

m

m

1.3 Error relativo: Si conocemos el valor aceptado de una medida, o el valor teórico predicho por un modelo, podemos evaluar la exactitud de nuestra medida, la medida será exacta si el valor aceptado o teórico está dentro del intervalo de la medida. En otras palabras diremos que nuestra medida es exacta si el error relativo con respecto al valor aceptado es menor que la incertidumbre relativa de la medida, donde el error relativo esta definido a través de

M E

=

m

−

M

;

Siendo M el valor aceptado. También hablaremos de





Cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, está claro que, si somos somos cuidad cuidadoso osos, s, pod podrem remos os asegur asegurar ar nue nuestr stroo result resultado ado hasta hasta la cifra cifra de los milímetros o, en el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más. De este modo nuestro resultado podría ser L = (95.2 ± 0.5) mm, o bien L = (95 ± 1) mm. En significativass y en el el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativa segundo caso sólo dos. El número de cifras significativas es igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo este dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en nuestro caso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos “menos seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L más cifras que aquéllas en donde tenemos incertidumbres (donde “cae” el error). No es correcto expresar el resultado como L = (95.321 ±1) mm, ya que si tenemos incertidumbre del orden de 1 mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas, centésimas y milésimas del milímetro. Si el valor de L proviene de un promedio y el error es del orden del milímetro, se debe redondear el dígito donde primero cae el error. Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más. También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la última cifra si es que no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo disponemos de la información que una longitud es L = 95 mm, podemos suponer que la incertidumbre es del orden del milímetro y, como dijimos antes, el resultado de L tiene dos cifras significativas. Una posible fuente de ambigüedad se presenta con el número de cifras significativas cuando se hace un cambio de unidades. Si en el último ejemplo deseamos expresar L en µm, el resultado sería L = (95000±1000) µm. ¿Cuántas cifras significativas tenemos en este resultado? Claramente dos, igual que antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo 5. Sin embargo, si no indicamos explícitamente la incertidumbre de L, es difícil saber cuántas cifras significativas tenemos. Nótese que 95 mm ≠ 95000 µm, ya que el primer resultado tiene sólo dos cifras significativas mientras el segundo tiene 5.

1.5 Truncación de Números: Se desea determinar la densidad de un cuerpo y para ello se procedió a medir su volumen, que dio como resultado V = 3.5 ± 0.2 cm (εV% = 6%) y su masa m = 22.7 ± 0.1 g. (εm%=0.4%). Para calcular la densidad, ρ , debemos realizar el cociente de ρ m / V . Si realizamos r ealizamos este cociente con la calculadora obtenemos: ρ = 22.7 ÷ 3.5 = 6.485714286 g/cm . Claramente, la mayoría de estas cifras no son significativas y debemos truncar el resultado. Para saber dónde hacerlo, debemos propagar los errores del numerador y den denomin ominaador, dor, y ver ver a qué qué cifra ifra afec fecta el erro rror de ρ . Usan Usando do la expr expres esió iónn 3

=

3





con una sola cifra decimal es 6.5 y no 6.4 que resultaría de una truncación automática. Finalmente, el valor que obtenemos para ρ es: ρ = 6.5 ± 0.4 g/cm y ερ% = 6%. 3

Es importante tener en cuenta este criterio de truncación toda vez que realizamos una operación usando una calculadora o computadora.

2. OBJETIVO: Hacer Hacer medic medicion iones es de alguna algunass magnit magnitude udess en varios varios objeto objetoss utiliz utilizand andoo difere diferente ntess instrumentos de medida y reportar los resultados especificando especificando las incertidumbres.

3. MATERIALES: * Calibrador * Cinta de papel * 3 Esferas * Cinta métrica * Hojas de cuadernos

4. PROCEDIMIENTO: 4.1 Primera parte : Midiendo con la mano : Cada estudiante del grupo hará mediciones con su cuarta y pulgada. 1. Mida la mesa a lo largo y a lo ancho ancho utilizando su cuarta y complete complete la medida con su pulgada; pulgada; considere considere sólo cantidades cantidades enteras enteras de estas unidades. unidades. Determine Determine la incertidumbre adecuada adecuada y escriba sus medidas medidas de la forma medida ± incertidumbre y consígnelas en la tabla 1.1., especificando el número de cuartas y pulgadas para cada dimensión de la mesa. 2. Mida Mida su cuarta cuarta y su pulgada pulgada utiliza utilizando ndo la cinta cinta métrica métrica,, regist registre re los valore valoress en centímetros con su respectiva incertidumbre en la tabla 1.1. 3. Mida el largo y el ancho de la mesa con la cinta cinta métrica una sola sola vez, estos estos serán llamadas las medidas precisas de las dimensiones de la mesa. Llévelos a la tabla 1.2 en la columna medida precisa, con su respectiva incertidumbre (± 0.1 cm). ESTUDIANTE 1

ESTUDIANTE 2

Ancho(cuarta, Ancho(cuarta, pulgada pulgada )

Largo (cuarta, pulgada) Longit Longitud ud de la cuart cuarta a (cm.) Long ong. de la pulgad lgada a (cm.) TABLA 1.1

ESTUDIANTE 3





Ancho (cm.) Largo (cm.)

Área (cm2) TABLA 1.2

4.2 Segunda Parte : Midiendo

: Sabemos que el perímetro ( c) de un círculo está relacionado con su diámetro ( d ) por la expresión c= π ·d, por lo tanto midiendo el diámetro y perímetro, es posible “medir π”. Realice Realice el exper experiment imentoo y obtenga el valor de π con sus respectivas cifras significativas. significativas. Dé su incertidumbre. Compare los valores tabulados de esta constante y llene las tablas 1.3 y 1.4., π

Diámetro ( d ) Estud.

1

Estud.

2

Perímetro ( c ) Estud.

Estud.

3

1

Estud.

2

Estud.

3

Promedi o c d

Esfera 1 Esfera 2 Esfera 3 TABLA 1.3 ESFERA 1 π

ESFERA 2

ESFERA 3

PROMEDIO

I. RELATIVA

E. RELATIVO

=c

/d TABLA 1.4

4.3 Tercera Parte: Parte: Medidas Medidas directas e indirectas: indirectas:

1. Con una una regla regla gradua graduada da en mm. mida los los lados lados a, b y c del del triángulo triángulo de la figura figura y anote los valores obtenidos en la tabla 1.5 ¿Qué es una tabla de datos? ¿Cree uste ustedd que que siem siempr pree debe deberé ré util utiliz izar ar una una tabl tablaa de dato datoss para para regi regist stra rarr sus sus mediciones? ¿Por qué? 2. Trace Trace las altura alturass sobre cada cada uno de los lados lados del triáng triángulo ulo.. Mida con la regla regla cada una de las alturas y anote sus valores en la tabla de datos. A c







LADOS a (cm.) E. 1

E.2

ALTURAS

b (cm.) E. 3

E. 1

E.2

c (cm.) E. 3

E.1

E.2

Ha (cm.) E.3

E.1

Hb (cm.)

E. 2

E.3

E.1

E.2

Hc (cm.) E.3

E.1

E. 2

E.3

TABLA 1.5

3. Calcule Calcule el área del del triángulo triángulo utilizand utilizandoo sucesivam sucesivamente ente los tres tres lados como como bases bases y sus correspondientes alturas y llene la tabla 1.6. En caso de requerirse debe truncar los resultados de las áreas para obtener un resultado con el número de cifras significativas adecuado. Áreas Calculadas Estud. 1 Estud. 2 Estud. 3

Ärea Promedio

Incert. Relativa

Error Relativo

Aa (cm2) Ab (cm2) Ac (cm2)

4. ¿Qué ¿Qué hizo hizo para para cono conoce cerr los los lado ladoss del del trián triángu gulo lo?? ¿Y para para cono conoce cerr el área área?? Explique la diferencia entre una medida y la otra.

5. REALIZ REALIZAR AR LAS SIGUI SIGUIEN ENTES TES ACTIV ACTIVIDA IDADES DES 5.1 Explique Explique qué es una medida medida directa directa y qué es una medida medida indirecta. indirecta. ¿Para ¿Para cada procedimiento existen existen diferencias entre las las áreas halladas? halladas? ¡Explique por qué! qué! 5.2 Con un vernie vernierr medimo medimoss el espes espesor or de una hoja hoja de cuaderno cuaderno,, ano anotem temos os el resultado especificando su incertidumbre. Idéese un método para disminuir dicha incertidumbre, describa el procedimiento utilizado. 5.3 La población de una ciudad se reporta reporta como 350000 habitantes. habitantes. ¿Cuántas cifras significativas tiene este dato? ¿Según este reporte, entre que valores podría estar el número de habitantes de dicha ciudad? ¿Cómo debería reportarse el dato si se





3. Serway Serway,, Raymon Raymondd A. FÍSICA, FÍSICA, tomo 1, cuart cuartaa edició edición, n, McGraw-H McGraw-Hill ill,, México México,, 1997.

Guía No. 1 Medida Errores y Cifras Significativas

Recommend Documents