UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACUL ACU LTAD DE INGENIER INGE NIERÍA ÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PRACTICA N° 1 ASIGNATURA : Dinámica TEMA : Cinemática rectilínea de partícula
1. La posició posición n d !na pa"#$c pa"#$c!%a !%a a %o %a"&o %a"&o d !na %$na %$na "c "c#a #a 3 2 s# s#' ' dada po" po" x =(1,5 t −13,5 t + 22,5 t ) () do dond t s#' n s&!ndos. Ra%ic !n an'%isis d% (o*i(in#o + d#"(in %a posición) *%ocidad) ac%"ación + %a dis#ancia #o#a% ,! "co"" d!"an# % in#"*a%o d - s. La posición: 3 2 x = 1.5 t −13.5 t +22.5t m. Sabemos !e "a #e"oci$a$ es i%!a":
#=
dx dt
2 #= 4.5 t −27 t + 22.5
m&s.
' "a ace"e(ación ace"e(ación es i%!a": dv a= dt a= 9 t −27
m&s2.
t
x
#
a
)
)
22.5
*2
1
1).5
)
*1,
2
-
*1-.5
*
-
*1-.5
*1,
)
/
*-)
*1-.5
5
*-.5
)
1,
0
*2
22.5
2
istancia tota": #=) en esos p!ntos ab(3 cambio $e $i(ección 2 #= 4.5 t −27 t + 22.5 =)
x 1 , x2
x 1 , x 2
=
−b ± √ b2− 4 ac 2a
27 ± √ 27
2
=
− 4∗4.5∗22.5 2∗ 4.5
= 541
ntonces "a $istancia es i%!a": | x ( 1 ) − x ( 0 )|+| x ( 5 ) − x ( 1)|+| x ( 6 ) − x (5 )| = 10.5 +|−37.5−10.5|+|−27 + 37.5|=¿ 10
.5+/,+1).5=0m.
ladistancia total recorrida esde 69 m
.
.1./ E% (o*i(in#o d !na pa"#$c!%a s#' d0nido po" %a c!ación x = t 3 − 10 t 2 − 20 t −1 n (#"os + # n s&!ndos. En % in#"*a%o d #i(po n#" #2 3 s + # 2 1 s) d#"(ina : a6 posición7 #e"oci$a$ 8 ace"e(ación b6 $esp"a9amiento c6 $istancia (eco((i$a $6 (ep(esenta "as %(3cas #*t 8 a*t a6
t;s6
x;m6 ) 1 2 / 5 0 , 1) 11 12
#;m&s6 *1 *-) **12/ *1 *220 *205 *2,, *2, *202 *2)1 *1)) /
*2) *- */, *5*52 */5 *-2 *112 /,) 1212
a;m&s26 *2) *1/ *, *2 / 1) 10 22 2, -/ /) /0 52
b6 esp"a9amiento: ∆ x= x
'
− x 0
∆ x= 47−(−1)
∆ x = 48
c6 istancia (eco((i$a: istancia $es$e t=) asta t=, es i%!a" a: *2,, m istancia $es$e t=, asta t=12 es i%!a" a: --0 m istancia (eco((i$a = --0 m < 2,, m = /, m $6 (3ca $e #*t:
*4(5s6 2)) 15) 1)) 5) )
)
*5) *1))
2
/
0
,
1)
12
1/
(3ca $e a*t:
a4(5s6 0) 5) /) -) 2) 1) ) *1) *2) *-)
)
2
/
0
,
1)
12
1/
../ Una pa"#$c!%a s dsp%a7a a %o %a"&o d !na %$na "c#a d (odo ,! s! ac%"ación s d0n co(o a24/*6(5s dond * s#' n (5s. Si *23 (5s c!ando 23 + #23) d#"(in %a posición + *%ocidad + %a ac%"ación co(o 8!ncions d% #i(po.
So%!ción: S sa9 ,!: a=
dv dt
En#oncs:
dt =
dv a
t
v
0
20
∫ dt =∫ −dv2 v t =
t =
−1 2
−1 2
[ ln ( v )− ln (20 )]
ln (
v 20
)
v =20 e−2 t a=
dv dt −2 t
a =−40 e
dx = vdt x
t
∫ dx=∫ 20 e−
2 t
0
0
dt
e [¿¿−2 t −1 ] x =20
( ) ¿ −1 2
x =−10 e−2 t + 10
.1/ La ac%"ación d !na pa"#$c!%a a (dida ,! s (!* a %o %a"&o d !na %$na "c#a s#' dada po" a =(2 t −1) (5s dond t s#' n s&!ndos. Si x =1 ( + v =2 (5s c!ando t =0 ) d#"(in %a *%ocidad + posición d %a pa"#$c!%a
c!ando t =6 s. Ta(9i;n) d#"(ina" %a dis#ancia #o#a% ,! %a pa"#$c!%a "co"" d!"an# s# in#"*a%o. So"!ción: a= ;2t*16
Si: x=1 m4 #=2 m&s4 t=) s4 Como sabemos "a ace"e(ación es i%!a" a: dv a= dt
Inte%(an$o en ca$a "a$o: t
∫ adt 0
v
=
∫ dv 2
t
∫ (2 t −1 ) dt 0
v
=
∫ dv 2
t
(¿¿ 2−t ) t = #*2 0 ¿ t
(¿¿ 2−t ) = #*2 ¿
>
t (¿¿ 2−t )+ 2 m / s ??????? ;16 v =¿
ete(mina( "a #e"oci$a$ c!an$o t=0s. Reemp"a9an$o en ;16 #= ;0@06*0+2= -2m&s. a""an$o "a posición con (especto $e" tiempo: dx #= dt 4 x
t
∫ vdt
∫ dx
=
0
2
t (¿¿ 2−t + 2 )dt
x
=
t
∫¿
∫ dx 1
0
(
3
t
3
)
2
t
− + 2 t t = x −1 2
t 3
0
t 2
> x ¿ 3 − 2 + 2 t + 1 m. ????;26 ete(mina( "a posición c!an$o t=0s. Reemp"a9an$o en ;26 3
x=
2
6 6 − + 2∗6 + 1=67 m. 3 2
La $istancia tota" (eco((i$a es: B=) t (¿¿ 2−t )+ 2=0 v =¿
x 1 , x 2
x 1 , x 2
= =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
1 ± √ 1
2
− 4∗1∗2 =¿ sa"e con ima%ina(io 8 p!es esos 2∗1
#a"o(es no "os toma(emos. Po( "o tanto: La $istancia es i%!a" = | x ( 6 )− x ( 0 )|=67 −1= 66 m . "a $istancia tota" (eco((i$a es $e 00m.
./Una pa"#$c!%a sa% d% "poso + *ia
dv dv dx dv a= dt = dx @ dt = dx ∗v
x
v
∫ dx
∫ dva∗v
=
0
0
v
x=
dv ∫ 30v−∗0.2 v 0
Cambio $e #a(iab"e a=-)*).2@# > #=;-)*a6&).2 $a=*).2$# > $#= *$a&).2
Reemp"a9an$o: −(30− a )∗da ∫ x= ❑ 0.2∗a∗0.2 x=
1 ( 0.04
∫ da −∫ 30a da )
x=
1 (a −30∗ln ( a )) 0.04
x=
1 (30− 0.2∗v −30∗ln ( 30−0.2∗v ) ) v 0.04 0
x=
1 ( 30−0.2∗v − 30∗ln ( 30 −0.2∗v ) )−( 30− 30∗ln 30 ) 0.04
x=
1 ( 30−0.2∗v − 30∗ln ( 30 −0.2∗v ) )−(−72.036) 0.04
[
[
]
]
v =30 m&s.
Reemp"a9an$o e" #=-) m&s x=
1 ( 30−0.2∗30−30∗ln ( 30 −0.2∗30 )) −(−72.036 ) 0.04
[
]
x=
1 ( 30−6 −30∗ln ( 30−6 ) )−(−72.036 ) 0.04
]
x=
1 ( 30 −6 −95.342 )−(−72.036 ) 0.04
1 [ 0.694 ] =17.35 m. 0.04
[ [
] =
ntonces: =#@t 1.-5=-)@t espeEan$o tiempo: T=).5, s n !na #e"oci$a$ $e -)m&s e" tiempo se(3 $e ).5,s.
=. La ac%"ación d !na pa"#$c!%a ,! s dsp%a7a a %o %a"&o d !na %$na "c#a s a =(8 −2 x ) (5s) dond x s#' n (#"os. Si v =0 c!ando x =0 ) d#"(in %a *%ocidad d %a pa"#$c!%a c!ando *%ocidad s ('i(a. ATFS: =) B=) =2 B=G Bmax=) RSFLBINF:
x =2
( + s! posición c!ando %a
X
V
∫ ( 8 −2 x ) dx=∫ vdv
ads = vdv
0
8 x
2
− x =
v
0
( )
2 v x ( 8 x − x ) = v 2
0
2 0
2
v =√ 16 x − 2 X 2
2
TRHINANF L BALFR B=G. PARA CANF =2: V = √ 16 ( 2 )−2 ( 2 ) = √ 24 = +*/. 2
TRHIN S PFSICIFN PARA Bmax. LA BLFCIA SRJ HAIHA CANF S RIBAA=). v=
v =√ 16 x − 2 X 2
16 −4 X 2 √ 16 x −2 X
2
=0
16− 4 X = 0
X =4
RSTRICCIFNS LA CACIFN: 0
2 √ 16 x −2 X ≠ 0 2
> X ( 2 X −16 )
0 < X < 8
2
16 x −2 X ≠ 0
X ( 16 −2 X ) ≠ 0 X ≠ 0 , X ≠ 8
2
16 x −2 X > 0
> s nc!n#"a dn#"o d %os *a%o"s ad(i#idos po" %a c!ación. n#oncs pa"a V(a >2=.
?./ La ac%"ación d !na pa"#$c!%a s d0n (dian# %a − x "%ación a =k ( 1− e ) ) dond k s cons#an#. Si %a *%ocidad d %a pa"#$c!%a s v =+ 9 (5s c!ando x =−3 ( + %a pa"#$c!%a ,!da n "poso n % o"i&n) d#"(in a6 % *a%o" d *%ocidad d %a pa"#$c!%a c!ando x =−2 (.
k ) b6
%a
ATFS: a =k ( 1− e− x )
v =9
m , x =−3 m s
v =0
m , x =0 m s
k =? ;
m v =2 , x =−2 m s
RSFLBINF: a6 a""an$o "a constante K: 0
ads = vdv
0
∫ k ( 1− e ) dx=∫ vdv
k ( x + e
− x
− x
−3
k ( 4− e3 ) =−9
9
k =
)
0 =( v ) v 0 −3
k ( 1 −(−3 + e3 ) )=−9
−9 3 4 −e
b6 a""an$o "a #e"oci$a$ pa(a x=*2. 0
0
∫ k ( 1−e ) dx=∫ vdv
k ( x + e
− x
− x
−2
v
)
0 =( − v ) −2
k ( 1 −(−2 + e2 ) ) =−v k ( 3 + e2 )=−v
v=
9 4 −e
3
( 3 + e2 )
-./ Un c!"po s (!* n %$na "c#a con !na *%ocidad c!+o c!ad"ado dis(in!+ %ina%(n# con % dsp%a7a(in#o n#" %os p!n#os A + @ %os c!a%s s#'n spa"ados 90 m #a% co(o s indica. D#"(ina % dsp%a7a(in#o x d% c!"po d!"an# %os dos B%#i(os s&!ndos an#s d %%&a" a% p!n#o @.
ATFS: AB =90 m ;
t 2 x =120 m
Para t 1 x
t 2− t 1=2
RSFLBINF: dv v= , dt
120
t 2
x
t 1
∫ dx =∫ vdt
x =120− 2 v "" ( ## )
− x = v ( t 2−t 1 )
120
$%&A'( *#+A :
(%%P&A-A$/ " . ( ## ) % ( ### )
(
− v=
−288 90
) ± √( ) − ( ) (− −288 90
v 2−
! x =120 − x =2 v " " ( # )
v
2
− 225=
−144 ". ( ### ) 90 ( x −30 )
288 v −81 =0 90
2
4 1
81 )
v=
3.2 ± 18.28 2
v 1=10.74 " (0 )
2
v 2=−7.5 " . ( X )
(%%P&A-A$/ " . ( # )
! x =2 ( 10.74 ) =21.48
./La ca
x c + √ x a
Be"oci$a$: 2
¿ x a∗dx a
d xc dt + =0 dt 2∗√ x a2 + 16
2 ¿ x a∗4 d xc + =0 dt 2∗√ x a2 + 16
d x c − x a∗4 = dt √ x a2+ 16 v c=
− 4∗ xa
√ x a + 16 2
s =1 x a = x c =3 v c =
m v c =−2.4 2 s
Ace"e(ación: v c=
− 4∗ xa
√ x a + 16 2
−4∗3 2 √ ( 3) +16
2
+ 16= 8
2∗ x a
−4∗d x a d vc = dt
dt
∗ √ x a2 + 16 + 4∗ x a∗( x a2+ 16
4∗3∗3 ∗4 5 25
−4∗4∗5 + s =1 x a =3 a c =
ac =−2.048
2∗√ x a
m s
2
2
+ 16
d t
∗dx a )
