1. Entre las siguientes afirmaciones halle las que son proposiciones e indique cuales son verdaderas o falsas. a) Simón Bolívar nació en 1783; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.
b) La Tierra es satélite de la Luna; Respuesta: Es una proposición, Es falsa.
c) 2 + √ ; Respuesta: No es una proposición.
d) 3 x 5 + 4 = 19; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.
e) 6 ≥ 2 + 4; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera. f)
Hay un número natural que es negativo; Respuesta: Es una proposición, Es falsa.
g) Existen diversas razas de perros; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.
h) Eloy Alfaro no impulso la educación laica; Respuesta: Es una proposición, Es falsa.
i)
Se fueron de viaje. Respuesta: No es una proposición.
2. Se dan dos proposiciones: p: << el número 3 es divisor de 174 >>y q: << llueve >>. ¿En qué consisten las proposiciones: a) ~ p;R. El numero 3 NO es divisor de 174.(p v q); R. El número 3 es divisor de 174 O llueve. b) (p ˄ q); R. El número 3 es divisor de 174 Y llueve. c) p → q; R. Si el número 3 es divisor de 174, ENTONCES llueve. d) ~ p→ q; R. Si el numero 3 NO es divisor de 174, ENTONCES llueve. e) p→ ~ q? R. Si el número 3 es divisor de 174, ENTONCES NO llueve.
3. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12; Respuesta:F → V= V
b) No es verdad que 3 +3 = 9 si y solo si 5 + 5 = 10; Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V
c) No es verdad que 2 – 3 = 1 o que 3 + 4 = 7; Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V
d) 6 + 4 = 10 y 9 – 4 = 5;
Respuesta:(V ˄ V) = V
e) 8/2 = 4 y 8 + 2 = 12; Respuesta:(V ˄ F) = F
f) La sede del congreso está en Quito o está en Macas; Respuesta:(V ˅ F) = V
g) Si 3 x 7 = 21, entonces 9 – 7 = 2; Respuesta:(V → V) = V
h) Si Roma esta en Italia, entonces Bogotá está en Panamá. Respuesta:(V → F) = F
4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (8 > 3) v (2 – 6 < 3), Respuesta:(V v V) = V
b) (3 < 7) ˄ ( √
< 10);
Respuesta:(V ˄ V) = V
c) (1 + 3 + 5 + 7 = ) → (
Respuesta:(V → V) = V
d) (
↔ ( ;
e) Respuesta:(F ↔ V) = F 5. Realice las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) *(p v q) → ~ p+; [(p
V
q)
→
~
p]
V
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F
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F
b) *(p v q) ˄ ~ (p ˄ q) ↔ r+ → ~ q;
[(p
˅
q)
˄
~
(p
˄
q)
↔
r]
→
~
q
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V
F
c) (r → q) ˄ ~ *q → r+;
(r
→
q)
˄
~
[q
→
r]
V
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F
V
F
d) ~ *r → (p v r) ˄ ~ (p ˄ r)+ v *(p v q) → ~p+;
~
[r
→
(p
V
r)
˄
~
(p
˄
r)]
v
[(p
v
q)
→
~
p]
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F
F
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V
F
V
e) *p → (~ q v r) ˄ ~ (~ q ˄ r)+ ↔ *r ↔ ~ (p v q)+
[p
→
(~
Q
v
r)
˄
~
(~
Q
˄
r)]
↔
[r
↔
~
(p
v
q)]
V
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F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
6. Demuestre si las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes: a) p v p con p(p v p) → p Idempotencia *p → p Condicionante *(~p v p) Complemento Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.
b) ~ (p ↔ q) con (p ˄ ~ q) v (~ p v q) *~ (p ↔ q)+ → *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+ *~ (p → q) v (p → q)+ → *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+ Condicionante * *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+ → *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+
Condicionante
~ *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+ v *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+Asociativa ,*(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+ ˄ ~ *(p ˄ ~ q) v (~ p v q)+-Complemento *~
~
{F}Complemento Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.
c) (p v ~ q) ˄ (~ r v p) ↔ p v *~ (q v r)+*(p v ~ q) ˄ (~ r v p)+ ↔ *p v *~ (q v r)]] Condicionante *,*(p v ~ q) ˄ (~ r v p)+ →*p v *~ (q v r)++- ˄ ,*p v *~ (q v r)++ → *p v ~ q) ˄ (~ r v p)]} Condicionante
*,~ *(p v ~ q) ˄ (~ r v p)+ v*p v *~ (q v r)++- ˄ ,~*p v *~ (q v r)++ v *p v ~ q) ˄ (~ r v p)]}
Morgan
*{[~(p v ~ q) v(~ r v p)] v[p v(~(q v r)} v {~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v (~ r v p)]} Destrucción de Paréntesis
*~(p v ~ q) v~ r v p vp v~(q v r)v ~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v ~ r v p]Morgan *~ rvp v ~p ˄q vp v~q˄~ rv~p˄~q˄~ rv~ p˄ q˄ ~ rv pAsociativa *(~ r v ~ r) ˄ (p v ~p) ˄ (q v ~q) v (p v ~p) ˄(~ r˄~ r) v (~q˄ q) ˄ (~ p v p) Complemento
*~ r ˄ (V) ˄ (V) v (V) ˄ ~ r v ~(V) ˄ ~(F) Complemento/ Identidad/ Asociativa
*(~r ˄~ r) ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F) ˄ (V)Idempotencia *~ r ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F ) ˄ (V) Identidad *~ r v (V) v (F ) ˄ (V) *~(r ˄ F) v (F ) ˄ (V) *V v (F ) ˄ (V) *(V) ˄ (V)
Absorción Identidad/Complemento
Disyunción Conjunción
Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.
7. Verifique, mediante una tabla de verdad, que las siguientes proposiciones son contradicciones: a) (p ˄ q) ˄ ~ (p v q) (p
˄
q)
˄
~
(p
v
q)
V
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F
F
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F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción.
b) ~ [p v (~ p v ~ q)]
~
[p
v
(~
p
V
~
q)]
F
V
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V
F
V
V
F
Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción.
8. La proposición (p v ~ q) → ~ p es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (~ p ˄ q) → p (~
P
˄
q)
→
p
F
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F
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V
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F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
Respuesta: La proposición es verdadera, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso, esta será Falsa.
b) ~ (p ˄ q) → p
~
(p
˄
q)
→
p
F
V
V
V
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F
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F
V
F
F
F
F
F
Respuesta: La proposición es verdadera, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso, esta será Falsa.
c) ~ p ˄ (q → p)
~
P
˄
(q
→
p)
F
V
F
V
V
V
F
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F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
Respuesta: La proposición es falsa, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Verdadero, esta será Verdadera.
9. ¿Para qué valores de p, q y r la siguiente proposición es verdadera? (~ p ˄ ~ q) → *~ (p v q) ˄ ~ r+
(~
P
˄
~
q)
→
[~
(p
V
q)
˄
~
r]
F
V
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V
F
Respuesta: Son verdaderas: cuando p es verdadero y q y r toman cualquier valor y cuando p, q y r son las tres falsas a la vez.
10. Sean s: <>y t: <>. Suponiendo que t es falsa y s es verdadera, señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) No voy al trabajo o no camino 30 cuadras;~ (s ˄ t) ~ (V ˄ F) ~ (F)
Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
b) Voy al trabajo o no camino 30 cuadras;(s) v ~ (t) (V) v ~ (F)
Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
c) Camino 30 cuadras si voy al trabajo;(s → t)
(V → F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.
d) Si voy al trabajo camino 30 cuadras.(s → t)
(V → F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.
11. La proposición <> es falsa. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) Si Luis juega, Marco duerme;(p → q) V→V Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
b) Ana estudia y Marco no duerme;(r ˄ ~ q) V˄F Respuesta: F, La proposición es Falsa.
c) Ana no estudia y Marco no duerme;~(r ˄ q) ~ (F ˄ V) Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
d) Marco duerme, cuando Luis juega o Ana estudia.(p v r) → q
(V v V) → V Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
12. Indique cuales de las proposiciones son equivalentes: a) ~ *(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))+; ~
[(~
P
V
q)
V
(q
˄
(~
p
v
r))]
F
F
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V
F
F
V
F
V
F
Respuesta: La proposición es Equivalente.
b) (p ˄ ~ q) ˄ *~ q v (~ r v p)+; (p
˄
~
q)
˄
[~
q
v
(~
r
V
p)]
V
F
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F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
Respuesta: La proposición es Equivalente.
c)
~ (~ q → ~ p) ˄ *q → ~ (p → r)+
~
(~
q
→
~
p)
˄
[q
→
~
(p
→
r)]
F
F
V
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V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
Respuesta: La proposición es Equivalente.
13. Simplifique las siguientes proposiciones compuestas: a) (~ p ˄ ~ p) v ~ q ↔ ~ (p ˄ q) Idempotencia *~
p
v
~
*~
(p
˄
q)
q
↔
↔
~
~
(p
˄
(p
˄
q)
q)
Asociativa Condicionante
* *~ (p ˄ q) → ~ (p ˄ q)+ ˄ *~ (p ˄ q) → ~ (p ˄ q)+Condicionante * *~(~ (p ˄ q)) v ~ (p ˄ q)+ ˄ *~(~ (p ˄ q)) v ~ (p ˄ q)+
* [ (p
Morgan
˄ q) v ~ (p ˄ q)+ ˄ * (p ˄ q) v ~ (p ˄ q)+
*
Morgan
* (p ˄ q) v ~ p v ~ q+ ˄ * (p ˄ q) v ~ p v ~ q+
Absorción
* ~ {[(~p v~q)v ~ p v ~ q] v [(~p v~q)v ~ p v ~ q]} Destrucción de Paréntesis *~{~p v ~q v ~ p v ~ q v ~p v ~q v ~ p v ~ q}Asociativa *~{(~p v ~ p) v(~q v ~ q) v (~p v ~p) v (~ q v ~ q)}Idempotencia *~{(~p v ~ q) v (~p v ~ q)}
Respuesta : ~p v ~ q.
Idempotencia
b) p ↔ *(p v q) ˄ (p ˄ q)+ Conmutativa*p
↔
*(p
˄
*p ↔ ,*p ˄ *q ˄ (p v q)+-
q)
˄
(p
v
q)]Asociativa
Co nmutativa
*p ↔ ,*p ˄ *q ˄ (q v p)+-
Absorción *p ↔ (p ˄ q)
Condicionante
**~ p v(p ˄ q)+ ˄ *~(p ˄ q) v p+
Morgan
**~ p v(p ˄ q)+ ˄ *~p v ~ q v p+
**~ p v(p ˄ q)+ ˄ *(~p v p) v ~ q+
Conmutativa
**~ p v(p ˄ q)+ ˄ *(V) v ~ q+
Complemento Identidad
**~ p v(p ˄ q)+ ˄ (V)
Identidad
**~ p v(p ˄ q)+
Distributiva**(~ p vp) ˄ (~ p vq)+
Complemento
**(V) ˄ (~ p vq)+
Identidad
Respuesta: ~ p v q c) ~ *~ p → (~ p v q)+- v ~ p → (p → r) Condicionante *,~
*p
*,~
*(p
v v
(~
p
v
q)+-
v
~
p
→
(~p
v
r)
Asociativa
~
p)
v
q)+-
v
~
p
→
(~p
v
r)
Complemento
*,~ *(V) v q)+- v ~ p → (~p v r)
Identidad
*~ *V+ v ~ p → (~p v r )
Identidad **(F) v ~ p+ → (~p v r)
Identidad*~ p → (~p v r)
Condicionante
* p v (~p v r)
Asociativa
* (p v ~p) v r
Complemento
* (V) v r
Identidad
Respuesta: V, Es una Tautología.
d) *(p ˄ ~ q) ˄ (p ˄ q)+ v (p ˄ ~ p) v *((p ˄ q) ˄ r) v (q v r)+- Asociativa **(p ˄ p) ˄ (~ q ˄ q)+ v ,(p ˄ ~ p) v *~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)+- **p ˄ (F)+ v {(V) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Complemento
* (F) v {(V)
v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Destrucción de Paréntesis * (F) v (V) v p ˄q ˄ rvqvr
*(V) v p ˄q
Disyunción
˄ r v q v r
*(V) v p ˄(q v q) ˄ (r v r)
Asociativa Conmutativa/ Idempotencia
*(V) v p ˄q ˄ r
Complemento
Respuesta: p ˄ q ˄ r
e) *~(p → q) ˄ ~ q+ ↔ *q v (q → ~ p)+ ˄ ~ *q ˄ (q → ~ p)+ Condicionante **~ (~p v q) ˄ ~ q+ ↔ *q v (~q v ~ p)+ ˄ ~ *q ˄ (~q v ~ p)+ Morgan/ Aso. *[p ˄ (~ q ˄ ~ q)+ ↔ *(q v ~q) v ~ p)+ ˄ ~ *(q ˄ ~q) v ~ p)+ Complemento **p ˄ ~ q+ ↔ *(V) v ~ p)+ ˄ ~ *(F) v ~ p)+ ˄ ~ q+ ↔ (V) ˄ (~ p)
Identidad
*[p Identidad
**p ˄ ~ q+ ↔ (~ p)
Condicionante
*,*p ˄ ~ q+ → (~ p)- ˄ ,(~ p) → *p ˄ ~ q+ -
Condicionante
*,~(p ˄ ~ q) v (~ p)- ˄ ,~(~ p) v (p ˄ ~ q)*,~p v q) v (~ p)- ˄ ,p v (p ˄ ~ q)*, q v (~p v ~ p)- ˄ ,(p ˄ p) v~ q)}
Morgan Asociativa Idempotencia
*(q v ~ p) ˄ (p v~ q)
Asociativa *(q v ~ q) Complemento*(V) ˄ (V)
˄ (p v ~ p) Conjunción Respuesta: V, Es Tautología.
f)
*~ (p → q) ˄ ~ (~ q v p)+ v *~ (q → p) v ~ p+ Condicionante
**~ (~p v q) ˄ ~ (~ q v p)+ v * ~ (~q v p) v ~ p] **p ˄~ q ˄ q ˄~p)+ v *(q ˄ ~ p) v ~ p+
Asociativa
**(p ˄~ p) ˄ (q ˄~q)+ v *(q ˄ ~ p) v ~ p+
Idempotencia/Complemento
**(F) ˄ (F)+ v *(q ˄ ~ p) v ~ p+Conjunción ~ p) v ~ p]Complemento
Morgan
*(F) v *(q ˄
Respuesta: (q v ~ p) ˄ ~ p
14. Si p, q, y r son proposiciones. Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: a) p ˄ q; Respuesta: ~ p v ~ q.
b) (p v q) ˄ r; Respuesta: (~ p ˄ ~ q) v ~ r.
c) (p ˄ q) ˄ r; Respuesta: (~ p v ~ q) v ~ r.
d) (p ˄ q) → p; ~ (p ˄ q) v p; Respuesta: (p ˄ q) ˄ ~ p.
e) *(~ p v ~ q) ˄ q+ → (~ p); ~ [(~ p
v ~ q) ˄ q+ v (~ p); Respuesta: (p ˄ q) v ~ q+ ˄ p.
f) (p v q) → r; ~ (p v q) v r;
Respuesta: (p v q) ˄ ~ r.
15. Demuestre, justificando cada paso, que: a)
p v (p ˄ q) ↔ p
Asociativa
*(p v p) ˄ q ↔ pIdempotencia *(p ˄ q) ↔ p
Condicionante
**(p ˄ q) → p+ ˄ *p → (p ˄ q)+
Condicionante
* *~ (p ˄ q) v p+ ˄ *~ p v (p ˄ q)+
Morgan
* *~ p v ~ q v p+ ˄ *~ p v (p ˄ q)+
Asociativa
* *(~ p v p) v ~ q+ ˄ *~ p v (p ˄ q)+
Complemento
* *(V) v ~ q+ ˄ *~ p v (p ˄ q)+
Complemento
* (V) ˄ *~ p v (p ˄ q)+
Complemento
Respuesta: ~ p v (p ˄ q)
b) *(p ˄ q) → r+ ↔ *p → (q → r)+
Condicionante
**~ (p ˄ q) v r+ ↔ *~p v (~q v r)+
Con dicionante
**~ p v ~ q v r+ ↔ *~p v ~q v r+
Condicionante
*,*~ p v ~ q v r+ → *~p v ~q v r+- ˄ ,*~p v ~q v r+ → *~p v ~q v r+- Cond. * ,~ *~ p v ~ q v r+ v *~p v ~q v r+- ˄ ,~ *~p v ~q v r+ v *~p v ~q v r+˄ (V)
* (V)
Complemento
Respuesta:V, Es Tautología. c) *(p ˄ q) → r+ ↔ *(p → q) → (p → r)]
Condicionante
**~ (p ˄ q) v r+ ↔ *(~ p v q) → (~ p v r)+ **~ (p ˄ q) v r+ ↔ *~ (~ p v q) v (~ p v r)+ **~ p v~ q v r+ ↔ *(p ˄~ q) v (~ p v r)]
Condicionante Morgan Condicionante
* ,*~ p v ~ q v r+ → *(p ˄~ q) v (~ p v r)+- ˄ ,*(p ˄~ q) v (~ p v r)+ → *~ p v ~ q v r]}
Condicionante
* {~ [~ p v ~ q v r + v *(p ˄~ q) v (~ p v r)+- ˄ ,~ *(p ˄~ q) v (~ p v r)+v*~ p v ~ q v r]}
Morgan
* ,*p ˄ q ˄~ r+ v *(p ˄~ q) v (~ p v r)+- ˄ ,*(~p v q) ˄ (p ˄~ r)+ v *~ p v ~ q v r+Asociativa
* ,*p ˄ q ˄~ r+ v *(p v~ p) ˄ (~ q v r)+- ˄ ,*(~p v p) ˄ (q ˄~ r)+ v *~ p v ~ q v r+Complemento
* ,*p ˄ q ˄~ r+ v *(V) ˄ (~ q v r)+- ˄ ,*(V) ˄ (q ˄~ r)+ v
[~ p v ~ q v r]}
* ,*p ˄ q ˄~ r+ v *(~ q v r)+- ˄ ,*(q ˄~ r)+ v *~ p v ~ q v r+-
d) p ˄ (p → q) → q *p ˄ (~p v q) → q
Condicionante
Condicionante
*p ˄ ~ (~p v q) v q
Morgan
*p ˄ p ˄~ q v q *(p ˄ p) ˄(~ q v q)
Asociativa Idempotencia/ Complemento
*p ˄(V)
Identidad
Respuesta: p
16. Sean p y q proposiciones. Determine en cada uno de los siguientes casos si q es verdadera. a) v(p) = V y v(p → q) = V;
b) v*(~q) → (p ˄ ~p) = V;
c) v(p ˄ q) = Fyv(p) = V; d) v(q →(~p) = Fyv(p) = V
17. Sea r ≡~ (~ p ˄ q) → q. Encuentre el valor de verdad de r cuando:
a) v(p) = Fy v(q) = V
b) v(p) = Vy v(q) = F
18. Determine en qué casos es verdadera la proposición: ~ *(p → q) v r+ ↔ p, sabiendo que r es la proposición <<2 es un número impar>>.
19. Sean p, q, r proposiciones y supongamos que p es falsa, q falsa y r verdadera. ¿Cuálesde las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) (p ˄ q) → r; (F ˄ F) → V
*(F) → V Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
b) (~ q) → (~ r);
* (~F) → (~V) * (V) → (F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.
c) *p v (~ q)+ ↔ (q ˄ r);
*F v (~F)+ ↔ (F ˄ V) *F v (V)+ ↔ (F ˄ V) *V+ ↔ (F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.
d) (~ p v r) ˄ (q v r); (~F v V) ˄ (F v V) (V v V) ˄ (V) (V) ˄ (V) Respuesta: V; La proposición es Verdadera.
20. Si q es la proposición <<2 + 1 = 3>>, ¿Para qué valores de p y r la siguiente proposición es falsa? (p ˄ ~ q) → *(~ r ˄ ~q) v p+ ˄ ~ *(~ r ˄ ~ q) ˄ ~p+-
(p
˄ ~
q)
→
{[(~
R ˄ ~
q)
v
p]
˄
~
[(~
r
˄
~
q)
˄
~
p]}
V
F
F
V
V
F
V F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
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F
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V
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F
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V F
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V F
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V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
Respuesta: La proposición es Falsa, cuando p es Verdadera y r es Falsa.