PROBLEMAS PROBLEMAS CINEMATICA DE PART CULAS Problema 1: La leva está rígidamente unida al miembro A, que se mueve por una guía recta hori horizo zont ntal al con con una una acel aceler erac ació ión n de 0.9 0.9
P
2
m/seg hacia la derecha. El brazo ranurado gira a una velocidad angular constante de 4 rad/seg en sentido contrario al de las agujas del reloj y guía al pistón P sobre la periferia de la leva. La forma del contorno de la leva es tal que la trayectoria del centro del pistón relativa a la corredera sea una cardiode r = b - c cos Ѳ con b = 10 cm y c = 5 cm. Determin Determinar ar la acelera aceleración ción total total del pistón pistón
Ѳ
O
A
2
cuando Ѳ = 90°. Resp.: 174,64 cm/seg .
Problema 2:
C P
2r A
r Ѳ
B 3r
O
En el mecanismo de retorno rápido, la manivela AB gira con velocidad angular constante anti horario. El collar localizado en el extremo B desliza a lo largo de la varilla OP, OP, haci hacien endo do que que ésta ésta osci oscile le alre alrede dedo dorr de la articulación O. A su vez, la varilla OP puede deslizar en el inter interior ior de la corre correde dera ra P, que que está está oblig obligad ada a a moverse en la ranura horizontal. Una herramienta de corte corte se sitúa sitúa en la corred corredera era P, teniend teniendo o esta esta su carrer carrera a de trabaj trabajo o cuando cuando P desliza desliza de derecha derecha a izqu izquier ierda da,, origi originá nánd ndose ose ento entonc nces es de izqu izquie ierd rda a a derecha la carrera de retorno rápido. a) Determinar la distancia distancia total recorrida por la corredera corredera P para una revolución revolución completa de la manivela AB. b) Determinar Determinar las expresiones expresiones para la aceleración de P y la velocidad velocidad angular de OP. Resp. a) = 7,072r.
Problema 3:
C A xy = b2
O
El bloque A se desliza en la ranura vertical del miem miembr bro o BC, BC, mien mientr tras as este este se muev mueve e en la dirección del eje x. La guía curva pasa por el agujer agujero o de un espigó espigón n solida solidari rio o al bloque bloque A y obli obliga ga a éste éste a desp despla laza zars rse e vert vertic ical alme ment nte e mientras BC lo hace en forma horizontal. Si b = 40 mm, calcule la aceleración del miembro BC para que la componente vertical de la aceleración del bloque A sea nula en el instante en que x = 100 2
B X
mm y dx/dt = 60 60 mm/seg. Resp.: 72 72 mm/seg .
Problema 4: y
30º
3m B
A R
x
Los Los bloq bloque ues s que que viaja viajan n sobre sobre la band banda a transportadora caen dentro de un carro de carga de longitud igual a 1m. Si la banda se mueve con velocidad constante de 2 m/seg, dete determ rmin inar ar Rmin Rmin y Rmax Rmax a la cual cual debe debe colocarse el extremo A del carro para que los bloques caigan en su interior. Resp.: R min = 0.19 m ; Rmax = 1.19 m
1m
y Problema 5: x
O
El pasador P está obligado a moverse en las guías ranuradas, ranuradas, las cuales se desplazan desplazan perpendicularmente entre sí. En el instante representado, A tiene una velocidad hacia arriba de 40 cm/seg que decrece a razón de 25 cm/seg cada seg y B se mueve hacia la dere derech cha a con con velo veloci cida dad d de 30 cm/s cm/seg eg decreciente a razón de 12.5 cm/seg cada seg. Calcular para este instante el radio de curvatura de la trayectoria seguida por P. Resp.: ρ = 5 m.
B
A
P
4m
Problema 6: B
A
El bloque C está siendo levantado moviendo el rodillo en A hacia abajo con una rapidéz constante de v A = 4 m/seg a lo largo de la guía. Det Determin minar la veloci ocidad y la aceleración del bloque en el instante en que h = 1 m. Cuando el rodillo está en B, el bloque se apoya sobre el piso. Resp.: v c = 2
2.4 m/seg y a c = 2.05 m/seg , ambas hacia arriba.
4m
C h
Problema 7:
B
A
El bloque B parte del reposo en O y desliza hacia la derecha con aceleraci aceleración ón constante. constante. Si en el instante instante en que t = 3 seg su distancia distancia al punto O es 30 cm, cm, dete determ rmin inar ar:: a) Velo Veloci cida dade des s y aceleraciones de A y B cuando t = 3 seg ; b) Velocidad relativa de A c/r a B cuando t = 3 seg. [Resp.: v A = 30 ; vB = 20 ; a A = 10 ; aB = 6,67 ; v A/B = 10 , todas hacia la derecha)
O
A
Problema 8: r
El brazo brazo ranura ranurado do OA obliga obliga al pequeñ pequeño o vást vástag ago o a move movers rse e en la guía guía espi espira rall definida por r = k Ѳ. El brazo OA parte del repo reposo so en Ѳ = π/4 y tiene una aceleración ción α con constan stante te en sent sentid ido o anti anti rel reloj. oj. Determ termin inar ar la velo veloci cida dad d y acel aceler erac ació ión n del del vást vástag ago o cuan cuando do Ѳ = 3π/4.
P
O Ѳ
Problema 9: A S B banda transportadora Tambor
Un punzón S localizado sobre el tambor rotatorio se usa para etique etiquetar tar latas. latas. Si las latas están sepa separa rada das s 20 cm cent centro ro a cent centro ro sobr sobre e el transp transport ortado ador, r, deter determin mine e el radio radio de la rueda rueda motriz A y el radio del tambor B de manera que para cada revolución el punzón marque la parte superior de la lata. ¿Cuántas latas se marcan por minuto si el tambor B está girando con ω = 0.2 rad/seg sentido horario?. Resp. 1,91
Problema 10: 2' O
C
θ
La manivela OC gira con ω = 3 rad/seg cte sentido sentido anti anti horari horario. o. Hallar Hallar la veloci velocidad dad y acelera aceleració ción n de un punto punto P cualqui cualquiera era del brazo deslizante cuando θ = 30º. El brazo desli desliza zant nte e está está incli inclina nado do 36,8 36,87º 7º c/r c/r a la horizontal. horizontal. Resp.: vP = 3.75 p/seg y a P = 2
19.49 p/seg , ambas dirigidas hacia O.
Problema 11: El ascensor E parte del reposo y sube con aceleración constante. Si el contrapeso W recorre 24 pies en 4 seg, determinar: a) La acelera aceleració ción n del ascensor ascensor (Resp. (Resp. 3 p/seg2 p/seg2 hacia arriba) ; b) La aceleración aceleración del cable C (Res (Resp. p. 6 p/se /seg2 haci hacia a abaj abajo) o);; c) La velocidad del ascensor al cabo de 4 seg (Resp. 12 p/seg hacia arriba arriba). ).
W
C
E
M
Problema 12:
y
P r
θ
x 15 cm
A
2
0.3 m/seg y α = 20.1 rad/seg .
Problema 13:
r
b θ
O
La arandela P se ve obligada a moverse a lo largo de la varilla vertical. En el instante en que θ = 30º, la velocidad y aceleración de P son 0.6 m/seg y 6.1 m/seg2 m/seg2 respectiva respectivament mente, e, ambas ambas dirigida dirigidas s hacia hacia arriba arriba.. Calcul Calcular ar para para esta esta posici posición ón la compon component ente e radial radial de la veloci velocidad dad de P y la aceleración angular de la recta OP. Resp.: vr =
El alambre OA está unido al collar A y arrollado en el carrete O. Sabiendo que el collar se mueve hacia hacia la derech derecha a con veloci velocidad dad consta constante nte v0 deter determin minrr las expre expresio siones nes para para la veloci velocidad dad angular y aceleración angular del alambre OA.
Problema 14:
2'
P
La acel aceler eraci ación ón angu angula larr del del vola volant nte e está está dada por la ecuación ecuación α = 6t - 4. En t = 0, el volante volante parte parte del reposo reposo con aceler aceleració ación n angu angula larr senti sentido do hora horari rio. o. Dete Determ rmin inar ar la aceleración del punto P para t = 2 seg, en cuyo instante la rueda se encuentra en la posición representada.
O
Problema 15: b θ
A b
El brazo OA desliza libremente a través del collar collar en O, el cual pivota pivota libreme libremente nte en dicho punto. Determinar la aceleración del centro A del rodillo si el brazo tiene una velocidad velocidad angular angular constante constante ω = dθ/dt = k en sentido anti horario durante una parte de su movimiento.
Problema 16:
A
El collar A parte del reposo en t = 0 y desciende con aceleración constante de 175 mm/seg2. El collar B asciende asciende con acelerac aceleración ión constant constante e y su velocida velocidad d inicial es de 200 mm/seg. Sabiendo que B recorre 500 mm ent entre t = 0 y t = 2 seg, seg, deter determi mina narr: a) Las acele acelera raci cione ones s de B y C ; b) El instant instante e en que la velocidad de C es nula ; c) La distancia que habrá recorrido el bloque C hasta cuando v C = 0. Resp.: aB =
B
C
2
2
50 mm/seg ; aC = -75 mm/seg ; t = 0.667 seg ; ΔX ; ΔXC = 16,67 mm
Problema 17: El bloque A tiene v A = 10 m/seg hacia la derecha en t = 0 y una aceleración cte
A
2
de 2 m/seg hacia la izquierda. izquierda. Hallar la dist distan anci cia a reco recorr rrid ida a por por el bloq bloque ue B durante el intervalo t = 0 a t = 8 seg. Resp. : 11.33 m
B y
Problema 18: 4y = P
1m O
x2
En la posición indicada, el bloque tiene una rapidéz de 10 m/seg, incrementándose en 3 m/seg cada seg. Determi Determinar nar la acelerac aceleración ión del bloque. bloque. 2
Resp. : 17,93 m/seg . x
2m
Problema 19: 2
El bloque B tiene una aceleración cte de 10 m/seg hacia arriba. En el instante mostrado en la figura, A y B tienen velocidad nula. Determinar las velocidades de A y B al pasar uno frente al otro. Resp.: v A = 10 hacia abajo ; vB = 20 hacia arriba. A 30m
B
Problema 20:
A C
B
El sistema inicia su movimiento desde el reposo reposo y cada component componente e se mueve con aceleración Cte. Si la aceleración relativa del bloque C respecto al collar B es de 120 mm/seg2 hacia arriba y la acel aceler erac ació ión n rela relati tiva va del del bloq bloque ue D respecto al bloque A es de 220 mm/seg2 hacia abajo, determinar: a)La veloci velocidad dad del bloque bloque C despué después s de 6 seg y b) El cambio en la posición del bloque D luego de 10 seg.
D
Problema 21: C
8m
A 3m
B
En la posición indicada en la figura, el sistema está en estado de reposo. Si el carr carro o B adqu adquiiere ere una una acel aceler erac ació ión n constante constante de 2 m/seg2 hacia la derecha, determinar la velocidad y aceleración del bloq bloque ue A just justo o ante antes s de alca alcanz nzar ar la polea C.
Problema 22:
D
B
A
C
El bloque A se mueve hacia abajo con v A = 1 m/seg constante. Determinar : a) Veloci Velocidad dad del bloque bloque C ; b) Veloci Velocidad dad del collar B c/r al bloque A ; c) Velocidad del punto D del cable c/r al bloque A
Problema 23: 1
4
P 2
7
° 5
D
A
3
B
6
C
En el sistema de la figura, figura, los bloques A, B, C y D parten del reposo y tienen movimiento unif unifor orme me acel aceler erad ado. o. Se sabe sabe que que la acele acelera raci ción ón rela relati tiva va del del bloq bloque ue D c/r c/r al bloq bloque ue C es de 2 m/se m/seg2 g2 haci hacia a abaj abajo. o. Transcurridos 4 seg se tiene que el bloque A ha descendido 8 m y el punto P del cable que que cont contact acta a las las pole poleas as 4 y 5 tien tiene e una una velo veloci cida dad d de 10 m/se m/seg g hacia acia arri arriba ba.. Determinar: (a) Las relaciones que rigen las velocidades velocidades y aceleraciones aceleraciones de los bloques A, B, C y D. (b) Velocidad y aceleración de cada bloque en t= 4 seg.
PROBLEMAS CINETICA DE PART PART CULAS Problema 1: r = 0,1θ 0,1θ
C tiene una masa de 0.5 Kg y se mueve en el plano horizontal a lo largo de una tray trayec ecto tori ria a ranu ranura rada da con con form forma a de espi spiral ral y que que está stá defin finida ida por la ecuación r = 0.1θ, donde θ se mide en radianes. Si el brazo OA está girando con velocidad velocidad angular angular constant constante e de 4 rad/seg anti horario, determine la fuerza que ejerce sobre C en el instante en que θ = π rad. rad. Despr Despreci ecie e la fricci fricción ón y el tamaño de C. Resp.: F = 0.8 Newton.
θ A C
r
O
Problema 2: ω
A
θ
El bloq bloque ue de la figu figura ra se colo coloca ca en repo reposo so en la posi posici ción ón A, sobr sobre e una una correa correa transport transportador adora. a. La correa correa está inclinada un ángulo θ c/r a la horizontal y se mueve mueve a veloc velocida idad d consta constante nte v 0 m/seg. En un período de tiempo inicial el bloque se mueve con la correa, pero a una velocidad menor que ésta, por tanto exist existirá irá un desli desliza zamie miento nto relat relativo ivo del del bloque respecto de la corre rrea. El coef coefic icie ient nte e de roce roce diná dinámi mico co entr entre e bloq bloque ue y corr correa ea es μ. Determina Determinar: r: a) Qué distancia recorrerá el bloque sobre la correa hasta que cese el deslizamiento deslizamiento relativo relativo ; b) El tiempo tiempo que transcurre para que ocurra aquello.
Problema 3: A 90-θ 90-θ
B
Dos bloques A y B, de masas m A y mB, están están unido unidos s median mediante te un cable cable que pasa a través de las poleas tal como se muestra en la fig figura adjun junta. El coef coefic icie ient nte e de roz rozamie amient nto o entr entre e el bloque A y el plano inclinado es μ. El cable cable es inex inexten tensib sible le y las las masas masas del del
cabl cable e y la pole polea a son son desp despre reci ciab able les. s. Estudiar Estudiar el sentido sentido del movimien movimiento to de los bloques.
Problema 4: Las masas de los bloques A, B y C son de 10 Kg, 15 Kg y 20 Kg respectivamente. respectivamente. Determinar la tensión en cada cable y las aceleraciones de los blo bloque ques. Las polea leas tie tienen mas masa despreciable y los cables son inextensibles.
A
B C
Problema 5: A (30 Kg)
Si se desp despre reci cia a todo todo roza rozami mien ento to de masas y poleas, hallar las aceleraciones de A y B cuando se abandonan desde el
70º
2
reposo. Resp.: a A = 1,024 m/seg plano B (10 Kg)
P
2
abajo ; a B = 0,682 m/seg hacia arriba.
Problema 6: Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque A de 20 Kg y el bloq bloque ue B de 100 100 Kg son son prác prácti tica camen mente te iguales a 0,50, hallar la aceleración de cada bloq bloque ue para valore valores s de P de 60 y 40 N.
20 Kg
100 Kg
2
Resp.: Para P = 60 N : a A = 1,095 m/seg y 2
aB = 0,981 m/seg . Para Para P = 40 40 N a A = aB = 0,667 m/seg2.
Problema 7:
A (60 Kg)
60º
B (20 Kg)
El sistema se abandona desde el reposo con el cable cable tenso. tenso. Despre Desprecia ciando ndo la pequeñ pequeña a masa masa de la pole polea a y el roz rozamie amient nto o en la misma, misma, calc calcul ular ar la acel aceler erac ació ión n de cada cada bloq bloque ue y la tens tensió ión n T en el cabl cable e en el inst instan ante te inic inicia ial, l, si los los coef coefic icie ient ntes es de rozamie rozamiento nto estáti estático co y cinéti cinético co son 0,25 0,25 y 0,20 respectivamente. (Sin result)
Problema 8:
M
C
30º
El bloque C de masa m = 50 Kg es tirado tirado hacia hacia arriba arriba del plano plano inclinad inclinado o mediante el sistema de poleas y motor M. Si C parte del reposo y mediante una acel aceler erac ació ión n cons consta tant nte e adqu adquie iere re una una rapidéz de 4 m/seg despues de recorrer 8 m a lo largo del plano. Si se desprecia la fricción a lo largo del plano, dete determ rmin ina ar la poten tencia cia que que debe suministrarse al motor en el instante en que C se ha movido 8 m. El motor tiene una eficienc eficiencia ia η=0,74. =0,74. ¿Qué potencia potencia debe suministrarse al motor si μ = 0,30 entr entre e plan plano o y bloq bloque ue?. ?. Resp Resp.: .: 1.59 1.596 6 W atts y 2.284,76 W atts respectiv respectivamen amente. te. Solucion Solucionar ar por 2da. 2da. Ley de Newton y por Método Trabajo y Energía.
Problema 9:
A
15 cm 10 cm ϴ
B
15 cm
La guía ranura ranurada da B pesa 4 Kg y oscila de un lado lado a otro otro bajo bajo la acci acción ón del pasa pasado dorr A del del cigü cigüeñ eñal al OA, OA, sin sin que que exist exista a rozami rozamien ento to aprec aprecia iable ble con los árboles horizontales fijos a lo largo de los que desliza. Si OA tiene en sentido antireloj una aceleración angular de 20 rad/seg2 y una velocidad angular de 12 rad/seg cuando ϴ = 45°, determinar la fuerza F de contacto entre la guía lisa y el pasador A en este instante. ¿Con qué lado lado,, izqu izquie ierd rdo o o dere derech cho, o, está está en contacto el pasador?. Resp.: F = 35 N lado derecho.
Problema 10:
r
A
Un ascensor de 900 Kg funciona por la acción del torno A de radio r = 20 cm, sobre el cual se arrolla el cable elevador. Determinar el momento constante M que el motor montado en el ascensor debe proporcionar al árbol del torno, de manera que en un asce ascens nso o vert vertic ical al de 3m a part partir ir del del repo reposo so,, el ascensor alcance la velocidad de 2,4 m/seg. La masa
estu estuv viera iera en equi equili libr brio io rota rotato tori rio. o. Desp Despre reci ciar ar el rozamiento en las guías verticales. Resp.: M = 969 Nm.
Problema 11: B
A
Un punto material está colgado de dos puntos A y B situados a igual longitud e inclin inclinado ado un ángul ángulo o α resp respec ecto to a la vertical. Demostrar que al cortar uno de los los hilo hilos, s, la tens tensió ión n del del otro otro varí varía a instantáneamente en la relación 1 : 2
α α
2
cos α.
Problema 12: El movimiento del pasador A de 225 gr en la guía circular está regulado por la guía B que se eleva bajo la acción del torn tornil illo lo guía guía a 1,8 1,8 m/se m/seg g cons consta tant nte e dura durant nte e una una fase fase del del mov movimie imient nto. o. Calcular la fuerza N ejercida por la guía circular sobre el pasador cuando pasa por la posición θ = 30º. Se desprecia todo efecto de rozamiento. Resp. : T = 5,18 N.
25 cm
θ
A
B
Problema 13:
R
B
r C
D
O A R
El brazo gira en torno al eje horizontal que pasa por O y la corredera C tiene un peso W. Determinar la expresión de la tensión T de la cuerda en el punto en que se ata a C, en función del ángulo θ La velocidad angular de OB es ω = dθ/dt y es constante durante el intervalo de movimiento que se considera. Se tiene también que r = 0 para θ = 0 y todas las sup superfi erfici cie es son son lis lisas. as. ¿Cuá Cuál es la máxima celeridad dθ/dt que para un θ dado puede tener el brazo antes de que T sea cero?. Resp.: T = W [senθ - (5/2g) R ω2 sen(θ/2)] ω = 1,265 (g senθ)1/2 / (1 - cosθ)
Problema 14: La corredera A de 1 Kg de masa encaja holgad holgadame amente nte en la ranura ranura lisa, lisa, que está a 45º según se indica, y el disco gira en un plano horizontal en torno a su centro O. Si A se mantiene en posición median mediante te un cordel cordel sujeto sujeto al punto punto B, calcular la tensión T del cordel para una velocida velocidad d angular angular constant constante e ω = 40 rad/seg rad/seg sentido sentido antihorario. antihorario. Resp. T = 170 N.
B A 45º
O
15 cm
B
El resorte de constante k = 2 Kg/cm y el brazo brazo ranurado ranurado OB obliga obligan n al rodill rodillo o A a mover moverse se en el cont contor orno no de la card cardio ioid ide e definida por la leva fija, definida por r = b - c cosθ, donde b > c. El brazo ranurado gira en un plano horizontal alrededor de la leva con ω = 10 rad/seg constante, sentido antihorario y el resorte está sin deformar cuando θ = 0º. Si b = 10 cm, c = 5 cm y la masa de A es 0,25 Kg, hallar la fuerza P ejercida sobre A por los bordes lisos de la ranura cuando θ = 60º. El contorno de la leva es liso. Resp. P 29,72 N.
A O
Problema 15:
Ѳ
Problema 16: b
k h
El collar A pesa 10 Kg y desliza por el árbol árbol verti vertical cal fijo. fijo. El resort resorte e está está sin defo deform rmar ar cuan cuando do el coll collar ar está está en la posición dibujada con trazos. Dete Determ rmin inar ar la acel aceler erac ació ión n inic inicia iall del del collar collar cuand cuando o se suelta suelta partie partiend ndo o del repo reposo so en la posi posici ción ón ilus ilustr trad ada. a. El coeficiente de rozamiento entre collar y árbol es 0,2 y la constante del resorte es de 3 Kg/cm. Resp.: a = 30,21 m/seg hacia arriba.
A
h = 40 cm b = 37,5 cm
2
e = 7,5 cm
e
Problema 17: En la posición indicada en la figura, el bloque de masa m = 1 Kg está siendo sostenido contra el resorte de constante k = 60 N/m, que está está comp compri rimi mido do 45 cm desd desde e su posición sin comprimir. Si se libera el bloque desde su estado de reposo, determinar: (a) La máxima altura alcanzada por el bloque por por enci encima ma de su posi posici ción ón inic inicia ial. l. Resp Resp.. hmáx = 61,93 cm. (b) La velocidad velocidad máxima con que llega a moverse el bloque. Resp. vmax max = 2,22 2,22 m/se m/seg g y (c) (c) La pote poten ncia cia máxima máxima desarro desarrolla llada da por el resorte resorte.. Resp. Resp. Pmax = 34,39 Watts.
m
Problema 18: El motor eléctrico M1 eleva el montacargas M con velocidad constante. El montacargas lleva un motor eléctrico M2 que tira el bloque E de masa m = 2 Kg mediante el cable indicado, con una fuerza de magnitud constante F = 30 Nt. Dicha fuerza empieza a actuar cuando el bloque está en reposo en el punto A y el sist ema está diseñado de tal m anera que la porción de cable EM2 permanece siempre paralela a la base horizontal del plano inclinado. En el instante preciso en que el bloque alcanza el punto B, el cable EM2 se corta y el bloque entra al tramo rugoso BC ( μk = 0,1 ) con una rapidéz de 30 m/seg, tardando 2,5 seg en alcanzar el punto C. Un resorte lineal se sujeta al extremo D del plano inclinado mediante los cables señalados y en la figura se presenta éste en su longitud natural. El plano inclinado es rugoso solamente en el tramo BC. Si la masa de resorte y cables es despreciable, determinar: a)
Trabajo neto desarrollado sobre el bloque E en tramo AB. (Resp = 900 N-m)
b) La inclinación que debe tener el plano para que el bloque pase por el punto B con la rapidéz de 30 m/seg. (Resp = 36,87°). c) Potencia media desarrollada por por F en tramo AB. (Resp = 360 Watts) d) Trabajo efectuado por la fuerza de roce en tramo BC. (Resp = - 86 N-m) e) La constante de rigidéz del resorte si al ser chocado frontalmente por el bloque, alcanza una compresión máxima de 1,25 m. (Resp = 197,12 N/m)
Nota :
Los resultados resultados indicados son válidos trabajando con g = 10 m/seg2.
D
C E
B
45 m
M2
M1
ϴ
A
M
Problema 19: 1m
B
°
C
D
30°
A
F 36,87°
°
5m
El collar C de masa m = 2 Kg desliza sin roz rozamie amient nto o sob sobre la guía guía fija fija en sus sus extremos. Inicialmente el collar está sujeto en el punto A (en reposo) soltándose justo en el momento en que se aplica una fuerza F constante de magnitud 400 Nt mediante el cable inextensible. Si todas las masas del sistema son despreciabl despreciables es (excepto la del collar collar desliz deslizant ante) e) y la longit longitud ud natura naturall del resorte es de 2 m, ¿cuál debe ser el valor máximo de la constante k del resorte para que que el coll collar ar alca alcanc nce e el punt punto o B con con una una velocidad de 10 m/seg?. Resp.: k = 1.182,35 Nt/m.
Problema 20: A 45°
B
La bola de villar de masa m = 200 gr se está movie moviend ndo o con con una una rapid rapidéz éz de 2,5 2,5 m/seg m/seg cuando choca contra la banda de la mesa en A. Si el coeficiente de restitución entre la bola y la banda es e = 0,6, determinar la rapidéz de la bola inmediatamente después de chocar chocar contra contra la banda banda dos veces, veces, es decir, decir, despué después s de chocar chocar en B. Despre Desprecie cie los efectos de fricción. Resp.: v = 1,5 m/seg ↙ (45°).
Problema 21: Una partícu partícula la choca choca contra contra una superfi superficie cie plana a un ángulo ϴ = 36,87º con la normal a la superfi superficie cie y con una veloci velocidad dad v 0 = 10 m/seg. Si el coeficiente de restitución para el impacto normal es e = 0,6 y la fricción entre el plan plano o y la partí partícu cula la es desp desprec recia iabl ble, e, determinar la energía cinética perdida en el impa mpacto cto y la dire direcc cció ión n de la part partíc ícu ula inmediatamente después del impacto. Resp.: ∆T = 64 Nt-m ; θ' = 51,34º.
v0 ϴ
Problema 22: u A
B
C
Tres cilindros de acero iguales pueden desliz deslizars arse e librem libremen ente te por por el árbol árbol fijo horizontal. Los cilindros B y C están en reposo y a ellos se aproxima el cilindro
A con una celeridad u. Expresar la velocidad final v del cilindro C en función de u y del coeficiente de restitución e. 2
Resp. v = (u/4) (1 + e) .
F = 300 N
Problema 23:
0,6m
El anillo de 15 Kg se desliza libremente por la varilla circular fija partiendo del reposo en A. Calcular su velocidad v cuando choca con el tope B sabiendo que sube bajo la acción de la fuerz fuerza a cons consta tant nte e de 300 300 N que que se ejer ejerce ce sobr sobre e la cuer cuerda da.. La cuer cuerda da está está guiada por las pequeñas poleas fijas. Resp.: v = 6,99 m/seg
B
2,4 m
A
Problema 24: 24 cm F
10
200
10 cm
El bloque de 10 Kg desliza en la superficie horizontal, exenta de rozamiento. Una fuerza constante de 50 N se aplica al extremo de la cuerda inextensible. Si el bloque se suelta desde su estado de reposo en la posición most mostra rada da,, en la cual cual el reso resort rte e no está está defo deform rmad ado, o, dete determ rmin inar ar para para el ulte ulteri rior or movimie movimiento nto:: (a) La máxima máxima velocid velocidad ad del bloq loque y el alar alarga gami mien ento to que, que, en esa esa condición, sufre el resorte. (b) El alargamiento alargamiento máximo que sufre el resorte. Resp Resp.: .: (a) (a) vmax = 0,8575 0,8575 m/seg m/seg con δ = 0,197 m ; (b) δmax = 0,277 m
Problema 25: C
D 30 cm
10 1,2 kN/m
B
A
40
2 Kg
Los Los bloq bloque ues s A y B está están n unid unidos os por por una una cuerda inextensible y sin peso. Se sueltan partiendo del reposo en la posición indicada, en la cual el resorte está alargado alargado 15 cm. Si se despre desprecia cia todo todo efecto efecto de rozamie rozamiento nto,, determinar la máxima distancia sobre el piso a la que ascender ascenderá á el bloque bloque B. Resp.: hmax = 23,56 cm.
PROBLEMAS CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO Problema 1: B
F
E y F son ruedas dentadas. El mecanismo da origen origen a un movimien movimiento to oscilat oscilatori orio o del braz brazo o OB. OB. La mani manive vela la DC tien tiene e una una veloc velocid idad ad angu angula larr de 15 rad/ rad/se seg g y una una
C
D
2
aceleración angular de 50 rad/seg , ambas en sentido horario. Si OA = AB = 15 cm , AC = 7.5 cm , CD = 10 10 cm , el radio de de la rueda dentada F es 5 cm y el brazo OB forma un ángulo ángulo de 30° con la vertical vertical,, determ determina inar r para dicho instante: a) La velocidad angular del brazo OB ; b) La velocidad velocidad angular angular del engrane F y c) La aceleración angular del brazo OB.
A E
O
B
z
A
O
ϴ
Problema 2: En el instante indicado, la pluma AB de la grúa está girando alrededor del eje z con ω = 6 rad/seg y α = 2 rad/seg2, ambas en sentido anti horario observado desde el extremo extremo positivo del eje eje z. Si en el mismo instante se tiene que ϴ = 30° y la plum pluma a se está está elev elevan ando do con con una una rapi rapidé déz z consta constante nte de 3 rad/s rad/seg, eg, determ determine ine para para este este instante: instante: a) ω y α absoluta absolutas s de la pluma ; b) La velo veloci cida dad d y acel aceler erac ació ión n abso absolu luta ta del del punt punto o extremo B de la pluma. La distancia OA es de 3 m y la pluma tiene una longitud de 20 m.
y
A
Problema 3: Si cuand cuando o x = 10 cm la barra barra OA tien tiene e velocidad angular y aceleración angular de 4 rad/ rad/se seg g y 2 rad/ rad/se seg2 g2 respe respect ctiv ivame ament nte, e, ambas ambas sentid sentido o horari horario, o, determi determinar nar para para dicho dicho instant instante: e: a) La velocid velocidad ad angular angular y aceleración aceleración angular angular de la barra AB, y b) La velocidad y aceleración de la corredera B.
B
7.5
O x
Problema 4:
Zo
El tubo AB de longitud 2r se mueve c/r a un sistema fijo OXoYoZo con su extremo B fijo en el eje eje OZo y su extre extremo mo A apoya apoyado do en el plano horizontal. horizontal. El ángulo θ es de 60º y el punto A descri describe be una traye trayecto ctoria ria circul circular ar con rapidé rapidéz z constante vo. Por el tubo se mueve un punto Q de
B
Q O
Yo
θ
A Xo
2
2
modo que AQ = (vo /2r)* t . Se sabe sabe que cuando cuando A cruza el eje OYo el punto Q pasa por el punto medi medio o M de AB. AB. Para Para este este inst instan ante te se pide pide calcular los siguientes vectores : a) Velocidad y aceler aceleraci ación ón del punto punto Q relati relativas vas al tubo tubo ; b) Velocidad y aceleración absolutas del punto Q.
Problema 5:
6 cm 20 cm
C
16 cm
B
A
En la posi posició ción n indi indica cada da,, la veloc velocid idad ad y aceleración del centro de la rueda dentada son de 20 cm/seg y 10 cm/seg2 respectivamente, ambas hacia la derecha. Determi Determinar nar la velocid velocidad ad y acelera aceleració ción n del collar C.
8 cm
20' B A C F 8'
14' θ
O E
D
G
Problema 6: El brazo OC de la retroexcavadora está girando en torno a la vertical que pasa por O en el sentido indicado en la figura, de tal manera que el punto C del brazo OC describe una trayectoria circular con rapidéz constante v = 8 pie/seg. El brazo OC está fijo con respecto a la cabina, mientras mientras que el brazo CE rota en torno a un eje horizontal que pasa por el punto C, de tal forma que su posición angular θ está definida por θ = 0.6 t rad. Determinar para θ = 30º : a) La velocidad y aceleración aceleración angular absolutas absolutas del brazo brazo CE, y b) La velocidad y aceleración absolutas del punto E.
manivela AB
C
La rueda dentada A gira en torno a su eje horizo horizonta ntall fijo con veloci velocidad dad angula angular r ωe (vel (veloc ocid idad ad angu angula larr de entr entrad ada a a la caja caja), ), en el sentido sentido indicad indicado. o. La rueda rueda dentad dentada a C es una cremallera y está rotando con velocidad angular ωc en torn orno al eje eje hori horizzont ontal que pasa pasa por A. El movimiento de la manivela AB es orig origin inad ado o por por el movi movimi mien ento to del del engr engran ane e B. Las Las ωs rue ruedas das A y B tien tiene en radi radio o r. Determ termin ina ar del árbol de salida.
B
A
Problema 7:
árbol de salida árbol de entrada
Problema 8: A r
La manivela OB tiene velocidad angular ω y aceler aceleració ación n angula angular r αo en la posi posici ción ón mostrada mostrada en la figura. Determinar para este instante la velocidad angular ω y aceler aceleraci ación ón
P 45º
B
angular α de la placa P.
O
r
Problema 9:
5r
r C
A r O
B
4
Los Los braz brazos os OA y BC se muev mueven en con con velocidad angular constante de 2 rad/seg y 4 rad/ rad/se seg g resp respec ecti tiva vame ment nte, e, amba ambas s en sentido sentido horario. horario. (a) ¿Es posibl posible e utiliz utilizar ar el método del Centro Instantáneo de Rotación para obtener la velocidad velocidad angular del brazo telescópico?. Fundamente su respuesta. (b) ¿Es ¿Es posi posibl ble e obte obtene nerr la soluc solució ión n de este este problema por el "análisis de movimiento de un cuerpo rígido ido relativo a ejes en traslación"?. traslación"?. Fundamente Fundamente su respuesta. respuesta. (c) Obte btenga la velocidad angular y la aceleración aceleración angular angular del brazo telescópico, telescópico, para la posición indicada.
z
Problema 10: B
A
x
y
La varilla de longitud 120 cm está conectada mediante rótulas a las correderas A y B. Si la corr corred eder era a A se muev mueve e en el sent sentid ido o positivo de x con celeridad constante de 10 cm/s cm/seg eg,, dete determ rmin inar ar:: a) La velo veloci cida dad d y acele acelera ració ción n del del coll collar ar B en la posic posició ión n most mostra rada da.. b) La velo veloci cida dad d angul ngular ar y acel aceler erac ació ión n angu angula larr de la vari varill lla a AB, AB, tratando a ´seta como una línea recta (esto significa no considerar la situación real del movimiento de rotación de la varilla en torno a su propio eje longitudinal).
PRUEBA 1 DINAMICA 1er. SEM 2013 Lunes 29 Abril 2013
Problema 1: El bloque A se desliza en la ranura vertical del miembro BC, mientras este se mueve en la dirección del eje x. La guía curva pasa pasa por el aguje gujero ro de un espig spigón ón solidario al bloque A y obliga a éste a desplazarse verticalmente mientras BC lo hace en forma horizontal. Si b = 40 mm, calcule la aceleración del miembro BC en el inst instan ante te en que que la acel aceler erac ació ión n del del bloq bloque ue A c/r c/r al miem miembr bro o BC es de 1 mm/seg2 hacia abajo, en cuyo momento se tiene que x = 100 mm y la magnitud de la velo veloci cida dad d del del bloq bloque ue BC es de 50 mm/seg.
C A xy = b2
O B X
Problema 2:
B
El bloque A parte del reposo en O y desliza hacia la derecha con acel aceler erac ació ión n cons consta tant nte. e. Si en el instante en que t = 4 seg su distancia al punt punto o O es 32 cm, cm, dete determ rmin inar ar para dicho instante: a) Velocidades y aceleraciones de A y B ; b) La aceleración del punto C del cable.
A
C
O
Problema 3:
y
A
r O
B
x
El triángulo formado por las articulaciones OAB es isósceles y el brazo brazo OA está está gira girando ndo en senti sentido do anti antiho hora rari rio o de tal tal mane manera ra que que su punto extremo A describe una tray trayec ecto tori ria a circ circul ular ar con con rapi rapidé déz z constante vo. Para los instantes en que el punto B pasa por O, determine la velocidad del punto B c/r al punto A y la aceleración del punto B c/r al punto A.
PRUEBA 1 DINAMICA 2°SEM 2012 Viernes 5 Octubre 2012
Problema 1: El bloq bloque ue A se desl desliz iza a en la ranu ranura ra vertical del miembro BC, mientras este se mueve en la dirección del eje x. La guía curva pasa por el agujero de un espigón solidario al bloque A y obliga a éste éste a despl splazar azars se verti rticalm calme ente mientras BC lo hace en forma hori horizo zont ntal al.. Si b = 40 mm, mm, calc calcul ule e la acel aceler erac ació ión n del del miem miembr bro o BC en el instante en que la aceleración del brazo BC con respecto al bloque A es de 1 mm/seg2 hacia abajo, en cuyo momento se tiene tiene que x = 100 mm y dx/dt dx/dt = - 60 mm/seg.
C
A xy = b2
O B X
Problema 2: El bloque A parte del reposo en O y desliza hacia la izquierda con aceleración constante. Si en el instante en que t = 4 seg su distancia al punto O es 30 cm, determinar para dicho instante: a) Velocidades Velocidades y aceleraciones aceleraciones de A y B ; b) La aceleración del punto C del cable, ubicado en la vertical imag imagin inar aria ia que que pasa pasa por por O en este este preciso instante.
C B
A
O
Problema 3:
y
A
ω O
B x
El triángulo formado por las articu articulac lacion iones es OAB es isósce isósceles les y el brazo brazo OA está está giran girando do con con veloc velocida idad d angular angular constant constante e ω rad/seg rad/seg sentido sentido antihorario. a) ¿Es nula la aceleración de la corredera B en las posiciones para las cuales OA y AB están en posición hori horiz zonta ontal? l?.. Fund Fundam amen ente te debi debida da y claramente claramente su respue respuesta. sta. b) Si es que existen posiciones del punto B para las cuales la aceleración de la corredera es nula, ¿cuáles son?. Fundamente clara y debidamente su respuesta.
PRUEBA 2 DINAMICA 1er. SEM 2013 Lunes 24 Junio 2013
Problema 1: k
Obten Obtener er la veloc velocid idad ad máxima máxima v o que debe imprimirse al bloque de masa m en la posic sición ión de equil quilib ibri rio o indica icada (reso (resort rte e en su posi posici ción ón de long longit itud ud natural), para que éste no se devuelva. El reso resort rte e tien tiene e una una cons consta tant nte e k y el coefic coeficien iente te de rozami rozamien ento to es μ. Los datos son L o, k, m y μ. El resorte está fijo en la pared vertical y el bloque.
v m
L
Problema 2:
120 cm/seg
A 7,5 cm
B 360 cm/seg
La esfera A tiene una masa de 23 Kg y un radi radio o de 7,5 7,5 cm, cm, mien mientra tras s que que la esfera B una masa de 4 Kg y un radio de 5 cm. Si las esferas se desplazan inicia inicialme lmente nte a lo largo largo de traye trayecto ctoria rias s paralelas con las velocidades indicadas, determinar las velocidades v A' y vB' de ambas esferas inmediatamente inmediatamente después del impacto. El coeficiente de restitución es 0,4 y se desprecia todo efecto de rozamiento.
Problema 3:
R
20°
Dos automóviles, A y B, toman la curva de radio R = 100 m con rapidéz cons consta tant nte e de 95 Km/h Km/hrr y 40 Km/h Km/hr r respectivamente. El peralte de la curva es 20° 20° y el coefi coeficie ciente nte de rozami rozamien ento to igual igual a 0,4. 0,4. ¿Pued ¿Pueden en ambos ambos móvile móviles s salvar normalmente la curva?. En caso de no ser así para ambos o para uno de ellos, ¿qué es lo que sucede y cuál es la causa?. Fundamente su respuesta.
PRUEBA 2 DINAMICA 2°SEM 2012 Martes 20 Noviembre 2012 Preg. 1 : Considere que Ud., es la persona A y con su mano está sosteniendo en una posición fija O una cuerda inextensible que en su otro extremo está unida a una pequeña esfera de masa m, la cual está describiendo una trayectoria circular. ¿Percibe Ud., la denominada denominada fuerza centrífuga?. centrífuga?. Su respuesta respuesta será válida válida sólo si tiene el fundamento fundamento correspondiente. [12.5 Ptos].
O
Preg. 2 : Ud., sigue siendo siendo la persona persona A. Una persona B fija en dicho dicho punto punto está está observ observand ando o lo que Ud., realiz realiza a y ante ante una consulta afirma lo siguiente: "La esfera de masa m se mantiene en situación de equilibrio en su trayectoria circular debido a que la acci acción ón de la fuer fuerza za cent centrí rípe peta ta es equi equili libr brada ada por la fuer fuerza za centrífuga". ¿Es correcta tal afirmación?. Su respuesta será válida sólo si tiene el fundamento correspondiente. [12.5 Ptos].
B
A
Problema 1: u
Los collares A de masa 2m y B de masa m se mueven con velocidad constante u pero en sentidos opuestos. El collar C está en reposo. Si el coeficiente de restitución es e para todos los choques posibles, ¿Qué masa debe tener C para que B ceda toda su energía al chocar con C?. No existe ningún tipo de rozamiento. [25 Ptos.] [mC = m/e]
u
A
B
C
Problema 2: Un bloque de masa m = 1 Kg se suelta del reposo desde una altura de 70 cm por sobre la posición de longitud natural del resorte, de constante k = 60 N/m. Si la velocidad del bloque para una posición genérica (Lo - δ) < x < δ, donde Lo es la longitud natural natural del resorte (sin deformación) deformación) y δ su deformación, está
70 cm
2
2
½
dada por la expresión v = [1/m (k δ - k (δ - x) - 2mgx ] , obtenga la potencia potencia máxima máxima desarrolla desarrollada da por el resorte. resorte. [25 Ptos]. Ptos]. [ δ =
m
2
66,91 cm, δP/δx = 0 => 60 x - 65,577x + 10,149 = 0 , x = 18,66 cm , P max = 87,93 Nm/seg ].
Lo
D
A (30 Kg)
Problema 3: Las poleas D y E están montadas en el mismo eje eje pero pero puede pueden n rota rotarr en form forma a tota totalm lmen ente te independiente. Si el coeficiente de roce cinético entre el bloque A y el plano inclinado es 0,2 y las poleas poleas tienen tienen masa masa despre desprecia ciable ble,, calcul calcule e la
E
C
53,13º G
aceleración aceleración de cada cada bloque. bloque. [ a A = 1,457 m/seg 2
hacia abajo ; a B = 2,186 m/seg hacia arriba ] B (10 Kg)
2
PRUEBA N° 3 DINAMICA [ 15-07-2013 ] Prob Proble lema ma 1 : La figura representa una caja reductora de velocidades. La rueda dentada A gira en torno a su eje horizontal fijo y constituye la entrada del sistema. La rueda C es un anillo dentado que puede girar en torno al eje horizontal que pasa por el centro de la rueda A. La rueda dentada B adquiere movimiento debido a la acción de los engranes A y C. Soldado al centro de la rueda B y en la dirección de su eje horizontal se tiene una pequeña barra cilíndrica, alrededor de la cual puede girar libremente la manivela DE. El árbol de salida conecta rígidamente al extremo E de la manivela DE. Si ωA = - ωo k cte : a) ¿Qué velocidad debe tener el punto P de la rueda B para que ésta tenga rotación rotación nula en torno torno a su eje horizontal? horizontal? ; b) ¿Cuál es en este caso la velocidad velocidad angular del árbol de salida?.
C
y
C manivela DE
P
r
2r
θ
A,E
x
A
B, B
θ = 53,13o
árbol de salida (rígido al extremo E de manivela DE)
árbol de entrada (rueda A)
B 36,87
Probl roblem emaa 2 : Si la velocidad angular de la manivela OA es de 2 rad/seg constante sentido horario, pruebe que la velocidad absoluta del centro instantáneo de rotación de la barra AB es nula.
6
15
C O 36,87 5 A
12 cm
C
Probl roblem emaa 3 : Si la velocidad del centro de la rueda dentada es de 20 cm/seg cte, hacia la derecha, derecha, determine la velocidad y aceleración del coll collar ar C en la posi posici ción ón que que muestra la figura.
15 cm
B
6 cm
A
8 cm
PRUEBA N° 3 DINAMICA [ 10-12-2012 ] Problema ema 1 : La figura representa representa una caja reductora de velocidades. velocidades. La rueda dentada dentada A gira en torno a su eje eje horizontal fijo y constituye la entrada del sistema. La rueda C es un anillo dentado que gira en torno al eje horizontal que pasa por el centro de la rueda A. La rueda dentada B adquiere movimiento debido a la acción de los engranes A y C. El árbol de salida conecta al extremo E de la manivela DE, la cual adquiere su movimiento producto de su conexión al centro B de la rueda B. Si la relación entre las velocidades angulares de entrada y salida es ωs/ωe = - 1/3 , ¿cuáles deben ser las relaciones correspondientes ω B/ωe y ωC/ωe?.
C
C manivela DE
r
2r A
A, E
B, D B
árbol de salida (extremo E de manivela DE)
árbol de entrada (rueda A)
Prob Proble lema ma 2 : La cabina de la retroexcavadora está girando con velocidad angular ω angular ω1 constante en torno al eje vertical que pasa por O. El brazo OC está articulado en O y gira a su vez con velocidad angular φ' = ω2 constante, relativa a la cabina. OXoYoZo es un sistema fijo y Oxyz un sistema solidario a la cabina de la retroexcavadora. Para la posición mostrada en la figura figura,, determ determina inar: r: a) Velocid Velocidad ad angular angular absoluta absoluta del brazo brazo OC ; b) Acelerac Aceleración ión angula angularr absolu absoluta ta del brazo brazo OC ; c) Veloci Velocidad dad de arrast arrastre re del punto punto C ; d) Veloci Velocidad dad relat relativa iva del del punto punto C ; e) Aceler Aceleraci ación ón de arrastr arrastre e del punto punto C ; f) Aceleración de Coriolis del punto C ; g) Aceleración relativa del punto C.
Z0 (z) 3r B ω1
A C
ω2
F
2r
φ
r
O
θ
Y0 (y) E
D
X0 (x)
G
EXAMEN EXAMEN DIN MICA MICA 1er. 1er. SEM SEM 2013 2013 [ 17-07-2013 ] Prob Proble lema ma 1 : La figura representa una caja reductora de velocidades. La rueda dentada A gira en torno a su eje horizontal fijo y constituye la entrada del sistema. La rueda C es un anillo dentado que puede girar en torno al eje horizontal que pasa por el centro de la rueda A. La rueda dentada B adquiere movimiento debido a la acción de los engranes A y C. Soldado al centro de la rueda B y en la dirección de su eje horizontal se tiene una pequeña barra cilíndrica, alrededor de la cual puede girar libremente la manivela DE. El árbol de salida conecta rígidamente al extremo E de la manivela DE. Si las velocidades angulares de los árboles de entrada y de salida son de 32 rad/seg y 4 rad/seg respectivamente, ambas en sentido antihorario, determine la velocidad absoluta del punto P del disco B. Considere r = 1 cm.
C
C
y
manivela DE
P
r
2r
θ
A,E
x
A
B, B
θ = 53,13o
árbol de salida (rígido al extremo E de manivela DE)
árbol de entrada (rueda A)
B 36,87
Probl roblem emaa 2 : Si la velocidad angular de la barra OA es de 6 rad/seg constante constante sentido sentido anti antiho hora rario rio,, prue pruebe be que que la velocidad absoluta del centro instantáneo de rotación de la barra AB es nula.
6
15
C O 36,87 5 A
Probl roblem emaa 3 : Si la velocidad del centro de la rueda dentada es de 24 cm/seg cte, hacia la izquierda, determine la aceleración del collar C en la posi posici ción ón que que muestr muestra a la figura.
12 cm
C
15 cm
B A
6 cm 8 cm
EXAMEN OPTATIVO DINAMICA [ 11-12-2012 ]
Probl roblem emaa 1 : A y B son ruedas dentadas y C un anillo dentado. La rueda A está fija y el anillo dentado C está rotando con velocidad angular constante ω0 sentido antihorario en torno al eje horizontal que pasa por A. La manivela DE y la rueda B form an en conjunto un cuerpo rígido. Determine la velocidad del extremo E de la manivela DE, para el instante representado en la figura.
C
C manivela DE
r
2r A
A, E
E
B, D B
Eje solidario a rueda A
Probl roblem emaa 2 : La cabina de la retroexcavadora está girando con velocidad angular ω0 constante en torno al eje vertical que pasa por O. La coordenada de posición angular φ del braz brazo o OC est está vari varian and do a una una tas tasa constante relativa a la cabina, de tal manera que la aceleración angular absoluta del brazo OC es αOC = - ½ ω0
2
j. OX oYoZo es un sistema fijo y Oxyz un sistema solidario a la cabina. Para la posición mostrada en la
figura, determinar la velocidad y la aceleración absolutas del punto C.
Z0 (z) 3r B ω0
A C F
2r
φ
r
θ
Y0 (y)
O
E G
D
X0 x