Guía de ejercicios No.2 Mecánica 22113 1. Un planeta de masa se encuentra en órbita alrededor del sol, con excentricidad e = 1 − α , y α ≪ 1 . Suponga que el movimiento del sol puede despreciarse, y que actúan sólo fuerzas gravitacionales. Cuando el planeta se encuentra a la mayor distancia posible del sol, es golpeado por un cometa de masa m ≪ M , el cual viajaba en dirección tangencial. Si el choque es completamente inelástico (es decir, el planeta y el cometa + m después del choque), encuentre la energía continúan como un solo cuerpo de masa cinética mínima que debe tener el cometa para cambiar la órbita a una parábola.
2. Dos partículas se mueven una alrededor de la otra en órbitas circulares con período τ bajo la acción de su gravedad mutua. Su movimiento es detenido repentinamente en un instante dado, y luego son soltadas permitiendo que caiga cada una sobre la otra. ¿Cuánto tardan en colisionar desde que comienzan a caer?
3.- En el perigeo de una órbita elíptica gravitacional una partícula experimenta un impulso S=
∫
Fdt
∆t
en la dirección radial, lo cual envía a la partícula a otra órbita elíptica. Determine el nuevo semieje mayor, la excentricidad, y orientación en términos de lo parámetros de la vieja órbita.
4.- Evalúe aproximadamente la razón de la masa del sol a la de la tierra, usando sólo las duraciones del año y del mes lunar (27.3 días), los radios medios de la orbita de la tierra 8 5 (1.49×10 km) y de la luna (3.8×10 km).
5.- Para órbitas elípticas, la anomalía excéntrica ψ se define a través de la relación r = a(1 − e cosψ ) . En el movimiento hiperbólico, el análogo de esta cantidad se define mediante F = a(e cosh F − 1) , donde a (e − 1) es la menor distancia de acercamiento. Encuentre el análogo de la ecuación de Kepler ωt = ψ − e sinψ , (Goldstein, eq. 3.76) la cual permitiría, en el caso del movimiento hiperbólico, obtener t t desde el instante de mayor acercamiento como función de F . F .
6. Obtenga los elementos de la matriz general de rotación en términos de los ángulos de Euler, haciendo directamente las multiplicaciones de las matrices correspondientes a las rotaciones sucesivas. Verifique directamente que los elementos de matriz satisfacen las condiciones de ortogonalidad.
7. El conjunto de ejes fijos a un cuerpo puede ser relacionado con el conjunto de ejes fijos en el espacio en términos de los ángulos de Euler mediante el siguiente conjunto de rotaciones: (a) Rotación en torno al eje x en un ángulo θ . (b) Rotación en torno al eje z ′ en un ángulo ψ . (c) Rotación en torno al antiguo eje z en un ángulo φ . Muestre que esta secuencia conduce a los mismos elementos de matriz que la secuencia de rotaciones vistas en clases. (Ind.: No es necesario multiplicar explícitamente las matrices).
8. Verifique directamente que las matrices de los generadores de rotaciones infinitesimales, M i dados por
0 0 M1 = 0 0 0 1
0
, 0
−1
M2
0 0 1 , 0 0 = 0 −1 0 0
0 M3 = 1 0
−1
0 0
0
0 , 0
obedecen las relaciones de conmutación
M i , M j = ε ijk M k .
9.- (a) Encuentre la ecuación vectorial que describe la reflexión de normal unitaria es n . (b) Muestre que si l i , i = 1,2,3 son los cosenos directores de
n,
r en
un plano cuya
entonces la matriz de
transformación tiene los elementos Aij = δ ij − 2lil j . y verifique que
A es
una matriz impropia.
10.- Exprese la ligadura del rodar de una esfera sobre un plano en términos de los ángulos de Euler. Muestre que las condiciones no son integrables, por lo que la ligadura es no holonómica.
11.- Dos barras delgadas de masa m y largo l están conectadas por una bisagra sin fricción y un hilo horizontal.
El sistema está en reposo sobre una superficie horizontal sin roce. En t = 0 se corta el hilo. Despreciando las masas de la bisagra y del hilo, y considerando movimiento sólo en el plano xy, encuentre (a) la rapidez con que la bisagra golpea el suelo, y (b) el tiempo que le toma desde que comienza el movimiento.
12.- ¿Cual es la razón de altura a diámetro de un cilindro recto tal que el elipsoide de inercia en el centro del cilindro es una esfera?
13.- Un péndulo plano consiste en una barra rígida de masa m , largo l , y grosor despreciable, suspendido por un extremo de modo que puede moverse en un plano vertical. En el otro extremo, un disco de radio a y masa está ligado de modo que puede rotar libremente en el mismo plano. Escriba las ecuaciones de movimiento usando el formalismo Lagrangiano. 14.- Un cubo homogéneo de arista l se encuentra inicialmente en reposo, en equilibrio inestable, en contacto con un plano horizontal sobre una de sus aristas. Se le da un pequeño desplazamiento angular en torno a la línea de contacto y comienza a caer. Cuando la cara correspondiente entra en contacto con el plano, ¿cuál es la velocidad angular (a) si la arista no puede deslizar? (b) si la arista puede deslizar?
15.- Una puerta homogénea tiene una altura de 2 m y un ancho de 0.9 m. Si la puerta se abre 90° , y se suelta desde el reposo, se observa que se cierra por sí misma en 3 s. Suponiendo que las bisagras no tienen roce, ¿Qué ángulo forma el eje de estas bisagras con la vertical?
